Polinomok zérushelyei az egységkörön

Polinomok zérushelyei az egységkörön Losonczi László Debreceni Egyetem, Gazdaságtudományi Kar Analízis kutatószeminárium, 2016. március 9 1 / 28

Cohn tétel, szelf-inverzív polinomok Cohn tétel [1922] A komplex együtthatós P m (z) = m k=0 A k z k C[z] polinom összes zérushelye az egységkörvonalon van, akkor és csakis akkor, ha P m szelf-inverzív, P m összes zérushelye a zárt egységkörlapon van. Definició Egy m-edfokú P m (z) = m k=0 nevezünk, ha együtthatói teljesítik az A k z k C[z] polinomot szelf-inverzívnek A m k = εa k (k = 0,..., m) ahol ε C, ε = 1 feltételt. 2 / 28

Tétel Egy m-edfokú P m polinom akkor és csakis akkor szelf-inverzív ha z 1,..., z m zérushelyeire z 1 z 2... z m 0 és {z 1,..., z m } = {1/z 1,... 1/z m }. (1) m A bizonyításhoz faktorizáljuk P m -et, P m (z) = A m (z z j ). Legyen P m(z) := z m P m (1/z), akkor P m(z) = z m Másrészt P m(z) = z m P m (1/ z) = z m A m = A m ( 1) m m j=1 z j m j=1 m j=1 m k=0 j=1 A k z k = (1/ z z j ) = A m m (z 1/ z j ) = A 0 (z 1/ z j ) j=1 m j=1 m A m k z k. k=0 (1 z z j ) mivel a Viéta formula szerint m zj = ( 1) m A 0 /A m. 3 / 28

Az első azonosság miatt szelf-inverzív polinomok esetén Pm(z) = εp m (z), a második azonosság miatt Pm zérushelyei P m zérushelyeinek (geometriai) inverzei, azaz 1/ z 1, 1/ z 2,..., 1/ z m, így következik (1). Fordítva, ha (1) teljesül, akkor Pm és P m zérushelyei azonosak így csak konstans szorzóban térhetnek el, Pm(z) = αp m (z), amiből A m k = αa k, k = 0, 1,..., m. Felírva ezeket k = 0, m-re kapjuk, hogy A m = αa 0 = ααa m, és ε = α választással kapjuk hogy P m szelf-inverzív. Valós együtthatós polinomok esetén a szelf-inverzívitási feltételben szereplő ε is valós, így vagy ε = 1, A m k = A k vagy ε = 1, A m k = A k polinom. (k = 0,..., m) azaz P m reciprok polinom, (k = 0,..., m) azaz. P m anti-reciprok Hogyan lehet az együtthatókra nézve egyszerű elegendő feltételt adni arra, hogy egy reciprok vagy szelf-inverzív polinom összes zérushelye az egységkörvonalon legyen? Lakatos Piroskával közösen több ilyen feltételt is találtunk. A reciprok polinomokra vonatkozó legáltalánosabb eredmény: 4 / 28

1. Tétel [Lakatos-L., 2007] A P m (z) = m k=0 A k z k R[z] m-edfokú valós együtthatós reciprok polinom zérushelyei az egységkörvonalon vannak, ha A m > 0 és van olyan B R melyre A m B 0, (2) és az együtthatókra A m + B m 1 A k + B A m (3) teljesül. 5 / 28

Folytatás Sőt, ha a (3) egyenlőtlenség egyike szigorú, és m = 2n páros akkor P m zérushelyei egyszeresek és e ±iu j (j = 1,..., n) alakúak, ahol 2(j 1)π m < u j < 2jπ m (j = 1,..., n) (4) Szigorú egyenlőtlenség és páratlan m = 2n + 1 fokszám esetén (4) teljesül, és az e ±iu j (j = 1,..., n) zérushelyeken kivül 1 = e iπ is zérushely, továbbá a zérushelyek ismét egyszeresek. A (4) feltétel azt jelenti, hogy a P m és a Q m (z) = z m 1 polinomok zérushelyei az egységkörvonalon kölcsönösen elválasztják egymást (ez a circular interlacing property). Ha (3)-ban egyenlőség van, akkor P m -nek lehetnek legfeljebb többszörös zérushelyei is. Páros fokszám esetén P 2n -nek legfeljebb kétszeres zérushelyei lehetnek és ezek csak az e ± ijπ n (j = 0,..., n) számok lehetnek. 6 / 28

