Oktatási Hivata A 0/03. tanévi IZIKA Országos Középiskoai Tanuányi Verseny ásoik foruójának feaatai és egoásai II. kategória A ogozatok ekészítéséhez inen segéeszköz hasznáható. Megoanó az eső két feaat és a 3/A és 3/B sorszáú feaatok közü egy szabaon váasztott. Csak 3 feaat egoására aható pont. A 3/A és 3/B feaat közü a több pontot eérő egoást vesszük figyeebe.. Rögzített, α hajásszögű ejtő síkjára erőegesen erev síkeezt erősítünk. A eez síkja β szöget zár be egy, a ejtő síkjában évő vízszintes egyenesse, ahogy azt az ábra utatja. Hoogén töegeoszású tégatestet heyezünk e úgy, hogy annak szoszéos apjai közü az egyik a ejtő síkjáva, a ásik a síkeezze érintkezzék, aj a hasábot agára hagyjuk. a) Mekkora a hasáb gyorsuása, ha a súróás inenho ehanyagoható? b) Legaább ekkora egyen a tapaási súróási együttható, ha azt szeretnénk, hogy a hasáb ne csússzon eg? etéteezzük, hogy a hasáb egyenetesen érintkezik a feüetekke, ietve, hogy a síkeez és a ejtő anyagi inősége azonos. Megoás. a) Nézzünk erőegesen a ejtő síkjára (ás a fenti ábrát)! A ejtő asó ée az ábrán is vízszintes, és a erev síkeezt ében átjuk. A erev síkeez áta kifejtett nyoóerőt (N ) átjuk nyíként az ábrán. A ásik nyí a nehézségi erő ejtő irányú koponense, gsinα. A ejtő áta kifejtett nyoóerő (N ) az ábra síkjára erőegesen fefeé, íg a nehézségi erő ásik koponense, gcosα, az ábra síkjára erőegesen efeé utat. a) Az erők egyensúyábó a következőknek ke tejesünie: az α hajásszögű ejtő síkjára erőeges irányban: g cos N 0, () a β hajásszögű síkeezre erőeges irányra: g sin cos N 0. () A gyorsuás irányában: gsin sin a. (3) 0/03 IZIKA OKTV. foruó
A (3) egyenetbő a gyorsuásra aóik. a g sin sin (4) b) Az erők egyensúya: Az α hajásszögű ejtő síkjára erőeges irányban: g cos N 0. (5) A β hajásszögű síkeezre erőeges irányra: A β hajásszögű síkeez síkjának irányában: g sin cos N 0. (6) g sin sin S 0. (7) A tapaás/csúszás határán: S μ( N N). (8) Az (5) (8) egyenetekbő a súróási együtthatóra μ sin sin sin cos cos (9) aóik. Aternatív egoás a)-ra: Egyszerűn egutatható, hogy a páya hajásszöge gyorsuás a szokásos a g sin sin -nek aóik. sin γ sin sin, így a, üggőegesen áó, henger aakú tartáy feső részét nehezen ozgó ugattyú zárja e. A ugattyú ozgásakor feépő csúszási súróási erő áanó, nagysága egegyezik a tapaási súróási erő aiuáva. A ugattyú feüete 30 c, töege 3 kg. A küső égnyoás 0 5 Pa. A hengerben evegő van, kezetben a bezárt evegő térfogata 00 c 3. a) Mekkora a aiáisan feépő súróási erő, ha a ugattyú a fent eírt heyzetben inaig ozuatan ara, aeig a bezárt evegő hőérsékete 300 és 360 K közé esik? A henger és a ugattyú tökéetesen hőszigeteő anyagbó készüt. A henger beső faán küöneges bevonat taáható, ai a súróási hőt igen gyorsan átaja a vee érintkező gáznak. Így jó közeítésse tejesü, hogy a ugattyú enyoásakor a súróási hőt egyeü a környező evegő veszi fe, íg a ugattyú fefeé történő ozgásakor a súróás kizáróag a tartáyban évő evegőt eegíti. b) Tegyük fe, hogy a bezárt evegő hőérsékete éppen 300 K. Ekkor óvatosan egy nagy súyt teszünk a ugattyú tetejére, ait fokozatosan eengeünk. Így a bezárt evegő térfogata a feére csökken. Mekkora a súy töege? A hengerben taáható egy 5 W tejesítényű eektroos fűtőtest is, ait azt követően kapcsounk be, hogy a ugattyúra heyezett súyt eengetük. c) A fűtőtest bekapcsoása után ennyi iő úva ozu eg a ugattyú? A fűtőtestet a ugattyú egozuása után is bekapcsova hagyjuk. ) A ugattyú einuása után ennyi iőve kerü vissza a ugattyú az ereeti heyzetébe? Megoás. a) A tapaási súróási erő aiua egyen S. Ha a hőérséket eéri a aiáis 360 K értéket, akkor ez az erő efeé utat, a tapaási súróás a bezárt gáz egnövekeett nyoását eensúyozza. Ha a hőérséket a iniáis 300 K-re csökken, akkor a súróási erő fefeé utat, ényegében segíti a gázt a ugattyú súyának egtartásában. A két határesetben a gáz nyoása S/A értékke vátozik ahhoz képest, aikor egyátaán ne ép fe súróási erő. A ugattyú súyábó is szárazik egy 0/03 IZIKA OKTV. foruó
