a vevőbe beérkező céltárgyról reflektált jel zaj nélkül. Az additív zajt (teljes rendszerre vonatkozik) S ( ω)

Átírás

1 szempojából az illeszkedés feléele a döés pillaaába előálló leheséges maximum jel-zaj viszoy. A jel-zaj viszoy egyará meghaározza a deekció (deekciós és vaklárma valószíűség) és a mérés (mérési poosság) miőségé. 4. Ismer jel felismerése zajba Modell Tekisük a 4-. ábra modelljé, ahol f ( ) a vevőbe beérkező célárgyról reflekál jel zaj élkül. Az addiív zaj (eljes redszerre voakozik) S eljesíméy sűrűség spekrummal jellemezzük. A vevő lieáris jelfeldolgozásá a vevőszűrő ω y jele a deekció végzi, melyek ávieli karakeriszikája. A szűrő kimeő és a mérés alapja. A deekció és a mérés opimális megvalósíásáak előfeléele az alapjául szolgáló jel SR (Sigal o oise Raio) érékéek a maximalizálása. Az SR magyarul: Jel-zaj viszoy, de a magyar szakirodalom is az SR rövidíés szoka alkalmazi. f( ), ( ω ) + x( ) h( ), ( ω ) y( ), Y R ( τ), S 4-. ábra, Vevő modell idő- és frekveciaaromáyba eladauk ehá aak a ávieli karakeriszikáak a megkeresése, amely alkalmazásával a döés pillaaába maximális lesz a jel-zaj viszoy. Írjuk fel a kimeei jele időaromáyba: y ( ) = x( ) h 79

2 ( ) = f ( ) x + y ( ) = [ f ( ) + ( ) ] h( ) Képleeikbe a * a kovolúció jelei. A eljesség kedvéér a kovolúciós iegrál: f g = f τ g τ dτ = g τ f τ dτ. A kovolúciós iegrál a realizálhaó redszerek kauzaliása mia egyszerűbb alako vesz fel: y( ) = f ( ) h( ) = h( τ) f ( τ) dτ. Levezeésük sorá a ovábbiakba em fogjuk haszáljuk a kovolúciós iegrál. Eek az oka egyrész ehézkes mivola, másrész pedig a redszerek ávielé álalába frekveciaaromáyba szokás jellemezi a ávieli karakeriszikával. A zaj időbeli jeléek jelölésére ( ) - válaszouk. Ez egy egyszerűsíe jelölés, ugyais a zaj szochaszikus folyama, melyek egyik elerjed jelölésmódja: ( ξ,) A szochaszikus folyama egy időfüggvéy halmaz, ami aralmazza az összes leheséges időfüggvéy. Amikor megfigyelük egy kokré zajfolyamao, akkor a szochaszikus folyama egy kokré miafüggvéyé figyeljük meg, eek jelölése: ( ξ ), k A jelölés a k. miafüggvéy muaja. Időaromáybeli képleeikbe ez jelöljük egyszerűsíe formába ( ) -vel.! = ( ξ ), k 8

3 Térjük vissza a kimeei jel időaromáybeli felírására. A kimeei jele bosuk fel csak a jelből és csak a zajból származó agokra: y s y ( ) = f ( ) h ( ) = h Mivel a zaj szochaszikus folyama, ezér realizációjáak csak saiszikus jellemzői ekihejük ismerek. A zajról felesszük, hogy ergodikus és legalább gyegé sacioer. Az ergodiciás az jelei, hogy ( ξ,) szochaszikus folyama halmaz és időálagai megegyezek. A gyegé sacioariás jeleése: ( ξ,) folyama első és másodredű álagai időfüggeleek. Az elsőredű álag a folyama várhaó éréke, a másodredű álag pedig az álageljesíméye. Várhaó érék: { ( k )} η= E ξ, A Gauss zaj ergódikus, ezér jelölésüke egyszerűsíjük: ( ξ,) ( ) η = E{ ( ) } ovábbá a gyegé sacioariás is eljesül rá, így felírhajuk az időfüggele auokorrelációs függvéy: R τ τ τ = E + Az auókorrelációs függvéy a helye a folyama álageljesíméyé adja: R =. avg R τ auokorrelációs függvéy ourier raszformálja a folyama eljesíméy spekruma, ovábbiakba SD (ower Specral Desiy), jelölése pedig: S ( ω ). 8

4 R ( τ) S ( ω ) A SD dimeziója: S eloszlásá jellemzi. W ω = z, vagyis a zaj eljesíméyéek spekrális eladauk a jel-zaj viszoy, a döés pillaaába öréő maximalizálása a ( ω ) szűrő megfelelő megválaszásával. A szélsőérék problémá célszerűe frekvecia aromáyba oldjuk meg. A zaj álageljesíméye a szűrő bemeeé: i = S A zaj eljesíméyéek várhaó éréke a szűrő kimeeé: = S A kimeei jel pillaayi ampliúdója a pillaaba: y f j = ω e és ebből a pillaayi eljesíméy a pillaaba: S y = j = ω f e π végül a kimeei jel-zaj viszoy: 8

