5. A SZILÁRDSÁGTAN 2D FELADATAI

Hasonló dokumentumok
5. modul: Szilárdságtani Állapotok lecke: A feszültségi állapot

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése

6. SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK

12. Laboratóriumi gyakorlat MÉRÉSEK FELDOLGOZÁSA

1. RUGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMAK

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

5. SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK

Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x.

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

I nyílt intervallum, ( ) egyenletet közönséges (elsõrendû explicit) differenciálegyenletnek nevezzük. Az

A felépítés elvi alapjait az ÁSF és Reissner-Mindlin-féle lemezhajlítási elmélet alkotja. pontjának elmozdulás koordinátái,

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

Az állandósult áramlás leírása során levezettük az ágegyenlet általános alakját:

Mezőszimuláció végeselem-módszerrel házi feladat HANGSZÓRÓ LENGŐTEKERCSÉRE HATÓ ERŐ SZÁMÍTÁSA

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE

Automatikus fedélzeti irányítórendszerek előadás Bauer Péter / 2.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim2x

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL

A szelepre ható érintkezési erő meghatározása

2. Koordináta-transzformációk

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy,

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja:, z x iy x

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA. A pontrendszert olyan tömegpontok alkotják, amelyek nem függetlenek egymástól, közöttük kölcsönhatás van (belső erők).

Robotok irányítása. főiskolai jegyzet javított változat. írta: Tukora Balázs

4. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár)

7. Térbeli feladatok megoldása izoparametrikus elemekkel

FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA I. Laboratóriumi gyakorlat elméleti útmutató

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

4. A VÉGESELEM MÓDSZER ELMOZDULÁS MODELLJE

12. Kétváltozós függvények

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Kettős és többes integrálok

A hőmérsékleti sugárzás

A lᔗ卧 ᔗ卧 s l ok l pj h f él om s k s és, v g m s s v l ᔗ卧kö p lés g ol ol g om f l, m l síkm s és g képsíko k ll vég h j s l ok s v l. A m g o s vo l

Mintavételes rendszerek szabályozása Irányítástechnika II. PE MIK VI BSc 1

10. TERMOMECHANIKAI FELADATOK VÉGESELEM MEGOLDÁSA

2. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)

Szervomotor sebességszabályozása

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Szabó Tamás egy. doc., Triesz Péter egy. ts.

Mágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás

TARTALMAZÓ TECHNIKAI RENDSZEREK DINAMIKAI MODELLEZÉSE

KÖZÖS UTASÍTÁSA. A BELÜGYMINISZTÉRIUM I. ÉS IV. FŐCSOPORTFŐNÖKÉNEK 004. számú. Budapest, évi március hó 1-én BELÜGYMINISZTÉRIUM

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

Kényszereknek alávetett rendszerek

6. A végeselem közelítés pontosságának javítása Fokszám növelés (p-verziós elemek)

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok

SZABÁLYSÉRTÉSI IRATOK ÜGYKEZELÉSI SZABÁLYZATA


LEGYEN MÁS A SZENVEDÉLYED!

Aktív lengéscsillapítás. Másodfokú lengrendszer tesztelése.

1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk.

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0


Feladatok megoldással

1. Testmodellezés Drótvázmodell. Testmodellezés 1

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

D r.u J J A n d r i s ő r n a g y, f ő i s k o l a i a d ju n k t u s A G O N D O L A T T O L A M E G V A L Ó S U L A S IG, A V A G Y. I I I.

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A projekt keretében elkészült tananyagok:

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok

108. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, jú li us 30., csütörtök TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1125 Ft. Oldal

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Egzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI

3.5. Rácsos szerkezet vizsgálata húzott-nyomott rúdelemekkel:

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE

KOD: B , egyébként

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

Néhány pontban a függvény értéke: x f (x)

Rácsrezgések.

