UPESTI MŰSZKI ÉS GZSÁGTUOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEÉSMÉRNÖKI KR VSÚTI JÁRMŰVEK TNSZÉK HJTÁSTEHNIK TNSEGÉLET a gépészmérnöki szak hallgatói számára r. Szabó ndrás egyetemi docens UPEST 5
HJTÁSTEHNIK tantárgy célja: Megismertetni a hallgatókat a járművek és gépek hajtásánál alkalmazható alapmegoldásokkal, a különböző hajtásrendszerek kinematikai, dinamikai és energetikai sajátosságaival, továbbá a hajtásrendszerekkel kapcsolatos gépcsoport együttműködési (vezérlési- és szabályozási) problémákkal.. járművek hajtásrendszereinek áttekintő elemzése. hajtásrendszerek csoportosítása, energia átalakítás az energiaforrástól a hajtott gépig. z erőgépek jelleggörbéi, a hajtásrendszer feladatai, a teljesítmény átvitel jellemzői.. Mechanizmusok a hajtásrendszerekben. Szabadságfok, mozgásegyenletek, erőtörvények, kényszeregyenletek. Kinematikai lánc és szerkezeti képlet.. Mechanizmusok helyzetének és mozgásának elemzése. Koordináta transzformációk. Nyitott és zárt kinematikai láncok sebesség viszonyai. sebességi állapot. 4. mechanikus erőátvitel jellegzetes mechanizmusainak (egyenesbe vezetők, karánkapcsolatok, rudazatos hajtások) kinematikai és erőhatás folyamatai. 5. Fogaskerekes mechanizmusok, hajtóművek - bolygóművek (elemi bolygómű, összetett bolygóművek, differenciálművek, tengelyhajtások). 6. mechanikus hajtásrendszer, fokozatkiosztás, jelleggörbe transzformáció. Jellegzetes szerkezeti kialakítások, sebességváltók, irányváltók,.tengelykapcsolók. 7. hidraulikus hajtásrendszerek működési elvei, hidrodinamikus és hidrosztatikus hajtásrendszerek. hidrodinamikus hajtásrendszerek szerkezeti felépítése, nyomatékváltó és tengelykapcsoló áramlástani folyamatai, az üzemi jelleggörbéi. 8. Hidrodinamikus hajtóművek, mechanikus- és hidraulikus elhangolású többfokozatú sebességváltók. Együttműködése a hajtó erőgéppel, jelleggörbe transzformáció. 9. Hidrosztatikus szivattyúk és hidromotorok szerkezeti felépítése és üzemi jellemzői, jelleggörbéi, körfolyamatok, nyomatékváltó és tengelykapcsoló, szabályozás. Propulziós hajtásrendszerek működési elve. Energiaátviteli viszonyok, hatásfokok. Légcsavarok és hajócsavarok szerkezeti kialakításai, vezérelhető lapátozások. Tolósugaras hajtásrendszerek működési elve, tolósugaras gázturbinás hajtóművek.. villamos erőátviteli rendszerek működési elve, csoportosítása. Egyenáramú- és váltakozó áramú rendszerek gépegységei. villamos gépek karakterisztikái. z erőgép és a generátor, a generátor és a vontatómotor együttműködése.. villamos gépek működésével kapcsolatos vezérlési és szabályozási problémák. kimenő hajtónyomaték (hajtóerő) karakterisztikáinak a terhelőnyomaték (terhelőerő) karakterisztikákkal való illesztése, az együttműködés sajátosságai.. Kvázi stacionárius üzemállapotok hajtásrendszerekben, a terhelés-állapotok előfordulási valószínűsége. rugalmas hajtásrendszer, mint dinamikai rendszer. Jellegzetes gerjesztő hatások: be- és kimenőoldali ill. parametrikus gerjesztések. 4. igitális szimuláció és optimalizálás hajtásrendszerek dinamikus igénybevételeinek csökkentésére. Lineáris és nemlineáris hajtásdinamikai modellek állapottér módszeren alapuló vizsgálata a sztochasztikus terhelési viszonyok figyelembe vételével.
TRTLOMJEGYZÉK I. EVEZETÉS... II. HJTÁSTEHNIK - HJTÁSRENSZEREK ÁLTLÁNOS JELLEMZŐI... hajtástechnika célja, főbb területei:... II.. Hajtásrendszerek áttekintése... Hajtásrendszerek általános felépítése... II.. Hajtásrendszerek energetikai tulajdonságai - csoportosítás terhelhetőség szerint... Túlterhelhető erőgépek, hajtásrendszerek:... Nem túlterhelhető erőgépek, hajtásrendszerek:... 4 II.. Erőgépek jelleggörbéi... 5 II. 4. Jelleggörbék stacionárius és instacionárius esetben... 5 Stacionárius eset, dω/dt =... 6 Instacionárius eset, dω/dt... 6 Periodikusan változó szögsebesség esetén... 7 Vezérlési pozíció váltás ill. terhelés változás, mint instacioner folyamat... 8 II. 5. z erőátvitel általános jellemzői... 8 z ideális vonóerő görbe... 8 z erőátvitel jellemző mennyiségei... 9 z erőátvitellel szemben támasztott követelmények... 9 vezérléssel szemben támasztott követelmények:... 9 III. MEHNIZMUSOK HJTÁSRENSZEREKEN... III.. Mechanizmusok... mechanizmus feladata... Mechanizmusok csoportosítása további szempontok szerint... III.. Kényszer - kényszerek... kényszerek legfontosabb fajtái... Szabadságfok, kényszerek szabadságfoka... Mechanizmusok dinamikai jellemzése... III.. Kinematikai lánc, és szerkezeti képlet... 4 Nyitott kinematikai lánc... 5 Zárt kinematikai lánc... 5 Egy- és többláncú mechanizmusok... 5 szerkezeti képlet felírásának szabályai... 6 kinematikai lánc szabadságfoka - nyitott kinematikai lánc... 7 Zárt kinematikai lánc szabadságfoka... 7 Speciális kialakítások hatása a szabadságfokok számára... 8 III. 4. Mechanizmusok helyzetének és mozgásának elemzése... Sebességek és gyorsulások...
sebesség... gyorsulás... 4 Általános, nyitott kinematikai lánc sebességállapota... 5 Általános, zárt kinematikai lánc sebességállapota... 7 Szerkesztő eljárások... 8 III. 5. Hajtásrendszerek jellegzetes mechanizmusai... 8 Forgattyús mechanizmus... 8 Kardánkapcsolat... szögelfordulások közötti kapcsolat... szögsebességek közötti kapcsolat... III. 6. Fogaskerekes hajtások - bolygóművek... 4 Elemi bolygómű... 6 Egyszerű bolygómű - egyszabadságfokú bolygómű... 7 Nyomatéki viszonyok az elemi bolygóműben... 9 Nyomatéki viszonyok az egyszerű bolygóműben... 4 III. 7. Járműhajtásrendszerek jellegzetes bolygóműves mechanizmusai... 4 Homlokfogaskerekes tengelyhajtómű... 4 Marokcsapágyas tengelyhajtás... 4 Kúpkerekes tengelyhajtás... 4 ifferenciálmű rugalmas nyomatéktámmal... 4 III. 8. Rudazatos hajtás... 45 Vakforgattyús rudazatos hajtás... 46 rudazatos hajtás tömegkiegyenlítése... 47 IROLOMJEGYZÉK... 48
I. EVEZETÉS tantárgy a ME Közlekedésmérnöki Karán a gépészmérnöki szakot választó hallgatók számára kötelező tantárgy. tantárgy célja megismertetni a hallgatókkal a járművek és mobil gépek hajtásánál alkalmazható hajtástechnikai alapmegoldásokat, feltárni a különböző hajtásrendszerek kinematikai-, dinamikai- és energetikai sajátosságait, valamint a hajtásrendszerekkel kapcsolatos gépcsoport-együttműködési (vezérlési, szabályozási) problémákat, függetlenül attól hogy a későbbiekben autógépész, hajógépész, repülőgépész, vasútgépész, vagy gépesítési ill. gyártás-javítás szakirányon végez majd tanulmányokat. "" c. tantárgy tananyagának kialakításakor arra törekedtünk, hogy ne csupán a hajtáselemek egyedi tárgyalására kerüljön sor, hanem ezen elemek hajtásrendszerekben elfoglalt helyét és szerepét is domborítsuk ki - röviden: előnyben kell részesíteni a rendszerszemléletű tárgyalásmódot. Ez azt jelenti, hogy a hallgatóság a hajtásrendszerek tanulmányozásakor nem csupán egymással összekapcsolt rendszerelemek alkotta aggregátot ismer meg, hanem a rendszerszemlélet következtében az elemek szerves kapcsolatából létrejövő új objektumot, a hajtásrendszert, mint erő- és mozgás (nyomaték- és forgás) átviteli rendszert tanulmányozza. Ez a tárgyalásmód hangsúlyosan kidomborítja a hajtásrendszerek időben lejátszódó dinamikus jelenségeinek fontosságát, mivel e jelenségek figyelembe vétele alapvető tulajdonsága a korszerű méretezési módszereknek (élettartamra ill. kifáradásra történő méretezés).