5 S = S e jω Eek a kifejezések kell a maximumá keresi a szűrő ávieli karakeriszika függvéyébe. Max S Vezessük be a kövekező segédfüggvéyeke: ω = ˆ S e jω S =ˆ Ekkor a jel-zaj viszoyra voakozó egyeleük a kövekezőképp alakul: S = A kifejezés maximumáak megállapíásához haszáljuk fel a Cauchy Buyakovszkij Schwarz 3 egyelőlesége: 3 Az egyelőlesége Cauchy Buyakovszkij Schwarz evek fémjelzik, így eze evek eszőleges halmazáak és részhalmazaiak bármely permuációja előfordul az irodalomba. A Cauchy Buyakovszkij Schwarz egyelőleség a valós vagy komplex számes felei V euklideszi vekorér eszőleges x és y eleméek <x,y> skaláris szorzaa abszolú érékéek felső becslésére szolgál. 83

6 az egyelőség akkor és csak akkor eljesül, ha ω = k. Ez figyelembe véve áalakíhajuk egyelőleségüke egyelőséggé α segéd kosas bevezeésével. α α = helyeesísük ez vissza a maximalizáladó egyeleükbe: S α = majd egyszerűsísük: S α = fei egyele a maximumo α = esebe veszi fel. Max S = ( ω ) eredei kifejezésé visszahelyeesíve: 84

7 Max S = S Az opimum szűrőre az α = = ω k megköésből kövekezeheük és visszahelyeesíve: eredei kifejezései op = k S e jω 4. Opimális szűrő fehér zajba ehér zaj eseébe S ( ω ) =. Az opimális szűrő ávieli karakeriszikája: op k e j ω ω = ω a jel-zaj viszoy maximuma pedig = S S Max = d = ω ω ω π E S Max = E 85

8 ahol E a jel eergiája. Megállapíhajuk, hogy fehér zaj eseébe a maximális jel-zaj viszoy em függ a moduláció jellegéől, csak a kisugárzo jel eergiájáól. 4.3 Illesze szűrő - korrelációs vevő op k e j ω ω = ω legye k = ugyaez időaromáyba: h op ( ) = f ( ) Mivel az opimális vevő ávieli karakeriszikája és súlyfüggvéye illeszkedik az ω szűrő illesze szűrőek evezzük. eredei jelhez, ezér op A 4-. ábra az illesze szűrő muaja frekvecia- és időaromáyba. 4-. ábra, Korrelációs vevő A szűrő időaromáybeli kimeee a jel auokorrelációs függvéye idővel elolva. Ez magyarázza a korrelációs vevő elevezés. Vizsgáljuk meg, milye aromáyba mozogha. 86

9 f a τ R b τ ( ) R c τ τ 4-3. ábra, Vevő korrelációs kimeee A 4-3. ábra /a részébe az f ( ) jel láhaó, ami mos az egyszerű áekiheőség érdekébe impulzus. A 4-3. ábra /b részébe az f ( ) jel auokorrelációs függvéyé R ( ) ábrázolja. R ( ) elvileg esebe jelehee meg a szűrő kimeeé. Azoba mi az a /b részbe jól láhaó, ez esebe a szűrő kimeeé hamarabb jelee meg a válasz, mi ahogy a bemeeé a gerjeszés. Ilye válaszás eseé ehá em lee kauzális a redszer. Ado példáál a kauzaliás feléele: = τ. A 4-3. ábra /c része a = τ esee muaja. Álaláos jelalakra em lehe kisebb, mi a jel időbeli arója, ami jele esebe =τ. 87

10 f a τ b R R c + R c 4-4. ábra, Időbe elol auókorrelációs függvéy R A radaros alkalmazásál a kiado jelhez ovábbi késleleés adódik, így a c R R radar vevőszűrőjéek kimeeé az R jeleik meg, ahol a ag c c becslése jelei számukra a célárgy radiális ávolságáak mérésé (4. ábra). 4.4 Illesze szűrő kapcsolaa az impulzuskompresszióval Az impulzus kompresszió alkalmazó radarok időbe hosszú impulzus alkalmazak, ezzel bizosíják a deekcióhoz és a méréshez szükséges eergiá. Ahhoz azoba, hogy a radiális felboóképesség e romoljo, az impulzus spekrális kierjeszése szükséges. A kompressziós szűrő eze időbe és spekrálisa kierjesze impulzus yomja időbe össze. Az illesze szűrő f jelalak lehe kierjesze levezeése eljese álaláosa végezük, vagyis az spekrumú is. Az illesze szűrő az ilye jelalakok eseébe kompressziós jellege mua és ezér szokás kompressziós szűrőek is evezi. Szemléleese: a jel időbeli arójáak csökkeése szükségszerűe öveli aak ampliúdójá és így a jel-zaj viszoy, vagyis a maximális jel-zaj viszoy és a kompresszió azoos esebe valósul meg. 88