Tömbfázisú elektrolitok és kalciumcsatornák nagykanonikus Monte Carlo szimulációja

Átírás

1 Tömbfázsú elektroltok és kalcumcsatornák nagykanonkus Monte Carlo szmulácója Doktor (Ph.D.) értekezés Készítette: Malascs Attla okleveles vegyész Témavezető: Dr. Boda Dezső Pannon Egyetem Kéma Intézet Fzka Kéma Intézet Tanszék 2010

2

3 Tömbfázsú elektroltok és kalcumcsatornák nagykanonkus Monte Carlo szmulácója Értekezés doktor (PhD) fokozat elnyerése érdekében *a Pannon Egyetem Kéma Doktor Iskolájához tartozóan*. Írta: MALASICS ATTILA **Készült a Pannon Egyetem Kéma Doktor skolája/ programja/alprogramja keretében Témavezető: Dr. Boda Dezső Elfogadásra javaslom (gen / nem) (aláírás)** A jelölt a doktor szgorlaton... % -ot ért el, Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve: gen /nem. (aláírás) Bíráló neve:......) gen /nem. (aláírás) ***Bíráló neve:......) gen /nem. (aláírás) A jelölt az értekezés nylvános vtáján...% - ot ért el. Veszprém,. a Bíráló Bzottság elnöke A doktor (PhD) oklevél mnősítése... Az EDT elnöke 3 / 112

4 Kvonat Tömbfázsú elektroltok és kalcumcsatornák nagykanonkus Monte Carlo szmulácója A dolgozat alapvető célktűzése elektroltok nhomogén rendszerenek ezen belül az L-típusú kalcumcsatorna egy egyszerű modelljének - tanulmányozása nagykanonkus Monte Carlo (GCMC) szmulácós technkával. Az elektroltot egy mplct oldószermodell kereten belül vzsgáltuk, ahol az onokat töltött merevgömbök, míg az oldószert egy delektromos háttér formájában vettük fgyelembe. Az L- típusú kalcumcsatorna pontos szerkezetét nem smerjük, ezért annak egy redukált modelljét használjuk, am azon a mnmáls szerkezet nformácón alapszk, hogy a csatorna szelektív szűrője 4 db negatív töltésű glutamnsavat tartalmaz. Az oldalláncok végén elhelyezkedő karboxl csoportokat a szűrőhöz kötött, de abban szabadon mozgó szerkezet onokkal modellezzük. Szmulácónk során az nhomogén fázs egyensúlyban volt egy adott összetételű tömbfázsú elektrolttal. Ahhoz, hogy ezt a rendszert nagykanonkus sokaságon szmuláln tudjuk, smernünk kell az előírt öszszetételnek megfelelő kéma potencálokat. A dolgozat első része olyan nagykanonkus sokaságon működő teratív módszerek kfejlesztésével és tesztelésével foglalkozk, am adott megcélzott koncentrácókhoz meghatározza a kéma potencálokat. A javasolt algortmusokat Lennard- Jones elegyeken és különböző elektroltrendszereken teszteltük. A kétféle javasolt terácós eljárás közül az egyk különösen hatékonynak bzonyult, amt egy energakorrekcós faktor segítségével alkalmassá tettünk az ndvduáls onok kéma potencáljanak meghatározására. Ezeket a módszereket széles körben használjuk az oncsatornák szmulácós vzsgálatánál s. A dolgozat másodk felében egyrészt megvzsgáltam a csatornamodellünk geometra paraméterenek hatását az onszelektvtásra. Azt találtam, hogy a csatorna szelektív szűrőjének térfogata az elsőrendű meghatározója a kalcum versus nátrum szelektvtásnak. Megvzsgáltam továbbá három különböző töltésű katon versengését a szelektív szűrőben. Az eredményem azt mutatják, hogy a kísérletekkel megegyező módon a trvalens onok teljesen blokkolják a monovalens és dvalens onok áramát. Megmutattam továbbá, hogy modellünk megfelelően reprodukálja a szelektvtás változását attól függően, hogy mlyen dvalens on van jelen a rendszerben (Ca 2+, Ba 2+ vagy Sr 2+ ). Ezekben a vzsgálatokban a csatornán átfolyó áram nagyságára az ntegrált Nernst-Planck egyenletből vontunk le következtetéseket. 4 / 112

5 Abstract Grand canoncal Monte Carlo smulatons of bulk electrolytes and calcum channels The man goal of the thess s the study of nhomogeneous electrolyte systems - partcularly, the L-type calcum channel - wth grand canoncal Monte Carlo (GCMC) smulatons. The electrolyte was modeled n the framework of an mplct solvent model, where the ons were consdered as charged hard spheres, whle the solvent was represented as a delectrc background. The structure of the L-type calcum channel s unknown, therefore, we used a reduced model based on the mnmal structural nformaton that the selectvty flter of the channel contans 4 negatvely charged glutamc acds. The carboxyl groups at the ends of the sde chans were modeled as structural ons confned to the flter but free to move nsde otherwse. In our smulatons, the nhomogeneous phase was n equlbrum wth a bulk electrolyte of fxed composton. In order to smulate ths system n the grand canoncal ensemble, we need to know the chemcal potentals correspondng to ths prescrbed composton. The frst part of the thess deals wth the development an testng of teratve methods that use GCMC smulatons and determne the chemcal potentals that produce a targeted set of concentratons. The suggested algorthms were tested on Lennard-Jones mxtures and varous electrolyte systems. One of the two suggested teraton procedure proved to be especally effcent. Wth the addton of an energy correcton factor, we made the method capable of determnng the chemcal potentals of ndvdual ons. These methods are wdely used n our smulaton studes for on channels. In the second part of the thess, I studed the effect of changng the geometrcal parameters of our channel model to on selectvty. I found that the frst order determnant of calcum versus sodum selectvty s the volume of the selectvty flter. Furthermore, I studed the competton of three catons of dfferent charges n the selectvty flter. My results show that, n agreement wth experments, trvalent ons block the current of monovalent and dvalent ons completely. I have shown that our model approprately reproduces the change n selectvty as a functon of the dvalent on present n the system (Ca 2+, Ba 2+ or Sr 2+ ). In these studes, the current flowng through the channel was estmated from the ntegrated Nernst-Planck equaton. 5 / 112

6 Extrat Smulatons grand-canonque d électrolytes en soluton et dans des canaux calcques L'objectf de cette thèse est l'étude d'électrolytes nhomogènes, en partculer les canaux calcques de type L, par le bas de smulatons Monte Carlo dans l'ensemble grand-canonque (GCMC). L'électrolyte est modélsé par un modèle de solvant mplcte, où les ons sont consdérés comme des sphères dures chargées, alors que le solvant est représenté par sa constante délectrque. La structure des canaux calcque de type L est nconnue, c est pourquo j a utlsé un modèle smplfé basé sur les nformatons structurelles mnmales connues à savor que le canal content quatre groupement acdes glutamques chargés négatvement. Les groupes carboxylques en bout des chanes latérales sont modélsés comme des ons structurels confnés dans le fltre onque mas lbres de se mouvor à l'ntéreur. Dans notre smulaton, la phase nhomogène état en équlbre avec la phase volumque de l'électrolyte de composton donnée. Pour smuler ce système dans l'ensemble grand-canonque, nous devons connaître les potentels chmques correspondant à la composton mposée. La premère parte de la thèse est consacrée au développement et au test des méthodes tératves utlsées dans la smulaton GCMC ans qu'à la détermnaton des potentels chmques de l'électrolyte en équlbre avec le canal onque et qu permettent d obtenr les concentratons voulues dans le canal onque. Les algorthmes développés ont été testés sur des mélanges de fludes de Lennard-Jones et dfférents électrolytes. Une des deux procédures d'tératon proposée s'est révélée partculèrement effcace. Avec l'ajout d'une correcton à l'énerge, j a établ une méthode capable de détermner le potentel chmque ndvduel de chaque on. Ces méthodes sont actuellement largement utlsées dans nos smulatons numérques pour l'étude des canaux onques. Dans la seconde parte de ma thèse, j'a étudé l'effet du changement des paramètres géométrques de du modèle de canal onque sur la sélectvté onque. J'a trouvé, en premère approxmaton, que le paramètre détermnant dans la sélectvté du canal vs à vs de la sélecton des ons calcum sur les ons sodum est le volume du fltre. En outre, j'a étudé la compétton de tros catons de charges dfférentes dans le fltre de sélectvté. Mes résultats montrent que, en accord avec les expérences, des ons trvalents bloquent complètement le courant des ons monovalents et dvalents. J a montré que le modèle reprodut le changement de sélectvté en foncton des ons dvalents (Ca 2+, Ba 2+ ou Sr 2+ ) présents dans le système. Dans ces dfférentes études, le courant qu passe dans le canal est estmé par l équaton de Nernst- Planck. 6 / 112

7 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Modell Az oldatok prmtív modellje Szmulácós módszerek általában Kanonkus sokaságú Monte Carlo Nagykanonkus sokaságú Monte Carlo Kéma potencál számítása Irodalm áttekntés Sorfejtéses GCMC módszer Adaptív-GCMC módszer Töltéskorrekcó az A-GCMC eljáráshoz A sorfejtett és az adaptív algortmus összehasonlítása Lennard-Jones elegyek esetén A sorfejtéses módszer Az adaptív módszer Tömbfázsú elektroltok szmulácója Sokaságok rendszerméret-függése 1:1 elektrolt esetén Az átlagolás hatása az Adaptív GCMC módszer konvergencájára Az MGB és a Lampersk módszer konvergencájának összehasonlítása Az MGB/I+av algortmus korrekcója, ndvduáls részecske behelyezés/kvétel esetén Elektrolt elegyek Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok Az oncsatornák: bológa háttér Az L-típusú kalcum-csatornára vonatkozó kísérlet eredmények Az oncsatornás szmulácók történet áttekntése A csatornamodellünk Specáls mntavételezés technkák Az elektrosztatkus energa számolása a szmulácóban Az oncsatorna vezetőképességének számítása A csatorna geometra jellemzőnek hatása a szelektvtásra A csatorna térfogatának hatása a szelektvtásra A csatorna alakjának hatása a szelektvtásra Az oxgénonok hatása a szelektvtásra Összefoglalás Trvalens, dvalens és monovalens onok versengése Két katon versengése Három katon versengése Összefoglalás Köszönetnylvánítás Irodalomjegyzék / 112

8 1. Bevezetés 1. Bevezetés Az oncsatornák olyan membránfehérjék, amelyek a különböző élettan szempontból fontos szervetlen onoknak a sejtmembránon való átjutását szabályozható módon bztosítják. Ezek az oncsatornák sokszor rendkívül szelektívek, például a kalcumcsatorna nagyobb valószínűséggel enged át a kalcumont, mnt a nátrumvagy a kálumont, még úgy s, hogy a monovalens onból sokkal több van. Az oncsatornák vselkedésének befolyásolása révén működő gyógyszerek az orvostudományban alkalmazott gyógykészítmények nagy százalékát teszk k. Természetes anyagok (íz-, llatanyagok) sokasága s különböző oncsatornákon fejt k hatását. Laboratórumok százaban rutnszerűen mérk ezeknek a ks gépezeteknek a tulajdonságat. A szmulácós módszerek és a számítógépek fejlődésével az oncsatornák elmélet vzsgálata s rohamos fejlődésnek ndult az utóbb 15 évben. Egy olyan kutatócsoport munkájába kapcsolódtam be, amely elektroltok nhomogén rendszeret vzsgálta nagykanonkus sokaságú Monte Carlo szmulácók alkalmazásával. Ezen belül én az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtás mechanzmusával foglalkoztam. Ez egy élettanlag rendkívül fontos oncsatorna, amely az zomsejtek külső membránjában helyezkedk el, és az zom összehúzódását parancsoló elektromos ngerület hatására kalcumot bocsát a sejtbe. (Az oncsatornák jelentőségéről és osztályozásáról a 4.1 fejezetben olvasható egy összefoglaló.) Ennek az oncsatornának az úgynevezett szelektív szűrője egy erősen negatívan töltött tartomány, am matt ez a csatorna a nagyobb töltésű onokat preferálja a ksebb töltésűvel szemben. Erre az oncsatornára számos elektrofzológa kísérlet munka áll rendelkezésre az rodalomban, ahol általában azt vzsgálták, hogy mképpen változk a csatornán átfolyó áram, ha a tömbfázsban változtatjuk az egymással versengő katonok koncentrácót. (Az L-típusú kalcumcsatornára vonatkozó kísérletekről a 4.2 fejezetben olvasható egy összefoglaló.) Az oncsatorna, a membrán, amben elhelyezkedk, valamnt az ezt a rendszert körülvevő tömbfázs (a sejten belül lletve sejten kívül térrész) egy nhomogén elektroltkus rendszert képez. Egyensúlyban a hőmérsékleten, a nyomáson és a kéma potencálon kívül bármely fzka mennység lehet helyfüggő (a rendszer nhomogén). Inhomogén rendszerekben általában a rendszer nhomogén tartománya azaz ahol valamlyen fal vagy külső kényszer a fzka állapotjelzők nhomogentását 8 / 112

9 1. Bevezetés okozza egyensúlyban van egy homogén tömbfázssal, azaz ugyanolyan hőmérséklettel, nyomással és kéma potencállal bír. Jelen esetben a membrán és maga a fehérje (az oncsatorna) az nhomogentást okozó tényezők. Nem egyensúly esetben a külső tér és/vagy a koncentrácó gradens szntén nhomogentást okoz. Általában a rendszer nhomogén részének tulajdonsága, ezen tartomány szerkezete függ a homogén fázs összetételétől. Például sokszor az a kérdés, hogy az nhomogén rendszer melyk összetevőből mennyt adszorbeál (abszorbeál) a tömbfázs összetételének függvényében. Az oncsatornák szelektvtásának vzsgálatánál s ez a kérdés: egy adott összetételű elektroltból melyk katont enged át a kalcumcsatorna? M ennek a szelektvtásnak a mechanzmusa? Ennek a kérdésnek a megválaszolására az a kutatócsoport, amelyhez csatlakoztam, egy egyszerű modellt állított fel a kalcumcsatorna szűrőjére (lásd 4.4 fejezet), és ezt a modellt Monte Carlo szmulácós módszerrel (lásd 2. fejezet) vzsgálták (lásd 4.3 fejezet). Munkájuk során bebzonyosodott, hogy erre a célra a legalkalmasabb a nagykanonkus sokaság. Ezen nncs különösebb csodálkoznvaló, mvel közsmert hogy a nagykanonkus sokaság különösen alkalmas nhomogén rendszerek vzsgálatára. Ennek az az oka, hogy a homogén tömbfázs egyenértékű egy vrtuáls tömbfázssal, amt a hőmérséklet és a komponensek kéma potencáljanak rögzítésével egyértelműen defnálhatunk. Az ezen tömbfázssal való egyensúlyt specáls részecskebehelyezés lletve kvétel lépésekkel bztosítjuk. Ematt a homogén tömbfázs közvetlen szmulálására nncs s szükség, vagy csak annak egy ks tartományát kell csak közvetlenül belefoglalnunk a szmulácós cellába. A nagykanonkus sokaságnak azonban az a hátránya, hogy smernünk kell azokat a kéma potencálokat, amelyek egy adott összetételű rendszert állítanak elő. A kísérlet munkák során s mndg a koncentrácókat állítják be, és nem a kéma potencálokat. Felmerül tehát az gény egy olyan módszer ránt, amellyel előírt koncentrácókhoz meg tudjuk határozn a kéma potencálokat. Kanonkus sokaságon a Wdom-féle tesztrészecske módszer [1] használatos erre a célra, de pont abban a koncentrácó-tartományban, am mnket a kalcumcsatornák matt érdekel, a használhatósága korlátozott. Ez az a tartomány, ahol például egy 100 mm-os NaCl mellett M-os nagyságrendű koncentrácóban van jelen egy másk komponens, jelesül a CaCl 2. Az lyen összetételű elegyeknél a sűrűség-fluktuácók korrekt kezelése elengedhetetlen. Ennek szmulálására a kanonkus sokaság a részecskeszámok rögzített volta matt kevésbé alkalmas, mvel a sokkal ksebb mennységben jelen lévő kom- 9 / 112

10 1. Bevezetés ponensből s elegendőnek kell lenn, am túl nagy szmulácós rendszer használatához vezet. A nagykanonkus sokaság ahol a részecskeszámok fluktuálnak vszont nem szenved ettől a hátránytól. Ezért azt a célt tűztük k magunk elé, hogy a kéma potencálok meghatározására szolgáló eljárás alapja a nagykanonkus sokaság legyen. Ezt csak teratív módon érhetjük el, azaz smételt szmulácókat végzünk, és az terácó során a kéma potencálokat valamlyen algortmus szernt változtatjuk, egészen addg, amíg a nagykanonkus szmulácó a kívánt koncentrácókat nem szolgáltatja. Azt, hogy ez a cél valós gényt elégít k, m sem bzonyít jobban, mnthogy velünk párhuzamosan S. Lampersk [2] s ugyanezt a célt tűzte k maga elé. Az eljárás lelke az az algortmus, amelynek segítségével egy következő terácóban használt kéma potencálokat az előző terácó eredményeből kszámítjuk. Munkánk során két lyen algortmust s javasoltunk (lásd 3.2 és 3.3 fejezetek), míg Lampersk egy harmadk, a menktől eltérő algortmust dolgozott k (lásd 3.1 fejezet). A dolgozatban egy összehasonlító analízsét adjuk ezen algortmusoknak, felhasználjuk Lampersk ötletét (mely szernt a végeredményt az terácókban használt kéma potencálok átlagaként kapjuk meg) az eljárásunk hatékonyabbá tételére, és egy korrekcós energatagot vezetünk be, amelynek segítségével nemcsak a közepes onaktvtás tényezőt (azaz a só kéma potencálját), hanem az egyes ndvduáls onok aktvtás tényezőt (kéma potencáljat) s pontosan meghatározhatjuk. A dolgozat másodk felében az ezzel a módszerrel számolt kéma potencálokat használom arra, hogy az L-típusú kalcumcsatorna egy egyszerű modelljének tovább tulajdonságat tanulmányozzam. Egyrészt megvzsgálom, hogy a szelektív szűrő alakjának megváltoztatása mlyen hatással van monovalens és dvalens (konkrétan Na + és Ca 2+ ) onok versenyére (lásd 4.8 fejezet), majd kísérlet eredményektől motválva megvzsgálom, hogy m történk, ha a rendszerben nemcsak kettő-, hanem háromfajta on versenyez egymással, azaz a monovalens és a dvalens on mellett egy trvalens on s jelen van (lásd 4.9 fejezet). 10 / 112

