Bródy András gazdaságiciklus-elmélete

Átírás

1 Közgazdasági Szemle, LVIII. évf., 20. anuár (8 9. o.) Ábel Isván Dobos Imre Bródy András gazdaságiciklus-elmélee Bródy András kuaásainak egyik közponi émaköre a gazdasági mozgás vizsgálaa vol. Írásunkban Bródy elméleé kívánuk röviden áekineni és összefoglalni. A ermelés sokszekoros leírása egyben árelméleé (érékelméleé, méréselméleé) is kerebe foglala. Ebben a kereben a gazdasági mozgás összee ingadozása echnológiai alapon elemezheő. Bródy megközelíésében a gazdasági ciklus nem külső megrázkódások magyarázzák, hanem a ermelési rendszer belső arányai és kapcsolaai. A ermelési srukúrá az árak és a volumenek egyformán alakíák, ezek közö nincsen kiünee vagy domináns ényező. Az árak és a volumenek a közük lévő duális kapcsolaban alakulnak ki. A gazdaság mozgásegyenleei echnológiai mérlegösszefüggések, valamin a piaci csere úán a gazdaságban úraeloszásra (úraermelésre) kerülő ermékek felhasználása és az eszközleköés válozása íra le. Az így meghaározo mozgásegyenleek a gazdaság ermészees mozgásá ciklusmozgás alakában írák le. A echnológia vagy az érékviszonyok megválozása (sokkok) a gazdaság ciklikus mozgásának megválozásában ükröződik. Bródy munkáiban echnológiai megalapozás nyer a örénelemből ismer számos ellegzees gazdasági ciklus.* Journal of Economic Lieraure (JEL) kód: D46, E32. Az inpu-oupu elemzésről Az inpu-oupu elemzés elmélei és kvaniaív módszereinek kifeleszésében ászo úörő szerepéér Wassily Leoniefnek 973-ben íélék oda a közgazdasági Nobel-día. Az inpu-oupu elemzés elmélei és gyakorlai alkalmazásai erén számos magyar közgazdász ér el nemzeközileg elismer eredményeke. Auguszinovics Mária (gazdaságpoliikai alkalmazás), Bródy András (cikluselméle), Kornai János és Maros Béla (vegeaív szabályozás), valamin Simonovis András (szochaszikus inverz) melle még számos magyar közgazdász munkáá oggal emlíhenénk i. Az inpu-oupu elemzés ma nem divaos ága a közgazdaságannak, de számos eleme beépül más erüleek módszereibe. * A szerzők Bródy András aníványának vallák maguka, bár anulmányaik ideén Bródy-anárgy nem léeze. A hevenes évekől kezdődően András alkalmankén előado a Rak László Szakkollégiumban, ahol egy-egy önképzőköri kurzus az ő munkái köré szerveződö. Kiered és önzelen menori evékenysége sok fiaal számára élere szóló élmény elene. Személyes kapcsolaunk Andrással régre daálódik, és élee uolsó szakaszában ismé inenzívebbé vál. Ez az írásunka még félkészen láhaa, de szerényen érésünkre ada, hogy úlzonak ara elenőségének emlegeésé és a munkáira való hivakozás. Az eredményeke aroa fonosnak nem a személy. A udomány szolgála, személyes érdek nélkül, derűvel, makacs szenvedéllyel. Ábel Isván habiliál egyeemi anár (Budapesi Corvinus Egyeem) és anácsadó (Nemzeközi Valuaalap, Washingon). Dobos Imre egyeemi docens (Vállalagazdaságan Inéze, Budapesi Corvinus Egyeem).

2 Bródy András gazdaságiciklus-elmélee 9 Ez a megközelíés a gazdaságo egy olyan komplex rendszerkén kezeli, amely sok egyenrangú elemből áll, és ezek kölcsönhaásain kereszül vizsgála a gazdaság mozgásá. Ez a konsrukció összekapcsola a mikroadaoka és a nemzegazdasági számlarendszer, az elmélee és a gazdaságpoliikai haásvizsgálao. Az inpu-oupu megközelíés előfuáraikén Quesnay ableau Economique-á ( ), Marx úraermelési sémái és Borkiewiz ranszformációs problémára ado megoldásá szokák emlíeni. Ezek az elődök azonban egy-egy specifikus kérdés vizsgálaára szoríkozak, míg Leonief érdeme, hogy az inpuoupu elemzés univerzális eszközzé feleszee (Baumol Raa [2009]). Sok gazdasági probléma elemzésénél ma is az inpu-oupu elemzés ekinheő az egyik alapveő módszernek. Raa [2005] három kérdéskör emel ki ezek közül. Az egyik a gazdasági elesímény, a haékonyság és a ermelékenység összeevőinek mérése és elemzése öbbszekoros megközelíésben. A másik a gazdaság komparaív előnyeinek összeveése más országokéval a külkereskedelem szerkezee ükrében. A harmadik kérdéskör a gazdasági elesímény alakulásának ellemzői nem szorosan ve gazdasági korláok, például környezevédelmi megfonolások ükrében. Ebben az írásban az inpu-oupu elemzés módszerei émakörén belül egy negyedik erülee ekinünk á. E negyedik erülee órész Bródy András érképeze fel, és számos kérdésében úörő elenőségű eredmény ér el. Ez a negyedik erüle a gazdasági ciklus és a gazdaság öbbszekoros mozgásellemzőinek elemzése. A gazdasági ciklus kérdései Bródy András munkáiban kiemelkedő helye foglalnak el, Ciklus és szabályozás című műve a ciklus egy Leonief-ípusú gazdaság modellével íra le (Bródy [980]). 