Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26
Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26
Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 Rekurzív sorozatok p.2/26
Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) + + 3 ( ) Rekurzív sorozatok p.2/26
Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) + + 3 ( ) mert nincs pontos formula: x 5 x 8 = 0, x =? Rekurzív sorozatok p.2/26
Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) + + 3 ( ) mert nincs pontos formula: x 5 x 8 = 0, x =? Egy meglévő közelítésből csinálunk egy jobbat = rekurzió Rekurzív sorozatok p.2/26
A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. Rekurzív sorozatok p.3/26
A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x 1 + 2 x 1 ) = 17 12 Rekurzív sorozatok p.3/26
A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x 1 + 2 x 1 ) = 17 12 x 3 := 1 2 (x 2 + 2 x 2 ) = 577 408 Rekurzív sorozatok p.3/26
A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x 1 + 2 x 1 ) = 17 12 x 3 := 1 2 (x 2 + 2 x 2 ) = 577 408 x 2 3 = 2,000006... Rekurzív sorozatok p.3/26
A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) Rekurzív sorozatok p.4/26
A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 Rekurzív sorozatok p.4/26
A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2,23611111... Rekurzív sorozatok p.4/26
A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2,23611111... x 4 := 2,236797791580400... Rekurzív sorozatok p.4/26
A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2,23611111... x 4 := 2,236797791580400... x 5 := 2,236797749978969644... Rekurzív sorozatok p.4/26
A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2,23611111... x 4 := 2,236797791580400... x 5 := 2,236797749978969644... x 6 := 2,236797749978969640... (16 pontos jegy) Rekurzív sorozatok p.4/26
Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és Rekurzív sorozatok p.5/26
Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c +1 1 2 ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n = c (számtani és Rekurzív sorozatok p.5/26
Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és +1 1 2 ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n monoton és korlátos = konvergens, l. Rekurzív sorozatok p.5/26
Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és +1 1 2 ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n monoton és korlátos = konvergens, l. +1 = 1 2 ( + c ) = l = 1 2 (l + c l ) = c = l2. Rekurzív sorozatok p.5/26
Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b Rekurzív sorozatok p.6/26
Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n Rekurzív sorozatok p.6/26
Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = Rekurzív sorozatok p.6/26
Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = ε n+1 := +1 c = a+b 2 ab (a b)2 8b K ε 2 n (2ε n ) 2 8 c xn Rekurzív sorozatok p.6/26
Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = ε n+1 := +1 c = a+b 2 ab (a b)2 8b K ε 2 n (2ε n ) 2 8 c xn ε n+1 K ε 2 n = a pontos tizedesjegyek száma (nagyjából) megkétszereződik Rekurzív sorozatok p.6/26
A π közelítése Az 1 sugarú körbe és a kör köré írható szabályos n-szögek kerülete k n és K n. α = 2π n, k n = 2n sin α 2, K n = 2n tg α 2 k n 2π, K n 2π Rekurzív sorozatok p.7/26
A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n Rekurzív sorozatok p.8/26
A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n sin 2β = 2 sin β cos β, 1 sin 2β + 1 tg 2β = 1 tg β, k 2n K 2n = cos π 2n Rekurzív sorozatok p.8/26
A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n sin 2β = 2 sin β cos β, 1 sin 2β + 1 tg 2β = 1 tg β, k 2n K 2n = cos π 2n 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) Rekurzív sorozatok p.8/26
A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 Rekurzív sorozatok p.9/26
A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 A (k 3 2 n) sorozat növő és felülről korlátos, a (K 3 2 n) sorozat csökkenő és alulról korlátos = konvergensek Rekurzív sorozatok p.9/26
A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 A (k 3 2 n) sorozat növő és felülről korlátos, a (K 3 2 n) sorozat csökkenő és alulról korlátos = konvergensek K 2n k 2n 1 4 K n k n = a hiba lépésenként negyedére csökken Rekurzív sorozatok p.9/26
Arkhimédesz eredménye n k n = K n = 3 5,196152... 10,392304... 6 5,999999... 6,928202... 12 6,211656... 6,430779... 24 6,265256... 6,319318... 48 6,278699... 6,292170... 96 6,282062... 6,285427... 2π 6,283185... Rekurzív sorozatok p.10/26
Egy általános módszer Egy függvény zérushelyét keressük Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) Rekurzív sorozatok p.11/26
A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) Rekurzív sorozatok p.12/26
A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) f(x) := x 2 c +1 = x2 n c 2 +1 = 1 2 ( + c ) Rekurzív sorozatok p.12/26
