Többes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai Témavezető: Fehér László Egyetemi docens nalízis Tanszék Készítette: Boda Lívia Matematika BSc Elemző szakirány Budapest 7

Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás Bevezetés 5. Többváltozós integrál téglán 6.. Többváltozós integrál értelmezése téglán................ 6.. Kettős integrál kiszámítása........................ 8.. Példafeladatok............................... 9. Többváltozós integrál Jordan-mérhető halmazon.. Jordan-mérték................................. Többesintegrál Jordan-mérhető halmazon.................. z integrál kiszámítása normáltartományon................ Példafeladat................................ 5. Integráltranszformáció 6.. z integráltranszformáció fogalma.................... 6.. z integráltranszformáció alkalmazása................. 9... Polárkoordináták.......................... 9... Hengerkoordináták............................ Gömbi koordináták......................... lkalmazások 6.. Területszámítás.............................. 6.. Térfogatszámítás............................. 7.. Átlagérték................................... Tömeg....................................5. Tömegközéppont..............................6. Tehetetlenségi nyomaték......................... 8 Hivatkozások

Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Fehér Lászlónak, aki precizitásával, szakértelmével és ötleteivel hozzájárult a szakdolgozatom elkészítéséhez. Emellett szeretném megköszönni szüleimnek és testvéremnek, hogy tanulmányaim során mindvégig mellettem álltak, támogattak és biztattak.

Bevezetés Mindig is sejtettem, hogy a matematika milyen lenyűgöző és sokrétű tudományág. Ez a feltételezés az egyetemi tanulmányaim alatt egyértelműen be is bizonyosodott, hiszen betekintést nyertem a matematika különböző területeibe. z évek folyamán a meglévő tudásomat sikerült egyre jobban elmélyítenem, emellett pedig napról napra újabb és újabb ismereteket szereztem. kedvenc területemmé az analízis vált, így nem is volt kérdés számomra, hogy a szakdolgozatomban valamilyen analízissel kapcsolatos témával foglalkozzak. Így esett a választásom a többváltozós függvények integrálására és a többes integrálok alkalmazásaira. Szakdolgozatomban tehát a többváltozós függvények integrálásával és a többes integrálok alkalmazásaival foglalkozok. Munkámat négy részre bontottam: z első részben értelmezem a többes integrálok fogalmát egyszerű tégla tartományon. Ezután, a második részben kiterjesztem ezt a fogalmat általánosabb tartományokra. z integráltranszformáció segítségével egyszerűbb tartományokra, könnyebben megoldható integrálási feladatokra vezetem vissza a bonyolult problémákat a harmadik részben. És végül felsorolok néhány matematikai illetve fizikai felhasználást az utolsó részben. Minden fejezetben találhatóak példafeladatok, melyek az éppen tárgyalt elmélet megértését és elsajátítását segítik elő.

. Többváltozós integrál téglán.. Többváltozós integrál értelmezése téglán Probléma: Egy lapos tetős ház tetején vastag hóréteg van, egy szélvihar hatására a felülete hullámos lett. Szeretnénk meghatározni a hóréteg súlyát. Jelölje R [a, b] [c, d] téglalap a ház alapterületét. Valamint legyenek a x < x < < x n < x n b és c y < y < < y k < y k d tetszőleges felosztásai az R téglalapnak. Jelölje R ij az R téglalap tetszőleges felbontásából származó kis téglalapot, ahol R ij [x i, x i ] [y j, y j ], i n, j k. Továbbá jelölje z f(x, y) kétváltozós függvény a hó magasságát az (x, y) R pontban. Ekkor m ij inf{f(x, y) : (x, y) R ij } jelöli az R ij kis téglalapra eső hóréteg vastagságának minimumát, és M ij sup{f(x, y) : (x, y) R ij } jelöli az ugyanezen R ij kis téglalapon lévő hóréteg vastagságának maximumát. Ekkor az R ij alapterületű test térfogatának közelítése, (V ij ) felírható a következőképpen: t(r ij ) m ij V ij t(r ij ) M ij, ahol t(r ij ) az R ij téglalap területét jelöli. Nyilván, ha az egész hóréteg térfogatát szeretnénk megkapni, akkor összegeznünk kell a kapott V ij közelítéseket. Tehát az R alapterületű test térfogatának, (V ) közelítése felírható n k V alakban. Tehát n i i j k t(r ij ) m ij V j V ij n i k t(r ij ) M ij célunk az, hogy ezt az egyenlőtlenséget egyetlen szám elégítse ki, mégpedig az általunk keresett hóréteg térfogata. j... Definíció. z R [a, b] [c, d] tégla felosztásán az R ij [x i, x i ] [y j, y j ] téglák rendszerét értjük, ahol a x < x < < x n < x n b és c y < y < < y k < y k d. z x i és y i pontokat a felosztás osztópontjainak, az R ij téglákat pedig a felosztás osztótégláinak nevezzük.... Definíció. Legyen f : R R korlátos függvény, valamint legyen m ij inf{f(x, y) : (x, y) R ij } és M ij sup{f(x, y) : (x, y) R ij } i n-re és j k-ra. z n k s F (f) t(r ij ) m ij és S F (f) i n i j k t(r ij ) M ij j

összegeket az f függvénynek az F R ij felosztásához tartozó alsó illetve felső összegének nevezzük. zokat a függvényeket fogjuk integrálhatónak nevezni, amelyekre teljesül, hogy csak egyetlen szám esik a függvény összes alsó és felső összege közé. Ez a tulajdonság teljesül minden korlátos függvény esetén. következőkben ezt fogjuk belátni.... Lemma. Legyen f : R R korlátos, és legyen az F felosztás az F felosztás finomítása. Ekkor s F (f) s F (f) és S F (f) S F (f). Bizonyítás: Először is belátjuk, hogy ha az F felosztás egyetlen új osztópont hozzávételével keletkezik F -ből, akkor s F (f) s F (f). Ha az F felosztás valamelyik R ij osztótégláját az új felosztás kettévágja, akkor az f függvény infimuma mindkét részben legalább m ij inf{f(x) : x R ij }, és így e két rész együttes adaléka az s F alsó összeghez legalább m ij t(r ij ). Ebből már egynél több osztópont hozzávételére is következik az állítás, hiszen ezeket egyenként hozzávéve F-hez, az alsó összeg minden lépésben nő vagy változatlan marad. Ezután hasonlóképpen belátjuk, hogy ha az F felosztás egyetlen új osztópont hozzávételével keletkezik F -ből, akkor S F (f) S F (f). Ha az F felosztás valamelyik R ij osztótégláját az új felosztás kettévágja, akkor az f függvény szuprémuma mindkét részben legalább M ij sup{f(x) : x R ij }, és így e két rész együttes adaléka az S F felső összeghez legfeljebb M ij t(r ij ). Hasonlóan, mint az előbb, egynél több osztópont hozzávételére is következik az állítás, hiszen ezeket egyenként hozzávéve F -hez, a felső összeg minden lépésben csökken vagy változatlan marad.... Lemma. Legyen f : R R korlátos. Ha F és F két tetszőleges felosztása [a, b]-nek, akkor s F (f) S F (f). Bizonyítás: Legyen F az F és F felosztások egyesítése, azaz legyenek F osztópontjai mindazok a pontok, amelyek F -nek vagy F -nek osztópontjai. Ekkor F finomítása F -nek és F -nek is. Figyelembe véve, hogy s F (f) S F (f) (mert m ij M ij i, j-re), az előző lemmából azt kapjuk, hogy s F (f) s F (f) S F (f) S F (f). Jelöljük F-fel az R tégla összes felosztásainak halmazát. z előző lemma szerint bármely F (f) F felosztásra az S F (f) felső összeg felső korlátja az {s F (f) : F F} halmaznak. Így e halmaz legkisebb felső korlátja, vagyis a sup F F s F (f) mennyiség nem nagyobb S F (f)-nél bármely F F-re. Más szóval sup F F s F (f) alsó korlátja az {S F : F F} halmaznak, amiből azt kapjuk, hogy sup s F (f) inf S F (f) F F F F 5

