Jelek és rendszerek II.

Átírás

1 I. házi feladat villamosmérnö szaos hallgató részére Név Neptun ód CRNRLU Házi feladat ódja 6383 Beadási határidő: 7. otatási hét Megjegyzése: Le ell töltenie a feladatlapot (a hálózat és a gerjesztőjel adataival együtt), továbbá a hálózat ábráját, és ezeet a megoldással együtt írásban ell benyújtani. Ha javítás, illetve részfeladat ülön beadása miatt többször adja be a házi feladatot, minden alalommal az előző részeet is és a feladatlapot is be ell adni. Javítás esetén a hibás részt icserélni nem szabad még aor sem, ha valamelyi feladat megoldását elölről ezdi. A javítást ülön lapon ell melléelni, megjelölve, melyi pont orreciójáról van szó. Ügyeljen az átteinthető és világos ülalara! A teljes megoldást minden esetben részletesen le ell írni, nem elegendő a végeredményeet özölni! A numerius számításora és az ábrá elészítésére természetesen alalmazhat számítógépi programoat (MALAB, DERIVE stb.), de a megoldás elvi lépéseit eor is részletesen ismertetni ell. Gyaorlatvezető neve: Javító véleménye (elfogadás, javításo): 1

2 Az ábrán megadott lineáris invariáns hálózat gerjesztése a feszültségforrás feszültsége, válasza a imeneti jel. + 5 X V & & L X 5 & 5 & 9iODV]MHOXL R C 5Ω 5pF 1. feladat A hálózat gerjesztése az alábbi periodius jel: A /τ τ 8 V.9 τ = 5 CR 1.1 Határozza meg ezen periodius jel legalább négy (nem zérus) harmoniust tartalmazó Fourier-polinomját! Írja fel a Fourier-polinomot omplex és valós együtthatós alaban!

3 1. Határozza meg a jel effetív értéét pontosan és a választott Fourier-polinom özelítésben is! Adja meg a özelítés relatív hibáját! 1.3 Határozza meg a rendszer átviteli araterisztiáját! 1.4 Határozza meg a válasz Fourier-polinomját az előző feladatban számított özelítésben! Határozza meg özelítőleg a válasz effetív értéét! 1.5 (Nem ötelező!) Rajzolja fel az átviteli araterisztia Bode- és Nyquist-diagramját!. feladat A gerjesztés az 1. feladatban megadott jel első periódusa; a (,) intervallumon ívül zérus a jel értée..1 Határozza meg az aperiodius gerjesztő jel omplex spetrumát!. Ábrázolja az amplitúdóspetrumot, és enne alapján adja meg a jel sávszélességét! (ε =.5).3 Írja fel a válasz omplex spetrumát! 3. feladat 3.1 Határozza meg az átviteli függvényt! Számítsa i az átviteli függvény pólusait és zérusait, vázolja fel a pólus-zérus elrendezést! 3. Határozza meg az impulzusválaszt az átviteli függvény alapján, és vázolja az impulzusválasz időfüggvényét! 3.3 Határozza meg a választ, ha a gerjesztőjel a. pont szerinti aperiodius jel! Vázolja a válaszjelet! 4. feladat A feladat megoldása nem ötelező! Ellenőrizze a számításoat a INA hálózatanalízis program segítségével! 3

4 A feladato során minden számítást a MALAB (R11a) 3 bites UNIX verziójával végeztem. 1. feladat 1.1 alfeladat Válasszun oherens egységrendszert a feladat megoldásához: Mennyiség U I R C t ω Mértéegység V ma Ω nf μs Mrad/s Körfrevencia: ω = π A jelet ét részre bontju: [ ; ]: A [ ; ] : A (t ) A Fourier-sor valós alaja: u(t)=u + (U A cos ω t+u B sin ω t) =1 Kiszámítju U U = 1 -t: u (t)dt U = 1 ( A dt + A (t )dt)= 1 ( A + A 4 ) U = 3 4 A Kiszámítju U A -t: U A = u(t)cos ω t dt U A = ( A cos ω t dt + A (t )cos ω t dt) U A =A cos( π) cos( π) π Mivel cos( π)=1 : U A =A cos( π) 1 π (jav.: ) 1/11