11 2. Modell 2. Modell 2.1. Az oldatok prmtív modellje Szmulácónk során elektroltok nhomogén rendszeret vzsgáltuk. Az elektroltot az úgynevezett prmtív modellel jellemeztük. Ebben a modellben az oldószermolekulákat mplct módon vesszük fgyelembe egy delektromos kontnuum formájában. Az oldószer-molekulák szabadság fokat tehát kátlagoljuk, és az általuk adott átlagos, lneárs delektromos válasz formájában vesszük fgyelembe, azaz a Coulomb kölcsönhatás nevezőjében megjelenk a delektromos együttható, am az oldószer árnyékoló hatását reprezentálja. Az onokat explct módon, töltött merevgömbökként modellezzük. Az -edk és j-edk on között kölcsönhatás potencáls energája ( V j V j r ) a következő formában adható meg: 2 z z je 4 0r ha ha r r d d 2 j 2 d d j, (2.1.1) ahol z és z az onok töltésszáma, e az elem töltés, d és d az onok átmérője, j 0 a vákuum permttvtása, a delektromos együttható és r a kölcsönható onok középpontjanak távolsága. A prmtív modell kétségkívül egy elnagyolt modellje az elektroltoknak, mvel az oldószert nem molekulárs sznten modellez, mégs alkalmasnak bzonyult többféle kísérlet jelenség leírására és értelmezésére, melyekben általában nagy szerepet játszk a Coulomb kölcsönhatás hosszú távú jellege. Valamlyen töltött rendszert (egy töltött részecskét, egy töltött határfelületet, elektródot vagy éppenséggel az oncsatorna töltött szelektív szűrőjét) az elektrolt onja semlegesítenek, azaz ez a részrendszer az úgynevezett ellenonokat magához vonzza. Mvel az onok közben hőmozgást s végeznek, ez az árnyékolás egy onfelhő lletve elektromos kettősréteg formájában megy végbe. Ennek a tartománynak a szerkezete nagy fontossággal bír számos kísérlet eredmény magyarázata szempontjából [3-5]. j 11 / 112

12 2. Modell A prmtív modell szmulácós eszközökkel tanulmányozva alkalmas olyan jelenségek reprodukálására, amelyek a kettősréteg szerkezetének megváltozásán alapulnak dvalens onok hatására. Az úgynevezett túltöltés (overchargng) jelensége például azt jelent, hogy több multvalens on vonzódk az elektródhoz, mnt amenny az elektród semlegesítéséhez szükséges. Ez a többlet poztív töltés egy anonréteg kalakulását eredményez, amt töltésnverzónak nevezünk [3; 4]. Ez a jelenség az alapja az elektroforetkus mozgékonyság előjel-változásának [6-9], azonos töltésű részecskék között vonzóerő kalakulásának (a cementet összetartó erő [10; 11], DNS molekulák ksózása [12; 13]), vagy a szelektvtás jelenségeknek nanopórusokban [14; 15]. A prmtív modell továbbá rendkívül célravezetőnek bzonyult oncsatornák szelektvtás mechanzmusanak vzsgálatában (lásd később). Az alapvető elméletek a Posson egyenlet megoldásán alapulnak Boltzmann eloszlás feltételezésével. Egy on árnyékolását a több által a Debye-Hückel elmélet [16] írja le, az elektrokéma kettősréteg szerkezetére Gouy-Chapman elméletnek [17; 18] nevezzük ugyanezt, míg a kollod kémában a Derjagun Landau Verwey Overbeek (DLVO) elmélet [19; 20] használatos. Amkor azonban dvalens on van jelen a rendszerben mnt a fent említett esetekben, ezek az elméletek csődöt mondanak. Ekkor modernebb statsztkus mechanka elméletek (ntegrálegyenletek, sűrűségfunkconál elmélet) lletve molekulárs szmulácók használata szükséges. 12 / 112

13 2. Modell 2.2. Szmulácós módszerek általában A rendezetlen, kondenzált fázsú rendszerek szerkezetének statsztkus mechanka alapon történő vzsgálatában kemelkedő helyet foglalnak el a számítógépes szmulácós módszerek. Ezek a módszerek az anyag rendszer mkroszkópkus tulajdonságanak, azaz a molekulák vagy atomok között kölcsönhatásoknak smeretében a sokrészecskés rendszer mkroállapotat közvetlenül modellezk, és a fázstérből ly módon mntát véve a keresett tulajdonságokat sokaság- vagy dőátlagként számítják. Az ntermolekulárs potencálokon kívül szükség van még néhány termodnamka állapotjelző rögzítésére a használt sokaságtól függően. Két alapvető szmulácós módszer létezk, az egyk a molekulárs dnamka (MD), a másk a Monte Carlo (MC) módszer. Az MD szmulácók során a rendszer fázstérbel trajektóráját a klasszkus newton mozgásegyenletekkel határozzák meg. A trajektóra mentén számított fzka mennységek átlaga dőátlagnak teknthető. A Monte Carlo szmulácó ezzel szemben sztochasztkus, a fázstérben nem egyetlen rendszer trajektóráját követjük végg, hanem véletlenszerűen mntát veszünk a konfgurácós tér pontja közül, így különböző mkroállapotú rendszerek sokaságát állítjuk elő. A módszer nem alkalmas nemegyensúly, dőben változó rendszerek vzsgálatára, csak az egyensúlyban levő rendszerek jellemző határozhatóak meg. A részecskék mozgása ndetermnsztkus, valószínűség törvénynek engedelmeskedk. Folyadékok egyensúly tulajdonságanak szmulácójára Metropols és munkatársa [21] alkalmazták először az MC módszert 1953-ban a MANIAC számítógépen. Az általuk szmulált kétdmenzós modellrendszer mndössze 108 merev, korong alakú részecskéből állt. Azóta az elektronkus számítógépek vharos fejlődésével és elterjedésével párhuzamosan ez a módszer vlágszerte használatos, vszonylag egyszerű eljárássá vált, segítségével egyre nagyobb és bonyolultabb rendszerek vzsgálhatók. A Monte Carlo módszer sokdmenzós ntegrálok becslésére s felhasználható, ha véletlen számok segítségével elegendően nagyszámú mntát veszünk. Így egyensúly statsztkus mechanka rendszerek fzka-kéma tulajdonsága s számíthatók a módszer segítségével. Amkor egy rendszert vzsgálunk, rögzíten kell annak termodnamka határfeltételet, azaz hogy a rendszert mlyen tulajdonságú falak ha- 13 / 112

14 2. Modell tárolják. Eszernt különféle sokaságokat lehet defnáln: megkülönböztetünk például mkrokanonkus (EVN), kanonkus (NVT), nagykanonkus ( VT) és zoterm-zobár (NpT) sokaságokat. Mvel munkám során Monte Carlo szmulácóval foglalkoztam, dsszertácómban s ezt mutatom be részletesen. A részecskék között kölcsönhatást leíró potencálfüggvények smeretében olyan, különböző mkroállapotú rendszereket állítunk elő, melyek együttese valamlyen statsztkus mechanka sokaságot (pl. kanonkus, nagykanonkus, stb.) alkot. A különböző mkroállapotú rendszereket ezért úgy kell előállítan, hogy az adott statsztkus mechanka sokaság termodnamka állapotát meghatározó extenzív paraméterek (pl. kanonkus sokaság esetén a rendszer térfogata és részecskeszáma) a szmulácó során állandó értéken maradjanak, míg a termodnamka állapotot meghatározó ntenzív mennységekhez tartozó konjugált extenzív mennységek értéke a szmulácó során kapott rendszerekben az adott sokaságnak megfelelő eloszlást mutassa (pl. kanonkus sokaságon az energa a Boltzmanneloszlást kövesse). Mnd kanonkus és nagykanonkus sokaságon a rendszer térfogata állandó, ezért defnálnunk kell egy a kívánt geometrával rendelkező állandó térfogatú szmulácós cellát. Az oncsatornára vonatkozó szmulácókra a cella felépítését a 4.4 fejezetben smertetjük. Tömbfázsú szmulácónkban a következőképpen építjük fel a rendszert. Tekntsünk egy V térfogatú, kocka alakú szmulácós cellát, amely N részecskét tartalmaz. Amennyben a cella falakkal határolt, a mnta nem teknthető makroszkópkusnak, mvel a határfelület jelenségek szerepe jelentős. Tömbfázsú rendszert az nhomogentásoktól távol szmulálunk. A perodkus határfeltétel alkalmazásával kküszöbölhetőek a határfelület jelenségekből származó hbák, mvel a középpontnak tekntett cella körül ebben az esetben végtelen számú ugyanolyan cella helyezkedk el ( ábra). Ezekben a cellákban a részecskék ugyanúgy mozognak, mnt a központ cella részecské. Ez azt jelent, hogy ha egy részecske klép a kockából egy adott rányban, a szomszéd cellából belép a nek megfelelő replka részecske az ellentétes rányból. 14 / 112

15 2. Modell ábra Peródkus határfeltétel szemléltetése a szmulácós cellákban: Ha egy részecske klép a kockából egy adott rányban, a szomszéd cellából belép a nek megfelelő replka részecske az ellentétes rányból." A peródkus határfeltételhez az energa számolása szempontjából hozzá tartozk az úgynevezett legközelebb szomszéd eljárás (mnmum mage conventon). Ennek során egy adott részecske energáját úgy számítjuk, hogy összeadjuk az ezen részecskének a dobozban lévő több részecskével való párkölcsönhatását, mégpedg úgy, hogy ezt a részecskét a kocka közepébe helyezzük. 15 / 112

16 2. Modell 2.3. Kanonkus sokaságú Monte Carlo A kanonkus sokaság olyan alrendszerek együttesét jelent, amelyek a környezettel termkus egyensúlyban vannak, vagys energát cserélhetnek vele. Az alrendszerekben lévő részecskék száma állandó, ahogy a rendszer hőmérséklete és térfogata s. Ebben az esetben a rendszer zárt, a fal daterm, merev és mpermeábls. Valamely B konfgurácós (a részecskék helyzetétől és orentácójától függő) fzka mennység kanonkus sokaságátlaga gömbszmmetrkus részecskék esetén: B NVT N ahol dr N B dr N N r exp U r N N exp U r, (2.3.1) U r a rendszer teljes energája és 1/ T, amelyben a Boltzmannfaktor és T a hőmérséklet. A Monte Carlo mntavétel lépések közül a legáltalánosabb a részecskemozgatás, mert ez mnden sokaságra érvényes. Alapesetben a véletlenszerűen kválasztott részecske véletlenszerűen kválasztott helyre történő mozgatása történk. A szmulácóban az állapotból a j állapotba jutás valószínűsége: P j ahol Q Q 1 NVT 1 NVT QNVT exp U exp U energaváltozás. Ha a j exp U a kanonkus állapotösszeg és j k B, (2.3.2) j j k B U U U a mozgatással együtt járó U 0, azaz P 1, ezzel a valószínűséggel fogadjuk el a mozgatást. j j Ha U 0, akkor mndg elfogadjuk a mozgatást (Metropols mntavételezés) [21]. j Ez a fajta mntavételezés bztosítja a mkroszkópkus reverzbltást. 16 / 112

17 2. Modell 2.4. Nagykanonkus sokaságú Monte Carlo A nagykanonkus (GC) sokaság olyan alrendszerek együttesét jelent, amelyek a környezettel nem csak energát, hanem részecskét s cserélhetnek, így az egyes alrendszerek hőmérséklete T mellett a részecskék kéma potencálja s állandó lesz, mközben az extenzív állapotjelzők közül csak a rendszer térfogatának V értéke azonos a sokaság egyes alrendszereben. Ebben az esetben a rendszer nytott, a fal daterm, merev és permeábls. A Monte Carlo szmulácók statsztkus mntavételt hajtanak végre véletlenszerű lépésekkel egy lyen sokaságú rendszeren. A nagykanonkus sokaságátlag B -re szntén gömbszmmetrkus részecskék esetén egykomponensű rendszerre: B VT N N e dr N! N e N! N N B dr N N r exp U r N exp U r N. (2.4.1) A nagykanonkus Monte Carlo szmulácók során a részecskék helycseréjén kívül tovább művelet s megengedett, ez pedg a részecske hozzáadás lletve eltávolítás. Az ezen a sokaságon működő MC módszert a 60-as 70-es évek fordulóján fejlesztette k egymástól függetlenül Norman és Flnov [22] lletve Adams [23; 24]. Ennek során az komponens egy véletlenszerűen kválasztott részecskéjét megpróbáljuk a szmulácós cella egy véletlenszerűen kválasztott helyére behelyezn, lletve onnan eltávolítan. Ezen behelyezés/eltávolítás elfogadásának a valószínűsége: N! U P mn 1, V N exp, (2.4.2)! kt ahol értéke behelyezéskor +1 kvétel esetén pedg -1, az komponens részecskeszáma a művelet előtt, V a térfogat, N U a művelettel együtt járó energaváltozás és az komponens kéma potencálja. A szmulácóban azonos valószínűséggel kíséreljük meg a részecske behelyezést, lletve eltávolítást. Melőtt rátérnénk az elektroltok nagykanonkus szmulácójára, tsztázzunk néhány alapfogalmat. Egy egyszerű elektrolt sztöchometra egyenlete a következő: z z K A K A, (2.4.3) 17 / 112

18 2. Modell ahol a K és az A jelz a katont és az anont, valamnt és jelölk azokat a sztöchometra együtthatókat, amelyek kelégítk a töltéssemlegesség feltételét: z z 0. (2.4.4) s A só kéma potencálja kfejezhető az onok kéma potencáljaból: s. (2.4.5) Nagykanonkus sokaságú MC szmulácók esetén az -edk komponens konfgurácós kéma potencálja felírható: 3 tot h ex kt log kt logc 2m, (2.4.6) tot ahol a teljes kéma potencál, h a Planck állandó, m az -edk részecske tömege és ex a többlet kéma potencál. Az utolsó tag az deáls gáztól való többlet, és az onok között kölcsönhatást fejez k. A só kéma potencálja felírható a következő módon: ktlog s ex ex ex c c ktlogc c s. (2.4.7) Ez az egyenlet egyben defnálja a só többlet kéma potencálját s. Az -edk nd- ex vduáls on aktvtás együtthatója exp / kt s együtthatója., míg a só közepes aktvtás Elektroltok esetében jobban elterjedt olyan részecske behelyezéssel/kvétellel dolgozn, ahol darab z K katont és darab z anont helyezünk be/távolítunk el. A egyenlet értelmében ezek az onok egy semleges csoportot (sót) alkotnak [25]. A só behelyezés/kvétel elfogadás valószínűsége (amelyet egyébként bármely sóra felírhatunk): N K! N A! s U Ps mn 1, V exp, (2.4.8) NK! N A! kt ahol N és N a katon és az anon darabszáma behelyezés/kvétel előtt. K A Ez a fajta részecske-mozgatás automatkusan bztosítja a rendszer töltéssemlegességét, míg ndvduáls onok behelyezése/kvétele esetén a töltéssemlegesség csak átlagosan áll fenn, a szmulácó mnden pllanatában nem feltétlenül. Az átlagos A 18 / 112

19 2. Modell töltéssemlegesség s csak akkor áll fenn, ha olyan kéma potencálokkal dolgozunk, amelyek töltéssemleges rendszert eredményeznek, azaz fennáll, hogy: z 0. (2.4.9) N Eszernt tehát attól függően, hogy mlyen részecske behelyezést alkalmazunk, két különböző nagykanonkus sokaságról beszélhetünk. Indvduáls onbehelyezés esetén a sokaság független változó: T V,,...,, míg só behelyezés esetén a só, 1 kéma potencálja mellett a só onjanak össztöltése a másk független paraméter, am természetesen zérus ( z N z 0 ). N Ahogy azt már említettük, a nagykanonkus sokaság számos előnnyel rendelkezk. Hátránya mndenekelőtt az, hogy általában olyan rendszert szeretnénk szmuláln, ahol a különböző komponensek koncentrácó rögzítettek a kéma potencáljuk m helyett. Szükségünk van tehát azokra a kéma potencálokra, amelyek egy nagykanonkus szmulácó végén az előírt koncentrácókat szolgáltatják sokaságátlagként: c N / V. A következő fejezetekben különböző módszereket mutatunk be, amelyekkel a kéma potencál meghatározható. 19 / 112