II. HJTÁSTEHNIK - HJTÁSRENSZEREK ÁLTLÁNOS JELLEMZŐI hajtástechnika célja, főbb területei: - járművek és gépek hajtásával kapcsolatos alapismeretek elsajátítása; - hajtásrendszerek dinamikai és energetikai sajátosságainak megismerése; - hajtásrendszerekbe épített gépek együttműködésének tanulmányozása; - vezérlési és szabályozási problémák analízise: Jármű hajtásrendszerek feladata: mozgatóerő, toló- ill. fékezőerő generálása. - Közvetlen erőgenerálás: tolósugaras hajtóművek; - Közvetett erőgenerálás: kerékhajtás, propelleres hajtás. II.. Hajtásrendszerek áttekintése Hajtásrendszerek általános felépítése Üzemanyag természeti energia Erőgép P m P "Hasznos Erőátvitel, m Hajtott gép, munka" Hajtómű, Közlőmű Munkagép - szén - pakura - kőolaj - földgáz - nap, szél - stb. Mechanikai teljesítmény előállítása - gőzgép - gőzturbina - vízturbina - gázturbina - belsőégésű motor - villanymotor Kivétel: gázturbinás, tolósugaras hajtás Mechanikai teljesítmény átalakítása - mechanikus - hidraulikus - villamos Mech. munka felhasználása Társadalmi igény kielégítése - munkagépek - szállítóberendezések - anyagmegmunkáló gépek - Járművek: -lapátkerék - propeller - járműkerék
II.. Hajtásrendszerek energetikai tulajdonságai - csoportosítás terhelhetőség szerint Túlterhelhető erőgépek, hajtásrendszerek: alapfeltétel: belső (külső) energia tároló jelenléte Gőzhajtás, gőzvontatás: u t k( ) u t t( ) Szén Pakura Kazán Gőztér Tolattyú Gőzdugattyú P d Rudazat Hajtott kerekek ERŐGÉP P k áll. Energia tároló ERŐÁTV. MUNKG. VONTTÓJÁRMŰ P > P d k t< gőztér, mint energia tároló: - Folyamatos feltöltés (kazán) - Változó intenzitású, szakaszos ürítés (gőzdugattyú) gőztérben tárolt, munkavégzésre alkalmas gőz mennyiségének csökkenése véges ideig fedezi a P d - P k teljesítmény különbség áthidalásához szükséges energiát. Vezérlési beavatkozási helyek: - u k (t) : a kazán "vezérlése" (fűtés intenzitása); - u t (t) : a tolattyú, mint vezérlő egység (a gőzbevezetés helyének és idejének megh.) Villamos hajtás: } További járművek, fogyasztók a hálózaton Szén Pakura ue( t ) "Energia tároló" Erőmű Hálozat P H áll. u t t( ) um( t ) Transz- Vontató- Fogasker. Hajtott formátor, átalakító motor hajtómű. kerék P ERŐGÉP vm ERŐÁTV. MUNKG. kku töltés kkumu- látor- P H >> P vm VONTTÓJÁRMŰ kkumulátoros üzem: az akkumulátor, mint energia tároló: - Szakaszos feltöltés (hálózatról) - Változó intenzitású, szakaszos/folyamatos ürítés
Hálózati üzem: a hálózat, mint "energia tároló": P H» P vm : hálózat P H teljesítménye jóval nagyobb egy-egy jármű P vm teljesítményénél, és a hálózat egyszerre több fogyasztót (köztük járműveket) lát el energiával. teljesítmény igény növekedés esetén a hálózati feszültség lokálisan csökken, ezáltal a "többi fogyasztó" teljesítmény felvétele is csökken, és ebből van "fedezet" a megnövekedett teljesítmény-igényre Vezérlési beavatkozási helyek: - u e (t) : az erőműi villamosenergia előállítás vezérlése; - u t (t) : a transzformátor ill. áramátalakító egység vezérlése (pl. feszültség beállítás); - u m (t) : a vontatómotorok vezérlése (pl. söntölés). Nem túlterhelhető erőgépek, hajtásrendszerek: jellegzetesség: nincs energia tároló elsőégésű motoros hajtásrendszerek: um( t ) u t sv( ) Üzemanyag (benzin, gázolaj) elsőégésű motor P mn Sebességváltó P h Hajtott kerekek ERŐGÉP ERŐÁTVITEL MUNKG. VONTTÓJÁRMŰ P mn > P h belsőégésű motor P mn névleges teljesítményénél nagyobb teljesítményt nem tud leadni, és nincs energia tároló, mely a többlet teljesítmény igény átmenetileg fedezze. Vezérlési beavatkozási helyek: - u m (t) : motor vezérlése (töltés mértéke, fordulatszám nagysága); - u sv (t) : a sebességváltó vezérlése (pl. sebességi fokozat). 4
II.. Erőgépek jelleggörbéi Gázturbina Otto motor M P M T g P M P M ε P Vezérlés: u ~ T g gázhőmérséklet ízel motor n n ü Vezérlés: u ~ ε töltés, gázpedál állás n M P füstölési határ M P ε regulátor ág M P füstölési határ M P regulátor ág M P füstölési határ M ε P regulátor ág n névl Vezérlés: u ~ ε töltés, gázpedál állás n n v n v n névl Vezérlés: u ~ n v regulálási fordulatszám n n v n névl Vezérlés: u ~ P (ε,n v ) teljesítmény szint Megjegyzés: z Otto és dízel motoroknál járműindítási probléma: a motor jelleggörbéje nem tartalmazza az n = indítási pontot! II. 4. Jelleggörbék stacionárius és instacionárius esetben Forgó gépek esetén a jelleggörbe az n M = M(n) vagy M = M(ω) nyomaték-fordulatszám/szögsebesség ill. a P = P(n) vagy P = P(ω) teljesítmény-fordulatszám/szögsebesség függvényeket jelenti M M x M(n) n x M x = M(n x ) n,ω 5
Stacionárius eset, dω/dt = Jármű esetében a különböző vontatási teljesítmények beállíthatóságához szükséges az erőgép vezérelhetősége, szabályozhatósága. M M x M x M x M x4 M x5 M(n, ) n x u u u u u 4 M(n, u u ) 5 5 M xi = M(n x,u i ) i=,...,5 n,ω Jelölje u a vezérlési jellemzőt, ezzel a stacionárius jelleggörbék az M = M(n,u) vagy M = M(ω,u) kétváltozós függvényekké válnak és jelleggörbe sereget alkotnak jármű vezérlése az u = u(t) vezérlő-függvénnyel történik, mely lehet - Folytonos változó (pl. gázpedál állás) - iszkrét változó (pl. véges számú telj. pozíció) Instacionárius eset, dω/dt = ω Időben változó folyamatok: a.) változó sebességű üzem (gyorsítások, fékezések); b.) terhelés változása (pályaellenállás változás: emelkedőre, lejtőre jutás); c.) a járművezérlés változtatása (hirtelen teljesítmény pozíció váltás, gázadás); d.) periodikusan változó hajtó- ill. terhelő nyomaték. stacionárius és az instacionárius nyomatékok eltérésének okai: - a gépekben indukálódó hajtónyomaték ill. nyomaték igény eltér a stacionárius esetben tapasztaltaktól, mert a gépek egyensúlyi állapota (pl. hőmérséklete) még nem alakult ki; - a forgó részek szögsebességének megváltoztatásához szükséges nyomaték csökkenti ill. növeli az összekötő tengelyen átvitelre kerülő nyomatékot. Instacionárius esetben az erőgép leadott nyomatékaként, ill. a munkagép által felvett nyomatékként a két gépet összekötő tengelyen átvitt nyomatékot értjük (M). M hs, M hi : az erőgépben indukálódó stacionárius ill. M hi instacionárius nyomaték M fs, M fi : a munkagépben felhasználódó stacionárius ill. instacionárius nyomaték; θ e : az erőgép forgó tömegeinek tehetetlenségi nyomatéka; θ m : a munkagép forgó tömegeinek tehetetlenségi nyomatéka; M M fi θ e θ m &ω 6