5 B Kiszámítju U -t: U B = u (t)sin ω t dt U B = ( A sin ω t dt + A (t )sin ω t dt) U B =A sin ( π) sin ( π)+ π π Mivel sin( π)= : U B 1 =A π = A π Behelyettesítjü U -t, U A B -t, és U -t a Fourier-sor valós alajába: u(t)= 3 4 A + cos( π) 1 =1 π ) cos ω t + ( A (( A Az i. Fourier-polinom valós alaja: u(t)= 3 i 4 A + =1 (( A cos( π) 1 π ) cos ω t + ( A A 4. Fourier-polinom tehát: u(t)= 3 4 A + 4 =1 (( A A szumma négy tagja: cos( π) 1 π ) π ) sin ω t ) π ) sin ω t ) cos ω t + ( A π ) sin ω t ) 1: : 3: 4: A π sin(ω t) A π cos(ω t) A π sin (ω t ) A 3 π sin(3 ω t) A 9 π cos(3ω t ) A 4 π sin(4ω t) A 4. Fourier-polinom egyszerűsített alaja: u(t) 4 =( 3 A 4 ) ( + A π sin(ω t) A cos(ω π t)) ( + A π sin(ω t) ) + 4 π sin(4ω t) ) + ( A 3π sin (3ω t) A 9 π cos(3ω t) ) + ( A Helyettesítsü be A értéét: u (t) 4 =6+.546sin (ω t) 1.61 cos(ω t)+1.73sin( ω t) sin (3 ω t).18 cos(3ω t )+.637 sin(4 ω t) (jav.: ) /11

6 Komplex Fourier-sor: u(t)= (U C e j ω t ) = Mivel a matematiai valós ala együtthatóit már meghatároztu, így önnyedén iszámolhatju a omplex ala együtthatóina (U C ) értéét: ={ U,= U C U A B j U, => U C =U =6V Határozzu meg a ( tagoat: U C = U A B j U A cos( π) 1 π ) ( j A π ) cos( π) j π 1 = = A = 4 [cos( π) j π 1] π π Páros esetén: cos( π)=1 : U C = 4 4 j [1 j π 1 ]= [ j π ]= 4 π π π Páratlan esetén: cos( π)= 1 : U C = [ 1 j π 1 ]= [ j π ]= π π π + 4 j π Helyettesítsün be a omplex Fourier-sor épletébe -4-től 4-ig: 4 u(t) [ 4 ; 4] = = 4 (U C e j ω t ) Így a Fourier-polinom omplex alaja: u(t) [ 4 ;4 ] =.318 e j ( ω t ) +.434e j( ω t) +6 e e j (.137+ω t ) +.637e j ( ω t ) e j (1.571 ω t) e j ( ω t ) e j (.137 ω t) e j ( ω t) (jav.: ) 3/11

7 1. alfeladat Egy jel = pontos effetív értée a definíció szerint: U 1 eff u (t)dt = A mi jelün pontos effetív értée: ( 1 U eff A dt+ ( A (t )) dt)= A V Az effetív érté a Fourier-polinom özelítésében: (az adott tag csa ezdőfázissal) U ' eff = 4 U + ( U =1 ) = 6 + ( 3.18 ) + ( 1.74 ) + (.868 ) + (.636 ) 6.476V A özelítés relatív hibája: δ= U eff U ' eff U eff 1.3 alfeladat 1%= %=.857% 6.53 Helyettesítsü az összes ellenállást és ondenzátort impedanciáal. ( Z R =R és Z C = 1 j ω C ) Ezután alalmazzu a csomóponti potenciálo törvényét: Vegyü fel a csomóponti potenciáloat és írjun fel megfelelő számú egyenletet a válasz meghatározásához. ϕ 1 - =ϕ 1 + =ϕ (jav.: ) 4/11

