1. Bevezetés 1.1. A mérési eredméyek matematikai feldogozásáak léyege A geodéziai mérések matematikai feldolgozása alatt azo matematikai m veletek összességét értjük, amelyek végreajtása sorá a mérések ibáiból ered, elletmodásokkal terelt mérési eredméyek felaszálásával 1 elletmodásmetes (kiegyelített) adatredszert ozuk létre, megatározzuk az elletmodásmetes adatredszer megbízatóságát, potosságát jellemz mér számokat. Az 1. potba végzed m veletek összességét kiegyelítések evezzük. Az adatredszer mid a kiegyelített mérési eredméyeket, mid ezekkel valamilye függvéykapcsolatba lev de em mért adatokat, a kiegyelített ú. ismeretleeket is tartalmazza. A kiegyelített mérési eredméyek és az ismeretleek megegyezetek. A. potba foglalt feladatokkal a geodéziai ibaelmélet foglalkozik. A két feladat sem a tárgyalás, sem a végreajtás szitjé em külöül el egymástól, a kiegyelített adatokkal egyidej leg a potossági mér számokat is szolgáltati kell. A kiegyelítés csak az elletmodásokat szüteti meg, a mérési ibákat em. Utóbbiak az elletmodások megszütetésével egyidej leg a kiegyelítés alapjául szolgáló valamilye el írt, ill. elfogadott matematikai feltételek megfelel e oszlaak meg a kiegyelített adatredszer elemei között. A geodéziai feladat megbízatósági követelméyeit l függ e a kiegyelítés törtéet: 1. Szigorú módszerrel (a geodéziai gyakorlat itt a legkisebb égyzetek módszerét részesíti el ybe. Közelít módszerrel (kiegyelítés elyett itt szokásos a közelít ibaelosztás elevezés is Ha megmérjük egy síkbeli áromszög midárom szögét, az elkerületetle mérési ibák miatt a árom mérési eredméy összege 180 -tól eltér. Az eltérés értéke az elletmodás. A kiegyelítés feladata ekkor olya kiegyelített értékek számítása a árom szögre, amelyeket összeadva, a áromszög szögeiek összege 180. A kiegyelítés eredméyekét teát az elletmodás megsz ik, de ez em jeleti azt, ogy a kiegyelített szögértékeket em tereli mérési iba. Az utóbbira voatkozó iformációoz a kiegyelítés utá jutuk. 1.1 ábra: A áromszög szögei és csúcspotjaiak koordiátái Helyezzük el a sík áromszöget egy sík derékszög koordiátaredszerbe (1.1 ábra). A áromszög csúcsaiak derékszög koordiátái és a áromszög szögei közötti szigorú függvéykapcsolat miatt a szögek kiegyelített értékei a derékszög koordiátákra, mit em mért adatokra, mit az ismeretleekre voatkozóa is elletmodásmetes értékeket szolgáltatak.
Az 1.1 ábra jelölései: y A, x A, y B, x B, y C, x C a áromszög csúcspotjaiak koordiátái, α, β, γ a áromszög szögei. 1.. Közvetle és közvetett mérések Ha a geodéziai mérések közvetleül magukra a keresett meyiségekre iráyulak, közvetle mérésekr l, a a keresett meyiségekkel valamilye (függvéy-) kapcsolatba álló egyéb meyiségekre, közvetett mérésekr l beszélük. Általáosa: Legyeek x, y,, z közvetle mérési eredméyek. Ekkor tetsz leges u = ax + by + + cz lieáris, vagy u = f(x, y,, z) em lieáris függvéyek a közvetle mérések eredméyei. A földi elymegatározás végs eredméyei általába derékszög koordiáták. A térképezés sorá eze felül a redelkezésre álló eszköztártól függ e közvetleül aszálatuk poláris koordiátákat, szögeket, távolságokat is. Ha pl. egy mért vízszites távolságot közvetleül ábrázoluk a térképe, közvetle mérésr l beszélük. Ekkor azoba tuduk kell, ogy az adott távolságot milye iráyba rajzoljuk rá a térképre. Ez utóbbi egy valamilye szempotból kitütetett kezd iráyoz képest értelmezett szög ismeretét igéyli. 