θ = θ e + θ m : a gépcsoport eredő tehetetlenségi nyomatéka. tengelyek rugalmas deformációját elhanyagolva így: M hi - M fi = θ dω/dt = θ ω M hi - M fi = ( θ e + θ m ) ω = θ e ω + θ m ω M hi - θ e ω = M = M fi + θ m ω Ilymódon a gép által instacionárius esetben a tengelyen leadott ill. felvett nyomaték, a vezérelhetőséget is szem előtt tartva M i (ω,u,ω ) háromváltozós függvénnyel jellemezhető. Egy kiválasztott u vezérlési pozíció esetén az M i (ω,ω ) kétváltozós függvény írja le a gép instacionárius jellegfelületét. Erőgép instacionárius jellegfelülete M M( ω, ω. u = áll. ) instac.jellegfel. stac.jg.fel. M hs( ω) ω Munkagép instacionárius jellegfelülete M u = áll. instac.jellegfel. M( ω, ω. ) stac.jg.fel. M fs ( ω) ω ω x M ω x M M ω. z ω. M = M ( ω ) M = hs ( ω ) M ( ω, ω& ) θ ω& hs x hi x z e z x M ω. z ω. M = M M ( ω ) = ( ω, ω& ) + θ ω& M ( ω ) fi x z f z fs x fs x vezérlési pozíció változásával a jellegfelületek jellegfelület sereget képeznek Periodikusan változó szögsebesség esetén ω = f(ω) : fázisgörbe jellemzi a periodikus (forgó)mozgást. két gép együttműködése az erőgép és a munkagép instacionárius jellegfelület seregeinek metszésvonalai mentén. Egy adott vezérlési pozícióesetén például az erőgép jellegfelületén szemléltetve: 7
M M( ω, ω. u = áll. ) instac.jellegfel. M hs( ω) ω M M hs( ω) ω. > ω. u = áll. ω. ω. ω min ω max ω periodikus nyomaték-változás a stacionárius jelleggörbe síkjában is szemléltethető. Vezérlési pozíció váltás ill. terhelés változás, mint instacioner folyamat M rugalmas tengely M ( ω, ) hs u M hs( ω, u ) ω x ω ω Pozíció váltás ~ θeω. ~θmω. ~ θmω. ~ θeω. merev tengely ω M fs rugalmas tengely M ( ω, u ) hs M ( ω) M fs( ω) ω x ω ω Terhelés változás ~θmω. ~θeω ~θeω. ~θmω. merev tengely ω II. 5. z erőátvitel általános jellemzői z ideális vonóerő görbe a.) Nem túlterhelhető hajtásrendszer esetén: Kiindulás: P m névl erőgép (motor) teljesítmény beépítése a járműbe; él: Ezen teljesítmény minél nagyobb arányú megjelenítése vonó-(toló)-erőként pl. a hajtott kerekeken. Ideális vonóerő görbe: határoló görbéi: - Maximális sebesség értéke; - Maximális vonóerő mértéke (méretezési korlát, tapadási határ); - P m névl = áll. teljesítmény hiperbolája. 8
F z F z max F z F z max Túlterhelési tartomány P m = áll. P m = áll. v max v v t min v max a.) Nem túlterhelhető hajtásrendszer b.) Túlterhelhető hajtásrendszer b.) Túlterhelhető hajtásrendszer esetén: Megjelenik a túlterhelési tartomány, ahol F z v > P m = áll. v t min : legkisebb tartós sebesség, ahol már F z v P m = áll. z erőátvitel jellemző mennyiségei v Üzemanyag Erőgép P Erőátvitel, P Hajtott "gép", P m névl Hajtómű kerék P k def. Teljesítmény-kihasználási tényező: α= P P m névl def. P P P Teljesítmény-átviteli tényező: ϕ = = = αη P P P m névl m névl def. Erőátviteli hatásfok: η= P P z erőátvitellel szemben támasztott követelmények Járműhajtás esetén: - a motor és a hajtott egység (kerék) szétválaszthatósága (motor indításához, a jármű kifuttatásához, vontatásához); - a motor beépített teljesítményének jó kihasználása ( ϕ := max.); - részteljesítmények beállíthatósága (a járműsebesség szabályozásához); - a jármű megindíthatósága (nagy indító vonóerő); - a járműben való elhelyezhetőség (méret és súlykorlátok). vezérléssel szemben támasztott követelmények: - a teljes és részteljesítmények megvalósítása jó hatásfokú üzemben; - az indító vonóerő szabályozható legyen; - kedvezőtlen üzemállapotok elkerülése (pl. füstölési határ); - a biztonsági rendszerek és a vezérlő-szabályozó rendszer összhangja. 9
III. MEHNIZMUSOK HJTÁSRENSZEREKEN III.. Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: gép mechanikus elven működő részei efiníció szerűen: mechanizmus: kényszerekkel (kinematikai párokkal) egymáshoz kapcsolt, egymáshoz képest mozgó, vagy mozgatható merev testek rendszere. merev testek a mechanizmus tagjai. Egy kiválasztott tag az ÁLLVÁNY (ehhez képest vizsgáljuk a mechanizmust). z állványhoz rögzített koordináta-rendszer inercia-rendszer legyen. mechanizmus feladata Mechanikus elemek segítségével mozgást és/vagy erőhatást eljuttatni egyik helyről a másikra. a.) lényeg a mozgás átvitele: mozgató-mechanizmusok (bütykös vezérlő rendszerek, robotkarok mozgatása); b.) lényeg az erőhatás átvitele: erőátviteli mechanizmusok (forgattyús hajtómű, fogaskerekes hajtóművek, sebességváltók). mechanizmusokkal kapcsolatos témakörök: - szerkezeti tulajdonságok elemzése - általános törvényszerűségek megállapítása; - mechanikai és dinamikai tulajdonságok elemzése - mozgások és erőhatások feltárása (kinematikai és dinamikai kérdések); - mechanizmusok tervezése - előírt mozgásfolyamat megvalósítása (szelepvezérlő bütykös mechanizmus, tömegkiegyenlítés). Mechanizmusok csoportosítása további szempontok szerint.) Tulajdonságok ill. típus szerint: - térbeli mechanizmusok; - síkbeli mechanizmusok; - gömbi mechanizmusok; - centrois mechanizmusok; - stb..) mechanizmusban szereplő jellegzetes kényszerek típusa szerint: - gömbcsuklós mechanizmusok; - csuklós mechanizmusok; - bütykös mechanizmusok; - fogaskerekes mechanizmusok; - stb.