20 3. Kéma potencál számítása 3. Kéma potencál számítása 3.1. Irodalm áttekntés Ahhoz tehát, hogy alkalmazn tudjuk a nagykanonkus Monte Carlo szmulácót, szükségünk van a rendszerben lévő komponensek adott koncentrácóhoz tartozó kéma potencálokra. Melőtt kfejteném az általunk kfejlesztett módszereket a kéma potencál számítására, smertetek néhány az rodalomban használt eljárást. A Wdom-féle tesztrészecske bellesztés módszer az egyk legelterjedtebb módszer a kéma potencál számolására [1]. Eredetleg kanonkus sokaságra lett kfejlesztve, de bármely sokaságon működk. A módszer során elvégzünk egy szmulácót kanonkus sokaságon egy adott összetételű N1... N m elegyre. Ezután a szmulácó során nyert mntakonfgurácókba dőnként bellesztünk egy N 1 -edk szellemrészecskét és kszámítjuk annak a több részecskével létrejövő kölcsönhatásából származó U N 1 energáját (jelölése Wdom/I). Ezt a részecskét nem hagyjuk a cellában, csak a betételéhez szükséges energára vagyunk kíváncsak. Az N 1 -edk szellemrészecske behelyezése után az -edk komponens többlet kéma potencálja a ex ktln U exp kt N egyenlet szernt a Boltzmann-faktorok sokaságátlagából kapható meg. (3.1.1) A Wdom eljárás hátránya, hogy csak semleges molekulákból álló rendszerek (pl. sók) többlet kéma potencáljának lletve aktvtás együtthatójának számítására alkalmas, onok hozzáadása esetén pontatlan eredményeket kapunk, mvel sérüln fog a töltéssemlegesség. Ezért az előző fejezetben nagykanonkus szmulácók esetén már taglalt, onok semleges kombnácóját helyezzük be. Ekkor a egyenletből az adott só többlet kéma potencálját kapjuk (jelölése Wdom/S). Ha például két tesztrészecskét helyezünk be a rendszerbe, akkor az energaváltozás U U U U, (3.1.2) ahol U a poztív, U a negatív tesztrészecske és a több rendszerben lévő részecske között kölcsönhatás energa, az pedg a két töltött részecske között energa. Ha tehát egy on kéma potencáljára vagyunk kíváncsak, és a Wdom U 20 / 112

21 3. Kéma potencál számítása módszert úgy alkalmazzuk, hogy egyetlen ont helyezünk be a rendszerbe, akkor a fent U energatag hányozn fog az energából. Egy töltéssemleges elektroltban ugyans mndg jelen vannak egy adott onhoz tartozó ellenonok s. Ez a hányzó energa a Wdom/I módszernek nagyon erős rendszerméret függést okoz. Ennek ellensúlyozására az rodalomban két módszer smert. Svensson és Woodward az onok töltésenek átskálázásával [26] oldották meg a töltéssemlegesség sérülésének problémáját (jelölése SW/I). Munkánk szempontjából fontosabb volt Sloth és Sørensen módszere [27-30], akk a q töltésű tesztrészecske töltését egy Q r Q / L 3 konstans háttértöltéssel semlegesítették (jelölése SS/I). Ekkor a hányzó ellenonokkal való kölcsönhatás becsülhető, mnt az ezen háttértöltéssel való kölcsönhatás: U Q 1 2 Q L r Q dr. (3.1.3) R r Feltételezhető, hogy a tesztrészecske a szmulácós cella középpontjában van R 0. Az ntegrálást elvégezve: 2 Q U Q K, (3.1.4) 32 0 L ahol dxdy dz K 2 6log 2 3. (3.1.5) x y z U Q egy állandó tag, amely csak a szmulácós cella méretétől, és a behelyezett on töltésszámától függ. Nagykanonkus sokaságon a kéma potencál a szmulácó paramétere, míg a koncentrácó a szmulácó eredményeként áll elő. Korábban már kfejtettük, hogy ez a sokaság alkalmasabb bzonyos rendszerek vzsgálatára, mnt a kanonkus sokaság. Ezért felmerül annak génye, hogy az adott koncentrácóhoz tartozó kéma potencálokat ezen a sokaságon határozzuk meg, azaz szellemrészecskék behelyezése/kvétele helyett valós részecskéket alkalmazunk, ly módon megengedve a különböző komponensek fluktuácóját a rendszerben. 21 / 112

22 3. Kéma potencál számítása Ez vezette Lamperskt arra, hogy velünk párhuzamosan kfejlesszen egy targ teratív szmulácós eljárást, adott megcélzott koncentrácókhoz c tartozó többlet kéma potencálok meghatározására [2]. Az terácó során változtatta a kéma ex potencálokat a következő algortmus szernt (jelölése Lampersk/I+av): targ ex ex ex Ha c n c n n. (3.1.6a) 1 targ ex ex ex Ha ahol c n c n. (3.1.6b) 1 n c n egy adott terácóban kapott átlagérték a koncentrácóra. Ennek vszonya a megcélzott koncentrácóhoz határozza meg, hogy a többlet kéma potencált egy ks értékkel növeljük vagy csökkentjük. Az terácó során tehát a koncentrácó a megcélzott érték körül, míg a többlet kéma potencál ezzel párhuzamosan az ennek megfelelő érték körül fluktuál. Lampersk azt javasolta, hogy a kívánt kéma potencált az terácók során fluktuáló kéma potencálok átlagaként defnáljuk. Ezt az eljárást fordított (nverse) GCMC módszernek (IGCMC) nevezte el, és ezt használta mnd ndvduáls, mnd pedg só behelyezés/eltávolítás esetén. 22 / 112

23 3. Kéma potencál számítása 3.2. Sorfejtéses GCMC módszer Egy olyan nagykanonkus sokaságú eljárást javasoltunk [31], amely a parcáls sűrűségeknek a kéma potencálok szernt sorfejtésén alapszk (Newton - Raphson módszer vagy érntő módszer). Egy bnárs elegyre: n 1, (3.2.1) n n 1 n n 1 n n n 1 n n 2 n n. A sorfejtésben az előző, n -edk terácóban a kéma potencálok bemenő paraméterek, a sűrűségek sokaságátlagként állnak elő ( n n ), míg a sűrűségek derváltja fluktuácós formulákból számolhatók: 1 N N j N N j. (3.2.2) j ktv targ Ha tehát a következő terácóban a sűrűségeket a megcélzott sűrűségekként defnáljuk ( n 1 ), akkor a fent egyenletrendszerben csak a következő terácó kéma potencálja az smeretlen mennységek. Így ezekre a kéma potencálokra egy olyan becslést kapunk, amely egyre közelebb kerül a kívánt értékhez, ahogy az terácó előre halad. A módszer pontosságának a sokaságátlagok számolásának pontossága szab határt. A fluktuácós formulák sokkal kevésbé konvergáló mennységek egy szmulácóban, mnt a szokásos sokaságátlagok. A fent algortmus konvergencájához nncs szükség pontos értékekre. Még a derváltak megközelítően pontos értéke s közelebb vezetk az terácót a kívánt állapothoz. 23 / 112

24 3. Kéma potencál számítása 3.3. Adaptív-GCMC módszer Munkánk során Lamperskvel párhuzamosan kfejlesztettünk egy olyan teratív, nagykanonkus sokaságú MC eljárást s, amellyel adott megcélzott koncentrácókhoz tartozó kéma potencálokat lehet számoln [31]. Az eljárás során a rendszer a megcélzott koncentrácó körül fluktuál, az az eljárás azonban, amellyel a kéma potencálokat újraszámoljuk két terácó között különbözk attól, amt Lampersk javasolt [2]. Az algortmus a következő: I. Az első lépésben kszámoljuk 1 használva valamlyen kezdet becslést alkalmazva a többlet kéma potencálra: targ ex 1 kt log 0 c ex 0 -et a megcélzott koncentrácót. (3.3.1) II. Elvégzünk egy GCMC szmulácót a kapott 1 -et használva, amelynek eredményeként megkapjuk az átlagos koncentrácót ebben az terácóban c 1 ex. Ebből az átlagos többlet kéma potencál számolható: 1 1 kt log c 1. (3.3.2) III. paramétereként: 2 ex Az terácó kmenő -ét használjuk fel a következő terácó bemenő 1 targ ex ktlog. (3.3.3) c Általánosságban a kéma potencál a következő formula szernt számolható az előző terácóban használt/kapott adatokból (jelölése A-GCMC/I): targ c n 1 n ktlog. (3.3.4) c n Amennyben sót helyezünk be/veszünk k, akkor a só kéma potencálja számolható k a következő algortmussal (jelölése A-GCMC/S): s targ targ c c n n ktlog n 1 s. (3.3.5) c c n 24 / 112

25 3. Kéma potencál számítása Eljárásunk egy praktkus előnye az, hogy egy már létező GCMC kód használható, míg az terácós rész szabadon átírható körülötte. (Ugyanez érvényes Lampersk módszerére s.) Ezt az eljárást egy 2008-as publkácóban javasoltuk [31], ahol a végeredményt a kéma potencálokra az utolsó terácóban kapott eredmény szolgáltatta. Ezt az tette lehetővé, hogy az algortmus szernt a kéma potencál nem folyamatosan fluktuál az átlagérték körül, hanem ahhoz folyamatosan konvergál (ennek a konvergencának természetesen határt szab az egy-egy terácóban elvégzett szmulácó véges hossza, azaz a c n értékek statsztkus hbája). Mnél pontosabb eredményt akarunk kapn az terácó végén, annál hosszabb szmulácóra van szükség az terácóban. A Lampersk által javasolt átlagolás eljárásra mndazonáltal a m algortmusunk esetében s lehetőség van. Megmutatjuk, hogy a m algortmusunkat az átlagolás eljárással kombnálva egy robosztus, gyorsan konvergáló eljárást kapunk [32]. Így tehát a m algortmusunk és az átlagolás eljárás házasításáról van szó, ezért később esetenként a házasított módszer kfejezést használjuk rá (jelölése MGB/S+av). Egy tpkus terácó során azt látjuk, hogy (a kezdet értékektől függően) a kéma potencálok fokozatosan konvergálnak a kívánt érték felé, majd azok körül fluktuálnak. Az átlagolást nylván erre a másodk peródusra érdemes elvégezn. Hogy ne kelljen folyamatosan fgyeln, hogy hol van ez a peródus, az átlagolást úgy végezzük el, hogy az terácók végén kapott értékek sorozatából az első 40%-ot eldobjuk. ex 1 n. (3.3.6) n 0. 4n n ex 0. 4n Ennek a módszernek a nevére az Adaptív GCMC nevet javasoltuk. 25 / 112

26 3. Kéma potencál számítása 3.4. Töltéskorrekcó az A-GCMC eljáráshoz Az előbb smertetett A-GCMC módszer só behelyezéssel a só kéma potencáljának meghatározására hatékonyan működött. Amkor azonban ndvduáls onokat helyezünk be/veszünk k, és az ezen komponensek kéma potencáljat kívánjuk meghatározn, azt találjuk, hogy az terácó nagyon lassan konvergál. Ennek ugyanaz a hányzó ellentöltéssel való kölcsönhatás az oka, mnt am már a Wdom módszernél s problémát okozott. Ennek a hbának a kküszöbölésére egy korrekcót vezetünk be, melynek során a Sloth és Sørensen által javasolt konstans semlegesítő háttértöltést használjuk [30]. Míg azonban a Wdom módszernél ez a háttértöltés mndg egy behelyezett vrtuáls tesztrészecskét volt hvatott semlegesíten, addg ebben az esetben ennek az energatagnak más célja van. Egy adott terácóban a kéma potencálok általában nem felelnek meg egy töltéssemleges rendszernek, azaz nem produkálnak olyan koncentrácókat, amelyek kelégítenék a z 0 feltételt. Ezért a többlet kéma potencál egy terácóban nem csak azt az energát jelent, am a behelyezett onnak a rendszerben levő több onnal való kölcsönhatásából adódk, hanem azt az energát s, amely a rendszer nettó töltésével való kölcsönhatást s tartalmazza. Ez kküszöbölhető úgy, ha ezt a tagot a kéma potencálhoz hozzáadjuk. Ezért tehát azt javasoljuk, hogy ndvduáls onok behelyezése esetén az algortmust egészítsük k ezzel a korrekcós taggal: n n n K targ c z e Q n 1 ktlog, (3.4.1) c 32 L ahol az utolsó tag egy behelyezett on és az 0 c n -edk terácóban a rendszer nettó töltése között kölcsönhatás. Ez a nettótöltés egy terácóban sokaságátlagként áll elő: n n Q ze N. (3.4.2) Ez a korrekcós tag hozzásegít az algortmusunkat, hogy megtalálja a töltéssemleges állapotot. Az alább táblázatban összefoglalva mutatjuk be a különböző általunk vzsgált kanonkus és nagykanonkus sokaságú eljárásokat: 26 / 112

27 3. Kéma potencál számítása rövdítések szerző(k) behelyezés/kvétel sokaság átlagolás Wdom/S Wdom só kanonkus - Wdom/I Wdom ndvduáls kanonkus - SS/I Sloth és Sørensen ndvduáls kanonkus - SW/I Svensson és Woodward ndvduáls kanonkus - MGB/S Malascs és munkatársa só nagykanonkus nncs MGB/I Malascs és munkatársa ndvduáls nagykanonkus nncs Lampersk/S+av Lampersk só nagykanonkus van Lampersk/I+av Lampersk ndvduáls nagykanonkus van MGB/S+av Malascs és Boda só nagykanonkus van MGB/I+av Malascs és Boda ndvduáls nagykanonkus van MGB/I+av+corr Malascs és Boda ndvduáls nagykanonkus van 1. táblázat Az általunk vzsgált kéma potencál számoló módszerek összefoglaló táblázata 27 / 112

28 3. Kéma potencál számítása 3.5. A sorfejtett és az adaptív algortmus összehasonlítása Lennard-Jones elegyek esetén A sorfejtett és az adaptív algortmusankat egy Lennard-Jones elegyre hasonlítjuk össze. Lennard-Jones elegy esetén a potencál: LJ ahol r j , (3.5.1) rj rj és j ndexek a molekulákat jelölk, és a komponenseknek felelnek meg, a molekula méretére jellemző paraméter, az a potencál energaparamétere, míg r j a két molekula között távolság. A hosszútávú korrekcókat nem vettük fgyelembe, mvel az algortmusunk hatékonyságának tesztelését úgynevezett cut-off potencállal s elég volt elvégezn. Egy bnárs LJ elegyet szmuláltunk, amelynek az energa- és távolságparamétere rendre , , és Munkánk során redukált hőmérsékletet alkalmaztunk ( kt / 11 voltak. 1.5), am a tszta LJ fludum krtkus hőmérséklete felett van. Ha az 1 komponens méretét egységnynek választjuk, akkor a megcélzott parcáls sűrűség (am megfelel a koncentrácónak) targ 3 targ 3 értéke: A sorfejtéses módszer Az terácós eljárás elvégzéséhez meg kellett adnunk a kezdet többlet kéma potencálokat az egyes onokra. Ezek az adatok először deáls gáz értékekre vonatkoztak ( 1) / kt ( 1) / kt 0, majd egy másk esetben az terácós eljárást ex ex a 1 2 ex ex 1 (1) / kt 1, (1) / kt 2 0 adatokkal kezdtük, amely egy durva becslése a többlet kéma potencál értékeknek. Mvel ebben a technkában vszonylag pontos értékeket kellett kapnunk a derváltakra, mnden terácóban azonos hosszúságú szmulácót végeztünk. 28 / 112

29 3. Kéma potencál számítása ábra A parcáls sűrűség és a kéma potencál konvergencája az terácószám függvényében a sorfejtett módszerrel, különböző kndulás állapotok esetén (szaggatott, pros vonal: ex ex ex ex (1)/ kt 1, (1)/ kt 0, fekete, folytonos vonal: ( 1) / kt ( 1) / kt 0 ) Itt a konfgurácós kéma potencálokat (3.2.1 egyenlet) ábrázoltuk, mert ez az a mennység, amt extrapolácóval változtatunk az eljárásban. Ha ex ex 1 (1) / kt 1, 2 (1) / kt 0 értékekből (szaggatott, pros vonal) ndulunk k, az terácó gyorsabb, mntha deáls gáz (folytonos, fekete vonal) értékek lennének kezdetben. Ideáls gáz kndulás esetben először blleg a rendszer, majd mkor eléggé közel van a végső állapothoz, elkezd gyorsan konvergáln ( ábra). Mvel a 1, 2 függvények monotonok a szuperkrtkus hőmérsékleten a m esetünkben, az eljárás előbb-utóbb megtalálja a konvergenca-területet. 29 / 112

30 3. Kéma potencál számítása ábra A parcáls sűrűség és a többlet kéma potencál konvergencája az terácószám függvényében az adaptív módszerrel, különböző kndulás állapotok esetén (szaggatott, pros vonal: ex ex (1)/ 1, (1)/ 0, fekete, folytonos vonal: ex ex kt kt (1)/ kt (1)/ kt 0) A kezdet állapotra vonatkozó jó becslésnek nagyon fontos szerepe van, ha a hőmérséklet a krtkus hőmérséklet alatt van. Ebben az esetben a rendszer a gáz- és folyadékfázs között fluktuál és egy-egy terácó a metastabl régóba s betévedhet, vagy átbllenhet a másk fázsba. Ez azt jelent, hogy az algortmusunk nem annyra robosztus folyadék fázsban a krtkus hőmérséklet alatt, mnt gázfázsban, ahol a többlet-tag kcs az deáls taghoz képest. A kezdőértékeket tehát fokozott óvatossággal kell lyen esetekben megválasztan. Hasznos lehet előzetes Wdom mntavételezéssel kombnált kanonkus szmulácók futtatása, mvel kanonkus sokaságon másk fázsba való átcsapás veszélye nem fenyeget. 30 / 112