1. ábra: Példa a közvetle mérésekre Ekkor a közvetle távolságmérés mellett közvetle szögmérést is kell végezi (1. ábra). Az 1.1 ábrá ϕ a közvetle szögmérés eredméye, d a közvetle távolságmérés eredméye. A közvetle mérések eredméyekét a térképe megkapjuk a C pot elyét. Ha a térképezést egy egységes sík derékszög koordiátaredszerbe végezzük, a kezd iráy a koordiátaredszer x tegelyével páruzamos egyees. Ez esetbe térképezed a δ AC iráyszög. A δ AC iráyszöget közvetleül em mérjük, de az adott δ AB iráyszög AB iráy alapjá a δ AC = δ AB + ϕ (1.1) függvéy szerit számítató. Ekkor δ AC értéke közvetett mérés eredméye. Végezetjük a térképezést a derékszög koordiáták, vagy az A potoz viszoyított koordiátakülöbségek alapjá. Ekkor a koordiátakülöbségek tekitet k a közvetett mérés eredméyeiek, vagyis az 1. ábra alapjá: y = d x = d AB AB si δ cosδ AB AB. (1.) l a δ AB kife- Természetese, a folyamat megfordítató, vagyis pld. az (1.) összefüggésekb jezet : y δ AB = arcta. (1.3) x
A közvetle és közvetett mérések em rögzítet k egyszer s midekorra. Külöböz mérési körülméyek között ugyaaz a mérés leet közvetle vagy közvetett is. 1.3. A mérési eredméyek szabályos és véletle ibái A mérési eredméyeket szabályos és véletle ibák terelik. 1) A szabályos ibák megatározató módo, yomo követet e atak a mérések eredméyeire. A ató téyez k leetek álladók, ill. a ely és/vagy az id függvéyébe változók, de mideképpe ismertek, ill. megismeret k. A megismerés utá a szabályos ibák figyelme kívül agyatók, többyire azzal a feltételezéssel, ogy azok icseek számottev atással a mérés eredméyére, ill. a mérés elvégzése utá korrekciókét figyelembe veet k. Ha egy vagy több, a szabályos ibát befolyásoló téyez t em ismerük, ez megamisítja a kiegyelítés eredméyét. 1.3 ábra: Gömbi szögfelesleg A jó közelítéssel gömbek tekitet Földet síkkal elyettesítjük. Vizsgáljuk meg, ogy ez a elyettesítés mekkora, eleged e kis kiterjedés földfelülete vezet figyelme kívül agyató szabályos ibáoz abból, ogy a gömbö értelmezett áromszög szögeiek összege agyobb 180 -ál, míg a síko potosa 180. Ebbe az esetbe szabályos iba a kett közötti külöbség, az ú. gömbi szögfelesleg (1.3 ábra). Legyeek α, β, γ az ABC gömbi áromszög szögei, ekkor levezetet, ogy az ε = α + β + γ 180 (1.4) gömbi szögfelesleg szögmásodpercbe az ε F " = " R ρ (1.5) összefüggésb l számítató, aol F - a gömbi áromszög felülete, R - a földgömb sugara (mitegy 6370 km), ρ pedig az 1 radiá ε kicsiységét figyelembe véve szögmásodpercekbe kifejezett értéke: ρ = 06 64,8. Az ε értéke még F = 00 km eseté is csak mitegy 1, az alsógeodéziába - a szögmér m szerek potosságával összevetve - figyelme kívül agyató. Ekkora felület mitegy 8 km sugarú körek felel meg, az elayagolás az összes alsógeodéziai mérésre kiterjed. Fels geodéziai mérések eseté viszot a gömbi szögfelesleg elayagolása szabályos ibát okoz. ) A geodéziai mérések véletle ibáira ató téyez k általába ismeretleek, számuk redkívül agy és véletleszer e, em kimutatató módo befolyásolják a mérés eredméyét.