2 Ebben inegrála az inpu-oupu modellek széles körű eredményei, összekapcsolva azoka olyan dinamikus indíaású megközelíésekkel, min például Goodwin [967] soka idéze ciklusmodelle. Bródy modellezési módszerei és elmélei rendszere gyakran ámaszkodik a ermészeudományok maemaikai konsrukcióira, és ebbe a képbe illeszkedik a Goodwin-modell srukúráa is, amely a ermészeudományokból ismer Loka Volerra-differenciálegyenleeke alkalmazza. Bródy másik elenős összegző műve minegy negyedszázaddal későbbről visszanézve gyűi egybe a ciklussal kapcsolaos vizsgálódásainak eredményei (Bródy [2004]). Erre a szinézisre leginkább az ellemző, hogy a gazdasági ciklus (mozgás) egyfaa invariancia (megmaradási) elv kereében elemzi. Ez a mozgás konkré eseől függően lérehozhaa a rendszer szereplőinek alkalmazkodása valamilyen opimalizálás (nyereségmaximálás vagy ráfordíásminimálás) közegében, de kialakíhaa a szereplők mindenféle szándékáól elesen függelenül érvényre uó piaci mozgás is. Bródy mindké leheősége egyarán vizsgála, és variációs elvekre ámaszkodó leírása mindké eseben egyarán alkalmas elemzési kerenek bizonyul. Ez az ábrázolás a variációs elvekkel és az első inegrál léezésével hozza összefüggésbe a gazdasági rendszereke mozgaó erők haásának ellemzői, a ciklikus mozgás eredményező ényezőke (Bródy [997], [2000], [2002], [2007], Bródy Ábel [200]). Ebben az írásban Bródy közgazdaságanának egy szeleé ekinük á, egy egyszerű és egységes kerebe foglalva Bródy sokirányú munkáának vissza-visszaérő moívumá, a gazdasági mozgás elméleé. Ez a vállalkozás szükségképpen leegyszerűsíi az eredei gondolaok sokszínűségé, nem képes visszaadni Bródy gondolaainak gazdag elágazásai, ovábbi kuaási irányoka megnyió perspekívái. A módszer alkalmazására ó példa az energiamegakaríás eredményező elárások érékelése. A műszaki össze hasonlíások gyakori hibáa, hogy csak a közvelen energiaigény veik össze, és az így adódó kisebb energiafelhasználással azonosíák a megakaríás. Pedig álalában igaz, hogy az alacsonyabb közvelen energiafelhasználás leheővé evő echnológia olyan berendezéseke használ, amelyek előállíása energiaigényes, arról nem is beszélve, hogy a berendezések előállíásához felhasznál más ermékek és szolgálaások szinén energiá igényelnek, és így ovább, a ermelési folyama összes öbbi állomásán felhasznál energiá is figyelembe kellene venni az érékeléshez. Ez az összee érékelési elárás eszi leheővé az inpu-oupu módszer alkalmazása. 2 Kornai Simonovis [98] alapos és kriikus könyvismereése ágabb kerebe helyezi Bródy e fonos művé.

3 0 Ábel Isván Dobos Imre Bár az álalunk i bemuao maemaikai srukúra számos elemében egyszerűbb, min ami Bródy maga alkalmazo, de ez az egyszerűbb srukúrá úgy ereszük ki, hogy ha nagy vonalakban is, de áfoga a Bródy-féle elméle minél öbb erüleé. Az írásunkban alkalmazo maemaikai árgyalás másik örekvése az, hogy a megoldáshoz szükséges maemaikai szélsőérék-feléeleke is részleesen bemuassuk. Ezek elesülése álalában nem riviális, bár a feléelek közgazdasági aralma szemponából gyakran eleve elesülnek feléelezheők. Bródy kuaói módszeré ké vonása alapán szokák elismeréssel érékelni. Az egyik a mély közgazdasági inuíció eree, ami a maemaikai árgyalásmódá mindenhol ellemzi. A másik a maemaika alkalmazásában megnyilvánuló öleessége, ahogy a nehezen kezelheő bizonyíásoka ávága vagy mellőzi. 3 Számos kriikusa ugyanezeke a vonásai osoroza. E ké ábor viáa még nyilván elar egy darabig. Cikkünk nem ehhez kíván hozzászólni. Dobos [2007] Bródy közgazdaságanának maemaikai konsrukciói a maemaika oldaláról vee górcső alá, és egészíee ki a modellek érelmezésé a maemaikai konsrukció álal indokol feléelek bemuaásával. Ezek a kiegészíések megerősíeék Bródy eredei konsrukciói, és ebben az írásban is ez a kibővíe konsrukció alkalmazzuk. Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy ez a válozaás csak formailag űnik kibővíésnek. A árgyalás áekinheőbbé éele érdekében helyenkén leegyszerűsíve érelmezzük Bródy eredményei, összevonva a nála elkülönülen közreado eredményeke is. Bródy gazdasági mozgásegyenleeinek leírásához kéféle ípusú egyenleeke alkalmazunk. Az egyik egyenleípus egy evékenységi vagy echnológiamérleg, ami lehe bizonyos megszoríásokkal vállalai mérlegkén is érelmezni. A echnológiai vagy vállalai mérlegünk összeállíásánál az időszak végi mérlegfőösszege úgy haározzuk meg, hogy az időszak kezdőérékéhez hozzáaduk az előző időszaki eszközök áérékeléséből származó övedelme (készleáérékelés), valamin a evékenység időszaki nyereségé. A másik ípusú egyenleek a ermék piacán a keresle és a kínála összeveése szerini ármeghaározásra vonakoznak. Ezeke az összefüggéseke viszonylag egyszerű maemaikai eszközökkel megragadni. Először a maemaikai leírás muauk be, mad az így adódó differenciálegyenleeke elemezzük. Az ez köveő részben egy numerikus példán ismereük a probléma megoldásá és a megoldás uladonságai. Foglalkozunk azzal, hogy mikén alakulnak echnológiai innováció eseén a gazdaság pályái, vagyis ha a echnológiai együhaók csökkennek azaz milyen ovagyűrűző haása van annak, ha egységnyi ermék kibocsáásához kevesebb ermékre van szükség, valamin ha az eszközigényesség válozik. Mivel a mozgásegyenleek maemaikai elemzése úl körülményes lenne, a szimulációs számíásokból adódó pályák összehasonlíásával elemezzük a gazdaság viselkedésé. Végül összegezzük az eredményeke. A modell leírása Bródy gazdasági mozgáselméleének (gazdasági ciklus elméleének) bemuaásához kereül szolgáló modellben a kövekező elöléseke alkalmazzuk: a i az i-edik vállala folyó ráfordíási vekora, oszlopvekor, b i az i-edik vállala eszközleköési vekora, oszlopvekor, 3 Bródy egyik nemzeközileg alán legismerebb eredménye az úgyneveze Bródy-feléel megfogalmazása amely a Leonief-modell dinamikus inverzének léezésé bizosía (lásd Bródy [974] 53. o., Raa [200] 73. o.). E felfedezése ól szemlélei munkamódszeré. Bródy lényegében a folyó ráfordíások A márixa és a őke B márixa közöi közgazdasági összefüggés íra le amorizáció ellegű kapcsola formáában. Ha e feléel nem elesül, a dinamikus inverz léezése nem garanál (szükséges feléel), de Bródy ennek az összefüggésnek a maemaikai bizonyíásával már nem foglalkozik, és a róla elneveze feléel haókörének felérképezése is hidegen hagya. Az sem vizsgála, hogy az álala megfogalmazo feléel maemaikai érelemben szükséges-e és/vagy elégséges-e. Megelégszik azzal, hogy az közgazdaságilag ól érelmezheő (indokol), és maemaikailag elfogadhaóan működik.

4 Bródy András gazdaságiciklus-elmélee a a -edik piac vállalaa ráfordíási együhaóinak vekora, sorvekor, b a -edik piac vállalaai eszközleköési együhaóinak vekora, sorvekor, x i () az i-edik vállala nem negaív ermelési szine a -edik időponban, x() gazdaság nem negaív ermelési szinének vekora a -edik időponban, p () a -edik ermék nem negaív ára a -edik időponban, p() a gazdaság nem negaív árvekora a -edik időponban. Eszközleköésen i mindenféle állomány (sock) ellegű ényező, készleleköés, állóeszköz-leköés sb. érünk. A ráfordíási válozóka is álalánosan kell érelmezni, mindenféle áramlás (flow) ellegű ényező belefoglalhaó. E elölésekkel egy dinamikus Leonief-modell szerkeszheünk. Egyszerűsíés célából együk fel, hogy minden egyes erméke egy evékenység állí elő, és ez egy erre kizárólagosan szakosodo vállala esesíi meg. Hasonlóképpen együk fel, hogy minden erméknek van egy piaca ahol a felhasználók kereslee és a ermékből rendelkezésre álló mennyiség meghaározza az ára. E feléelezés az is eleni, hogy lényegében a vizsgál gazdasági egység foglala magában az ado ermék ermelésének és az eloszásának (forgalmazásának) eles evékenységé. Ezen belül nem vizsgáluk, hogy ennek a bonyolul evékenységnek a megszervezése milyen belső szervezei egységekben örénik, és milyen viselkedési szabályoka köve. Ez lehene akár egyfaa szabad versenyre alapuló nyio szerveze, de lehe monopoliszikusan zár fuószalagszerű falanx is. Az egy ermék egy echnológia erős feléelezés, realiása viahaó, de közismer az is, hogy e feléelezés a árgyalás egyszerűsíése mia örénik. Feloldására számos módszer alkalmazhaó lenne, de úgy íélük meg, hogy az ilyen irányú válozaások felesleges echnikai bonyodalmaka okoznának. Példáinkkal az elmélee kívánuk szemléleni. Ebben a felfogásban ehá minden egyes i-edik vállala bruó kibocsáása x i (), amihez a i x i () mennyiségű más (i-edik) ermékeke (vagy szolgálaás, egyszóval bármiféle evékenysége) használ fel, ami az i-edik ermék piacáról szerez be (ne feledük, hogy az i index i -ől n-ig fuó indexe elöl, hiszen a i oszlopvekor elöl). A ermelőkapaciások válozaásához ugyanakkor b x i i ( ) ermékmennyisége kell beszereznie az i-edik ermékből, és ez a bővíés kereében lekönie. együk fel az is, hogy a ermékek piacain (vagyis a piacon) kialakul minden időponban egy p() árrendszer. Az árak kialakulásának mechanizmusával i csak érinőlegesen foglalkozunk, a modellből eredménykén adódó árrendszer ehá a már emlíehez hasonlóan öbbféle viselkedési vagy szervezei ellemző végeredményekén is érelmezheő lenne. A modell csak az árak válozási irányai befolyásoló ényezőke eleníi meg a úlkeresle vagy a úlkínála erői álal mozgásba hozo alkalmazkodási folyama kereében. Mivel a echnológiáka a vállalaokkal azonosíuk, ezér feleheük, hogy rendelkeznek számvieli mérleggel. A mérlegben a vállala rendelkezésére álló eszközöke szerepeleük minden időponban. A vállala vagyoná a rendelkezésre álló különféle vagyonárgyak, áruk és anyagok sb. összessége ada meg, ami az ado árrendszeren érékelünk: p()b i x i (). A gazdaság mozgásá ké (egymással duális kapcsolaban lévő) szemléleben vizsgáluk. A evékenységre koncenráló szemléle a evékenység hozam- és ráfordíásalapú mérésé (érékelésé) vizsgála, míg a piacra koncenráló szemléle a kereslei és kínálai viszonyoknak a ermékérékelésre (mérésre) gyakorol haásai elemzi. A evékenység mérése (érékelése) hozam és ráfordíás alapán A vállalai vagyon éréke a ermelés eredményekén megválozik. A megermel ermék azonnal vagyonárggyá válik, növeli a készlee [p()x i ()], a ermeléshez felhasznál áruk megsemmisülnek [ p()a i x i ()], vagyis csökkenik egy időponban a vállala vagyoná. E ké

5 2 Ábel Isván Dobos Imre éel különbsége, vagyis a vagyonválozás a vállala nyeresége ado árrendszerben mérve: p()x i () p()a i x i (). Mivel az árak is válozhanak, ezér az árválozás is befolyásola a vagyon nagyságá (és válozásá). Ha az árak emelkednek, az a számvieli vagyon növeli, míg az árcsökkenés csökkeni az. E válozás elöli: p ( ) bi xi ( ). E vagyonválozási ényezők összegzésekén adódik a kövekező egyenle [ponosabban egyenleek (i, 2,, n). ermékekre/echnológiákra]: d [ p( ) bi xi ( ) ][ pi ( ) xi ( ) p( ) ai xi ( ) ]+ p ( ) bi xi ( ), (i, 2,, n). d Ebből áalakíás uán kapuk a kövekező egyenleeke p( ) b x ( ) p ( ) x ( ) p( ) a x ( ), (i, 2,, n). i i i i i i Ezeke az egyenleeke árendezve, a kövekező differenciálegyenleeke kapuk: pi ( ) p( ) ai x i ( ) xi ( ), (i, 2,, n). () p( ) bi Az () alakú egyenleek az feezik ki, hogy az ado ermék ermelési szine, vagyis a vállala ermékének kínálaa lineárisan növekszik, és a pillananyi növekedési üem, vagyis p p a i ( ) ( ) i nem más, min az egységnyi vagyonérékre uó nyereség. A ermék p( ) bi kínálaának válozási üemé az ado árakon mér profiráa haározza meg. A ermék érékelése (mérése) a piacon a keresle és a kínála összeveésében. Mos a ermelés (evékenység) helye a ermék piacára fordíuk a figyelmünke. A piacon a keresle és a kínála az áralakulás meghaározói. Vegyük a -edik piacon lévő ermékömeg érékösszegé meghaározó ényezőke. A gazdaságban a -edik ermék iráni keresle ké fő elemből evődik össze. Egyrész a folyó ráfordíások, azaz a ermelőfelhasználás p ( ) a x( ) mennyisége igényel. Ezen úlmenően a ermelés bővíése ovábbi p ( ) b x ( ) mennyisége igényel (vagy szabadí fel, amennyiben nem bővül, hanem szűkül a evékenység). E keresleel szemben kínálakén a piacon p ()x i () mennyiség áll szemben. Ha a pillananyi keresle meghalada a pillananyi kínálao, akkor ez az ado ermék árának emelkedésével egyensúlyozódik ki. Az áralkalmazkodással együ az ado ermékből a gazdaság különféle evékenységeiben (vállalaaiban) leköö vagyon is válozik (az egyenle bal oldalán) a kövekező összefüggés szerin: d p ( ) b x( ) p ( ) a x( ) p ( ) b x( ) p ( ) x ( d + ). (, 2,, n) Áalakíás uán az kapuk, hogy p ( ) b x( ) p ( ) x ( ) + p ( ) a x( ), (, 2,, n) amiből a kövekező differenciálegyenleek állnak elő x ( ) a x( ) p ( ) p ( ). b x( ) (, 2,, n) (2) x ( ) a x( ) A (2) rendszerben az árválozás a hányados vezérli, ami az egységnyi b x( )