Nyilvánvaló, hogy egy I valós számra akkor és csak akkor teljesül s F (f) I S F (f) minden F felosztásra, ha sup s F (f) I inf S F (f) F F F F Ezzel beláttuk, hogy bármely korlátos f függvényre van olyan szám, amely az összes alsó és felső összeg közé esik.... Definíció. Legyen f : R R korlátos függvény. z f függvényt az R téglán integrálhatónak nevezzük, ha sup F F s F (f) inf F F S F (f). sup F F s F (f) inf F F S F (f) számot az f függvény R téglán vett integráljának nevezzük és f(x, y) dx dy - R nal jelöljük.... Definíció. Legyen f : R R korlátos függvény. sup F F s F (f) mennyiséget f alsó integráljának nevezzük és f(x, y) dx dy -nal jelöljük. R z inf F F S F (f) számot pedig f felső integráljának nevezzük és f(x, y) dx dy -nal R jelöljük. z előzőekben bevezetett jelölésekkel a következőképp írható fel az... Definíció és az...lemma:... Tétel.. Tetszőleges korlátos f : R R függvényre fennáll f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy. R R. Egy I valós számra akkor és csak akkor teljesül s F (f) I S F (f) minden F felosztásra, ha f(x, y) dx dy I f(x, y) dx dy. R R. z f akkor és csak akkor integrálható R-en, ha f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy, és ekkor R R R f(x, y) dx dy.. Kettős integrál kiszámítása R f(x, y) dx dy R f(x, y) dx dy... Tétel. Legyen T [a, b] [c, d] zárt téglalaptartomány. Ha az f(x, y) függvény folytonos T -n, akkor T d b b d f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx c a a c... Definíció. z F (x, y) függvény kétszer differenciálható, ha egyszer differenciálható és parciális deriváltjai is differenciálhatóak. 6

... Tétel (Young-tétel). Ha a kétváltozós f(x, y) függvény x f(x, y) és y f(x, y) parciális deriváltjai léteznek az (a, b) R pont egy környezetében és differenciálhatóak az (a, b) pontban, akkor xy f(a, b) yx f(a, b).... Tétel. Ha F (x, y) kétszer differenciálható és F xy f, akkor b d b ( f(x, y) dy dx F x (x, d) F x(x, c) dx ) a c a F (b, d) F (b, c) ( F (a, d) F (a, c) ).. Példafeladatok... Feladat { ha x, y Q Legyen R [, ] [, ] és f(x, y) egyébként Kérdés: integrálható-e az f(x, y) függvény az R tartományon? Megoldás: z előző tételt felhasználva, meg kell néznünk, hogy a függvény alsó integrálja illetve felső integrálja megegyezik-e az R tartományon. Első lépésként osszuk fel tetszőlegesen az R tartományt kis téglalapokra. z alsó összeg a következőképpen írható fel: s F (f) n k t(r ij ) inf { f(x, y) } i j z f függvény infimuma az F felosztás minden kis téglalapján lesz, mivel minden kis téglalapban létezik olyan x, y, amelyre x, y / Q, tehát s F (f) n k t(r ij ) i j Definíció szerint R f(x, y) dx dy sup s F (f) sup F F F F Ezután írjuk fel a felső összeget is: S F (f) n k t(r ij ) sup { f(x, y) } i j z f függvény szuprémuma az F felosztás minden kis téglalapján lesz, mivel minden kis téglalapban létezik olyan x, y, amelyre x, y Q, azaz S F (f) n k t(r ij ) i j 7 n k t(r ij ) i j

Definíció szerint f(x, y) dx dy inf S F (f) sup R F F F F z alsó integrál értéke tehát, a felső integrálé pedig, ezért f nem integrálható R-en. Egy példa olyan függvényre, amely alsó és felső integrálja megegyezik, azaz integrálható R-en:... Feladat Számítsuk ki az f(x, y) xy függvény integrálját a közelítő összegek segítségével az R [, ] [, ] tartományon, úgy hogy a tartományt négyzetekre osztjuk fel a következőképpen: x i/n és y j/n (i, j,,..., n). Megoldás: z alsó összeg a következőképpen írható fel: n n ( i s F (f) n i ) ( j n n j ) n n i i n j j n i n j n n n (i ) i inf (x,y) R ij { f(x, y) } n (j ) n (n )( (n ) + ) (n )( (n ) + ) n (n n ) n n + n n felosztást finomítva, azaz n-nel a végtelenbe tartva kapjuk a következőt: n n + n lim n n i j n n + n n lim n n n n n felső közelítő összeg pedig nem más, mint: n n ( i S F (f) n i ) ( j n n j ) n n i n j n i n j n n n i i n j j lim n n + n sup (x,y) R ij { f(x, y) } j n(n + ) n(n + ) n n (n + n ) n + n + n n Hasonlóképpen, mint az alsó összeg esetében, a felosztás finomításával kapjuk a következő eredményt: Tehát n + n + n lim n n R xy dx dy n + n + n n lim n n n n n R lim n + n + n xy dx dy dx dy Rxy 8

azaz az alsó és a felső integrál értéke megegyezik, tehát az f függvény integrálható R-en. Megjegyzés: feladat megoldásában felhasználtuk, az első n db pozitív egész szám összegére vonatkozó összefüggést: n i i n(n+)... Feladat Legyen T az alábbi tartomány: T [, ] [, ]. Határozzuk meg az f(x, y) sin (x) sin (y) függvény integrálját a T négyzeten! Megoldás: Felhasználva a sin (x) cos(x) trigonometrikus azonosságot, kapjuk a következőt: sin (x) sin (y) dx dy cos(x) cos(y) dx d y cos(y) cos(x) cos(x) cos(y) dx dy [ x x cos(y) ] sin(x) + cos(y) sin(x) dy cos(y)dy [ y sin(y) ], 69 9

. Többváltozós integrál Jordan-mérhető halmazon Eddig csak téglán értelmezett függvények integráljával foglalkoztunk, de érdemes kiterjeszteni az integrál fogalmát általános tartományokra is, hiszen legtöbbször ilyen tartományokon kell integrálnunk... Jordan-mérték Első lépésként definiáljuk a Jordan-mértéket:... Definíció. Tetszőleges R [a, b ] [a p, b p ] R p téglára t(r)-rel jelöljük a (b a ) (b p a p ) szorzatot.... Definíció. z R p halmazt korlátosak nevezzük, ha van olyan [a, b ] [a p, b p ] tégla, amely lefedi. Könnyen látható, hogy egy halmaz akkor és csak akkor korlátos, ha lefedhető egy gömbbel.... Definíció. Két halmazt egymásba nem nyúlónak nevezünk, ha nincs közös belső pontjuk.... Definíció. Ha R p korlátos, akkor külső mértéke a n i t(r i) számok halmazának alsó határa, ahol R,..., R n tetszőleges olyan téglák, melyek egyesítése lefedi -t. z halmaz külső mértékét k()-val vagy k p ()-val jelöljük...5. Definíció. z halmaz belső mértéke a n i t(r i) számok halmazának felső határa, ahol R,..., R n tetszőleges -ban fekvő és páronként nem egymásba nyúló téglák. Ha nem tartalmaz téglát, akkor a belső mértéke nulla. z halmaz belső mértékét b()-val vagy b p ()-val jelöljük...6. Definíció. korlátos R p halmazt Jordan-mérhetőnek nevezzük, ha b() k(). Ekkor Jordan-mértéke t p () t() b() k(). Ha p, akkor a Jordan-mérték helyett térfogatot, a p esetben területet, illetve a p esetben hosszúságot is mondhatunk... Többesintegrál Jordan-mérhető halmazon... Definíció. Legyen R p Jordan-mérhető. z halmaz felosztásain azokat az F {,..., n } halmazrendszereket értjük, amelyekre,... n egymásba nem nyúló, nemüres és mérhető halmazok, amelyek uniója.