1.4. Potosság és megbízatóság A potosság a számított vagy becsült érték és a valódi vagy ibátlaak tekitett érték kapcsolatáak szorosságát illetve eltérését mutatja. Eek egyik eleme a megismételet ség, vagyis az, ogy a megismételt mérések meyire esek közel egymásoz. Ezért ez a mérések mi ségét jelzi a véletle ibák tekitetébe. A potosságak ezt az elemét, amelyet az agol szakirodalom a precisio (szabatosság) szóval jelöl, agyomáyosa a mérési eredméyek szórásával (középibájával) jellemezetjük. Például GPS-mérések esetébe agypotosságú mérésekr l beszélük akkor, a a mért értékek kis elye csoportosulak (1.4 ábra bal oldali része). Ezzel szembe a mérések (a megatározott elyzet) alacsoy vagy kis potosságúak, a a mért értékek agy szórást mutatak (1.4 ábra jobb oldali része). 1.4 ábra: A mérések potossága a mi séget jelzi A potosság egy másik összetev je az agol szakirodalomba az accuracy (itelesség) kifejezéssel megevezett tulajdoság: aak mértéke, ogy a mérések (GPS esetébe a elyzet) meyire vaak közel a valódi értékez (elyzetez). Ez a fajta mér szám külööse aszos a szabályos ibák jellemzésére. Például az 1.5 ábrá látató mérések agyo szabatosak de ige kevéssé állak közel a valódi értékez (em itelesek). 1.5 ábra: A mérések itelessége a szabályos ibákat jelzi Ez egy emkíváatos elyzet: a mérések leetséges mi sége magas (kicsi a szórás), viszot a mérések téyleges mi sége gyege, mivel a mért értékek er se torzítottak. A geodéziai mérési gyakorlat az utólagos vizsgálat elyett a szabályos ibák el zetes kiküszöbölését részesíti el ybe, amikor mérési szabályzatokba, utasításokba el írja 1. a szabályos ibák felderítéséek módját;. a geodéziai m szerek el zetes vizsgálatát, igazítását, egy etaloal törté össze asolítását, ú. komparálását vagy itelesítését
3. a mérés küls körülméyeiek ( mérséklet, légyomás, szél, apsütés, stb.) yomo követését és atásaiak vizsgálatát; 4. fetiek figyelembevételével megfelel mérési tecológia megválasztását. A megbízatóság gyakra a durva ibák atására utal: arra, ogy a mérések meyire érzékeyek ezekre. A megbízatóság aak a mértéke, ogy a durva ibák meyire köye mutatatóak ki. Egy magas megbízatóságú mérés olya, ogy a mérések közül még viszoylag csak kismértékbe kivágó értékek is jól kisz ret ek. Fordítva, egy megbízatatla mérési eredméy olya, ogy még agymértékbe durva ibás mérések is észrevétleek maradatak. Például az 1.6 ábra olya elyzetet ábrázol, amelybe a mérési eredméyek eloszlása agy szabatosságra utal, kivéve azt, ogy va éáy agymértékbe külöböz mérési eredméy. Ezért arra következtetetük, ogy ezek kivágó értékek, amelyek a kizáratók a további feldolgozásból. 1.6 ábra: A mérések megbízatósága (durva ibás, kivágó mérések jeleléte) 1.5. A geodéziai mérési eredméyek ormális eloszlásáak okai A geodéziai mérések matematikai feldolgozásakor sokiráyú gyakorlati tapasztalattal alátámasztott elméleti megfotolások alapjá azzal a feltételezéssel élek, ogy a mérési eredméyek eloszlása ormális. A valószí ségelmélet közpoti atáreloszlás tételéb l következik, ogy a ige agyszámú függetle valószí ségi változót aduk össze, és az egyes kompoesek szóráségyzete véges, akkor összegük a ormális eloszlásoz tart, függetleül attól, ogy az egyes kompoesek milye eloszlásúak. A geodéziai, a fotogrammetriai és a távérzékelési mérések eredméyeiek kialakításába agyszámú, egymástól csak kevéssé vagy egyáltalá em függ téyez vesz részt, s ezért a mérési eredméyek ormális eloszlásáak feltételezése elméleti szempotból megalapozottak t ik. A mérések ormális eloszlását támasztja alá a téylegese elvégzett mérések ilye jelleg vizsgálatáak az eredméye is. Az egydimeziós ormális eloszlás a 1 ( u U ) ϕ( u ) = exp (1.5) π s r ségfüggvéyel jellemezet (1.7 ábra) és azt fejezi ki, ogy a függvéy maximumelye, az U érték körül ogya s r södek a mérési eredméyek. Az U érték a ormális eloszlású mérési eredméyek várató (ú. valódi) értéke a pedig a szórása. A ϕ(u) függvéy szimmetrikus az U potra.