6 Bródy András gazdaságiciklus-elmélee 3 őkeleköésre uó öbbleerméke elöli. Az árak csökkenésének üeme megegyezik a öbbleermék/őkeleköés hányadossal. Ezzel a ké részből álló () (2) differenciálegyenle-rendszerrel lehe ehá leírni a gazdaság működésé. A evékenységek ráfordíási és hozamellemzői alakíák az akiviási szinek dinamikáá az () összefüggés szerin, a piacon a keresle és kínála elérése pedig az árak válozásá szabályozza a (2) szerin. Ebben a gazdaságban ehá van 2n darab ismerelenünk, vagyis a ermelési szinek és az árak, valamin ugyanennyi egyenleünk, így a differenciálegyenle-rendszer egyérelműen megoldhaó. E felírás álalánosabb kerebe foglala a Bródy [980] álal avasol ciklusmodell, és nagy hasonlóságo mua a Goodwin- modellel (Goodwin [967]). Bródy modelle Bródy modelle az () (2) differenciálegyenleek egy egyensúlyi vagy alapmegoldásának ekinheő. Ez a kövekezőkben muauk be. Bródy modelle a (3) és (4) saáérékfeladaal ekvivalens: x Ax + λbx, (3) és p pa + λpb, (4) ahol az A és B márixok az előző részben használ ermelőfelhasználás és a őkeleköés együhaói adák meg márixalakban. A (3) és (4) saáérék feladaok megegyeznek a korábban már Bródy [974] álal kiereden vizsgálakkal, de szinguláris B márix eseén is léezik a (3) (4) rendszernek megoldása (lásd Dobos [2007]). együk fel, hogy léezik a (3) (4) rendszereknek poziív (λ 0, x 0, p 0 ) megoldása. Ez garanála például, ha feléelezzük, hogy az A márixnak léezik nem negaív Leonief-inverze. Ekkor a ( ) λ x I A Bx saáérék-feladara lehe visszavezeni a (3) rendszer, és a Perron Frobenius-éelek mia léezik a nem negaív saáérék és saávekor (Krekó [976]). A (3) (4) alakban felír Bródy-modell ehá az () (2) differenciálegyenleekkel felír modell egy speciális esee, amikor a gazdaság kiegyensúlyozo és állandó növekedési pályán halad (Neumann-sugár). Mos érünk vissza az () (2) alakban felír modell viselkedési ellemzőinek bemuaásához! A modell néhány uladonsága Az () és (2) ípusú differenciálegyenleek explici megoldása analiikusan leheelen, ezér a ovábbiakban inkább a numerikus megoldásból próbálunk néhány uladonságo levonni. Mindezekkel együ azonban riviális eseben az egyenlerendszer megoldása megadhaó. Először a modell riviális megoldásai foglaluk össze.. uladonság. Speciális esekén a dinamikus Leonief-modell adódik. A modell nem negaív megoldása: x( ) e λ 0 x és p e p 0 ( ) λ 0 0, ha a differenciálegyenle-rendszer kezdei éréke a (3) (4) saáérék felada nem negaív megoldása, ahol a kezdei érék

7 4 Ábel Isván Dobos Imre x( 0) x0 p( 0) p. 0 A uladonság beláása nem okoz nehézsége. Helyeesísük a avasol megoldás az () (2) differenciálegyenle-rendszerbe. Mivel az exponenciális kifeezéssel egyszerűsíeni lehe, és a saáérék feladao kapuk vissza, ezér az állíás elesül. A uladonság arra ual, hogy ebben a speciális eseben az () (2) differenciálegyenlerendszer megoldása lényegében megegyezik a lineáris x( ) Ax( ) + Bx ( ) (5) és p( ) p( ) A p ( ) B (6) differenciálegyenle-rendszer nem negaív megoldásaival, vagyis a klasszikus dinamikus Leonief-modellel. 2. uladonság. Az álalános megoldás poziív. Az () (2) rendszer megoldása poziív, ha a kezdei érékek a mennyiségekre és árakra poziívak. I lényeges megszoríás, hogy a kezdei érékeknek poziívaknak kell lenniük. A uladonság beláásához íruk fel az egyszerűség kedvéér az i-edik mennyiségre az () differenciálegyenlee a kövekező formában: x i ( ) pi ( ) p( ) ai. xi ( ) p( ) bi Ennek a megoldásához a kövekező egyenlőség segí hozzá ln [ xi ( ) ] pi ( ) p( ) ai d, d p( ) bi vagyis a megoldás 0 x ( ) x ( 0) e i i pi ( τ ) p( τ ) ai dτ p( τ ) bi Innen pedig kövekezik, hogy a megoldás poziív, mivel az exponenciális függvény csak poziív érékeke vehe fel. A öbbi uladonságo analiikusan nem lehe bizonyíani, ezér a numerikus megoldás hívuk segíségül. A megoldás a MahCad programcsomag alkalmazásával állíouk elő. A ovábbiakban feléelezzük, hogy a probléma kezdei éréke nem fekszik az egyensúlyi arányos pályán, azaz a Neumann-sugáron. A ermelőfelhasználás A márixá, és a készleigényesség B márixá az alábbi 3 3-as márixok reprezenálák: 0, 0, 3 0, 2 0, 0 0, 03 0, 02 A 0, 5 0, 2 0, 4, B 0, 05 0, 02 0, 04. 0, 2 0, 4 0, 5 0, 07 0, 06 0, 0 A kezdei érékek a mennyiségre és árra: 0, 0, x( 0) 0,, p( 0) 0,. (7) 0, 0, A rendszerünk egyensúlyi arányos pályáa (Neumann-sugár):.

