ezzel ekvivalens, és 1969-ben felírt Alt-Grassberger-Sandhas egyenletek szolgálnak; négyrészecske szórás

Átírás

1 6. SZÓRÁSI ÁLLAPOTOK Ebben a fejezetben a stacionáius Schödinge egyenet pozitív enegiákhoz tatozó megodásait, az ún. szóási áapotokat vizsgájuk. (Az enegiaskáa nua pontját átaában a nemköcsönható endsze aapáapoti enegiaétékéve definiájuk.) Jóehet egy szóásfoyamat tipikusan időben ejátszódó jeenség, mégis, amennyiben a szóódó objektumok akotóészei közti köcsönhatás függeten az időtő (azaz a potenciá konzevatív), a szóást jeemző és kíséetieg is megfigyehető mennyiségek az időtő függeten Schödinge egyenetbő számaztathatók. Kizáóag oyan ütközésekke fogakozunk, ameyekben két szóódó patne, vagy egy észecske és egy szóócentum vesz észt, mive a háom-, i. többtest ütközések kvantummechanikai eméete meghaadja cékitűzéseinket. (A háomtest ütközések eíásáa az 1965-ben feáított Fagyejev-, i. az ezze ekvivaens, és 1969-ben feít At-Gassbege-Sandhas egyenetek szogának; négyészecske szóás a Yakubovski-egyenet segítségéve tágyaható, míg az átaános n test szóási egyenetek eméete jeeneg is kutatás tágyát képezi; ee akamas egyenetet esőként Bencze és Redish ít fe 1974-ben.) Míg az eőző fejezetben vizsgát, negatív enegiákhoz tatozó megodások azaz a kötött áapotok a té egy bizonyos tatományáa okaizáódnak [ti. a kötött észecske(endsze) áta efogat téésze], addig a szóási áapotok nyivánvaóan nem okaizáhatók a tében. A szóási áapotok tehát másfée hatáfetéteeknek tesznek eeget, mint a kötött áapotok. A szóási hatáfetéteek endkívü vátozatos fomában vaó megfogamazásának ehetősége teszi a kvantummechanikai szóáseméetet oyan gazdaggá és szeteágazóvá. Közös gyökee azonban mindegyik megfogamazásnak az, hogy a szóócentumtó (a köcsönhatási tatománytó) távo a huámfüggvény a (H 0 E)S(, E) = 0, (H 0 E)C(, E) = 0 ún. szabad Schödinge egyenetet kieégítő két függeten megodás, a eguáis (S) és az ieguáis (C) megodás ineákombinációjaként íható fe: ψ(, E) = a(e)s(, E) + b(e)c(, E), aho az E > 0 enegiátó függő a és b együtthatók közveten kapcsoatban ának a méhető hatáskeesztmetszette. (A szükséges másik hatáfetéte átaában az oigóbei eguaitás: ψ = véges, ha 0.) 1

2 6.1. EGYDIMENZIÓS SZABAD MOZGÁS Egyik céja minden szóáskíséetnek az, hogy átauk a mikoészecskék köcsönhatásáó, a köztük évő V potenciáó infomációt szeezzünk. A szóásfoyamat a bombázó övedék (pojekti) és a cétágy (taget) észecskéi között zajik. Az ütközés ehet ugamas, amiko nincs enegiacsee, a kijövő észecske (ejekti) kinetikus enegiája megegyezik a pojekti kinetikus enegiájáva, ehet ugamatan, amiko a pojekti kinetikus enegiája észben az ütköző patne(ek) gejesztésée fodítódik, s végü, a szóásfoyamat eedményeként megvátozhat az ütköző patneek anyagi összetétee, amiko is eakcióó beszéünk. Az ütközési foyamat soán a övedék kezdetben makoszkópikus távosága van a cétágytó, s az ütközés ezajása után, a detektáásko, szintén makoszkópikus távosága távoodik az ütközés színheyétő. Ezét eső épésként azt tisztázzuk, hogy a kvantummechanika szeint hogyan képzehetjük e egy övedék mozgását távo a köcsönhatási tatománytó, aho V = 0. Az i 2 Ψ(x, t) = t 2m d 2 Ψ(x, t) dx2 Schödinge egyenet egy m tömegű szabad észecske mozgását íja e tében és időben. Ennek az egyenetnek van síkhuám megodása: Ψ p (x, t) = A(p)e i (px Et), amey egy éesen meghatáozott p impuzussa és E = p 2 /2m enegiáva endekező észecske pozitív x iányba haadó mozgásának fee meg. Azonban ez a észecske a tében mindenütt egyfoma vaószínűségge taáható meg, hiszen Ψ p 2 = A(p) 2 =áandó (x-ben és t-ben). Ez temészetes is, mive egy síkhuám kitejedt objektum, nem okaizáható csupán a té egy tatományáa. Ebbő következően a fenti megodás nem is nomáható. Könnyen beátjuk, hogy összhangban az eőbb emondottakka. ( x) 2 = (x x ) 2 =, és ( p) 2 = (p p ) 2 = 0, Egy iyen ideaizát észecske(huám) sebességét fázis sebességnek hívjuk, amit könnyen kiszámíthatunk a λ = h/p huámhossz és a T = h/e peiódusidő hányadosaként: v f = λ T = E p = p 2m. Tében okaizát megodást kapunk, ha nem egyeten p impuzus-komponensbő áítjuk eő a megodást, hanem sok küönböző impuzusú síkhuám megodást összegzünk (integáunk) össze (E = p 2 /2m): Ψ(x, t) = A(p)e i (px Et) dp. 2

3 Ez a huámfüggvény nyiván kieégíti a szabad Schödinge egyenetet. Kimutatjuk, hogy ez a huámcsomagnak nevezett megodás tében okaizát szabad észecskét í e. Legyen az egyes síkhuám komponensek ampitúdója p. A(p) = Qe (p p0)2 d 2 / 2. Ezt beheyettesítve és fehasznáva az π dxe ax2 +2bx = 2 a eb /a Gauss-integá étékét, kapjuk: aho a = d2 2 + i t 2m, Ψ(x, t) = Q π /a c 2π a eb2, b = d2 2 p 0 + i x 2, c = d2 2 p2 0. A Q nomaizációs tényezőt Q = (8πd 2 ) 1/4 nek váasztva, kapjuk a következő nomát huámcsomag megodást a tatózkodási vaószínűségsűűsége: Ψ(x, t) 2 = 1 d 2 2π(1 + 2 ) e (x vt) /2d 2 (1+ 2), aho bevezettük a huámcsomag v = v cs csopotsebességét és széességét jeemző mennyiségeket a definíciókka. v = v cs E p = ω = p 0 p=p0 k p=p0 m, és = t 2md 2 Látjuk, hogy az ampitúdóka Gauss eoszást véve az impuzus-tében, a huámcsomag maga is Gauss eoszású esz az x-tében. Maximuma az x 0 = vt pontban esz. Így a huámcsomag megodás má fehasznáható a szóáskíséetekben akamazott övedék észecskék kvantummechanikai jeemzésée. Mégis, az egyszeűség kedvéét, a szóáseméeti tágyaásokban átaában nem az integáis huámcsomag megodás szeepe kiinduásként (kezdeti, köcsönhatásmentes áapotként), hanem annak csak egyik komponense, a síkhuám megodás. Mi is ezt az egyszeűsítő utat követjük. Megjegyzendő még, hogy a huámcsomag sebessége, a csopotsebesség, kétszeese a p 0 impuzusú síkhuám fázissebességének. Ennek fizikai oka az, hogy a huámcsomag küönböző impuzusú síkhuámok szupepozíciója s ezek diszpeziója, dω/dk = de/dp adja meg az átagos sebességet. Ebbő ögtön következik, hogy a huámcsomag aakja időben nem áandó, vannak benne gyosabb és assabb komponensek: a huámcsomag szétfoyik. Ezt a jeenséget, amey a kasszikus fizikában ismeeten és a huámmechanikai eíás sajátossága, kvantummechanikai szétfoyás jeenségének hívjuk. A fenti megodás jó szeméteti a szétfoyás jeenségét: a észecske megtaáási vaószínűségét jeemző Ψ 2 haanggöbe függvény maximuma vt sebességge haad a pozitív x iányba, míg a fééték széessége időben nő, maximuma pedig csökken (d. 29. ába). 3