31 3. Kéma potencál számítása Az adaptív módszer ex ex Az deáls gázállapotból ( (1) / kt 0, (1) / kt 1 2 0) kndulva a módszer vszonylag gyorsan megtalálta a helyes értéket, és a 6. terácó után már csak fnomított az eredményen (a ábrán fekete, folytonos vonal) ábra A parcáls sűrűség és a konfgurácós kéma potencál konvergencája az terácószám függvényében, öszehasonlítva a két eljárást ex ex (1) / kt 1, (1) / kt kezdet értékekkel (szaggatott, pros vonal: sorfejtett eset; fekete, folytonos vonal: adaptív eset) Azt azonban meg kell jegyeznünk, hogy mnél hosszabb egy szmulácó, annál pontosabb eredményhez juthatunk. Hasznosnak bzonyult az ötlet, mszernt fokozatosan növelnünk kell az terácós cklusok hosszát az eljárás közben ( ábra). Eszernt az terácónkat 100 Monte Carlo cklussal kezdtük, és a tzedk terácóhoz érve már 5000 MC cklust számoltunk. 31 / 112

32 3. Kéma potencál számítása Egy MC cklusban 6000 próbálkozás történt Monte Carlo lépésre. Ennek 60 %-a volt a részecske behelyezés/kvétel, míg a maradék 40 % a szokásos részecskemozgatás. (A nagyobb részecskék betétele/kvétele lletve mozgatása gyakorbb volt, mvel ezen részecskék behelyezésének elfogadás aránya ksebb volt.) Szándékosan futtattunk rövd szmulácókat, mvel csak teszteltük a módszerek hatékonyságát. Azt találtuk, hogy vszonylag rövd szmulácók elegendőek. A szmulácó deáls hossza vszont függ a vzsgált rendszertől lletve a végeredmények kívánt pontosságától. Tehát ezek a részletek mnt az terácóhossz, cklusszám a módszer használójának beállításan múlnak ábra A egyenletben használt termodnamka derváltak konvergencája a egyenlettel számolva Az eljárás nem volt érzékeny a többlet kéma potencálok kezdet értékere. Például, ha egy ex (1) / kt 1, (1) / kt ex kezdet értékkel végeztük el az algortmust, az valamvel gyorsabban megtalálta a helyes értékeket, mnt az előző, mvel a kezdet becsült értékek közelebb voltak a valód értékekhez (a ábrán szaggatott, pros vonal). A végső értékek ex ex 1 (1) / kt 1.25, 2 (1) / kt lettek. Mvel az első terácók vszonylag rövdek voltak, ezek nem befolyásolták jelentős mértékben a teljes terácós eljárást. A végső eredmény fnomítása volt az dőgényesebb rész. 32 / 112

33 3. Kéma potencál számítása A fent említett Lennard-Jones elegyre kapott eredményenket a ábrán foglaltuk össze. A két algortmus hatékonyságának összevetésénél a ex ex 1 (1) / kt 1, 2 (1) / kt 0 kezdőértékről ndítottuk az terácónkat. Amíg az teratív eljárás (folytonos vonal) monoton módon haladt a megcélzott értékek felé, addg az extrapolácós eljárás (szaggatott vonal) fluktuácós vselkedést mutatott az első pár terácóban egy kezdet keresgélés után betalált a megcélzott tartomány közelébe, de utána gyorsan konvergált. Ennek feltehetően részben a fluktuácós formulák pontatlan számolása, részben a sorfejtés elsőrendű volta lehet az oka. Ahogy az terácó konvergál, a derváltaknak s jól meghatározott értékekhez kell konvergáln ( ábra). Az extrapolácós módszer tehát jóval érzékenyebb a kezdet feltételekre, mnt az adaptív terácós módszer. Az elektroltokra vonatkozó vzsgálatankban ezért már csak az adaptív terácós módszert alkalmaztuk. 33 / 112

34 3. Kéma potencál számítása 3.6. Tömbfázsú elektroltok szmulácója Sokaságok rendszerméret-függése 1:1 elektrolt esetén A fejezetekben felsorolt kanonkus és nagykanonkus sokaságú módszereket 1:1 elektrolt esetén hasonlítottuk össze. A Lampersk publkácójában vzsgált rendszerre alkalmaztuk az összes technkát: a merevgömb onok átmérője azonosan 4.25 Ǻ, töltésük rendre +1 és 1, a rendszer hőmérséklete K, a delektromos együttható 78.65, a megcélzott koncentrácó pedg M volt. Azt vzsgáltuk, hogy mlyen hatással van a rendszer mérete a különböző módszerekkel kapott többlet kéma potencálokra. Ennek alapján készítettük a ábrát. Az ábrán látható, hogy a különböző algortmusok közel sem egyező eredményt érnek el. A különböző nagykanonkus sokaságú módszerek gyakorlatlag ugyanazt az eredményt szolgáltatják adott részecskeszámra, mert mnden algortmus magja ugyanaz a GCMC szmulácó. Éppen ezért a nagykanonkus sokaságú szmulácók közül csak az ndvduáls részecskebehelyező módszerek eredményet tüntettük fel az ábrán (MGB/I, Lampersk/I+av és MGB/I+av). A legfontosabb következtetés, amt levonhatunk a ábráról, hogy a nagykanonkus eljárások rendszerméret-függése ksebb, mnt bármely Wdommódszeren alapuló kanonkus eljárásé. A kanonkus sokaságon működő módszerek közül a Wdom/S módszernek van a legksebb rendszerméretfüggése, mvel só behelyezés/eltávolítás esetén a rendszer töltéssemlegessége mndg fennáll. A ábra belső panelje mutatja a Wdom/I módszer rendkívül erős rendszerméret-függését, amnek kküszöbölésére fejlesztették k az SS/I és SW/I technkákat. Ezeknek a technkáknak rosszabb az N -től való függésük, mvel a töltéssemlegesség ezekben az esetekben csak közelítőleg bztosítható. Ugyanakkor megfgyelhető az s, hogy az SW/I módszer látszólag egy, a többtől eltérő értékhez tart a rendszerméret növelésével, míg a több módszer egyazon értékhez tart, azaz a termodnamka lmthez. A kanonkus és nagykanonkus sokaságú szmulácós eredmények rendszerméret-függése között különbség könnyebben megérthető, ha szétválasztjuk az explct és mplct véges-méret hatásokat [33]. 34 / 112

35 3. Kéma potencál számítása ábra A kéma potencál-számoló módszerek rendszerméret-függése 1:1 elektroltra. A többlet kéma potencál a részecskeszám recprokának függvényében. Az explct hatások a sokaság-választásnak amelykben a szmulácót elvégezzük köszönhetőek, míg az mplct hatások a peródkus határfeltételek, a hoszútávú korrekcók kezelésének lletve a fluktuácók nem megfelelő mntavételezésének következménye. Mvel csak véges méretű rendszereken tudunk szmulácót végrehajtan, az mplct hatások mndg jelen vannak. Adott részecskeszámon a nagykanonkus sokaság jobban megközelít a termodnamka lmtet, mvel hatékonyabban mntavételez a részecske-fluktuácókat. Így tehát kmondható, hogy adott rendszerméreten a két sokaság-fajta között különbség az explct hatások következménye Az átlagolás hatása az Adaptív GCMC módszer konvergencájára Munkánk során összehasonlítottuk a m adaptív módszerünket (MGB/S), Lampersk átlagolásos módszerét (Lampersk/S+av) lletve a kettő előnyet egyaránt tartalmazó eljárást (MGB/S+av) só behelyezést/eltávolítást alkalmazva, hogy megállapítsuk melyk a gyorsabb, pontosabb algortmus. A ábra felső felén látható 35 / 112

36 3. Kéma potencál számítása az MGB/S és az MGB/S+av konvergencája, amelyen a ábrán közölt 1:1 elektroltnak a só többlet kéma potencálját ( ex s ) ábrázoltuk a szmulácós dő (a mntakonfgurácók száma) függvényében, az átlagos gömb közelítés ( mean sphercal approxmaton, MSA) eredményét alkalmazva kndulásként [34-37]. Amennyben nem használjuk az átlagolást, vszonylag hosszú szmulácókat szükséges elvégeznünk, hogy a szmulácónk végén a koncentrácónak egy jó becslését ( c n ) kapjuk meg. A szaggatott, magenta vonal mutatja az MGB/S módszerrel számított többlet kéma potencált N 7 sm 10 terácós hossznál. Az MSA-val számolt eredmény ex s. / kt Az terácó ezzel az értékkel kezdődk, és gyorsan lecsökken a kívánt érték felé, ahol egy tartományon belül fluktuál ekörül az érték körül. Az a tartomány, amelyen belül ezen érték körül fluktuál a kéma potencál, szűkebb, ha az Nsm nagyobb, mert a meg. Rövdebb szmulácókat ( N sm c n ksebb bzonytalansággal határozható 6 10, fekete, folytonos vonal) használva, a többlet kéma potencál egy szélesebb tartományban fluktuál, vszont az ezeket a kéma potencálokat a egyenlet szernt átlagolva a kapott görbe (kék, folytonos vonal) a kívánt értékhez konvergál, mvel egyre több értéket számol a nagy átlagba. A m eljárásunkban az egyetlen llesztendő paraméter a szmulácó hossza ( ) volt egy terácón belül. Ha átlagolást alkalmazunk, elegendő rövdebb szmulácókat 6 ( N ~ ) elvégeznünk, mvel a koncentrácó számolásából (és ezáltal a kéma sm 10 potencálok számolásából) következő hbák az átlagolás eljárásban koltják egymást. Vzsgálatank szernt hosszabb szmulácók szükségesek, ha olyan rendszert szmulálunk, amelyben erős kölcsönható potencálok vannak (mnt például a prmtív modell alacsony hőmérsékleten vagy delektromos együtthatón), vagy ha nagyobb sűrűségű rendszert vzsgálunk. Az átlagolás tehát nagyban javítja az algortmusunk hatékonyságát. N sm 36 / 112

37 3. Kéma potencál számítása Az MGB és a Lampersk módszer konvergencájának öszszehasonlítása A ábra alsó felén a Lampersk/S+av és az MGS/S+av módszerek konvergencáját hasonlítottuk össze. A fekete, folytonos vonal a többlet kéma potencál fluktuácóját mutatja a Lampersk módszer esetén (átlagolás nélkül), a felső ábrán már használt N 6 sm 10 szmulácóhossznál. Ez esetben a többlet kéma potencál jól meghatározott szntek között fluktuált, amely szntek között ugrás ex / kt volt. Azt, hogy egy következő terácóban melyk szntre ugrk az algortmus, a egyenlet írja le. Továbbá, az terácó során a többlet kéma potencál fokozatosan nőhet/csökkenhet, de csupán lyen ks lépésenként. Az MGB/S+av algortmus esetén ellenben lyen korlátozás nncs, bármely értékre ugorhat. Tehát ez a módszer rugalmasabb, mnt a Lampersk módszer, mert egyrészt az terácós folyamat során a többlet kéma potencál bármlyen értéket felvehet, másrészt egy lépés során bármekkorát ugorhat, harmadrészt csak egy lleszthető paramé- ex tert tartalmaz ( ), míg a Lampersk algortmus kettőt ( és ). Ezért az N sm MGB/S+av módszer (kék, folytonos vonal) gyorsabban konvergál, mnt a Lampersk/S+av (pros, szaggatott vonal), ahogy az a ábra alsó felén s látható, bár erre a szmmetrkus 1:1 elektroltra mndkét módszer jól konvergál. A kéma potencál jó becslésére (mnt az MSA) nem feltétlenül van lehetőség bármely rendszer esetén. Ezért előnyös, ha olyan algortmussal rendelkezünk, amely akkor s konvergál, ha valamlyen a végeredménytől esetleg messze levő kndulás állapotról ndítjuk az terácót. Az deáls gázállapot egy kézenfekvő választás: egy olyan feltételről ndítunk, amelyben a részecskék között kölcsönhatásokból adó- ex dó többlet kéma potencálokat 0-nak ( 0 ) vesszük. A ábra mutatja az összehasonlítást az MGB/S+av és a Lampersk/S+av módszerek között a már bemutatott 1:1 és egy 2:1 elektrolt esetében, deáls gázállapotból kndulva. Ugyanakkora szmulácós hosszt ( N N sm 6 sm 10 ) használtunk mndkét módszernél, és a Lampersk algortmusban alkalmazott ex érték nagyságának hatását teszteltük. Látható, hogy az MGB/S+av módszer mnden esetben gyorsabban konvergál, kvétel akkor, amkor a ex ( / kt 0. 5). ex lépésköz értékét nagynak vesszük 37 / 112

38 3. Kéma potencál számítása ábra 1:1 elektroltok esetén a só többlet kéma potencálja a szmulácós dő függvényében. Felül: adaptív és házasított összehasonlítása, alul: a Lampersk és házasított módszerek összehasonlítása. Kezdet érték: MSA, az onok száma: N N 500. Ennek az a magyarázata, hogy Lampersk algortmusának el kell érne a kívánt értéket, mégpedg fokozatosan, a megadott ex lépésenként. Ha ez a lépésköz nagy, az algortmus gyorsabban elér a kívánt értéket. Ennek azonban megvan az ára. A ábra alsó fele mutatja a 2:1 elektroltra vonatkozó eredményenket (0.1 M-os CaCl 2 oldatot modellezve, ahol a Ca 2+ -on átmérője 1.98 Å, a Cl - -é pedg 3.62 Å). Az MGB/S+av algortmus ebben az esetben s gyorsan konvergál, míg a Lampersk/S+av algortmus hasonló konvergencát mutat, nagy járulékot alkalmazva ( Lampersk/S+av algortmus egy rossz értékhez konvergál. ex / kt 0. 5 ). Ebben az esetben azonban a 38 / 112

39 3. Kéma potencál számítása ábra A só többlet kéma potencáljának értéke 1:1 és 2:1 elektroltok esetén a szmulácós dő függvényében, MGB/S+av és Lampersk/S+av módszerekkel. Kndulás állapot: deáls gáz. Ez valószínűleg azért történk, mert egy ennyre nagy járulékos tagot használva nem mntavételezünk elegendő lehetséges kéma potencál értéket. Összefoglalva, a gyors konvergenca a ex járulék nagy értékét, míg a pontos konvergenca ks ex -et kíván meg. Ez az ellentmondás tehát megkívánja a ex óvatos megválasztását. Az MGB/S+av algortmus független ettől a paramétertől, ezért robosztusabb és kevésbé érzékeny a kezdet feltételekre, ahogy azt a ábrán alul láthatjuk. Megvzsgáltuk a két algortmust bonyolultabb rendszerek esetén s (például 30 mm-os NaCl és 10-6 M-os CaCl 2 elegyre), és az MGB/S+av módszert mndg hatékonyabbnak találtuk. 39 / 112

40 3. Kéma potencál számítása Az MGB/I+av algortmus korrekcója, ndvduáls részecske behelyezés/kvétel esetén Amkor ndvduáls onokat helyezünk be, lletve veszünk k a szmulácó során, a katon és az anon koncentrácó egymástól függetlenül fluktuálhatnak. Ugyanakkor az onok kéma potencálja ( ) szntén fluktuálnak, míg a só kéma potencálját ( ex s ex ) a egyenletből számíthatjuk k ábra Az ndvduáls onok (felül) és a sók (alul) többlet kéma potencáljanak értéke a szmulácós dő függvényében. Kndulás érték: MSA. A ábra felső fele mutatja mndkét on többlet kéma potencálját 1:1 elektrolt esetén, az alsó fele pedg a belőlük számított só többlet kéma potencálját összehasonlítva a só behelyező/eltávolító módszer eredményével. Látható, hogy a só kéma potencálja mndhárom eljárásnál (MGB/I+av, Lampersk/I+av és MGB/S+av) szépen konvergál. 40 / 112

41 3. Kéma potencál számítása ábra 2:1-es elektroltban a só többlet kéma potencáljának értéke a szmulácós dő függvényében, különböző módszerekkel. Kndulás érték: MSA. Az ndvduáls onok többlet kéma potencálja azonban különbözően vselkednek a m esetünkben, lletve Lampersk algortmusában. Mvel egy szmmetrkus elektroltról van szó, az onok kéma potencáljanak ugyanakkorának kéne lenne. Ez a m módszerünknél valóban gaz, ugyans a katon és az anon kéma potencálok többé-kevésbé együtt változnak az terácó során. Néha ugyan kettéválnak (mert különböző terácókban lehetnek eltérőek), de egyazon érték körül fluktuálnak. A Lampersk módszerben azonban a két on-fajta többlet kéma potencálja kettéválk az terácóban, ugyanakkor érdekes módon a koncentrácójuk nem. Látszólag egy energatag az, am ezt a többlet kéma potencálok között különbséget okozza, mközben a két onra azonos koncentrácót szolgáltat egy GCMC futás végén. Ennek az energatagnak a nagysága azonos az előjele vszont különböző az anonra és a katonra, am által az onok többlet kéma potencáljaban lévő hbák koltják egymást, és így egy látszólag jó só kéma potencált kapunk. Azonban az terácó nem a megfelelő termodnamka állapothoz tart ( ábra alsó fele), egy a szmulácóba épített mesterséges hba következtében csak látszólag jó koncentrácót lletve többlet kéma potencált számolunk. A szmulácóban, az energaszámolásban hányzk egy tag. 41 / 112

42 3. Kéma potencál számítása ábra Az ndvduáls onok többlet kéma potencáljanak értéke a szmulácós dő függvényében, különböző módszerekkel. Kndulás állapot: MSA. Az energatag szerepe sokkal nylvánvalóbb, ha egy nem szmmetrkus rendszert (például 2:1 elektroltot) vzsgálunk. A ábra erre a rendszerre mutatja be a só többlet kéma potencál értékeket különböző módszereken. Ez az ábra szntén azt az érzést keltené, hogy mnd az MGB/I+av (fekete vonal, körök), mnd a Lampersk/I+av (zöld vonal, háromszögek) algortmus jól működk ezen a rendszeren s, de ha megvzsgáljuk az elektroltban lévő onok többlet kéma potencáljanak lefutását ( ábra), azt láthatjuk, hogy mndkettő lassan konvergál a kívánt érték felé. 42 / 112

