Szilárdságtan-1 munkaközi jegyzet ver. 1.0.

1 Szilárdságtan-1 munkaközi jegyzet ver. 1.0. Dr. Domokos Gábor előadásjegyzetei alapján összeállította Dr. Sipos ndrás Árpád. z ábrákat tajzolta: Domokos Réka és Kapsza Enikő. BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék Budapest, 2007

2

Tartalomjegyzék 1. Célkitűzések és alapfogalmak 5 1.1. Szerkezetek modellezése..................... 5 1.2. lapfogalmak intuitív beveztése................. 5 1.3. z anyagegyenlet és a σ ε diagram.............. 10 1.4. feszültség általános meghatározása.............. 11 1.5. Kitérő............................... 13 1.5.1. Síkbeli feszültség állapot................. 13 1.5.2. feszültségi tenzor.................... 14 1.5.3. T tenzor tulajdonságai................. 15 2. Feszültségek számítása a rúdmodellben 19 2.1. rúdmodell............................ 19 2.2. Központos húzás - rugalmas................... 21 2.3. Központos húzás - képlékeny................... 23 2.4. Tiszta nyírás........................... 24 2.5. Ferde metszeteken fellépő feszültségek.............. 25 2.6. Tiszta hajlítás rugalmas alapon................. 28 2.6.1. Egyenes hajlítás...................... 28 2.6.2. Ferde hajlítás....................... 31 2.7. Másodrendű nyomatékok tulajdonságai............. 32 2.7.1. Tengely áthelyezés.................... 32 2.7.2. Példa inercia-nyomaték kiszámítására.......... 35 2.7.3. Példa σ kiszámítására.................. 36 2.8. ferde hajlítás összefüggéseinek értelmezése.......... 36 2.9. Feszültségábra ferde hajlítás esetén............... 39 2.10. Képlékeny hajlítás........................ 39 2.10.1. Rugalmas-képlékeny átmenet egyenes hajlítás esetén.. 41 2.10.2. Rugalmas-képlékeny átmenet a tartó szempontjából.. 41 2.11. Hajlítással egyidejű nyírás.................... 42 2.11.1. Példák a nyírófeszültség számítására.......... 46 2.11.2. Nyírási középpont..................... 48 3

4 TRTLOMJEGYZÉK 2.12. Hajlítás - összefoglalás...................... 49 2.13. Lineáris szuperpozició...................... 50 2.14. Lineáris szuperpozició elvének alkalmazása........... 51 2.15. keresztmetszet pontjainak osztályozása............ 54 2.15.1. magidom gyakorlati jelentősége............ 54 2.16. Csavarás.............................. 57

1. fejezet Célkitűzések és alapfogalmak 1.1. Szerkezetek modellezése statika tantárgyban csak merev testekből álló szerkezetekről volt szó, ez a közelítés bizonyos esetekben elfogadható, például statikailag határozott szerkezetek kapcsolati- és belsőerőinek számítására (1.1. ábra), amit a továbbiakban típusú feladatnak nevezünk. Más feladatok megoldására azonban alkalmatlan, ilyen feladat lehet egy statikailag határozott szerkezet elmozdulásainak számítása (B típusú feladat), vagy statikailag határozatlan szerkezetek kapcsolati- és belsőerőinek meghatározása (C típusú feladat). Előfordulhat, hogy típusú feladat esetén a biztonság rovására közelít a modell (* típusú feladat). Célunk a modell finomítása annak érdekében, hogy B és C típusú feladatokat is meg tudjunk oldani és az * típusú felatatnál korrigálni tudjuk az elemi statikai számítást. 1.2. lapfogalmak intuitív beveztése merev test alakját erő hatására nem változtatja meg. szilárdságtanban merev test helyett szilárd testet vizsgálunk, amelynek ugyan van alakja, de az erő hatására változik. 1.5. ábrán látható rudat F erővel húzva a rúd megnyúlik, a végpont elmozdulását jelölje L! z összetartozó erő és elmozdulás értékekeket egy grafikonon szoktuk ábrázolni, ezen erő-elmozdulás (F L) diagramok segítségével a szilárd testeket típusokba soroljuk. Rugalmas az a test, melynél az erőhatás elmúltával a deformáció is megszűnik. Képlékeny testnél a deformáció teljes mértékben megmarad, rugalmas-képlékeny esetben pedig részben megmarad (1.6. ábra). Egyelőre a rugalmas esettel foglalkozunk, ezen belül is a lineárisan rugalmas testekkel (1.7. ábra). probléma 5

6 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS LPFOGLMK 1.1. ábra. típusú feladat 1.2. ábra. B típusú feladat 1.3. ábra. C típusú feladat

1.2. LPFOGLMK INTUITÍV BEVEZTÉSE 7 1.4. ábra. * típusú feladat az, hogy az F L diagram nem az anyagra, hanem a testre jellemző. Célunk a rúd hosszának és keresztmetszeti jellemzőinek kiküszöbölése. 1.5. ábra. 1.6. ábra. Vizsgáljuk meg a lineáris rugót (1.8. ábra)! Jelölje c a rúgó merevségét, ez azt az erőt jelenti, amelynek hatására 1 cm-rel nyúlik meg a rugó:

8 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS LPFOGLMK 1.7. ábra. c = tgα = F L. 1.8. ábra. Hogyan függ a c rugómerevség a rugó hosszától? z 1.9. ábra alapján a rövidebb rugó merevebb. rugó anyagára az ún. fajlagos rugómerevség jellemző, azaz ĉ = cl. ĉ fajlagos rugómerevség az az erő, melynek hatására a rugó kétszeresére nyúlik. ĉ fajlagos rugómerevségből tetszőleges konkrét rugó merevsége kiszámítható. F = c L = ĉ L = ĉ L L L = ĉε,