Az (2), (3) feltételekből a B paramétert "kiküszöbölhetjük". Legyen f (3) bal és jobboldalának különbsége mint B függvénye: f (x) := A m + x m 1 x + A k A m x [0, A m ]. f szakaszonként lineáris, törési pontjai A m A i ha 0 < A m A i < A m. Belátható, hogy f (x) 0 akkor és csakis akkor teljesül valamely x [0, A m ] pontban ha valamelyik végpontban vagy törési pontban f nemnegativ, azaz f (0) 0, vagy f (A m ) 0, vagy f (A m A i ) 0( ha 0 < A m A i < A m ). Ugyanis x = B-nek választva valamelyik végpontot vagy törési pontot (3)-ból adódik az előző nemnegativitási feltételrendszer. Fordítva, ha van olyan x = B [0, A m ] ahol f (x) 0 akkor az x jobb vagy baloldalán (az x-en átmenő egyenes szakasz iránytényezőjének előjelétől függően) lévő legközelebbi végpontot vagy töréspontot véve kapjuk az előző nemnegativitási feltételek valamelyikét. 7 / 28

1. Tétel átfogalmazása [Lakatos-L., 2007] A P m (z) = m k=0 A k z k R[z], A m > 0 valós együtthatós reciprok polinom zérushelyei az egységkörvonalon vannak, ha az alábbi feltételek egyike teljesül: A m 2A m 2A m A i m 1 m 1 m 1 A k A m, A k, A k A i ahol i = 1,..., m 1 olyan index, hogy A m > A i > 0, Tegyük most fel, hogy m = 2n páros, A m > 0 és (5) egyikében vagy (3)-ben egyenlőség van. Legyen a k := A k + B A m. (5) 8 / 28

[Lakatos-L., 2007, többszörös zérushelyek] Az e ijπ n számok j = 0, n esetén (azaz a 1, 1 számok) akkor és csakis akkor lesznek kétszeres zérushelyei P 2n -nek, ha A 2n + B n 1 2 a k a n = 0 2n(A 2n B)δ j0 + (A 2n + B) + n 1 2a k cos jkπ n + a n cos jπ = 0 Az e ijπ n számok j = 1,..., n 1 esetén akkor és csakis akkor lesznek kétszeres zérushelyei P 2n -nek, ha A 2n + B n 1 2 a k a n = 0 A 2n + B + n 1 (A 2n B)n 2 sin 2 jπ 2n + 2a k cos jkπ n + a n cos jπ = 0 n 1 kjπ sin n 2a k (n k) sin jπ n = 0 9 / 28

Az 1.Tétel bizonyítás módszere: Csebisev transzformáció. Egy P(z) = 2n A j z j (z C, n N, A 0,..., A 2n R) polinomot, melyre j=0 A j = A 2n j (j = 0,..., n 1) teljesül, legfeljebb 2n-edfokú valós szemi-reciprok polinomnak nevezünk. Ha A 2n 0 akkor P-t 2n-edfokú valós reciprok polinomnak nevezünk. Jelölje R 2n a legfeljebb 2n-edfokú valós szemi-reciprok polinomok halmazát. Ha P R 2n, P O (O= a zérus polinom), akkor van olyan k, 0 k n egész, hogy A 2n =A 2n 1 =...=A n+k+1 =0=A n k 1 =...=A 0 de A n+k =A n k 0, ezért P(z) = 2n j=0 A j z j = z n [ A n+k ( z k + 1 z k ) ( + + A n+1 z + 1 ) ] + A n. z 10 / 28