E F O P

Méréselmélet: 5. előadás,

(arcsin x) (arccos x) ( x

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

Többváltozós függvények Riemann integrálja

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

FIZIKAI KÉMIA III FÉNY. szerda 10:00-11:30 Általános és Fizikai Kémiai Tanszék, szemináriumi terem. fehér fénynyaláb

TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor. 3. Lineáris háromszög elem

Budapest Főváros VIII. kerület Józsefvárosi Önkormányzat Képviselő-testületének 46/2009.(XII.21.) sz. önkormányzati rendelete

SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS. m n=0 ca n = lim c m

Alt. Tenor. Bass 1,2. Organ S.1,2 B.1,2. Org. 74 Andantino. Trumpet in C ad lib. Sopran 1,2. "Az üdvözítõt régenten, mint megígérte az Isten"

4. Izoparametrikus elemcsalád

Külső konzulens: Maza Gábor /E-ON Dél-dunántúli Áramhálózati Zrt./

g o ú j n é t s z s 1. s Életvezetés

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

A szilárdságtani rúdelmélethez

Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő

Átírás:

5 A SZILÁDSÁGAN D FELADAAI A slárdságta (rugalasságta) kétdós vag kétértű (D) fladata köréb háro fladatcsoportot sokás sorol: - a sík alakváltoás fladatokat (SA) - a általáosított síkfsültség állapot fladatat (ÁSF) és - a forgásstrkus vag tglstrkus fladatokat (FSZ) 5 A fladatok értlés 5 A sík alakváltoás fladat (SA) Dfícó: sík alakváltoásról bsélük ha a vsgált tstk va g ktütttt síkja alll párhuaos vala sík alakváltoása aoos és a síkok távolsága s váltok P u b P u A ábrá látható stb a alakváltoás a síkkal párhuaos síkokba aoos A alakváltoás sorá a -al párhuaos síkok távolsága váltok Ebb a stb a gés tst alakváltoása g sík (pl a sík) alakváltoásával jllhtő Il alakváltoás általába ola tstkél fordul lő ahol a b ért a tst több értéh képst ag Például vastag falú cső alagút stb A l srktk chaka odllj a lgagobb értr rőlgs gség vastagságú tst A u u v w loduláső koordátá: u u v v w A ttsőlgs P pot odul l rába és a síkkal párhuaos lodulása függk a pot hlkoordátájától A alakváltoás állapot: u v w A u v A fsültség állapot (a általáos Hook-törvéből): F E E E 67

A alakváltoás és fsültség állapot s háro gástól függtl koordátával jllhtő és d koordáta csak a és függvé A alakváltoás állapot függtl jllő: A fsültség állapot függtl jllő: 5 Általáosított sík-fsültség fladat (ÁSF) Elvés: általáosított sík-fsültség fladat tárcsa fladat saját síkjába trhlt l fladata árcsa: ola tst alk gk ért légs ksbb t a ásk kttő értlhtő köépsík és a trhlés vastagság té vtt rdőj a köépsíkba sk b köépsík Kduló fltétlésk: - b << a tst ás jllő értél - a köépflült a köépflült sík - a külső trhlésb csk ráú rők a síkkal párhuaos rők rdőj a síkba sk - a b flültk trhltlk A fsültségkr voatkoó fltétlésk: b - A flültk trhltlk b - Ha b kcs akkor csak a flültk ha a több hl s - A a hlkoordáta páros függvé - A a hlkoordáta páratla függvé b A vastagságra voatkotatott átlagos fsültségk bvtés: Átlagos fsültség tor: F ahol d b d b d b b b b d b d b d b b b b Mchaka odll: a tstt (tárcsát) a köépflültévl hlttsítjük és a chaka jllőkt (a vastagság té képtt átlagértékkt) a köépsíkho kötjük 68

Aagtörvé a átlagos ségkr (általáos Hook-törvé): E E E Ola általáos alakváltoása jllőkt kapuk alk sté csak a hlkoordáták függvé: b b Átlagos alakváltoás jllők: d b b A d b b Átlagos lodulások (a köépsík potjaak lodulása): Például: d u u v u v u v u ud b b v vd b b w d w w wd b b f f A fsültség és alakváltoás állapot tt s háro gástól függtl koordátával jllhtő alk csak függvé A alakváltoás állapot függtl jllő: A fsültség állapot függtl jllő: 5 Forgásstrkus fladat (FSZ) Elvés: forgásstrkus fladat tglstrkus fladat Dfícó: forgásstrkus vag ás sóval tglstrkus gotrájú és trhlésű tstk fladata 69

