I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS A középkor végéek Európájáb egre fotosbbá vát józás, csigászt, kereskedee és z ipr fejesztése Ezt fegorsut fejõdést esõsorb ûszki és tetiki víváokk köszöették A pézforgob érdeket szkeberek száár ktos kt gors kiszáítás érdekébe tábáztokt készítettek A egfeetetést görög ogosz, rá és ritosz, szá összevoásábó tios ogritusk evezték e 8

VEGYES ALGEBRAFELADATOK (ISMÉTLÉS) VEGYES ALGEBRAFELADATOK A 9 és 0 osztáb esjátított gebri ódszerek és eszközök ár sokfée fedt egodását teszik eetõvé Isétésképpe tváozás, gökvoás és evezetes zoosságok tékörébõ váogttuk össze éá fedtot Ezek egodásáoz é vie ötet ke de egodás eírás eegás, éá sorb egdtó Az ábbi fedtsorb z A, B,, F száértékeket ke egtározi Próbájuk üges száoáss, száoógép szát ékü egodi fedtot! péd (szávászos verse) A + 6 8 B 777 777 778 C + D b + b + fb + 00 E 6 7 F 0 6 0 + 6 Segítség: A: Az + ( ) zoosságot kztjuk B: Segít z ( + )( ) zoosság C: Az + z kifejezés tgjit érdees z + sorredbe csoportosíti D: Akítsuk át téezõket közöséges törtté! E: Lege pédáu 6, ekkor tört kú ^ ^+ F: Észreveetjük, og két égzetgök tt tejes égzetek szerepeek Eredéek: A ( ) 00 000 0 0 B (777 777 778 + )(777 777 778 ) 000 000 00 ( 000 000 000 + ) 000 000 000 + (8 drb ös) C ( + )( ) + 888 888 889 + + 000 000 000 0 9 D f 00 0 0 (A,,, 00 téezõkke egszerûsítetük) 99 00, íg tört E ^ ^ + ^ kú F: 0 6 ^ 6 és 0 + 6 ^ 6 +, íg F ^ 6 ^ 6 + 6 6 + 6 ^ 6 + Másképpe is ejártuk: F 0 6 + 0 + 6 ^0 6^0 + 6 0 00 6 6 6, s ive F < 0, ebbõ F következik A következõ két péd egeg tetiki kzás Most is eõször öáó próbájuk egodi fedtokt 9

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Megfigeetjük, og Vjo fottódik ez szbáosság? péd Megodás kdrb kdrb kdrb kdrb Azt ke igzouk, og S f S f SS f f ide pozitív egész k szár tejesü Heettesítsük k drb esbõ áó S f száot v! Ekkor z S f szá 0 k +, és z igzodó k drb k drb áítás 0 k + kú Átredezés és v vó egszerûsítés utá 0 k 9 egeet dódik, és ez ide feti r igz: 0 k éppe k drb 9esbõ á Az észrevett szbáosság teát fottódik péd A drts evû ügességi játékb cétáb eges ezõire dobóí cézuk A egfeeõ,,, 0 ezõket etáv ei potot ér egeg dobás A küsõ véko körgûrût etáv dobásérték dupázódik, bejebb évõ körgûrû etáás pedig ároszorozz z értéket Még két speciáis ezõ v: cétáb piros közepe (Bu) 0 potot, körüötte evõ zöd küsõ Bu pedig potot ér Háro dobásbó egfejebb 80 pot éretõ e, áro trip 0st dob játékos (T0 + T0 + T0 80) Fedt: utssuk eg, og 7 pot e éretõ e áro dobásbó! Dup szektor 8 9 6 7 Szip szektor 9 0 7 8 küsõ Bu Bu Trip szektor 6 0 Megodás H z egik dobás 0es Bu (vg kisebb értékû), kkor rdék pot tú sok, két dobásbó e éretõ e Mide dobásk teát 0é gobbk, zz tripák ke eie De trip tátok, vit összegük is id oszttók, íg 7r ez e igz Ezért 7 pot vób e áíttó eõ 0 K K FELADATOK Mei z ábbi kifejezések kiszáított értékébe szájegek összege? 0 ^0 ) b) 0 ^0 7 7 c) 9 + 99 + 999 + + S 99f9 0drb Mei z + + f + kifejezés potos értéke? + + 99 + 00 (Segítség: gökteeítsük törteket!)

EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK Eõzõ évi tuáikb érteeztük vós száok egészkitevõjû tváát Terészetes kérdés: Bõvítetõe tváozás fog tetszõeges rcioáis, eseteg irrcioáis kitevõkre is? Ezt kérdést fogjuk vizsgái, eõtte isétejük át tváozás zoosságit Azoos pú tváok szorzt: +,! R,! 0,,! Z péd 6 + 6 7 7 7 7 b b b b 7 p p p p b + b Szorzt tváozás: ^ b b, b,! R,! 0, b! 0,! Z péd ^ 7 7 b b b b ^k k Azoos pú tváok ádos:,! R,! 0,,! Z péd ^ +,! R,! 0 Tört (ádos) tváozás: k b, b,! R,! 0, b! 0,! Z b

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS péd 6 b 8 b 9 6 Htvá tváozás: ^,! R,! 0,,! Z péd 6 ^7 7 6 7 k c k 6, k,! R, k! 0,! 0 Nézzük éá pédát z zoosságok összetett szátár, ezek segítségéve kifejezések egszerûbb kját keressük 6 péd Htározzuk eg z b b kifejezés értékét,, b 8! 8 Megodás b b b b 8 8 b 7 péd Hozzuk egszerûbb kr z ábbi kifejezéseket: ) 7 :,,! R,! 0 c ^ b) pq^p + q ^q p, pq,! R, pq! 0, q! p Fogk Megodás tváozás zoossági ) 7 0 8 8 : c ^ b) pq^p + q ^q p pqc q p p + q c q p q p q p q ^ + c ^ + ^ p

EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK FELADATOK K K K Száítsuk ki z ábbi tváok értékét! ^7 9 ) 8, 8, ^ 8 d) 7 ^7 7 6 7 b) ^ 6 : 9 e) + + 6 8 c) f) 7 8 ^ + Dötsük e, og igzke z ábbi egeõségek! Ao z egeõség e igz, jvítsuk ki úg, og igz ege! ) d) 0 80 8 6 b) 9 e) 0 0 80 8 6 c) ^9 7 f) 0 0 0 8 Írjuk fe egete tvákét z ábbi ûveetek eredéét! 0 8 0 ) 9 8 b) 8 7 6 ^6 K K 6 K Írjuk fe egtív kitevõ ékü z ábbi tváokt! ) b) c) d) e) b Írjuk fe egete tvákét z ábbi kifejezéseket! 6 9 ) ^ ^ d) ^ 0 b) 8 ^ ^ e) 6 7 9 ^ ^ c) ^ ^ 7 ^ Frciországb 79be efogdott prefiuok: Írjuk egszerûbb kb z ábbi kifejezéseket! A prefiu A prefiu A prefiu ) b 8 : b, c ^ b,! R, b,! 0 eve értéke jee eredete jeetése b b 6 7 8 0 kio 0 k görög ezer b) + + 7 + + ekto 0 görög száz dek 0 d görög tíz Ajáott fedtok Gkoró és érettségire fekészítõ fedtgûjteé I 86 8, 87 88, 8 80 deci 0 d ti tized ceti 0 c ti százd ii 0 ti ezred

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ EDIK GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI Isétejük át z edik gök fogát és zoosságit! Defiíció Az defiíciój: eset H pozitív páros szá, zz k, k! N +, kkor z eegtív szá kdik göké zt eegtív száot értjük, eek kdik tvá k k ^, o 0, és k, k! N + eset H pozitív párt szá, zz k +, k! N +, kkor z vós szá (k + )edik göké zt vós száot értjük, eek (k + )edik tvá ^ k + k +, o! R, és k +, k! N + Megjegzés Neegtív vós szá edik göké zt eegtív vós száot értjük, eek edik tvá z szá egezik eg, o! N, A defiíció szerit: ^, 0,! N, A TANULT AZONOSSÁGOK I Szorzt edik göke egeõ téezõk edik gökéek szorztáv H 0, b 0, és! N,, kkor b b (H párt, és b egtív is eet) péd 7 8 ^ II Tört (ádos) edik göke egeõ szááó és evezõ edik gökéek ádosáv H 0, b > 0, és! N,, kkor b b