III.. Kényszer - kényszerek Egy test kényszer alatt áll, ill. mozgása kényszermozgás, ha lehetséges 6 koordinátája nem vehet fel tetszőleges értéket, hanem közöttük valamilyen kapcsolat van. koordináták közötti kapcsolat kényszeregyenletekkel a.) f(q,q,q,q 4,q 5,q 6 ) =, vagy b.) f(q,q,q,q 4,q 5,q 6,t) = alakban írható fel. mennyiben a koordináták közötti kapcsolat az a.) kényszeregyenletnek megfelelően nem függ az időtől, akkor a kényszer u.n. PSSZÍV kényszer. mennyiben a koordináták közötti kapcsolat az b.) kényszeregyenletnek megfelelően függ az időtől is, akkor a kényszer u.n. KTÍV kényszer. kényszeregyenletekben az időtől való függés sok esetben valamely i-edik koordinátára vonatkozóan egy q = q(t) időfüggvénnyel jellemezhető. Ez esetben HJTÁS-ról beszélünk. Egy passzív kényszer és egy hajtás ennek megfelelően egy aktív kényszert eredményez: Passzív kényszer + Hajtás = ktív kényszer kényszer, mint fogalom megvalósulása a kényszer, mint szerkezeti elem. kényszerben (mint szerkezeti elemben) közvetlen fizikai kapcsolat jön létre a mechanizmus két tagja (két merev test) között. Ez a közvetlen kapcsolat - érintkezés - lehet: - felület menti érintkezés; - vonalmenti érintkezés; - pontszerű érintkezés. kényszer által összekapcsolt két testet kinematikai párnak is nevezzük. kényszerek legfontosabb fajtái kényszerek relatív mozgást ill. szögelfordulást tesznek lehetővé ill. gátolnak meg. Jelölje a 6 lehetséges koordináta közül a relatív elmozdulást x, y, és z, a relatív szögelfordulást ϕ x, ϕ y és ϕ z. Néhány gyakori kényszer jellemzői így: a.) gömbcsukló: x = y = z = ; ϕ x, ϕ y és ϕ z szabadon megadható. b.) csukló: x = y = z = ; ϕ x = ϕ y = ; ϕ z szabadon megadható. c.) csúszka: y = z = ; ϕ x = ϕ y = ϕ z = ; x szabadon megadható. x
d.) csavarorsó: y = z = ; ϕ y = ϕ z = ; és x = c ϕ x x vagy ϕ x szabadon megadható. ϕ x x Szabadságfok, kényszerek szabadságfoka Egy test, vagy mechanizmus esetében: test (mechanizmus) helyzetét egyértelműen meghatározó, egymástól független (szabad) koordináták száma. Egy kényszer esetében: kapcsolódó testek (tagok) egymáshoz viszonyított helyzetét egyértelműen meghatározó, egymástól független (szabad) koordináták száma. Geometriai szabadságfok - a kényszerek, mint passzív kényszerek szabadságfoka - jele: γ (jelenti egyben a rendszer ill. kényszer rendszámát is) Kinematikai szabadságfok - a kényszerek, mint aktív kényszerek szabadságfoka - jele: σ Kötöttségi fok - kötött, ill. valamely koordinátával függvénykapcsolatban álló koordináták száma. jele: κ kötöttségi fok és a szabadságfok egymást kiegészítő jellemzők, összegük mindig a lehetséges maximális szabadságfokot ill. kötöttségi fokot adja. Egy kényszer esetében ez 6, így: a geometriai kötöttségi fok: κ g = 6 - γ a kinematikai kötöttségi fok: κ s = 6 - σ kötöttségi fok megegyezik a felírható kényszeregyenletek számával. Mechanizmusok dinamikai jellemzése dinamikai jellemzés során a mozgás és az azt létrehozó erőhatások közötti kapcsolatot keressük. Felírható egyenletek: Egyenletek száma: Ismeretlenek száma:. Mozgásegyenletek fm( qqqf,&,&&,, t) = m = n 6 n 6 + ε' = m + ε' q: a mozgás-koordináták m=n 6 dimenziós vektora, F: a mozgásegyenletekben szereplő külső és belső erőhatások (erők és nyomatékok) ε' dimenziós vektora, n: a mechanizmust alkotó tagok száma, t: az idő. Erőtörvények f ( qqf,&,, e t ) = ε - ε: az állapotfüggő belső erőhatások és a megadott külső erőhatások összes száma.. Kényszeregyenletek f ( qqq,&,&&,) t = κ - k megoldhatóság feltétele, hogy az egyenletek száma és az ismeretlenek száma megegyezzen, azaz:
m + ε + κ = m + ε', amiből ε + κ = ε', vagyis ε' - ε = κ. z ismeretlen erőhatások ε' - ε száma tehát meg kell egyezzen a kényszeregyenletek számával. Ezen ismeretlen erőhatásokat ugyanis éppen a kényszerek pontjaiban fellépő erőhatások, melyeknek nagyságát az határozza meg, hogy éppen akkoráknak kell lenniük, hogy a kényszeregyenletekben leírt feltételek teljesülését biztosítsák. Például: Egy hajtott kerék.. Mozgásegyenletek (csak az x irányú elmozdulással és a ϕ szögelfordulással számolva) F = mx M h && FR = θϕ&&. Erőtörvények m = mozgásegyenlet; x, ϕ : mozgás - koordináta ismeretlen + = 4 F, M h : ε ' = erőrőhatás M = M(t) : megadott hajtónyomaték-idő függvény; további megoldás attól függ, hogy az érintkezés az pontban milyen tulajdonságú: a.) Tiszta gördülés (Feltétel: F µ F t ) Nincs több erőtörvény, így: ε =. Kényszeregyenlet tiszta gördülésnek megfelelően: R ϕ = x κ = Ilymódon a 4 ismeretlenhez az m = mozgásegyenlettel, az ε = erőtörvénnyel és a κ = kényszeregyenlettel m + ε + κ = + + = 4 egyenlet áll rendelkezésre, és a feladat megoldható. Egy lehetséges megoldási mód: kényszeregyenlet alapján: R ϕ = x R ϕ = x ϕ = x / R, amivel a. mozgásegyenletből : Mh F = θ θ ϕ && = x&& R R R. Ezt az. mozgásegyenlettel összeadva: Mh θ M R = ( m + )&& x R R, és h / m+ θ / R = x&&. &&ϕ értékét a kényszeregyenletbe, F értékét pedig valamelyik (pl. az első) mozgásegyenletbe való behelyettesítéssel kapjuk. x θ,m ϕ F t F F t µ M h
b.) súszva gördülés (Feltétel: R ϕ x ) Ebben az esetben még egy erőtörvény felírható, hiszen az pontban fellépő vízszintes erő a kerék és a talaj kapcsolatában a csúszósurlódással átvihető F = µ F t erő, mely az alátámasztási F t erő ismeretében meghatározható. Ebben az esetben tehát az erőtörvények száma ε =. Mivel erre az esetre kényszeregyenlet nem írható fel, így κ =, és a 4 ismeretlenhez az m = mozgásegyenlettel, az ε = erőtörvénnyel m + ε + κ = + + = 4 egyenlet áll rendelkezésre, és a feladat megoldható. Megjegyzés: feladat megoldása során a feltételek teljesülését minden lépésben ellenőrizni kell. Ha a kiindulási feltéttel (pl. a tiszta gördülés feltétele) nem teljesül, akkor az azt jelenti, hogy a további megoldásnál új feltételt (pl. a csúszva gördülés feltételét) kell figyelembe vennünk (a kerék megcsúszásának pillanata). Valamely (fizikai) kényszer tulajdonságának ilyen ugrásszerű megváltozását kényszerváltásnak nevezzük. III.. Kinematikai lánc, és szerkezeti képlet kinematikai láncot (mechanizmust) tagok és kényszerek összessége alkotja. Két tag mindig egy vagy több kényszeren keresztül kapcsolódik össze. tagokat jelöljük arab számokkal:,,,. Megjegyzés: a jelű tag mindig az állvány. kényszereket nagybetűkkel jelöljük:,,,. ( rajz szerinti kinematikai láncban:,, : csuklók; : csúszka) kinematikai lánc leírható a láncot alkotó tagok és kényszerek egymásutániságának jelölésével, pl. a példa esetében az állványról elindulva a betű-szám kombinációs karaktersorozattal. Mivel egy kényszer mindig két tag között teremt kapcsolatot, ezért a tagok jelölése el is maradhat. Így jutunk a szerkezeti képlethez, mely a példánkban alakú. 4
