SZAKDOLGOZAT. Diszkrét maximum-elv végeselem-módszerre elliptikus parciális differenciálegyenleteken. Balla Réka

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet SZAKDOLGOZAT Diszkrét maximum-elv végeselem-módszerre elliptikus parciális differenciálegyenleteken Balla Réka Konzulens: Karátson János egyetemi tanár, ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematika Tanszék, BME, Analízis Tanszék 2017

Kivonat A parciális differenciálegyenletekkel leírható folyamatokhoz kapcsolódó legfontosabb kvalitatív tulajdonságok a maximum-elvek, illetve ezek egyik következménye, a nemnegativitási tulajdonság. Mivel a legtöbb differenciálegyenlet csak numerikusan oldható meg, a numerikus modellektől is elvárjuk a folytonos modell kvalitatív tulajdonságaival ekvivalens tulajdonságok teljesülését. A dolgozatban a lineáris másodrendű elliptikus feladatokkal foglalkozunk, Dirichlet-peremfeltétel mellett. Először ismertetjük a Dirichlet-feladat végeselemes diszkretizációjának elméleti alapjait, ezután rátérünk a vizsgált elliptikus feladatokra igazolható maximum-elvekre. Bemutatjuk a folytonos maximum-elvet, és annak következményeit, majd definiáljuk a klasszikus diszkrét maximum-elvet, ami lineáris végeselemes közelítésekre alkalmazható, azonban magasabbrendű közelítésekre nem terjeszthető ki. Ezután kimondjuk az általánosított diszkrét maximum-elvet, illetve annak egy speciális változatát, a nemnegativitási elvet, homogén Dirichlet-peremmel adott 1D Poisson-egyenlet végeselemes megoldására, és elégséges feltételt mutatunk a magasabbrendű végeselemes approximáció esetére. Végül néhány példán keresztül szemléltetjük a nemnegativitási tulajdonságot lineáris végeselemes közelítésre.

Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Elméleti alapok 4 1.1. Elliptikus feladatok megoldhatósága................... 4 1.1.1. Szoboljev-terek.......................... 5 1.1.2. Gyenge feladat és megoldhatósága................ 6 1.2. A végeselem-módszer elméleti alapjai.................. 8 1.2.1. A Galjorkin-módszer....................... 9 1.2.2. Végeselem-terek.......................... 13 2. Folytonos és diszkrét maximum-elvek elliptikus feladatra 17 2.1. Folytonos maximum-elv......................... 17 2.2. Klasszikus diszkrét maximum-elv szakaszonként lineáris elemekre.. 19 2.2.1. Mátrix maximum-elv....................... 20 2.2.2. A lineáris végeslemekre tett elégséges kikötések........ 22 2.3. Általánosított diszkrét maximum-elv magasabbrendű elemekre.... 26 2.3.1. Ellenpélda a klasszikus diszkrét maximum-elv kiterjesztésére magasabbrendű közelítésre.................... 27 2.3.2. Általánosított diszkrét maximum-elv.............. 29 3. Számítógépes vizsgálatok 33 3.1. A feladat leírása.............................. 33 3.2. Az eredmények értékelése......................... 34 Összefoglalás 37 Köszönetnyilvánítás 38 i

Függelék 39 A futtatásokhoz tartozó MATLAB fájlok................... 39 ii

Bevezetés Valós folyamatok matematikai modellezésekor szeretnénk a valóságot minél jobban megközelíteni. A modell és modellezett folyamat közötti különbségeket általában két szempont szerint szokás vizsgálni: a kvantitatív (mennyiségi) vizsgálat a valós folyamat és a modell eredménye közötti eltérésre kíváncsi, a kvalitatív (minőségi) vizsgálat pedig a valós folyamatra jellemző tulajdonságok (pl. nemnegativitás vagy folytonosság) megmaradását ellenőrzi. Ebben a dolgozatban az utóbbiról lesz szó. A parciális differenciálegyenletekkel leírható folyamatokhoz kapcsolódó legfontosabb kvalitatív tulajdonságok a maximum-elvek, illetve azok következményei. Ezek közül is leglényegesebb a nemnegativitási tulajdonság, ugyanis sok olyan fizikai mennyiség van, ami nem vehet fel negatív értéket (pl. hőmérséklet Kelvinben, sűrűség), és ezt a tulajdonságot szeretnénk a folytonos matematikai modellre is átörökíteni. Mivel a legtöbb differenciálegyenlet csak numerikusan oldható meg, a numerikus modellektől is elvárjuk a folytonos modell kvalitatív tulajdonságaival ekvivalens tulajdonságok teljesülését. A természetben előforduló fizikai jelenségek matematikai modelljei sok esetben vezetnek elliptikus parciális differenciálegyenletekre. Ilyenek például az energia típusú mennyiségek minimalizálási feladatai, vagy a folytonos közeg áramlását leíró egyensúlyi egyenletek. Ezeknek fontos jellemzőjük, hogy időfüggetlenek, így a numerikus megoldási módszereik alapvetően különböznek a parabolikus vagy hiperbolikus parciális differenciálegyenletekre alkalmazható numerikus módszerektől. A dolgozatban a lineáris másodrendű elliptikus feladatokkal foglalkozunk, Dirichlet-peremfeltétel mellett. Tekintsük korlátos tartományon az Lu = div (p u) + qu operátort, ahol p C 1 ( ), q C( ), 0 < p(x) és 0 q(x) teljesül ( x ). A Dirichlet-feladat ekkor g C( ) esetén: keressük azt u C 2 () C() függvényt, 1

amelyre: Lu = f u = g -ban, -n. Az 1. fejezetben ismertetjük a fentebb definiált Dirichlet-feladat végeselemes diszkretizációjának elméleti alapjait. Ehhez megfogalmazzuk a H 1 () Szoboljevtéren a gyenge feladatot, és összefoglaljuk a feladat megoldhatóságához kapcsolódó eredményeket. Ezután rátérünk a gyenge feladat végeselemes közelítésére, és bemutatjuk a Garjorkin-módszerrel egy W h H 1 () véges dimenziós altérre redukált feladatot. A redukált feladatban az eredeti feladat megoldásának azt az u h W h közelítését keressük, amelyre (p u h v h + qu h v h ) = u h g h V h, fv h, ( v h V h ), ahol V h = W h H 1 0() és g = g nyom értelemben, és g h a g függvény W h -beli közelítése. Végül ismertetjük a végeselem-terekhez kapcsolódó fontosabb alapfogalmakat. Ezután a 2. fejezetben rátérünk a maximum-elvekre. Először a folytonos maximum-elvet mutatom be annak következményeivel, majd kimondom a klasszikus diszkrét maximum-elvet, ami nempozitív f L 2 () forrásfüggvények esetén a következő tulajdonságokat feltételezi az u h közelítő megoldásra: emellett, ha q 0, akkor max u h max{0, max g h}, max u h = max g h, ahol g h a g peremfeltétel W h -beli polinomiális interpolációja. Ezután mutatunk a végeselemes rácsra vonatkozó elégséges tulajdonságot a klasszikus diszkrét maximumelv teljesülésére lineáris végeselemes approximáció esetén. Az utolsó szakaszban az 1 dimenziós Poisson-egyenletet vizsgáljuk homogén Dirichlet-peremmel, és mutatunk 2

ellenpéldát a klasszikus diszkrét maximum-elv kiterjesztésére a magasabbrendű közelítések esetére. A példát elemezve megfogalmazzuk az általános diszkrét maximumelvet a vizsgált feladatra. Ennek lényege, hogy az f forrásfüggvény nempozitivitása helyett az f h V h nempozitivitását tesszük fel, ahol f h az f függvény V h végeselemes altérre vett L 2 -vetülete. A dolgozatban az általános diszkrét maximum-elvet csak a speciális alakú nempozitivitási, illetve nemnegativitási elvként fogalmazzuk meg: f h 0 esetén az u h V h H 1 0() közelítő megoldásra max u h 0 teljesül. Az általános diszkrét maximum-elv teljesülésére mutatható elégséges feltétel magasabbrendű végeselemes közelítésekre is. Végezetül a 3. fejezetben egy konkrét példán keresztül mutatom be a klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülését, és megvizgálom, hogy a forrásfüggvény változtatása hogyan befolyásolja az u h megoldás 0-tól való eltérését. 3

