MÉRÉS ÉS MŰSZERTECHNIKA

Átírás

1 MÉRÉS ÉS MŰSZERTECHNIKA 00 DR. HUBA ANTAL BME Mechtrok, Optk és Gépészet Iformtk Tszék Bevezetés A MECHATRONIKA (GÉPÉSZET) ÉS A MÉRÉSTECHNIKA

2 MŰSZERTECHNIKA SZEREPE A MECHATRONIKÁBAN Mechtrok smeretek egymásr épülése tterve: Mechtrok lpj Mechtrok I. Modellezés Elektrotechk Iráyítástechk Elektrok Számítógépes ráyítás Fommechk építőelemek Optk és látóredszerek Optomechtrok Mérés és műszertechk Folymtok mérése Szezortechk Aktuátortechk Mkrovezérlők Mechtrok II. Redszertervezés Kpcsolódó szktárgyk csoportj IDŐBEN VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK MÉRÉSE A MODERN GÉPÉSZETBEN Klsszkus gépészet kérdésfelvetés Előírv: Gerjesztések Mekkorák legyeek gerjesztések, hogy teljesüljeek z előírt meységek? Mechtrok szemléletű kérdésfelvetés MÉRÉS! Tömegek, tehetetleségek Mekkor, és mlye ráyú lesz?, φ, v, Ω,, ε, F, M, AKTUÁTOROK Tömegek, tehetetleségek Mérés (Vsszcstolás) Processzor (szályozó) Előírv:, φ, v, Ω,, ε, F, M, SZENZOROK Előírt értékek

3 NC, CNC pozcoáló redszerek D/A koverter Jelformáló (szályozó) - Jelfeldolgozó PC, vgy mkrokotroller Alpjel (előírt érték) Folymtos távolság mérés CD-fej és lemez között Lecsefogllt leárs motorrl A kvdrás fotódetektor, mt mérőtg Cél z értéktrtás: c d 0 U E 3

4 Időe változó meységek folymtos mérése mechtrok redszereke 4

5 MÉRENDŐ ELÉRHETŐ MÉRT 5

6 GÉPÉSZETI ALAPMÉRÉSEK, METROLÓGIAI ALAPOK Hosszúság mérés PAV. rektorá A rektor fő mérete 6

7 Hosszúság (helyzet) mérés PAV. rektorá A helyzetmérés elv elredezése Mérés feldtok:. Védőcsőlokk. Kosár (fűtőelemek helye) mgsság helyzetéek 3 potos elleőrzése. Előírt mérés zoytlság: m. ± 0, mm (0e-4) Köryezet feltételek: 50 C, rdoktív sugárzás, óros hűtővíz Ks mpltúdójú rezgések értés és vsszhtás metes mérése Demo: DVD Szumkroos mpltúdó trtomáy Összetett felületek letpogtás Lézerféy, Doppler-effektus Szuperpozícó és leegés detektálás terferométer segítségével Optoelektrokus érzékelés és elektrokus dtfeldolgozás Alk. pl.: Krosszér és géprezgések 7

8 Ktektő SZEMELVÉNYEK A A MÉRÉSTECHNIKA TÖRTÉNETÉBŐL Írásos feljegyzések, dőszámítás Ttárlk tálák Kr. e körül (Torm Zsóf) Sumer Kr. e. 300-tól Egyptom Kr.e. 300-tól Kí Kr. e. 000-től Myák Kr. e. 000-től 365 p = év, égyévete szökőp Blo Kr. e. 800-tól Olmékok Kr.e. 00-tól Görögök Kr.e. 776-tól stdo ~ 9,5 m Rómk Kr.e. 753-tól 8