4 Számítsuk most ki az x opeáto váható étékét! x = Ψ 2 xdx = Ψ 2 (x vt)dx + Ψ 2 vt dx = vt, mive a második egyenőség után áó eső tag zéus, évén (x vt) páatan függvénye. Hasonó módon adódik: Pédák: ( x) 2 = (x x ) 2 = d 2 (1 + 2 ), = 2md 2t. 1) Makoszkópikus méetek tatományában a szétfoyás jeensége nem számottevő. Legyen ui. a övedék huámcsomagunk tömege m = g= 10 1 g. Ehhez = t/d 2 fééték széesség tatozik. A heybizonytaanság: x = d Legyen okaizáva a észecskénk kezdetben, t = 0s esetén, x = d = 10 8 cm tatománya. t = s múva nő a fééték széesség = 1 e, s így az emosódottság 2 szeesée: x = , ami nem számottevő. Ráadásu iyen sokáig nem szokott tatani egy kíséet sem. 2) Mikoszkópikus észecskéve, p. α észecskéve evégzendő kíséet esetén = (10 27 /2 4 1, )t/d t/d 2. Az α észecske kitejedése t = 0s esetén: x = d = cm. Ezét má t = s aatt váik egységgé, s így x = 2d-szeesé. A kvantummechanikai tágyaás itt má ekeüheteten. Hasonó nagyságendek adódnak, ha egy eekton okaizátságát vizsgájuk az atomon beü. Egy eekton-huámcsomag méhetetenü övid időn beü deokaizáódik az atom tejes tatományáa, s így a kasszikus tágyaás nem ehetséges EGYDIMENZIÓS SZÓRÁS Ez az eset akko vaósu meg, amiko a szóási (=pozitív enegiájú) áapotban evő észecske számáa a mozgás csak egy dimenzióban ehetséges (p. eekton vékony vezetőben). Eső pédaként azt az esetet vizsgájuk, amiko a észecske mozgása soán egyeten potenciáon szóódik, amin észben áthaad, 4

5 észben visszaveődik. Iyen eset vaósu meg közeítőeg egy s áapotú ( = 0) α-észecskének az atommagbó vaó kiszabaduásako (α-bomás). Más esetben, p. fémek v. egyéb sziád anyagok esetén az anyagban evő, nem heyhez kötött (deokaizát) eektonoknak nagyszámú hasonó, peiódikusan eheyezkedő szóócentumot ke eküzdeniük mozgásuk soán, s ezze magyaázható többek között a sziád anyagok küönfée tuajdonságai. Pédáinkban a potenciáoka speciáis (deékszögű) aakot téteezünk fe, mive ee az esete a Schödinge egyenet megodásai anaitikus aakban megadhatók SZÓRÓDÁS EGYDIMENZIÓS POTENCIÁLGÁTON Legyen a deékszögű potenciá magassága V 0, széessége a (30. ába): { V 0 a x 0 V (x) = 0 egyébként. (58a) Kasszikus esetben egy m tömegű, E kinetikus enegiájú észecske mindenképpen visszapattan a gátó, ha E < V 0, másküönben áthaad feette. A kvantummechanika (s így a temészet is) megengedi azonban, hogy véges vaószínűsége egyen egy E < V 0 áthaadásnak, i. egy E > V 0 visszaveődésnek. Ezt a következőképpen áthatjuk be. Figue 1: 30. ába. Potenciágát. A szóást (visszaveődést és áthaadást) a Schödinge egyenet íja e: 2 d 2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). 2m dx2 (58b) A potenciámentes téészekben a pozitív enegiájú észecske p = k = 2mE impuzus sajátáapotban van s így az aszimptotikus megodások a következők: ψ I = Ae ikx + Be ikx, x a ψ III = Ce ikx x > 0. (58c) Az 1. fejezet 1.3.b/ pontja aapján tudjuk, hogy a ψ I huámfüggvény A ampitúdójú észe (a 30. ábán nyía jeöt) baó jobba haadó (beeső) észecske-huámnak fee meg, a B ampitúdójú észe pedig a visszavet észecske-huámnak. Hasonóképpen, ψ III a potenciágáton áthaadt észecskehuámnak fee meg. Az A, B, C ampitúdók további fizikai jeentésének megáapítása céjábó képezzük az áamsűűséget az I-es és a III-as téészben. Fehasznáva a (15b) képetet: az áamsűűségeke a J x = i 2m (Ψ xψ Ψ x Ψ), J I (x) = v( A 2 B 2 ) J be J vissza, x a, 5

6 J III (x) = v C 2 Ját, x > 0 képeteket nyejük, aho v = k/m a észecske sebességét jeenti. Mive a fenti áamsűűségek x tő függetenek, ezeket az egyes téészekben evő nettó észecskefuxusként intepetáhatjuk, ami jó összeegyeztethető avva a fenti megáapítássa, hogy A a beeső, B a visszvet, C pedig az áthaadt észecske ampitúdója. Így a visszaveődési (efexiós) együtthatót az R = J vissza J be = B 2 A 2, az áthaadási (tanszmissziós) tényezőt a T = J át = C 2 J be A 2 képet definiája. Megmaadás miatt J be = Ját + J vissza, amibő R + T = 1 következik. R és T meghatáozása édekében szükségünk van a potenciágáton beüi megodása, ψ II e, amey kapcsoatot teemt ψ I és ψ III között. Minthogy a középső tatományban ( a x 0) a potenciá konstans, a észecske eőmentes tében mozog, következésképpen szintén impuzussajátáapotban van. A megodás ezét az eőzőekhez hasonóan (fomáisan) szabad síkhuám: ψ II = Fe iαx + Ge iαx, a x 0, aho most az α = 2m(E V 0 )/ impuzus attó függően vaós, vagy imagináius, hogy E V 0 étéke pozitív, vagy negatív. Kapcsoatot a küönböző téészbei megodások és ampitúdóik között azon eguaitási követemény szogátat, miszeint a megodásoknak és eső deivátjaiknak a potenciá véges szakadási heyein meg ke egyezniük (d. 2.2/b fejezet): ψ I ( a) = ψ II ( a), i. ψ I( a) = ψ II( a) és ψ II (0) = ψ III (0), i. ψ II (0) = ψ III (0), azaz Ae ika + Be ika = Fe iαa + Ge iαa, i. k(ae ika Be ika ) = α(fe iαa Ge iαa ), és F + G = C, i. α(f G) = kc. F és G eimináása után egyszeű számoássa a következő két egyenetet nyejük a számunka édekes C/A, i. B/A ampitúdó aányoka: ameyekbő C A = e ia(k α) + B A α k α ± k eia(k±α), (59) 6

7 ietve adódik. és B A = (k2 α 2 )(1 e i2αa ) (k + α) 2 (k α) 2 e i2αa e i2ak, C A = 4kαe i(α k)a (k + α) 2 (k α) 2 e i2αa Így a szóása jeemző R és T mennyiségek: R = B A T = C A 2 2 = = [ 1 + 4k 2 α 2 ] 1 [ (k 2 α 2 ) 2 sin 2 = αa 1 + 4E(E V 0) V 2 0 sin2 αa ] 1 (60a) [ 1 + (k2 α 2 ) 2 sin 2 ] 1 αa 4k 2 α 2 = [1 + V 0 2 ] 1 sin2 αa. (60b) 4E(E V 0 ) Könnyen meggyőződhetünk aó, hogy R + T = 1, ami a észecske(áamsűűség) megmaadást fejezi ki. E V 0, azaz α 0 esetén a sin αa αa sofejtésse az áthaadási vaószínűség a potenciá átátszóságáa jeemző T(E V 0 ) = [1 + mv 0a ] 1 képette adható meg, ami egy véges, 0 és 1 közötti étéket szogátat. (Látjuk, hogy fizikai váakozásunkka összhangban egy észecske nem tud áthatoni a faon, ha m, V 0, i. a.) Az E > V 0 tatományban, növekvő E esetén T oszciá az egység és egy auó ehhez közeítő bukoó göbe között (31. ába). Tökéetes áthaadást (zéus visszaveődést) csak αa = π, 2π,... esetén kapunk. Minthogy ez a megáapítás V 0 eőjeétő függeten, vonzó potenciávögy esetén is van visszaveődés. A tanszmissziós együttható 0 < E < V 0 akamazzuk az α = iβ heyettesítést, aho β = 2m(V 0 E)/ 2. Ekko T = C A 2 = [1 + V 0 2 sinh 2 βa 4E(V 0 E) tatománybei visekedésének megáapítása céjábó ] 1 (E < V 0 ). Ez a képet monoton csökkenést jóso az áthaadás vaószínűségée T(E V 0 ) fenti étékétő zéusig, amit E = 0 esetén é e (d. 31. ába, aho a tanszmissziós viszonyokat tüntettük fe egy megehetősen homáyos potenciáa, ameyné mv 0 a 2 / 2 = 8). Amennyiben βa >> 1, azaz a baie szées és/vagy magas E hez viszonyítva, a fenti képet (a sinh x = [exp(x) exp( x)]/2 definíció miatt) a következő egyszeűbb és gyakota hasznát fomában íható: T 16E(V 0 E) V0 2 e 2βa (E << V 0 és/vagy βa >> 1). (61) 7