43 3. Kéma potencál számítása ábra A relatív töltés a szmulácós dő függvényében. A korrgált algortmus eredő töltése a semlegességhez gyorsan konvergál és ezután már csak fluktuál -, főleg ha ks -et használunk N sm Ez a konvergenca még rosszabbá válk, amennyben hosszabb szmulácóhosszt alkalmazunk ( ábra középső és alsó sora). Itt s elmondható azonban, hogy a Ca 2+ és a Cl - onok kéma potencáljaban lévő hbák kompenzálják egymást, így egy megközelítőleg pontos értéket kapunk a só kéma potencáljára ( ábra). Ennek a vselkedésnek az az oka, hogy a kndulásnak választott 43 / 112

44 3. Kéma potencál számítása kéma potencálok (MSA) értéke nem produkál egy töltéssemleges rendszert, ezért egy többlettöltés van jelen a szmulácós cellában a szmulácó alatt. A behelyezett onnak az ezzel a többlettöltéssel való kölcsönhatása produkálja azt a hányzó energatagot, amt már korábban kfejtettünk. Ez az energatag (am nncs jelen a termodnamka határon, amkor a rendszer végtelenül nagy) kompenzálja az ndvduáls kéma potencálok hbát. A relatív töltést a ábrán mutatjuk be a mntavételezett konfgurácók függvényében (ahol a töltés 500 monovalens katon töltésével lett normalzálva). A töltéssemlegességtől való eltérés ezen a skálán ksebb, mnt 0.2 %. Ez a ks mennységű többlettöltés azonban elég ahhoz, hogy lassú konvergencát okozzon az ndvduáls kéma potencálokban ( ábra), míg megtévesztően elfogadható eredményt szolgáltat a sók kéma potencáljára ( ábra). Az ötlet, hogy kegyensúlyozzuk ezt a többlettöltést egy konstans semlegesítő háttértöltéssel, Sloth és Sørensen munkájából származk (3.4.1 egyenlet). Egy adott terácóban kszámítjuk a rendszer teljes töltését, mnt sokaságátlagot, és egy adott onfajta kölcsönhatását ezzel a háttértöltéssel a képletből számoljuk, és a kéma potencált ezzel a taggal korrgáljuk. A korrekcóval kbővített algortmusunkkal kapott eredményeket MGB/I+av+corr jelöléssel (pros, folytonos vonal) közöljük. A ábra mutatja, hogy ez az eljárás (pros, folytonos vonal) ugyanolyan só kéma potencálhoz konvergál, mnt az MGB/S+av módszer (kék vonal, négyzetek), mégpedg azonos gyorsasággal. A ábra megmutatja, hogy ez a korrgált algortmus a kívánt értékekhez gyorsan konvergál, főleg ha ks N sm -et használunk. Végül a ábra bzonyítja, hogy a rendszer gyorsan elér a töltéssemlegességet, és ezután már csak fluktuál a töltés semleges állapot körül Elektrolt elegyek Mvel általános érdeklődésünk olyan alkalmazásokra vonatkozk, mnt elektromos kettősréteg, nanopórusok lletve oncsatornák, lletve ezek szelektvtása elektrolt elegyekben, módszerünket NaCl CaCl 2 elegyre s teszteltük. A Na + on átmérője a szmulácók során 1.9 Å volt, míg a NaCl koncentrácó 0.1 M, a CaCl 2 koncentrácó pedg 10-3 M volt. 44 / 112

45 3. Kéma potencál számítása ábra NaCl CaCl 2 elegyben lévő onok többlet kéma potencáljanak értéke a szmulácós dő függvényében. Kndulás állapot: MSA. A ábra a különböző onok konvergencáját mutatja be különböző terácós hosszokon ( N sm ), és ugyanaz a következtetés vonható le, mnt eddg, vagys a korrekcós algortmusunk gyorsan konvergál. Az algortmusunk egyetlen llesztendő paramétere ebben az esetben s a szmulácóhossz ( N sm ) egy terácón belül. Ennek a paraméternek az értéke nagyban függ attól, hogy mlyen rendszert vzsgálunk. Amennyben a rendszert erős kölcsönhatások és nagy sűrűségek jellemzk, hosszabb szmulácó szükséges. Annak ellenére, hogy az átlagoló eljárás rövdebb szmulácókat tesz lehetővé, a m elegyre kapott eredményenk azt mutatják, hogy nagyobb -et választva N sm 45 / 112

46 3. Kéma potencál számítása jobb konvergencát kapunk. Tehát a szmulátor az, aknek meg kell választana a megfelelő értéket ábra Az ndvduáls onok többlet kéma potencáljanak értéke különböző dvalens-koncentrácónál, a szmulácós dő függvényében. Kndulás állapot: MSA. Eredményenk arra utalnak, hogy a dvalens on az, amelyk a rendszer aszmmetráját okozza, és tesz az MGB/I+av eljárás konvergencáját nehézkessé. Hogy ezt a hatást még jobban szemléltessük, nagyobb Ca 2+ -koncentrácókkal (10-2 M és 10-1 M) s elvégeztük szmulácónkat, és a ábrán látható, hogy az MGB/I+av algortmus lassabban konvergál a Ca 2+ -koncentrácó növelésével, míg az MGB/I+av+corr algortmus mnden esetben jól vselkedk. 46 / 112

47 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.1. Az oncsatornák: bológa háttér A bológa, mnt önálló tudományág csupán a XIX. században jelent meg. A bológa tudományok a természetrajz és kora orvostudomány tanokból alakultak k, melyek egészen az ókor görög Galenusg és Arsztotelészg vezethetők vssza. A XIX. század közepén tudósok defnálták a sejt fogalmát, amelyet az élet legksebb önálló egységeként tartottak számon. A sejtet határoló lpd kettősréteg, azon túl, hogy defnálja a sejt határat, véd azt a külső behatásoktól, és mechanka stabltást bztosít nek [38]. A középen elhelyezkedő hdrofób réteg révén az onokra és nagyobb poláros molekulákra ez a lpd kettősréteg nem áteresztő. Ahhoz, hogy élő sejtről beszélhessünk, szükség van a sejt és környezete kölcsönhatására: nformácócserére, anyagtranszportra. A XX. század elejére a bológusok egy csoportja előbb feltételezte, majd később bzonyította s, hogy a sejtek falában valamféle pórusoknak, lyukaknak kell lennük, amken különböző anyagok víz, onok szabadon áramolhatnak, mert ez szükségszerű a sejtek és környezetük között anyagcseréhez. Wlhelm Ostwald ak kutatásával azt bzonyította, hogy az élő szövetben létrejövő elektromos jelekért (ngerekért) a sejtek membránjan oda-vssza áramló onok felelősek munkájáért Nobel-díjban részesült. A XX. század közepére jutott el a tudomány az oncsatornák megsmeréséhez, és szelektvtásuk felfedezéséhez, amkor az degsejtek ngerületét és ngerület-vezetését vzsgálták [38]. Ez az áttörés új távlatokat nytott az orvostudomány és egyben a bológa fejlődésében. Az olyan részecskék transzportjára, amelyeket a lpdréteg nem ereszt át, a természet úgynevezett membránfehérjéket alkotott. Ezek a lpd kettősrétegen keresztültüremkedő órásmolekulák felelősek sok más funkcó mellett a különböző fzológalag fontos szervetlen onok (mnt például a Na +, K +, Ca 2+, Cl - ) sejtmembránon keresztül való transzportjáért. A sejtmembrán tömegének mntegy felét a membránfehérjék teszk k ( ábra), melyeket több szempont szernt s lehet csoportosítan. Aktív vagy 47 / 112

48 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok passzív transzportról beszélhetünk attól függően, hogy az adott komponens továbbítása annak elektrokéma gradense mentén, vagy azzal szemben történk ábra Egy membrán (egyebek mellett) a lpd kettősrétegből és a membránfehérjékből áll [38]. Aktív transzport során kéma vagy fényenerga, lletve egy másk komponens passzív transzportjának felhasználásával történk a továbbítás ( ábra), míg passzív transzport esetén de tartoznak az oncsatornák s a membrán két oldala között az adott komponensre vonatkozó koncentrácógradens, lletve onok esetében a koncentrácó- és potencálkülönbség együttes hatására mozognak a részecskék. Ezt a jelenséget az elektrodffúzó és a Nernst-Planck egyenlet írja le (lásd később) ábra A transzport fajtá [38]. Az oncsatornáknak két nagyon fontos tulajdonságát említhetjük meg. Az egyk, hogy erősen szelektívek, vagys csak egyfajta onra nézve permeáblsak, míg a több onra nézve nkább nem; egész pontosan a csatorna azt az ont, amelyre szelektív, nagyobb valószínűséggel enged át, mnt a többt. 48 / 112

49 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok Szelektvtásról természetesen csak nytott csatorna esetében van értelme beszéln, és ez az oncsatornák másk alapvető jellemzője: nytott vagy zárt állapotban lehetnek, mégpedg szabályozott módon. A nytott lletve zárt állapot a fehérje kétféle konformácóját jelent. A membrán nyugalm állapotában a legtöbb csatorna zárt állapotban tartózkodk. Ahhoz, hogy a csatorna knysson, valamlyen nger szükséges. Léteznek lgandum-vezérelt és feszültség-vezérelt oncsatornák. A feszültségvezérelt oncsatorna egy elektromos ngerület, az akcós potencál amely nem más, mnt a membránpotencál hrtelen megváltozása hatására nyt. A lgandum-vezérelt oncsatorna akkor nyílk, ha valamlyen hírvvő részecske kötődk a kötőhelyéhez. Az oncsatornáknak rendkívül fontos szerepük van az élet folyamataban, mnt például az ngerület-vezetés, az érzékelés, az zom-összehúzódás lletve a sejtkommunkácó. Számos élettanlag fontos anyag hatásmechanzmusát vzsgálták, hogyan befolyásolja az oncsatorna működése a szervezet működését. Néhány példa az oncsatornák szerepére az élő szervezetben: A nátrumcsatornák az ngerületek degrostokon való továbbításakor játszanak nélkülözhetetlen szerepet. A sejtmembrán adott részére elektromos nger érkezk, ezáltal az ott lévő nátrumcsatornák knytnak. Mvel a sejten kívül sokkal nagyobb a nátrum-koncentrácó, egy a sejt belsejébe mutató elektrokéma gradens érvényesül, am egy nagy nátrum-fluxust eredményez. Ez az áram megváltoztatja vszont a nátrum-koncentrácót a csatorna mellett, és ezzel együtt a membránpotencált s. A potencálváltozás pedg nytja a következő nátrumcsatornákat. Ezzel a cklusos folyamattal halad az ngerület gyengítetlenül az degrost mentén. Az ehhez szükséges energát úgynevezett Na + -K + pumpák által fenntartott koncentrácó gradens bztosítja kéma energa (ATP) felhasználásával. A kalcumonok a dupla töltésük matt jó hírvvő részecskék. Ha tehát egy ngerület érkezk a sejt egy részére, ahol kalcum-csatornák helyezkednek el, ezek nytnak, és kalcumonokat engednek be a sejtbe. A sejten belül a kalcumok tovább folyamatokat ndukálnak. Az degvégződések végén például neurotranszmtter molekulák felszabadulását váltják k, amelyek aztán a másk sejtvégződésen más oncsatornák általában nátrum-csatornák knyílását okozzák. Nátrumonok áramolnak be a sejtbe, és egy akcós potencál (degmpulzus) megndulását ndukálják. Így tehát az elektromos jel kéma jellé alakul, majd vssza elektromos jellé. Ennek a folyamatnak létfontosságú szerepe van a memóra kalakulásában. A nátrum-csatornák 49 / 112

50 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok lyen szerepe mnden degvégződésen megtalálható, például a látósejtekben, hallósejtekben, stb. Az ezen dolgozatban vzsgált, L-típusú kalcumcsatorna az zomsejtek külső membránjában található. Ha az zmok mozgatását előíró degmpulzus érkezk, ezek knytnak, és kalcumonok áramolnak a sejtbe. Az L-típusú kalcumcsatorna nagyon szelektív, és a rajta keresztüláramló kalcumonok mennysége nem elegendő, hogy aktválják az zomsejteket. Szükség van tehát egy másodlagos folyamatra, amely elegendő kalcumon felszabadulását okozza. Az zomsejten belül táralóhelyeken (szarkoplazmkus retkulumban) kalcumonok tárolódnak. Ennek a falában szntén kalcum-csatornák helyezkednek el, a Ryanodn receptorok, amt Gllespe és munkatársa vzsgáltak [39; 40]. Az L-típusú kalcumcsatorna aktválása a Ryanodn receptorok knyílását okozza. Ezek kevésbé szelektív, de nagyobb átmérőjű pórussal rendelkező kalcumcsatornák, így nagy mennységű kalcum felszabadulását tudják bztosítan a szarkoplazmkus retkulumból. Ezek a kalcumonok kötődnek az úgynevezett Myosn molekula kötőhelyén, és zomkontrakcót okoznak. Megjegyezzük, hogy az L-típusú és a Ryanodn kalcumcsatorna között csatolás eltérően működk a szívzomsejtekben és a vázzomsejtekben. A sejtek között kommunkácó megértése és befolyásolása széles területet ölel fel az orvostudományban s. A legtöbb fájdalomcsllapító oncsatornák blokkolásával akadályozza meg a fájdalomérzet agyba jutását. A vírusok és bakteráls fertőzések tünete ellen harcban s részt vesznek. Ezen felül a különböző genetka és kalakult betegségek mnt a mgrén, dabétesz vagy az eplepsza dagnosztzálásában s fontos szerepet játszanak. Ezek a fehérjék úgynevezett -hélx kötegek formájában járják keresztül a membránt egy olyan hdrofl pórust kalakítva, amelyen keresztül az onok transzportja megvalósulhat. Egy fehérjemolekula szerkezetét az őt felépítő amnosavak sorrendje határozza meg. Az amnosav szekvenca vsszafejthető, de nehéz meghatározn azt a háromdmenzós szerkezetet, amelybe ez a lánc feltekeredk. Számoln azért nem lehet, mvel túl nagy ez a molekula, mérése pedg azért nehéz, mvel nehéz krstályosítan a fehérjét, mert specáls környezetben található. A KcsA bakteráls feszültségvezérelt kálumcsatorna (4.1.3a. és 4.1.3b. ábra) azon kevesek közé tartozk, melynek szerkezetét MacKnnon és munkatársa röntgendffrakcós mérésekkel vzsgálták, és kutatásak eredményeképpen megkapták a év kéma Nobel-díjat [41]. 50 / 112

51 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.1.3a. ábra 4.1.3b. ábra MacKnnon és munkatársa KcsA bakteráls feszültségvezérelt kálumcsatornájának szerkezet ábrája [41]. Úgy vélk, hogy a kalcum- és a nátrumcsatornák szerkezete ehhez nagyon hasonló, a fő különbség, hogy míg a kálumcsatornánál a négy hélx négy különálló fehérjéhez tartozk, addg a nátrum- és kalcumcsatornáknál azok egy fehérje alegysége. A másk lényeges és a m kutatásank szempontjából a legfontosabb különbség egy, a póruson belül szűk térrész, az úgynevezett szelektív szűrő szerkezetében rejlk, amely a szelektvtásért felelős (az F-fel jelölt rész a 4.1.3b. ábrán). Mvel ez a modellezés fontos részét képez, a szelektív szűrőről részletesen s írunk a 4.4 fejezetben. 51 / 112

52 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.2. Az L-típusú kalcum-csatornára vonatkozó kísérlet eredmények Az oncsatornákon keresztül folyó áram mérésére az egyk legfontosabb módszer a patch-clamp technka [42]. Ez egy elektrofzológa kísérlet módszer, amely elsősorban elektromosan ngerelhető sejtmembránban elhelyezkedő oncsatornák tanulmányozására alkalmas. Egy üveg mkroppettát llesztenek a sejtmembránhoz, amelyben egy elektróda helyezkedk el. Az elrendezéstől függően ( ábra) a ppettát aztán leszakítják a sejtről a rajta levő membrándarabbal (így lehetővé téve az egyetlen oncsatornán keresztül folyó áram mérését), vagy szívással beszakítják a ppetta végén lévő foltot. Ez utóbb a whole cell mérés, amkor a teljes sejtmembránon lévő oncsatornákon keresztül folyó áramot mérk. A következőkben bemutatásra kerülő kísérletek lyen technkával lettek végrehajtva. A patch clamp technka kfejlesztéséért Neher és Sakmann 1991-ben Nobel díjat kaptak ábra A patch clamp technka folyamata (forrás: Az L-típusú kalcumcsatorna rendkívül szelektív kalcumonra a monovalens onokkal (Na +, K + ) szemben. Erre (mások mellett) egy klasszkus elektrofzológa kísérlet enged következtetn. Almers és McCleskey fokozatosan kalcumot adagoltak a sejten kívül térrészbe, mközben a háttérben lévő NaCl koncentrácóját 33 mm 52 / 112