8 Csomóponti egyenlete: ϕ - ϕ 1 : 1 ϕ + ϕ R j ωc ϕ 1 + : ϕ : ϕ U s 1 j ωc ϕ 1 u.1 R + ϕ 1 R = = + ϕ ϕ 1 + ϕ u 1.5R = j ωc A válasz egyenlete: i= u R+ 1 Nullára rendezve: i j ωc u R+ 1 j ωc = A nullára rendezett egyenletrendszert a MALAB már meg tudja oldani, használju a solve függvényt. Ehhez az egyenlete bal oldalát egy vetorba ell gyűjteni, majd iadni a solve() parancsot. A válasz: 11C 3 R U s ( jw) 3 (C R( jw)+1)(1c R ( jw) +C R( jw)+1) = j 3 ω 3 11C 3 R U s j 3 ω 3 1 C 3 R 3 + j ω 11C R + j ω11c R+1 Átviteli araterisztia: H ( j ω)= Y ( j ω) U ( j ω) A mi rendszerün átviteli araterisztiája: j 3 ω 3 11C 3 R U s j 3 ω 3 1 C 3 R 3 + j ω 11C R + j ω 11C R+1 H ( j ω)= U s j 3 ω 3 (11C 3 R ) H ( j ω)= j 3 ω 3 (1C 3 R 3 )+ j ω (11C R )+ j ω (11C R )+(1 ) Behelyettesítjü C -t és R -t: 1375 j 3 ω 3 H ( j ω)= 65 j 3 ω j ω +11 j ω+4 Az átviteli araterisztia alaja megfelelő, hiszen a nevezőben j ω foszáma nem több, mint ahány tárolós a rendszer, valamint a számlálóban j ω foszáma nem magasabb, mint a nevezőben (jav.: ) 5/11

9 1.4 alfeladat ω = π = π Mrad = s Szuperpozíció elvét használju: Ȳ (t)= H ( j ω)ū (t ) 4 Y (t)=ȳ + Ȳ cos ( ω t +arc Ȳ ) 1 Ȳ = H ( j ω ) Ū, ahol U = (U A ) +(U B ) arc Ȳ =arc U +arc H ( j ω ), ahol arc Ū =atan( U A Használju a MALAB abs() és angle() függvényeit az abszulútértée és az arcuso meghatározására. U A U B U B) U arc Ū H ( j ω ) arc H ( j ω ) Ȳ arc Ȳ = : U =6V, ω=, H ( j ω)= => Ȳ = A válasz Fourier-polinomja: ( arc Ȳ -t váltsu radiánoból fooba) I (t)=[.1958cos(ω t )+.317cos(ω t+.5 )+.197cos(3 ω t+.9 )+.146cos(4ω t ) ]ma A válasz effetív értée: I eff = I 4 + =1 ( Ī ) = + (.1958 ) + (.317 ) + (.197 ) + (.146 ).819 ma (jav.: ) 6/11

10 1.5 alfeladat (jav.: ) 7/11

11 . feladat.1 alfeladat u(t)=( A ) ( ϵ(t ) ϵ(t ) ) + ( A A Komplex spetrum Fourier-transzformációval: U ( j ω)=f {u(t)}= t )( ϵ(t ) ϵ(t ) ) A e j ω t t dt+ ( A A )e j ωt dt A omplex spetrum behelyettesítés után: U ( j ω)= 8 j ω 8 (4 e56.5 jw 4 ) 5 j ω 11.5 jw e. alfeladat Az amplitúdóspetrum a omplex spetrum abszolutértée. Ábrázolju MALAB-bal: >> om = -.5:.1:.5; >> u=((8.*j.*om)-((3.*exp(56.5.*j.*om)-3)./(5.*exp(11.5.*j.*om))))./(j.*j.*om.*om); >> plot(om,abs(u),om,.5*max(abs(u))*ones(size(om))) A jel sávszélessége leolvasható a grafionról, (bejelöltem a metszéspontot a burolóval) Δ ω= X =.77.3 alfeladat A válasz omplex spetruma: Y ( j ω)=h ( j ω)u ( j ω) 1375 j Y ( j ω)=( 3 ω 3 65 j 3 ω j ω +11 j ω+4) ( 8 j ω 8( 4e56.5 jw 4) 5 j ω e ) 11.5 jw (jav.: ) 8/11