A ϕ(u) függvéy végtele számú mérés eseté ábrázolja a mérési eredméyek gyakorisági eloszlását. A geodéziai gyakorlatba a s r ségfüggvéy em folytoos, részbe a mérési eredméyek korlátozott száma, részbe pedig amiatt, mert bizoyos érték mérési eredméyek a gyakorlatba em fordulatak el. Az i. mérési eredméy véletle ibája az 1.7 ábra: A ormális eloszlás s r ségfüggvéye = U (1.6) i u i valódi iba. A véletle mérési ibák várató értéke 0, szórása. A ϕ(u) s r ségfüggvéy tulajdoságai: 1. A görbe az abszcissza-tegely fölött elyezkedik el, mitogy a függvéy értéke semmilye érték mellett em leet sem egatív, sem zérus;. A s r ségfüggvéy értékei az u = U körül abszolút értékbe egyel pozitív és egatív értékekre egyel k; 3. Mivel az u = U elye a görbéek maximuma va, ugyaakkor a görbe aszimptotikusa tart az abszcissza-tegelyez, ezért két iflexiós potja va. Az iflexiós potokoz az u = U ( = -) és az u = U + ( = +) érték mérési eredméyek tartozak; A véletle mérési ibák tulajdoságai: 1. A véletle iba értéke az U középérték körüli t szélesség szimmetrikus itervallumba adott P( t + t ) valószí séggel esik. Aak a valószí sége, ogy a véletle iba értéke a szórás áromszorosát em aladja meg, 99,7 % ( szite teljese bizoyos ). Ez a geodéziai gyakorlat ú. 3 szabálya. 1.1. táblázat. A véletle ibák el fordulási valószí ségei ormális eloszlásál t P 1 0,687 0,9545 3 0,9973
. A pozitív és egatív el jel véletle ibák azoos valószí séggel fordulak el ; 3. Abszolút értékbe kisebb ibák el fordulási valószí sége agyobb; 4. A mérési eredméyek számáak övekedésével a véletle ibák számtai középértéke zérus felé tart: i i = 1 lim = 0 ; (1.7) 5. A véletle mérési ibákra létezik az alábbi atárérték: i i = 1 lim =. (1.8) A feti meggodolások arra az esetre voatkozak, amikor szabályos ibák icseek, ill. azok ismert értékeivel a mérési eredméyeket korrigáltuk. Eek igazolására a statisztikai ipotézisvizsgálat eszközei yújtatak támpotot, de midezzel együtt is eeze elle rizet k. 1.6. Normalitásvizsgálat A geodéziai mérések elméleti megfotolások és a gyakorlati tapasztalatok alapjá általába ormális eloszlásúak tekitet k. A mérések ormális eloszlását azoba a mérés közbe fellép szabályos, vagy esetleg durva ibák megváltoztatatják. Ezért a külöböz jelleg statisztikai vizsgálatok el tt szükséges azt megvizsgáli, ogy a feldolgozadó mérések valóba ormális eloszlásúak-e. Aak vizsgálatát, ogy valamely mita milye elosztást követ a matematikai statisztikába illeszkedésvizsgálatak evezik. A ormalitás vizsgálat így teát illeszkedésvizsgálat. A ormalitás vizsgálat grafikus és umerikus módszerekkel törtéet. A vizsgálatot midig grafikus eljárással célszer elkezdei. Ha a grafikus eljárás megyugtató eredméyel zárul, akkor a továbbiakba a mérési eredméyeket ormális eloszlásúak teet tekitei. Ha viszot a grafikus eljárás a mérések ormális eloszlását em támasztja egyértelm e alá, akkor a ormalitás vizsgálatot umerikus módszerrel is meg kell ismételi. A továbbiakba két grafikus és két umerikus eljárást ismertetük. Normalitásvizsgálat a gyakorisági és a s r ségisztogram segítségével A isztogram a ormális elosztás s r ségfüggvéyéek (araggörbe) tapasztalati adatok alapjá törté megközelitése, teát a tapasztalati s r ségfüggvéy. Szerkesztéskor em az egyes mérések értékeire, aem azok csoportjaira támaszkoduk. Legye a legkisebb mérési eredméy a, a legagyobb b. Az (a, b) itervallumba vegyük fel r-1 számú x 1, x, x r -1 osztópotot. Ezzel a számegyeest r itervallumra osztottuk. Határozzuk meg az egyes itervallumokba es mérési eredméyek számát. Legye a (x i -1, x i ) itervallumba es mérési eredméyek száma f i. Az r itervallumoz tartozó f i értékek összege megegyezik a mérések számával: r i= 1 f i =. (1.9)