1.2. LPFOGLMK INTUITÍV BEVEZTÉSE 9 1.9. ábra. ahol ε jelöli a fajlagos megnyúlást, ε dimenzió nélküli szám. Ezzel a rúd hosszát kiküszöböltük, a keresztmetszeti jellemzők kiküszöbölése a következő módon lehetséges. Tekintsünk a rúd egy szeletét (1.10. ábra), a rudat elemi szálak nyalábjaként képzeljük el, minden szál egy lineáris rugó. Feltételezzük, hogy az elemi szálak azonos módon nyúlnak meg. Ekkor az 1.10. ábra. F = ĉε

10 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS LPFOGLMK egyenlet mindkét oldalát a keresztmetszet területével osztva kapjuk F = ĉ ε, σ = Eε, ahol σ a FESZÜLTSÉG, E a RUGLMSSÁGI MODULUS, vagy más néven Young-modulus. feszültség és a rugalmassági modulus mértékegysége lehet például kn/cm 2, N/mm 2 =MPa, kn/mm 2 =GPa,...stb. Ha a feszültséget a megnyúlás függvényében ábrázoljuk (1.11. ábra), akkor egy anyagra jellemző diagramot kapunk. lineárisan rugalmas anyag egyetlen számadattal (E) jellemezhető, például E acél =190-210 GPa. 1.11. ábra. 1.3. z anyagegyenlet és a σ ε diagram σ = Eε összefüggést nevezzük Hooke-törvénynek 1. Nevével ellentétben ez egy axióma, amely valós anyagokra csak korlátozott tartományban és közelítőleg teljesül. σ ε összefüggést más axiómákkal is leírhatjuk (pl.: képlékeny viselkedés, lásd később). σ ε összefüggést leíró axiómát anyagegyenletnek, vagy anyagtörvénynek szokták nevezni. Valóságos anyagok σ ε diagramja zárt alakban (σ = f(ε)) nem adható meg, az ilyen kísérleti diagramokat nevezetes pontjaival írjuk le (1.12. ábra). Hooke-törvényt jó közelítéssel az R p arányosági határig lehet használni. Más anyagoknál kevésbé egyértelmű a helyzet, például egy közepes szilárdságú beton esetét szemlélteti a 1.13. ábra. Ekkor az I. egyeneshez tartozó E 0 kezdeti rugalmassági modulus csak nagyon rövid szakaszon közelíti jól az anyag viselkedését. Nagyobb intervallumban kapunk jó közelítést, ha a húrhoz (II. egyenes) tartozó rugalmassági modulust (E) használjuk. 1 Robert Hooke, 1653-1703, geometria professzor, nglia

1.4. FESZÜLTSÉG ÁLTLÁNOS MEGHTÁROZÁS 11 1.12. ábra. 1.13. ábra. szerkezeti anyagok σ ε diagramját az 1.14. ábrához hasonlóan másmás tartományban más-más anyagegyenlettel közelíthetjük 1.4. feszültség általános meghatározása z eddigiekben használt feszültség-fogalom nem eléggé általános, hiszen feltételeztük, hogy a feszültségek egyenletesen oszlanak el a rúd keresztmetszetében és más - hallgatólagos - közelítéseket is tettünk. Tekintsünk egy rugalmas testet, az egyszerűség kedvéért legyen 2 dimenziós (pl.: gumi lepedő) és terheljük egyensúlyi erőrendszerrel (1.15. ábra)! testet egységnyi vastagságúnak képzeljük. Messünk bele a testbe egy választott P pontban egy választott t tengely mentén, hosszúságban! metszet szélei eltávolodnak egymástól, ennek megszüntetésére F erőre van

12 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS LPFOGLMK 1.14. ábra. 1.15. ábra. szükség (1.16. ábra). tapasztalat azt mutatja, hogy ha 0, akkor F 0, de F ρ, vagyis a hányados határértéke nem zérus. Ezt a (vektor!) határértéket nevezzük a P pontban a t irányú metszeten ébredő feszültségnek. ρ feszültséget - más vektorokhoz hasonlóan - komponensekre bonthatjuk. Nevezetesen a t- vel párhuzamos komponenst nyírófeszültségnek nevezzük és τ-val jelöljük, a

1.5. KITÉRŐ 13 1.16. ábra. merőleges komponenst normálfeszültségnek nevezzük és σ-val jelöljük (1.17. ábra). 1.17. ábra. Megjegyzések a feszültség-definícióhoz: 1. definíció három-dimenziós esetben teljesen analóg, csak nehezebben szemléltethető. 2. Vegyük észre, hogy ρ a P pont helyzetétől és a t egyenes irányától egyaránt függ! Egy pontot az ott áthaladó összes irányhoz tartozó ρ feszültségek megadásával lehet jellemezni. Ennek legegyszerűbb módja egy ρ(n) függvény megadása, ahol n a t irányt jellemző egységnyi normál-vektor. későbbiekben részletesen tárgyaljuk ezt a függvényt. 3. 2. megjegyzést jól illusztrálhatjuk a már vizsgált, központosan húzott rúd példáján (1.18. ábra). 1.5. Kitérő 1.5.1. Síkbeli feszültség állapot 2. megjegyzés szerint a sík egy pontját egy ρ(n) függvénnyel lehet jellemzni, ahol n a vizsgált irány (egység) normálisa, ρ a vizsgált irányú metszeten ébredő feszültség.

