5. elıadás március 22. Portfólió-optimalizálás

Átírás

1 5. elıadás 203. március 22. Portfólió-optimalizálás Alapfeladat Cél: minél nagyobb várható hozam elérése De: közben a kockázat legyen minél kisebb Kompromisszum: elvárt hozamot érje el a várható érték

2 Kockázat Lehetséges mérıszámok: D VaR cvar stb Elvárt tulajdonságok: Homogenitás: R(aX)=aR(X) Szubadditivitás (konvexitás): R(wX+(-w)Y) wr(x)+(-w)r(y) Ezt a VaR nem teljesíti Feltételek Elvárt hozam: µ Portfólió: w, elemszáma:, hozamok vektora:y. A portfólió kockázata: R w i Y i i= (egyszerőbb jelölés: R(w), ha nem félreérthetı) Π a megengedett portfóliók halmaza Π 0, ha tilos a shortolás E(Y i )=µ i Az adott idıhorizonton elvárt átlagos hozam: µ

3 Az optimalizálás feladata i= minr( w) w Π E( wy) = µ i= i w i i = A portfóliók összessége Az adott µ hozamszinthez tartozó hatékony portfóliót keressük

4 Gyakorlati problémák em ismert a hozamok eloszlása, de még az eloszlás paraméterei (várható érték, szórás) sem A paraméterbecslések eltérnek az elméleti értéküktıl, így a kapott optimum is eltér a valóditól Adatok, becslések x it : i =, 2,,, t =, 2,,T. részvény, T idıszak A hozamok becslése: ˆµ = Kovariancia mátrix becslése: T σij = T t= i x it T t= ( x ˆ µ )( x ˆ µ ) Portfólió szórásnégyzetének becslése: σ it 2 ( w ) = w i w j ˆ σij i= j= i jt j T

5 A becslés tulajdonságai A becsült kockázati mértékre kapott becsült optimális portfólió eltér a valódi optimumtól A súlyok véletlen hibával terheltek A kockázat magasabb lesz a valódi optimum kockázatánál Kérdés: mekkora ez az eltérés? Ha van elképzelésünk az eloszlásokról, akkor szimulálhatunk adatokat Szimuláció T hosszú adatsort generáltunk A szimulációból becsült portfólió: ŵ*. (A valódi optimum: w*.) R( wˆ*) q 0 = R( w*) a becsült és a tényleges optimum hányadosa q 0, megmutatja, hogy mekkora a kockázatnövekedés a becslési hiba miatt q 0 is valószínőségi változó, tehát a jellemzıi (várható érték, szórás) a legfontosabbak

6 Példa Tegyük fel, hogy a szórásnégyzet minimumát keressük A feltétel: A megoldás: w min w R σ * j= = i j= k= n i= j= w i i= ij σ jk σ ww ij = i j q 0 tulajdonságai Legyen /T konstans és. Ekkor D(q 0 ) 0, q 0 E(q 0 ). q 0 eloszlása különbözı értékekre. /T=0,5

7 q 0 tulajdonságai Ha konstans és T csökken, akkor q 0 várható értéke és szórása is nı Ha /T>, a feladat nem oldható meg, mert a kovarianciamátrix nem invertálható Ha <T, a feladat megoldható, de /T esetén q 0 q 0 eloszlása /T függvényében, =00 Ha konstans és T, akkor q 0 ~(-/T) -/2, függetlenül a várható értékektıl és szórásoktól Gyakorlati alkalmazás Ha tehát elég nagy (általában >00 már elég), akkor a hiba becsülhetı q 0 ~(-/T) -/2 Ebbıl kiszámolható az adott hibához tartozó szükséges mintaelemszám: T=/(-/q 02 ) Például =00, q 0 =,2 esetén T=328, -ben lineárisan nı

8 Korlátok De kisebb hibatőrés, hosszabb (aggregált) hozamok esetén jóval hosszabb adatsor kellhet Viszont ilyen idıtávon a stacionaritás biztosan nem teljesül Tehát a portfólióválasztási probléma megoldása még az alkalmazott idealizált feltevések mellett is jelentıs instabilitást mutat A becsült súlyok Ha nem csak a kockázatot, hanem magukat a súlyokat tekintjük, a helyzet még rosszabb, az ingadozás tipikusan több száz százalék Tehát ez a feladat szinte reménytelen

9 Más modellek Az eredmények hasonlóak akkor is, ha nem az iid modellben minimalizáljuk a szórást adott hozam mellett, hanem Átlagos abszolút eltérést minimalizálunk Az illesztett ARCH (GARCH) folyamatok szórását minimalizáljuk Ha az eloszlás szélén alapul a kockázati mérték (VaR, ES) már a becslés sem mindig létezik (még akkor sem, ha van optimium). De belátható, hogy létezik az r=/t hányadosnak egy kritikus értéke: r c, ami alatt aszimptotikusan valószínőséggel, felette pedig 0 valószínőséggel van megoldás. Lehetıségek a stabilizálásra Kovariancia alapú becsléseknél a hiba a kovariancia-mátrix becslési hibájából adódik Szőrési módszerek alkalmzhatóak Lényegük: a kovariancia-mátrix felbontásán alapulnak