1. Elméleti alapok A dolgozatban másodrendű lineáris egyenletekkel foglalkozunk, a feladatokban Dirichlet-peremfeltételt alkamazva. Ebben a fejezetben az 1.1. részben ismertetjük az elliptikus feladatok megoldásához kapcsolódó alapfogalmakat, majd az 1.2. szakaszban rátérünk a végeselemes közelítés elméleti alapjaira. 1.1. Elliptikus feladatok megoldhatósága A végeselem-módszer elméleti alapjainál a gyenge megoldás fogalmára és a Szoboljev-térbeli becslésekre támaszkodunk, ezért ebben a részben röviden ismertetjük a Szoboljev-tereket, majd rátérünk a gyenge feladat fogalmára, és igazoljuk ennek megoldhatóságát bizonyos feltételek mellett. Az itt leírtak legtöbbször az [1, 3] jegyzeteket követik. Legyen L a következő korlátos tartományon értelmezett lineáris másodrendű elliptikus operátor: Lu = div (p u) + qu, (1.1) ahol p C 1 ( ), q C( ), 0 < p(x) és 0 q(x) teljesül ( x ), és u megfelelően sima függvény. A továbbiakban feltesszük, hogy R d, d 2 és a perem szakaszonként sima és Lipschitz-folytonos. Az L operátorra megfogalmazható a Dirichlet-feladat: 1. Definíció. Legyen g C( ). Keressük azt u C 2 () C() függvényt, amelyre: Lu = f -ban, (1.2) u = g -n. Ha g 0 az tartományon, akkor a feladatot homogénnek nevezzük, különben inhomogén feladatról beszélünk. 4

1.1.1. Szoboljev-terek Először definiáljuk a H 1 () és H 1 0() Szoboljev-tereket, majd röviden ismertetjük a később felhasznált állításokat, bizonyítások nélkül. Az állítások bizonyításai és a Szoboljev-terek részletesebb bemutatása megtalálhatók a [3] könyvben. 2. Definíció. Azt mondjuk, hogy u H 1 (), ha u L 2 (), és ha léteznek olyan g 1,..., g d L 2 () függvények, hogy u i ϕ = g i ϕ, minden ϕ C 0 () és i = 1,..., d esetén. Ekkor az u általánosított első parciális deriváltjait és gradiensét definiálhatjuk a következő képletekkel: i u := g i, u := ( i u,..., i ). A H 1 () téren a skalárszorzat és az indukált norma: u, v H 1 () := uv + u v, u 2 H 1 () := u 2 + u 2. 3. Definíció. Jelölje H0() 1 a H 1 tér megfelelő homogén peremfeltételt teljesítő alterét: H0 1 := { u H 1 () : u = 0 }, ahol u nyom-értelemben tekintendő. Ennek skalárszorzata a H 1 ()-ból öröklődik. 4. Állítás. A H 1 () és H0() 1 terek a megadott skalárszorzatra nézve Hilbert-terek. A Szoboljev-terek egyik alapvető becslése a következő egyenlőtlenség: 5. Állítás (Poincaré-Friedrichs-egyenlőtlenség). Van olyan C > 0 konstans, hogy u L 2 () C u L 2 () ( u H 1 0()), azaz u 2 C u 2. 5

6. Következmény. Az egyenlőtlenségből adódóan H0()-n 1 a H 1 ()-ból öröklöttel ekvivalens normát definiálhatunk: u 2 H0 1() := u 2 L 2 () = Az ehhez tartozó skaláris szorzat: u, v H 1 0 () := u v. u 2. A normák ekvivalenciája miatt H 1 0() az új skalárszorzatra nézve is Hilbert-tér. 1.1.2. Gyenge feladat és megoldhatósága A gyenge megoldás fogalmához tekintsük az (1.2) feladat homogén esetét. Alakítsuk át a feladatot úgy, hogy az Lu = f egyenletet szorozzuk egy v (H0() 1 függvénnyel, és vegyük az integrálját -n, a kapott egyenletre pedig alkalmazzuk a Green-formulát. Az így kapott feladat értelmes akkor is, ha H0()-n 1 keressük a megoldást. Ezek alapján megfogalmazható a gyenge homogén Dirichlet-feladat: 7. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (1.2) Dirichlet-feladat homogén esetének gyenge megoldása az u H0() 1 függvény, ha teljesül a következő egyenlőség: (p u v + quv) = fv ( v H 1 0()). (1.3) 8. Megjegyzés. Az inhomogén eset visszavezethető homogén esetre. Tekintsük az (1.2) inhomogén Dirichlet-feladatot és legyen g H 1 (), melyre g = g nyom értelemben. Ekkor a homogén segédfeladat gyenge alakja felírható a z := u g függvényre, ahol u az eredeti inhomogén feladat gyenge megoldása: (p z v + qzv) = (fv p g v q gv) ( v H 1 0()). Ha ebben a jobb oldali g-os tagokat balra rendezzük, megkapjuk az (1.2) inhomogén Dirichlet-feladat szokásos gyenge alakját: keressük azt az u H 1 () függvényt, amelyre (p u v + quv) = 6 fv ( v H 1 0()),

és u = g nyom értelemben, azaz u g H0(). 1 A tesztfüggvények itt is homogén peremfeltételt teljesítenek, mint a homogén feladat esetében. A gyenge megoldás létezése és egyértelműsége a Hilbert-térbeli bilineáris formák segítségével a Lax-Milgram elmélettel igazolható. A következő tétel bizonyítása megtalálható a [10] jegyzet II.7.2. részében. 9. Tétel (Lax-Milgram-lemma). Legyen H valós Hilbert-tér, a : H H R korlátos (folytonos), koercív bilineáris forma, azaz tegyük fel, hogy M > 0 és m > 0, melyre a(u, v) M u v és a(u, u) m u 2 ( u, v H). Ekkor bármely l : H R korlátos lineáris funkcionálhoz létezik egyetlen olyan u H, melyre a(u, v) = l(v) ( v H). (1.4) Az (1.3) gyenge alakú feladat az (1.4) egyenlőség speciális esete: a(u, v) := (p u v + quv), l(v) := fv, u, v H 1 0(). (1.5) Ha p és q függvények korlátosak, akkor az a(u, v) bilineáris forma koercivitása és korlátossága a p és q függvények tulajdonságaiból adódnak. 10. Állítás. Legyen p L (), q L () és f L 2 (). Ekkor az (1.3) gyenge feladatnak létezik egyértelmű megoldása. Bizonyítás. Az (1.5)-ben definiált a(u, v) formára teljesülnek a 9 Lax-Milgramlemma feltételei: H0() 1 valós Hilbert-tér. A bilinearitás az integrálás tulajdonságaiból következik. A korlátosság p és q korlátosságából, az 5. Poincaré-Friedrichsegynlőtlenségből, valamint a Cauchy Bunyakovszkij Schwarz- 7

egyenlőtlenségből adódik: a(u, v) = (p u v + quv) p u v + p L () u L 2 () v L 2 () + q L () ( p L () + q L ()C) 2 u H 1 }{{} 0 () v H 1 0 (), M ahol C Poincaré-Friedrichs konstans. quv u L 2 () v L 2 () }{{} C 2 u L 2 () v L 2 () A koercivitás p pozitivitása és q nemnegativitása miatt teljesül. Mivel p > 0, és korlátos, ezért m > 0, amelyre p m. Ekkor: a(u, u) = (p u 2 + qu 2 ) m u 2 = m u 2 H 1(). 0 Továbbá az f L 2 () feltételből következik, hogy l korlátos lineáris funkcionál. 11. Megjegyzés. A 9. tétel alkalmazható akkor is, ha a H0() 1 Hilbert-tér helyett annak alterét tekintjük. Ezért ha az (1.3) gyenge feladatot megszorítjuk H0() 1 egy alterére, akkor is létezik egyértelmű megoldás, hiszen a tétel kritériumai igazak minden u, v H0() 1 függvényre, így az altérbeli u és v függvényekre is. 12. Megjegyzés. Az (1.5)-ben definiált a(u, v) bilineáris forma szimmetrikus is, szintén az integrálás tulajdonságai miatt. Ez nem feltétele a Lax-Milgram-lemma teljesülésének, ezért a gyenge feladat nemszimmetrikus esetben is megoldható lenne. 1.2. A végeselem-módszer elméleti alapjai A végeselem-módszer elméleti alapja a Galjorkin módszer. Ennek alapelve az, hogy az (1.3) gyenge feladatot nem az egész H0() 1 téren próbáljuk megoldani, hanem ennek egy véges dimenziós alterén. Ezt a közelítő megoldást az altér egy bázisának segítségével írjuk fel. Ha az alteret és annak bázisát úgy választjuk, hogy 8