14 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS LPFOGLMK 1.18. ábra. ρ(n) függvény vektor-vektor függvény, ennek legegyszerűbb típusa a homogén lineáris vektor-vektor függvény. Két dimenzióban így néz ki: a = T b, ahol T a homogén lineáris vektor-vektor függvény, azaz egy tenzor. z előző egyenlet kifejtve [ a1 a 2 ] [ ] [ t11 t = 12 b1 t 21 t 22 b 2 ami a következő egyenletrendszernek felel meg: a 1 = t 11 b 1 + t 12 b 2, a 2 = t 21 b 1 + t 22 b 2. Hasonlóan a vektorokhoz, a tenzor is megadható koordinátákkal, a tenzor koordinátái egy mátrixban írhatók le. Ha megváltoztatjuk a koordinátarendszert, akkor (a vektor koordinátákhoz hasonlóan) a tenzor mátrixa is változik, a fizikai tartalom azonban ugyanaz marad. ], 1.5.2. feszültségi tenzor feszültségi tenzor az [xy] koordináta-rendszerben a következő mátrixszal rendelkezik: [ σx τ T = xy τ yx σ y ],

1.5. KITÉRŐ 15 1.19. ábra. ahol σ x, σ y az x, illetve y normálisú metszeten ébredő normálfeszültségek, τ xy = τ yx pedig a nyírófeszültség. Ezek szerint ha bármely, egymásra merőleges két metszeten ismertek a feszültségek, akkor tetszőleges irányban ki tudom számítani:. ρ t = T n t 1.20. ábra. 1.5.3. T tenzor tulajdonságai Minden tenzor rendelkezik főirányokkal. főirányba eső bemenő (n) vektorhoz tartozó kimenő (ρ) vektor egymással párhuzamos, vagyis ezekben az irányokban a tenzor nem forgat, csak nyújt vagy zsugorít. főirányokba eső kimenő (ρ) vektorok abszolút értéke a legkisebb, illetve a legnagyobb (1.21. ábra).

16 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS LPFOGLMK 1.21. ábra. korábbiak szerint a főirányokban τ xy = 0 és σ a szélső értékeit veszi fel. szélsőértékek közül a nagyobbat σ 1 -nek, a kisebbet σ 2 -nek nevezzük. tenzor működése szemléltethető azáltal, hogy lerajzoljuk az egységkör képét: 1.22. ábra. főfeszültségek segítségével megállapítható az anyagban keletkező legnagyobb igénybevétel. zokat a görbéket, amelyeknek a főtengelyek az érintői, főfeszültségi trajektóriáknak nevezzük. Egyenletes teherrel terhelt gerendatartó esetén például így néznek ki:

1.5. KITÉRŐ 17 1.23. ábra.

18 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS LPFOGLMK

2. fejezet Feszültségek számítása a rúdmodellben 2.1. rúdmodell feszültségek meghatározása egy általános test belsejében igen nehéz feladat, ezzel a kontinuummechanika foglalkozik. Céljainknak -egyelőre- egy jóval egyszerűbb eset vizsgálata is megfelel. rúd olyan test, melynek két mérete elhanyagolható a harmadik mellett. rúd következő modelljét fogjuk vizsgálni: a rudat merev lapok sorozatának képzeljük (2.1-2.2. ábra). Ez a feltételezés azzal egyenértékű, hogy a rúdtengelyre merőleges metszetek síkok maradnak a deformáció után is (Bernoulli-Navier hipotézis). Bernoulli-Navier hipotézis (a Hooke törvényhez hasonlóan) axióma, amely bizonyos határok között jól közelíti a kísérleti méréseket (2.3. ábra). 2.1. ábra. 19

20 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.2. ábra. 2.3. ábra. Szemléltetés: Rugalmas anyag esetén a Bernoulli-Navier rúdmodellt így is elképzelhetjük: 2.4. ábra.

2.2. KÖZPONTOS HÚZÁS - RUGLMS 21 Feszültségek számításakor egy keresztmetszet-párt vizsgálunk. típusú egyenletet írhatunk fel: Három 1. Egyensúlyi egyenlet: a feszültségek (elemi kis rugók) egyensúlyt tartanak az igénybevételekkel: (a) σd = F, (b) σdy = M. 2. Geometriai egyenlet: Bernoulli-Navier hipotézis következtében a keresztmetszet sík (2.5. ábra). 2.5. ábra. Síkbeli esetben: ε = ay + b, Térbeli esetben: ε = ay + bx + c. 3. nyagegyenlet: a Hooke törvény, azaz σ = Eε. 2.2. Feszültségek számítása központos húzás e- setén Egyenletek: 1. Egyensúlyi: (a) σd = F, (b) σyd = 0. 2. Geometriai: ε = ay + b. 3. nyagegyenlet: σ = Eε.

22 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.6. ábra. Ismeretlenek: a,b. 2.7. ábra. Megoldás: z 1.(a) egyenletbe 3., majd a 2. egyenletet helyettesítve kapjuk: Átrendezve: F = σd = E εd = E (ay + b)d F E = a yd + b d = as x + b Mivel a súlyponti tengelyre a statikai nyomaték zérus (S x = 0), ezért F E = b, b = F E

2.3. KÖZPONTOS HÚZÁS - KÉPLÉKENY 23 2.8. ábra. z 1.(b) egyenletbe 3., majd a 2. egyenletet helyettesítve kapjuk: σyd = E Visszahelyetessítéssel: ε = b = εyd = E (ay + b)yd = 0 E ay 2 d + E byd = 0 a y 2 d = 0 a = 0. F E, σ = F. Ezt az eredményt korábban már jóval egyszerűbben is felírtuk. Miért jobb ez a bonyolult levezetés? Mert egy MODELL-ből vezettük le, világosan megfogalmaztuk, hogy melyek az XIÓMÁK (egyensúly, Bernoulli-Navier hipotézis, Hooke törvény), és ezekből pontos matematikai úton kaptuk a végeredményt. Bonyolultabb igénybevételek esetén ugyanezen módszert fogjuk használni. 2.3. Képlékeny határerő számítása központos húzás esetén Képlékeny viselkedés esetén nem a feszültséget keressük (σ = f d mindenütt), hanem a határ-igénybevételt, jelen esetben ez F Rd,pl. Egyenletek: 1. Egyensúlyi: (a) σd = F Rd,pl,