53 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok értéken tartották ( ábra). Azt találták, hogy a kalcum adagolásával a csatornán átfolyó áram gyorsan csökken, mkromólos kalcum koncentrácónál a felére (azt a kalcum-koncentrácót, amelynél az áram a kalcummentes esethez képest a felére csökken hagyományosan IC 50 -nel jelölk, és ezzel jellemzk a csatorna szelektvtását), majd még ksebb értékekre: a kalcummentes áramerősség körülbelül 10 %-ára. A kalcumon tehát blokkolja a nátrumonok áramát [43; 44]. Ez arra enged következtetn, hogy létezk a pórus mentén egy kalcum kötőhely, ahova kalcumon kötődk be és megakadályozza a nátrumonok áramát ábra Az Almers és munkatársa kísérlete a nátrumáram kalcum-blokkjára: 33 mm-os NaCl-hoz CaCl 2 -ot adagoltak a sejten kívül térrészbe. Az ábra a normalzált áramot mutatja a rendszerhez adagolt CaCl 2 koncentrácójának függvényében [43]. Ez a kötőhely (lletve a legfontosabb lyen kötőhely) mnden bzonnyal a szelektív szűrő. A szelektív szűrő a legksebb átmérőjű része a pórusnak egy jól meghatározott szerkezettel. Itt dől el, hogy az oncsatorna melyk onra lesz szelektív. A KcsA kálumcsatorna esetében smert, hogy a szelektív szűrőt a peptdláncon elhelyezkedő karbonl oxgének határolják. Az oldalláncok a fehérje belsejében helyezkednek el. A kalcumcsatorna esetében vszont ezzel szemben azt feltételezk, hogy az oldalláncok a csatorna belseje felé rányulnak ( ábra). 53 / 112

54 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ábra Feltételezések szernt a kalcumcsatornák és a kálumcsatornák szelektív szűrő alapvetően különböznek egymástól. Míg a kalcumcsatornákban az amnosav oldalláncok a szűrő belseje felé állnak, addg a kálumcsatorna szűrőjét a karbonl oxgének határolják [45]. Mvel közvetlen röntgendffrakcós mérés kalcumcsatorna szerkezetére nem áll rendelkezésre, a szűrőben lévő oldalláncokat közvetve, génmutácós kísérletekkel határozták meg a következőképpen. Az amnosav szekvenca különböző amnosavat pontmutácós kísérletekkel megváltoztatták (általában az alannnal helyettesítették, am kcs és töltetlen), és megmérték, hogy az így előállított oncsatornának mképpen változtak meg a szelektvtás tulajdonsága ábra Az L-típusú kalcumcsatornát négy peptdlánc alkotja. A szelektív szűrőt ennek a négy láncnak egyegy leágazása határolja (P-loop). Az ábra ezeknek az elágazásoknak a szekvencáját mutatja. A szűrőt közvetlenül határoló glutamnsavak külön meg vannak jelölve (393, 736, 1145, 1446) [45]. 54 / 112

55 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok Azt találták, hogy a szekvenca 393, 736, 1145, 1446 jelű glutamnsavat (E) ( ábra) megváltoztatva jelentős változás mutatkozk a csatorna szelektvtásában. A megfelelő kísérlet a ábrán látható Ellnor és munkatársa eredménye alapján [45]. Látható, hogy a glutamnsavat valam másra cserélve a nála rövdebb de még mndg töltött aszparagnsavra (D), szntén nagyméretű, de töltetlen és poláros glutamátra (Q), lletve a kcs és nem poláros alannra (A) a szelektvtás a mkromólosról nagyságrendekkel változk ( ábra). Napjankban teljesen elfogadott, hogy kalcumcsatornák szelektív szűrőjében négy, negatívan töltött COO - csoport helyezkedk el. Ez a karboxlban gazdag környezet nem csak a kalcumcsatornák szelektív szűrőjének sajátja, hanem a kalcumkötő fehérjék (pl. calmoduln) kötőhelyének s. Ezekről vszont számos röntgenszerkezettel rendelkezünk. [46]. Ezen kívül különböző kalcumkötő komplexképző vegyületek (EDTA, EGTA) kötőhelye s egy karboxlban dús tartomány ábra Ha a ábrán látható glutamnsavakat (E) külön-külön pontmutácós kísérletekkel más (D, Q vagy A) amnosavakra változtatjuk, a csatorna kalcum-szelektvtása (IC 50 ) erőteljesen megváltozk [45]. Annak, hogy a karboxlban gazdag szűrő egy kalcum-szelektív csatornát eredményez, egy közvetlen bzonyítéka az smert Henemann kísérlet [47]. Ebben a 55 / 112

56 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok kísérletben a nátrumcsatorna szelektív szűrőjében a jellemző DEKA szekvencában a poztív lznt (K) egy negatív glutamnsavra (E) cserélték pontmutácós kísérlettel (DEKA DEEA). Ezen mutácó során a DEKA nátrumcsatorna a kalcumcsatornák szelektvtás tulajdonságaval bíró csatornává változk. A ábra mutatja a csatornán átfolyó áramot a kalcum adagolása függvényében. Látható, hogy a görbe az Almers és McCleskey kísérletben kapott görbéhez hasonló azzal az eltéréssel, hogy 10-6 M-os szelektvtás helyett 10-4 M-os szelektvtást kaptak. Ez nem meglepő, hszen a csatorna töltése -3e a -4e helyett. (lásd az A-val való helyettesítést az Ellnor-kísérletben, ábra) ábra Ha a feszültség-vezérelt nátrumcsatorna szelektív szűrőjében a poztív lznt (K) egy negatív glutamnra (E) cseréljük (tehát a DEKA szekvencát DEEA szekvencára változtatjuk), akkor kalcum adagolásával egy kalcumcsatornára jellemző görbét kapunk. A kalcumblokk (IC 50 ) 10-4 M-nál jelenk meg [47] Az rodalomban rendelkezésre álló kísérletek főként a dvalens és monovalens onok (lletve azonos töltésű, de különböző méretű onok) versengésére vonatkoznak, trvalens on részvételével végrehajtott szelektvtás mérés azonban kevés van az rodalomban [48-53]. Az egyk kvétel a Babch és munkatársa által elvégzett kutatás [53; 54]. Arra közöltek mérés eredményeket, hogyan változk az L- típusú kalcum-csatornán átfolyó áram, ha 150 mm NaCl-hoz és 10mM dvalenssóhoz (CaCl 2, BaCl 2, és SrCl 2 ) gadolínumot (GdCl 3 ) adagolnak. Az IC 50 ezekben a kísérletekben nehezen értelmezhető. Azt találták, hogy a csatornára egy feszültségmpulzust adva (ez knytja a csatornákat) az áram fokoza- 56 / 112

57 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok tosan csökken az dő függvényében. Staconárus állapot kalakulásának nem találták jelét. Az áram csökkenésének kétféle oka lehet. (1) Egyre több Gd 3+ dffundál a csatornák (ne feledjük, whole cell kísérletről van szó) közelébe, és egyre több csatorna blokkol, így a nettó áram csökken. (2) Az dő múlásával a csatornák naktválódnak. A Gd 3+ Babch és munkatársa feltételezése szernt az naktvácóra s hatással van. Nem vlágos tehát, hogy a Gd 3+ koncentrácó változása mlyen arányban befolyásolja az áramot a permeácós út blokkja, lletve a csatornák naktvácója révén. Staconárus mérés eredmények hányában drekt összehasonlítás a számítás eredményenkkel tehát nem lehetséges. Indrekt (kvaltatív) összehasonlításra azonban van mód. A Gd 3+ -blokkot Babch és munkatársa többféleképpen értelmezték. Egy feszültségmpulzus kezdetén az áramcsúcs nagysága (I 1 ) csökken a Gd 3+ adagolásával. Ezt tonc blokknak nevezték (lásd ábra). Ez a blokk azt mutatja, hogy menny Gd 3+ volt bekötve a zárt csatornákban rögtön a nytás (a feszültségmpulzus eleje) előtt. Ezen túl defnálták az ún. use-dependent blokkot, am a következőképpen áll elő. Az első mpulzus után ks dővel egy másk mpulzust adtak a membránra, és mérték az áramcsúcsot (I 2 ). Az I 2 /I 1 aránya adja a use-dependent blokkot, és azt jellemz, hogy mlyen gyorsan cseng le az áram a nytás után. Az I 2 /I 1 arány [Gd 3+ ]-függése (Fg. 1F Babch és munkatársa ckkjében, 53) hasonló jellegű, mnt az I 1 [Gd 3+ ]-függése ( ábra). Ha feltesszük, hogy a nytás előtt a megkötött Gd 3+ onok aránya a szelektív szűrő [Gd 3+ ]-affntására jellemző, számítás eredményenk (ahol valójában ezt az affntást számoljuk) a tonc blokkal összevethetőek. Azért s választottuk ezt a lehetőséget, mvel a tonc blokkra több kísérlet eredmény áll rendelkezésre. Babch és munkatársa azt állítják, hogy a gadolínum a felelős a blokkért azáltal, hogy egy kötőhelyhez kötődk a szelektív sűrőn kívül. Szerntünk ez a kötőhely akkor férhető hozzá, amkor a csatorna zárva van. Ekkor a gadolínum és a több on versenyeznek ezért a helyért (amre a Gd 3+ -nak van a nagyobb esélye. Ezzel szemben m azt javasoltuk az ebben a témában megjelent publkácónkban [55], hogy nncs szükség a szelektív szűrőn kívül kötőhely koncepcójára: maga a szelektív szűrő az a kötőhely, ahol a Gd 3+ a másk két on áramát blokkolja. 57 / 112

58 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ábra Babch és munkatársa kísérletében GdCl 3 -ot adagoltak fokozatosan 150 mm-os NaCl és valamlyen 10 mm-os dvalens-só elegyéhez a sejten kívül térrészbe. Az ábra az úgynevezett tonc blokkot ábrázolja (lásd szöveg) különböző dvalens-sók esetére. A négyzet egy mutánsra vonatkozó eredményeket mutatja, ahol az egyk glutamnsavat glutamátra cserélték [53]. A következő fejezetben smertetem annak a kutatócsoportnak az eredményet, amely a fent vázolt kísérletek (és még ezek mellett sok egyéb kísérlet) értelmezésére és kvaltatív reprodukálására törekedett az elmúlt tíz évben. Ennek a kutatócsoportnak az a munkaflozófája, hogy komplex fzka jelenségek (például az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtás tulajdonsága) megértéséhez közelebb jutunk, ha előbb egyszerűbb modelleket alkotunk a rendszerre, és megtaláljuk azokat a fő fzka erőket, amelyek a rendszer vselkedését első rendben meghatározzák. A modell fnomítása ezután lépésről lépésre történk. A dolgozat fennmaradó részében a fent smertetett kísérletek közül az Almers és McCleskey [43; 44] kísérlet (dvalens - monovalens verseny, ábra) és a Babch és munkatársa [53; 54] kísérlet (trvalens - dvalens - monovalens verseny, ábra) apropóján különböző töltésű onok versengésére koncentrálunk. 58 / 112

59 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.3. Az oncsatornás szmulácók történet áttekntése A statsztkus mechanka számítások, és a különféle számítógépes szmulácók mndg csak valamlyen jól defnált modellre végezhetők el [56; 57]. Mnél egyszerűbb ez a modell, annál könnyebben vzsgálható. A modell részletességét és a vzsgálatára használt módszert mndg meghatározzák annak a rendszernek a tulajdonsága, amt vzsgálunk. Jelen esetben az oncsatornára vonatkozó egyszerűsített, úgynevezett redukált modellel kell dolgoznunk, mvel a kalcumcsatornára részletes, háromdmenzós szerkezet nem smert. Ebbe a redukált modellbe csak mnmáls szerkezet nformácót foglalunk bele. A szelektvtás mechanzmus lényege, hogy a szelektív szűrőben -4 töltés egy ks helyre van összezsúfolva. Modelleznünk kell hát a csatorna fala által kfejtett rendkívül erős szerkezet kényszert, amely ezeket az egymást taszító negatív oldalláncokat egy helyen tartja. Modelleznünk kell továbbá ezeknek az oldalláncoknak a két legfontosabb tulajdonságát: a töltésüket, valamnt hogy véges helyet foglalnak el, és így a szűrőt rendkívül zsúfolttá teszk. A modellünk és az ennek vzsgálatára használt szmulácós technka kfejlesztése egy 2000-ben kezdődött kutatás folyamat eredménye ben Nonner és Esenberg javasolták a CSC ( charge-space competton ) mechanzmust (bár ezt a nevet csak Boda és munkatársa publkácójában [58] kapta), amt akkor még csak egy tömbfázsú MSA módszerrel vzsgáltak, az oncsatorna szűrőjét pedg egy tömbfázsú oncserélővel modellezték [37]. A CSC mechanzmus tulajdonképpen az ellentöltés által a szűrőben vonzott onok között a szűkösen rendelkezésre álló helyért való versengést jelent. A mechanzmust jól szemléltethetjük, ha vesszük a szabadenergát. F U TS. (4.3.1) A versengő onok adott tömbfázsbel koncentrácója mellett az az oneloszlás fog kalakuln a szelektív szűrőben, amely a szabadenergát mnmalzálja. Ha az onok hozzávetőlegesen azonos méretűek, vagys azonos térfogatot foglalnak el a szűrőben, vszont a töltésük különböző (Na + és Ca 2+ ), akkor a dvalens on kétszer anny töltést szolgáltat a monovalenshez képest a szűrő negatív töltésének semlegesítésére. A kalcumon tehát nagyobb mértékben csökkent az energát (U ) anélkül, hogy az entrópát ( S ) túlságosan csökkentené (a TS tagot növelné). Azonos töltésű, de különböző méretű onok (Na + és K + ) esetén a ksebb van előnyben, mert k- 59 / 112

60 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok sebb térfogatot foglal el a szűrőben. A ksebb on tehát változatlan U mellett kevésbé csökkent az entrópát. Kmondható tehát, hogy a nagyobb valencájú és ksebb méretű onok hatékonyabban tudják semlegesíten a szelektív szűrő töltését. Ugyanebben az évben kezdődtek az MC vzsgálatok, melyek során Henderson, Boda és munkatársa az oncsatorna egy kezdetleges modelljével vzsgálták ezt a jelenséget, de már nhomogén körülmények között [58; 59]. Később kfejlesztettek egy realsztkusabb modellt, amelyben a csatorna már egy membránban helyezkedk el [60]. Ezt a modellt alkalmazták nátrumcsatornák vzsgálatára s, amely abban különbözk a kalcumcsatornától, hogy a szelektív szűrőjében DEKA amnosavak (aszparagnsav: -1e, glutamnsav: -1e, lzn:+1e, alann: semleges) találhatóak a 4 glutamnsav helyett [61]. Ezek a szmulácók még kanonkus sokaságon folytak, azaz a csatorna szelektív szűrője az ugyanabban a szmulácós cellában lévő tömbfázsú elektrolttal volt egyensúlyban. A szmulácók gyorsabb konvergencája érdekében tt már egy súlyozott mntavételezés technkát alkalmaztak, amelyben preferencálsan cserélték az onokat a tömbfázs és a csatorna között (lásd 4.5 fejezet). Ez a modell még vszonylag gyenge kalcum-szelektvtással rendelkezett, mvel a delektromos együttható ugyanakkora volt mndenhol a szmulácós cellában, tehát a fehérjében s. Nylvánvaló volt, hogy az erős kísérlet kalcum-affntás reprodukálásához fgyelembe kell venn a csatornában levő eltérő polarzácós vszonyokat, azaz hogy a Coulomb kölcsönhatások a csatornában kevésbé árnyékoltak (erősebbek). Ezt a kontnuum szntű modellezés kereten belül úgy lehetett megvalósítan, hogy a fehérje belsejének egy az oldatétól eltérő delektromos együtthatót adtak. Az így megjelenő delektromos határfelületek, lletve az azon ndukálódó polarzácós töltések számítása vszont távolról sem trváls probléma, mvel az elektrosztatkus kölcsönhatások így már nem páronként addtívak. A probléma megoldására kfejlesztették az úgy nevezett ICC ( nduced charge computaton ) módszert [62], amt a 4.6 fejezetben smertetek. Ez lehetővé tette, hogy egy továbbfejlesztett csatornamodellt használjanak, és ezt használjuk m s vzsgálatank során. Ez a modell már képes volt produkáln a M -os Ca 2+ versus 30 mm -os Na + szelektvtást, vszont ennek vzsgálatára már elégtelennek bzonyult a kanonkus sokaság. A 2006-ban megjelent publkácóban már nagykanonkus sokaságon vzsgálták a fehérje delektromos együtthatójának hatását a szelektvtásra [63]. Azt találták, 60 / 112

61 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok hogy mnél ksebb ez a delektromos együttható, annál erősebb a kalcumszelektvtás. Ennek az a magyarázata, hogy a polarzácós töltések ndukálásához munkát kell végezn, a rendszer tehát gyekszk egy olyan egyensúly állapotba beálln, amelyben az ndukált töltések nagysága mnmáls. Ezt úgy lehet elérn, ha a szelektív szűrő még több katont vonz magához, mnél nkább töltéssemlegessé téve azt. A következő publkácóban a szűrő sugarának lletve delektromos együtthatójának kombnált hatását vzsgálták [64], és megállapították, hogy a ksebb sugár s a jobb kalcum-szelektvtás rányába hat. Mndkét esetben az erősebb kalcumszelektvtás magyarázata, hogy a szűrőben nagyobb lesz a katonok sűrűsége, ezáltal erősebb a rendelkezésre álló helyért zajló versengés a kalcum és a nátrum között. Mnél erősebb ez a verseny, annál kedvezőbb a helyzet a kalcum számára. Ezzel a két paraméterrel ( R és ) tehát széles tartományban lehet hangoln a csatorna szelektvtását. Mndkettő az oncsatorna szerkezetétől, tehát a genom által vezérelt szerkezettől függ. Ez azért fontos, mert hasonló összetételű szelektív szűrővel (4E vagy 4D) smerünk nagyon szelektív kalcumcsatornákat (L-típusú), lletve gyengén szelektív kalcumcsatornákat (Ryanodne receptor). Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó összefoglaló jellegű publkácóban [65] számos egyéb kísérlettel hasonlították össze a modellből kapott szmulácós eredményeket kelégítő eredménnyel. Egy másk kutatócsoport nevezetesen Chung és munkatársa s javasolt egy érdekes modellt a kalcumcsatornára [66-70]. Modelljükben a szelektív szűrő negatív strukturáls töltéset a falon kívül (a fehérje belsejében, a ks delektromos együtthatójú tartományban) helyezték el rögzített pozícókban. Ezt a merev modellt, amelyből hányzk a zsúfolt szűrőben versengésre kényszerített katonok koncepcója, Brown-dnamka szmulácókkal vzsgálták nagy Ca 2+ -koncentrácóknál (>18 mm). Ezekből az eredményekből öt nagyságrendet extrapoláltak mkromólos Ca 2+ -koncentrácókra, és azt állították, hogy a modell képes a mkromólos kalcumblokk reprodukálására. Boda és munkatársa közvetlenül GCMC szmulácókat végeztek a mkromólos Ca 2+ -koncentrácó-tartományban erre a modellre [71], és megmutatták, hogy a modell csak mlmólos Ca 2+ -szelektvtással rendelkezk. Gllespe mutácós kísérletekre és elektrofzológa mérésekre alapozva kfejlesztette a Ryanodne receptor egy redukált, de vszonylag részletes modelljét [39; 40]. Ezt a modellt Posson-Nernst-Planck egyenlettel vzsgálta. Ez azt jelent, hogy a 61 / 112