súszásmentes gördülés feltételezésével az ábra szerinti gépkocsi ugyancsak egy egyszerű (négycsuklós) mechanizmus. Szerkezeti képlete ugyancsak:. Ez egyben azt is jelenti, hogy ugyanaz a szerkezeti képlet egymástól különböző mechanizmusokat is leírhat. Nyitott kinematikai lánc z ábra szerinti ( szerkezeti képletű) mechanizmus u.n. nyílt láncú mechanizmus. nyílt láncú mechanizmus utolsó tagját (zárótagját) kerületi tagnak nevezzük. Zárt kinematikai lánc Ha az ábra szerint a nyitott kinematikai lánc kerületi tagját egy újabb () kényszerrel a mechanizmus egy korábbi tagjához kötjük (az ábra szerint az állványhoz), akkor a kinematikai lánc záródik, és mechanizmust zárt láncú mechanizmusnak nevezzük. (Szerkezeti képlete:.) kerületi tag Egy- és többláncú mechanizmusok z eddig tárgyal mechanizmusokat alkotó tagok és kényszerek egyetlen láncot alkottak, ezeket egyszerű, egyláncú mechanizmusoknak nevezzük. Ha egy egyszerű kinematikai lánc, mint kezdőlánc valamely tagjához újabb kényszerek segítségével további tagokat kötünk, akkor a mechanizmust két, egymáshoz kötődő kinematikai lánc fogja alkotni, és kétláncú mechanizmusnak nevezzük. folyamat folytatható, és az egymáshoz kapcsolódó láncok együttesen egy többláncú mechanizmust fognak alkotni. Mind a kezdőlánc, mind a hozzákötött láncok lehetnek nyílt- ill. zárt kinematikai láncok, így az elrendezések számos variációja kialakítható. Például csak a kétláncú mechanizmusokat tekintve az alábbi ábra szerinti kombinációk lehetségesek: (z ábrán az egyes kinematikai láncokat ívelt vonalak jelzik). a b c d e a) Nyitott kezdőlánchoz nyitott lánc kapcsolódik; b) Zárt kezdőlánchoz nyitott lánc kapcsolódik; c) Zárt kezdőlánchoz zárt lánc kapcsolódik; d) Nyitott kezdőlánchoz zárt lánc kapcsolódik; e) Nyitott kezdőlánchoz kerületi tagként zárt lánc kapcsolódik; 5
szerkezeti képlet felírásának szabályai - Minden kényszer jele csak egyszer fordulhat elő. - kényszerek jelei olyan sorrendben, ahogy belőlük a láncok felépíthetők. - z egymáshoz kapcsolódó láncok összekapcsolódását balra mutató nyíl ( ) jelzi. - hajtás jelöléseként a kényszer fölé lefelé mutató nyilat ( ) helyezünk (pl. ). Példa: Tekintsük az ábra szerinti, kétláncú (fenti c típusú: zárt kezdőlánchoz kapcsolódó zárt második lánc) mechanizmust. korábban már tárgyalt zárt láncú mechanizmus jelű tagjához újabb (EF) kényszerekkel hozzákapcsoltuk a 4 és 5 jelű tagokat, majd az 5 jelű tagot a G kényszerrel az állványhoz kötöttük, azaz a második láncot is zártuk. 4 F 5 G Egy lehetséges szerkezeti képlet: EFG. mechanizmus felépíthető a G kényszerből kiindulva a szerkezeti képlet szerint is, sőt lehetséges a szerkezeti képlet szerinti összeállítás is. Ha a mechanizmus mozgatása a G kényszer aktívvá tételével, azaz hajtás megadásával történik, akkor a szerkezeti képlet lehet pl. GFE GFE Mint a példából látható, ugyanaz a mechanizmus különböző alakú szerkezeti képletekkel is leírható. mechanizmusok mozgásjellemzőinek meghatározásához szükséges összefüggések felírásánál a későbbiekben segítségül hívjuk majd a szerkezeti képletet is, és látni fogjuk, hogy a különböző szerkezeti képletek alapján felírt összefüggések különböző bonyolultságú úton vezetnek el ugyanahhoz a végeredményhez. H Példa: G 5 K I Tekintsük az ábra szerinti differenciálművet, és írjuk 6 4 fel szerkezeti képletét. mechanizmus az állványon E F J kívül 6 tagból áll, melyek között a, E, G, J, K fogaskerék kapcsolatok és a,,, F, H, I csuklók, mint kényszerek teremtenek kapcsolatot. Egy lehetséges szerkezeti képlet: EF GH IJ K. szerkezeti képlet alapján tehát a differenciálmű egy 5 láncú mechanizmus. E GFE 6
kinematikai lánc szabadságfoka - nyitott kinematikai lánc Példaként tekintsük az ábra szerinti, síkbeli, már korábban is felrajzolt mechanizmust, és lépésről-lépésre vizsgáljuk a szabadság- fok alakulását. z kényszer egy csukló, mely szabadságfokkal rendelkezik, így a jelű állványhoz az egyszabadságfokú kényszerrel kapcsolt jelű tag szabadságfoka is lett, hiszen egyedül a rajz síkjára merőleges tengely körüli szöghelyzete lehet szabadon megválasztható. z jelű taghoz újabb szabadságfokú kényszerrel kapcsoljuk a jelű tagot. Ezáltal a jelű tag szabadságfoka -re adódik, hiszen könnyen belátható, hogy a -es tag végpontja a sík bármely pontjába beállítható (bizonyos határok mellett természetszerűleg). Folytatva az eljárást, és a jelű taghoz újabb szabadságfokú kényszerrel kapcsoljuk a jelű tagot, akkor ennek a tagnak a szabadságfoka már -ra adódik, ami abban nyilvánul meg, hogy azon túl, hogy ennek a tagnak a súlypontja, vagy a végpontja a sík tetszőleges pontjába beállítható (természetesen bizonyos határok között), még a szöghelyzete sem kötött. z eljárás folytatható lenne, és összefoglalóan a példa alapján megállapítható, hogy a γ, γ,..., γ N szabadságfokú kényszerekből felépített nyílt kinematikai lánc (mechanizmus) kerületi tagjának, és ezzel az egész mechanizmusnak a szabadságfoka γ = γ + γ +... + γ N, azaz a láncot alkotó kényszerek szabadságfokainak összege. Magjegyzés: szabadságfok tetszőleges szám lehet, annak ellenére, hogy például síkban egy test helyzetének megadásakor max. koordinátát tudunk elképzelni. Ebben az esetben a mechanizmus -nál nagyobb szabadságfoka azt jelzi, hogy azt a bizonyos, koordinátával megadott helyzetet a mechanizmus többféleképpen is fel tudja venni. Ugyanakkor a későbbiekben látni fogjuk, hogy a szabadságfok lehet negatív szám is, ami a test helyzetének "túlhatározottságára" utal, vagyis arra, hogy a test helyzetének meghatározását a szükségesnél több kötöttség is befolyásolja. Zárt kinematikai lánc szabadságfoka kerületi tag z előzőekben tárgyalt nyílt kinematikai láncú mechanizmushoz az ábra szerint egy újabb szabadságfokú kényszerrel (csuklóval) kapcsoljuk a 4 jelű tagot, így a nyílt láncú mechanizmusunk szabadságfoka az előzőek szerint γ = γ + γ + γ + γ = + + + = 4 4 7