24 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN (b) σyd = 0. 2. Geometriai: ε = ay + b. 3. nyagegyenlet: σ = konst! = f d. Megoldás: σd = f d d = f d = F Rd,pl. Megjegyzések. 2. (geometriai) egyenletet nem használtuk a megoldás során, hiszen 3. szerint a nyúlások és feszültségek függetlenek. Mindazonáltal a Beroulli-Navier hipotézis képlékeny állapotban is érvényes. Hasonló módon nem volt szükségünk az 1.b.) egyenletre, azonban behlyettesítéssel ellenőrizhető, hogy az a feltétel teljesül. megoldás szemléltetésére használatos az ún. feszültési test, ennek két mérete hosszúság, például [cm] dimenziójú, harmadik mérete [kn/cm 2 ], így térfogata erő, jelen példában [kn] dimenziójú (2.9. ábra). 2.9. ábra. 2.4. Feszültségek számítása tiszta nyírás esetén tiszta nyírás a hajlítás nélküli nyírást jelenti, például egy szegecs-kötésben (2.10. ábra). rúdmodell viselkedését a 2.11. ábra szemlélteti. z anyagegyenlet nyírási deformációra a Hooke-törvény analógiájára: τ = Gγ, ahol G a nyírási rugalmassági modulus. z összefüggés G és E között alakú, ahol υ a Poisson szám. Egyenletek: G = E 2 (1 + υ)

2.5. FERDE METSZETEKEN FELLÉPŐ FESZÜLTSÉGEK 25 2.10. ábra. 1. Egyensúlyi: 2.11. ábra. τd = V. 2. Geometriai: γ = konst! = a. 3. nyagegyenlet: τ = Gγ. Megoldás: V = zaz τd = Gγd = G ad = ag d = ag. a = V G = γ és τ = V. 2.5. Ferde metszeteken fellépő feszültségek Csak központos húzás esetén igaz, hogy ha a rúdtengelyre merőleges metszetek síkok maradnak, akkor a ferde metszetek is síkok maradnak. Ekkor tehát alkalmazható a 2.13. ábrán látható modell is. Jelölje  a ferde metszet területét, azaz  = cos α.

26 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.12. ábra. 2.13. ábra. Számítsuk ki a feszültségeket központos húzás esetén az eddigi módszerrel! Egyenletek: 1. Egyensúlyi: (a) keresztmetszet síkjára merőleges: (b) keresztmetszet síkjával párhuzamos: (c) nyomaték: σd = F cos α τd = F sin α σud = 0 2. Geometriai: (a) ε = au + b (b) γ = c 3. nyagegyenlet (a) σ = Eε (b) τ = Gγ

2.5. FERDE METSZETEKEN FELLÉPŐ FESZÜLTSÉGEK 27 2.14. ábra. Megoldás: z 1.(a), 1.(b) és 1.(c) egyenltekbe rendre a 3., majd a 2. egyenletek megfelelő tagját helyettesítjük: F cos α = σd = E εd = E (au + b)d = = Ea ud + Eb d = Eb b = F cos α E σud = E εud = E (au + b)ud = = Ea u 2 d + Eb ud = 0 a = 0 F sin α = τd = G γd = Gc d = Visszahelyetessítéssel: σ = F cos α  = Gc c = F sin α G = F cos2 α, τ = F cos α sin α, tan β = τ σ = sin α = tan α, cos α

28 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN vagyis ρ párhuzamos a rúdtengellyel! Hogyan függ σ és τ α értékétől? Ez már a feszültségi állapot vizsgálata. normálfeszültségek esetében dσ dα = F 2 cos α sin α, dσ dα = 0 ha α = k Π 2, ahol k nemnegatív egész szám. Ez azt jelenti, hogy nyírófeszültségekre pedig ha α = 0, akkor σ = F, ha α = 90, akkor σ = 0. dτ dα = u v v u = ( cos 2 α sin 2 α ) F, dτ dα = 0 ha sin2 α = cos 2 α 2 cos 2 α = 1 cos α = + 1 2 α = Π 4 + k Π 2 ahol k nemnegatív egész szám. Ez azt jelenti, hogy ha α = 45, akkor τ = F 2, ha α = 45, akkor τ = F 2, ha α = 0, akkor τ = 0, ha α = 90, akkor τ = 0. Figyeljük meg, hogy α = 90 esetén σ = τ = 0! Ez egy feszültségmentes sík, ρ a rúdtengellyel párhuzamos, a σ és a τ feszültségek a 2.15. ábra szerint változnak az α szög függvényében. Példa gyakorlati hasznosításra: Húzott elem toldásakor, ha ferdén toldunk, akkor σ < F/, tehát a kapcsoló anyag lehet gyengébb az alapanyagnál. Ugyanakkor nyírásra is méretezni kell (2.16. ábra)! 2.6. Tiszta hajlítás rugalmas alapon 2.6.1. Egyenes hajlítás Egyenletek:

2.6. TISZT HJLÍTÁS RUGLMS LPON 29 2.15. ábra. 2.16. ábra. 2.17. ábra.

30 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 1. Egyensúlyi: (a) (b) 2.18. ábra. σd = 0 σyd = M 2. Geometriai: ε = ay + b 3. nyagegyenlet: σ = Eε Megoldás: = Ea yd + Eb = Ea y 2 d + Eb σd = E ahol y2 d = I x az inercianyomaték. Így ε = εd = E (ay + b)d = d = EaS x + Eb = Eb = 0 b = 0, σyd = E εyd = E (ay + b)d = yd = Ea y 2 M d = M a = E y2 d My E My, és σ = y2 d y2 d = M y. I x