8 Az, hogy E < V 0 esetén is van véges vaószínűsége a észecske áthaadásának a potenciágáton, tisztán kvantummechanikai effektus és a észecskék huámtemészetébő következik. Ennek az aagúteffektus néven ismeetes jeenségnek fontos szeep jut a sziádtestek, moekuák és atommagok tuajdonságainak megétésében (hidegemisszió, spontán ionizáció, moekuáis eakciók, α bomás, maghasadás, stb.) POTENCIÁLCSAPDA, VIRTUÁLIS ENERGIASZINTEK Amennyiben a C ampitúdójú észecskeáam egy (végteen magasságú) potenciáfaa taája szembe magát az x = c heyen (d 32. ába), akko eő a faó is töténik visszaveődés, amey huám ampitúdóját D-ve fogjuk jeöni. A (58c) egyenet ezét így módosu: ψ I (x) = Ae ikx + Be ikx, a 0 ψ III (x) = Ce ikx + De ikx, c x > 0 (62a) a foytonossági fetétebő kapott (59) aatti két egyenet pedig a következő esz [kihasznájuk, hogy ψ III (c) 0]: B A = C A e ia(k±α)[ α ± k α k ei2kc] e i2ak α ± k α k, s ebbő az áthatoása jeemző ampitúdó a következőnek adódik: (62b) C A = 2kαe iak i sinaα[(α 2 k 2 )e i2kc (α 2 + k 2 )] + 2kαcosaα. (62c) Amennyiben E < V 0, édemes átténi a koábbi α = iβ = i 2m(V 0 E)/ jeöése, és fehasznáva az i sinix = sinhx = (e x e x )/2, cosix = coshx = (e x + e x )/2 azonosságokat, aβ >> 1 esetén a C A = i4kβe iak e aβ (β 2 + k 2 )e i2kc + (k 2 β 2 ) + 2ikβ összefüggés adódik. Az áthaadó huám ampitúdója tehát átaában kicsi a beesőéhez viszonyítva. Azonban, ha a beeső huám enegiája töténetesen oyan, hogy a fenti kifejezés nevezője kis étéket vesz fe, akko az áthaadó huám ampitúdója, ebben a küöneges esetben, nagyobb is ehet a beesőéné. Iyen speciáis k huámszám étékekné a észecske csapdába keü: nagyobb vaószínűségge tatózkodik a potenciágáton beü, mint kívü. Az oyan speciáis enegiaszinteket, ameyekné ez a jeenség bekövetkezik, vituáis enegiaszintek nek nevezzük. A 32. ábán bemutatott potenciágátnak megfeeő vituáis enegiaszintek a fetétebő a következőknek adódnak: (β 2 + k 2 )e i2kc + (k 2 β 2 ) + 2ikβ = 0 + i0 (k 2 β 2 ) + (k 2 + β 2 )cos2kc = 0, (63a) 8

9 2kβ + (k 2 + β 2 )sin 2kc = 0. (63b) Egy megodását ennek az egyenetendszenek azonna megadhatjuk, ha 2kc t (4n 1)π/2 nek váasztjuk (n = 1, 2,...), mive ekko cos2kc = 0, sin2kc = 1 és így a további k = β fetétee kieégíthető a fenti egyenet. Ez utóbbi fetéte az enegiáa az E = V 0 /2 megszoítást jeenti. Végeedményben tehát, ha k = mv 0 = π c (n 1 ), n = 1, 2,... 4 tejesü, a észecske csapdába keü. A (63) aatti egyeneteknek több megodása is ehet fix V 0 és c meett. Édekes, hogy a potenciágát a széességétő átszóag függeten az itt megadott vituáis enegiaszint étéke. Viszont tudjuk azt, hogy eedményünk csak az aβ = ak >> 1 fetéte tejesüése esetén évényes SZÓRÓDÁS PERIÓDIKUS POTENCIÁLGÁTON. (FÉMEK, FÉLVEZETŐK, SZIGETELŐK MODELLEZÉSE.) Eőző meggondoásainkat kitejeszthetjük aa az esete is, amiko nem egyeten potenciágát van az x tében, hanem végteen sok, egymástó d = c + a peiódus távosága eheyezkedve (d. 33. ába). Az iyen peiódikus potenciát a V (x + d) = V (x) (64) etoási szimmetia jeemzi, amibő az következik, hogy a Schödinge egyenet x heyen vett megodása, ϕ(x), egfejebb egy γ = áandó fakto eejéig küönbözhet az az x + d heyen vett megodástó: ϕ(x + d) = γϕ(x). Az n edik peiódusa ϕ(x + nd) = γ n ϕ(x) adódik, amibő a huámfüggvénye vonatkozó koátossági fetéte miatt γ = 1, γ = e ikd 9

10 következik. Végeedményben tehát, peiódikus potenciáokhoz a ϕ(x + nd) = e iknd ϕ(x), n = 0, 1, 2,... (65) ún. moduát síkhuám megodások tatoznak (K vaós!). A ehetséges enegiaétékeket úgyanúgy mint mindig a hatáfetéteek (itt: foytonossági kitéiumok) kieégítése évén kapjuk meg. A 33. ába II. és III. téészében a megodások a ϕ II = Fe βx + Ge βx ϕ III = Ce ikx + De ikx (66a) (66b) fomában íhatók. A két zóna hatáán a megodásoknak és deivátjainak meg ke egyezniük: ϕ II (0) = ϕ III (0) ϕ II(0) = ϕ III(0) azaz F + G = C + D β(f G) = ik(c D) (67a) (67b) A következő peiódus, a IV+V zóna megodásai (65) miatt kifejezhetők az eőzőve: ϕ IV (x) = e ikd ϕ II (x d) = e ikd [ Fe β(x d) + Ge β(x d)] ϕ V (x) = e ikd ϕ III (x d) = e ikd [ Ce ik(x d) + De ik(x d)] (68a) (68b) A két megodás iesztése a ϕ III (c) = ϕ IV (c) egyeneteket szogátatja, ameyek a (c d = a) ϕ III(c) = ϕ IV (c) Ce ikc + De ikc = e ikd [ Fe β( a) + Ge β( a)] ik ( Ce ikc De ikc) [ = e ikd β Fe β( a) Ge β( a)] (69a) (69b) fomában íhatók fe. Ez négy (vaós) egyenetet szogátat a négy (vaós) együttható (F, G, C, D) meghatáozásáa. Tiviáistó küönböző megodást akko kapunk, ha az együtthatókbó képezett detemináns etűnik, azaz β β ik = 0, (70) e ikd βa e ikd+βa e ikc e ikc βe ikd βa βe ikd+βa ike ikc ike ikc 10

11 amibő egy köteező egyenőség fennáását nyejük a k huámszám küönböző étékei meett a K effektív huámszáma: 2 coskd = e βa [ coskc + k2 β 2 Mámost nyivánvaó, hogy f(k) csak 2 és +2 közötti étékeket vehet fe: 2βk ] sin kc + e [coskc βa k2 β 2 ] sin kc f(k). (71) 2βk 2 f(k) = 2 coskd 2, ez a fetéte viszont bámey k éték esetén nem tejesü. P., k = nπ/c, (n = 0, 1, 2,...) esetén biztosan nem eégü ki a fenti egyenőtenség. Azt kaptuk tehát, hogy peiódikus potenciáok esetén (is) vannak megengedett E = 2 k 2 /2m e enegiaétékek, ameyeknek megfeeő k étékek (71)-et kieégítik, és vannak titott étékek, ameyek esetén (71) nem tejesü. Ez az eedmény ögtön megengedi azt, hogy kvaitatíve étemezzük a fémek, szigeteők mibenétét. Képzejünk e egy igen híg fémet, ameyben az egyes atomtözsek nagyon nagy R távosága heyezkednek e egymástó. Az atomtözs potenciájában kiaakunak az efajut ε 1, ε 2,.. enegiaáapotok (vegyétéknívók), ameyeket efogahatnak eektonok (d. 35. ába). Közeítve egymáshoz az atomokat, a vaenciaszintek fehasadnak a többi atom petubáó hatásáa, és egy optimáis d ácsáandó esetén, amey meett az atomtözsekbő és ezeken kívüi eektonokbó áó endsze enegiája a egkisebb, kiaakunak a peiódikus potenciáoka jeemző titott és megengedett ( ε 1, ε 2 ) enegiasávok (d. 35. ába). 11

12 Mámost, ha a ε 1 sáv tejesen be van tötve eektonokka, a ε 2 höz tatozó sáv pedig ües, továbbá a két sáv közti távoság ( gap ) nagy, akko az eektonok számáa a mozgási ehetőség nyivánvaóan koátozott. Az iyen anyagok ossz eektomos és hővezetők, azaz szigeteők (d 36. ába). Amennyiben a két megengedett sáv közti titott zóna (gap) kicsi, az asó betötött sávbó könnyebben gejeszthetők az eektonok az üesbe, amey áta aktív, vezetése képes eektonokat nyeünk ezek a févezetők. Fémek esetén pedig megküönböztetünk egy-, i. kétvegyétékű fémeket. Egyvegyétékű fémek esetén az eső nívó csak féig van betötve eektonokka s ezét má kis eektomos té hatásáa kapunk aktív eektonokat. Kétvegyétékű atomokbó akko esznek jó vezetők (fémek), ha a két sáv átfedi egymást, azaz a két sáv között nincs titott zóna és így az eektonok az ε 1 es sávbó könnyen átkeühetnek a mozgékony ε 2 es sávba (36. ába). 36. ába. Sziádtestekben kiaakuó titott zónák szemétetése. A sziádtestfizikában kitejedten hasznáják az ún. effektív tömeg fogamát. Ennek bevezetése azon aapu, hogy a peiódicitás miatt fennáó exp(iknd) ϕ(x) = ϕ(x + nd) fetéte miatt a K mennyiség 12