Ha f : R korlátos, akkor az f függvénynek az F felosztáshoz tartozó alsó összege az s F (f) n i m i t( i ) összeg, ahol m i inf { } f(x) : x i (i,..., n). z f függvénynek az F felosztáshoz tartozó felső összege pedig az S F (f) n i M i t( i ) összeg, ahol M i sup { } f(x) : x i (i,..., n).... Definíció. Legyen R p Jordan-mérhető, és jelöljük F-fel felosztásainak halmazát. Ha f : R korlátos, akkor a sup F F s F mennyiséget f alsó integráljának nevezzük és f dx -szel jelöljük. z inf F F S F számot pedig f felső integráljának nevezzük és f dx -szel jelöljük.... Lemma. Legyen R p Jordan-mérhető és f : R korlátos. Ha F és F két tetszőleges felosztása -nak, akkor s F (f) S F (f). z előző lemmából következik, hogy f dx f dx minden korlátos f : R függvényre.... Definíció. z f függvényt integrálhatónak nevezzük az halmazon, ha f dx f dx. z f dx f dx számot az f függvény halmazon vett integráljának nevezzük és f dx -szel vagy f dx... x p -vel jelöljük. Normáltartomány... Definíció. z R halmazt normáltartománynak nevezzük, ha { (x, y) : x [a, b], f(x) y g(x) }, ahol f és g Riemann-integrálhatóak [a, b]-n, és f(x) g(x) minden x [a, b]-re.... Tétel. Ha f és g integrálhatóak [a, b]-n és f(x) g(x) minden x [a, b]-re, akkor az { (x, y) : x [a, b], f(x) y g(x) } által leírt normáltartomány mérhető és a területe: t () b g(x) f(x) dx. a Bizonyítás: dott ε > -hoz válasszunk olyan F és F felosztásokat, melyekre Ω F (f) < ε és Ω F (g) < ε. Ha F (x,... x n ) az F és F felosztások egyesítése, akkor Ω F (f) < ε és Ω F (g) < ε. Legyen m i (f), m i (g), M i (f), M i (g) az f, illetve a g függvény értékeinek infimuma, illetve szuprémuma az [x i, x i ] intervallumban. Ekkor az [x i, x i ] [m i (f), M i (g)] (i,..., n) intervallumok lefedik az halmazt, ezért: n ( k () Mi (g) m i (f) ) (x i x i ) S F (g) s f (f) < i

b < a g(x) dx + ε b a f(x) dx ε b a g(x) f(x) dx + ε Jelöljük I-vel azon i indexek halmazát, melyekre M i (f) m i (g). Ň Ekkor az [x i, x i ] [M i (f), m i (g)] (i I) intervallumok részei -nak és egymásba nem nyúlóak, tehát b (a) i I ( mi (g) M i (f) ) (x i x i ) > b a n ( mi (g) M i (f) ) (x i x i ) s F (g) S F (f) > i g(x) dx ε b a f(x) dx ε b a g(x) f(x) dx ε Mivel ε tetszőleges volt, így a k () b g(x) f(x) dx + ε-ből és a b a () b g(x) f(x) dx ε-ből következik, hogy Jordan-mérhető és a területe b g(x) a a f(x) dx... z integrál kiszámítása normáltartományon... Tétel. Legyen f függvény folytonos a T tartományon.. Ha T az a x b, g (x) y g (x) egyenlőtlenségekkel van megadva, ahol g (x) és g (x) folytonos függvények, akkor T b g (x) f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx a g (x). Ha T a c y d, h (y) x h (y) egyenlőtlenségekkel van megadva, ahol h (x) és h (x) folytonos függvények, akkor T d h (x) f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy c h (x) Ezeket az eredményeket most általánosítjuk többváltozós esetre is:... Definíció. Ha f és g integrálhatóak a B R mérhető halmazon és f(x, y) g(x, y) minden (x, y) B-re, akkor az { (x, y, z) R : (x, y) B, f(x, y) z g(x, y) } halmazt az f és g által meghatározott normáltartománynak nevezzük.... Tétel. Ha f és g integrálhatóak B-n és f(x, y) g(x, y) minden (x, y) B- re, akkor az { (x, y, z) R : (x, y) B, f(x, y) z g(x, y) } által leírt normáltartomány ( mérhető, ) és térfogata g(x, y) f(x, y) dx dy. B

.. Példafeladat... Feladat Legyen T az x + y egyenletű görbe által határolt tartomány. Számítsuk ki a T x + y dx dy integrál értékét! Megoldás: Első lépésként bontsuk fel a T tartományt: x + y ha x és y x y ha x < és y < x + y x + y ha x < és y x y ha x és y < x + y dx dy x+ x + y dy dx + x x + y dy dx T + x ] x+ [x y + y dx + x x (x + ) + (x + ) x ( x) + ( x) 8 x + x + x + dx + [ x + x + x + ] x + ( + ) + x ] x [x y + y dx x (x ( x ) + ( x ) ) dx+ (x (x ) + (x ) ) dx 8 x + x x + dx [ x + x x + x ] ( + + )

. Integráltranszformáció.. z integráltranszformáció fogalma Gyakran előfordulnak olyan problémák, amikor nem tudunk meghatározni egy adott integrált. z ilyen esetekben hasznos integráltranszformációt alkalmaznunk. z integráltranszformáció az egyváltozós függvények integrálásánál megismert helyettesítéses integrálás analógiája. Lényege, hogy egy alkalmas helyettesítéssel az integrált egyszerűbb alakra hozzuk, és így könnyebben tudjuk megoldani a problémát. Egyváltozós függvények helyettesítéses integrálására vonatkozó tételek:... Tétel. Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az I intervallumban, f értelmezve van a J g(i) intervallumon, és f-nek primitív függvénye J-n. Ekkor az (f g) g függvénynek is van primitív függvénye I-n, és f ( g(t) ) g (t) dt F ( g(t) ) + c ahol f dx F (x) + c.... Tétel. Tegyük fel, hogy g differenciálható és g integrálható az [a, b] intervallumban. Ha f folytonos g értékkészletén, azaz a g ( [a, b] ) intervallumon, akkor b a f ( g(t) ) g (t) dt g(b) g(a) f(x) dx Most általánosítjuk többváltozós esetre is:... Definíció. Legyenek és B tetszőleges halmazok és f : B egy leképezés. kkor mondjuk, hogy f injekció, ha tetszőleges a, b és f(a) f(b) esetén ab.... Tétel. Legyen G R p nyílt, és legyen g : G R p folytonosan differenciálható. Ha H mérhető, clh G és g injektív inth-ban, akkor g(h) is mérhető, és t ( g(h) ) det ( g (x) ) dx. Továbbá, ha f : g(h) R korlátos, akkor f dt H f ( g(x) ) det ( g (x) ) dx g(h) H abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek.