A forgásstrkus alakú alkatrésk a gépéstb gakra lőfordulak (pl: strgálás) A ábrá q a térfogat trhlés sűrűségvktora p a flült trhlés sűrűségvktora és f a voalt trhlés sűrűségvktora A dfícóból kövtkő s a tst gotrája (alakja) s a tst trhlés függ a koordátától A chaka ségk függk a koordátától Koordáta rdsr: (HK görbvoalú koordáta-rdsr!) Eloduláső: u u v A tst potja a rdá síkba odulak l u u v v p w p q q f f P rdátst P P Alakváltoás állapot alakváltoás tor: u v u u A u v Fsültség állapot (általáos Hook törvéből): F E E E 7 E A alakváltoás és a fsültség állapot ég-ég gástól függtl koordátával jllhtő A alakváltoás állapot függtl jllő:

A fsültség állapot függtl jllő: 5 A D fladatok köös jllő - Mdháro fladatba d chaka ség két hlkoordátától függ - Mdháro fladatba két gástól függtl loduláső va: u u v v SA u u v v ÁSF u u v v FSZ - Két függtl skalárs lodulásőből a tst d chaka jllőj (alakváltoás és fsültség állapot) lőállítható 55 A D fladatok külöböőség - A vsgált tstkb fladattípustól függő ás és ás chaka (alakváltoás fsültség) állapot alakul k - A általáos Hook törvéből fladattól függő külöböő aaggltk adódak 5 A oparatrkus kölítés (trpolácó) Dfícó: oparatrkusak aokat a kölítéskt vük alkél a l gotrájáak (alakjáak) lírására és a l blül a loduláső kölítésér ugaaokat a függvékt hasáljuk A l gotrájáak lírása/gadása - oparatrkus lképés Eg görbékkl határolt égoldalú síktartoát g két gség oldalhossúságú égtr képük l A gk tartoá d P potjáho kölcsöös gértlű hoárdljük a ásk tartoá d potját P A hoárdlésk oda-vssa űköd kll Lképés: S S S A P( ) ( ) S lképés h h - a tartoá határát gadó S potok (csoópotok) sáa - a S pot hlkoordátá h - a alakfüggvék kölítő függvék A alakfüggvék lőállítása: A A A Kövtlé: a lképést gadó függvékapcsolatak a S A potokra s űköd kll 7

ha j Eért: h j j ha j Ebből a tulajdoságból kdulva a alakfüggvék rghatárohatók A lképés gfordíthatósága drválások: f Lg: adott srt függvé Állítsuk lő a f függvé lltv srt parcáls drváltjat: f f f f f f f f f f J Jacob-fél függvé átr A lképés kölcsöös gértlű (gfordítható vags oda-vssa űködk) ha J vrtálható A vrtálhatóság fltétl: dt J A vr Jacob átr (a urkus lőállításho sükségs alakba): J dt J A l lfajuló (a lképés kölcsöös gértlű) ha: - a tartoá alakja kov (ég a ábra bal oldalá látható határst s ggdtt) - kvadratkus (ásodfokú) lél a páros sorsáú potok a oldal köépső haradába sk a) Nég csoópotú (lárs) égsögl Alakfüggvék / Approácós függvék: (Md alakfüggvé tartala g ásodfokú tagot s) Carl Gustav Jacob Jacob (8-85) ét atatkus 7

h h h h h h h h b) Nolc csoópotú (égts/kvadratkus) égsögl 6 7 8 5 7 6 5 8 Alakfüggvék/Approácós függvék: (Md alakfüggvé tartala lgalább g haradfokú tagot) h h6 h8 h h h h 5 h7 h h h h 5 7 h h h6 h 8 7

c) Hárosög alakú lk lőállítása égsöglkből dgrácóval Előfordulhat hog a vsgált tst (tartoá) fdhtő l jól égsöglkkl Sükség lht hárosög alakú lk alkalaására Dgrácó: a égsögl sarokpotjaak gbjtésévl (g oldal hossáak ullára sugorításával) hárosög lt állítuk lő Kövtké: ódosul fogak a alakfüggvék - Háro csoópotú (lárs) hárosögl Lképés: Dgrácó: A dgrácóval lőállított lárs hárosögl alakfüggvé: h h h h h h h - Hat csoópotú (kvadratkus) hárosögl A kvadratkus égsögl alakfüggvé: h 57 h 68 Dgrácó: 7