9 A MÉRÉSÜGY A TÖRTÉNELEM TÜKRÉBEN Mt élkül kezdetek kezdeté Sumer Kr.e. 300, Hosszúság - súly - dő 4 hüvelyk = köyök (~0,495 méter), 6 köyök = ád D (ru) ~ 8550 méter csllg-ptár, vízór, p = ór tömeg-etlo: ~ 65 mg-os hemtt súlyok (goszem) 6 M = g, M (~ 0,5 kg) = 60 gr = 80 se K.e. 500 tól terület, térfogt Szl ~0,45 lter G ~35 ár, Sr ~35,8 méter, kör 360, terület (π ~ 3), göm térfogt Ks mezopotám smeretterjesztés (h már egyszer z írás és számolás forráshelye) Kr.e Sumer vrágkor Akkd (350 Srgo) Sumer reeszász (épvádorlás pusztítj el) Ólo Ósszír 749 Hmmur Közép Blo (Klde) Asszír (~600 Nukdecr) Perzs (546 Kürosz,50Dreos) Mkedóok 50 Kr. u. 6 Prthusok (szkíták) Kr. u. 6-tól Róm, Perzs, Ará TÖRVÉNYKEZÉS ÉS MÉRÉSÜGY KAPCSOLATA A RÉGMULTBAN SUMER (Kr.e. k. 300-től) Hogy yugodt lvásod legye, potos mérj, és végezzed mukádt! A legrége, smert törvéyköyv, Ut-Npstm urlkodó (Kr. e. 800 körül) AKKÁD - ASSZÚR - BABILON (Kr. e. k )...h z ökör szd emer fát felöklelve, k hlálát okozz, fél me ezüstöt fzet (Tlo: lo törvéy szellem vezéreszméje osszú Hmmur, Kr.e ) ÓSZÖVETSÉG (Kr.e. k. 00-től) Hátl és potos legye te súlyod, hátl és potos legye z űrmértéked, hogy sokág élj zo földö, melyet z Úr d eked! Móz. V ISZLÁM (Kr. u. 560) Az rglms és köyörületes Allh evée üldözze lsors zokt, Akk cslk súlyokkl és mértékekkel, vlmt zokt, Akk teletöltk mértékeket, mkor másoktól vásárolk, De lecsökketk, mkor mguk s eldk. Korá, 83. szur 9

10 IPARI FORRADALOM KÜSZÖBÉIG 5 MENNYISÉG MÉRÉSE JELLEMZŐ Idő Geom. szög Tömeg Térfogt Hosszúság Természet jeleség lpo Koherec élkül Hely votkozttássl Urlkodók, vezetők ökéye szert Mértékek koherec élkülsége z egyes országok (országrészek!) között. Példák: H Zsgmod (405) : Tömeg, hossz-és űrmértékek Budához gzítv 655-től pozsoy városház mértékek (öl, rsz, rőf, st.) domcáj F 790-g 50-féle fot súlyegység, lá, rőf GB 580 tájá (I. Erzséet) : országos egységesítés ( Imperl mértékek ) VISSZAVEZETÉS TERMÉSZETI ÁLLANDÓKRA : XVIII. SZ. Első jvsltok HOSSZÚSÁG vsszvezetésére: Grel Mouto (Lyo, 670): délkör /460-ed része Chrles Tlleyrd utu- püspök 790: s legésdejű g hossz Frc Tud-. Akdém: Bord, Lgrge, Lplce, etc. Méter jvsltok: Sec-g hossz Egyelítő egyvemllomod része Negyed-délkör tízmllomod része Változk ehézség erő lokáls jellege mtt Nehézkes mérés Párzs délkör: Dukerque- Brcelo Hosszmértékől szármzttv: TÖMEG Lvoser 793: dm³ 4ºC (?) hőmérsékletű víz (m. ς?) tömege kg. 0