a báziselemek kis tartójú függvények legyenek, akkor a módszer megvalósítása lényegesen egyszerűbb lesz. További egyszerűsítés végett az alteret és annak bázisát legtöbbször úgy célszerű választani, hogy a bázisfüggvények szakaszonként polinomiálisak legyenek. Ekkor beszélhetünk végeselem-módszerről. 1.2.1. A Galjorkin-módszer Legyen V h a H0() 1 Hilbert-tér egy n dimenziós altere. Az alsó indexben szereplő h > 0 paraméter a végeselem-módszernél a felosztás finomságát jellemzi majd. Ha az (1.3) gyenge feladat megoldását a u h V h függvények között keressük V h -beli tesztfüggvények mellett, akkor a vetületi egyenlet: a(u h, v h ) = l(v h ) ( v V h ). (1.6) Az egyenletre a 11. megjegyzés szerint alkalmazható a Lax-Milgram-lemma, tehát van egyértelmű u h V h megoldása. Az u h elemet a V h tér egy meghatározott {ϕ 1,..., ϕ n } báziselemeinek lineáris kombinációjaként keressük: n u h = c j ϕ j. (1.7) j=1 Az (1.6) vetületi egyenletben válasszuk tesztfüggvényeknek a ϕ i (i = 1,..., n) bázisfüggvényeket. Megmutatjuk, hogy így egyértelműen meghatározhatjuk a c j együtthatókat. Az egyenlet tehát: a(u h, ϕ i ) = l(ϕ i ) (i = 1,..., n). Az a(u h, ϕ i ) bilineáris formában u h helyére (1.7) kifejezést helyettesítve a bilinearitás miatt kiemelhetjük a szummát és a c j együtthatókat: n a(ϕ j, ϕ i )c j = l(ϕ i ) (i = 1,..., n). j=1 Ez egy n n méretű lineáris egyenletrendszer. Vezessük be az (A h ) ij := a(ϕ j, ϕ i ) (i, j = 1,..., n), b h := (l(ϕ 1 ),..., l(ϕ n )) T, (1.8) c h := (c 1,..., c n ) T 9

jelöléseket. Ekkor az egyenletrendszer mátrixos alakban: A h c h = b h. (1.9) 13. Állítás. Az (1.9) lineáris egyenletrendszerben az A h mátrix szimmetrikus és pozitív definit. Bizonyítás. A szimmetria az a(.,.) bilineáris forma szimmetriájából (12 megjegyzés) közvetlenül következik. Legyenek u h és v h tetszőleges V h -beli elemek. Írjuk fel ezeket a {ϕ 1,..., ϕ n } báziselemek lieáris kombinációjaként: n n u h = c j ϕ j, v h = d j ϕ j, j=1 j=1 és jelölje c, d R n rendre a c j és d j együtthatók vektorait. Ekkor n n n a(u h, v h ) = a c j ϕ j, d j ϕ j = a(ϕ j, ϕ i )c j d i = A h c d. j=1 j=1 i,j=1 Ebböl u h = v h esetben az a(.,.) bilineáris forma koercivitása miatt: A h c c = a(u h, u h ) > 0, tehát A h pozitív definit. 14. Következmény. Az (1.9) lineáris egyenletrendszernek egyértelműen létezik c h R n megoldása. Tehát az (1.2) feladat homogén változatának közelítő megoldása Galjorkinmódszerrel az így kapott (1.9) egyenletrendszer megoldása. Az A h mátrix szokásos elnevezése merevségi mátrix (angolul stiffness matrix ), a jobb oldalon álló b h vektoré pedig tehervektor (angolul load vector ). A Galjorkin-módszer alkalmazható lenne akkor is, ha az a bilineáris forma, és így merevségi mátrix nem lenne szimmetrikus. 10

Az egyenletrendszer merevségi mátrixának és tehervektorának elemei tehát a következő képletekkel számíthatók: (A h ) ij = a(ϕ j, ϕ i ) = (p ϕ j ϕ i + qϕ j ϕ i ), (i, j = 1,..., n), (b h ) i = l(ϕ i ) = fϕ i, (i = 1,..., n). Ha a V h altér {ϕ 1,..., ϕ n } bázisát úgy választjuk meg, hogy a bázisfüggvények kis tartójúak legyenek, akkor a ϕ j, ϕ i függvények tartói között kevés az átfedés, így az a(ϕ j, ϕ i ) elemek között sok nulla lesz. A bázisfüggvények sorrendjének alkalmas megválasztásával az A h mátrix sokszor sávmátrix lesz, ezért az (1.9) egyenletrendszer megoldása lényegesen egyszerűbbé válik. Ha ezen felül a bázisfüggvények még szakaszonként polinomiálisak is, akkor az a(ϕ j, ϕ i ) és l(ϕ i ) értékek kiszámítása lesz könnyebb. Az inhomogén Dirichlet-feladat esetén a V h altér bázisát kell kibővítenünk. A 8. megjegyzésben láttuk az inhomogén feladat gyenge alakját: keressük azt az u H 1 () függvényt, amelyre (p u v + quv) = fv ( v H 1 0()), és u-ra teljesül továbbá, hogy u = g nyom értelemben u g H0(). 1 A v tesztfüggvények itt is homogén peremfeltételűek. A Galjorkin-módszerben az u függvényt a W h H 1 () altéren közelítjük. A tesztfüggvények tere legyen V h := {v W h : v H0()} 1 altér. A 8. megjegyzésben bevezetett g függvény W h -beli közelítését jelölje g h, a z = u g függvény V h -beli vetületét pedig jelölje z h. A korábban bevezetett (1.5) formákkal a Galjorkin-feladat: keressük azt az u h W h függvényt a g h W h vetületi peremfeltétel mellett, amelyre teljesül az inhomogén vetületi egyenlet: a(u h, v h ) = l(v h ) ( v V h ), (1.10) u h g h V h 11

A W h altérhez olyan bázist kell választanunk, amely homogén és inhomogén peremfeltételű tagokat is tartalmaz. A korábban bevezetett {ϕ 1,..., ϕ n } jelölést megtartjuk a V h -beli báziselemekre, és ehhez hozzávesszük a {ϕ n+1,..., ϕ n+m } inhomogén peremfeltételű, W h -beli báziselemeket a perem közelítésére. Így az új bázis: ϕ 1,..., ϕ n, ϕ n+1,..., ϕ n+m, és a közelítő megoldást a következő alakban keressük: n n+m u h = c j ϕ j + c j ϕ j. j=1 }{{} z h j=n+1 }{{} g h Általában a {ϕ n+1,..., ϕ n+m } inhomogén peremfeltételű báziselemeket úgy válsztjuk, hogy tartójuk a perempontok egy kis környezete legyen, így a szumma második része a g peremfeltétel közelítésének tekinthető a peremen. Ekkor nincs szükség g h kiszámítására, a c n+1,..., c n+m együtthatók ismertnek tekinthetők, ezért ezekre bevezetjük rendre a g 1,..., g m jelöléseket. A mátrixos alak felírásához legyen (à h ) i,j := a(ϕ n+j, ϕ i ) (i = 1,..., n, j = 1,..., m), g h := (c n+1,..., c n+m ) T = (g 1,..., g m ) T, (1.11) és legyen A h, c h és b h ugyanaz, mint az (1.8) pontban, homogén esetben. Ekkor az inhomogén feladatra az n n méretű lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja: A h c h + à h g h = b h, (1.12) ahol az ismeretlen c h R n vektort keressük továbbra is. Az A h mátrixra továbbra is érvényes a 13. állítás, ezért létezik egyértelmű megoldás. Az egyenletrendszert átrendezhetjük egy (n + m) (n + m) méretű bővített egyenletrendszerré. Vezessük be a következő jelöléseket: à h  h := A h, ĉ h := c h, b h := b h, (1.13) 0 I g h ahol 0 az m n méretű nullmátrix, I pedig az m m méretű egységmátrix. A kibővített egyenletrendszer: g h  h ĉ h = b h. (1.14) 12