10 Egy kis ismétlés Pozitív definit, szimetrikus mátrix sajátértékei pozitívak, sajátvektorok: ortogonálisak (korrelálatlanok). Szórásnégyzetük éppen a sajátérték Elnevezés: bázisportfóliók, Tetszıleges portfólió felírható a bázisportfóliók lineáris kombinációjaként A portfólió szórásnégyzete is a bázisok szórásnégyzetének megfelelı lineáris kombinációja Gyakorlati megfigyelések A hozamok empirikus kovarianciamátrixának tipikusan egy nagy sajátértéke van Az ehhez tartozó bázisportfólió döntıen pozitív elemekbıl áll Azaz ez a kollektív ingadozás Elméleti háttér: Frobenius-Perron tétel. Eszerint pozitív elemekbıl álló pozitív definit mátrix esetén a legnagyobb sajátérték egyszeres és a megfelelı sajátvektor elemei pozitívak Bár az emprikus kovarianciamátrix nem minden eleme feltétlenül pozitív, döntı többségük az, és a tétel ekkor is érvényben marad

11 További sajátértékek A spektrum 90-95%-át alkotó közepes sajátértékek a szektorális hatásoknak felelnek meg Lényeges információt hordoznak em könnyő belılük a szektorok konkrét elıllítása A maradék (tipikusan a sajátértékek 90-95%-a) a zaj, ez már alig hordoz információt A szőrések lényege, hogy ezt a zajt elnyomják, különös tekintettel arra, hogy az inverz mátrix sajátértékei az eredetinek a reciprokai Fıkomponensanalízis Keressük azt az alacsonyabb dimenziós alteret, ami a variabilitás jelentıs részéért felelıs Ha k dimenziós az altér, akkor a k legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektor lesz a bázisa A további sajátértékek helyett pedig vegyük az átlagukat. Az új kovarianciamátrix tehát ij k l= ( l) ( l) ( l) ( l) lvi vj + vi vj l= k+ σ = λ λ ahol λ λ a sajátértékek, v (), v () pedig a hozzátartozó sajátvektor

12 Megjegyzések Az eredeti és a szőrt kovarianciamátrix fıátlója (azaz a szórásnégyzetek) azonosak, a szőrés csak a kovarianciákra vonatkozik A legkisebb sajátértékek nagyobbak lettek Gyakran célszerő a fıkomponensanalízist a korrelációs mátrixra elvégezni (a kovarianciamátrix helyett) A fıkomponensek számát nem mindig lehet egyértelmően meghatározni. Ekkor érdemes lehet a zajra a Wishart eloszlást illeszteni, és azt a komponenst már a fıkomponensek közé sorolni, ahol már nem fogadható el az illeszkedés A szőrés hatása a portfólió optimalizálásra A feladat T< esetén is megoldható lesz, hiszen a 0 sajátértékeket pozitívakkal helyettesítettük Megszőnik a divergencia az /T= pontban, nem lesz túl nagy a q 0 értéke akkor sem, ha /T kicsi. De a portfólió-súlyok nagy ingadozása nem csökken számottevıen Más módszerek is vannak, hasonló eredményekkel

13 Portfólió optimalizálás és regresszió A szokásos - változós regresszió, ahol a legkisebb négyzetes hibát adó együtthatót keressük, éppen megfelel a portfólióoptimalizálás feladatának (azért - változós, mert az -edik súly nem választható meg szabadon a súlyösszegre vonatkozó feltétel miatt) A regressziós feladatra kidolgozott módszertan átvihetı a portfólióáoptimalizálásra LASSO módszer LASSO=least absolute shrinkage and selection operator L -regularizációs módszer: az együttható vektor (portfólió súlyok) L normájára vonatkozó feltétel mellett optimalizál. Tipikus megvalósítás: λ w i hozzáadása a célfüggvényhez i= λ szabályozza a regularizáció erısségét, megválasztása nem triviális

14 Az eredmények A súlyok tipikusan kevésbé ingadoznak Sok 0 értékő súly is megjelenik Kérdés, hogy ezzel nem csak elfedıdike a bizonytalanság (ha például hol itt, hol ott 0 a súly) Vannak további regularizációs lehetıségek is Faktormodellek is használhatóak Hivatkozások Dowd, K.-Blake, D.: After VaR. The theory and estimation of quantile-based risk measures. The Journal of Risk and Insurance, 2006, Vol. 73, o. 2, Varga-Haszonits I.: Kockázati Mértékek Instabilitása (PhD értekezés, ELTE, 2009)