12 3. feladat 3.1 alfeladat A rendszer auzális, ezért az átviteli araterisztiából 1375 s 3 H (s)= 65 s s +11 s+4 j ω=s helyettesítéssel adódi az átviteli függvény: Póluso: Ahol a nevező (a függvény értée a végtelenbe megy) 65 s s +11 s+4= p 1 = 1 5 p =. j.399 p 3 =.+ j.399 Zéruso: Ahol a számláló (a függvény értée ) 1375s 3 = z 1 = Pólus-zérus ábra: (jav.: ) 9/11

13 3. alfeladat Az impulzusválaszt az átviteli függvény inverz Laplace-transzformálásával apju. Ehhez először parciális törtere bontju az átviteli függvényt: 1375 s 3 H (s)= 65 s s +11 s j j.196 = s (.4) s (.+ j.399) s (. j.399) Eor már megfelelő az ala, mivel L {e αt }= 1 s α, tehát: 1 { L 1 s α } =e αt Ez alapján az impulzusválasz: h(t)=(. δ(t).463 e.4t e j (.399t ) e j (.399t.4813) ) ϵ(t) Az impulzusválasz időfüggvénye: (jav.: ) 1/11

14 3.3 alfeladat A gerjesztés: u(t)=( A ) ( ϵ(t ) ϵ(t ) ) + ( A A t )( ϵ(t ) ϵ(t ) ) Az átviteli függvény: 1375 s 3 H (s)= 65 s s +11 s+4 A választ legegyszerűbben úgy határozhatju meg, ha a jelet Laplace-transzformálju. Eor használhatju a Y (s)=u (s) H (s) épletet és nem ell onvolválnun. A választ az eredmény inverz Laplace-transzformációjával apju. Megoldás MALAB-bal: (a MALAB tud Laplace- és inverz Laplace-transzformációt is) %Felírju a jelet: (heaviside(t)=ϵ(t)) >> ut = ((A)*(heaviside(t)-heaviside(t-(/))))+(*A A*((*t)/))*(heaviside(t-(/))-heaviside(t-)) >> us = laplace(ut,t,s) >> hs = (1375*s^3)/(65*s^3 + 75*s^ + 11*s + 4) >> ys = us*hs ys = (1375*s^3*(8/s - 8/(s*exp((5*s)/4)) + (8*(5*s*exp((5*s)/4) - 4*exp((5*s)/4) + 4))/ (5*s^*exp((5*s)/))))/(65*s^3 + 75*s^ + 11*s + 4) %Inverz Laplace-transzformáció, a válaszjel yt változóba erül: >> yt = ilaplace(ys,s,t) yt = 44/(475*e^(t/5)) - - (176*heaviside(t - 5/)*(e^(9/ - t/5)/475 - (e^(9/4 - t/5)*(cos(*(t/5-9/4)) + + (*sin(*(t/5 9/4)))/1))/475))/9 + + (176*heaviside(t - 5/4)*(e^(9/4 - t/5)/475 - (e^(9/8 - t/5)*(cos(*(t/5-9/8)) + + (*sin(*(t/5 9/8)))/1))/475))/9 + + (198*(cos((*t)/5) (11**sin((*t)/5))/189))/(375*e^(t/5)) >> t=:.1:5; >> plot(t,yt) (jav.: ) 11/11