1.2.2. Végeselem-terek Láttuk, hogy a Galjorkin-módszer tényleges megvalósítása függ attól, hogy milyen V h, vagy inhomogén esetben W h alteret, és milyen bázist választunk. A végeselem-módszerben ezek a bázisfüggvények általában szakaszonként polinomok, kis tartóval, a résztartományok d dimenziós poliéderek, és a közelítő megoldást folytonosnak konstruáljuk az egész tartományon. Feltesszük, hogy egy R d -beli poliéder, ekkor a tartomány felbontását a következőképpen értelmezzük: 15. Definíció. Az tartomány triangulációjának nevezzük a T h := {T 1,..., T M } halmazt, ahol (i) T k T h az zárt részhalmaza, a belseje, T k nemüres, és a peremen Lipschitzfolytonos. A dolgozatban feltesszük, hogy ezek poliéderek. (ii) M T k =, k=1 (iii) T i Tj =, ha i j, (iv) a felbontás konform, azaz T i Tj (i j) üres, vagy a közös, alacsonyabb, de azonos dimenziós lapja a T i, T j elemeknek. 16. Definíció. A T h trianguláció finomsága a fellépő legnagyobb átmérő: h := max 1 k M diam(t k). A W h (vagy homogén esetben V h ) altér legyen olyan, hogy elemei szakaszonként polinomok és folytonosak az egész tartományon: ahol P l k jelöli a legfeljebb lk -adfokú polinomok T k -ra való megszorításainak halmazát. W h { u C() : u Tk P l k, T k T h }, Általában W h -ra teljesülnek a következő tulajdonságok is: 13

A T k halmazok azonos típusúak pl. csak nem elfajuló d-szimplexek. l k l, vagyis minden résztartományok azonos fokú polinomokat tekintünk. Előfordulhat, hogy W h -ban u Tk veheti fel. nem az összes legfeljebb l k -adfokú polinomot Az l-edfokú polinomokat T k -ban kijelölt csomóponti értékek határozzák meg. Ezek függvényértékek vagy deriváltértékek lehetnek. Amikor a csomóponti értékek csak függvényértékek, akkor a bázis olyan polinomokból áll, melyek egy adott csomópontban 1-et, a többiben 0-t vesznek fel, azaz, ha x 1,..., x r jelöli a csomópontokat, akkor ϕ(x i ) = δ ij, ahol δ ij a Kronecker-szimbólum. 17. Példa. 1D-ben a legegyszerűbb W h altér a folytonos, szakaszonként lineáris függvények tere, melynek bázisát a ϕ i (x j ) = δ i,j kalapfüggévnyek alkotják (lásd 1.1 ábra). 18. Példa. 2D-ben a leggyakrabban használt trianguláció T k elemei nem elfajuló háromszögek, u Tk folytonos, szakaszonként lineáris függvény, és a csomóponti értékek a háromszög csúcsaiban vett függvényértékek. A W h altér: W h = { } u C() : u Tk P 1, T k T h. Ezeknek a végeselemeknek szokásos elnevezése a T 3 vagy Courant-elem. A W h altér bázisát (a síkbeli csomópontokat most (x i, y j )-vel jelölve) a ϕ ij (x k, y l ) = δ ik δ jl feltétel alapján meghatározott sátorfüggvények alkotják. A megoldás alakját és a báziselemeket a 1.2 ábra szemlélteti. 19. Példa. A fentiek általánosítása az R d poliéder tartományon a T d d+1 elem, ahol T k : nem elfajuló d-szimplex, u Tk : lineáris függvény, ( T k T h ). 14

1.1. ábra. A 17. példa W h altere a [0, 1] intervallumon: u h szakaszonként lineáris (felső ábra), a báziselemek a φ i (x j ) = δ i,j kalapfüggvények (alsó ábra) A csomópontok a szimplexek csúcsai, ezekből d + 1 darab van. A csúcsokban felvett értékek egyértelműen meghatározzák u Tk -t, T k T h. Emellett u a d-szimplex d 1 dimenziós lapjai mentén is értelmes, folytonos függvény, mivel két szomszédos d-szimplex d 1 dimenziós közös lapján a csúcsbeli függvényértékek egyértelműen meghatározzák a közös lapon vett lineáris függvényt. Az altér tehát W h = { } u C() : u Tk P 1, T k T h. További példák találhatók végeselemekre az [1, 9] jegyzetekben. 15

1.2. ábra. A 17. példa W h altere a [0, 1] 2 intervallumon: u Tk folytonos, szakaszonként lineáris függvény (felső ábra), báziselemek a φ ij (x k, y l ) = δ ik δ jl sátorfüggvények (alsó ábra) 16

2. Folytonos és diszkrét maximum-elvek elliptikus feladatra Ebben a fejezetben először a folytonos maximum-elvet mutatjuk be az 1. fejezetben definiált L operátorra, és annak következményeit az operátor segítségével megfogalmazható Dirichlet-peremértékfeladatra. Ezután a 2.2. részben rátérünk a feladat végeselemes approximációjára, és megfogalmazzuk a klasszikus diszkrét maximumelvet, ami a szakaszonként lineáris közelítésre igazolható. Végül 2.3. pontban ismertetjük az általánosított diszkrét maximum-elv ötletét magasabbrendű közelítésekre. 2.1. Folytonos maximum-elv Az itt bemutatott maximum-elvnél erősebb állítás is megfogalmazható az L operátorra, azonban a végeselemes-módszerre ez a változat terjeszthető ki. A folytonos maximu-elvekkel bővebben foglalkozik pl. [7]. Az (1.1) L operátorra teljesül a következő tétel: 20. Tétel (Maximum-elv az L operátorra). Legyen u C 2 () C(), melyre Lu = f az tartományon. Ha f 0, akkor és ha emellett q 0, akkor max u max{0, max u}, (2.1) max u = max u. (2.2) Bizonyítás. [2] Legyen v C 1 () és v = 0. Az Lu kifejezést szorozzuk v-vel, és vegyük az integrálját -n. A Green-formula alkalmazásával az L operátor divergenciaformáját kapjuk: (p u v + quv) = 17 fv (2.3)

Legyen M := max{0, max u}, és definiáljuk v-t a következőképp: v := max{u M, 0}. Ekkor v definíció szerint szakaszonként C 2 -beli, v 0 és v = 0. Mivel f 0, a (2.3) integrál jobb oldala: fv 0. Jelölje + := {x : v(x) > 0} halmazt. Ekkor az integrál \ + -on 0, + -on pedig u = v + M adódik, így 0 fv = (p u v + quv) = + ( p v 2 + q(v + M)v ) 0. Ebből v konstans, és mivel v = 0, így v 0, amiből u M adódik -n. Most tegyük fel, hogy q = 0. Mivel az integrálban ekkor a q-t tartalmazó tagok kiesnek, nem kell feltennünk, hogy M 0. Legyen M := max u, v pedig ugyanaz, mint az előző esetben. Ekkor a korábbiakhoz hasonlóan: 0 fv = amiből v 0 és u M, így max u = max u. p u v = p v 2 0, + 21. Következmény (Maximum-elv Dirichlet-feladatra). Legyen u C 2 () C() az (1.2) feladat megoldása. Ha f 0 -n, akkor max u max{0, max g}, és ha q 0, akkor max u = max g. Ebből azonnal következik a minimum-elv, ennek igazolásához elég u-t u-val helyettesítenünk (1.2)-ben. 22. Következmény (Minimum-elv Dirichlet-feladatra). Legyen u C 2 () C() az (1.2) feladat megoldása. Ha f 0 -n, akkor min u min{0, min g}, és ha emellett q 0, akkor min u = min g. 18