Megjegyzés: Szembetűnő, hogy a többváltozós esetre vonatkozó integráltranszformációs formulában a Jacobi-determináns abszolút értéke, vagyis det ( g (x) ) szerepel, míg egyváltozós esetben nem g (x), hanem g (x) van. Nézzük meg, hogy miért is szükséges az abszolút érték a többváltozós esetben: lkalmazzuk az előzőleg kimondott tételünket a p és a H [a, b] esetre. Legyen g : [a, b] R folytonosan differenciálható egy [a, b]-t tartalmazó nyílt intervallumban, és legyen g injektív (a, b)-ben. Könnyen látható, hogy ekkor g szigorúan monoton [a, b]-ben, és így g állandó előjelű. Két eset lehetséges:. Ha g nemnegatív [a, b]-ben, akkor g monoton növő, és g(h) [ g(a), g(b) ]. Ekkor a tételünkben szereplő formula a következőt adja: g(b) f dt b f ( g(x) ) g (x) dx. g(a) a. Ha g nempozitív [a, b]-ben, akkor g monoton csökkenő, és g(h) [ g(b), g(a) ]. Ekkor a formula a következőképpen néz ki: g(a) f dt b f ( g(x) ) ( g (x) ) dx g(b) a Mindkét oldal negatívját véve kapjuk, hogy: g(b) b f dt f ( g(x) ) g (x) dx g(a) a Tehát a. eset miatt szükséges a Jacobi-determináns abszolút értékét venni, mert ha nem tennénk, akkor a tételben szereplő összefüggés rossz eredményt adna. Nézzünk egy feladatot az integráltranszformáció alkalmazására:... Feladat Legyen T az a tartomány az xy-sík első síknegyedében, melyet az xy, xy 9 hiperbolák és az y x, y x egyenesek határolnak. Határozzuk meg az alábbi integrált a T tartományon: ( y + xy ) dx dy! T x Megoldás: Legyen x u v és y uv (ahol u, v > ) ( u ) g(u, v) v, uv Jacobi-mátrix: ( ) g u (u, v) v v u 5

Jacobi-mátrix determinánsa: ( ) u det v v u z integrálási határok felírása: u v + uv v u v xy u v uv u ± xy u z elején feltettük, hogy u > ezért xy u y uv y xy v y xy v y x v Oszthatunk xy-nal, hiszen xy >, mert az első síknegyedben vagyunk. Ezután négyzetgyököt vonunk mindkét oldalból. Mivel az elején feltettük, hogy v >, ezért csak a pozitív gyököt vesszük figyelembe: y x v határok: xy 9 xy u y x y x v T ( y x + ) xy dx dy (u + v) u v du dv Jacobi-mátrix determinánsánál az abszolút érték elhanyagolható, mert u, v >. ( u v + uv ) ( ) du dv v v u + u du dv [ ] ( v u + u 6 dv ) [ ] 6 v + dv ln v + v (6, 7 + ), 6

.. z integráltranszformáció alkalmazása Polárkoordináták sík origótól különböző P pontjának polárkoordinátáin az (r, ϕ) számpárt értjük, ahol r a P pont origótól vett távolságát, míg ϕ az OP félegyenesnek az x-tengely pozitív felével bezárt szögét jelöli. Mivel ϕ mértéke bármely egész többszörösével megváltoztatható, ezért minden ponthoz többféle koordinátapár adható meg. z origó polárkoordinátákkal felírva: (, ϕ), ahol ϕ tetszőleges lehet. Összefüggések: x r cos ϕ y r sin ϕ r x + y tg ϕ y x, ha x ha x, akkor ϕ vagy Integrálás polárkoordinátákkal: Jacobi-determináns: det ( r cos ϕ r r sin ϕ r r cos ϕ ϕ r sin ϕ ϕ ) ( ) cos ϕ r sin ϕ det sin ϕ r cos ϕ r cos ϕ + r sin ϕ r (cos ϕ + sin ϕ) r... Tétel. Legyen P (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) minden r, ϕ R esetén. Ha az [, ) [, ] halmaz mérhető, akkor P () is mérhető, és t ( P () ) r dr dϕ. Továbbá, ha f : P () R korlátos, akkor ( ) f(x, y) dx dy f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ P () abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek. Példafeladatok... Feladat Legyen az a következő tartomány: { x + y }. Számítsuk ki az ln(x + y ) dx dy integrál értékét! Megoldás: Térjünk át polárkoordinátákra, hogy könnyebb feladatot kapjunk. z integrálási határok felírása: 7

r ϕ ln(x + y ) dx dy r ln(r cos ϕ + r sin ϕ) dϕ dr [ln(r) r r ln(r ) dϕ dr ] r r [ ] r ln(r) ϕ dr ( dr ( ln ( ) + ) r ln(r) dr ln ( ) ln() ( ln( ) ), 689 feladat megoldása során felhasználtuk a parciális integrálás szabályának határozott integrálokra vonatkozó formuláját: b f g dx [fg] b a a b a fg dx...feladat Legyen az (x ) + y és az (x ) + y egyenletű körök közé eső tartomány az első síknegyedben. Integráljuk az f(x, y) y függvényt ezen a tartományon! Megoldás: Térjünk át polárkoordinátákra, ezzel sokkal egyszerűbbé tesszük a feladat megoldását. z integrálási határok felírása: ϕ [ r ] ) Általánosan az r: z ábrán jelölje r a húrt. Állítsunk merőlegest a kör középpontjából a húrra. Jelölje a merőleges egyenes és a húr metszéspontját P. Ekkor az OP szakasz r hosszúságú lesz, mivel a középpontból a húrra húzott merőleges egyenes felezi a húrt. z így keletkezett derékszögű háromszögben felírhatjuk a ϕ szög koszinuszát: cos ϕ r a r a cos ϕ kis kör sugara a, tehát r cos ϕ, a nagy kör sugara pedig a, tehát r cos ϕ. Tehát: cos ϕ r cos ϕ z f(x, y) y függvény polárkoordinátákkal: f(r cos ϕ, r sin ϕ) r sin ϕ 8

Ezek után felírhatjuk az integrált: cos ϕ cos ϕ (r sin ϕ r) dr dϕ 56 sin ϕ cos ϕ dϕ 56 (( cos cos ϕ cos ϕ r sin ϕ dr dϕ [ r sin ϕ 56 ( sin ϕ) cos ϕ dϕ 56 ) ( )) cos ( 56 ) ( ) ] cos ϕ dϕ cos ϕ [ cos ϕ Megjegyzés: z integrálás során felhasználtuk a következő összefüggést: f α f f α+ α+ Hengerkoordináták hengerkoordináta-rendszer a polárkoordináta-rendszer térbeli általánosítása a z- tengely irányában bevezetett magassággal. Legyen P egy térbeli pont és legyen P a P pont xy-síkbeli vetülete. Ekkor a P pont hengerkoordinátáin az (r, ϕ, z) számhármast értjük, ahol r és ϕ a P pont polárkoordinátái az xy-síkon, z pedig a P P szakasz előjeles hosszát jelöli. Összefüggések: x r cos ϕ y r sin ϕ z z r x + y tg ϕ y x, ha x ha x, akkor ϕ vagy r ϕ z R ] Integrálás hengerkoordinátákkal: Jacobi-determináns: det det r cos ϕ r r sin ϕ r z r ( r sin ϕ r cos ϕ r cos ϕ ϕ r sin ϕ ϕ z ϕ r cos ϕ z r sin ϕ z z z ) det cos ϕ r sin ϕ det sin ϕ r cos ϕ ( ) ( ) cos ϕ cos ϕ r sin ϕ + det sin ϕ sin ϕ r cos ϕ r cos ϕ + r sin ϕ r (cos ϕ + sin ϕ) r 9

