Komináiós hálóztok egyszerűsítése enesózky Zoltán 24 jegyzetet szerzői jog véi. zt ME hllgtói hsználhtják, nyomtthtják tnulás éljáól. Minen egyé felhsználáshoz szerző elegyezése szükséges.
él: speifikáióvl megott KH legolsó megvlósítás Speifikáió: szöveges speifikáió, oole lgeri kifejezés, normál lk, igzságtál, e z egyszerűsítés előtt igzságtálává kell lkítni, h nem n vn megv. Mi legolsó? Megvlósítási környezettől függ (lktrész). Pl. H önálló kpuk állnánk renelkezésre, legkevese kpu és legkevese emenet szám lehet élfüggvény. iszkrét I-kől (egy I tö kput is trtlmzht, hogy hányt, zt enne levő kpuk emenetszám is efolyásolj), legkevese I felhsználás lehet élfüggvény. Progrmozhtó logik esetén pl. legkevese erőforrás (logiki ell) felhsználás lehet élfüggvény. péláinkn z egyszerű számíthtóság mitt legkevese kpu emenet számr törekszünk. 2
Hogyn számolhtó emenetek szám? Pl. megvlósított kpsolási rjz lpján. 2 szintű megvlósítás esetén felrjzolás nélkül is egyszerűen számolhtó. Legyen megvlósítnó függvény: F=../ + /.. +./ Minen termet egy nnyi emenetű kpu vlósít meg, mennyi változóink szám (Nv). nnyi kpu szükséges, hány term vn függvényen (Nt). fenti eseten 2 3 emenetű kpu és 2 ementű kpuvl vlósíthtó meg függvény, így z. szinten összesen 8 emenet vn. Nv+Nv2+Nv3=8, hol Nvi z egyes termek változószám. 2. szinten egy nnyi emenetű kpu szükséges, hány termet trtlmz függvény (Nt). fenti eseten itt egy 3 emenetű OR kpu szükséges. (Nt=3) Így z összes emenetek szám SUM(Nvi)+Nt=. 3
Kétszintű hálózttl megvlósított komináiós hálózt egyszerűsítése következőken először 2 szintű KH-ok egyszerűsítésével fogllkozunk. z egyszerűsítés elve, z változón különöző ( Hmming távolságú) termek megkeresése, mj z eltérő változó elhgyás z. +./ =.( + /) = (iszjunktív lk esetén) vgy z ( + )( + /)= +./ +. = (konjunktív lk esetén) zonosság lpján z Hmming távolságú termek megkeresésére kézi (ZH-n jól hsználhtó) grfikus mószerként z un. Krnugh tálát hsználjuk. 4
Krnugh tál egy speiálisn kilkított igzságtál. Hgyományos igzságtál F "Peremezett" igzságtál F Krnugh tál F Krnugh tál peremezése olyn, hogy z egymás melletti sorok ill. egymás ltti oszlopok egy változón térnek el, z un. Gry kó szerint. 5
Gry kó Gry kó egy pozíiókó. z lái ár egy vízszintes szkszt 8 részre osztv kóol, Gry kól. Tükrözéses mószerrel lehet kise itszámú pozíió kóól ngyot készíteni.. Inuljunk ki ites Gry kóól (most kise helyfogllás mitt mj z egymás ltti számok ják kóot:. Folytssuk kóok felírását forított sorrenen (tükrözés).. régi kóok elé írjunk -át, tükrözöttek elé peig -et.... z egymás ltti számok ják kószvkt: (,,, ) Hsonlón folyttv 3 ites Gry kó: (,,,,,,, ) 6
Gry kó szerint peremezett Krnugh tálán szomszéos rurikák ( széleket is szomszéosnk tekintve) változón különöznek. Ezért szomszéos termek megkeresése kis gykorlás után szemre viszonylg egyszerű. z lái K-tálán z üresen hgyott rurikákhoz érték trtozik. z egyszerűsítés lépésenként elvégezve:. 3. /./.+/..=/. 2../.+..=. /.+.= más sorrenen is lehet, végeremény ugynz 4. /../+/..=/. 7
8 2-6 változós Krnugh tálák rurikáink szomszéossági viszonyi E E E F F 2 változós 3 változós 4 változós 5 változós 6 változós
z igzságtálán szereplehetnek közömös ejegyzések is! Jelölése: x vgy - - emeneti komináió, melynél közömös ejegyzés szerepel, nem forul elő emeneten - emeneti komináió előforulht emeneten, e kimenetre stlkozó logik nem veszi figyeleme közömös ejegyzések egyszerűsítést tesznek lehetővé, mivel közömös ejegyzéseket z egyszerűsítéshez legmegfelelő logiki értékkel vehetjük figyeleme. 9