2.6. TISZT HJLÍTÁS RUGLMS LPON 31 2.6.2. Ferde hajlítás Egyenletek: 1. Egyensúlyi: (a) σd = 0 (b) σyd = M x (c) σxd = M y 2. Geometriai: ε = ax + by + c 3. nyagegyenlet: σ = Eε Megoldás: 2.19. ábra. σd = Ea xd + Eb yd + Ec d = = EaS x + EbS y + Ec = Ec = 0 c = 0 σyd = Ea xyd + Eb y 2 d + Ec d = = EaD xy + EbI x = M x (2.1) σxd = Ea x 2 d + Eb xyd + Ec d = = EaI y + EbD xy = M y (2.2)

32 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN ahol xyd = D xy a deviációs, vagy más néven terelőnyomaték. z a és b tényezők meghatározásához a 2.1-2.2 egyenleteket kell megoldani: a = 1 M x D xy + M y I x, E I x I y Dxy 2 b = 1 M x I y M x D xy. E I x I y Dxy 2 feszültségek meghatározására a következő adódik: σ = M xd xy + M y I x I x I y D 2 xy Ha M y = 0 és D xy = 0, akkor σ = M x I x y, az előző eset. x + M xi y M x D xy y (2.3) I x I y Dxy 2 2.7. Másodrendű nyomatékok tulajdonságai és szamításuk Definíció: I x = y2 d, I y = x2 d, D xy = xyd. definició alapján I x, I y > 0, inercianyomaték csak zérus méretű (pont) keresztmetszet esetén lehet zérus. 2.7.1. Tengely áthelyezés Feladat: I u meghatározása I x és ismeretében. Megoldás: 2.20. ábra.

2.7. MÁSODRENDŰ NYOMTÉKOK TULJDONSÁGI 33 I u = v 2 d = (y t) 2 d = hiszen a súlyponti tengelyre S x = 0. Átrendezve: I x = I u t 2. y 2 d + t 2 d 2 2ytd = I x + t 2 2tS x = I x + t 2, Steiner tétel szerint párhuzamos tengelyek közül mindig a súlyponti tengelyre a legkisebb az inercianyomaték (2.21. ábra). 2.21. ábra. 2.22. ábra. Ha nem súlyponti tengelyről (vagy tengelyre) térünk át, akkor 3 tagból áll az összefüggés(2.22. ábra)! I u2 = I u1 t 2 1 + t 2 2 = I u1 + ( t 2 2 t 2 1), azaz ha t 1 = t 2 akkor I u1 = I u2.

34 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN Steiner tétel a deviációs nyomaték (2.23. ábra) esetére: = xyd x 0 u = x x 0 v = y y 0 uvd = (x x 0 )(y y 0 )d = yd y 0 xd + x 0 y 0 d = = D xy x 0 S x y 0 S y + x 0 y 0 = D xy + x 0 y 0, hiszen a súlyponti tengelyre S x = S y = 0. 2.23. ábra. 2.24. ábra. 2.24. ábra alapján D xy = D uv = D ξη. 2.25. ábra alapján szimmetrikus keresztmetszet esetén: x 1 = x 2 y 1 = y 2 x 1 y 1 = x 2 y 2, d 1 x 1 y 1 + d 2 x 2 y 2 = 0, D xy = 0.

2.7. MÁSODRENDŰ NYOMTÉKOK TULJDONSÁGI 35 2.25. ábra. 2.26. ábra. 2.7.2. Példa inercia-nyomaték kiszámítására I u = v 2 d = b h 0 [ v v 2 3 dv = b 3 I x = I u bh h 2 ] h 0 = bh3 3, 2 = bh3 12, I y = hb3 12.

36 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.7.3. Példa σ kiszámítására M Ed = q dl 2 8 = 2 4 = 1 knm = 100 kncm 8 10 203 I x = = 80000 = 6666, 67 cm 4 12 12 σ max = 100 10 = 0, 15 kn/cm2 6666 σ(y) = 100 y = 0, 015y 6666 2.27. ábra. 2.8. ferde hajlítás összefüggéseinek értelmezése 2.6.2 alpontban szereplő 2.1-2.2 egyenletek az alábbi formában is irhatóak: EI n = M, ahol E I n a rugalmassági modulus [ (skalár), ] Ix D a keresztmetszet xy tehetetlenségi mátrixa, [ D xy ] I y a a semleges tengely normálvektora, b