A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) f(x) := x 2 c +1 = x2 n c 2 +1 = 1 2 ( + c ) Ha f(x) := x 3 c +1 = x3 n c 3x 2 n +1 = 1 3 (2 + c x (köbgyökvonás) n) 2 Rekurzív sorozatok p.12/26
Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. Rekurzív sorozatok p.13/26
Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. Rekurzív sorozatok p.13/26
Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. A sorozat csökkenő és alulról korlátos l, l = l f(l) f (l) f(l) = 0. Rekurzív sorozatok p.13/26
Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. A sorozat csökkenő és alulról korlátos l, l = l f(l) f (l) f(l) = 0. ha f csökkenő és/vagy konkáv hasonló Rekurzív sorozatok p.13/26
Egy példa cos x = x 3 = +1 := + cos x 3 n sin +3x 2 n x 0 = 0,5... x 1 = 1,1... x 2 = 0,9... x 3 = 0,867... x 4 = 0,865477... x 5 = 0,865477403311... x 6 = 0,8654774033102... Rekurzív sorozatok p.14/26
Még egy példa x 3 x + 1 = 0 = +1 := x3 n +1 3x 2 n 1 x 0 = 1 x 1 = 1,5 x 2 = 1,347826... x 3 = 1,325200... x 4 = 1,324718... x 5 = 1,324717... x 6 = 1,324717... Rekurzív sorozatok p.15/26
Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) Rekurzív sorozatok p.16/26
Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) A módszer általában nem működik jól, ha a függvénynek többszörös zérushelye vagy inflexiós pontja van. Rekurzív sorozatok p.16/26
Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) A módszer általában nem működik jól, ha a függvénynek többszörös zérushelye vagy inflexiós pontja van. animáció: http://www.math.umn.edu/ garrett/qy/newton.html Rekurzív sorozatok p.16/26
Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) Rekurzív sorozatok p.17/26
Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) + 1 2 f (d)(c ) 2 Rekurzív sorozatok p.17/26
Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) + 1 2 f (d)(c ) 2 +1 c = 1 2 f (d) f ( ) (c ) 2 Rekurzív sorozatok p.17/26
Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) + 1 2 f (d)(c ) 2 +1 c = 1 2 f (d) f ( ) (c ) 2 ε n+1 := +1 c 1 2 L m (c ) 2 K ε 2 n Rekurzív sorozatok p.17/26
A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? Rekurzív sorozatok p.18/26
A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása Rekurzív sorozatok p.18/26
A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása +1 = f() f ( ) = 2 a x 2 n Rekurzív sorozatok p.18/26
A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása +1 = f() f ( ) = 2 a x 2 n a = 3, x 0 := 0,5 x 1 = 0,25 x 2 = 0,3125 x 3 = 0,3320... x 4 = 0,333328... Rekurzív sorozatok p.18/26
Egy másik érdekesség cos 0 = 1, cos 1 = 0.5403..., cos 0,5483... = 0,8575...... cos 0,739... = 0,739... +1 := cos konvergens sorozat, l, l = cos l Rekurzív sorozatok p.19/26
Egy másik érdekesség cos 0 = 1, cos 1 = 0.5403..., cos 0,5483... = 0,8575...... cos 0,739... = 0,739... +1 := cos konvergens sorozat, l, l = cos l Rekurzív sorozatok p.19/26
A módszer +1 := f( ) Függőlegesen a függvénygörbére, vízszintesen a negyedfelezőre Rekurzív sorozatok p.20/26
A módszer Ha a függvény meredek, sorozatunk nem konvergens Rekurzív sorozatok p.21/26
A fixpont-iteráció Legyen az f : [a, b] [a, b] függvény olyan, hogy f(x) f(y) q x y, ahol 0 < q < 1. Ekkor az x 0 [a, b], +1 := f( ) sorozat konvergens, l, ahol l = f(l). a függvény összehúzó (kontraktív); l fixpont Rekurzív sorozatok p.22/26
A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet Rekurzív sorozatok p.23/26
A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q 2 1 2 = = q n x 1 x 0 Rekurzív sorozatok p.23/26
A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q 2 1 2 = = q n x 1 x 0 +p +p +p 1 + +p 1 +p 2 + + +1 +p x 1 x 0 (q n+p 1 + q n+p 2 + + q n ) = x 1 x 0 q n 1 q p 1 q 0 Rekurzív sorozatok p.23/26
A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q 2 1 2 = = q n x 1 x 0 +p +p +p 1 + +p 1 +p 2 + + +1 +p x 1 x 0 (q n+p 1 + q n+p 2 + + q n ) = x 1 x 0 q n 1 q p 1 q 0 Ha n elég nagy, +p tetszőlegesen kicsi lesz ( ) konvergens (Cauchy-kritérium) Rekurzív sorozatok p.23/26
Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 Rekurzív sorozatok p.24/26
Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h Rekurzív sorozatok p.24/26
Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) Rekurzív sorozatok p.24/26
Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) l + ε n+1 = f(l) + f (l) ε n Rekurzív sorozatok p.24/26
Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) l + ε n+1 = f(l) + f (l) ε n ε n+1 = f (l) ε n ( f (l) < 1, mert f lapos) Rekurzív sorozatok p.24/26
Egyenletek megoldása x 2 x 2 = 0 megoldása: x = x + 2 működik a módszer x = x 2 2 nem működik a módszer Animáció: http://www.scottsarra.org/ math/courses/na/nc/fixedpointiteration.html Rekurzív sorozatok p.25/26
Köszönöm a figyelmet! Rekurzív sorozatok p.26/26