... Tétel. Legyen P (r, ϕ, z) (r cos ϕ, r sin ϕ, z) minden r, ϕ, z R esetén. Ha az [, ) [, ] (, ) halmaz mérhető, akkor P () is mérhető,és t ( P () ) r dr dϕ dz. Továbbá, ha f : P () R korlátos, akkor ( ) f(x, y, z) dx dy dz f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r dr dϕ dz P () abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek. Példafeladat... Feladat Legyen a következő tartomány: { (x, y, z) : x + y, z }. Számítsuk ki az z dx dy dz integrál értékét! (+x +y ) Megoldás: Mivel az tartomány egy henger, ezért térjünk át hengerkoordinátákra! Integrálási határok: r ϕ z z dx dy dz ( + x + y ) r z ( + r cos ϕ + r sin dz dϕ dr ϕ) r z dz dϕ dr ( + r ) r ( + r ) [ϕ ] dr ( + ) r ( + r ) [ z ] dϕ dr [ r ( + r ) dr ] ( + r ), 5887 6 Gömbi koordináták Egy térbeli P pont gömbi koordinátáin a (ρ, ϑ, ϕ) rendezett számhármast értjük, ahol ρ a P pont távolsága az origótól, ϑ az OP szakasz és a z-tengely pozitív fele által bezárt szög, a ϕ pedig megegyezik a polár-, és hengerkoordinátáknál megismert ϕ szöggel. zaz, ha P a P pont xy-síkbeli vetülete, akkor ϕ az OP szakasz x-tengely pozitív felével bezárt szögét jelöli.

Összefüggések: x ρ sin ϑ cos ϕ y ρ sin ϑ sin ϕ z ρ cos ϑ ρ x + y + z tg ϕ y, ha x x ha x, akkor ϕ vagy z cos ϑ ρ ϕ ϑ x +y +z Integrálás gömbi koordinátákkal: Jacobi-determináns: det ρ sin ϑ cos ϕ ρ ρ sin ϑ sin ϕ ρ ρ cos ϑ ρ ρ sin ϑ cos ϕ ϑ ρ sin ϑ sin ϕ ϑ ρ cos ϑ ϑ ρ sin ϑ cos ϕ ϕ ρ sin ϑ sin ϕ ϕ ρ cos ϑ ϕ sin ϑ cos ϕ ρ cos ϑ cos ϕ ρ sin ϑ sin ϕ det sin ϑ sin ϕ ρ cos ϑ sin ϕ ρ sin ϑ cos ϕ cos ϑ ρ sin ϑ ( ) ρ cos ϑ cos ϕ ρ sin ϑ sin ϕ cos ϑ det ρ cos ϑ sin ϕ ρ sin ϑ cos ϕ ( ) sin ϑ cos ϕ ρ sin ϑ sin ϕ ( ρ sin ϑ) det + sin ϑ sin ϕ ρ sin ϑ cos ϕ ( ) sin ϑ cos ϕ ρ cos ϑ cos ϕ + det sin ϑ sin ϕ ρ cos ϑ sin ϕ cos ϑ (ρ cos ϑ sin ϑ) + ρ sin ϑ (ρ sin ϑ) + ρ cos ϑ sin ϑ + ρ sin ϑ ρ sin ϑ (cos ϑ + sin ϑ) ρ sin ϑ... Tétel. Legyen P (ρ, ϑ, ϕ) (ρ sin ϑ cos ϕ, ρ sin ϑ sin ϕ, ρ cos ϑ) minden ρ, ϑ, ϕ R esetén. Ha az [, ) [, ] [, ] halmaz mérhető, akkor P () is mérhető, és t ( P () ) ρ sin ϑ dρ dϑ dϕ. Továbbá, ha f : P () R korlátos, akkor ( f(x, y, z)dx dy dz f(ρ sin ϑ cos ϕ, ρ sin ϑ sin ϕ, ρ cos ϑ) ρ sin ϑ ) dρ dϑ dϕ P () abban az értelemben, hogy ha az egyik oldal létezik, akkor a másik is, és egyenlőek.

Példafeladat... Feladat Legyen a következő térbeli tartomány: { (x, y, z) : x + y + z 9, x, y, z }. Integráljuk az f(x, y, z) xy + z függvényt az tartományon! Megoldás: Térjünk át gömbi koordinátákra! Ekkor az integrálási határok a következők: ρ ϑ ϕ z integrál: (xy + z) dx dy dz (ρ sin ϑ cos ϕ ρ sin ϑ sin ϕ + ρ cos ϑ) ρ sin ϑ dρ dϕ dϑ ρ sin ϑ sin ϕ cos ϕ + ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϕ dϑ [ ρ 5 5 sin ϑ sin ϕ cos ϕ + ρ ] cos ϑ sin ϑ dϕ dϑ 5 sin ϑ sin ϕ cos ϕ + 8 cos ϑ sin ϑ dϕ dϑ 5 sin ϑ sin ϕ + cos ϑ sin ϑ dϕ dϑ [ ] cos ϕ 5 sin ϑ + ϕ cos ϑ sin ϑ dϑ 5 sin ϑ + 5 sin ϑ dϑ z átláthatóság kedvéért számoljuk ki külön az 5 sin ϑ dϑ értékét: 5 sin ϑ sin ϑ dϑ 5 sin ϑ sin ϑ cos ϑ dϑ sin ϑ cos ϑ [ cos ϑ ] dϑ sin ϑ cos ϑ dϑ

Integráljuk parciálisan az sin ϑ cos ϑ dϑ-t: sin ϑ cos ϑ dϑ [ cos ϑ cos ϑ ] sin ϑ cos ϑ dϑ [ sin ϑ sin ϑ ] sin ϑ cos ϑ dϑ + sin ϑ cos ϑ dϑ cos ϑ sin ϑ dϑ sin ϑ cos ϑ dϑ Mindkét oldalból kivonva sin ϑ cos ϑ dϑ -t: sin ϑ cos ϑ dϑ sin ϑ cos ϑ dϑ Ebből megkaptuk, hogy: 5 sin ϑ dϑ + 8 5 Tehát ezt az eredményt felhasználva, az előző számolást folytatva kapjuk meg a végeredményt: 5 sin ϑ dϑ + 5 sin ϑ dϑ 5 + 5 [ cos ϑ ] 5 + 5 7 5