13 a csiapítatanu tanszmittáódó eekton effektív huámszámáva azonosítható (az impuzus az etoás opeáto geneátoa). Az effektív huámszám nem fetétenü egyenő a k fizikai huámszámma. Fomáisan azonban feíhatunk egy összefüggést köztük az m (k) effektív tömeg bevezetéséve a következő módon: E = 2 k 2 2m e = 2 K 2 (k) 2m (k). Minthogy K(k) = accos(f(k)/2)/d étékei és közé eshetnek, az effektív tömeg étékei is eősen vátozhatnak k függvényében HÁROMDIMENZIÓS SZÓRÁS Viágunk háom tédimenzióva endekezik, így az ütközési foyamatok vaójában mindig háom dimenzióban játszódnak e. Az ütközéseket egkényemesebben tömegközépponti koodináta endszeben íhatjuk e. Mive kéttest ütközésekke fogakozunk, és az fejezetben áttuk, hogy a kéttest pobéma visszavezethető oyan egytest pobémáa, aho egy (edukát) tömegge endekező észecske E (tömegközépponti) enegiáva mozog a (két észecske köcsönhatását eíó) V () potenciában, ezét a kétészecske ütközéseket gyakan potenciászóásnas nevezzük. A szóáskíséetek tanumányozásának nyivánvaó szükségességét az adja meg, hogy ezen az úton szeezhetünk (közvetett) infomációt a mikoészecskék (endszeek) között működő eőkő. Ez az igény küönösen nyivánvaó abban az esetben, amiko a észecskeendszeek (p. atommagok, atomok, moekuák, kaszteek) akotóészei közötti eemi köcsönhatás nem ismeetes (mint p. a nukeonok között). De hasonó igény támasztható oyan esetben is, amiko a endszeek akotóészei közti eők egzaktu ismeetesek, mint p. az atombei eektonok között, ugyanis az összetett endszeek közötti effektív köcsönhatás eméeti meghatáozása a kötött áapoti pobéma egzakt megodását igényi, ami a gyakoatban kiviteezheteten feadat. Így tehát szükségképpen közeítéseke (mode fetevéseke, küönböző módszeek bevezetésée) vagyunk utava, és ahhoz, hogy az egyes közeítések jóságát eenőizhessük, kíséeti tapasztaatokhoz ke fodununk. Megjegyzendő, hogy gömbszimmetikus potenciáok esetée ki van dogozva a kvantummechanikai szóás invez eméete. Az R. G. Newton-, i. Ge fand-levitan- és Machenko-egyenetek segítségéve a megfigyet szóási adatokbó meghatáozhatjuk a potenciát minden mode-eőfetevés nékü. A kvantummechanikai szóás invez eméetéve fesőbb éves tanumányainkban fogakozunk, jeenegi céunk a szóáseméet aapfogamainak megismeése SZÓRÁSI HATÁSKERESZTMETSZET 13

14 Egy szóáskíséetben a V () köcsönhatásó szogátatott aapvető infomáció a szóódó észecskék küönböző szögtatományba vaó intenzitás-eoszásának megfigyeésébő, az ún. szögeoszásbó nyehető ki. Egy fixát eőcentumon, vagy egy másik észecskén (ún. cétágyon, tageton) szóódó észecskék (övedékek, pojektiek) iány szeinti eoszását (szögeoszását) a szóási hatáskeesztmetszet fogamának bevezetéséve étemezhetjük. Tegyük fe, hogy a szóócentuma J 0 áamsűűségű bombázó észecskenyaáb esik be és a beesési iányhoz képest ϑ és ϕ poászögekke jeemzett dω = sin ϑdϑdφ kúpszögben időegység aatt dn észecskét detektáunk. A dω tészögben szóódó észecskék dn másodpecenkénti száma aányos J 0 a, és dω va: dn = σ(ϑ, φ)j 0 dω, (72a) aho az aányossági tényezőt a szóás diffeenciáis hatáskeesztmetszet ének nevezzük. Ebbe a mennyiségbe sűűsödik bee minden infomáció a tanumányozni kívánt köcsönhatásó, V () ő. (72a) tejes tée vett integája a észecskék tejes számát adja másodpecenként N = J 0 σ(ϑ, φ)dω J 0 σ tot, aho bevezettük a tejes hatáskeesztmetszet fogamát, σ tot = σ(ϑ, φ)dω = N, J 0 (72b) (72c) mint a diffeenciáis hatáskeesztmetszet tejes tée vett integáját, ami tehát az időegység aatt szóódó észecskék számának és a beeső észecske-nyaáb áamsűűségének a hányadosa. A diffeenciáis hatáskeesztmetszet szokásos jeöése: σ(ϑ, φ) = dσ(ϑ, φ) dω = dn J 0 dω, szokásos egységei: a 2 0 = cm 2 (atomfizikában), i. 1ban = 10 2 fm 2 = cm 2 (magfizikában). Megjegyzendő, hogy magfizikában fontos szeep jut a hatáskeesztmetszet abo endszebő tömegközépponti endszebe vaó átszámoásnak. Eekton-atom ütközés esetén a két endsze gyakoatiag megegyezik a tömegviszonyok miatt SZÓRÁSAMPLITÚDÓ 14

15 A (14) stacionáius Schödinge egyenetet övidhatótávoságú (im V = 1 ε ) potenciá esetén kieégíti a következő hatáfetéte: ) im ψ(+) = A (e iki + f(ϑ, φ) eik Φ be () + ψ sz (+) (, k), (73) aho A A() egy csak enegiátó függő nomáási áandó, f(ϑ, φ) pedig az ún. szóásampitúdó. Könnyen beátható, hogy a (73) aatti hatáfetéte tetszőeges f(ϑ, φ) szóásampitúdó meett kieégíti a Schödinge egyenetet O ( 1 ) endben [az egyszeűség kedvéét fogakozzunk csak ugamas szóásokka, ameyeke = k; továbbá hasznájuk fe a következő összefüggéseket: U = V/( 2 /2µ), = 2 = 1 d 2 d L2 / 2 2, E = ( k) 2 /2m]: 2 [ ] [ im + k 2 U() ψ (+) = + k 2 C 1 ǫ] ) A (e iki + f(ϑ, φ) eik [ = A k 2 e iki + k 2 e iki C 1 ǫ e iki + f(ϑ, φ) eik + k 2 f(ϑ, φ) eik ] [ C 1 ε f(ϑ, φ) eik = A C 1 ǫ e iki + f(ϑ, φ) 1 d 2 eik d 2 eik L 2 / 2 2 f(ϑ, φ)+ +k 2 f(ϑ, φ) eik k 2 f(ϑ, φ) eik ] C 1 ε f(ϑ, φ) eik = A [ C (e 1 ǫ iki + f(ϑ, φ) eik ) ] + k 2 f(ϑ, φ) eik + O( 1 ) (e 3 ) = AC 1 ǫ iki + f(ϑ, φ) eik = ( ) 1 = 0 + O. Így tehát (73) a ehető egátaánosabb hatáfetéte, ameyhez a következő szemétetés fűződik. (73) két huám szupepozíciójábó á. Mindkettő kieégíti a Schödinge egyenetet ben O(1/) endben, övidhatótávoságú potenciá esetén. 15

16 (73) eső tagja egy beeső végteen síkhuámot (impuzus sajátáapotot) í e, ami a bombázó észecskehuámma azonosítható. (73) második tagja egy oyan adiáis szót huámot epezentá, amey a szóás centumátó kifeé mozog, ampitúdója iányfüggő, intenzitása 2 te fodítottan aányos (kifutó gömbhuámnak nevezzük; 37. ába). Ez fee meg a detektáandó észecske-huámnak. Az egyenő fázisú feüetek egyenetei: a) beeső huám esetén ωt = cosϑ ωt = kz ωt = const = a(z, t); az egyenő fázisú pontok összessége z e meőeges feüeteket akot, amey feüetek λ = 2π/k távosága vannak egymástó, amennyiben a maximumokat, vagy minimumokat tekintjük egy ögzített t időpianat esetén. E feüetek v f = ω/k fázissebességge haadnak a pozitív z iányba; b) ugamasan szót huám esetén k ωt = const = b(, t); ez egy oyan gömbfeüet egyenete, amey ω/k = λ/t = v f (fázis)sebességge ˆ iányba tejed 2π/k huámhossza. Magyaázat: Stacionáius esetben a fázisokhoz mindig hozzáadandó a eszepaát exp( i Et) tényező fázisa. További eemi összefüggések: E = ω = p 2 /2m = 2 k 2 /2m ω = k 2 /2m. Fázissebesség: d/dt = d(const/k + ωt/k)/dt = ω/k = k/2m = v/2, aho v a csopotsebesség, amit dω/dk definiá. Az A együttható és az f szóásampitúdó fizikai jeentésének megáapítása céjábó kiszámítjuk a diffeenciáis hatáskeesztmetszet et mint a detektoná ( ben) ϑ, φ = ˆ iányban méhető fuxus és a beeső huámbó számazó, szintén méhető fuxus hányadosát. A detektoná észet fuxus a ψ sz szót huámbó, vaamint a bejövő és szót huám intefeenciájábó eed. Megmutatjuk, hogy az intefeencia tagbó eedő észecske-huám fuxusa ehanyagoható ben ϑ 0 esetén. Az egységnyi feüete eső fuxust a vaószínűségi áamsűűség képete j() = [ ψ ψ ψ ψ ] ( ) = R 2mi mi ψ ψ = j be + j sz + j int 16