2.8. FERDE HJLÍTÁS ÖSSZEFÜGGÉSEINEK ÉRTELMEZÉSE 37 M a hajlítónyomaték [ Mx M y ] vektora. Ezek szerint a ferde hajlítás (lineárisan rugalmas esetben) felfogható egy lineáris vektor-vektor függvényként, mely egy n normálvektorhoz egy M nyomatékvektort rendel hozzá. ( σ-ra vonatkozó képletek bonyolultsága abból ered, hogy bennünket ezen függvény inverze érdekel, amely egy M vektorhoz adja meg a semleges tengely n normálisát.) Minden lineáris vektor-vektor függvény (tenzor) rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal (lásd még: 1.5.3. alpont): 1. Létezik 2, egymásra merőleges irány, amelyben a tenzor csak a bemenő vektor hosszát változtatja meg, irányát nem. Ebből [ következik, ] hogy I1 0 van olyan [1, 2] koordináta-rendszer, ahol az I mátrix alakú. 0 I 2 Ezeket az [1, 2] irányokat főirányoknak nevezzük, az I 1, I 2 inerciákat pedig főinerciáknak. főirányok [1, 2] koordináta-rendszerében a terelő nyomaték D 12 = 0. 2. Vagy 2 főirány van, vagy végtelen. Korábban megállapítottuk, hogy szimmetria-tengellyel egybeeső koordinátarendszerben D xy = 0. Ezek szerint ez egyben főtengely-koordináta-rendszer. Ha a keresztmetszetnek van 2 olyan szimmetria tengelye, melyek egymásra nem merőlegesek, akkor ebből 4 főirány létezése következne, a b.) tulajdonság alapján azonban akkor minden irány főirány. Ilyen keresztmetszet például minden szabályos poligon (2.28. ábra). 2.28. ábra. Megjegyzés: Ezek szerint például a négyzet inercianyomatéka minden tengelyre azonos. Ez nem azt jelenti, hogy egy négyzet keresztmetszetű rudat egyformán nehéz a 2.29. ábra szerinti a és b tengely körül hajlítani, hanem azt, hogy az általunk használt modell (Bernoulli-Navier hipotézis, Hooketörvény) nem tud különbséget tenni a szabályos sokszögek és a kör között. főtengelyek további tulajdonságai: z I inercia felírható egy α szög I(α) függvényeként, 2.30. ábra alapján az I(α) függvény a főirányokban veszi fel szélsőértékeit. Mivel a főirányokban

38 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.29. ábra. D xy = 0, ezért a σ-ra levezetett 2.3 képlet jelentősen leegyszerűsödik ilyen koordináta-rendszerben: 2.30. ábra. σ = M y I y x + M x I x y, ami nem más, mint két egyenes hajlítás egymásrahalmozása. Ezek szerint általános (ferde) hajlítás esetén két út követhető: 1. Ha a keresztmetszet szimmetrikus, akkor a főirányok ismertek. Célszerű az M vektort ebben a koordináta-rendszerben felbontani és a feszültségeket 2 egyenes hajlítás egymásrahalmozásával számolni. 2. Ha a keresztmetszet nem szimmetrikus, és a főirányok más forrásból nem ismertek, akkor célszerű a 2.3 képletet alkalmazni. főirányok helyzete mindig meghatározható a tan 2ϕ 0 = 2D xy I x I y

2.9. FESZÜLTSÉGÁBR FERDE HJLÍTÁS ESETÉN 39 képletből, amelyben ϕ 0 a nagyobbik inerciához tartozó tengely és az 1. főtengely közötti szöget jelöli. (z eredeti tengelyt óramutatóval ellentétesen kell ϕ 0 -lal elforgatni.) 2.9. Feszültségábra ferde hajlítás esetén Tegyük fel, hogy a főtengelyek ismertek. semleges tengely egyenlete: M x I x y + M y I y x = 0 y = I xm y I y M x x 2.31. ábra. semleges tengely a feszültségi sík és a keresztmetszet síkjának áthatása (2.31. ábra), ezért a semleges tengelyre merőlegesen vetítve a σ-ábra egyetlen vonal (2.32. ábra). Mivel a súlypontban σ = 0, ezért elvileg elegendő egyetlen σ érték kiszámítása, a többinek illeszkednie kell az egyenesre. 2.10. Képlékeny hajlítás Egyenletek: 1. Egyensúlyi: (a) σd = 0 (b) σyd = M x (c) σxd = M y

40 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.32. ábra. 2. Geometriai: ε = ax + by + c 3. nyagegyenlet: σ = sgn(ε)f d Megoldás: az ún. határvonal egyenlete a 2. egyenletből: ε = 0 y = a b x c b. Ez egy egyenes, amely nem megy át feltétlenül a súlyponton (2.33. ábra). 2.33. ábra. z egyenes egyik oldalán ε > 0, másik oldalán ε < 0, tehát az 1.a és 3. egyenletek felhasználásával

2.10. KÉPLÉKENY HJLÍTÁS 41 σ H d + σ H d = 0 1 2 d + d = 0 1 2 1 = 2 Tehát a határvonal területfelező. határvonal helyét 1.b és 2. egyenletek segítségével lehet meghatározni. 2.10.1. Rugalmas-képlékeny átmenet egyenes hajlítás e- setén z átmenetet a 2.34. ábra mutatja, a képlékeny tartalék: ( ) MRd,pl 100 1, M Rd,el két jellemző keresztmetszet képélkeny tartalékára mutat példát a 2.35. ábra. 2.10.2. Rugalmas-képlékeny átmenet a tartó szempontjából Statikailag határozott szerkezet (pl. 2.36. ábra) esetében amennyiben egy keresztmetszet (jelen esetben ez a középső keresztmetszet) teljesen megfolyik, azaz ott képlékeny csukló alakul ki, a szerkezet leszakad. Statikailag határozatlan szerkezet esetében a 2.37. ábra szerint az n-szer határozatlan szerkezet állékony maradhat n csukló keletkezéséig.

42 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.34. ábra. 2.35. ábra. 2.11. Hajlítással egyidejű nyírás Nyírás hatására a kezdetben sík keresztmetszetek torzulnak, a Bernoulli- Navier hipotézis nem érvényes. σ feszültségeket a Bernoulli-Navier mo-

2.11. HJLÍTÁSSL EGYIDEJŰ NYÍRÁS 43 2.36. ábra. 2.37. ábra. dellből vesszük át, ami ellentmondás, a számítás nem "konzisztens". zért csínáljuk mégis így, mert más modell alkalmazása lényegesen bonyolultabb lenne. Ha a keresztmetszet nem sík, akkor nincs geometriai egyenlet, nem egy keresztmetszetet vizsgálunk, hanem csak egy elemi hasábot (2.39. ábra).