lenne. Ezt követően rögzítsük mereven a 4 jelű tagot az állványhoz, és ezzel tegyük zárttá a kinematikai láncot. Ezzel a merev összekötéssel a síkbeli mechanizmusunk 4 jelű tagjának az összekötés előtti szabad mozgását megakadályoztuk, két irányú helyzetét és a síkra merőleges tengely körüli szöghelyzetét rögzítettük, megkötöttük. koordináta megkötésével szabadságfokait -al csökkentettük. zárt kinematikai láncú mechanizmus szabadságfoka tehát 4 - = -re csökkent, ami meg is felel a tapasztalatunknak, hiszen egy szöghelyzet megadásával a vázolt mechanizmus egyértelmű helyzetet vesz fel. Összefoglalva és általánosítva tehát megállapíthatjuk, hogy egy kinematikai lánc zárása együtt jár a zárás tényének megfelelő κ z számú kötöttséggel, kötöttségi fokkal. Ez a κ z kötöttség csökkenti a mechanizmus szabadságfokát, így az,,..., N kényszerekből felépülő zárt kinematikai lánc szabadságfoka a γ = γ + γ +... + γ N - κ z összefüggés szerint számítható, ahol κ z a zárás tényével együttjáró kötöttségi fok. zárással együttjáró kötöttségi fok értéke a mechanizmus típusától függően eltérő lehet: - térbeli mechanizmusnál: κ z = 6; - síkbeli mechanizmusnál: κ z = ; - gömbi mechanizmusnál: κ z = ; Speciális kialakítások hatása a szabadságfokok számára Tekintsük az ábra szerinti mechanizmust. Szerkezeti képlete és geometriai szabadságfoka: E F E F 4 γ= = ami meg is felel tapasztalatunknak, mivel a mechanizmus mozgásképtelen, befeszült. Helyezzük át azonban az F kényszert úgy, hogy az E=F távolságok azonosak legyenek. Ekkor, ha = távolság azonosságok, valamint az és E F párhuzamosságok is fennállnak, akkor a mechanizmus mozgathatóvá válik. Egy kényszer speciális elhelyezése tehát módosíthatja a kényszer szabadságfokát vagy a zárás tényének megfelelő κ z kötöttségi fokot. speciális geometriai elhelyezést ugyanis vagy úgy vesszük figyelembe, hogy az F kényszer szabadságfokát a geometriai előírások számának megfelelően -el növeljük változatlan κ z mellett, ekkor E F, γ = = E 4 F 8
vagy az F kényszer változatlan szabadságfoka mellett a zárás tényével együttjáró κ z kötöttségi fok csökkentésében érvényesítjük a speciális geometriai elhelyezésben megnyilvánuló kötöttséget, amivel E F γ = =. gyakorlatban ez utóbbi módszer alkalmazása szokásos. szabadságfokok számításánál, amennyiben a kényszerek geometriai szabadságfokait összegezzük, akkor a mechanizmus geometriai szabadságfokát, ha a kényszerek kinematikai szabadságfokát összegezzük, akkor a mechanizmus kinematikai szabadságfokát kapjuk meg. zárással együttjáró kötöttségi fok a mindkét esetben azonos. Példák: Nézzük néhány korábban már szerepelt mechanizmus szabadságfokát: E E F G 4 F γ= = 5 G H E F G H I J K G 5 K I γ= = 6 4 Itt figyelembe kellett venni, hogy a fogaskerék kapcsolatok szabadságfoka, és az utolsó, K kényszer E F J beépítésével megvalósított lánc esetében a és 6 tagokkal a 4 és 5 tagok (fogaskerekek) között azonos áttételeket kell megvalósítani a befeszülés elkerülésére. Ez, mint speciális geometria kötöttség az utolsó zárásnál κ z értékét -ról -re csökkentette. ( K kényszerrel előírt kapcsolat redundáns - egy meglévő kapcsolatot ismételten előíró - kapcsolat.) Kardánkapcsolat Gömbi mechanizmus: olyan mechanizmus, melyben csak csuklók szerepelnek, és valamennyi csukló tengelye áthalad a tér egy adott pontján. (csak forgások vannak a rendszerben, így κ z = ). Hajtást az kényszerben az jelű tag forgatásával valósítjuk meg. γ = = σ = = ϕ 9
III. 4. Mechanizmusok helyzetének és mozgásának elemzése mechanizmusok mozgásának és helyzetének elemzéséhez először is leíró koordináta-rendszereket kell választani. Általában derékszögű, jobbsodrású koordinátarendszert használunk. Globális koordináta-rendszer: z állványhoz rögzített koordináta-rendszer (általában inercia rendszer). Egységvektorai: i, j, k. Lokális (helyi) koordináta-rendszerek: a mechanizmus egyes tagjaihoz kötődnek. Jelölje az s-edik taghoz kötődő lokális koordinátarendszer egységvektorait: i s, j s, k s. Kérdés: a koordináta-rendszerek közötti kapcsolat. Tekintsük az ábra szerinti relatív hely- O i s r o O s i s zetben a globális (i, j, k ) és az s-edik taghoz kötődő lokális (i s, j s, k s ) koordináta- i h xy h xx h xz rendszereket. lokális koordináta-rendszer egységvektorait az O pontba eltolva írjuk fel őket a globális koordináta-rendszer egységvektorainak lineáris kombinációjaként. Így rendre az i s = h xx i + h xy j + h xz k, j s = h yx i + h yy j + h yz k, k s = h zx i + h zy j + h zz k felbontásokra jutunk. globális és a lokális koordináta-rendszerek egységvektorait foglaljuk össze egy-egy I = [ i j k ] T és I s = [ i s j s k s ] T matematikai oszlopvektorba, ezzel a fenti három komponensre bontás egyszerűbben az i s hxx hxy hxz i i I j j = h j s = s = hyx hyy hyz = hi k s hzx hzy hzz k k alakban írható. két koordináta-rendszer egységvektorai között tehát a h mátrix teremt kapcsolatot. z inverz kapcsolat feltárásához az előző, i s, j s, k s vektorokra vonatkozó felbontásokat rendre szorozzuk meg skalárisan az i egységvektorral, előállítva ezzel az i s, j s, k s vektorok i vektorra vonatkozó összetevőit. Így az i s i = h xx j s i = h yx k s i = h zx eredményekre jutunk, melyekkel az i vektor az i = h xx i s + h yx j s + h zx k s felbontás szerint adódik. Hasonlóképpen a j, majd a k egységvektorokkal elvégzett skaláris szorzásokkal kaphatjuk a j és k vektorokra vonatkozó k s k j s j k s j s j = h xy i s + h yy j s + h zy k s k = h xz i s + h yz j s + h zz k s
falbontásokat, melyeket összefoglalóan a I i h xx yx zx s s T = j = hxy hyy h zy j s = h j s = k h xz h h yz h h zz i k mátrixos alakban is felírhatunk, észrevéve, hogy a kiadódó transzformációs mátrix az előző h transzformáltja. korábban kapott I s = h I összefüggést balról h - inverz mátrixszal szorozva h - I s = I összefüggés adódik, melyet egybevetve a kapott I = h T I s összefüggéssel a h transzformációs mátrixra a h - = h T eredményt kapjuk, ami azt jelenti, hogy a h transzformációs mátrix ortogonális mátrix. Összefoglalóan tehát megállapíthatjuk, hogy az egyes tagokhoz kötődő lokális koordináta-rendszerek és a globális koordináta-rendszer között a h transzformációs mátrix(ok) teremt(enek) kapcsolatot. Ugyanazon térbeli vektor az egyes koordináta-rendszerekben - az adott koordinátarendszer egységvektoraihoz tartozó - eltérő skalár komponensekkel adható meg. Keressük meg a következőkben egy adott vektor különböző koordináta-rendszerekben érvényes skalár komponensei közötti kapcsolatot. Legyen c egy tetszőleges térbeli vektor, mely a jelű koordináta-rendszerben a s c = c x i + c y j + c z k összefüggés szerint írhatunk fel a koordináta-rendszer koordinátatengely irányú egységvektorainak segítségével. Ez a felbontás a c x, c x, c x skalár komponenseknek egy c_ matematikai oszlopvektorba foglalásával, és a mátrixszorzás szabályainak figyelembe vételével a c = c i k i x i + c yj + czk = = I s h T [ c c c ] j x y z c mátrixszos alakban is felírható. korábban kapott I = h T I s és h T = h - összefüggésekkel ez tovább alakítható a c = c T I = c_ T h - I s formára. kapott összefüggést összevetve a c térbeli vektornak az s jelű koordinátarendszerben lehetséges, előzőekkel analóg k T I s