A maximum- és minimum-elvekből közvetlenül adódnak a nempozitivitási és nemnegativitási tulajdonságok. 23. Következmény (Nempozitivitási és nemnegativitási tulajdonság). Legyen u C 2 () C() az (1.2) feladat megoldása. Ha f 0 és g 0, akkor u 0, illetve ha f 0 és g 0, akkor u 0 is teljesül. 24. Megjegyzés. A 20. tétel és annak következményei kiterjeszthetők az u H 1 () esetre, ha u lényegében korlátos (azaz van olyan szám, ami majdnem mindenütt alsó/felső korlátja u-nak). Ekkor max u helyett a lényeges szuprémumot illetve infinumot kell vennünk a 20. tételben, valamint a 21. és 22. következményekben is -n és -n, továbbá az (1.2) feladatnál gyenge megoldást keresünk. 2.2. Klasszikus diszkrét maximum-elv szakaszonként lineáris elemekre Ebben a szakaszban bemutatjuk a klasszikus diszkrét maximum-elvet. A tétel a szakaszonként lineáris függvényekkel való végeselemes approximációnál a tartomány felosztásának szögeire tett feltétel mellett teljesül. Azonban a 2.3. fejezetben látni fogjuk, hogy a magasabb fokú végeselemes közelítések (hp-fem) esetén már egy dimenziós tartományon is van ellenpélda. 25. Definíció. Az (1.10) inhomogén Dirichlet-feladat kielégíti a klasszikus diszkrét maximum-elvet, ha f 0 esetén az u h megoldásra teljesül: emellett, ha q 0, akkor max u h max{0, max g h}, (2.4) max u h = max g h. (2.5) A fenti kifejezésekben g h a g peremfeltétel W h -beli polinomiális interpolációja. A következőkben elégséges feltételt mutatunk a klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülésére a szakaszonként lineáris végeselemek alkalmazás esetén. 19

2.2.1. Mátrix maximum-elv Először fogalmazzuk meg az inhomogén Dirichlet-feladathoz tartozó lineáris egyenletrendszer szintjén a maximum-elvet. A következő szakaszban látni fogjuk, hogy lineáris végeselemek alkalmazásakor a mátrixokra megfogalmazott maximumelv teljesülése elégséges feltételt szolgáltat a 25. klasszikus maximum-elv teljesülésére. 26. Definíció. Az n dimenziós négyzetes M = (m ij ) n i,j=1 mátrixot irreducibilisen diagonálisan dominánsnak nevezzük, ha kielégíti a következő feltételeket: (a) M irreducibilis, azaz i j esetén létezik M elemeinek egy nemnulla {m i,i1, m i1,i 2,..., m is,j} sorozata, ahol i, i 1,..., i s, j különböző indexek, (b) M diagonálisan domináns, azaz n m i,i m i,j, i = 1,..., n, j=1 j i (c) M-nek legalább az egyik sora szigorúan diagonálisan domináns, azaz i 0 {1,..., n}, melyre m i0,i 0 > n m i0,j j=1 j i 0 27. Tétel. Ha az n dimenziós négyzetes M = (m ij ) n i,j=1 mátrix irreducibilisen diagonálisan domináns, m ij 0, ha i j és m ii > 0 minden i = 1,, n esetén, akkor M 1 > 0. A tétel bizonyítása megtalálható [11] 85. oldalán. 28. Tétel (Mátrix maximum-elv). Tekintsük az (1.13) pontban definiált Âh = (a ij ) n+m i,j=1 R (n+m) (n+m) mátrixot és ĉ h = (c 1,..., c n+m ) T R n+m vektort. Tegyük fel, hogy Âh-ra teljesülnek a következő feltételek: (i) a ii > 0, i = 1,..., n, 20

(ii) a ij 0, i = 1,..., n, j = 1,..., n + m, i j, (iii) n+m j=1 a ij 0, i = 1,..., n, (iv) A h ireducibilisan diagonálisan domináns. Ekkor ha a ĉ h olyan, hogy (Âhĉh) i 0, minden i = 1,..., n, akkor { } max c i max 0, max c i, (2.6) 1 i n+m n+1 i n+m és ha ezen felül is teljesül, akkor n+m j=1 a ij = 0, i = 1,..., n (2.7) max c i = max c i. (2.8) 1 i n+m n+1 i n+m Bizonyítás. [2] Tekintsük a ĉ h vektor kövektező felbontását: ĉ h = (c h, g h ) T, ahol c h = (c 1,..., c n ) T és g h = (c n+1,..., c n+m ) T. Tegyük fel, hogy A h c h + à h g h 0 R n. Ekkor azt kapjuk, hogy c h A 1 h Ãhg h, ahol az A 1 Ãh mátrix nemnegatív, hiszen a tétel feltevései és a 27. tétel miatt A 1 h > 0 és à h 0. Legyen 1 = (1,..., 1) T R n és 1 = (1,..., 1) T R m. Ekkor (iii) miatt A h 1 + à h 1 0 R n, azaz 1 A 1 h Ãh 1. Az előzőekből adódóan c h vektor felülről becsülhető: c h A 1 h max amiből (2.6) következik. { Ãhg h max { 0, max n+1 i n+m c i 0, max } 1, n+1 i n+m c i } h ( A 1 h Ãh 1) Ha a (2.7) feltétel teljesül, azt felhasználva A h 1 + à h 1 = 0 R n, tehát 1 = A 1 h Ãh 1 adódik. A c h vektor felső becslésénél az egyenlőség miatt elhagyhatjuk a nemnegativitási feltételt: ( ) ( ) c h A 1 h Ãhg h max c i ( A 1 n+1 i n+m h Ãh 1) = max c i 1, n+1 i n+m és ebből következik (2.8). 21

29. Megjegyzés. Abban az esetben, ha q 0, akkor a(1, ϕ i ) = 0 teljesül minden i = 1,..., n esetén. Ha ezen felül a bázisfüggvényekre n+m j=1 ϕ j 1 teljesül -n, akkor minden i = 1,..., n esetén teljesül a 28. tételbeli (2.7) feltétel, ugyanis: n+m n+m a(ϕ j, ϕ i ) = a, ϕ i = a(1, ϕ i ) = 0. j=1 ϕ j j=1 30. Megjegyzés. A 28. tételben a (2.7) állítás a g 0 esetben magába foglalja a nempozitivitási tulajdonságot, ugyanis ekkor c i 0, i = n + 1,..., n + m, amiből az állítás miatt: max c i 0. 1 i n+m 31. Megjegyzés. A 28. tételből adódóan homogén Dirichlet-feladat esetén szintén teljesül a nempozitivitási feltétel. Ebben az esetben c i = 0, i = n + 1,..., n + m, ezért az (1.12)-beli A h c h +Ã h g h = b h lineáris egyenletrendszer az (1.9)-ben adott A h c h = b h alakra redukálódik, ahol A h (iv) miatt irreducibilisen diagonálisan domináns. Az (A h c h ) i 0, i = 1,..., n feltételből ekkor max c i 0 1 i n adódik, ami analóg a tételbeli (2.7) állítással. 32. Megjegyzés. A 28. tétel (2.6) és (2.8) állításai analóg diszkrét megfogalmazásai a 25. klasszikus maximum-elv (2.4) és (2.5) állításainak. 2.2.2. A lineáris végeslemekre tett elégséges kikötések Ebben a részben először megmutatjuk, hogy a 19. példában bemutatott T d d+1 végeselemek alkalmazásakor a mátrix maximum-elv teljesülése elégséges feltétel a klasszikus maximum-elvre, ezután pedig elégséges feltételt mutatunk a mátrix maximum-elv, és így a klasszikus maximum-elv teljesülésére. Az itt bemutatott eredményekkel pl. [4] foglalkozik. Lineáris végeselemes közelítés esén T k T h elemre u h Tk lineáris, ezért u h Tk csak a T k elem csúcsaiban veheti fel maximumát. Így elegendő a 25. klasszikus maximum-elvet az u h függvény rácscsomópontokban felvett értékeire igazolnunk. 22