. lkalmazások.. Területszámítás... Definíció. Egy R korlátos zárt síktartomány területe: t(r) dx dy ha ez az integrál létezik. Számoljuk ki néhány speciális síkidom területét integrálás segítségével!. Téglalap területe: Integráljuk az f(x, y) függvényt az [, a] [, b] tartományon! R T T eglalap dx dy a b dy dx a a [ ] b y dx b dx b [ x ] a ab. Kör területe: Integráljuk az f(x, y) függvényt az { (x, y) : x + y R } tartományon! Térjünk át polárkoordinátákra! Integrálási határok: r R, ϕ T Kor dx dy R r dr dϕ [ r ] R dϕ R dϕ R [ ] ϕ R. Ellipszis területe: z ellipszis egyenlete: ahol a, b pozitív valós számok. lkalmazzuk az integráltranszformációt: Legyen x au és y bv g(u, v) (au, bv) Ekkor a u x a + y b, + b v u + v a b z integráltranszformáció után kapott H tartományunk tehát az sugarú origó középpontú kör. Számoljuk ki a Jacobi-determinánst: det ( g (u, v) ) det ( ) a ab b

T Ellipszis dx dy ab du dv g(h) Jacobi-determinánsnál elhagyható az abszolút érték, mivel a és b pozitív számok. Térjünk át polárkoordinátákra, ekkor az integrál felírható a következőképpen: T Ellipszis. Kardioid területe: abr dr dϕ ab [ r ] H dϕ ab dϕ ab [ ] ϕ ab... Definíció. kardioid olyan síkgörbe, amit egy rögzített körön kívül csúszás nélkül legördülő, vele azonos sugarú kör egy rögzített pontja ír le. Egyenlete polárkoordinátákkal: r a( + cos ϕ), ahol a a kör sugarát jelöli. Integráljuk az f(r, ϕ) függvényt az { (r, ϕ) : ϕ, r a( + cos ϕ) } tartományon! a T Kardioid + cos ϕ +.. Térfogatszámítás a(+cos ϕ) r dr dϕ [ r ] a(+cos ϕ) [ + cos ϕ dϕ a ϕ + sin ϕ + ( ϕ + dϕ... Definíció. tér egy korlátos zárt R tartományának térfogata: V (R) dx dy dz ha ez az integrál létezik. R )] sin ϕ a Számoljuk ki néhány speciális térbeli test térfogatát integrálás segítségével!. Téglatest térfogata: Integráljuk az f(x, y, z) függvényt az R [, a] [, b] [, c] tartományon! 5

a V T eglatest b c c. Henger térfogata: a dz dy dx a b a [ ] b y dx bc a [ ] c z dy dx c dx bc [ x ] a abc b dy dx Integráljuk az f(x, y, z) függvényt az { (x, y, z) : x + y R, z h } tartományon! Térjünk át hengerkoordinátákra! Integrálási határok: r R ϕ z h V Henger dx dy dz R h dz dϕ R h R [ z ] h dϕ R h r dr dz dϕ h [ r ] R dz dϕ dϕ R h[ ] ϕ R h. Kúp térfogata: Integráljuk az f(x, y, z) függvényt az { (x, y, z) : x +y ( (h z)r), h z h } tartományon! Térjünk át hengerkoordinátákra! Integrálási határok: r (h z)r h ϕ z h V Kup dx dy dz R h h. Gömb térfogata: h (h z)r h r dr dz dϕ h zh + z dz dϕ R h R h h h dϕ R h[ ] ϕ R h 6 [ r ] (h z)r h dz dϕ ] h [h z hz + z dϕ Integráljuk az f(x, y, z) függvényt az { (x, y, z) : x + y + z R } tartományon! Mivel az tartomány egy gömb, térjünk ár gömbi koordinátákra! Integrálási határok: 6

ρ R ϑ ϕ V Gomb dx dy dz R [ ρ sin ϑ ] R R dϑ dϕ R [ ] R cos ϑ dϕ ρ sin ϑ dρ dϑ dϕ sin ϑ dϑ dϕ dϕ R [ ] ϕ R Megjegyzés: gömb térfogatát egyszerűbben is, egy egyváltozós integrál segítségével is megkaphatjuk: R R ( R x ) dx 5. Ellipszoid térfogata: z ellipszoid egyenlete: x a + y b + z c, ahol a, b, c pozitív valós számok. lkalmazzunk integráltranszformációt: Legyen x au, y bv, z cw g(u, v, w) (au, bv, cw) Ekkor: a u + b v + c w u + v + w a b c z integráltranszformáció után kapott H tartományunk tehát az sugarú origó középpontú gömb. Számoljuk ki a Jacobi-determinánst: det ( g (u, v, w) ) a det b abc c Ekkor az integrál felírható a következőképpen: V Ellipszoid dx dy dz abc du dv dw g(h) z abszolút érték jel elhagyható, hiszen a, b, c >. Mivel az új tartományunk egy gömb, térjünk át gömbi koordinátákra: V Ellipszoid abc H abcρ sin ϑ dρ dϑ dϕ abc sin ϑ dϑ dϕ abc [ ρ sin ϑ ] [ ] cos ϑ dϕ abc dϑ dϕ dϕ abc[ ϕ ] abc 7

.. Átlagérték... Definíció. Legyen R és f : R. Ekkor az f függvény átlagértéke az tartományon: f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy T () dx dy... Definíció. Legyen R és f : R. Ekkor az f függvény átlagértéke az tartományon: f(x, y, z) dx dy dz f(x, y, z) dx dy dz V () dx dy dz Példafeladatok:... Feladat [, ] [, ] téglalap alakú kert (x, y) pontjában a termőföld vastagsága f(x, y) + cos(x + y) cm. Határozzuk meg a termőföld átlagos vastagságát a kertben! Ekkor a föld átlagos vastagsága: T Kert + cos(x + y) dx dy [ x + sin(x + y) ] dy + sin( + y) sin y dy [ ] y cos( + y) + cos y... Feladat 6, 585, 95cm [, ] [, ] [, ] kocka (x, y, z) pontjában a hőmérsékletét az f(x, y, z) x +9 függvény írja le. Határozzuk meg a kocka átlaghőmérsékletét! Ekkor az átlaghőmérséklet: V Kocka 8 x + 9 dx dy dz [ ] x 8 8 + 9x dy dz [ ] y dz 6 [ z ], 8

... Feladat z sík az x + y + z egyenletű gömböt két részre osztja. Legyen az tartomány a z sík feletti rész. Határozzuk meg az f(x, y, z) x + y függvény átlagértékét az tartományon! Térjünk át hengerkoordinátákra! határok ekkor: z ϕ r z z tartomány térfogata: V dx dy dz z r dr dz dϕ [ r ] z dz dϕ z átlagérték: z dz dϕ 5 6 ] [z z dϕ 5 [ ϕ ] 6 5 dϕ 5 z r(r cos ϕ + r sin ϕ) dr dz dϕ 5 z r dr dz dϕ 5.. Tömeg [ r ] z dz dϕ 5 ] [6z 8 z + z5 dϕ 5 5 5 6 8z + z dz dϕ dϕ 5 [ ] ϕ 5 5, 6 Ha egy T vékony lemez sűrűségét a δ : (x, y) δ(x, y), (x, y) T függvény írja le, akkor a tömege a következőképp számítható ki: M T δ(x, y) dx dy T Ha egy térbeli T test sűrűségét a δ : (x, y, z) δ(x, y, z), (x, y, z) T függvény írja le, akkor T tömegét a következőképp tudjuk kiszámítani: M T δ(x, y, z) dx dy dz T 9

Példafeladat:... Feladat Legyen T az a vékony lemez, amelyet az y x parabola és az y egyenes határol. z (x, y) pontban a lemez sűrűségét a δ(x, y) x + y függvény írja le. djuk meg a lemez tömegét! Megoldás: M T δ(x, y) dx dy T x x + y dy dx ] [x y + y dx x x + [ x x6 x dx + x x5 5 ] x7 88 7 5.5. Tömegközéppont Egy vékony lemez tömegközéppontja: S(S x, S y ), ahol x δ(x, y) dx dy S x δ(x, y) dx dy y δ(x, y) dx dy S y δ(x, y) dx dy Egy térbeli test tömegközéppontja: S(S x, S y, S z ), ahol x δ(x, y, z) dx dy dz S x δ(x, y, z) dx dy dz y δ(x, y, z) dx dy dz S y δ(x, y, z) dx dy dz z δ(x, y, z) dx dy dz S z δ(x, y, z) dx dy dz, 88 Ha a vékony lemez vagy térbeli test homogén, azaz sűrűsége állandó ( δ(x, y) konstans /δ(x, y, z) konstans ), akkor a tömegközéppont egybeesik a geometriai súlyponttal. Papposz-Guldin tételek: tömegközéppont ismeretében meg tudjuk határozni forgástestek felszínét és térfogatát. forgástest felszíne illetve térfogata és a tömegközéppont által leírt kör kerülete közötti összefüggést adják meg a Papposz-Guldin tételek.