Ismeretes, hogy ha x = z + 1 z akkor z k + 1 z k = 2T k(x/2) = C k (x) (k = 1, 2,... ), és T 0 (x) = 1 = C 0 (x), ahol T k a k-adfokú elsőfajú Csebisev polinom, C k ennek a normált változata. Ezért P(z) = z n k A n+j C j (x) = A n+k z n j=0 k (x α j ) (α j C) j=1 Definició A P R 2n, P O polinom Csebisev transzformáltján a T P(x) = A n+k k (x α j ) j=1 polinomot értjük míg a P = O zérus polinomra T O(x) = 0 (ahol 0 b j := 1) 11 / 28 j=1

1. Lemma A Csebisev transzformáció a (valós) R 2n vektortér izomorf leképezése a legfeljebb n-edfokú polinomok P n vektorterére. 2. Lemma A P 2n reciprok polinom zérushelyei akkor és csakis akkor vannak az egységkörvonalon, ha Csebisev transzformáltjának összes zérushelye a [ 2, 2] intervallumban van. 3. Lemma Legyen v j (z)= zj+1 1 z 1 = z j +z j 1 +...+1, e j (z) = z j, w j (z) = z j +1 (j = 0, 1,... ) akkor ( x ) ( x ) ( x ) T v 2n (x) = U n + U n 1, T (e k w 2n 2k )(x) = 2T n k 2 2 2 (U n az n-edik másodfajú Csebisev polinom U n (cos x) = sin(n+1)x sin x (n = 0, 1,... ).) 12 / 28

Az 1.Tételt úgy bizonyítottuk, hogy P m Csebisev transzformáltjának megadtuk n + 1 zérushelyét a [ 2, 2]-ben. Írjuk át a P 2n páros fokszámú reciprok polinomot P 2n (z) = 2n j=0 n 1 A j z j = (A m B)v 2n (z)+ j=0 a k e k (z) w 2n 2j (z)+a n e n (z) alakba, ahol, mint korábban a j = A j + B A m (j = 0,..., m). A Csebisev transzformáció linearitása és a 3. Lemma miatt [ ( x ) ( x )] T P 2n (x)=(a m B) U n +U n 1 2 2 ( x ) ( x ) 2a j T n j +a n T 0. 2 2 n 1 + Ha (5)-ben szigorú egyenlőtlenség van, akkor igazolható, hogy ( sgn T P 2n 2 cos jπ ) = ( 1) j (j = 0,..., n). n j=0 és innen a 2.Lemma alapján a tétel állítása következik. Megjegyzés: egyenlőség (3)-ben, páratlan fokszám esete. 13 / 28

Ha egy reciprok polinom fokszáma 9 akkor könnyen találhatunk szükséges és elegendő feltételt arra, hogy az összes zérushely az egységkörvonalon legyen. Például a P 4 (z) = z 4 + A 3 z 3 + A 2 z 2 + A 3 z + 1 (( = z 2 z 2 + 1 ) ( z 2 + A 3 z + 1 z ) + A 2 ) reciprok polinom zérushelyei akkor és csakis akkor vannak az egységkörvonalon, ha 2 max{a 2 2, 0} A 3 min{4, 1 + 1 2 A 2}. (6) Ugyanis most ( T P 4 (x) = x 2 + A 3 x + ) A 2 2, melynek zérushelyei x 1,2 = 1/2 A 3 ± A 2 3 4(A 2 2) valósak kell, hogy legyenek: A 2 3 4(A 2 2) 0 ami pontosan akkor teljesül, ha (6) jobboldala fennáll, míg az 2 x 2 x 1 2 feltételből kapjuk (6) jobboldalát. 14 / 28

A (6)-nak elegettevő (A 2, A 3 ) párokat ábrázolva kapjuk (a vizszintes tengelyen A 2, a függőlegesen A 3 ): 15 / 28

Az (5) első két feltételeknek elegettevő (A 2, A 3 ) párok ábrázolása (az ottani sorrendben):, 16 / 28

Az (5)-ben szereplő harmadik elegendő feltételeknek elegettevő (A 2, A 3 ) párok ábrázolása (i = 3, 2 sorrendben), 17 / 28