Tekintsük az R d poliéder tartomány egy T h = {T 1,..., T M } triangulációját, melynek elemei nem elfajuló d-szimplexek. Legyenek B i, i = 1,..., n + m a csúcsok T h -ban, ahol B i az i = 1,..., n indexekre a belső csúcsokat, i = n + 1,..., n + m indexekre pedig a -n lévő csúcsokat jelöli. Legyen W h a szakaszonként lineáris függvények tere, ahol bázist alkotnak a ϕ i (B j ) = δ(i, j), i, j = 1,..., n+m feltétellel definiált függvények. Ekkor az u h W h közelítésnek a peremen felvett értékei: c n+j = g j = g(b n+j ), ha j = 1,..., m. Keressük az u h megoldásnak a belső csúcsokhoz tartozó c 1,..., c n értékeit. Az f 0 feltételből lineáris esetben következik (Âhĉh) i 0, minden i = 1,..., n esetén, mert ϕ i 0, (i = 1,..., n), és így l(ϕ i ) 0 (i = 1,..., n) teljesül. A 2.3 fejezetben látni fogjuk, hogy magasabbrendű végeselemes közelítések esetén f nempozitivitásából nem következik a jobboldal nempozitivitása, ezért ezekben az esetekben más feltételhez kell kötnünk a maximum-elv teljesülését. Lineáris esetben a bázisra a n+m j=1 ϕ j 1 teljesül, így a 29. megjegyzés miatt q 0 feltételből következik a 28. tételbeli (2.7) feltétel, azaz ekkor a merevségi mátrix minden sorösszege 0. A fentiek alapján lineáris végeselemes approximációnál, ha az Âh merevségi mátrixra a 28. tételben adott (i)-(iv) feltételek teljesülnek, akkor a 25. klasszikus maximum-elv is teljesül az inhomogén Dirichlet-feladatra. Ezen feltételek biztosítására szintén van elégséges feltétel. Ekkor a trianguláció megfelelő finomsága mellett a rácsra tett szögfeltétellel biztosíthatók az Âh merevségi mátrix megfelelő tulajdonságai. Tekintsünk egy T k T h d-szimplexet. Jelölje ˆB r, r = 1,..., d + 1 a csúcsait, és legyenek ˆϕ r, r = 1,..., d+1 a megfelelő bázisfüggvények megszorításai T k -ra. Ekkor tehát ˆϕ r ( ˆB s ) = δ(r, s), minden r, s = 1,..., d + 1 esetén. A bevezetett jelölések segítségével definiálhatjuk a T k elem egy jellemző paraméterét: σ(t k ) := max 1 r,s d+1 r s {cos( ˆϕ r, ˆϕ s )}. 23

Ekkor a T h trianguláció jellemezhető a következő paraméterekkel: h = max T k T h diam(t k ), σ(h) := max T k T h σ(t k ), ahol h megegyezik a korábban 16. pontban definiált finomsággal. 33. Állítás. Tekintsük a T h triangulációk egy sorozatát, ahol h 0. Ekkor a 25. klasszikus maximum-elv teljesül, ha σ 0 > 0 úgy, hogy σ(h) σ 0 < 0 ( h), (2.9) h elegendően kicsi (2.10) Bizonyítás. Az előzőek alapján a 25. klasszikus maximum-elv teljesüléséhez elég belátni, hogy az Âh (i)-(iv) feltételek. = (a ij ) n+m i,j=1 merevségi mátrixra igazak a 28. tételben adott (i) Az a(.,.) bilineáris forma koercivitása miatt a ii = a(ϕ i, ϕ i ) > 0, i = 1,..., n. (ii) Tegyük fel, hogy (2.9) teljesül, és i j. Definiáljuk ij := supp ϕ i supp ϕ j tartományt. Ekkor az a(ϕ i, ϕ i ) bilineáris forma az \ ij tartományon 0, ezért: a ij = a(ϕ j, ϕ i ) = (p ϕ j ϕ i + qϕ j ϕ i ) = ij = (p ϕ j ϕ i + qϕ j ϕ i ). T k T k ij Rögzítsünk egy T k ij elemet. A p alulról korlátos, jelölje az alsó korlátját m. Ekkor (p ϕ j ϕ i + qϕ j ϕ i ) T k mσ(h) ϕ j ϕ i + q L T k }{{}}{{} () 1 h 1 h ( σ ) 0 h m + q 2 L () λ(t k ) 0, T k ϕ j ϕ i }{{}}{{} 1 1 ha h elég kicsi, azaz (2.10). A λ(t k ) a T k d-szimplex Lebesgue-mértékét jelöli. Vegyük észre, hogy ha h elég kicsi, akkor < reláció is teljesül, azaz a ij < 0, ha i = 1,..., n, j = 1,..., n + m, i j. 24

(iii) A bázisfüggvényekre n+m j=1 ϕ j 1 teljesül, emiatt: n+m j=1 a ij = = n+m j=1 a(ϕ j, ϕ i ) = n+m p ϕ i j=1 n+m ϕ j } j=1 {{ } 1 (p ϕ j ϕ i + qϕ j ϕ i ) + qϕ i n+m ϕ j } j=1 {{ } 1 = q ϕ i }{{}}{{} 0 0 0. (iv) A h irreducibilitása abból adódik, hogy tetszőleges B i, B j csúcsokhoz, ahol i j, van különböző csúcsoknak olyan {B i = B i0, B i1,..., B is = B j } sorozata, amelynek bármely két egymást követő B ir, B ir+1, (0 r s 1) elemeihez tartozó ϕ ir, ϕ ir+1 bázisfüggvényekre supp ϕ ir supp ϕ ir+1 teljesül. A (ii) pontban beláttuk, hogy megfelelően kicsi h esetén a ij < 0, ha i j, ezért van olyan h, amivel a ir,i r+1 < 0, (0 r s 1) teljesül. Ekkor tehát igaz a 26-beli (a) feltétel. A 26-beli (b) és (c) igazolásához tekintsük (iii) feltételt. Tegyük fel, hogy h elegendően kicsi, és így a ij < 0, ha i = 1,..., n, j = 1,..., n + m, i j. Ekkor tetszőleges 1 i n esetén n+m n n+m a ij = a i,i + a ij + a ij j=1 }{{} j=1 }{{} j=n+1 }{{} >0 i j <0 <0 (i) ből Ezt átalakítva azaz n n+m a i,i a ij a ij > 0, j=1 j=n+1 }{{} i j >0 n a i,i > a ij. j=1 i j n n+m = a i,i a ij a ij 0. j=1 j=n+1 i j Tehát ekkor a 26-beli (b) és (c) feltétel is teljesül, ha h elegendően kicsi. 34. Megjegyzés. 2D-ben (2.9) pontosan akkor teljesül, ha ɛ > 0 úgy, hogy h-ra T k T h háromszög minden α belső szögére α π/2 ɛ teljesül, azaz a végeselemes rács minden szöge egyenletesen hegyesszög. Abban az esetben, ha q 0, akkor ɛ = 0 is megengedett, azaz a rácsban ekkor derékszögek is lehetnek. 25

2.3. Általánosított diszkrét maximum-elv magasabbrendű elemekre Ebben a szakaszban az 1 dimenziós Poisson-egyenlet végelselemes approximációját vizsgáljuk. Először egy ellenpéldán keresztül igazoljuk, hogy a klasszikus diszkrét maximum-elv nem terjeszthető ki a magasabbrendű végeselemes közelítésekre (hp- FEM). Ennek az az oka, hogy a jobb oldali f függvény nempozitivitásából nem feltétlenül következik l(.) korlátos lineáris funkcionál nempozitivitása. A probléma kiküszöbölésésre kimondjuk az általánosított diszkrét maximum-elvet, ami a nempozitivitást az f függvény helyett annak V h térbeli L 2 -vetületére feltételezi. Végül megmutatjuk, hogy az általánosított diszkrét maximum-elv bizonyos feltevések mellett igazolható magasabbrendű közelítésekre is. A szakaszban bemutatott eredmények [5]-ből származnak. Tekintsük az = (a, b) R intervallumon a u = f Poisson-egyenletet homogén Dirichlet-peremmel, azaz u(a) = u(b) = 0. Ez a korábban definiált (1.2) feladatnak a p 1 és q 0 esete. A gyenge feladat ekkor: adott f L 2 () mellett keressük azt az u H0() 1 függvényt, amelyre b a u (x)v (x) dx = b a f(x)v(x) dx, ( v H 1 0()). (2.11) Tegyük fel, hogy f L 2 (), és osszuk fel -t M darab szakaszra: a = x 0 < x 1 <... < x M = b. Ekkor a T h trianguláció elemei a T k = [x k 1, x k ] intervallumok. A V h H0() 1 altér legyen most a szakaszonként polinom függvények tere: V h = { u C() : u Tk P p k, T k T h és u(a) = u(b) = 0 }. A végeselemes feladat tehát: keressük azt az u h V h függvényt, amire teljesül a következő: b a u h(x)v h(x) dx = b a f(x)v h (x) dx, ( v h V h ). (2.12) 35. Definíció. A (2.12) diszkrét feladatban jelölje az f L 2 () függvény V h altérre 26