AZ EDIK GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI péd 8 6 6 e érteezett, ert 6 0 III Eg eegtív vós szá edik gökéek kdik, egészkitevõjû tvá egeõ szá ugzo kitevõjû tváák edik gökéve H > 0,! N,, és k! Z, kkor k ^ k péd ^ 6 ^ ^ IV Az edik gök kdik gökét feírtjuk úg is, og gök tti kifejezés ( k)dik gökét vesszük k k H 0,! N,, és k! N, k, kkor péd H, b pozitív vós száok: 6 ^ b 6 b b 6 b b 6 b b b b 6 b b V Htvá kú kifejezés gökéé tvákitevõ és gökkitevõ egszerûsítetõ, bõvítetõ k k H 0,! N,, k! N, k,! Z, kkor péd 8 6 ^ ^ + ^ 6 7^ 6 + 79 0 + 6 66 9 68 Fogk gökvoás edik gök

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK K K K K K Dötsük e, og eik szá gobb! ) vg b) vg c) 0, vg 0, d) 7 vg 6 Áítsuk gság szerit csökkeõ sorredbe z ábbi száokt! 6 8 0 Száítsuk ki z ábbi gökök értékét! ) c) 7 7 0 0, 6 6 0 e) 00, b) 8 d) 96 Végezzük e z ábbi ûveeteket! ) b) c) c 6 0 Írjuk fe egete gökje segítségéve z ábbi ûveetek eredéét! ) c) e) 8 b) d) 6 Ajáott fedtok Gkoró és érettségire fekészítõ fedt gûj te é I 89 900, 90 9, 96 99 6

RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIAELV RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIAELV Az eõzõekbe z egészkitevõjû tváokt érteeztük, tváozás és z edik gök zoosságit isétetük át Nivávó feerü kérdés, kiterjesztetõe tváozás fog tetszõeges rcioáis kitevõkre H ez eetséges, kkor úg járjuk e, og z eddig egisert zoosságok érvébe rdjk Ezt z igét fejezi ki pereciev Vegük figeebe következõ zoosságot: k k ^, o k,! Z Teát rcioáis kitevõre szereték érteezi tváozást, kkor ege igz: _ i, o! 0,! 0,,! Z H idkét odbó edik gököt vouk: Még vizsgájuk eg, og ezt z összefüggést defiíciók fogdjuk e, kkor z érteezési trtoá ie p eseté fee eg evárásikk Háro probé erüet fe probé H z p egtív szá, kkor eetodásr jutták, pédáu: ^ ^ e érteezetõ vós száok zá, ezért egtív pot ki ke záruk probé k H k, kkor tejesüe? Az igzoásoz kítsuk át fetétet H k, kkor k Idujuk ki z igzodó egeõség b odábó k k k Az egeõségsorozt rdik épéséé szátuk ki fetétet, és igzotuk z áítást, zz törtkitevõ ás kb törtéõ feírásátó e függ tvá értéke 6 (Negtív p eseté ez se tejesüe: ) 8 ^! ^ probé A pereciev vizsgát: Bizoíttó, og tváozás zoossági is érvébe rdk k Pédkét vizsgájuk eg, og z + k zoosság érvéese! 7

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS k k k + k Egrészt: k + + k Másrészt: + k Az egeõségek jobb odi egegezek, teát b odk is egeõk k Ezze beáttuk, og régebbe isert + k zoosság érvébe rdt Hsoó igzotó többi zoosság egrdás is Defiíció Eg tetszõeges pozitív szá edik tvá z szá edik tváábó vot edik gök, zz, o > 0,! Z,! N, 0, péd Száítsuk ki következõ tváok potos értékét! ) b) c) b d) e) 8 00,, 8 Megodás 0 ) 8 8 b) 0 0 0 0 c) 6 8 b 8 b 6 0 b, d) 0,0 b 00 0 00 000 00 6 e) 6 ^ 6 6 6 péd Hozzuk egszerûbb kr kifejezéseket! ) b) k ^ Megodás 8 ) k + b) +, > 0 ^

RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIAELV péd Végezzük e ûveeteket, tváok pj pozitív vós szá! ) b k b) + b k 7 Megodás 7 0 0 0 ) b k 0 0 b b b b) + b k + ^b + b + b + b Fogk pereciev rcioáis kitevõjû tváozás FELADATOK K K K K K 6 K Száítsuk ki z ábbi tváok értékét! ) b) 0 c) 7 b 8 d) 0, 0000, e) f) 6, g), 0 ) 7 6 6, i) b j) 8 06, Írjuk át z ábbi kifejezéseket gökös kb! ) b) c) d) e) Írjuk át z ábbi kifejezéseket egete szá tvákét! ) 8 b) 8 b c) d) 8 6 Írjuk fe egete gökje segítségéve z ábbi ûveetek eredéét! ) b) c) k _ i d) b b b 6 ^ ^ b Végezzük e z ábbi tváozásokt! 0, 0 ) k b) 6 c) b k 0 7 Írjuk eetõ egegszerûbb kb z ábbi kifejezéseket! ) b b b) b b + k ^+ b + b k 6, Ajáott fedtok Gkoró és érettségire fekészítõ fedtgûjteé I 97 97 9