Pl. Folyékszint mérő. készülék z - emenetein érzékel és kimenetén jelzi folyék állását. folyék trtály komináiós hálózt folyékszint mérő igzságtáláj: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
folyékszint mérő Krnugh tálái: x x x x x x iszjunktív lkn keresett megolás szerint egyszerűsített Krnugh tálák: x x x x x x = =./ =./ +./ emenet 2 emenet 6 emenet z egyszerűsített függvény igzságtáláj:
konjunktív lkn keresett megolás szerint egyszerűsített Krnugh tálák: x x x x x x = =./ =./.(/+) emenet 2 emenet 5 emenet z egyszerűsített függvény igzságtáláj: konjunktív lkú megolás z egyszerű. 2
minimlizálás teljes lgoritmus:. Keressük meg z összes prímimplikánst Prímimplikáns: olyn term, melyől nem hgyhtó el tö változó (nem egyszerűsíthető tová). Pél: F /./ F./ /./ x x x x prímimplikánsok:./. : /./ :. :./ : /./ e:./ 3
2. Válsszuk ki prímimplikánsok közül legkeveseet, mely lefei z igzságtál összes mintermjét (mxtermjét konjunktív megvlósítás esetén). feés megvlósításához z ún. prímimplikáns tál segítséget. Egyszerű eseteken ennélkül szemre is elvégezhető z egyszerűsítés. tál oszlopit minterm (mxterm) sorszámokhoz reneljük. Itt közömös ejegyzésekhez trtozó sorszámok nem szerepelnek, mivel zokt nem kell lefeni. 4
z lái Krnugh tálákn külön-külön feltüntettük, z egyes prímimplikánsok áltl lefeett mintermeket. 4 6 2 3 5 4 8 4 6 2 3 5 4 8 (4) (8) (2) () 4 6 2 3 5 4 8 4 6 2 3 5 4 8 4 6 2 3 5 4 Prímimplikáns tál 4 6 8 2 3 4 5 + + + + + + + + + + + + + + e + + + + Lehetnek olyn mintermek, melyeket sk egy prímimplikáns fe le. z ilyen mintermeket megkülönöztetett mintermeknek nevezik. e 8 5
zon prímimplikánsokt, melyek leglá egy megkülönöztetett mintermet trtlmznk, lényeges prímimplikánsoknk hívjuk. Pélánkn 5-ös minterm megkülönöztetett minterm, prímimplikáns peig lényeges prímimplikáns. lényeges prímimplikánsok feltétlenül szükségesek feéshez, mivel más nem tuj helyettesíteni őket. továikn zt kell kieríteni, hogy lényeges prímimplikánsokon kívül még melyek szükségesek feltétlenül feéshez. 6
Prímimplikáns tál 4 6 8 2 3 4 5 + + + + + + + + + + + + + + e + + + + + ++e +e + + + + + prímimplikáns tál utolsó során feltüntettük, hogy egy-egy oszlophoz trtozó mintermet mely prímimplikánsok képesek lefeni, ill. hogy lényeges prímimplikáns(ok) miket fe(nek) le. Pl. -ás lefeéséhez z -r vgy -re vn szükség. Mivel z összes lényeges prímimplikáns áltl le nem feett prímimplikánst le kell feni, ezt feési feltot z lái oole kifejezéssel foglmzhtjuk meg: S=(+)(++e)(+e)(+) Ezt egy sup ponált változóól álló kifejezés, melyet ezért könnyű egyszerűsíteni, z elnyelési szály lklmzásávl. (+)(++e) = + (+e)(+) = + + e +e ( + )( + + e +e) = + e + 7
feési feltnk lényeges prímimplikánst (vel jelölt) is figyeleme véve 3 megolás létezik: + e + Szón: z összes mintermet lefeéséhez kell: ÉS ÉS, vgy kell ÉS ÉS e, vgy kell ÉS ÉS. : /./ :. :./ : /./ e:./ z ezekhez trtozó függvények, mivel itt,,, iszjunktív lkú termeket jelöl (mert iszjunktív lkú megolást keresünk), megfelelő termek ÉS kpsoltként ónk : : e: : F = /./ +. +/./ F = /./ +. +./ F =. +./+ /./ Ezek itt egyformán minimálisk, kpu emenetek szám 9. Áltlán különöző megolásokhoz különöző kpu emenetszám trtozht, ekkor megolások közül ki kell válsztni egy legegyszerűet. 8