vett L 2 -vetületét f h V h, ha f h -ra teljesül: b a (f h (x) f(x))v h (x) dx = 0 ( v h V h ). (2.13) 36. Megjegyzés. A (2.13) egyenletet átalakítva b a f h (x)v h (x) dx = b a f(x)v h (x) dx = 0 ( v h V h ), (2.14) tehát a diszkrét feladat megoldásánál a tehervektort az f és az f h függvényből számolva ugyanazt kapjuk. 2.3.1. Ellenpélda a klasszikus diszkrét maximum-elv kiterjesztésére magasabbrendű közelítésre Megmutatható, hogy a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv már a harmadrendű végeselemek esetére sem terjeszthető ki, tehát amikor u Tk P p, ahol p = 3 ( T k T h ). Ennek bizonyításához tekintsük az Lobatto-polinomokat a [ 1, 1] intervallumon: l k (x) = x 1 L k 1 (ξ) dξ, 2 k, (2.15) ahol L k 1 a normált k 1 fokú Legendre-poninomot jelöli. Ekkor l 2, l 3,... függvények ±1-ben 0 értéket vesznek fel, és a H0-beli 1 skaláris szorzásra nézve ortonormáltak: l i, l j H 1 0 () = x 1 l i(x)l j(x) dx = δ ij, 2 i, j. (2.16) 37. Példa. Az = ( 1, 1) intervallumon tekintsük a T h = {T 1 } = {[ 1, 1]} triangulációt. Harmadfokú közelítés esetén a V h altér bázisát alkotják az l 2, l 3 függvények, és a közelítő megoldás felírható u h = y 1 l 2 (x) + y 2 l 3 (x) alakban. Ekkor (2.16) miatt a merevségi mátrix a 2 2 dimenziós egységmátrix, és az ismeretlen y 1, y 2 együtthatók felírhatók a következőképp: 1 2 1 y i = y i l j+1(x)l i+1(x) dx = f(x)l i+1 (x) dx, i = 1, 2. (2.17) 1 j=1 1 Legyen f a következő: f = 200e 10(x+1). (2.18) 27

Ekkor az együtthatókra azt kapjuk, hogy: y 1 = 6 (9 + 11e 20 ) 10 Tehát u-ra a végeselemes közelítés:, y 2 = 10 (73 133e 20 ). 100 u h (x) = 1 40 (1 x2 )(54 + 66e 20 (73 133e 20 )x). (2.19) A 2.1 bal oldali ábrán látható, hogy u h negatív értékeket is felvesz az -n, tehát a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv ekkor nem teljesül. Ahhoz, hogy megértsük, miért nem igaz a feladatra a 25., vizsgáljuk meg az f h vetületet. Írjuk fel f h -t az l 2, l 3 bázisfüggvények segítségével. Ezt (2.13)-be helyettesítve egy lineáris egyenletrendszert kapunk, amit megoldva: f h (x) = 3 80 (1 x2 )(110e 20 + 90 + (931e 20 511)x). (2.20) Ekkor, mint ahogy a 2.1 jobb oldali ábrán megfigyelhető, f h negatív értékeket is felvesz az -n. Ez azt jelenti, hogy nem teljesül a (2.12) diszkrét feladatban a jobb oldal nemnegativitása vagyis nem teljesül a mátrix maximum-elv egyik feltétele. 2.1. ábra. Bal oldalon: a 37. példa harmadfokú közelítése (folytonos vonallal), és a pontos megoldás (szaggatott vonallal). Jobb oldalon: az f függvény (2.18) (szaggatottal), valamint az f h vetületi függvény (folytonos vonallal) [5]. 28

2.3.2. Általánosított diszkrét maximum-elv A 37. példabeli megfontolások alapján kimondható a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv általánosabb megfelelője, ahol f helyett az f h vetületi függvényre adunk meg feltételt. A dolgozatban az általános diszkrét maximum-elvet csak a speciális alakú nempozitivitási illetve nemnegativitási elvként fogalmazzuk meg. Ebből következik az általánosabb eset is. 38. Definíció. Legyen az f h V h az f L 2 () függvény L 2 -vetülete V h -ra, amelyre (2.13) teljesül. Azt mondjuk, hogy a (2.12) diszkrét homogén Dirichlet-feladat kielégíti az általánosított diszkrét maximum-elvet, ha f h 0 esetén u h V h megoldásra: max u h 0. (2.21) Az általánosított minimum-elv analóg módon megfogalmazható: 39. Definíció. Legyen az f h V h az f L 2 () függvény L 2 -vetülete V h -ra, amelyre (2.13) teljesül. Azt mondjuk, hogy a (2.12) diszkrét homogén Dirichlet-feladat kielégíti az általánosított minimum-elvet, ha f h 0 esetén u h V h megoldásra: min u h 0. (2.22) 40. Megjegyzés. A 25. klasszikus diszkrét maximum-elvből következik a 38. általánosított diszkrét maximum-elv. A következőkben megmutatjuk, hogy a 39. általánosított minimum-elv teljesül a (2.12) feladatra, ha van olyan kvadratúra formula, ami teljesít bizonyos feltételeket. 41. Definíció. Legyenek l k (x), k 2 a (2.15) pontban definiált Lobatto-polinomok. Ekkor (x, z) [ 1, 1] 2 és p 1 esetén definiálhatjuk a következő függvényeket: φ 1 (x, z) := 0, ha p = 1 φ p (x, z) := p 1 k=1 l k+1 (x)l k+1 (z), különben. (2.23) 29

Ekkor φ p a diszkrét Green-függvény a (2.12) feladatra a T h = {T 1 } = {[ 1, 1]} trianguláció mellett. Mivel l i+1 (±1) = 0, minden i 1 esetén, ezért φ p (x, z) = 0, (x, y), (2.24) ahol továbbra is a peremet jelöli. 42. Definíció. Legyenek K p + [ 1, 1] 2 és K p + (x) [ 1, 1] minden q esetén a következő halmazok: K p + := {(x, z) [ 1, 1]2 : φ p (x, z) 0}, K p + (x) := {z [ 1, 1] : (x, z) K p + }. 43. Lemma. Minden (x, z) [ 1, 1] 2 és p 1 esetén φ p (x, z) = φ p ( x, z) = φ p (z, x) teljesül. Bizonyítás. A φ p (x, z) = φ p (z, x) szimmetria φ p (x, z) (2.23). definíciójából közvetlen adódik. A Legendre-polinomokról tudjuk, hogy paritásuk megegyezik a fokszámuk paritásával, és ez (2.15) miatt l k (x) függvényekre is teljesül. Ekkor φ p (x, z) = p 1 k=1 l k+1 (x)l k+1 (z) = p 1 k=1 l k+1 ( x)l k+1 ( z) = φ p ( x, z), p 1. 44. Tétel. Legyen = (a, b) R. Tekintsük a (2.12) feladatot a T h = {T 1,..., T M } trianguláció, és p 1,..., p M fokszámok mellett. Ha p {p 1,..., p M } valamint x ( 1, 1) esetén L 2p (x) kvadratúra folrmula úgy, hogy: (i) L 2p (x) pontos a 2p fokú polinomokra [ 1, 1]-ben, (ii) L 2p (x)-hoz a súlyok nemnegatívak, (iii) L 2p (x) minden alappontja K p + (x)-beli. Ekkor a (2.12) feladat kielégíti a 39. általánosított minimum-elvet, és így a 38. általánosított maximum-elvet is. 30