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY Az eõzõ eckébe érteeztük pozitív pú, rcioáis kitevõjû tvát Mgsbb tetiki ódszerekke bizoíttó, og z érteezés kiterjesztetõ irrcioáis kitevõkre is Ez kiterjesztés, perecievek egfeeõe, egtrtj z eddig egisert tváozászoosságokt, vit tejesü következõ tujdoság: > vós szá, p, r rcioáis száok, q irrcioáis szá és p < q < r, kkor p < q < r 0 < < vós szá, p, r rcioáis száok, q irrcioáis szá és p < q < r, kkor p > q > r Az epoeciáis kifejezések vizsgátát, egeetek, egeõteségek egodását segíti, egiserjük z epoeciáis függvéeket és egfotosbb tujdoságikt Defiíció Azokt függvéeket, eekbe vátozó kitevõbe szerepe, epoeciáis függvéekek evezzük Az f : R R +, f (), o > 0 függvé z pú epoeciáis függvé Vizsgájuk eg z f : R R +, f () függvét, o > 0! Tekitsük eõször z f : R R +, f () függvét (Legegszerûbbe úg fogzták, og vizsgát epoeciáis függvé ádó értékbe többszörözõdik, pédáu eg bktériukutúr, e ide óráb egdupázódik ) Az egész, ietve rcioáis kitevõjû tvá érteezése, tujdosági pjá kijeetetjük, og z epoeciáis függvé szigorú ooto övekvõ A bevezetõbe eítettük, og bizoíttó, og z érteezési trtoát kiterjesztjük vós száok zár, kkor függvé ootoitás e vátozik A függvé grfikoj: A függvé egfotosbb tujdosági: D f R R f R + (ide pozitív értéket fevesz) Szigorú ooto övekvõ Zérusee ics Az ordiátteget grfiko (0 ) potb etszi 0 Feerü kérdés: Mie éeges tujdoságok vátozk eg, z pot ódosítjuk? 0

AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY eset Lege z p: > Tekitsük következõ függvéeket: f: R R +, f^ g: R R +, g^ b : R R +, ^ ^ ( ) ( ) 0 0 0 Megápíttjuk, og z eõzõ tujdoságok idegike érvées ezekre függvéekre is eset Lege z p: f: R R +, f^ Ebbe z esetbe függvé kosts függvé, grfikoj z tegee páruzos egees (Megjegzés: Sok esetbe z pot e egedik eg) 0 eset Lege z p 0 < < Tekitsük következõ függvéeket: f: R R +, f^ b g: R R +, g^ b Láttó, og éeges vátozás csk ootoitásb törtét! Tujdoságok: D f R R f R +, zz csk pozitív értékeket vesz fe Szigorú ooto csökkeõ Zérusee ics Az ordiátteget grfiko (0) potb etszi ( ) 0 ( ) 0

I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Összegezzük egfigeéseiket! (Terészetese ezek tujdoságok gsbb tetiki ódszerekke bizoíttók) < > Az f: R R +, f^ függvét, o > 0, epoeciáis függvéek evezzük A függvé egfotosbb tujdosági: H z p, kkor függvé kosts függvé H z p 0 < <, kkor függvé szigorú ooto csökkeõ H z p >, kkor függvé szigorú ooto övekvõ Midáro függvé csk pozitív értékeket vesz fe és ide pozitív értéket fevesz, vit z ordiátteget (0 ) potb etszi 0 péd Ábrázojuk és jeeezzük függvéeket! ) f: R R, f^ b) g: R R +, g^ c) : R R +, ^ b Megodás ) Az f: R R, f^ szigorú ooto övekvõ, ert z p é gobb A függvé grfikoj etoáss kptó k: R R +, k^ függvé grfikojábó, z etoás vektor: v(0 ) 0 0 b) A g: R R +, g^ szigorú ooto övekvõ, ert z p é gobb A függvé grfikoj etoáss kptó k: R R +, k^ vé grfikojábó, z etoás vektor: v( 0) függ