62 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok Nernst-Planck elektrodffúzós egyenletet elektrosztatkalag önkonzsztens módon oldja meg, tehát az terácó során a Posson egyenlet s mndg érvényes marad. A kéma potencál többlet tagját egy általa kfejlesztett sűrűség funkcónál elmélettel (DFT) számolja. Ezzel a DFT/PNP elmélettel reprodukáln tudta a Ryanodne receptor áram-feszültség karaktersztkát több száz különböző elektrolt-összetételre a membrán két oldalán. A CSC mechanzmus megerősítésére Medema és munkatársa génmutácós kísérleteket végeztek [72; 73] egy OMPF-porn nevű fehérjével. A CSC mechanzmus által nsprálva genetkalag módosították a csatorna szerkezetét, oly módon hogy poztív vagy töltetlen amnosavakat negatív amnosavakra cseréltek, ezáltal a pornt kalcum-szelektívvé tették. A meglehetősen nagy átmérőjű porn falára különböző csoportokat ragasztva csökkentették a csatorna átmérőjét, am szntén a kalcum-szelektvtás rányába hatott. Boda és munkatársa nátrumcsatornákra s kterjesztették vzsgálatakat [74]. A modell skerére a legjellemzőbb példa, hogy reprodukálta a 4.2 fejezetben smertetett Henemann kísérletet [47] ( ábra). Látható, hogy kalcumot adagolva a rendszerhez 10-4 M-nál a felére blokkolja az áramot, és ez összhangban van a kísérletekkel ( ábra). Ez a kísérlet arra enged következtetn, hogy ezen két oncsatorna-fajtának hasonló módon épül fel a szelektív szűrője, csak különböző amnosavakat tartalmaz. Az s elképzelhető, hogy a két oncsatornának hasonló elven működk a szelektvtása. Boda és munkatársanak szmulácó megmutatták, hogy ez a mechanzmus a CSC mechanzmus lehet. Rámutattak továbbá, hogy a Na + versus K + szelektvtás mechanzmusa nem az, hogy a csatorna több nátrumot vonz be a szűrőbe, mnt kálumot, hanem hogy több kálumot szorít k onnan, mnt nátrumot. Az így keletkező kálum küresedés zónák megjelenése krtkus fontosságú. Ezen küresedés zónák szerepe később egyenletbe s lett foglalva. Megmutatták, hogy a Nernst-Planck elektrodffúzós egyenlet egy ntegrált alakjából kszámítható a csatorna vezetőképessége az egyensúly szmulácókból kapott sűrűség proflokból [75], lásd 4.7 fejezet. 62 / 112

63 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ábra Boda és munkatársa vzsgálták a szűrőben lévő katonok számát különböző nátrumcsatornák esetében. Látható, hogy a DEEA jelű csatorna erősen Ca 2+ -szelektív, míg a DEKA jelű csatorna erősen Na + -szelektív. Mndezen szmulácók egyensúlyban folytak nagykanonkus sokaságon, ezért a különböző onok transzportjára csak áttételesen lehetett következtetéseket levonn az ntegrált Nernst-Planck egyenletből. Egy frssen megjelent publkácóban már közvetlenül szmulálták az onok áramlását a dnamkus MC módszer segítségével [76], és érdekes következtetéseket vontak le a kalcumcsatorna kalcum-affntása és a fluxusokkal kfejezett dnamkus szelektvtása között. 63 / 112

64 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.4. A csatornamodellünk A következőkben részletesen taglaljuk a modellrendszerünk felépítését. Nézzük meg a szmulácós cellánk részet (4.4.1A. ábra). Az oldószer korpuszkulárs természetét elhanyagoljuk, az elektroltot az úgynevezett prmtív modellel reprezentáljuk, ahol az oldószer hatását egy delektromos háttér formájában vesszük fgyelembe (2.1.1 egyenlet). Ez a kontnuum modell tehát elhanyagolja, hogy a szelektív szűrőben mások a polarzácós hatások, mnt a tömbfázsban. Az oncsatorna modelljének fontos részét képez az úgynevezett előszoba (vestbule). Ez az a térrész, ahol az onok felhalmozódnak, melőtt belépnének a szelektív szűrőbe. Ennek a térrésznek a tulajdonsága nagymértékben befolyásolják az oncsatorna vezetés tulajdonságat. Az oncsatornát egy farsang fánk-szerű modellel (4.4.1B. ábra) reprezentáljuk. A szelektív szűrőt az oncsatorna belsejében elhelyezkedő hengeres térrésszel azonosítjuk (4.4.1C és D. ábra) ábra Az oncsatorna szerkezet felépítése A két elektrolt oldatot elválasztó sejtmembránt merev, áthatolhatatlan falak határolják. A membrán két oldalán két tömbfázs helyezkedk el (amelyeket két nagyméretű hengerként modellezünk), ezek eredetleg a ctoplazmának és a sejten kívül térrésznek felelnek meg, de hangsúlyozzuk, hogy egyensúly szmulácókat végeztünk, azaz nem folyt áram és nem volt sem koncentrácó-, sem potencál- 64 / 112

65 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok gradens. A két tömbfázs egymással ekvvalens, a szmulácós cella a membrán központ síkjára nézve szmmetrkus [63; 64; 74]. A szelektív szűrő lényeg részét képező amnosav oldalláncokat mozgékonynak feltételezzük. A nátrum- és kalcumcsatornák esetén ezek az amnosav oldalláncok befele állnak, és az oncsatorna szelektvtását éppen az határozza meg, hogy a szelektív szűrőt mféle amnosav oldalláncok határolják ( ábra). Kalcumcsatorna esetén ezek az oldalláncok glutamnsavak (jele: E), például az L-típusú csatorna esetén négy darab (EEEE-locus). Ezek végén deprotonált karboxl-csoportok vannak, melyek együttesen -4e töltést alakítanak k, mégpedg úgy, hogy a karboxlcsoport oxgénjet két, egyenként -1/2 töltésű merevgömbbel modellezzük. Ezek az onok szabadon mozoghatnak a szeletív szűrőben, de abból k nem léphetnek [37], mvel be vannak szorítva az oxgénon középpontjára vonatkoztatott törvényszerűség szernt: H d H d z (4.4.1) ahol H a szűrő hossza és d = 2.8 Ǻ az oxgénon átmérője. Itt érdemes megemlíten, hogy az összes ont a rájuk jellemző átmérővel töltött merevgömbökként (2.1.1 egyenlet) modelleztük, melyekre kkötöttük, hogy nem lapolódhatnak át sem a fehérje határfelületével sem egymással. Ez a flter tehát egy olyan ks térfogattal bíró szűk térrész, amelyben sok töltés helyezkedk el, és katonok versenyeznek azokért a kötőhelyekért, amelyek a 8 db féltöltésű oxgénből adódnak. A ks térfogatból az következk, hogy a szűrőméret tovább szelektvtást eredményez, mégpedg a kalcumonok előnyére. Az általunk a szmulácók során vzsgált katonok onátmérőről készült táblázat: Na + Ca 2+ Sr 2+ Ba 2+ Gd 3+ La Å 1.98 Å 2.26 Å 2.70 Å 1.88 Å 2.12 Å 2. táblázat A vzsgált katonok átmérő 65 / 112

66 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.5. Specáls mntavételezés technkák Szmulácónk során az a célunk, hogy mnél smább sűrűségproflokat kapjunk az oncsatornán belül. Ezek a sűrűségproflok azonban függenek a tömbfázsbel koncentrácóktól. A tömbfázst és a csatornát (lletve ezek kölcsönhatását) egydejűleg és hatékonyan kell szmulálnunk. Szmulácónkban kétféle tömbfázst használtunk. Az egyk egy valód tömbfázs, amely a szmulácós cellán belül a falaktól távol helyezkedk el, a másk egy vrtuáls tömbfázs, amely a nagykanonkus részecske behelyezés/kvétel révén egyensúlyban van a szmulácós cellával. Az oncsatorna (a szmulácós cella nhomogén része) és ez a két tömbfázs kölcsönösen egyensúlyban vannak egymással. Ahhoz, hogy a szmulácós cellán belül az oncsatorna és a tömbfázs kölcsönös egyensúlyát hatékonyan szmuláln tudjuk, egy olyan mntavételezés technkát használtunk, amelyben preferáljuk az olyan onmozgásokat, amelyek a csatorna és a tömbfázs között játszódnak le. A szokásos részecske elmozdítás során az lyen mozgatások ugyans nagyon rtkák: rtkán helyezünk át ont a csatornából a tömbfázsba, mert rtkán választunk csatornában lévő ont a mozgatásra a ks számuk matt. Ugyanakkor az ellenkező rányú mozgatás s rtka, mvel egy kválasztott tömbfázsbel ont rtkán próbálunk a csatornába tenn, révén a csatorna térfogata kcs. Ezért tehát az onmozgatások egy rögzített százalékában a következő eljárást alkalmazzuk [60]. Ha egy véletlenszerűen kválasztott on a V 1 térfogatrészben van, akkor megpróbáljuk egy véletlenszerűen kválasztott pozícóba egy másk térfogatú térrészbe behelyezn. A mozgatás elfogadás valószínűsége V 2 V 2 U P mn1, exp. (4.5.1) V1 kt Az oncsatorna lletve a teljes szmulácós cella ugyanakkor egyensúlyt tart a vrtuáls tömbfázssal, nagykanonkus lépéseken keresztül. Alapesetben a részecske behelyezéseket és kvételeket elvégezhetjük a teljes szmulácós cellára. Az elfogadás valószínűséget a egyenlet adja. Ekkor ebben az egyenletben V a teljes cella térfogatát, N pedg az -edk részecskefajta számát jelent a mozgatás előtt. Ezzel azonban túl sok szmulácós dőt pazarolunk el a szmulácós cellabel tömbfá- 66 / 112

67 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok zsra, ugyans a részecske behelyezések és kvételek nagy része erre a tartományba esk. Gyorsabb konvergencát érhetünk el, ha a részecske behelyezéseket és kvételeket célzottan az oncsatornára hajtjuk végre. Ha ugyans a teljes rendszer egyensúlyban van a vrtuáls tömbfázssal, akkor annak bármely részrendszere s egyensúlyban van a vrtuáls tömbfázssal. Mvel az oncsatorna katon-szelektív, ezért a katont az oncsatornába vagy annak egy térrészébe (például a központ kötőhelyre) helyezzük be. Ekkor a egyenletben a V szorzat azon térfogatok szorzataként áll elő, amelyekbe a különböző onokat behelyeztük, például CaCl 2 -ra V 2 Ca V Cl. Ezt a módszert Boda és munkatársa [75] vezették be. A módszer hatékonyságáról a ckk másodk ábrája ad számot. Mvel a korábban bemutatott módszerünk segítségével pontosan meg tudjuk határozn az ndvduáls onok kéma potencáljat, most már ndvduáls onok behelyezésével/kvételével s tudjuk szmuláln az oncsatornát. Megadhatjuk tehát, hogy melyk ont a szmulácós cella melyk részébe mlyen gyakorsággal próbáljuk meg behelyezn. Ezzel a konvergenca tovább javulását s elérhetjük. Az eljárás másk előnye, hogy meglepően kcs szmulácós cellával s dolgozhatunk. Az oncsatornának ugyans most már nem kell a szmulácós cellabel tömbfázssal egyensúlyban lenn, csak a vrtuálssal. Az oncsatornát körülvevő rendszer fő feladata az árnyékolás: az egyébként negatívan töltött oncsatornát ugyans az annak környezetében főleg a membrán mellett elhelyezkedő katonok árnyékolják, hogy a teljes rendszer megközelítőleg töltéssemleges legyen. 67 / 112

68 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.6. Az elektrosztatkus energa számolása a szmulácóban A Monte Carlo szmulácók lelke az energa számolása. A rendszer teljes elektrosztatkus energája tartalmazza egyrészt a szabad töltések között kölcsönhatásokat, amt a Coulomb párkölcsönhatások összegeként írunk fel, lletve a szabad töltések és az ndukált töltések között kölcsönhatást. Az ndukált töltést a következőképpen számítjuk. Általánosan a Posson egyenlet következő alakját kell megoldanunk: r r r a vákuum permttvtása, r 0, (4.6.1) ahol 0 a delektromos együttható, r az elektrosztatkus potencál és r a forrás töltéssűrűség. A helyfüggő delektromos együttható r a m esetünkben egy lépcsős függvény. A delektromos határfelületek tehát élesek, különböző állandó delektromos együtthatójú tartományokat választunk el egymástól. Ezen a delektromos határfelületen az elektromos tér normál komponensének ugrása van: n E n h. (4.6.2) 1Ε1 2 2 Tehát a felületen egy felület töltés ndukálódk h. A Posson egyenlet egy az elektromos potencálra vonatkozó másodrendű parcáls dfferencálegyenlet, amt a megfelelő határfeltételekkel (az elektromos tér tangencáls és a delektromos eltolódás vektor normáls komponense folytonosan változk a határfelületen) kell megoldan. Ehelyett m egy a h -ra vonatkozó ntegrálegyenletet fogunk megoldan, amelyet a következő módon kaphatunk meg. Fejezzük k a rendszerben lévő szabad töltések lletve az ndukált töltések által keltett elektromos potencál összegét: ' ' 1 r ' 1 hr r r h r dr ' ' ' dr. (4.6.3) 4 r r r r 0 4 Ezeket a potencálokat a Posson egyenletbe vsszaírva a következő egyenlethez jutunk: 0 r r r qk r r n n r 4 ' 4 r k rk B r r r r ' r r ' ' r r h r dr 3 k h 3 k, (4.6.4) 68 / 112

69 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ahol az egyenlet egy adott B-vel jelölt delektromos határfelületen lévő pontra van felírva. A r a delektromos együttható ugrása a két tartomány között, r az átlaguk. A baloldalon lévő ntegrál az ndukált töltések polarzáló hatását fejez k az r pontban. A jobb oldalon lévő szumma a rendszerben levő szabad ponttöltéseken megy végg, amelyek rk pontokban helyezkednek el egy k qk r delektromos együtthatójú közegben. A jobb oldal tehát a szabad töltések polarzácóját fejez k. Ezt az ntegrálegyenletet egy numerkus módszerrel oldjuk meg, amt ICC módszernek nevezünk [62]. Ennek során a B felületet ks felületelemekre bontjuk fel, és feltesszük, hogy az ndukált töltés ezeken a felületelemeken állandó ( ). Ezután felírjuk az ntegrálegyenletet a felületek középpontjara ( ). q r rk h I k k k r rk n r B r h, (4.6.5) ahol a,, n értékek az ezen függvények r -ban vett értéket jelölk, a Kronecker-delta és r r ' ' dr, (4.6.6) ' 3 B r r I ahol az ntegrál csak a geometrától függ. Ez az egyenletrendszer egy mátrxegyenlet alakjában írható fel: A h c, (4.6.7) ahol h az ndukált töltés értéket tartalmazza a felületelemeken, a c vektor gyakorlatlag a szabad töltésekből eredő elektromos tér normáls komponensét tartalmazza a felületelemek középpontjaban (4.6.5 egyenlet jobb oldala), az A mátrx pedg magában foglalja a fehérje felületének polarzácós vszonyara jellemző geometra jellemzőket (a szögletes zárójeles kfejezés a egyenlet bal oldalán). Amkor a szmulácó során egy ont, azaz egy forrástöltést elmozdítunk, az egyenlet jobb oldalát a c vektort változtatjuk meg. Az ndukált töltést a h A 1 c egyenletből számítjuk. Az A matrx csak a delektromos határfelület geometrájától függ, am a szmulácó során nem változk. Elegendő tehát az A mátrxot csak egyszer a szmulácó elején kszámítan, és nvertáln. Ez a módszer hatékonyan és pontosan műkö- q K 69 / 112

70 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok dk még vszonylag ksszámú felületelem esetén s, ahogy azt különböző modellrendszerek esetére megmutatták [62; 63; 77]. A szabad töltések és az ndukált töltések között kölcsönhatást úgy számoljuk, hogy a felületelemek középpontjaban h a nagyságú ponttöltéseket helyezünk el, ahol a a B felületelem területe. A kölcsönhatás energa egyszerűen a szabad töltések és a h a ponttöltések között Coulomb párkölcsönhatások összege: U h 1 2 k q k h 1 2 rk k q h q r r k. (4.6.8) 70 / 112