c = c xs i s + c ys j s + c zs k s = i [ cxs c ys czs ] j T s = c s I s felírásával (ahol c_ s a c vektor s jelű koordináta-rendszerbeli c xs, c ys, c zs skalár koordinátáit magába foglaló matematikai oszlopvektor), eredményként a s k c = c_ T h - I s = c_ T s I s, vagyis c_ T h - = c_ T s egyenlőség adódik, melyet transzponálva (h T = h - egyenlőség ismétel alkalmazásával) c_ s = h c_. Összevetve a kapott eredményt az egységvektorokat tartalmazó I és I s matematikai vektorok között korábban kapott I s = h I összefüggéssel megállapítható, hogy a különböző koordináta-rendszerek egységvektorai (bázisvektorai) között ugyanaz a h transzformációs mátrix teremt kapcsolatot, amelyik az egyes koordináta-rendszerekben érvényes skalár koordinátákat is összekapcsolja. Példa: ρ Tekintsük az ábra szerinti két, síkbeli, és y y s j s s jelű koordináta-rendszert. Írjuk fel a h ρ y j ρ ρ ys i s x transzformációs mátrixot, és ennek alapján j s ρ s xs adjuk meg a ρ vektor skalár komponenseit ϑ is r O a jelű koordináta-rendszerben is (ρ x, sinϑ O s Első lépésben toljuk el az i s, j s vektorokat az O origóba, így könnyen belátható, hogy ρ y )! O cos ϑ ρ x i x i s = cos ϑ i + sin ϑ j és j s = -sin ϑ i + cos ϑ j alakban felírhatók, ha ϑ jelöli a két koordináta-rendszer által bezárt szöget. Így a h transzformációs mátrix cosϑ sin ϑ h =. sin ϑ cosϑ Ennek alapján a ρ vektor (ρ x, ρ y ) skalár koordinátái a jelű koordináta-rendszerben: ρ x ϑ ϑ ρ cos sin xs = ρ = h ρs =, ρ y sin ϑ cosϑ ρ ys azaz ρ x = cos ϑ ρ xs - sin ϑ ρ ys és ρ y = sin ϑ ρ xs + cos ϑ ρ ys. s
Sebességek és gyorsulások mechanizmus egyes tagjainak helyzetét, mozgását az egyes tagokhoz kötődő lokális, relatív koordináta-rendszerekben értelmezzük, adjuk meg. Ugyanakkor ezek a lokális koordináta-rendszerek általában változó sebességű moz- j s k k P s gásban vannak, így nem inercia rendszerek. r ρ Ilymódon szükségessé válik a sebességek és j gyorsulások átszámítása, transzformálása a globális és lokális rendszerek között. r o O s i s O z ábra szerint tekintsük a jelű globális (abszolút), és az s jelű lokális (relatív) koordináta- i rendszereket, és vizsgáljuk a tér P pontját. két koordináta-rendszer origóját az r o vektor köti össze, és a P pontot a relatív koordináta-rendszerben a ρ vektor, az abszolút koordináta-rendszerben az r vektor határozza meg. két vektor között a mechanikából jól ismert r = r o + ρ összefüggés van. z r O és ρ vektorok persze csak úgy összegezhetők, ha skalár koordinátájuk azonos (mondjuk az abszolút) koordináta-rendszerben adottak. ρ vektor azonban általában a relatív koordináta-rendszerbeli skalár koordinátájával adott, így a skalár koordináták között, korábbiakban megismert transzformációt alkalmaznunk kell. Jelölje r_, r_ o és ρ_ s rendre az r, r o és ρ vektoroknak az indexben jelölt ( vagy s jelű) koordináta-rendszerekben érvényes skalár koordinátáit tartalmazó matematikai vektorokat (számhármasokat). Így a fenti vektoregyenlet a skalár koordináták kapcsolatát leíró egyenlettel helyettesíthető. sebesség r_ = r_ o + h T ρ_ s Ha a P pont v sebességére vagyunk kíváncsiak, akkor az r helyvektor idő szerinti deriválásával azt meg is kaphatjuk. mechanikában tanultaknak megfelelően azonban a deriválásnál vegyük figyelembe, hogy az s jelű relatív koordináta-rendszer a jelű abszolút koordináta-rendszerhez képest ω szögsebességű forgó mozgást is végez. korábban tanultaknak megfelelően tehát v = dr / dt = ṙ o + ω ρ + ρ. = v o + ω ρ + w = v sz + w,
ahol v o az s jelű koordináta-rendszer origójának sebessége, v sz a szállítósebesség a P pontban, w = ρ pedig a P pont relatív sebessége a jelű koordináta-rendszerben. v sebességvektor koordinátáit azonban meg kell kapnunk a r_ = r_ o + h T ρ_ s koordináták közötti összefüggés idő szerinti deriválásával is. Vegyük persze figyelembe, hogy a h mátrix is az idő függvénye, így a sebességvektor koordinátáit tartalmazó v_ vektor v_ = d dt (r_ o + h T ρ_ s ) = r_ o + h T ρ_ s + h T ρ_ s = v_ o + h T ρ_ s + h T w_ s. Természetesen a v sebességvektorra kapott előző és a koordinátára kapott utóbbi öszszefüggés egyes tényezői egymásnak közvetlenül megfeleltethetők. Így pl. az utóbbi összefüggésben az utolsó tag nem más mint a w relatív sebesség jelű koordinátarendszerben érvényes skalár koordinátáit tartalmazó w_ vektor előállítása az s jelű koordináta-rendszerben érvényes w_ s koordinátáiból a korábban megismert w_ = h T w_ s transzformációs összefüggésnek megfelelően. Példa: Példaként ellenőrizzük, hogy - síkbeli rendszert tekintve, az előző példának megfelelő T adatokkal - a h ρ_ s tag valóban a ω ρ vektori szorzat skalár komponenseit adja-e! síkbeli esetnek megfelelően a szögsebesség vektor ω = ω k alakú, és fennáll a ϑ = ω t összefüggés. Tehát: és cosϑ sin ϑ T cosϑ sin ϑ T sin ϑ cosϑ h = h = sin ϑ cosϑ h& = ω sin ϑ cosϑ, cosϑ sin ϑ ϑ ϑ ρ xs sin ϑ ρ xs cosϑ ρ T sin cos ys h& ρs = ω = ω. cosϑ sin ϑ ρ ys cosϑ ρ xs sin ϑ ρ ys z ω ρ vektori szorzatot kifejtve, és figyelembe véve az előző példában kapott ρ x = cos ϑ ρ xs - sin ϑ ρ ys és ρ y = sin ϑ ρ xs + cos ϑ ρ ys összefüggéseket i ω ρ = ω = ω( ρ yi + ρ xj) = ρ ρ x j y k = ω ( sin ϑ ρ cosϑ ρ ) i + (cosϑ ρ sin ϑ ρ )j) ( xs ys xs ys eredményt kapjuk, ahol láthatóan mind az i, mind a j irányú komponensekre az előző, mátrixos felírásban szereplőkkel megegyező összefüggéseket kaptunk. gyorsulás P pont a gyorsulásvektora a v sebességvektor idő szerinti deriváltja. Természetesen a deriválásnál itt is tekintettel kell lenni a relatív koordináta-rendszer ω szögsebességére, így az 4