.5.. Tétel. Legyen s egy síkgörbe, melynek ívhossza I s, forgassuk meg a görbét egy a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző t egyenes körül α szöggel. Legyen d a görbe súlypontjának és a t-tengelynek a távolsága. Ekkor az így kapott forgásfelület felszíne egyenlő a görbe I s ívhossza és a görbe súlypontjának forgatás közben leírt útjának szorzatával, azaz: I s d α.5.. Tétel. Legyen egy T területű síkidom, és legyen t egy egyenes -val egy síkban, úgy, hogy nem metszi -t. Ha az síkidomot a t egyenes, mint tengely körül α szöggel elforgatjuk, egy V térfogatú forgástestet kapunk. Legyen az síkidom súlypontja S, és jelölje d a súlypont távolságát a t-tengelytől. Ekkor a kapott forgástest térfogata egyenlő a síkidom területének és a súlypont által leírt pálya ívhosszának a szorzatával, azaz V T d α Papposz-Guldin tételek segítségével könnyedén meghatározhatjuk egy tórusz felszínét és térfogatát:.5.. Definíció. Egy körlemezt a vele egy síkban lévő (de őt nem metsző) egyenes körüli elforgatásával kapott forgástestet tórusznak nevezzük. Legyen a körlemez sugara r, valamint jelölje a forgástengely és a kör középpontjának távolságát R. Ekkor a tórusz felszíne: T orusz (r)(r) Rr Térfogata: V T orusz (r )(R) r R Példafeladatok:.5.. Feladat Határozzuk meg az egységnyi sugarú félgömb tömegközéppontjának koordinátáit, ha a félgömb (x, y, z) pontjában a sűrűségét a δ(x, y, z) x + y függvény írja le. Térjünk át hengerkoordinátákra! z integrálási határok:

r z ϕ z Először számítsuk ki a test tömegét: M z r r dr dz dϕ z + z dz dϕ 5 Ekkor a tömegközéppont koordinátái: S x 5 5 z [ r 5 cos ϕ 5 dϕ 5 r cos ϕ r r dr dϕ dz 5 ] z dϕ dz 5 [ r ] z [z z + z5 5 [ ϕ ] 5 z dz dϕ ] dϕ r cos ϕ dr dϕ dz ( z z ) cos ϕ dϕ dz 5 ( z z ) [ ] sin ϕ dz ( z z ) (sin sin ) dz ( z z ) dz dz S y 5 5 z [ r 5 sin ϕ 5 r sin ϕ r r dr dϕ dz 5 ] z dϕ dz 5 z ( z z ) [ ] cos ϕ dz r sin ϕ dr dϕ dz ( z z ) sin ϕ dϕ dz 5 ( z z ) ( ( cos + cos ) dz z z ) dz dz

S z 5 5 5 6 z [ z [ r z z r r dr dz dϕ 5 ] z z + z6 6 ] dz dϕ 5 6 dϕ 5 6 z z r dr dz dϕ z ( z + z ) dz dϕ 5 [ ] dϕ ϕ 6 96 96 5 8 Tehát az egység sugarú δ sűrűségű félgömb tömegközéppontja: S(,, 5 8 ) Megjegyzés: Nem meglepő, hogy a tömegközéppont x és y koordinátája is lett, hiszen ez a szimmetriából adódó tulajdonság..5.. Feladat Határozzuk meg a kardioid súlypontját! { (r, ϕ) : ϕ, r a( + cos ϕ) }, δ(x, y) δ(r, ϕ) Ekkor: S x xδ(x,y) dx dy T Kardioid S y yδ(x,y) dx dy T Kardioid kardioid területét az előzőekben már kiszámítottuk: T Kardioid a Ekkor: a a a 9 S x a a 9 a(+cos ϕ) r cos ϕ dr dϕ a cos ϕ( + cos ϕ) dϕ a 9 + cos ϕ cos ϕ + cos ϕ cos ϕ + + + + cos ϕ cos ϕ + cos ϕ cos ϕ + + + a 9 [ r cos ϕ ( [ ] sin ϕ + [ ] sin ϕ ϕ + + [ sin ϕ + ( + a [ sin ϕ ϕ + + ] sin ϕ ϕ + 9 8 ] a(+cos ϕ) dϕ cos ϕ + cos ϕ + cos ϕ + cos ϕdϕ ( ) + cos ϕ dϕ +cos ϕ + cos ϕ + dϕ sin ϕ ) ] ) +

S y a a 9 a 9 a(+cos ϕ) a ( + ) 9 a 9 5 5 6 a r sin ϕ dr dϕ a [ r sin ϕ ] a(+cos ϕ) sin ϕ + cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ dϕ sin ϕ + sin ϕ + + cos ϕ sin ϕ + sin ϕ + cos ϕ dϕ z +cos ϕ sin ϕ dϕ és +cos ϕ sin ϕ dϕ integrálokat külön, parciális integrálással számítjuk ki: dϕ + cos ϕ sin ϕ dϕ + cos ϕ [ cos ϕ Hozzáadva mindkét oldalhoz -mal, kapjuk a következőt: sin ϕ dϕ ] + cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ( cos ϕ) dϕ sin ϕ dϕ +cos ϕ sin ϕ dϕ-t, majd mindkét oldalt elosztva + cos ϕ sin ϕ dϕ [ ( )] + cos ϕ + cos ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ ( ) cos ϕ sin ϕ dϕ + cos ϕ sin ϕ dϕ + cos ϕ sin ϕ dϕ + cos ϕ sin ϕ dϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ + cos ϕ sin ϕ sin ϕ dϕ + cos ϕ sin ϕ dϕ + [ ] cos ϕ

Mindkét oldalhoz hozzáadva +cos ϕ sin ϕ dϕ-t, majd mindkét oldalt elosztva -vel, kapjuk a következőt: + cos ϕ sin ϕ dϕ Folytatva az S y kiszámítását: ( S y a [ ] cos ϕ 9 + [ ] ) cos ϕ + + Tehát a kardioid súlypontja: S ( ) 5 6 a, Megjegyzés: Hasonlóan az.5.. feladathoz, itt is a szimmetriából adódóan a súlypont y koordinátája lett..5.. Feladat Legyen az tartomány az y, y x és y x egyenesekkel határolt egyenlő szárú háromszög. Forgassuk meg ezt a háromszöget az y-tengely körül α szöggel! Majd számoljuk ki az így kapott forgástest térfogatát! Számoljuk ki az tartomány területét: T dx dy 6 y y dx dy 6 [ x ] y y dy 6 y dy Ezután számítsuk ki súlypontját: S (S x, S y ) ] 6 [y y 9 S x T x dx dy 9 6 y y x dx dy 9 6 [ x ] y y dy 9 6 ( y) y dy 8 6 y dy 8 ] 6 [y y 6 S y T y dx dy 9 6 y y y dx dy 9 6 [ xy ] y y dy 5