44 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.38. ábra. 2.39. ábra. H + dh = σ(z) = M(z) y I x H = σ(z)d = M(z) yd I x M(z + dz) σ(z + dz)d = yd I x yd = S x de = τbdz = H + dh H = S x I x (M (z + dz) M(z)) τ = S x M (z + dz) M(z) bi x dz = S x bi x dm dz = S xv bi x, ahol τ a vízszintes metszeten fellépő csúsztatófeszültség kn/cm 2. Ezt a kép-

2.11. HJLÍTÁSSL EGYIDEJŰ NYÍRÁS 45 letet Zsuravszkij vezette le. csúsztatóerő: fajlagos csúsztatóerő: de = τbdz = S xv dz I x E = S x V dz I x de dz = S xv. I x Példa: 2.40. ábrán látható fogazott gerenda egy fogára jutó csusztatóerő: 2.40. ábra. E fog = z2 z 1 V dz S x I x Melyik keresztmetszet-rész statikai nyomatéka S x? 2.41. ábra szerint az elcsúszni akaró keresztmetszet rész statikai nyomatékát jelöli. Függőleges metszeten ébredő τ feszültségek. ez a nyírófeszültségek dualitása. τ yz dzdy = τ zy dydz τ yz = τ zy, V I x konstans a keresztmetszetben, így τ(y) = V I x S x (y) b(y). Ha b is konstans, akkor τ max S x,max helyén, azaz a súlypontban ébred.

46 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.41. ábra. 2.42. ábra. 2.11.1. Példák a nyírófeszültség számítására Téglalap: τ(y) = V I x b S x(y) = const b(h y) y + h 2 = c 2 c 1 y 2 τ max = c 2 = 3V 2bh = 3 2 τ átlag 2.43. ábra.

2.11. HJLÍTÁSSL EGYIDEJŰ NYÍRÁS 47 Háromszög: τ max = 3V ch = 3 2 τ átlag 2.44. ábra. Kör: τ max = 4 V 3 r 2 π = 4 3 τ átlag 2.45. ábra. Összetett szelvények: τ(y) ábra bármely oldalról (alulról, vagy felülről) rajzolható, a megrajzolt szakasz független a továbbiaktól (kivéve a súlypont helyzetét). Vékonyfalú szelvények: τ nyírófeszültség mindig párhuzamos a szelvény középvonalával.

48 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.46. ábra. 2.11.2. Nyírási középpont 2.47. ábra. Nem szimmetrikus keresztmetszeteknél a nyírófeszültségek eredője a keresztmetszet súlypontjára csavarónyomatékot fejt ki. nyírási középpont a nyírófeszültségek eredőjének helye. 2.48. ábra.

2.12. HJLÍTÁS - ÖSSZEFOGLLÁS 49 2.12. Hajlítás - összefoglalás 2.49. ábra.

50 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.13. Lineáris szuperpozició Legyen y = f(x) = ax, ekkor f(x 1 ) + f(x 2 ) = f(x 1 + x 2 ), hiszen ax 1 + ax 2 = a(x 1 + x 2 ). Ez akkor is igaz, ha a és x vektorok (y skalár): a = [ a1 a 2 = ] x = [ x1 x 2 ] y = a x = a 1 x 1 + a 2 x 2 f(x 1 ) + f(x 2 ) = a 1 x 1 1 + a 2 x 1 2 + a 1 x 2 1 + a 2 x 2 2 = [ a1 a 2 Ez a lineáris szuperpozició elve. Példa: ( ( = a 1 x 1 1 + x1) 2 + a2 x 1 2 + x2) 2 = ] [ ] x 1 1 + x 2 1 x 1 2 + x 2 = a (x 1 + x 2 ) = f (x 1 + x 2 ) 2 2.50. ábra. M k = 2F 1 L 3 3 = 2F 1L 9 2 a = 9 L [ ] F1 1 9 L x = y = M F k x 1 = 2 f(x 1 ) + f(x 2 ) = l (2F 9 1 + F 2 ) = f(x 1 + x 2 ) [ F1 0 ] [ 0 x 2 = F 2 ] 2.51. ábra.

2.14. LINEÁRIS SZUPERPOZICIÓ ELVÉNEK LKLMZÁS 51 2.14. lineáris szuperpozició elvének alkalmazása rugalmas feszültségek számításakor Eddigi eredmények: 1. σ = F központos húzás / nyomás 2. σ = M x I x y (σ = M x I x y + M y I y x egyenes hajlítás ferde hajlítás) z iménti jelölésekkel: 1 y = σ a = x = y I x [ F M ] x 1 = [ F1 0 ] x 2 = [ 0 M ] Így f ( x 1) = ax 1, f ( x 2) = ax 2. feszültségek számítása külpontos húzás/nyomás esetén (egyirányú külpontosság): σ = f ( x 1 + x 2) = f ( x 1) + f ( x 2) = F + M x I x y. 2.52. ábra.

52 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN semleges tengely egyenlete: σ = F ( 1 + ey ) I x = 0 1 = ey 0 I x y 0 = I x e = i2 x e, ahol i x jelöli az inerciasugarat. 2.53. ábra szerint i x = y 0 e. Szélső esetben y 0 = 0 e = F = 0 tiszta hajlítás. Másik lehetőség, hogy e = 0 y 0 = központos húzás/nyomás. 2.53. ábra. σ = M x I x y Kétirányú (ferde) külpontosság: σ = F 1 y F F a = I x x = M x x 1 = 0 x 2 = M y 0 I y 0 M x 0 σ = M y I y x x 3 = 0 0 M y

2.14. LINEÁRIS SZUPERPOZICIÓ ELVÉNEK LKLMZÁS 53 f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ) = f (x 1 + x 2 + x 3 ) = F + M x y + M y x = ( I x I y 1 = F + e yy + e ) xx I x I y semleges tengely: tengelymetszetek: 1 + e yy + e xx = 0, I x I y 2.54. ábra. y 0 = 0 xe x = i 2 y, x 0 = 0 ye y = i 2 x. képlet szimmetrikus, e y és y, illetve e x és x felcserélhetőek (2.55. ábra). 2.55. ábra.