5 8 6 7 6 5 A dgrácóval lőállított kvadratkus hárosög alakú l alakfüggvé: h h 5 h h6 h h h h h h h h h h h h h 5 7 ahol h 8 6 8 A loduláső otrópájáak btosításáho (ahho hog a sorsáoást ttsőlgs sarokpotba lkdhssük) va sükség a 5 potokba a alakfüggvék korrkcójára 5 Itrpolácós ljárások Itrpolácó: adott (dskrét) potokba vtt függvéértékkr (és drváltakra) llskdő függvé flírása alk sgítségévl a adott potok köött függvéértékkt lht gbcsül A lggakrabba alkalaott trpolácós ljárásokat tktjük át 5 A Lagrag-fél trpolácó Isrjük a Eg ola a f függvét kölítő f függvé hlttsítés értékt a p hlk p f f f függvéértékkkl gadott potoko függvét akaruk flír al átg a P f P Pp f f p f p A kölítő függvé: Ljf j p j p - aokak a potokak a sáa ahol a függvéértékk rdlkésr állak A Lagrag-fél trpolácós polook általáos alakja: L j j j p j j j j j p 75

5 A Hrt-fél trpolácó A Hrt -fél (rt) trpolácóál srjük a f lső drváltjáak hlttsítés értékt a p hlk f függvé és a f f f f p f függvé f f f p Eg ola a f függvét kölítő p függvét akaruk flír al átg a p függvéértékkl gadott potoko és kb a potokba f f f p f f f a drváltja p A kölítő függvé: Hj f j Hj f j j j A Hrt-fél trpolácós polook: H L L Mgjgésk: H p j j j j j L j j j - A rúdsrktkél Lagrag- és Hrt-fél trpolácót alkalatuk - A oparatrkus kölítésél kárólag Lagrag trpolácót alkalauk 5 A hagoáos"és a oparatrkus végslk össhasolítása A hagoáos lk jllő: - A lhatár gs voal vag sík flült - A tgrálás lvégésék gköítésér lh köttött hl koordáta-rdsrt (K-t) vsük fl - A lodulásőt a hl koordáta-rdsrb hatvásorral kölítjük- a hatvásor gütthatóak cs fka tartala - A gütthatókat kfjük a hl koordáta-rdsrb vtt csoópot paraétrkkl (a lk stjé gltrdsrt kll golda) - A l rvség átrát és a csoópot trhlésvktorát hl koordáta-rdsrb állítjuk lő (a tgrálás árt alakba ég hl koordáta-rdsrb gs/sík oldalak sté s gsrű) - A lk össkapcsolásáho a rvség átrokat és a csoópot trhlésvktorokat g globáls koordáta-rdsrb kll trasforál Célktűés: - N kllj lkét gltrdsrt golda - N kllj koordáta trasforácót lvég - Lg gsrű a tgrálás A oparatrkus lk jllő: - A lhatár lht görb voal vag görbült flült s - A l gotrájáak lírását lképéssl végük l - a lh llskdő trésts koordáta-rdsrt vsük fl Charls Hrt (8-9) fraca atatkus 76

- A lodulásőkt lkét a globáls koordáta-rsrb kölítjük - A lodulásők kölítésér a lképésél hasált függvékt alkalauk - A kölítő függvékb kövtlül a globáls koordáta-rdsrb vtt csoópot paraétrk jlk g - A tgrálást a trésts váltoók srt végük l g kocka/égt tartoára - A tgrálást árt alakba ha urkusa végük l 55 Lárs és kvadratkus végslk D (SA ÁSF FSZ) fladatok goldására a) Sík (SA ÁSF) lk: Lárs lk: Kvadratkus lk: 6 7 8 5 8 6 5 6 b) Forgásstrkus (gűrű) lk: Lárs lk: Kvadratkus lk: 5 6 8 7 7 6 8 5 8 5 5 6 6 6 77