71 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.7. Az oncsatorna vezetőképességének számítása Az MC szmulácók csak termodnamka egyensúly esetére szolgáltatnak nformácót, azaz csak azt mondják meg, hogy adott összetételű elektroltból a különböző onok mlyen valószínűséggel adszorbeálódnak a szelektív szűrőbe. Szmulácónkban a sejtmembrán két oldalán ugyanolyan elektrolt található, és a potencálkülönbség s zérus a membrán két oldala között. Az elektrofzológa kísérletek vszont arról adnak felvlágosítást, hogy mekkora áram folyk az oncsatornán keresztül adott termodnamka hajtóerő esetén, vagys amkor az elektrolt összetétele különböző a membrán két oldalán, és a feszültség sem feltétlenül zérus. Az onáramot tehát különböző komponensek koncentrácó-gradense (pontosabban kéma potencál gradense) és az elektromos potencál gradense (az elektromos tér) s hajtja. Ez az elektrodffúzó jelensége, amt a Nernst-Planck egyenlet ír le egydmenzós esetben: J 1 D kt d dx xaxc x x z ev x, (4.7.1) ahol J a lokáls áramsűrűség az -edk onra nézve, k a Boltzmann együttható, T a hőmérséklet, x a dffúzós együttható (am helyfüggő lehet), A x a szűrőben D folyó áram rányára merőleges keresztmetszet, c x a koncentrácó-eloszlás, x a kéma potencál, z az onok töltésszáma, e az elem töltés és V x az elektrosztatkus potencál profl. Ebben az egyenletben különválk a rendelkezésre álló töltéshordozók menynysége ( c ) lletve a töltéshordozók mozgékonysága ( D ). A Monte Carlo szmulácók csak a mennységekről adnak felvlágosítást. Az oncsatorna vezetőképességéről mégs le tudunk vonn következtetést oly módon, hogy ntegráljuk a Nernst-Planck egyenletet az egyk tömbfázstól a máskg: J D dx xaxc x 1 kt z e kt bal jobb V balv jobb. (4.7.2) Tegyük fel, hogy a membrán két oldalán ugyanolyan összetételű elektrolt található, ahogy ezt a szmulácónkban s feltesszük. Tehát a kéma potencálok különbsége zérus, vagys a dffúzót csak az elektromos tér generálja. 71 / 112

72 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok dx ze J V. (4.7.3) D kt xaxc x Feltesszük továbbá, hogy a potencálkülönbség vagys a V feszültség nem túl nagy a két tömbfázs között, tehát az áram-feszültség karaktersztka lneárs [75]. Ekkor a csatorna vezetőképessége ( g ) kfejezhető: g g z ej V 1, (4.7.4) R ahol a szummázás az összes áthaladó onfajtára vonatkozk, és a csatorna ellenállása az -edk onfajtára nézve. A vezetőképesség egy, a feszültségtől független, a csatornára jellemző állandó. A vezetőképesség természetesen függ a különböző onok tömbfázsbel koncentrácótól. A vezetés útvonal amely mentén az onok dffúzója végbemegy felfogható úgy, mnt sorba kötött ellenállások kapcsolása. Ebben a soros kapcsolásban a tömbfázs egy ks ellenállású szakaszként vselkedk (a drót ), míg a szelektív szűrő az a nagy ellenállású rész, amely a csatorna vezetőképességét domnálja, és a csatorna szelektvtását s meghatározza. Ezért egy közelítésként az ntegrálást csak a szelektív szűrőre végezzük el. Így defnáln tudjuk a csatorna vezetőképességét különböző onokra vonatkozóan: R 1 g kt 2 z e 2 D xaxc x 1 dx. (4.7.5) A csatorna teljes vezetése az onokra vonatkozó vezetések összegeként írható fel: b b b b b b c c, c g c, c c g 1, 3 ahol, (4.7.6) e z kt 1 b b b D I c c c H 1, / 2 2 (4.7.7) dx 2 2 b b b g c1, c2, c3 D, 3 A b b b c1, c2, c3 1 A H / 2 c x mennységek az oldatban lévő katonok koncentrácót jelölk. Például R b c 1 c 2 c 3 b b jelöl a monovalens, a dvalens és a trvalens onokét. Feltettük, hogy az áramot domnáló térrész a csatorna szelektív szűrője, ezért az ntegrált H / 2 -g azaz a szelektív szűrőre végeztük el. A vezetés így szeparálódk két tényező szorzatára, ahol I H / 2 -től a szmulácóból egyértelműen számolható érték, és ha a 72 / 112

73 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok csatorna geometrája le van rögzítve, akkor csak a tömbfázsbel koncentrácóktól függ. A D érték egy lleszthető paraméter, amről az egyensúly MC szmulácó semmféle felvlágosítással nem szolgál. Az keresztül függ a tömbfázsbel koncentrácóktól: I függvény a koncentrácóproflokon b b b x c x; c, c c c 1 2, 3. Kísérlet tanulmányokban s szokásos a csatorna vezetését normalzált formában megadn, azaz az áramot elosztjuk egy adott értékkel. M az eredményenk többségét a következőképpen fogjuk normalzáln: b b b b b b g c1, c2, c3 c1, c2, c3 b gc,0,0 * g (4.7.8) 1 A normalzált vezetést tehát ahhoz a vezetéshez képest adjuk meg, amt akkor mérnénk, amkor csak egy b c 1 koncentrácójú só van jelen az elektrolt oldatban. Ha például egy monovalens-dvalens-trvalens elegyről van szó, akkor a normalzált vezetés a következőképpen származtatható: g * c, c b 1 b c 1 b 3 b c1 c b 3 b b b b I1, c2, c D2 I 2, c2, c D3 I3, c2, c c (4.7.9) b b b I c,0,0 D I,0,0 D I,0,0 b 2, Ebben az egyenletben külső llesztendő paraméterként szerepel az onok dffúzós együtthatónak hányadosa. Ezek a hányadosok határozzák meg, hogy a különböző onok mlyen mértékben vesznek részt a vezetésben. Feltettük, hogy ezek az együtthatók függetlenek a tömbfázsbel koncentrácóktól, és a szelektív szűrőn belül konstans függvények. Ennek a normalzálás eljárásnak az előnye, hogy akkor s használható, hogy ha dvalens ont adagolunk monovalens-trvalens mellé, lletve trvalens ont monovalens-dvalens mellé. b b Babch és munkatársa akk trvalens ont adagoltak egy adott, koncentrácójú háttérhez ezzel szemben 1 b c1 c 1 1 b 3 b b g c1, c2,0 -val normáltak, tehát a csatorna vezetésével, trvalens on hányában, de dvalens on jelenlétében. A kétféle normalzálás mód a következő módon számolható egymásba: g ** b b b b g c,,, b 2, c b 1 c2 c3 c1 c 3 b b gc, c,0 c * * b b b g 1, c2, c3 (4.7.10) b b g c, c, Azokban az esetekben, amkor a Babch és munkatársa által közölt [53; 54] kísérlet eredményeket hasonlítjuk össze a szmulácós eredményenkkel, az utóbb normalzálást használjuk, más esetekben az elsőt. c 1 c 2 73 / 112

74 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok 4.8. A csatorna geometra jellemzőnek hatása a szelektvtásra A klasszkus Almers & McCleskey kísérletek arra vonatkoztak, hogy 30 mmos NaCl-hoz adagolták a CaCl 2 -ot [43; 44]. Az ebben a kísérletben talált M-os kalcum-blokkolást a m modellünk reprodukálta. Az R 3.5Å, H 10 Å paraméterekkel jellemzett csatornaalakot használták az eddg vzsgálatok többségében [64; 65; 75], és m s ezt fogjuk használn kndulás pontként. Ebben a fejezetben megvzsgáljuk a csatorna alakjának hatását a Ca 2+ -szelektvtásra 30 mm-os NaCl háttér, és pr 10 delektromos együttható mellett. A kísérlet rodalomban a szelektvtást általában azzal a CaCl 2 mennységgel jellemzk, amelynél a csatornán átfolyó áram a felére csökken, ahhoz az esethez képest, amkor nncs kalcum a rendszerben (ezt a mennységet IC 50 -el jelölk). Ez a mennység annak a CaCl 2 koncentrácónak felel meg, ahol a normalzált vezetés ( egyenlet) értéke 0.5. Korább munkákban [58-61; 63; 64; 74] a szelektvtást betöltöttséggel jellemezték, azaz azt vzsgálták, hogy átlagosan menny nátrum lletve kalcum található a szelektív szűrőben a tömbfázsbel kalcum-koncentrácó függvényében. Gllespe és Boda [75] megmutatták, hogy az a Ca 2+ -koncentrácó, amelynél a Na + - onok száma a szűrőben a felére csökken, nagyjából megegyezk azzal a koncentrácóval, amelynél a vezetés csökken a felére. Ennek az a magyarázata, hogy feleanny nátrum feleanny áramot hordoz, míg a kalcumonok nem vezetnek a küresedés zónák következtében. Ahhoz, hogy összegezn tudjuk a szelektvtás a H és R paraméterek különböző kombnácó szernt fügését, ábrázoltuk az IC 50 mennységet a flter térfogatának függvényében ( ábra). Az IC 50 változása mutatja, mennyre érzékeny a Ca 2+ -szelektvtás a szűrő térfogatára. Másrészről, rögzített térfogatnál az ábráról az s leolvasható, hogy mennyben befolyásolja a szelektvtást a szűrő alakja (különböző kombnácó a H és R paramétereknek). A vízszntes változás mutatja a térfogatra való érzékenységet, míg a függőleges változás az alakra való érzékenységet jelz. A belső ábra logartmkus skálán mutatja ugyanezeket az adatokat. A szűrő térfogatát a következőképpen számoltuk: V R 2 H. 74 / 112

75 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ábra A szmulácós eredmények összefoglalása. A Ca 2+ -koncentrácó, ahol a csatorna vezetése a felére esk a Ca 2+ -hányos állapothoz képest (IC 50 a térfogat függvényében) A csatorna térfogatának hatása a szelektvtásra A szűrő sugarának hatását rögzített csatornahossz mellett már vzsgálták Boda és munkatársa egy előző munkájukban [64]. Ebben a munkában 100 mm-os NaCl-hoz adagolt CaCl 2 -al szmulálták a pórus különböző onok által betöltöttségét. Azt találták, hogy az a CaCl 2 koncentrácó, ahol a Na + átlagos száma a szűrőben a felére csökken a Ca 2+ -nélkül állapothoz képest, érzékenyen függ a pórus sugarától. Ebben az esetben a Na + fokozatosan kcserélődk Ca 2+ -ra. Ksebb csatornatérfogat még nkább zsúfolttá tesz a rendszert, am megnehezít a katonok dolgát, hogy üres helyet találjanak maguknak a nagy sűrűségű szűrőben. Ez a fajta versengés a Ca 2+ -ot részesít előnyben a már megsmert CSC mechanzmus matt (4.3 fejezet). Mvel az ntegrált Nernst-Planck egyenletet még nem használták a fent eredmények közlésekor (2007), megsmételtük ezeket a szmulácókat, de 30 mm-os NaCl mellett és az eredményenket ábrázoltuk a vezetés függvényében s. A csatornahosszt rögzítettük 10 Å-re, mközben változtattuk a pórus sugarát, majd számoltuk a csatorna normalzált vezetését a egyenletet használva a / 0.1 D Ca D Na llesztendő paraméterrel. Az IC 50 értékek a szűrő térfogatának függvényében a ábrán láthatók (üres, kék karkák). 75 / 112

76 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ábra Na + és Ca 2+ onok koncentrácóproflja a szelektív szűrőben különböző hosszúságú, de azonos sugarú (R=3.5 Ǻ) oncsatornák esetén. A felső ks ábrákon az adott méretű csatorna oxgén onproflja láthatók. A végső következtetés, amt levonhatunk ugyanaz, mnt amt Boda és munkatársa publkáltak: a Ca 2+ versus Na + szelektvtás fgyelemre méltóan javul a szűrő térfogatának csökkentésével. A következőkben a sugarat rögzítettük 3.5 Å-re és a csatornahosszt változtattuk. A ábra mutatja a sűrűségproflokat különböző hosszoknál, különböző Ca 2+ -koncentrácók esetén. A rövd csatorna esetében magasabb csúcsok és mélyebb küresedés zónák jelentkeznek. A rövd csatornánál a Na + -proflok majdnem a felére csökkennek a Ca 2+ -hányos állapothoz képest [Ca 2+ ]=10-7 M-nál, míg ez a változás a hosszú csatorna esetében [Ca 2+ ]=10-6 M-nál következk be. 76 / 112

77 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ábra Teljes normalzált vezetés, normalzált Na + - és Ca 2+ -onvezetés és betöltöttség a kalcum-koncentrácó függvényében különböző hosszúságú, de azonos sugarú (R=3.5 Ǻ) oncsatornák esetén. A különböző csatornahosszokat az IC 50 függvényében pros négyzettel jelöltük a ábrán. A térfogatváltozás mérsékeltebb tehát, ha a csatornahosszt változtatjuk, de a hatás még mndg számottevő, ahogyan az látható s a belső ábrán, ahol a ks térfogatra vonatkozó eredmények egy logartmkus skálán vannak ábrázolva. Ez az ábra mutatja, hogy a lg(ic 50 ) lneársan változk a pórus térfogatával. A belső ábra mutatja, hogy a szelektvtás érzékenyebb a hosszúság változására, mnt a sugár változására. A hosszúság azonban fehérjeszerkezet okoknál fogva ksebb határok között változtatható, mnt a sugár. Ennél fogva a természet elsősorban a sugár változtatásával dolgozk: a szelektívebb L-típusú kalcumcsatorna szűrője pl. ksebb sugarú, mnt a Ryanodn receptoré. 77 / 112

78 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok A egyenlet lehetővé tesz, hogy szétválasszuk a Na + lletve a Ca 2+ által hordozott áramokat. A 4.8.3b. ábra ezeket az áramokat mutatja be a D / 0. 1 Ca D Na hányados használatával. Látható, hogy a Na + -áram csökkenn kezd Ca 2+ hozzáadásával, míg a Ca 2+ -áram csak nagy Ca 2+ -koncentrácónál válk jelentőssé, ahol a Ca 2+ küresedés zóná eltűnnek. A Na + -áram azért csökken le, mert a Na + -onok mennysége lecsökken a szelektív szűrőben, ahogyan azt a 4.8.3c. ábrán s tapasztalhatjuk. Ks Ca 2+ -koncentrácók esetén ahol a Ca 2+ -áram roppant kcs a teljes vezetés görbék (4.8.3a. ábra) lefutása megegyezk a Na + -áram görbével (4.8.3b. ábra), és a nátrum szűrőben való betöltöttségével (4.8.3c. ábra) s. Ez arra utal, hogy ebben a térrészben a kalcum szelektív megkötése a pórushoz a vezetés elsőrendű determnánsa. Ez a szelektív megkötődés a pórus térfogatára nézve érzékeny. A küresedés zónáknak ebben csak ks szerepük van, mvel a Na + -koncentrácó ugyanolyan gyorsan változk ezekben a zónákban, mnt a kötőhelyeken ( ábra bal alsó ábrája és a belső). A 4.8.3a. ábra mnőség megállapítása egyeznek a kísérletekkel. Egy ks szelektív szűrővel ellátott erősen szelektív kalcum-csatornában a Ca 2+ -áram blokkolása ksebb CaCl 2 -koncentrácónál történk, és az áramnak van egy mély mnmuma, ahogy az L-típusú kalcumcsatorna esetében s [43; 44]. Egy nagyobb szelektív szűrővel bíró kevésbé Ca 2+ -szelektív csatornában vszont a Ca 2+ -áram blokkolása nagyobb koncentrácónál következk be, egy kevésbé khangsúlyozott mnmummal, mnt a RyR kalcumcsatorna esetében [78] A csatorna alakjának hatása a szelektvtásra A ábráról tehát leolvasható, hogy a pórus alakjának valós, ám ks hatása van a szelektvtásra. Ha lerögzítjük a térfogatot Å 3 -ra, két pontot tudunk összehasonlítan: R 3.83Å,H 10Å és R 3.5Å,H 12Å. Az IC 50 értékének különbsége ebben a két pontban azt jelz, hogy egy rövdebb pórus nagyobb sugárral jobb Ca 2+ -szelektvtás tulajdonságokkal bír, mnt egy hosszabb pórus ksebb sugárral azonos térfogat mellett. 78 / 112

79 4. Az L-típusú kalcumcsatorna szelektvtására vonatkozó vzsgálatok ábra Különböző alakú csatornák vázlata Ezt a hatást megvzsgálandó tovább szmulácókat végeztünk két a referencaméretű modell térfogatával megegyező csatornára: egy rövdebbre (A) és egy hosszabbra (C) ( ábra), melyek térfogata azonosan Å 3 volt. 2 A ábra az R -tel szorzott sűrűségeket ábrázolja 5a. [Ca 2+ ] = 0 M, 5b. [Ca 2+ ] = 10-7 M, 5c. [Ca 2+ ] = 10-6 M és 5d. [Ca 2+ ] = 10-5 M, így egy az onok pórusban lévő átlagos számának megfelelő görbét kapunk a lokáls sűrűség helyett, am jobb összehasonlítást tesz lehetővé a különböző keresztmetszetű pórusok eredménye között. A 4.8.5a. ábra felső fele az oxgén onok görbét mutatja, melyekről elmondható, hogy függetlenek a Ca 2+ -koncentrácótól. Tovább csúcsok jelennek meg a hosszabb csatornában, mert van hely számukra a tengelyrányú dmenzóban. A Na + - ra vonatkozó görbék nagyban eltérnek különböző csatornahosszok esetén a különböző geometra vszonyok matt, de a Ca 2+ -koncentrácó változásával együtt változnak, am azt jelz, hogy a szelektvtásnak hasonlónak kell lenn ebben a három esetben. 79 / 112