Konjunktív lkn keresve megolást: F x x (+/) (+/) F x x prímimplikánsok:. (+/). (+/). (+/) (+/) Lefeési tál nélkül, szemre is láthtó, hogy z és prímimplikáns lefei z összes mxtermet. Mivel és konjunktív lkú termek (mivel konjunktív lkú megolást keresünk), függvényt ezek ÉS kpsolt j. F = ( + /)( + /) Ehhez 6 kpu emenet szükséges, így egyszerű mint iszjunktív lkú megolás. kpsolási rjz homogén NOR megvlósítás: / / F 9
H meg vn kötve, hogy megolást milyen lkn kell keresni és másik lkn lenne z egyszerű, kkor függvény negáltját lehet megvlósítni, mj negálni. (Pélául PL-en iszjunktív megvlósítás lehetséges, és függvényt egy EXOR kpuvl meg lehet invertálni.) z elői pél esetén /F-t iszjunktív lkn megvlósítv mj invertálv: / F x x F = /(/. + /.) /F / x x / / /F F /F F 2
Számjegyes minimlizálás (Quine-Mluskey mószer) logiki függvények minterm (mxterm) inexét úgy képezzük, hogy mintermen sorrenen szereplő változókhoz ponált eseten -et, negált eseten -át renelünk, mj z így kpott ináris szám eimálissá (-es számrenszrűvé) lkítjuk. Pl. /././. prímimplikánsok meghtározáskor szomszéos termeket kell megkeresni és összevonni. Pl. /./././ + /././. = /./././ számítógépes mószer mintermeket ináris inexükkel reprezentálj. szomszéos (egy változón ellentétes előjelű) termek inexének ináris formáj iten tér el. z változó esik ki, hol z eltérés vn. Pl. /./././ + /././. = /././ - Tehát z egy iten eltérő számokt kell megkeresni, és z eltérő it helyhez renelt változót elhgyni (itt ezt - -szl jelöltük) szomszéos termeket gyorsn meg lehet tlálni, h először ináris minterm inexeket ennük levő -esek szám (ináris súlyuk) 2
lpján sorrenezzük. Ekkor már sk súlyuk szerint egymás melletti inexeket kell egymáshoz hsoníltni. z lgoritmust egy mintpélán muttjuk e. f=//// + /// + // + // + / +/ +/ + = m + m + m + m + m + m + m + m továikn sk z inexet írjuk le. ináris súly szerint renezve:.. 3. 2. 7.. 4. 5. - [, ()] - [,3 (2)] - [3,7 (4)] - [3, (8)] - [2,4 (2)] / - [7,5 (8)] - [,5 (4)] /// // - [4,5 ()] -- [3,7,,5 (4,8)] -- [3,7,,5 (4,8)] z [ ] -jelek közé téve z rtó könyven hsznált jelöléseket is feltüntettük. Krnugh tálávl ugynezt z ereményt kpjuk: /// // f= ++//+/// + / / 22
Logiki fügvények relizálás töszintű hálózttl. lgeri átlkításl hozzuk töszintű hálózttl relizálhtó lk függvényt E E kétszintű minimális iszjunktív lk 22 emenettel vlósíthtó meg. f =///+///E+//+//E+//= =//(/+/E+) + /(/+/E)= =//(/+/E+) + /(/+/E +)= =/././(E/) + //(E/) E / / / / f 3 szintű megvlósításhoz 2 kpu emenet szükséges. 23
töszintű relizálás sokszor egyszerű ármkört ereményez, viszont hossz lesz hálózt jelterjeési ieje. 2. Kitiltás mószere töszintű hálózt létrehozásár E E. H ponttl jelölt helyeken lenne, sokkl egyszerű megolás ón. Egyszerűsítsük függvény, minth ez lenne z ereeti függvény. f = /./ +../. Megfelelő (lehetőleg egyszerű) K kitiltó függvénnyel megszorozv f -t iztosítsuk, hogy fügvény újr z ereeti igzságtál vlósuljon meg. f = f.k K=/(/E) f = /(/E) (// + /). = = /././(/E) + //(/E) Ez most ugynrr z ereményre vezetett, mint oole lgeri átlkítás. 24
Tökimenetű komináiós hálózt minimlizálásánk elve Legyen egy 3 kimenetű 4 változós logiki függvényünk, melynek igzságtáláj z lái. f f2 f3 f = /././ + /..+./. f2 = /././ +. +./.+. f3 = /././ +./ +. Elv: tö függvényen is előforuló (zonos) prímimplikánsokt sk egyszer vlósítjuk meg. f,f2,f3: /././ ff2:./. ff3: -------- f2f3:. f f2 f3 / / / / / / z ereeti 36 kpuemenet helyett sk 25 kell. 25