Gűrűlkél a csoópotot sokás csoókörk s v c) A gotra lírása: Sík-alakváltoás (SA) általáosított sík-fsültség állapot (ÁSF): Forgásstrkus (tglstrkus) (FSZ) fladat: d) A loduláső: h h h h SA ÁSF: u( ) u( ) v( ) FSZ: u( ) u( ) v( ) u h u - A loduláső kölítés: v h v A lodulásőt ugaaokkal a függvékkl kölítjük t a gotrát A kölítés átr alakba: A l approácós átra: A u A q A l csoópot/csoókör lodulásvktora: u - a csoópot / ráú lodulása v - a csoópot / ráú lodulása h h h h h h q u v u v u v - A ooto kovrgca krtérua (a tljsség fltétl): A lodulásők tartalaa kll g tljs lárs poloot: u a a a v b b b ahol Ebből a lodulásőből sáított csoópot (csoókör) lodulások: u u a a a v v b b b Ekt bhlttsítv a loduláső oparatrkus kölítéséb: u h u a h a h a h hát a v h v b h b h b h h alak/approácós függvékk k kll légít a alább fltétlt s: 78

) A l alakváltoás jllő: SA ÁSF: éslts kírva: h 79 D u D A q B u h h h v u v h h h h h h u v FSZ: éslts kírva: u h h h v D u D A q B h h h u v h h h u u v v h h h h u h h h h h v A B átrok lőállításáál a a probléa hog a h függvék aokak a / váltoókak a függvé ak srt drvál kll f) A Jacob-fél függvéátr bvtés: Lg f f f Állítsuk lő a f függvé és váltoók srt drváltja köött kapcsolatot: Mátr alakba: J a Jacob-fél átr f f f f f f f f f J f f f J

A Jacob-fél átr ksáítása (lőállítása): h h SA ÁSF: J h h 8 h h FSZ: J h h A alakváltoás jllők ksáításáho a h függvék / és / srt drváltjat kll lőállíta (a vr Jacob átrra va sükség): SA ÁSF: h h h J h h dt J h FSZ: h h h J h h dt J h Látható hog a vr Jacob átrot s lő tudjuk állíta a függvék srtéb g) A l fsültség: SA ÁSF: éslts kírva: A aagálladók átráak l: SA: c E G C c c c c c c E G lltv G ÁSF: c E G FSZ: éslts kírva: A aagálladók átráak l: c E G c E G C c c c c c c c c c c c E G c E c G c E E G

h) A l / K-b vtt rvség átra: K B C B dv V A l térfogat: SA: dv dd dt J dd ÁSF: dv bdd bdt J dd FSZ: dv dd dt J dd A lőő háro sort általáosa írva: dv c dd A l / K-b vtt rvség átrtáak ksáítása: K B C B c dd A tgrácós tartoá alakja égt! A tgradus boolultsága att urkus tgrálást alkalauk: j - tgrácós potok (talppotok) sáa - a tgrácós potok hlkoordátá j w w - tgrácós súltéők j ) A l / K-b vtt trhlés vktora: - A térfogato gosló trhlésből: K w w j B j C B j c j ahol V f A q dv A q c dd q Nurkus tgrálás: f w w j A j q j c j q j Példa: a forgásstrkus tst tgl körül forgása A térfogat trhlés sűrűségvktora: q ahol - a aag tögsűrűség - a tst (alkatrés) sögsbsség A forgásból sáraó csoópot trhlésvktor: - A flült gosló trhlésből: f w wj A j j dt J q j j p k 8

A A approácós átrot lokalál kll arra a oldalra ahol a A oldal té d csak a váltoótól függ: A A q u h u u A q j 6 v h v q k 6 p trhlés hat A lokalált approácós átr: A alakfüggvék: h h j hk h hj hk A h hj h k j k hj h j k j k hk Csoópot trhlésvktor a oldal té gosló trhlésből: A l flült: p ahol p A f A p da p p vag p p SA: d d da ds d d d ÁSF: d d da bds b d d d FSZ: d d da ds d d d A l ívhoss: ds dr d d d d d d d d ds d d d Általáosa: ds c d O r ds 8