11 A méter keletkezése A délkör hosszák megállpításához két dt volt szükséges: Dukerque-Brcelo földrjz szélességéek külösége csllgok állás lpjá: 9º 39 A fet távolság meghtározás >00 háromszögelés pot segítségével A 00 év előtt mérés 0. mm-rel rövdeek állpított meg méter egységét m eszközökkel mérhető értékél, - írj üszké szkrodlom. Eretek godoltok: Vló lye potos méréseket tettek lehetővé korel műszerek és lye stlk voltk geodéz potok? Meyre szályos-e Föld lkj z dott délkör meté? Beszélhetük-e vlós délkörről? (Képzeletel kör, melyek középpotj egyeesk Föld középpotjávl (?), és átmegy z Észk (?) és Dél Srko (?). Nem véletle és redszeres hák éh egymást kompezáló együttes htás eredméyez vló mpoáló ks eltérést? EURÓPA ÉS MAGYARORSZÁG 799. jú..: Etlook (ősmértékek) emuttás törvéyhozás, letéte helyezés Köztársság Levéltár: Méter: plt rúd Klogrmm: plt heger???? 840: Méterredszer törvéyessé tétele Frcország (Ljos Fülöp) 86: Németlföld törvéyt hoz evezetésről 849: Spyolország törvéyese elfogdj z ősmértékeket 847: Bcské Ngy Károly mtemtkus csllgvzsgálójá vsz z eredetleg párzs oszervtórum részére készült méter és klogrmm etlot. A klogrmm jeleleg s megv, méter II. vlágháorú ltt eltűt : Mérésügy törvéy előkészítése 874: Törv. elfogdás Mgyrországo. Kruspér Istvá és Szly Kálmá 870- e újrhtelesít Párzs cske etlookt. 870 Párzs: 5 állm meglpítj Nemzetköz Méterzottságot (Kruspér) 875 Párzs: 0 ország láírj Nemzetköz Méteregyezméyt (Appoy) 907: Törvéy z állm mérésügyről, M.kr.Közpot Mértékügy Itézet 95: Meglpítják z OMH-t

12 NÉHÁNY NEMZETKÖZI SZERVEZET A MÉRÉSÜGYBEN Nemzetköz Méteregyezméy CIM közpot lortórum Sevres-e: BIPM Nemzetköz Súly-és Mértékügy Hvtl feldt Etlook lpskálák létesítése Nemzetköz etlook őrzése, összehsolítás Mérés módszerek fejlesztése Fzk álldók meghtározás Nemzetköz Mérésügy Szervezet OIML segít emzet mérésügy mukáját Metrológ foglmk

13 Fotos foglmk lormérések kértékeléséek segítéséhez (Ks előzetes tyg sttsztk részéől) Mérés sorozt: Azoos meység (méret) smételt mérése ugyzo mukdro. H mérést -szer smételjük, és 0, kkor sorozt szórásák ecslése z átlg szórásávl törtéhet. Soroztmérés: Azoos meység (méret) mérése zoos típusú gyártmáy eltérő drj. SI lpegységek Hosszúság l m Tömeg m kg Idő t s Elektromos árm I A Termod. hőmérséklet T K Aygmeység mol Féyerősség I cd 3

14 Tová fotos foglmk Alpmeység: Megállpodásszerűe egymástól függetleek tektett m. egy dott redszere Szármzttott meység: Alpmeységek függvéyekét defált Mértékegység: Ugyoly fjtájú, más meység gyságák kfejezésére defált kokrét meység Egységredszer: lp és szármzttott egységek összessége Koheres egység: Alpegységek htváyk szorztkét kfejezhető egység, z ráyosság téyező:. Pl. kgm N s Ikoheres egység: Mt fet, de z ráyosság téyező em. Pl: kg9,8m kp s. Mérés eredméy lkj. Várhtó érték (Az smeretle meység mtemtk ecslése, első mometum, leárs átlg) 3. Redszeres hák eredője (Korrekcó: H) 4. Véletle hák eredője (Eredő zoytlság) 5. Megízhtóság (kofdec) szt, és fktor 6. Szórás (A másodk mometum, vgy dszperzó poztív égyzetgyöke) 7. Átlg szórás smételt mérés eseté (mérés sorozt) 8. Sűrűségfüggvéy f() 9. Eloszlásfüggvéy (kumulált vlószíűség) F() 0. Regresszó (Leárs, legkse égyzetek, vlmt Wld módszere) 4