8 Bródy András gazdaságiciklus-elmélee 5 0, 375 0, 493 N, x ( ), e 404 N,, p ( ), e 404, 0, 696 0, 67 ahol az egyensúlyi növekedés üeme λ 0 0,404, és az egyensúlyi ermelés szinének vekora és az árvekor: 0, 375 0, 493 x 0 0, 62, p 0 0, , 696 0, 67 Ez uóbbiak a megoldásai a (3) (4) saáérék feladanak. Számíásainkban a megoldás hároméves ervezési horizonra állíouk elő, azaz [ 0, ], ahol 3. Olduk meg numerikusan az () (2) differenciálegyenle-rendszer a (7) kezdei érékek melle. A megoldás nem muauk meg a eles ermelési szinre és az árrendszerre, csak az első erméke válaszouk ki [x ()]. Ennek az az oka, hogy a öbbi ermékre is hasonló görbéke kapunk megoldáskén. Az. ábrán a folyonos vonal az első ermék ermelési szinének pályáá muaa. Az ábrán szaggao vonallal elölük az (5) dinamikus Leonief-modell megoldásá a (7) kezdei érék melle N x ( ). A szaggao vonal ehá az első erméknek a Neumannsugár menén adódó pályáá muaa. Szembeölő, hogy az ábrán folyonos vonallal elze (a nem egyensúlyi kiindulásból kapo) megoldás álal leír ciklikus pálya közepe nem a Neumann-sugár, hanem annál gyorsabb álagos növekedés mua. A 2. ábrán az árak mozgásá muauk be. A szaggao vonal ebben az eseben is a dinamikus Leonief-modell ármegoldásá N muaa, ami p ( ) elöl, míg p () első vállala ára, amely a (6) differenciálegyenlerendszer megoldásakén adódik. Az. és 2. ábra alapán megállapíhauk, hogy az () (2) differenciálegyenle-rendszer megoldása a Neumann-sugár menén ciklikus mozgás végez. Ez a 3. uladonságban monduk ki.. ábra Az első ermék ermelési szine és a dinamikus Leonief-modell megoldása 2. ábra Az első ermék ármozgása és a dinamikus Leonief-modell ára x () x N () p () p N () 3. uladonság. A mozgás, ha a Neumann-sugárnak megfelelő pályáól elér, ciklikus. Az () (2) egyenleekkel leír gazdaság ciklikus mozgás végez a ermelési szinek és az árak ekineében is, amennyiben nem a Neumann-sugárnak megfelelő egyenlees növekedési pályáról indul (és azon is marad) a gazdaság.

9 6 Ábel Isván Dobos Imre Ez a uladonságo nehéz bizonyíani, de a szimulációk aláámaszák. A pálya, amelye befu a gazdaság, nem sabil, nem ar a Neumann-sugárhoz. Az árak, mivel csökkenek, igen, azonban a ermelési szinek egyre nagyobb ampliúdóval lengenek ki az egyensúlyi arányos pálya menén. Ké kérdés eszünk még fel, amelye számpéldánkra ámaszkodva válaszolhaunk meg. Az egyik kérdés az ár- és a ermelési ciklus szinkroniásával kapcsolaos. Egy evékenység vagy vállala pályáá ekinve, az árak és a ermelési mennyiségek azonos ciklus funak-e be, vagy késleleés van közöük? A másik kérdés az egyes evékenységek/vállalaok ciklusainak együmozgására vonakozik. A vállalaok azonos ciklusban mozognak-e, egyszerre nőnek és csökkenek, vagy van közöük fáziskésés? Az első kérdésre a válasz a 3. ábra segíségével szemléleük. Elegendő csak egy vállalao kiválaszanunk az elemzéshez, mer a öbbi vállala pályáa is hasonló görbé ír le. Az ábrán láhaó, hogy inerferencia van az árak és ermelési mennyiségek közö. Az árválozás kövei a ermelési mennyiségek válozása. I a válozás a lokális maximumok és minimumok egymásuániságakén ragadhauk meg. A második fele kérdésre a válasz a 4. ábra vizsgálaával válaszolhauk meg. Az árak összeveése hasonló képe muana, ezér mos annak a bemuaásáól elekinünk. Az ábrán az láhaó, hogy ké vállalanál a ciklus elesen ellenéesen alakul, de úgy, hogy a ciklusok csúcsponai egybeesnek. A harmadik vállala hol az egyik, hol a másik vállala növekedési ciklusá kövei. 3. ábra Egy vállala árainak és ermelési mennyiségeinek összeveése 4. ábra A gazdaság ermelési szineinek összehasonlíása x () p () x () x 2 () x 3 () A ké kérdésre ado válasz a kövekező uladonságban foglalhauk össze. 4. uladonság. A ciklikus ellegű árválozás fáziskéséssel kövei a ermelés ciklikus alakulása. A gazdasági ciklusokban a vállalaok árválozásá késéssel kövei a ermelési mennyiségek válozása. A ermelési szinek ciklikus válozása során bizonyos vállalaok éppen ellenées rende kövenek, míg vannak vállalaok, amelyek mindké ciklikus válozáshoz alkalmazkodnak. Ezzel összefoglaluk az () (2) differenciálegyenle-rendszer megoldásának legfonosabb uladonságai. A kövekező részben azzal foglalkozunk, hogyan alakul a gazdaság mozgása, ha a echnológia úgy válozik, hogy a ermelő felhasználás és a őkeleköés együhaói megváloznak.