9 6 y y dy 9 Tehát a súlypont: S (6, ) súlypont távolsága az y-tengelytől: d 6 ] 6 [ y y Ekkor a második Papposz-Guldin tétel segítségével ki tudjuk számítani az így kapott forgástest térfogatát:.5.. Feladat V T d α 9 6 8 9, Határozzuk meg az { (x, y) : x + y r, y } tartományt lefedő homogén síklemez tömegközéppontjának koordinátáit! z tartomány egy félkör, az y-tengelyre szimmetrikus, és a tömegközéppont a szimmetriatengelyen helyezkedik, ezért S x. z S y koordinátát Papposz-Guldin második tétele segítségével egyszerűen meg tudjuk határozni: Forgassuk meg az félkört az x-tengely körül. Így egy gömböt kapunk, melynek ismerjük a térfogatát: V Gomb r tartomány egy félkör, tehát területe: T r Ekkor a Papposz-Guldin második tétele szerint: V Gomb T S y r Megoldva az egyenletet kapjuk, hogy: Tehát a tömegközéppont: S y r S(, r ) r S y.6. Tehetetlenségi nyomaték tehetetlenségi nyomaték a tömeggel analóg mennyiség forgómozgás esetében. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Egy vékony lemez tehetetlenségi nyomatékát a következőképpen számolhatjuk ki: z x-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: Θ x y δ(x, y) dx dy 6

z y-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: Θ y x δ(x, y) dx dy Egy kiterjedt test tehetetlenségi nyomatékát pedig az alábbi képletek alapján határozhatjuk meg: z x-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: ( Θ x y + z ) δ(x, y, z) dx dy dz z y-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: ( Θ y x + z ) δ(x, y, z) dx dy dz z z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: ( Θ z x + y ) δ(x, y, z) dx dy dz Tetszőleges t-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel segítségével tudjuk meghatározni..6.. Tétel (Steiner-tétel). Θ t Θ s + Md hol Θ s a t-tengellyel párhuzamos, tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték, M a test tömege, d pedig a két tengely távolsága. Helyezzük el a T testet úgy, hogy a tömegközéppontja az origóba essen és a forgástengelye a z-tengely irányába mutasson. T test (x, y, z) pontjában a sűrűsége δ(x, y, z). Legyen t az a tengely, ami párhuzamos a z-tengellyel és átmegy a (d,, ) ponton. Ekkor a P (x, y, z) pont távolságát a t tengelytől a következőképp számolhatjuk ki: Legyen a P (x, y, z) pont vetülete az xy-síkra P (x, y, ). 7

P (x, y) és a (d, ) pont r távolságát Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni: r y + (x d) Ekkor a t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték felírható a következő módon: ( Θ t r δ(x, y, z) dx dy dz y + (x d) ) δ(x, y, z) dx dy dz T T T ( x + y ) δ(x, y, z) dx dy dz d xδ(x, y, z) dx dy dz + +d T T δ(x, y, z) dx dy dz z első tag a z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: ( x + y ) δ(x, y, z) dx dy dz Θ z T második tag S x -szel egyenlő, de mivel a T testet úgy helyeztük el a koordinátarendszerben, hogy a tömegközéppontja az origóba essen, ezért S x : d xδ(x, y, z) dx dy dz harmadik tag pedig a T test tömegét jelöli: d δ(x, y, z) dx dy dz d M T Tehát a t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték: Példafeladatok:.6.. Feladat T Θ t Θ z + Md Határozzuk meg egy M tömegű a élhosszúságú homogén kocka, valamelyik élén átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát! Megoldás: Helyezzük el a kockát a koordináta rendszerben úgy, hogy az egyik csúcsa az origó legyen! Mivel homogén kockáról van szó, ezért a sűrűsége állandó minden pontban. zaz δ(x, y, z) M V M a. z x-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték: Θ x ( y + z ) δ(x, y, z) dx dy dz a a a ( y + z ) M dx dy dz a M a a a [ y x + z x ] a dy dz Ma a a a y + z dy dz 8

M a a [ y.6.. Feladat + z y ] a dz Ma a a a + z dz M a [ a z + z ] a Ma Határozzuk meg az M tömegű, magasságú, 5 és sugarak által meghatározott vastagságú homogén H hengerhéj saját tengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát! Megoldás: Mivel homogén hengerhéjról van szó, ezért a sűrűsége állandó: δ(x, y, z) M Hengerhej V Hengerhej M 5 M 6 Ekkor a z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: ( Θ z x + y ) δ(x, y, z) dx dy dz H Mivel a tartomány, amin integrálunk egy henger, ezért térjük át hengerkoordinátákra! z integrálási határok: r 5 ϕ z 5 M 6.6.. Feladat r ( r cos ϕ + r sin ϕ ) M dr dz dϕ M 6 [ x ] 5 7M dz dϕ 6M 6 6 5 dz dϕ 7M dϕ 7M [ ] ϕ 7M 7M r dr dz dϕ [ z ] dϕ Legyen t a (,, ) ponton átmenő, z-tengellyel párhuzamos egyenes. Továbbá adott egy H, R sugarú, h magasságú, M tömegű homogén henger. Határozzuk meg a H henger t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát! Megoldás: Mivel szimmetrikus testről van szó, ezért a tömegközéppontja a z-tengelyen helyezkedik el. Szükség van a tömegközépponton áthaladó tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékra: henger homogén, azaz sűrűsége állandó. Tehát: δ(x, y, z) M M. V R h Mivel a H tartomány egy henger, térjünk át hengerkoordinátákra! határok: 9

r R ϕ z h Ekkor a z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a következő: ( Θ z x + y ) δ(x, y, z) dx dy dz h R M R h H h R ( r cos ϕ + r sin ϕ ) r M dr dz dϕ R h MR h r dr dz dϕ h MR M R h dz dϕ MR h h [ r ] R [ z ] h dϕ dϕ MR [ ] ϕ MR dz dϕ t-tengely d távolságra van a z-tengelytől. Ekkor a t-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték: Θ t Θ z + Md ( ) R MR + 6M M + 6

Hivatkozások [] LCZKOVICH MIKLÓS - T. SÓS VER: Valós nalízis I., Typotex Kiadó, Budapest, [] LCZKOVICH MIKLÓS - T. SÓS VER: Valós nalízis II., Typotex Kiadó, Budapest, [] FEKETE ZOLTÁN - ZLY MIKLÓS: Többváltozós függvények analízise, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 985 [] GEORGE B. THOMS: Thomas-féle Kalkulus III., Typotex Kiadó, Budapest, 7 [5] GÉMES MRGIT: Fejezetek az analízisből, Előadás jegyzet 6 [6] B.P. GYEMIDOVICS: Matematikai nalízis Feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 97 [7] https://hu.wikipedia.org/wiki/papposz-guldin-tétel [8] http://aries.ektf.hu/ hz/pdf-tamop/pdf-/html/ch.html [9] https://hu.wikipedia.org/wiki/kardioid