17 szogátatja (dimenziója: mv m 1 = 1 3 im = im s cm ). Figyeembe vesszük továbbá, hogy 2 ( ˆ, 1 ) ϑ ˆϑ, 1 sin ϑ φ ˆφ = ˆ. A beeső észecske-huám áamsűűség vektoa a Φ ki () = Ae iki beeső huámbó [(73) eső tagja] számoható: ( ) j be = R mi Φ be Φ be. A bejövő fuxus, amit -a meőeges egységnyi feüeten detektáunk (és amive osztani fogjuk a detektoná méhető észecske fuxust) a következő: ( ) J 0 j be = j beˆki = ˆk i R mi A 2 e iki i e iki = A 2 k m = A 2 v. A kifutó szót huám (ψ sz ) áamsűűség vektoa ( ) j sz = R mi ψ sz ψ sz Ebbő ˆ iányba a detektohoz j sz = ˆj sz = R ( A 2 mi )) f (Ω) e ik (f(ω) eik = A 2 k m egységnyi feüete eső fuxus ékezik. 1 2 f(ω) 2 + O( 1 3 ) = A 2 v 1 2 f(ω) 2 + O( 1 3 ) Vizsgájuk most az intefeencia tagbó adódó adiáis áamsűűséget (fuxust). { j int = j intˆ = R A 2 [ e ik cos ϑ mi ) (f(ω) eik + f (Ω) e ik ]} cos ϑ eik { = R A 2 [ik 1 mi f(ω)eik(1 cos ϑ) + ik cosϑ 1 ] ( )} 1 f (Ω)e ik(1 cos ϑ) + O 2 0, mive (hacsak ϑ 0, eőeszóás esete, ameyet később küön megvizsgáunk) igen gyosan oszciá, mint függvénye, amiko. Továbbá, vegyük figyeembe, hogy a bejövő huám vektoának mindig van szóása ( k). Ebben az esetben az oszciációs tagok ehanyagohatók ϑ 0 a, mive k+ k im k ke ik(1 cos ϑ) dk { 1 [ = im ke ik(1 cos ϑ)] k+ k i(1 cosϑ) k = im = im 1 i(1 cosϑ) k+ k k e ik(1 cos ϑ) dk 1 [(k 1)e ik(1 cos ϑ)] k+ k i(1 cosϑ) k [(k + k 1)e i(k+ k)( z) (k 1)e ik( z)] 1 = im [ i( z) eik( z) (k + k 1)e i kz k + 1 ] = 0. } 17

18 Végeedményben tehát, ahhoz, hogy megkapjuk a diffeenciáis hatáskeesztmetszetet, (72a) étemében a szót észecskék dn = j sz 2 dω számát e ke osztani a beeső észecskék J 0 = j be fuxusáva és dω va: σ(ϑ, φ) = dσ dω = dn J 0 dω = dω2 j sz j be dω = 2 A 2 v 1 f 2 2 A 2 v = f(ϑ, φ) 2. Azt kaptuk, hogy a szóásampitúdó abszoút éték négyzete megegyezik a diffeenciáis hatáskeesztmetszette: dσ dω = f(ϑ, φ) 2. (74) Ez az a fundamentáis összefüggés, amey kapcsoatot teemt a tapasztaat és az eméet között. Mint átjuk, a diffeenciáis hatáskeesztmetszet függeten az A ampitúdótó mive csak eatív vaószínűség iánt édekődünk mindenko. Ezét a szóási huámfüggvényt küönbözőképpen ehet nománi, attó függően, hogy miként váasztjuk meg az A nomáási együtthatót. Ha A = 1 nomáást váasztunk, akko a bejövő huám megtaáási vaószínűségi sűűsége 1 az -tében. Ha A = 1/ v = 1/ k, ako a szóási huámfüggvényt egységnyi bejövő fuxusa nomátuk. Φ be -e váaszthatunk huámcsomag megodást is, a feadathoz ieszkedő A(p) nomáási ampitúdó ögzítéséve együtt. 18

19 OPTIKAI TÉTEL. ϑ 0 esetén az intefeencia tag nem hanyagoható e. Számítsuk ki e tagbó jövő áamsűűséget, ameyet egy δθ nyíásszögű kúpfeüeten távoságban detektáunk (38. ába). A δθ nyíásszögű 2 δω teüetű kúpfeüeten áthaadó észecskék száma O( 1 2 ) endben: { R A 2 mi j int (δθ 0) = 2 δω 2π dωj intˆ = 2 dφ 0 δθ 0 dϑ sinϑ [ik 1 f(ω)eik(1 cos ϑ) + ik cosϑ 1 f (Ω)e ik(1 cos ϑ) ]}. Az integá kiétékeéséhez figyeembe vesszük, hogy f(ω) assan vátozó függvénye ϑ nak s ezét a nua heyen fevett étékéve heyettesíthető. Vezessük be az x = cos ϑ vátozót. Ekko dx = sin ϑdϑ. Vegyük figyeembe, hogy δθ 0 dϑ sin ϑe ik(1 cos ϑ) = cos δθ 1 dxe ik(1 x) = e ik cos δθ = e ik 1 [ e ikx ] cos δθ = eik [ ik 1 e ik cos δθ e ik] ik = 1 ik eik(1 cos δθ) + i k = oszc. + i k, 1 dxe ikx aho az oszciáó ész ehagyható a nem oszciáó meet. Így, foytatva az intefeencia tagbó jövő áamsűűség kiétékeését (cos ϑ 1 miatt), j int (0) = im j int(δθ) = 2π 2 A 2 k [ δθ 0 m R f(0) i ] k + f (0) i k = 2π A 2 m R [if(0) + i f (0)] = 4π m A 2 If(0). Az intefeencia tagbó adódó észecske-huám jáuék ϑ 0 esetén tehát aányos a szóásampitúdó imagináius észéve (ϑ 0 esetén az ebbő a tagbó adódó áamsűűség zéus, mint koábban áttuk.) Ha a tejes sugaú gömbfeüetee integájuk a tejes adiáis áamot, j = jˆ t, fuxus megmaadást kapunk a Gauss téte kihasznáásáva. Legyen df = ˆ 2 dω a feüeteem, ekko ami a 2 dωjˆ df j = d 3 j = 0, F V j + ρ/ t = 0 19

20 kontinuitási egyenet integáis aakjábó az d 3 ρ(, t) = d 3 Ψ(, t) 2 = 1 noma miatt következik. Mámost, a tejes áamsűűség háom észbő tevődik össze: j = j be + j sz + j int és a bejövő észecskehuám áamsűűsége nem ad jáuékot a tejes adiáis fuxushoz, ugyanis: 2 dωj beˆ = 2 2π π 0 1 dϑ sin ϑ A 2 v cosϑ = 2π 2 A 2 v dx x = 0, 1 aho a szokásos x = cos ϑ, dx = dϑ sin θ heyettesítést akamaztuk. Ezét a tejes fuxushoz csak j sz és j int ad jáuékot, az utóbbi csak θ 0 esetén, mint áttuk, az eőbbi pedig a (diffeenciáis) hatáskeesztmetszette kapcsoatos. Íható tehát 0 = 2 dω(j sz + j int )ˆ = 2 dω A 2 v 1 2 f(ω) 2 4π A 2 m If(0) amibő nyejük a nevezetes optikai tétet: = A 2 ( vσ tot 4π m If(0) ) = 0, σ tot = 4π k If(0). (75) Az optikai téte endkívü fontos mind eméeti, mind gyakoati szempontbó. Kapcsoatot teemt kíséet és eméet között. Lehetővé teszi a nem tejes (ϑ, φ) szögtatományban végehajtott méésekbő töténő tejes hatáskeesztmetszet meghatáozását. Ezenkívü az eméeti modeek, ietve közeítések számáa is támpontot jeent a (75) aatti egzakt összefüggés. 20