54 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.15. keresztmetszet pontjainak osztályozása magidom határa azon pontok mértani helye, amelyeken támadó erő esetén a semleges tengely érinti a keresztmetszet konvex burkát. magidomon belül támadó erő esetén a keresztmetszeten csak egynemű feszültségek ébrednek. magidom tulajdonságai: 1. Mindig konvex idom, 2.56. ábra. 2. lehet (részben, vagy egészben) a keresztmetszeten kívül, de mindig a konvex burkon belül van (például: cső keresztmetszet, 2.57. ábra). 2.57. ábra. Példa: téglalap keresztmetszet Dualitás: magidom - határ egyenesének a konvex burok pontja, a magidomhatár pontjának a konvex burok egyenese felel meg (2.58. ábra). 2.15.1. magidom gyakorlati jelentősége magidom gyakorlati jelentősége csak nyomószilárdsággal rendelkező anyagoknál (pl.: beton, falazat) jelentkezik (2.59. ábra). Ilyen anyagnál 3 eset lehet nyomás esetén:

2.15. KERESZTMETSZET PONTJINK OSZTÁLYOZÁS 55 2.58. ábra. 2.59. ábra. 1. Ha a döféspont a magidomon belül található, akkor a teljes keresztmetszet dolgozik, a feszültségek ugyanúgy számíthatók, mint húzó-nyomó szilárdsággal egyaránt rendelkező anyagok esetén, azaz rugalmas esetben: σ = M x I x y + M y I y x + F. 2. Ha döféspont a keresztmetszeten kívül található, akkor nincs egyensúly. 3. Ha a döféspont a magidomon kívül, de a keresztmetszeten belül van, akkor egy nemlineáris feladot kell megoldani (anyagegyenlet nemlineáris), ekkor nincs szuperpozició. Keressük a dolgozó keresztmetszet részt azon feltételek mellett, hogy F = 0 és M = 0. Eddig feltételeztük, hogy ismerjük az igénybevételeket és az ezekből különkülön számított feszültségekre alkalmaztuk a lineáris szuperpozició elvét. z

56 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.60. ábra. utóbbit azért tehettük (azaz ezért voltak lineárisak az összefüggések), mert az axiómákból (σ = Eε, ε = ax + by + c) ez következett. Képlékeny esetben ez már nem teljesül (2.61. ábra)! 2.61. ábra. kkor sem teljesül, ha rugalmas ugyan az anyag, de nincs húzószilárdsága, hiszen a fél egyenes nem lineáris függvény. Ugyanezért nem teljesül a lineáris szuperpozició elve magukra az igénybevételekre sem (2.62. ábra), ez utóbbival részletesen a Szilárdságtan 2 tantárgy foglalkozik. 2.62. ábra.

2.16. CSVRÁS 57 2.16. Csavarás csavarás számítása szükséges lehet egyes szerkezetek egyensúlyának biztosítására, például a 2.63. ábrán látható konzol befogási nyomatékát a gerenda csavarási merevsége biztosítja. Általában az ilyen szerkezetek tervezése kerülendő! Más szerkezeteknél a szerkezeti elem csavarási merevsége a szerkezet alakváltozását befolyásolja, a 2.63. ábra konzoltartójának lehajlása függ a gerenda csavarási merevségétől, ebben az esetben a gerenda elcsavarodásától az épület nem szakad le! 2.63. ábra. Gátolt csavarásról beszélünk, ha külső kényszerek (pl.: megtámasztás) biztosítják a keresztmetszetek sík voltát, gátolatlan csavarás esetén a keresztmetszet szabadon kitérhet a síkjából. Gátolt csavarás esetén normál (σ) és nyíró (τ) feszültségek egyaránt ébrednek, gátolatlan csavarás esetén csak nyírófeszültségek ébrednek. csavarás esetében a Bernoulli-Navier hipotézis csak kör, vagy körgyürű keresztmetszetek esetén ad jó közelítést.

58 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.64. ábra. Egyenletek rugalmas esetben: 1. Egyensúlyi: (a) τd = 0 (b) τrd = T 2. Geometriai: γ = ar. 3. nyagegyenlet: τ = Gγ. Megoldás: T = τrd = Gγrd = 2.65. ábra. Gγr 2 d = Ga r 2 d = GaI p a = T GI p γ = T r GI p τ = T I p r T el = f v,di p R = R3 π 2 f v,d.

2.16. CSVRÁS 59 z iménti levezetésben szereplő I p az ún. poláris inercianyomaték, melyet a következő összefüggéssel is számíthatunk: I x + I y = y 2 d + x 2 d = Egyenletek képlékeny esetben: 1. Egyensúlyi: τrd = T 2. Geometriai: γ = ar. 3. nyagegyenlet: τ = f v,d. Megoldás: T = τrd = f v,d rd = f v,d R ( x 2 + y 2) d = 0 ( 2π 0 r 2 d = I p ) rds dr = 2R3 π 3 f v,d. csavarás szemléltetésére szolgál a hártya- és a homokkupac analógia. Hártya analógia: a P pont beli esésvonal meredeksége (tan α) arányos a P pontban csavarás hatására ébredő, rugalmas alapon számított feszültséggel (2.66. ábra). 2.66. ábra. Homokkupac analógia: képlékeny esetben (τ = f v,d ) a felület meredeksége konstans. 2.67. ábra alapján T pl = T i z i = i f v,d z i.

60 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁS RÚDMODELLBEN 2.67. ábra.