A csoópot trhlésvktor ksáítása: 56 Nurkus tgrálás p f A p c d w A p c A f függvé tgrálja urkusa kölítőlg össg alakjába állítható lő A össg d tagja g tgrálás súltéő és g függvéérték sorata b f f d w f a hba f a a b h f b a) A Nwto-Cots (kots) forulák w - a jlű tgrácós potho tartoó súltéő - a jlű tgrácós pot hlkoordátája Fladat: A w és értékk ghatároása Vgük fl a tgrácós potokat a tgrácós tartoáo gástól glő távolságra: b a Hlttsítsük a f függvét g Lagrag-trpolácóval lőállított függvél: f f L f f - a függvé hlttsítés érték a hl a b h A Lagrag-fél trpolácós polook: L b b Hlttsítsük b a kölítő függvét: b a f d L f d a b f d L d f a Átalakítások: a b a f d b a c f A Nwto-Cots-fél tgrálás gütthatók (tgrálás súltéők) a ft két össfüggésből a f téők gütthatóak össvtéséből adódak: ogr Cots (68-76) agol atatkus 8

c c c c c 6 6 6 7 7 9 9 9 9 9 b a f 5 IV b a f 7 VI b a f A sté ugaakkora a hba t -él és 5 sté s ugaakkora a hba t -él ért a 5 forulákat sokták hasál Spcáls stk: rapé forula (sabál) : f b a f f Spso b a (spso) forula: f f f f 6 b a b a rapé sabál Spso sabál f f b a f f f b a b) A Gauss-kvadratúrák A tgrálás potokat gástól glő távolságra ha optáls távolságra vssük fl Ettől a tgrálás potosságáak javulását várjuk A kölítő függvé a lőő stb: f L f Itt a hlkt s srtlk tktjük (A lőő stb a hlk srtk voltak) Vgük fl poloot göktéős alakba: P E a polo a hl P értékt vs fl Vgük fl a kölítő függvét tt a alább alakba: f L f P Itt g ola kölítő poloot vttük fl a potra alk rdj b b b j A lőő godolatt alapjá: f d L d f j Pd a a j a w Optálás fltétl: a ásodk sua tűjö l b k Pd k a optáls tgrálás potok k hoas Spso (7-76) agol atatkus 8

A w tgrálás súlok függk a ab trvallu agságától Ha a és b akkor a Gauss-fél tgrálás potok és tgrálás gütthatók: w 577569 7759669 5555555556 8888888889 Mgjgésk: - A tgrálás potú Gauss forula lgfljbb -d fokú polog bárólag adja g a tgrál potos értékét - Aoos sáú tgrálás pot sté a Gauss-forula potosabb rdét solgáltat t a Nwto- Cots - Javasolt tgrálás foksáok D fladatokál: Csoópotok sáa Itgrálás foksáa 8 6 57 Kgésítő gjgésk D fladatokho a) Prfltétlk fglbvétl D fladatokál Csuklós gfogás g potba u v a jlű csoópotba koctrált táastórő lép fl F F Csuklós gfogás több gás lltt potba u v A loduláső a pr: u h u u v h v v Ncsak a csoópotokba ha a csoópotok köött prsakas d potjába ulla ls a lodulás A l gtáastás a prgörb rv gfogását rdé E a valóságba rtká fordul lő ért a gtáastás ód krüldő Görgős gfogás g potba v a potbl koctrált táastórők csak koordátája ls F Görgős gtáastás gs lévő több gás lltt csoópotba v v h v v A pr gs arad 85

b) Lárs fladatok trhlés st Lárs probléák sté a gs trhléskh tartoó goldások (slárdság állapotok) suprpoálhatók Lárs fladat: pl lárs rugalasság fladat Ha ugaarra a alkatrésr (aoos végsl hálóat sté) külöböő trhlésk hatak akkor a alább gltrdsrkt kapjuk: Kq f Kq f Kq f Elvés: f f f trhlés stk Átrdés: K q q q f f f Mgoldás: q q q K f f f Lárs fladatokál g prografutásba gsrr több trhlés st s ksáítható A f trhlés stk ttsőlgs c f c f c f lárs kobácójáho tartoó goldás (suprpoícó): q cq cq c q ahol c c c skalárs gütthatók c) Optáls fsültségsáítás kvadratkus oparatrkus lkél A kölítés jllg: A lodulások ásodfokú polook A fsültségk lárs polook (drválás) A drválás kövtktéb a fsültségk g agságrddl agobb hbával trhltk t a lodulások Célktűés: ola fsültség értékk ghatároása alk potossága a lodulások potosságával aoos agságrdű A goldás godolatt: A lodulásőt kétfélképp kölítjük: tljs ásodfokú és tljs haradfokú poloal Krssük aokat a potokat ahol a kétfél köíltésből sáraó fsültségk ggk Ek a potok a -s Gauss kvadratúra tgrácós potja I j II k IV I III II 86