21 6.4. SZÓRÓDÁS GÖMBSZIMMETRIKUS POTENCIÁLON. PARCIÁLIS HULLÁMOK MÓDSZERE. Tekintsük a [ 2 1 d 2 2µ d 2 + L2 ] 2µ 2 + V () E ψ (+) () = 0 Schödinge egyenetet, aho a potenciá csak = abszoút étékétő függ [ = k, E = ( k) 2 /2µ > 0, µ a edukát tömeg]. Mámost, tetszőeges ψ (+) () eguáis függvény sobafejthető az impuzusmomentum sajátfüggvényei, a gömbfüggvények szeint ψ (+) () = m= c m ( )u m (, )Y m (ˆ) = c (k)u (k, )P (cosϑ), (76a) aho a második egyenőség je utáni átaakításban kihasznátuk, hogy a potenciá csak -tő függ, és ezét a z tengeyt a beesés ˆ iányáva páhuzamosnak váasztva, vaamint a m Y m (ˆ)Y m (ˆ ) = π P (cos ϑ) összegzési tétee figyeemme, a mágneses kvantumszáma vonatkozó összegzés evégezhető, és a huámfüggvény csak tő és ϑ tó függő fomáa egyszeűsödik. A szóási huámfüggvény (73) aszimptotikus aakjában feépő f szóásampitúdó ezét szintén csak ϑ függvénye esz. Így az aszimptotikus aak gömbszimmetikus potenciá esetén ) im ψ(+) = A (e iki + f(ϑ) eik. (76b) Beheyettesítve a (76a) aatti kifejtést a Schödinge egyenetbe, kapjuk a paciáis (azaz: ész) huámoka feít Schödinge egyenetet: ameybő az [ 2 1 2µ d µ d 2 ( + 1) 2 u () = 1 k R () ] + V () E u () = 0, heyettesítés útján nyejük az ún. adiáis szóási Schödinge egyenetet [ 2 d 2 2m d m ( + 1) 2 + V () E ] R () = 0, (76c) (76d) az R () adiáis huámfüggvénye. (Figyejük meg, hogy R most nem függ a kötött áapotoka jeemző n kvantumszámtó, hiszen foytonos spektum esetében vagyunk; n a huámfüggvény nódusaiva, csomópontjaiva is kapcsoatos vot egy szóási huámfüggvény végteen sok nódussa endekezik, hiszen tében nem okaizát.) (76d) megodásához ismenünk ke u () t két pontban. Ez = 0 és = esz. 21

22 A hidogénatom tágyaásáná áttuk, hogy amennyiben a V () potenciá nem szinguáisabb 1/ né, akko az ún. indiciáis (az oigóbei megodások hatványkitevőie vonatkozó) egyenetek vizsgáatábó { eg u ( 0) 1 ieg következett, ami az R () = k u () adiáis függvénye a { +1 R ( 0) eg ieg hatáfetétet szogátatja. A huámfüggvénye vonatkozó eguaitási követemény miatt tehát az oigóbei hatáfetéte u (0) = { konst., ha, 0 egyébként, ietve R (0) = 0, = 0, 1,... (77) Az bei hatáfetéte megáapítása céjábó váasszuk eőszö (76d) ben et oyan nagynak, hogy mind V (), mind a centifugáis tag, ( + 1)/ 2, ehanyagoható egyen. Ekko R ( ; k) e ±ik (78a) nyivánvaóan kieégíti az egyenetet (E = 2 k 2 /2m). Jobb közeítést kapunk, ha ezt az extém aszimptotikus aakot kiegészítjük egy f() függvénnye a következő módon: R ( ; k) = im Ae±ik+ a f( )d, (78b) aho A és a konstansok. Beheyettesítve (76d) be, a következő diffeenciá egyenetet nyejük f e: f + f 2 ± 2ikf = 2m ( + 1) V () W(). (78c) Mámost, ha W() s, akko a baoda utosó tagja, évén nagyságendben a vezető tag, szintén s ként tat zéushoz. Így az exponensben áó integá im a ( ) s d = 1 [ im 1 s 1 s a 1 s] (78d) konvegens, ha s > 1, és akko (78b) szintén (78a) aakjában íható. Amennyiben W() exponenciáisan tűnik e és = 0, a (78c) ba odaán áó f s tagot is figyeembe ke venni f meett. Nehézség nékü megmutatható, hogy ekko is (78a) az átaános aak. Az egyeten kivétee, s = 1 esetée, a Couomb szóás tágyaásáná még visszatéünk. A (78a) végteenbei hatáfetéteek fizikai jeentése nyivánvaó: e ik az ˆ iányba szót (kifutó), az e ik az ˆ iánybó beeső (befutó) huámot jeenti. Ez a két huám keveedik mindegyik R (; k) paciáis huámban nagy ek esetén, ami ezét a következő egátaánosabb fomába íható: R ( ; k) = Ã sin(k + δ ), (79) aho a két integációs áandó, Ã és δ evben még kompex is ehet. A befutó és kifutó huám keveedési ampitúdóját ez a két áandó hatáozza meg. 22

23 A (76d) adiáis paciáis szóási Schödinge egyenet R (; k) megodásait tehát a (77) és (79) hatáfetéteek egyéteműen meghatáozzák (egy kompex szozási áandótó etekintve). A megodás azonban vaós, mive = 0 ban vaósként indu, és k, V, és vaós. Így δ nes vaósnak ke enni, à viszont ehet kompex. δ vaós esetén megmutatható, hogy a (76a) észecske-huámbó eedő totáis adiáis fuxus egy tejes (végteenbei) gömbfeüeten zéus: ( im 2 dωjˆ = im 2 dωr mi ψ(+) = im 2 2πR ( = 2π sin(k + δ ) = πr k mi à 2 im 2 R ) ψ(+) sin(k + δ ) ) dϑ sin ϑp (cosϑ)p (cosϑ) miã à ( sin(k + δ ) sin(k + δ ) ) mi à 2 sin 2(k + δ ) = 0, ha δ = δ aho à tatamazza a (76a)-ban eőfoduó c (k) együtthatót is. Amennyiben δ vaós, a fenti eedmény tehát azt jeenti, hogy a szóási tétatományon beü a észecskéknek nincs foása, ietve enyeője. A kifeé szóódott észecskék ezét egyedü a beeső észecske-huámbó számazhatnak. Kompex potenciá esetén δ kompex és ezét a tejes fuxus az gömbfeüeten nem tűnik e; ezze eakciók efoyását és ugamatan ütközések bekövetkeztét ehet modeezni (d. Feshbach-, i. Watson-fée optikai potenciá fomaizmus). Átaában nem a végteenbei (79) hatáfetétee dogozunk, hanem kihasznájuk azt, hogy a gyakoatban a potenciá egy véges 0 távoságon tú zéusnak vehető. Az 0 távoság viszont még nem oyan nagy, hogy a centifugáis tag ehanyagoható enne. A (76d) Schödinge egyenet ebben az esetben a Besse-fée diffeenciá egyenetbe megy át (V = 0, E = 2 k 2 /2m) : [ ] d 2 ( + 1) d2 2 + k 2 R sz () = 0, > 0, (80) ameyet szabad adiáis Schödinge egyenetnes szoktunk hívni. Két függeten megodása a j (k) szféikus Besse- és az n (k) szféikus Neumann-függvénynye kapcsoatos: R eg (k) = kj (k) = ( πk 2 ) 1/2 J + 1 (k) sin(k 1 π), ha, 2 2 ( ) 1/2 πk R ieg (k) = kn (k) = ( 1) J 2 1 (k) cos(k 1 π), ha. 2 2 Az R (; k) adiáis szóási huámfüggvény kifejezhető R eg nagyobb távoságoka: R (a) = R (; k) = és R ieg eg Ã[R (k)cos δ + R ieg (k)sin δ ] = ineákombinációjaként 0 ná = Ãk [ j (k)cos δ n (k)sin δ ], > 0, (81a) 23

24 ameynek aszimptotikus aakja figyeembe véve j és n fetüntetett aszimptotikus tuajdonságait (79)-a ekvivaens fomába íható: R (a) = R ( ; k) = Ã [sin(k 1 2 π)cosδ + cos(k 1 2 π)sin δ ] = Ã sin(k 1 2 π + δ ), (81b) és így u ( ; k) = Ã(k) 1 sin(k 1 2 π + δ ). (81c) Ismevén az u és R paciáis huámok aszimptotikus aakját, meghatáozhatjuk a diffeenciáis hatáskeesztmetszetnek az egyes paciáis huámokbó adódó összetevőit. Ehhez nem ke mást tenni, mint (76a) és (76b) aszimptotikus aakjait összehasonítani. Ennek édekében a (76b)-ben feépő e iki függvénye (síkhuáma) akamazzuk az ismet kifejtési tétet, egyútta vesszük a imeszt is: im eiki = im eikz = im eik cos ϑ = im = (2 + 1)i j (k)p (cosθ) (2 + 1)i (k) 1 sin(k 1 2 π)p (cos ϑ). Ezt beheyettesítjük (76b)-be és az így kapott kifejezést egyenővé tesszük (76a) aszimptotikus aakjáva, amit (81c) fehasznáásáva kapunk. Tehát: (2 + 1)i (k) 1 sin(k 1 2 π)p (cos ϑ) + f(ϑ) 1 e ik = A (k)(k) 1 sin(k 1 2 π + δ )P (cos ϑ), aho most A tatamazza a (76a)-ban feépő c együtthatókat is, osztva a (76b)-bei átaános ( tő függeten) A áandóva. Az egyenet ba- és jobbodaán áó e ik és e ik függvények együtthatói egyenők ke egyenek, azaz [sin x = (exp(ix) exp( ix))/2i] és 2ikf(ϑ) + (2 + 1)i e 1 2 iπ P (cosϑ) = A e i(δ 1 2 π) P (cos ϑ) (2 + 1)i e 1 2 iπ P (cosϑ) = A e i(δ 1 2 π) P (cosϑ) Minthogy ez igaz ϑ minden étékée és a Legende poinomok otogonáisak egymása, az utóbbi egyenetbő meghatáozhatjuk az edik paciáis huám (aszimptotikus) nomáási együtthatóját: A = (2 + 1)i e iδ. Ezt beheyettesítve az eőbbibe, kapjuk a kívánt összefüggést a szóásampitúdó paciáis huámok szeint kifejtett aakjáa: f(ϑ) = 1 2ik = 1 k (2 + 1)(e 2iδ 1)P (cosϑ) (2 + 1)e iδ sin δ P (cosϑ), (82) 24