g/a = N/c = 0, 0 5 Pa nagyságú nyoás ( = 3 kg a ugattyú töege, A = 30 c peig a ugattyú feüetének nagysága). Ehhez a nyoáshoz hozzáaóik a küső evegő p 0 = 0 5 Pa nyoása, vagyis ha ne ép fe súróás, akkor a gáz nyoása p 0 + g/a =, 0 5 Pa. Akaazzuk a bezárt gázra Gay-Lussac ásoik törvényét a két határesetben: 5 S 5 S, 0 Pa, 0 Pa A A 360 K 360 K Az egyenet egoása S/A = 0, 0 5 Pa = N/c, aibő S = 30 N. b) Ha a evegő hőérsékete 300 K, akkor a aiáis értékű, fefeé utató tapaási súróási erő éppen annyira csökkenti a bezárt gáz nyoását, hogy az egegyezik a küső evegő p 0 = 0 5 Pa nyoásáva. Ha a evegőt aiabatikusan térfogatának feére nyojuk össze, akkor a nyoása -szorosára nő, aho = 7/5 =,4, ert a evegő kétatoos gáz. Vagyis a nyoás a súy eengeésekor p 0 =,64 0 5 Pa, ai azt jeenti, hogy a ugattyúra heyezett súy p s =,64 0 5 Pa nyoást ereényez, ai Mg/A aakban fejezhető ki. A ugattyúra heyezett súy töege M = p s A/g = 49, kg 49 kg töegű (g = 0 /s -te száova). Megjegyzés: Ha invégig g = 9,8 /s -te száounk, akkor a tapaási súróási erő aiuára S = 9,95 N 30 N értéket kapunk, íg a ugattyúra heyezett súy töege M = 49,98 kg 50 kg értékűnek aóik. c) Akkor ozu eg a ugattyú, ha a aiáis súróási erő irányt vát, vagyis a bezárt evegő nyoása p = S/A = 0, 0 Pa értékke egnő. A foyaat áanó térfogaton zajik, a közöt hőt így száíthatjuk ki: 5 5 5 5 6 3 Q Cvn T Rn T pv 0, 0 Pa 600 0 30 J, aho a V térfogat az ereeti 00 c 3 -es térfogat fee: V = 600 c 3 = 600 0-6 3. Ekkora hőközéshez a P = 5 W tejesítényű fűtőszáat t = Q/P = 6 s ieig ke űkötetni. ) A ugattyú ozgása közben a nyoás esz áanó (p =,84 0 5 Pa). Azt ke észrevenni, hogy a fűtőszá hője okozza a beső energia növekeését és a táguási unkát. A súróás iatt egnő a táguási unka (oyan, intha a ugattyú ég 3 kg töeget eene fe), azonban a súróás iatt keetkezett hő visszakerü a renszerbe, vagyis a súróási hő is eegíti a renszert. Tehát a tejes hőközésre a következő egyenetet írhatjuk fe: 7 7 7 5 4 3 Q Qsúr. Cpn T Rn T p V,84 0 Pa 6 0 596,4 J, aho a V térfogat az ereeti 00 c 3 -es térfogat ásik fee: V = 600 c 3 = 6 0-4 3. A súróási hőt (a súróási unka eentettjét) az S súróási erő és az y = V/A = 0, ugattyú-eozuás szorzataként száíthatjuk ki: Q súr. = S y = 6 J. Tehát a fűtőszá áta ketett hő nagysága: Q = 596,4 J 6 J = 590,4 J. Ezért a fűtőszáat ég t = Q/P = 8, s 8 s ieig ke űkötetnünk. Megjegyzés: Ebben a speciáis esetben a súróási unka áta ketett hő tejes egészében a gázt eegíti. Ha tehát feírjuk a teroinaika eső főtéteét, akkor a hőközésben is egküönböztethetjük a súróási hőt, és a unkavégzésben is: E = Q+W = Q +Q ( M) g y p V S y. fűtőszá súr. 0 0/03 3 IZIKA OKTV. foruó
Vegyük észre, hogy ebben az egyenetben Q súr. S y = 0. Ez azt jeenti, hogy ha a ozgó ugattyú iatt keetkező súróási hő tejes egészében a gázt eegíti, akkor a súróás nincs hatássa a beső energia egvátozására! Ebben az a furcsaság, hogy a fűtőszá űköése nékü ne ozuna eg a ugattyú, ne épne fe súróás, égis a fűtőszá hője csak a gáz beső energiáját növei, a ugattyút és a rajta évő súyt eei, és a küső evegő nyoása eenében végez unkát, azonban a fűtőszá hőjében nincs benne a súróási unka, ert azt hő forájában visszakapja a gáz. 3/A Vízszintes síkban kifeszített, két párhuzaos szigeteő fonára háro azonos vonaenti tötésse eátott szívószáat heyezünk úgy, hogy egyássa párhuzaosak, a fonaakra erőegesek egyenek. A két széső, rögzített szívószá egyástó vaó