Végül a szükséges és elegendő (A 2, A 3 ) halmazból az (5) elegendő feltételek által lefedett rész ábrázolása: 18 / 28

A szelf-inverzív polinomokra vonatkozó legáltalánosabb eredményünk a következő. 2. Tétel [Lakatos-L., 2009] Legyen P m (z) = m j=0 A j z j C[z] egy m 2-edfokú szelf-inverzív polinom. Ha van olyan B, c, d C melyre és B A m valós, 0 B A m 1, c 0, d = 1 (7) A m + B ca 0 d m A m + m 1 akkor P minden zérushelye az egységkörön van. ca k + (B A m )d m k + ca m A m, (8) 19 / 28

Zérushelyek lokalizációja (7), (8)-ban az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy A m B 0, ekkor, ha (8)-ben szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor P m zérushelyei e iu j (j = 1,..., m) alakúak, ahol ϕ j 1 α < u j < ϕ j α (j = 1,..., m, α := arg d). és 0 ϕ 0 < 2π m, ϕ j = 2jπ m (j = 1,..., m 1), ϕ m = 2π ϕ 0. 20 / 28

A 2.Tételt B = βa m választással átírhatjuk a következő alakba: 2. Tétel átírása [Lakatos-L., 2009] Legyen P m (z) = m polinom. Ha A m inf c,d C d =1,β [0,1] j=0 A j z j C[z] egy m 2-edfokú szelf-inverzív ca 0 d m A m + m 1 ca k +(β 1)A m d m k + ca m A m 1 + β akkor P m minden zérushelye az egységkörvonalon van. Az egyenlőtlenség jobboldalán lévő infimum felvétetik valamely (c 0, β 0, d 0 ) (C \ {0}) [0, 1] U pontban, ahol U az egységkörvonal a komplex síkban. 21 / 28

Itt a bizonyításban az alábbi ismert lemma játszik szerepet: 4. Lemma Ha P m (z) = m k=0 A k z k egy tetszőleges m-edfokú szelf-inverzív polinom, c 0 konstans, ε = ca m ca 0, akkor az R(ϕ) := ε 1 2 z m 2 cpm (z) = ε 1 2 z=e iϕ e imϕ 2 cp(e iϕ ) függvény valós, ha ϕ valós. A 2. tételből több korábban igazolt tétel speciális esetként megkapható. Néhány esetben a zérushelyek lokalizációja is pontosabbá tehető, és a többszörös zérushelyek is pontosan felderíthetők. Itt csak az egyenlőtlenségeket soroljuk fel fel e speciális esetekben. Ezek mindegyike elegendő ahhoz, hogy a zérushelyek az egységkörvonalon legyenek. 22 / 28

P m valós reciprok, β = 0, c = d = 1 (Lakatos tétele 2002) A m m 1 A k A m. P m szelf-inverzív, β = 0 (Schinzel tétele 2005) m A m inf ca k d m k A m. c,d C d =1 k=0 ( ) 1/m P m szelf-inverzív, β = 1, c = 1, d = A0 A m (Lakatos-Losonczi 2004) 2 A m m 1 A k P m valós reciprok, c = d = 1, B = βa m (Lakatos-Losonczi 2007) A m + B m 1 B + A k A m 23 / 28

Páratlan fokszámú reciprok vagy szelf-inverzív polinomok esetén a fenti tételek egy része élesíthető. 3. Tétel [Lakatos-L., 2003] Ha P m (z) = m melyre k=0 A k z k m 3 páratlan fokszámú valós reciprok polinom A m cos 2 π 2(m + 1) m 1 A k A m, akkor P m összes zérushelye az egységkörvonalon van. 24 / 28

4. Tétel [L.-Schinzel, 2007] Ha P m (z) = m k=0 polinom, melyre A k z k C[z] m 3 páratlan fokszámú szelf-inverzív A m cos π 2(m + 1) inf c,d C d =1 m ca k d m k A m, k=0 akkor P m összes zérushelye az egységkörvonalon van, és egyszeres. 25 / 28