25 ugyanis 1 2i (e2iδ 1) = sin δ e iδ. Minthogy P (1) = 1 bámey e, az eőeszóás szóási ampitúdója: f(0) = 1 2ik = 1 k (2 + 1)(e 2iδ 1) (2 + 1)e iδ sinδ, és ennemagináius észe (ami az optikai téteben játszott szeepet): If(0) = 1 k (2 + 1)sin 2 δ. A diffeenciáis hatáskeesztmetszet a szóásampitúdó abszoutéték négyzete: = 1 k 2 =0 σ(ϑ) = f(ϑ) 2 = 1 k 2 (2 + 1)e iδ sin δ P (cosϑ) (2 + 1)(2 + 1)sinδ sin δ P (cosϑ)p (cos ϑ)cos(δ δ )(2 δ ), = 1 4k 2 (2 + 1)(S 1)P (cos ϑ) 2, (83) aho az S e 2iδ jeöést akamaztuk. (Potenciászóás esetén ez az S mátix eem.) A tejes hatáskeesztmetszet ennek tejes tée vett integája. Kihasznáva a Legende poinomok otogonaitását, kapjuk: σ tot = 2π π 0 sinϑdϑσ(ϑ) = 4π k 2 2 (2 + 1)sin 2 δ. (84) Ezt összehasonítva az eőeszóás szóási ampitúdó imagináius észée kapott eőbbi képette, nyejük σ tot = 4π k If(0), ami a má koábbó ismet átaánosan évényes optikai téte újbói kifejeződése a szféikus potenciáok speciáis esetée. Az optikai téte szeméetes fizikai jeentése a következő. Ahhoz, hogy szóódás bekövetkezzen, észecskét ke a beeső nyaábbó etávoítani, és ez nyiván a szóási hatáskeesztmetszette aányos métékű. A beeső nyaáb intezítása a szóási tatomány mögött (ϑ 0) kisebb, mint eőtte. A gyengüés csak a bejövő és szóódó huám intefeenciája évén ehetséges. Az intefeencia tag viszont ineáis a szóási ampitúdóban. Tehát az eőeszóási tatományban (ϑ 0, aho mindez ejátszódik) a szóási ampitúdó aányos ke egyen a hatáskeesztmetszette. A paciáis huámok módszeét nyiván akko cészeű akamazni, ha csak kevés paciáis huám ad jáuékot a szóásampitúdóhoz. Ez akko következik be, ha 1) a potenciá hatótávosága ( 0 ) övid, vagy ha 2) a szóási enegia (k 2 /2) kicsi. 25

26 Ugyanis bp = L kasszikusan, aho b az impakt paaméte, p az impuzus, L az impuzusmomentum, tehát ( 0 k) 2 2 max ( max + 1) FÁZISTOLÁS. Az eőzőekben épten-nyomon hasznát δ = δ (k) konstans neve: fázistoás (phase shift), mive éppen a huámfüggvény fázisának a szabad megodáshoz képesti etoódását jeenti a (79) i. (81) egyenetek aapján. A fázistoásoknak a szóáseméetben centáis szeepük van, met mint áttuk, e mennyiség ismeete eegendő a hatáskeesztmetszet meghatáozásához. A fázistoás ugyanazt a szeepet játssza a szóási áapotok meghatáozásában, mint az E n enegiasajátéték a kötött áapotok jeemzésében. Vaóban, többfée összefüggés áapítható meg az enegiasajátétékek és a fázistoások között, a zéus enegiájú kötött áapotok, ietve a zéus enegiájú szóás vizsgáata évén (Levinson téte, kvantumdefekt eméet, stb.). Mint áttuk, a fázistoás ismeete egy nomáási áandótó etekintve egyéteműen ögzíti a szóási huámfüggvény (a szóási áapot) aszimptotikus aakját. A szóáseméetben (a foytonos spektumok tanumányozása esetén) mindig ez édeke bennünket, mive a huámfüggvény aszimptotikus aakja tatamazza a szóásampitúdót, aminek abszoút éték négyzete adja a kíséetekke összevethető diffeenciáis hatáskeesztmetszet étékeket. Mámost az a (átszóagos) eentmondásos heyzet át eő, hogy tuajdonképpeni céunk, a mikoészecskék (mikoendszeek) közötti köcsönhatás kifükészésée feáított eméeti appaátus mintha nem édekődne a huámfüggvény kis tatományú visekedése iánt, noha a mikoköcsönhatások nyiván itt fejtik ki hatásukat eginkább. Temészetesen ez nincs így. Mácsak azét sem, met a huámfüggvényt egyéteműen meghatáozza a köcsönhatást tatamazó Schödinge egyenet a két hatáfetétee együtt. Azaz a huámfüggvény aszimptotikus tuajdonságait, és így a fázistoást is, egy eőe megadott potenciá egyéteműen ögzíti. A fázistoás diffeenciáis meghatáozása. A fázistoások a huámfüggvény foytonossága aapján V ( > 0 ) = 0 típusú potenciá esetén könnyen meghatáozhatók, mive az aszimptotikus (81a) R (a) ( > a) megodásoknak és eső deivátjaiknak foytonosan ke csatakoznia az R ( a) beső megodásokhoz, i. deivátjaihoz. Ezen foytonossági (eguaitási) fetétet a ogaitmikus deivátak ( [ d γ (k) n 1 ]) ( [ d d R n 1 ]) d R(a) = 0 = egyenősége évén tejesü, amibő = 0 = tan δ = kj (k 0) γ (k)j (k 0 ) kn (k 0) γ (k)n (k 0 ), ( ) d d n [j (k)cos δ n (k)sin δ ], = 0 évén kapjuk a kívánt képetet, aho az agumentum szeinti deiváást jeenti. 26

27 A fázistoás integáis számaztatása. Kiinduunk a (76d) és (80) aatti egyenetbő, ameyeket a jeöés szeint beszoozva és integáva [ ] d R eg d 2 ( + 1) ()/ 0 d2 2 U() + k 2 R () = 0, [ ] d 2 ( + 1) d R ()/ d2 2 + k 2 R eg () = 0, 0 két egyenetet kapunk, ameyeket egymásbó kivonva nyejük [R eg = j (k) és R ( ) = Ã sin(k π/2 + δ )] : 0 [R eg d 2 d 2 R R d 2 d 2 Reg ]d = 0 R eg ()U()R ()d. A baodaon paciáisan integáva és kihasznáva az aszimptotikus aakokat, kapjuk a Ãk sin δ eedményt. Így a noma-függeten végeedmény: sin δ = 2m 2 Ã 1 Összefüggés a potenciá és a fázistoás eőjee között. 0 j (k)v ()R ()d. Vizsgájuk most meg, hogy a δ vonatkozóan. fázistoás eőjeébő ehet-e következtetést evonni a potenciáa A eguáis szabad megodás aszimptotikus aakja, R eg ( ) = im j (k) = sin(k 1 2 π), amibő a szabad megodás nódusainak (csomópontjainak) heyée adódik. A tejes megodás aszimptotikájábó k sz π/2 = 0 sz = π/2k R (a) = R ( ) = Ã sin(k π/2 + δ ) viszont k t π/2 + δ = 0 t = π/2k δ /k = sz δ /k adódik. Mámost tekintsük a (39) ábát, ameyen fetüntettük a eguáis szabad megodásokat (szaggatott vona) és a tejes megodásokat (foytonos vona) vonzó (V < 0) és taszító (V > 0) potenciá esetée. Az ábát tanumányozva nyivánvaó, hogy δ > 0 vonzó, δ < 0 taszító potenciá jeenétée uta. Fontos megjegyezni, hogy δ csak mod π eejéig van meghatáozva, mive peiódikus függvények agumentumaiban fodu eő. Abszoút étékét δ (k ) = 0 ögzíti. Bizonyítás nékü megemítjük, hogy e skáát hasznáva, δ (k = 0) = n π, aho n a V () potenciá áta az ik paciáis huámban étesített kötött áapotok számát jeenti, amennyiben nincs zéus enegián is kötött áapot (Levinson téte). 27