Derékszög koordiáta-redszer vízszites tegelyére rakjuk lel az x i osztópotokat, az (x i -1, x i ) itervallumok fölé rajzoljuk téglalapokat, amelyek f i magasságúak. Az így kapott ábra a gyakorisági isztogram. Ha az f értékek elyett g i. = f i / magasságú téglalapokat rajzoluk, akkor a s r ség isztogramot (más elevezéssel relatív gyakorisági isztogramot) kapuk. Hisztogram szerkesztéskor az r értéket 5-13 között szokás választai. Ha a mérések száma több száz, akkor eél több számú itervallumot is fel szoktak vei. Az x i osztópotokat leet leg kerek értékbe választják meg. Ha a s r ség isztogramot felrajzoltuk megézetjük, ogy a isztogram eléggé szimmetrikus-e és asolít-e alakja a araggörbe alakjáoz. Potosabb képet kapuk, a a megfelel ormális eloszlás s r ségfüggvéyét rárajzoljuk a s r ség isztogramra. Eez szükséges a mitaközép és tapasztalati szórás ismerete. Ezeket a meyiségeket az alábbi módo leet kiszámítai. 1. Az a várató érték becslésére szolgáló statisztika a mitaelemek számtai közepe, a mitaközép: ξ 1 + ξ +... + a = ξ. (1.10). A szóráségyzetet illetve a szórást a korrigált tapasztalati (empirikus) szóráségyzettel, illetve tapasztalati (empirikus) szórással becsületjük: ( ξ1 a) + ( ξ a) +... + ( ξ a) 1 = = ( i 1 1 i= 1 = ξ a). (1.11) Ezutá a vízszites tegelyre fel kell raki a mitaközép értékét, s ett l számítva szimmetrikusa midkét iráyba a tapasztalati szórás többszöröseit, azaz az a, a ± 0,5, a ±, a ± 1,5, a ±, a ± 3, abszcissza értékeket. Eze abszcissza-potokba függ leges iráyba a k vetkez ordiátákat kell felméri. x: y: a 0,40 a ± 0,5 0,35 a ± 0,4 a ± 1,5 0,13 a ± 0,05 a ± 3 0,004 aol az (x i -1, x i ) itervallum osszát jelöli.
A felrakott ordiáta értékekbe szerepl álladók az elméleti s r ségfüggvéy (1. Melléklet) alapjá megatározott értékei a megfelel potokba. A 11 potot összekötve a araggörbe közelít képét kapjuk. Ha a araggörbe és a isztogram között ics agy eltérés, akkor a mérési eredméyek ormális eloszlásúak tekitet k. Ha a isztogram és a araggörbe közötti eltérés agy azaz a mérési eredméyek ormális eloszlása irát kétség merül fel akkor a vizsgálatot umerikus módszerrel meg kell ismételi. Ez az eljárás mivel az eltérés számszer jellemzése általába em szokásos csak els dleges tájékozódásra alkalmas. 1. példa Egy Te-B1 teodolit iráyzási megbízatóságáak megatározása Eek érdekébe 50-szer megiráyoztuk ugyaazt a potjelet. Az = 50 mérési eredméy további feldolgozása el tt szükséges megvizsgáli, ogy a mérési eredméyek ormális eloszlást követek-e. A mérési eredméyek 0 0 59,6-67,7 között mozogtak. A isztogram szerkesztéséez ezért az osztópotokat 59, 60,... 68 értékbe vettük fel. Az egyes itervallumokba es mérési eredméyeket megszámoltuk, s ezek alapjá állítottuk össze az 1. táblázatot. 1.. táblázat. Normalitásvizsgálat s r ségi isztogram megatározásával Itervallum (x i -1, x i ) Gyakoriság Relatív gyakoriság f i g i. = f i / 59,1-60,0 1 0,0 60,1-61,0 4 0,08 61,1-6,0 5 0,10 6,1-63.0 8 0,16 63,1-64,0 10 0,0 64,1-65,0 9 0,18 65,1-66,0 7 0,14 66,1-67,0 4 0,08 67,1-68,0 0,04 50 1,00 A gyakorisági isztogramot az 1.8 ábra, a s r ség isztogramot az 1.9 ábra mutatja. A mitaközép és az eredeti mérési eredméyekb l a tapasztalati szórás a korábba bemutatott módo kiszámítva a következ érték ek adódik: a = 64,18 = 1,94. A araggörbe rárajzolásáoz szükséges értékek:
1.8 ábra: Gyakorisági isztogram az 1. táblázat adataival 1.9 ábra: S r ségi isztogram az 1. táblázat adataival x: y: 64,18 0,06 64,18±0,97 0,180 64,18±l,94 0,14 64,18+,91 0,067 64,18±3,88 0,06 64,18±5,8 0,00 A isztogramok alakjából illetve a s r ség isztogram és a araggörbe illeszkedéséb a mérési eredméyek ormális eloszlására következtetetük. l