10 Bródy András gazdaságiciklus-elmélee 7 A gazdaság mozgásellemzőinek módosulása echnológiaválozás eseén A kövekezőkben ké esee fogunk megkülönbözeni:. innováció során csökken az egységnyi folyó ráfordíás mennyisége: a i > a i, 2. a echnikai felődés mia növekszik az eszközleköési igény: b i < b i, ahol a vesszővel elöl mennyiség az innováció uán előálló ú együhaóka elöli. Először az első esee vizsgáluk. A ovábbiakban a ermelő felhasználások A márixá és a készleigényesség B márixá az alábbi 3 3-as márixok reprezenálák: 0, 0, 3 0, 05 0, 2 0, 0 0, 03+ 0, 0 0, 02 A 0, 5 0, 2 0, 4, B 0, 05 0, 02 0, 04. 0, 2 0, 4 0, 5 0, 07 0, 06 0, 0 Amin láuk, csak az a 2 és b 2 érékeke válozauk meg a korábbiakhoz képes, és a kezdei éréke is válozalannak hagyuk. Ebben az eseben is csak az első erméke és annak árá muauk be, mer a öbbi ermékre és árára hasonló görbé kapunk. A válozás az 5. és 6. ábra szemlélei. Az ábrákon x -vel elölük az ú ermelési szineke és p -vel az ú áraka. 5. ábra A ermelési szinek az innováció elő [x ()] és uán [x ()] 6. ábra Az árak az innováció elő [p ()] és uán [p ()] x () x () p () p () Az 5. ábrán a szaggao vonal elöli a ermelési szinek ú pályáá, ami eseünkben x ( ) elöl. Ebből azonnal láuk, hogy a ráfordíásigényesség csökkenése növeli a kibocsáás mennyiségé, és a ciklus csúcspona is elolódnak. Az árválozás a 6. ábra muaa. A szaggao vonal ebben az eseben is az innováció uáni p ( ) áraka muaa. Megállapíhaó, hogy az ár a ermelési szinekkel ellenében csökken, de ebben az eseben is egy kisebb késleleés figyelheő meg a ciklus alakulásában. Eredményünke a kövekezőkben foglalhauk össze. 5. uladonság. A ráfordíási falagos csökkenése az ár csökkenésé és a ermelési szin növekedésé eredményezi. A ráfordíásigényesség csökkenése uán a ermelési szinek növekednek, míg az árak csökkennek. Az ú ermelési szinek és árak, ha késéssel is, de köveik a megelőző ciklusoka.

11 8 Ábel Isván Dobos Imre Végül az eszközleköés-igényesség növekedésének haásá foglaluk össze a ciklusra nézve. Az eszközigényesség növekedésé azér éelezük fel, mer a fele ipari országokban és Magyarországon is ez a endencia figyelheő meg ömegesen. A válozásoka a 7. és 8. ábrán szemléleük. 7. ábra A ermelési szinek válozása az eszközigényesség növekedése eseén 8. ábra Az árak válozása az eszközigényesség növekedése eseén x () x () p () p () A 7. ábrán a ermelési szinekre gyakorol haás muauk be. A szaggao vonal ekkor is az innováció uáni x ( ) kibocsáás muaa. Ebben az eseben, elérően a ráfordíásigényesség csökkenéséől, a régihez képes nem állapíhaó meg növekedés és csökkenés. Ami viszon felűnik, az az, hogy a ciklus az innováció uán elolódik, azaz a ciklus hossza növekszik. Ez azzal magyarázhauk, hogy a nagyobb befekeések megérülése is hosszabb időszako igényel. A 8. ábrán az innováció árakra kifee haásá szemléleük. I is a szaggao vonal elzi az innováció uáni helyzee, amikor az ú ár p ( ). Ami a ermelési mennyiségekre is megállapíounk, az az árakra is megisméelheük. A mennyiséggel együ mozognak az árak, és ez a ciklus hosszának növekedésével ár. Eredményünke az uolsó, 6. uladonságban foglaluk össze. 6. uladonság. Az eszközigényesség növekedésével az üzlei ciklusok hossza késleleéssel megnövekszik. Összefoglalás és ovábbi kuaási irányok A Leonief-ípusú gazdaság egy álalánosabb alakának egyszerű felírásából indulunk ki, amelybe ól beleilleszheő Bródy András cikluselmélee. A gazdasági ciklus viselkedési ellemzői egyszerű számpéldán szemléleük, mivel a Bródy-féle differenciálegyenlerendszer analiikusan nem vizsgálhaó. A modell egyik megoldása az egyensúlyi arányos pályá, vagyis a Neumann-sugara ada vissza, ha az egyenlerendszer kezdei éréke a sugáron fekszik. Ekkor ehá az i vizsgál nem lineáris differenciálegyenle-rendszer a klasszikus dinamikus Leonief- modellhez veze. Ha nem az egyensúlyból indul a rendszer, akkor a ermelési szinek és árak ciklikus mozgás végeznek a Neumann-sugár menén, de a ciklus ampliúdóa növekvő. A különböző evékenységek (vállalaok) üzlei ciklusa elér egymásól. Bizonyos evékenységek elesen