28 Ramsaue-Townsend jeenség. Vonzó potenciá esetén a fázistoás feveheti a π étéket. Ekko a paciáis huám jáuéka a szóásampitúdóhoz (82) étemében zéus. Rövidhatótávoságú potenciá esetén eőfoduhat tehát az az eset, hogy ka max = 0 miatt (aho a a potenciá hatótávosága) csak az s huám ad jáuékot, ugyanakko a potenciá eéggé vonzó ahhoz, hogy δ 0 (k) = π egyen. Ekko a hatáskeesztmetszet zéus: σ tot (k) 4π k sin2 δ 0 (k) = 0. Ez a kvaitatív magyaázata az eekton-nemesgáz atomok szóási hatáskeesztmetszeteiben ev között megfigyet minimumnak, ameyet eőszö Ramsaue és Townsend észet a 30-as évek eején (40. ába) LIPPMANN-SCHWINGER (LS) EGYENLET. BORN SOROZAT. Tekintsük a ] [ 2 2m 2 + V () ψ (+) () = Eψ (+) () (85a) szóási egyenetet [E = ( k) 2 /2m] a im ψ(+) () = e iki + f(ϑ, ϕ) e+ik (85b) hatáfetéte meett. (A huámfüggvényen szeepő (+) index a kifutó aszimptotikáa uta.) Íjuk át a Schödinge egyenetet a ( 2 + k 2 )ψ (+) () = F (+) () (85c) inhomogén aakba, aho az inhomogenitási tag, F (+) () = 2m 2 V ()ψ(+) (), (85d) tatamazza a köcsönhatást is. (85c) fomáis megodása a Lippmann-Schwinge (LS) integáegyenet: ψ (+) () = e iki + 2m 2 aho a G (+) Geen-függvényt a d G (+) ( )V ( )ψ (+) ( ), ( 2 +k 2 )G (+) ( ) = δ( ) 1 (2π) 3 egyenet definiája. (86) e ik ( ) dk (87) Beheyettesítve (86)-ot (85c)-be, (87) kihasznáásáva azonosságot kapunk: ( 2 + k2 )ψ (+) () = ( 2 + k2 )e iki 28

29 + 2m 2 d δ( )V ( )ψ (+) ( ) = ( k 2 + k 2 )e iki + 2m 2 V ()ψ(+) () = F ki () Kimutatjuk, hogy a LS egyenet magában fogaja a szóási hatáfetéteeket is. Ehhez eső épésként kiszámítjuk G (+) ( )-t a eziduum téte segítségéve. Akamazva (87) mindkét odaáa ( 2 + k 2 ) invezét, kapjuk G (+) ( ) = ( 2 + k 2 ) 1 1 (2π) 3 e ik ( ) dk = 1 e ik ( ) (2π) 3 k 2 + k 2 dk = 1 e ik 4π. Az utosó integát kompex kontúintegáási technikáva ehetett meghatáozni, oyan utat váasztva, amey kifutó aszimptotikát biztosít a Geen-függvény számáa. A Geen-függvény eme konkét aakját beíva a LS egyenetbe, kapjuk: im ψ(+) = e iki m e ik 2π 2 () = e iki im m 2π 2 Itt fehasznátuk a következő összefüggést és definíciót: d eik V ( )ψ (+) ( ) d e ik f V ( )ψ (+) ( ) e iki + f(ϑ, ϕ) eik. Q.E.D. ( im k = k ) = k 1 2 / 2 k(1 / 2 ) = k k k k f Meghatáoztuk egyútta a szóásampitúdó integáis aakját is: f ki,k f (ϑ, ϕ) = m 2π 2 d e ik f V ( )ψ (+) ( ) m 2π 2 Φ k f V ψ (+). Ebbő a feíásbó viágosan átszik, hogy a szóásampitúdó annak vaószínűségét fejezi ki, hogy a szóódó endsze (taget+övedék) a kezdeti (i) köcsönható ψ ki áapotbó a végső (f) nemköcsönható, azaz szabad, Φ kf áapotba keü át a V () köcsönhatás eedményeként. Levezetés nékü közöjük a LS egyenet paciáis huámú aakját, amey gömbszimmetikus potenciá esetén évényes: u (k; ) = j (k) + aho a Geen-függvény az edik paciáis huámban: aho > = max(, ), < = min(, ). 0 G (, ) 2m 2 V ( )u ( ) 2 d, G (, ) = kj (k < )n (k > ), A LS egyenet segítségéve könnyen kiépíthető egy, a potenciá hatványai szeint haadó sofejtésen aapuó, közeítő ejáás. Íjuk fe a LS egyenetet szimboikus jeöésse ψ = Φ ki + GV ψ, 29

30 aho GV nemokáis integáopeátot jeö. A baodat foytonosan a jobbodaba heyettesítve, kapjuk a Bon soozatot: ψ = Φ ki + GV Φ ki + GV GV Φ ki +... ψ Bi. A Bon soozatot fehasznáhatjuk (gyenge potenciá, vagy nagy szóási enegia esetén) az emített közeítő számítás kiviteezésée. P. az eső Bon közeítést kapjuk, ha ψ heyett ψ B1 -et hasznájuk. Így p. a szóásampitúdó eső, i. második Bon közeítése i=1 f B1 (ϑ, ϕ) = m 2π 2 Φ k f V ψ B1 = m 2π 2 Φ k f V Φ ki, f B2 (ϑ, ϕ) = m 2π 2 Φ k f V (ψ B1 + ψ B2 ) = m 2π 2 ( Φkf V Φ ki + Φ kf V GV Φ ki ). Másik pédaként a fázistoás eső Bon-közeítéses kifejezését íjuk fe. Kiinduva az integáis epezentációbó, sin δ B1 = 2m 2 0 d 2 j (k)v ()j () COULOMB SZÓRÁS. MÓDOSÍTOTT COULOMB SZÓRÁS. Két, q 1 e és q 2 e tötésse endekező észecske közt ható Couomb potenciá V c = 1 q 1 q 2 e 2 4πε 0 A huámfüggvény aszimptotikus aakja Couomb szóás esetén: im ψ(+) = e iki+in n k( z) + f c (ϑ) aho a Couomb szóási ampitúdó anaitikusan ismet: n f c (ϑ) = 2k sin 2 ϑ/2 e2i(δ eik in n 2k c 0 nn sin ϑ/2), aho n a Sommefed paaméte: n = mq 1 q 2 e 2 4π/ 2 kε 0, ameyben m a két észecske edukát tömegét jeenti és δ c 0 = agγ(1 + in). A Couomb szóás diffeenciáis hatáskeesztmetszete tehát: Ez a jó ismet Ruthefod fomua. n 2 σ c (ϑ) = f c (ϑ) 2 = 4k 2 sin 4 ϑ. 2 A Couomb szóás tejes hatáskeesztmetszete végteen: σ c tot =. Ez annak foyománya, hogy az 1 -es potenciá hosszúhatótávoságú. Még = -ed endben is módosítja a paciáis huámok fázisait, azaz az egymástó távosága evő észecskés hatássa vannak egymása. A paciáis huámoka feít adiáis Schödinge egyenet Couomb potenciá esetén [ 2 d 2 ] + V c () E R () = 0. 2m d m ( + 1) 2 Ennek két ineáisan függeten megodása, az oigóban eguáis, i. ieguáis Couomb huámfüggvény : eg. F (k; ) +1, ha 0; sin(k 1 2 π n n 2k + δc ), ha,, 30

31 ieg. G (k; ), ha 0; cos(k 1 2 π n n 2k + δc ), ha. Itt a Couomb szóás áta okozott fázistoást δ c = agγ( in) jeenti. (A szóás végteen hatótávoságáa uta az aszimptotikus aak agumentumában eőfoduó ogaitmikus tag is). A fenti megodások közismetek, konfuens hipegeometikus függvényekke kifejezhetők, kézikönyvekben megtaáhatók (d. p. Abamovitz). Összefüggés a pozitív és negatív enegiákhoz tatozó megodások között. Íjuk fe a adiáis egyenetet az aszimptotikus ( ) tatományban: ( R = k 2 + 2m ) ( 2 V c R = k 2 + 2nk ) R. Ennek megodása O(1/ 2 ) endben: R ( ) e ±i(k n n ) ni e ik = n e κ, aho az utosó egyenőség je után a k = iκ heyettesítést hajtottuk vége, amey negatív E = k 2 /2 enegiáka vaó áttéés esetén szükséges. Látjuk tehát, hogy a pozitív enegiájú tatománybó a negatív enegiájúba vaó áttéés sima, ezenkívü visszakaptuk a huámfüggvénynek a kötött áapotok esetén megismet exponenciáisan etűnő aszimptotikus aakját. Az, hogy ez az átmenet iyen sima két tejesen küönböző fizikai jeenség (szóás és kötött áapot) között, messze nem magátó étetődő, és a megodások anaitikus tuajdonságát tüközi (d. S-matix eméet, diszpeziós eációk, stb.). Módosított Couomb szóás Amennyiben a V c Couomb potenciá meett még egy övidhatótávoságú ˆV is jeen van, módosított Couomb szóásó beszéünk. Ebben az esetben tehát V = V c + ˆV, ennek megfeeően a szóásampitúdó: s a tejes fázistoás f = f c + ˆf, δ = δ c + ˆδ. Részetes, paciáis huámok szeinti anaízisse megmutatható, hogy ˆf(ϑ) = 1 2ik (2 + 1)e 2iδc (e 2iˆδ 1)P (cos ϑ) aho tehát ˆδ jeenti a övidhatótávoságú potenciá okozta fázistoás (a Couomb potenciá jeenéte meett!). 31