a = dv / dt = d dt (v o + ω ρ + w) = v. o + ε ρ + ω (ω ρ) + ω w + ẇ = = (a o + ε ρ + ω (ω ρ)) + ω w + ẇ = a sz + a c + α összefüggésre jutunk, melyben ε a koordináta rendszer szöggyorsulása, a sz a szállító-, a c a coriolis-, α pedig a relatív gyorsulás vektora a P pontban. Ha az a gyorsulásvektor skalár koordinátáit tartalmazó a_ vektort a v_ sebességvektorra kapott összefüggés deriválásával határozzuk meg, akkor az a_ = d dt (v_ o + h T ρ_ s + h T w_ s ) = v_ o + h T ρ_ s + h T ρ_ s + h T w_ s + h T w_ s = = a_ o + h T ρ_ s + h T w_ s + h T α_ s képletre jutunk, ahol az első két tag az a sz a szállítógyorsulás, a harmadik tag az a c coriolis gyorsulás, a negyedik tag pedig az α relatív gyorsulás jelű koordináta-rendszerben érvényes skalár koordinátáit adja. Általános, nyitott kinematikai lánc sebességállapota Tekintsük példaként a következő ábra szerinti mechanizmust, de az általánosság érdekében ne használjuk ki a láncban szereplő kényszerek speciális tulajdonságait. Ez alatt azt kell érteni, hogy valamennyi kényszer esetében tételezzük fel, hogy ott relatív sebességek és szögsebességek is lehetségesek. (z ábra szerint pl. a kényszer egy csúszka, melyben relatív sebesség lehetséges, az, és kényszerek pedig csuklók, melyekben relatív szögsebességek lehetségesek.) mechanizmus egy 5 tagból álló nyílt kinematikai lánc. Szerkezeti képlete:. kapcsolódási pontokat rendre az r, r, r vektorok kötik össze, a P pont pedig a 4-es taghoz kötött, a ponttól r P távolságra levő tetszőleges pont. szögsebességeket tekintve könnyen belátható, hogy bármely tagnak az állványhoz viszonyított szögsebessége előállítható a kinematikai láncban az adott tagig található egyes kényszerekben megvalósuló relatív szögsebességek összegeként, vagyis ω = ω, ω = ω + ω, ω = ω + ω + ω, ω 4 = ω + ω + ω + ω 4 írható, ahol ω i,j jelöli a j-edik tagnak az i-edik taghoz viszonyított relatív szögsebességét. Mivel ezek a relatív szögsebességek az egyes kényszerekhez kötődnek, ezért a továbbiakban az egyszerűbb jelölés érdekében a szomszédos tagok esetében az indexekben az egyes tagokra való utalás helyett a kapcsolódás helyét (a kényszer azonosítóját) fogjuk szerepeltetni, tehát az előző összefüggéseket rendre az ω = ω, ω = ω + ω, ω = ω + ω + ω, ω 4 = ω + ω + ω + ω összefüggések helyettesítik. 5 r r r r r r P 4 P
z egyes kapcsolódási pontokban különítsük el az egymással fedésben lévő, de különböző tagokhoz kötődő pontokat. Így pl. a pontban külön jelöljük az jelű taghoz kötődő pontot, és a vele pillanatnyilag fedésben lévő, de a jelű taghoz kötődő pontot. két pont egymáshoz képesti relatív sebességét a v jelöli, ami helyett elegendő röviden a v jelölés, hiszen a kényszerre való utalás magában hordozza azt az információt is, hogy az -es és -es tag közötti kapcsolatról van szó. korábban jelzett általánosság érdekében ilyen értelmű megkülönböztetést, és relatív sebességet (ill. szögsebességet) valamennyi kényszernél (csatlakozási pontnál) feltételezünk. jelű állvány, és ezzel a hozzá az pontban kötődő pont is nyugalomban van, sebessége zérus. Ugyanakkor az kényszer -es taghoz kötődő pontjának sebessége v = + v = + v = v Mivel az -es tagnak az állványhoz viszonyított szögsebességét ω = ω jelöli, a kényszernél a -es taghoz kötött pont sebessége v = v + ω r + v = v + ω r + v. Továbbmenve, ha a -es tag az állványhoz képest ω szögsebességgel forog, akkor a kényszer -as taghoz kötődő pontjának sebessége v = v + ω r + v = = v + ω r + v Helyettesítsük be a v -re az előbb kapott eredményt, és vegyük figyelembe, hogy r + r = r és ω = ω + ω, így v = v + ω r + v + (ω + ω ) r + v = = v + ω r + v + ω r + v. Folytatva az eljárást, és a -as tag állványhoz képesti ω = ω + ω + ω szögsebességét, valamint az r + r = r és r + r = r összefüggéseket figyelembe véve a kényszer pontjában a 4-es taghoz kötődő 4 pont sebességére a v 4 = v + ω r + v 4 = v + ω r + v = v + ω r + v + ω r + v + (ω + ω + ω ) r + v = = v + ω r + v + ω r + v + ω r + v. összefüggést kapjuk. Végezetül az állványhoz képest ω 4 = ω + ω + ω + ω szögsebességgel forgó 4-es taghoz az ábra szerint kötődő tetszőleges P pont sebességére az r + r P = r P, r + r P = r P és r + r P = r P jelölések segítségével a v P4 = v 4 + ω 4 r P = = v + ω r + v + ω r + v + ω r + v + (ω +ω +ω +ω ) r P = = v + ω r P + v + ω r P + v + ω r P + v + ω r P kifejezést kapjuk. Kicsit átrendezve ugyanez a 6
v P4 = v +v +v +v + ω r P + ω r P + ω r P + ω r P = v j + ω j r jp alakban is felírható. Könnyen belátható az is, hogy ha az állványhoz viszonyított abszolút szögsebességeket nem bontjuk fel a relatív szögsebességek összegeire, akkor a v P4 = v j + ω i r i j= eredményre jutunk, ahol r i az i-edik tagon a "kezdő" (belépési) pontból a "végső" (kilépési) pontba mutató vektor, példánkban rendre i =,...,4 -hez r, r, r, r P. Általánosítva Egy...N szerkezeti képletű, n tagú, nyílt láncú mechanizmus kerületi tagja valamely P pontjának az állványhoz viszonyított ω P szögsebessége ill. v P sebessége N ω P = ω j ill. v P = v j + ω j r jp, vagy j= N j= N j= 4 i= N j= j= v P = v j + ω i r i. Már itt fel kell hívni a figyelmet a kapott eredményeknek a statikában, az eredő erő és nyomaték számításánál tanultakkal való analógiájára. Ha a relatív szögsebességek ω j vektorai helyére koncentrált F j erőket, a relatív sebességek v j vektorai helyére koncentrált M j nyomatékokat gondolunk, akkor a két fenti összefüggés nem más, mint a koncentrált erők és nyomatékok P pontra számított eredőjét megadó két vektoregyenlet. Könnyű belátni, hogy amennyiben a vizsgált nyílt kinematikai lánc kezdőpontja nem a nyugalomban levő állvány, hanem egy mechanizmus valamely tagjának v sebességgel haladó és ω szögsebességgel forgó pontja, akkor ezek a kezdőértékek egyszerűen hozzáadódnak a fenti képletek szerinti szummákhoz, és az ω P = ω + ω j ill. v P = v + v j + ω j r jp, vagy v P = v + v j + ω i r i j= összefüggéseket eredményezik. N j= N j= Általános, zárt kinematikai lánc sebességállapota z előzőekben vizsgált mechanizmus 4-es tagját kössük mereven az állványhoz. Ilymódon a 4-es taghoz kötődő P pont szögsebessége és sebessége is zérus kell legyen, tehát az ω P = ω j = ill. v P = v j + ω j r jp =. j= egyenletek adódnak. Ugyanígy, ha egy zárt kinematikai lánc bármely ω szögsebességgel forgó tagjának v sebességgel haladó P pontjából kiindulunk, és a zárt kinematikai lánc,,,...,n kényszerein végighaladva visszajutunk a kiindulási P pontba, akkor j= j= j= N j= n i= n i= 7