Schinzel tételének indirekt bizonyításában fontos szerepet játszott a m µ m = min kz m k z =1 alsó becslése. z = cos t + i sin t-vel némi trigonometrikus átalakítás után m D m (t) := kz m k ( ) = m 2 + 1 sin mt 2 2 [ ] 2 2 m sin t sin mt 2 sin t + z =1 2 4 sin 2 t. 2 Innen nyilvánvaló, hogy µ m = min t [0,2π] D m(t) m 2 és páros m = 2n-nél itt egyenlőség van, mivel D m (π) = m. Schinzel ezt a becslést 2 használta bizonyításában. 26 / 28

Legyen t [0, 2π]-re x m (t) : = m 2 + 1 2 ( sin mt 2 sin t 2 ) 2, y m (t) := m sin t sin mt 4 sin 2 t 2, z m (t) : = x m (t) + iy m (t), akkor D m (t) = z m (t). Ábrázolva a z m (t) görbét a komplex síkon láthatjuk, hogy µ éppen a görbe távolsága az origótól. Mivel D m (π + t) = D m (π t) elég z m -et a [0, π]-n vizsgálni. Alábbi ábráink z 10, z 9 gráfjait és nagyításaikat mutatják, z 9 -nél berajzoltuk a t m = m 1 m π pontot. Egyszerű számítás mutatja, hogy D m (t m ) = m 2 sec π ami közel van a minimumhoz.ennek alapján 2m sejtettük, hogy páratlan m-re µ m = min t [0,2π] D m(t) m 2 sec π 2m + 2. ami azt eredményezi, hogy Schinzel tételében szereplő π egyenlőtlenségben a jobboldali kifejezés elé egy cos 2(m + 1) faktor beszúrható. 27 / 28

,, 28 / 28

Chen, W.,On the polynomials with all zeros on the unit circle. J. Math. Anal. Appl. 190, (1998), 714-724. Choo, Y.,On the zeros of a family of self-reciprocal polynomials. Int. J. of Math. Anal. 5, (2011), 1761-1766. Cohn, A., Über die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise. Math. Zeit. 14 (1922), 110 148. Drungilas, P.,Unimodular roots of reciprocal Littlewood polynomials. J. Korean Math. Soc. 45, (2008), 835-840. Kim, S. H.,The zeros of certain family of self-reciprocal polynomials. Bull. Korean Math. Soc. 44, (2007), 461-473. Kim, S. H., Park, C. W., On zeros of certain self-reciprocal polynomials. J. Math. Anal. Appl. 339, (2008), 240-247. Kwon, D. Y.,Reciprocal polynomials with all zeros on the unit circle. Acta. Math. Hung. 191, (2011), 285-294. 28 / 28

Lakatos, P., On zeros of reciprocal polynomials. Publ. Math. Debrecen 61 (2002), 645 661. Lakatos, P., Losonczi, L., On zeros of reciprocal polynomials of odd degree. J. Inequal. Pure Appl. Math. 4 no. 3 (2003) Article 60. Lakatos, P., Losonczi, L., Self-inversive polynomials whose zeros are on the unit circle. Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 409 420. Lakatos, P., Losonczi, L., Polynomials with all zeros on the unit circle. Acta. Math. Hung. 125, (2009), 341-356. Lakatos, P., Losonczi, L., Circular interlacing with reciprocal polynomials. Math. Inequal. Appl. 10, (2007), 761-769. Losonczi, L., On reciprocal polynomials with zeros of modulus one. Math. Inequal. Appl. 9 (2006), 289 298. Losonczi, L., Schinzel, A.,Self-inversive polynomials of odd degree. Ramanujan J. 14, (2007), 305-320. 28 / 28

Schinzel, A., Self-inversive polynomials with all zeros on the unit circle. Ramanujan J. 9 (2005), 19 23. Suzuki, M., On zeros of self-reciprocal polynomials. Viera, R. S., On the number of roots of self-inversive polynomials on the complex unit circle. 28 / 28