12 Bródy András gazdaságiciklus-elmélee 9 ellenées ciklusban vannak, míg mások alkalmazkodnak a különböző elérő mozgású ciklusokhoz. Megállapíhaó, hogy az ilyen rendszereknek a ciklus ermészees veleáróa. Az innováció ké ípusá vizsgáluk az ado gazdasági rendszerben. A ráfordíásigényesség csökkenése eseén növekszik a kibocsáás, az árak csökkennek, és a ciklus kissé elolódik. Ha az innováció az eszközigényesség növekedésében esesül meg, akkor a ermelési szinek és az árak ciklusai is megnövekszenek, ehá egy bizonyos késleleés lép fel a gazdaságban. Számos ovábbi kuaási irány adódik elemzésünk ermészees folyaásakén. Ezek közül az egyik az i puszán szemlélee ciklikus mozgás ciklusellemzőinek felérképezése. I nem foglalkozunk a ciklusok frekvenciaellemzőivel, a ciklushosszakkal és más fonos ellemzőével sem. A mozgás a Neumann-sugáról elérve ingadozás mua, a Neumannsugár érelmében ve egyensúlyhoz azonban nem ér vissza. Bár akörül ingadozik, magának az ingadozásnak a közepe nem a Neumann-sugár. A ciklusellemzőkkel Bródy soka foglalkozo, elemzésének fő eszközei eleneék ezen a erüleen a dinamikus Leoniefmodell saáérékei és az ezzel rokonságban lévő hullámmárix (Bródy [2000]). Egy másik elméleei leheőség az úgyneveze hamiloniánus alakból kiindulva, az () (2) rendszer kerebe foglalása, és levezeve valamiféle megmaradási elvek felállíásával. Ez a gondola is számos helyen megelenik Bródy munkáiban (például Bródy [2004]-ben). Harmadik reménybeli ovábblépési iránykén empirikus alkalmazásoka emlíenénk, de még ezzel sem lépnénk ki Bródy gazdaságanának és munkáinak gondolavilágából, hiszen ő mindig is örekede arra, hogy elmélei konsrukciói a valóságos gazdaságok reális ellemzőihez kalibrála. Hivakozások Baumol, W. J. Raa,.. [2009]: Wassily Leonief: In Appreciaion. he European Journal of he Hisory of Economic hough, o. Bródy András Ábel Isván [200]: Amends of An Old Feud. Goodwin s Flair for he Law of Conservaion. Aca Oeconomica, o. Bródy András [969]: Érék és úraermelés. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapes. Bródy András [974]: Proporions, prices and planning. Akadémiai Kiadó, Norh Holland, Budapes Amszerdam. Bródy András [980]: Ciklus és szabályozás. Kísérle a klasszikus piac- és cikluselméle maemaikai modellének megfogalmazására, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapes. Bródy András [997]: A piac és az egyensúly: A neumanni és kvázi-hamiloni rendszer. Közgazdasági Szemle, 46. évf sz o. Bródy András [2000]: A wave marix. Srucural Change and Economic Dynamics, o. Bródy András [2002]: Bevezeés a mozgáselmélebe. Közgazdasági Szemle, 49. évf. 2. sz o. Bródy András [2004]: Near Equilibrium: A Research repor on Cyclic Growh. Aula, Budapes. Bródy András [2007]: A ciklus oka és haása. Közgazdasági Szemle, 54. évf. 0. sz o. Dobos Imre [2007]: Egy megegyzés Bródy András: Leonief zár dinamikus modelle című dolgozahoz. Közgazdasági Szemle, 54. évf.. sz o. Goodwin, R. M. [967]: A Growh Cycle. Megelen: Feinsein, C. H. (szerk.): Socialism, Capialism and Economic Growh. Cambridge Universiy Press, o. Kornai János Simonovis András [98]: Bródy András: Ciklus és szabályozás. Kísérle a klasszikus piac- és cikluselméle maemaikai modellének megfogalmazására. Könyvismereés. Közgazdasági Szemle,. sz o. Krekó Béla [976]: Lienáris algebra. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapes. Raa,.. [2005]: he economics of inpu-oupu analysis. Cambridge Universiy Press, Cambridge. Raa,.. [200]: Bródy s Capial. Megelen: Raa,.. (szerk.): Inpu-Oupu Economics: heory and Applicaions, Feauring Asian Economies. World Scienific, New Jersey London Szingapúr. Raa,.. [200]: Inpu-Oupu Economics: heory and Applicaions. Feauring Asian economies. World Scienific, New Jersey London Szingapúr.