A I II III és IV Gauss tgrácós potokba sáított fsültségk hbájáak agságrdj ola tha haradfokú kölítést alkalatuk vola Kvadratkus oparatrkus lkél a (csoópot) lodulások és a -s Gauss tgrácós potokba sáított fsültségk potossága aoos agságrdű 58 glstrkus gotrájú tglstrkus trhlésű tstk fladata A gotra forgásstrkus A trhlésk cs ráú koordátája d függht a -től Flült trhlés: érfogat trhlés: p( ) p p p q q p A trhlést srt trgootrkus sorba fjtjük a -től való függést külö válastjuk: Flült trhlés: p p cos p p cos p( r ) érfogat trhlés: q q cos q q cos A loduláső koordátá: A -től való függést külöválastjuk: u u v u u cos v v cos A -től való függés lválastásával a fladatot darab tglstrkus trhlésű fladatra vttük vssa A lodulásők apltúdóak oparatrkus kölítés: u h u v h v 6 8 59 Példák példa: Négsög l csoópot trhlésvktoráak lőállítása - Lárs l (ÁSF) Adott: a b c q q áll b a l vastagság ért c q Fladat: a csoópot trhlésvktor ghatároása Erdő rő: F q V q acb a 87

a a Lképés: ac c J dt J c A térfogat trhlésből sáraó csoópot trhlésvktor: f f f f f q ac F f q h d d b A lárs approácó a álladó trhlést glts ostja sét a csoópotokra - Kvadratkus l (ÁSF) 7 6 5 Adott: a b c q q áll b a l vastagság ért c 8 q Fladat: a csoópot trhlésvktor ghatároása f f f f8 q A alakfüggvé tgrálja: h dd 57 68 ac dt J F F Erdő rő (llőrés): f F f abc f q h d d abc F q ha 5 7 abc F q ha =68 A gosló rőrdsrt a csoópotokba hlttsítő rők a rdt trhléssl statkalag gértékűk (ugaat a oaték trt hoák létr) példa: D lárs lképés Jacob dtrása a 5 5 Lképés Vsgáljuk g hog ég csoópotú lárs l sté kölcsöös gértlű- a lképés a alább stkb: a) Ha háro csoópot g gs va b) Ha a l a ábrá látható kokáv alakú A lképés alakfüggvé: h h 88

A a) st vsgálata: háro csoópot g gsr sk h h 5 A gotra lképés: h h 5 A kjlölt űvltkt lvégv: A lképés Jacob átra: 8 8 8 8 J 8 8 9 9 9 dt J 6 6 6 A Jacob átr dtrása: A lképés akkor lfajuló ha dt J E at jlt hog a lképés a bal oldal ábra g potjába a jlű csoópotba lfajuló A b) st vsgálata: kokáv l alak A gotra lképés: h h A kjlölt űvltkt lvégv: A lképés Jacob átra: J dt J A lképés akkor lfajuló ha dt J E at jlt hog a lképés a sraffoott tartoáo lfajuló Mgjgés: A végsl flostásba l lk srplhtk rt bb a stb hbás sáítás rdékt kapuk 89

példa: D fladat végsl goldása Adott: a furatos tárcsa gotrája aaga trhlés Fladat: g lhtségs végsl odll lőállítása A tgl a gotra a trhlés és a gtáastás spotjából s stratgl Eg lhtségs végsl flostás: 5 6 8 8 7 7 9 5 6 9 A srkt rvség átra: Példa éhá blokk flépítésér a l rvség átrokból: K K K 7 7 7 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 5 7 8 s K K K 55 57 58 K K K 6 7 9 6 7 9 6 7 8 9 66 67 69 A srkt csoópot trhlésvktora: f f 9 f Példa éhá blokk flépítésér a l csoópot trhlésvktorokból: f f f f f Prfltétl: Stra: v v6 v9 v5 v6 v9 Bfogás: u v u u u u5 A odll lhtségs foítása: a 5 csoópotokba a prfltétlk hltt ráú rugók lhlés 9