Bizonyítás. Tekintsük a (2.11) feladat u H 1 0() megoldását adott f L 2 () mellett. Legyen az f h V h az f L 2 () függvény L 2 -vetülete V h -ra, amelyre (2.13) teljesül. Ekkor az u h V h közelítés a következő formulával adott: b a u h(x)v h(x) dx = b a f(x)v h (x) dx = b a f h (x)v h (x) dx, ( v h V h ). Vezessük be a következő kiegészítő folytonos problémát: keressük az ũ H 1 0() függvényt, amelyre b ũ (x)v (x) dx = a b a f h (x)v(x) dx, ( v H 1 0()). Az egydimenziós Laplace-egyenlet megoldásának lineáris végeselsmes közelítése pontos minden osztópontban, és ez a tulajdonság magasabbrendű közelítésekre is igazolható (lásd: [6]). Emiatt teljesül u h (x i ) = u(x i ) = ũ(x i ), i = 0, 1,..., M. A folytonos minimum-elv miatt ũ(x i ) 0 az -n, így u h (x i ) 0, minden i = 0, 1,..., M esetén, ezért a tételt elég a T 1 = esetre belátni, ahol = ( 1, 1). Az u h V h megoldást a következő alakban keressük: p 1 u h = y i l i+1 (x). (2.25) i=1 y i = 1 1 Ezt behelyettesítve (2.25) egyenletbe p 1 ( 1 u h = i=1 1 ahol φ p (x, z) a (2.23) szerinti. f h (z)l i+1 (z) dz, i = 1, 2,..., p 1. ) 1 f h (z)l i+1 (z) dz l i+1 (x) = f h (z)φ p (x, z) dz, (2.26) 1 Rögzítsük az x ( 1, 1) pontot, és tegyük fel, hogy L 2p (x) kvadratúra formula z 0,..., z 2p K + p (x) pontokkal és w 0,..., w 2p nemnegatív súlyokkal. Az f h (z)φ p (x, z) szorzatról tudjuk, hogy legfeljebb 2p-edfokú polinom z-ben tetszőleges rögzített x esetén, ezért (i)-ból L 2p (x) pontos minden f h (z)φ p (x, z)-re. Ekkor (2.26) miatt u h = 1 1 f h (z)φ p (x, z) dz = 31 2p w i f }{{} h (z i ) φ p (x, z i ) 0, (2.27) }{{} i=0 }{{} 0 0 0

ahol w i és f h (z i ) nemnegativitása a feltevésekből adódik, φ p (x, z i ) 0 pedig z i K + p (x) miatt teljesül. Tehát (2.27) pontból következik, hogy u h (x) 0 minden x ( 1, 1) esetén, és így u h a peremen felveszi minimumát, tehát 39. teljesül. A p = 2, 4, 6 esetekben belátható, hogy φ p (x, z) 0 minden (x, z) [ 1, 1] 2, így ezekben az esetekben a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv is igazolható. A 38. általánosított diszkrét maximum-elv teljesülésének igazolásához minden más p 2 esetre mutatnunk kell olyan kvadratúra formulát, amelyre a 44. tételbeli (i)-(iii) feltételek teljesülnek. A 43. lemmabeli szimmetria miatt elegendő, ha az x [0, 1)-en találunk ilyen kvadratúra formulákat. Az [5] 6. részében mutatnak példát a feltételeket kielégítő kvadratúra formulák konstuálására p 10 esetekre. 32

3. Számítógépes vizsgálatok Ebben a fejezetben bemutatunk a témához kötődően néhány futtatást, ami szemlélteti a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülését lineáris végeselemekre. Ehhez az egységnégyzeten adott Poisson-egyenletet tekintjük homogén Dirichletperemmel. A feladatot különböző nemnegatív forrásfüggényekre oldjuk meg. A megoldás során egyrészt ellenőrizzük a nemnegativitás teljesülését, másrészt vizsgáljuk, hogy kisebb forrásfüggvényekre az eredmény közelebb kerül-e 0-hoz. A számítások MATLAB programcsomag segítségével készültek. 3.1. A feladat leírása Keressük az alábbi homogén Dirichlet-feladat végeselemes megoldását, különböző f L 2 () forrásfüggvények mellett, ahol f 0: u = f, ha (x, y) := (0, 1) (0, 1), u(x, y) = 0, ha (x, y). (3.1) A 18. pédában bemutatott Courant-elemekkel dolgozunk, azaz a T h trianguláció elemei háromszögek, u Tk folytonos, szakaszonként lineáris függvény, és a csomóponti értékek a háromszög csúcsaiban vett függvényértékek. A V h altér ekkor: A V h V h = { u C() : u Tk P 1, T k T h, és u = 0 }. altér bázisát (a síkbeli belső csomópontokat (x i, y j )-vel jelölve) a szokásos ϕ ij (x k, y l ) = δ ik δ jl feltétel alapján meghatározott sátorfüggvények alkotják (1.2 ábra). Mivel a (3.1) feladatban q 0, ezért a 33. állítás és a 34. megjegyzés miatt a a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv teljesül a feladatra, ha a háromszögrácsban minden α belső szögre α π/2 teljesül, és h elegendően kicsi, ezért alkalmazzunk 33

szabályos háromszögrácsot. A szabályos háromszögrácsot négyzetrácsból származtatjuk úgy, hogy a négyzeteket az ugyanolyan irányú átlóival daraboljuk. A rács belső osztóponjainak számát n jelöli. A források legyenek a következő L 2 ()-beli nemnegatív függvények: f 1 1, 1, x k f 2,k = 0, különben 1, x k vagy x 1 k vagy f 3,k = y k vagy y 1 k, (3.2) 0, különben 1, k x, y 1 k f 4,k = 0, különben A belső osztópontok száma legyen n = 30, és számítsuk ki a (3.1) feladat u h végeselemes megoldását f 1, f 2,k, f 3,k, f 4,k (3.2) források és adott k paraméterek mellett. Alkalmazzuk a k = 1/2, 1/3, 1/5 paraméterértékeket az f 2,k forrásfüggvénynél, és a k = 1/3, 1/5 paraméterértékeket az f 3,k, f 4,k források esetén. Ekkor az eredményeket a 3.1 és 3.2 ábrák szemléltetik. A számítások sorrán futtatott MATLAB kódokat mellékeltem a 3.2ben. 3.2. Az eredmények értékelése Az eredményekből látszik, hogy az u h végeselemes megoldás nemnegativitása mindegyik forrásfüggvény mellett teljesül. Az f 2,k függvény esetében a forrás a jobb oldali k szélességű sávon 1, és a bal oldali (1 k) szélességű sávon 0. Az eredményekből látható (3.1 ábra), hogy kisebb k értékek mellett a megoldás jobban megközelíti a 0 értéket. A megoldás kovkáv felület, és kisebb k értékek mellett az (1, y) szakaszon az u h gradiensvektora kisebb 34

3.1. ábra. Eredmények az f1, illetve és f2,k jobb oldali függvényekre (3.2), k = 1/2, 1/3, 1/5 mellett. meredekségű. Az f3,k és f4,k források esetében is teljesül, hogy ha a forrás kisebb területen 1 és nagyobb részen 0, akkor a megoldás közelebb van 0-hoz (3.2 ábra). Az f3,k forráshoz tartozó megoldásoknál elmondható, hogy kisebb k-ra az uh a tartomány széléhez közelebb éri el maximumát. Az f4,k forrásra számított eredmények esetében pedig az látható, hogy kisebb k értékek mellett a széleken az uh gradiensvektora kisebb meredekségű. 35

3.2. ábra. Eredmények az f3,k és f4,k jobb oldali függvényekre (3.2), k = 1/3, 1/5 mellett. 36

Összefoglalás A 2.2. részben ismeretetett eredmények alapján az elliptikus Dirichlet-peremmel ellátott feladatok megoldásánál, ha a megoldást lineáris végeselemekkel közelítjük, akkor ismerünk elégséges feltételeket a klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülésére. 2 dimenziós esetben például, ha háromszögrácsot alkalmazunk, elegendő biztosítanunk, hogy a rács megfelelő finomságú és egyenletesen hegyesszögű legyen, és ha nincs a feladatban visszacsatolás, akkor a derékszögek is megengedettek. Ezek a feltételek viszonylag könnyen teljesíthetők a számítások során. A 2.3. szakaszban az 1 dimenziós Poisson-egyenletet vizsgáltuk. Láthattuk, hogy a klasszikus diszkrét maximum-elv nem terjeszthető ki a magasabbrendű végeselemes közelítések esetére, mert a forrásfüggvény előjele ekkor nem határozza meg a diszkrét feladat jobb oldalának előjelét. A probléma kiküszöbölésére bevezettük a diszkrét maximum-elv általánosított alakját, ami a forrásfüggvény helyett annak a végeselemes altérre vett L 2 -vetületére szab előjelfeltételt. Ezután 1 dimenzióban megmutattuk, hogy bizonyos feltételeket kielégítő kvadratúraformulák létezése elégséges feltétele az általánosított diszkrét maximum-elv teljesülésének magasabbrendű közelítésekre. Nyitott kérdés, hogy az általánosított diszkrét maximum-elv kiterjeszthető-e magasabb dimenzióra és általánosabb elliptikus feladatokra. Mivel a gyakorlatban van igény a magasabbrendű közelítések alkalmazására, fontos lenne a maximum-elv kiterjeszthetőségének vizsgálata. 37