távosága, aey ényegesen kisebb, int a szívószá hossza. A középső szívószáat a fonaakka párhuzaos irányban kissé kitérítjük távoságra, aj agára hagyjuk. a) Mutassuk eg, hogy a középső szívószá ozgása közeíthető haronikus rezgőozgássa! b) Mekkora a szívószáak vonaenti tötéssűrűsége, ha T perióusiejű ozgás jön étre? c) Mekkora a szívószá aiáis sebessége? A súróást és a közegeenáást tekintsük zérusnak! Aatok: A szívószá töege = 0,5 g, hossza = 4 c, T = 0,5 s, = 5 c, = 0,5 c. Megoás. Aatok: A szívószá töege = 0,5 g, hossza = 4 c, T = 0,5 s, = 5 c, = 0,5 c. a) A vonaenti tötéssűrűségű szigeteő hosszú szakasza, int tengey körü heyezzünk e egy r sugarú, agasságú hengert és annak térfogatára akaazzuk a Gauss-törvényt! Csak a henger paástját öfik inukcióvonaak. A paást inen pontjában ugyanakkora az eektroos térerősség és erőeges a feüetre. Q ; zárt E r 4 k ; k Er (). r Az egyástó távoságra évő, rögzített szívószáak között középen évő haraik szívószáat ozgassuk e távoságga. Ekkor a ráható ereő erő: 0 k k A tag eett ehanyagoható. 6k A középső szívószára ható ereő erő nagysága arányos az egyensúyi heyzettő vaó kitérésse, és iránya eentétes vee. Ezze beáttuk, hogy a középső szívószára haronikus erő hat, ezért haronikus rezgőozgást fog végezni.. 0/03 4 IZIKA OKTV. foruó
b) A fenti összefüggésbő D eghatározható a ozgást jeező átszóagos rugóáanó * 6k (irekciós erő): D. Hasznájuk fe a haronikus rezgőozgás perióusiejére vonatkozó összefüggést: T. D A D rugóáanót fejezzük ki és tegyük egyenővé a D * átszóagos rugóáanóva: D T * 6k D ; ; * D D ; T 6k ; T k -8 C 5,7 0. 3/B Vízszintes heyzetű, szigeteő anyagbó készüt korong függőeges heyzetű szietriatengeye körü eforuhat. A korongra töegű, hosszúságú, egyenetes töegeoszású és egyenetes τ vonaenti tötéssűrűségű pácát heyezünk úgy, hogy a páca végpontjai és a korong középpontja szabáyos hároszöget akossanak. A páca a eezre egyenetesen fekszik fe, közöttük a tapaási súróási tényező értéke µ. A renszer B inukciójú, függőegesen fefeé utató hoogén ágneses ezőben nyugszik. A korongot az ábra szerint igen kis szöggyorsuássa forgatni kezjük. Mekkora esz a korong szögsebessége a páca egcsúszásának pianatában, ha a páca tötése pozitív? (A páca és a korong közötti eektrosztatikus köcsönhatás ehanyagoható.) Megoás: Vizsgájuk eg az erőket! A feünézeti ábra utatja a rú egy-egy kicsiny arabjának sebességét, és a rá ható Lorentzerőt. Látható továbbá, hogy a Lorenz-erők ereője sugárirányban kifeé irányu. A kicsiny szakaszra ható Lorentz-erő: L v B cos B. () Ezek ereője a páca középpontjában koncentráható, kifeé utat, és nagysága: 3 L L Bcos B, () cos aho fehasznátuk, hogy 3. 0/03 5 IZIKA OKTV. foruó
Noha ne tananyag a gyorsuó koorinátarenszerekben történő ozgáseírás, égis sok tanuó (akár pusztán intuitív óon) akaazza. Az egyszerűség kevéért eőször i is így teszünk. A centrifugáis erő szintén a páca közepében koncentráóik, kifeé utat: 3 C. (3) A tapaási erő úgyszintén a páca középpontjában vehető fe sugárirányban befeé. Ebben a szituációban, ait vizsgáunk egcsúszás fetétee: úgy, hogy tapaási erő feveszi az C kifeé, C S g értéket. L L kifeé, következésképp S befeé utat, tehát a Terészetesen ne fetétenü szükséges a forgó koorinátarenszer iserete. Áó koorinátarenszerben a Lorentz-erő ugyanígy összegezhető, és a súróási erő is ugyanígy aható eg, azonban ezek ereőjének a páca töegének és a töegközépponti gyorsuásának (centripetáis gyorsuásnak) a szorzatáva ke egegyeznie: 3 B g A fetéte tehát inkét egfontoás szerint ugyanaz: azaz 3 S 0 3. 3 B g 0, (5) B g 3 (4) 0, (6) aeynek egoása B B A fizikaiag értees egoás (pozitív szögsebesség) peig: 8 g 3. (7) 8 3 B B g. (8) 0/03 6 IZIKA OKTV. foruó