15 A MÉRÉS, MINT MODELLEZÉSI ÉS ISMERETSZERZÉSI FOLYAMAT Összehsolítás A pror smeretek Fzk - techk, vlós, mérhető meységek Modell lpjá Asztrkt felépített leképezés leképezés mérőlác EREDMÉNY modell tesztelése MÉRÉS A modell fomítás MÉRÉS-ÉS MŰSZERTECHNIKA KAPCSOLATRENDSZERÉNEK FONTOSSÁGA y MÉRÉSI EREDMÉNY: H U H k u E KORREKCIÓ (H) ÉS KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁG (U) A modellek, mérés eljárásk, műszerekek és mérés körülméyeek ezeke dötő szerepük v! 5

16 METROLÓGIA (MÉRÉSTUDOMÁNY) MŰSZERTECHNIKA ADATFELDOLGOZÁS Mt kell mér? Hogy mérjük? Mvel mérjük? Körülméyek Mérő személyek HIBAANALÍZIS Hák vzsgált: Eredetük Jellegük Formájuk Hák ecslése Hák kküszöölése Mérés eredméy megdás: Számdttl és mértékegységgel Dgrmml Hsztogrmml (st.) Műszertechk Mérés eljárás Mérés kvtelezése Fzk elv Mérés módszer A műszer működés módj mechk ktérítéses vllmos értéses összehsolító optk értésmetes elektromechkus kompezácós optomechkus külöség optoelektrokus st. Kpcsolódás hlízshez: helyettesítéses Hák osztályozás eredetük szert Mérés dtok feldolgozás A mérőműszer megválsztás Sttkus jellemzők: érzékeység feloldás felotás Dmkus jellemzők: frekvec átvtel eállás dő túlledülés stltás 6

17 M mcsod? Modell vlágos Eljárás fzk elvek vlágos Módszerek jö részletezve Kvtel -Működés mód vlágos -H megjeleés formák (stt., d.) jö MÉRÉSI MÓDSZEREK Mérés módszer (metrológ spektus szert) Ktérítéses A méredő meység áltl, vlmlye fzk kpcsolt révé létrehozott erőhtás műszere megfelelő elleerőt déz elő. Az egyesúly helyzet ekövetkezésekor meységet skál és muttó segítségével olvshtjuk le. Összehsolításos A méredő meységet zoos típusú, smert gyságú meységgel hsolítjuk össze. Kompezácós, vgy ull-módszer A méredő meység értékét z áltl létrehozott változás kegyelítésével állpítjuk meg. H leolvsás műszer muttó 0 állásá törték, kkor z ull-kompezácó. Külöség A méredő meység és egy zoos típusú smert, de ksmértéke eltérő meység külöségéek mérése. Helyettesítéses A méredő meységet zoos típusú, smert értékű meységgel helyettesítk. Eredméyül kjelzett érték változtl mrd, vgy ksmértékű eltérést skál segítségével mérk. Mérőeszköz, péld Mérőór hosszméréshez Forgótekercses műszer Rugós erőmérő Kétkrú mérleg yomték-összehsolítás Mérőléc Hőmérséklet mérése kompezográffl Impedc mérése hídkpcsolássl, ulldetektorrl. Optméter Mérőhsá komácó és mukdr között, ksmértékű külöség mérése. Bord -redszerű mérleg A méredő tömeggel egyeértékű súlyt veszek le mérlegkrról tömeg oldlá. 7

18 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER KITÉRÍTÉSES MÓDSZER 8

19 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER KITÉRÍTÉSES MÓDSZER 9

20 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Nyomás jeltováítók (jelátlkítók) Iduktív útdók Belső mgos, rugós vssztérítésű, tptós duktív útdó: ktérítéses módszer DE: Belső mgos, értés metes duktív útdó: összehsolító módszer KITÉRÍTÉSES MÓDSZER 0

21 KITÉRÍTÉSES MÓDSZER KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Forgtóyomték jelátlkító (yúlásmérő élyeges)

22 ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER MITUTOYO LINEAR SCALE redszer

23 KOMPENZÁCIÓS MÓDSZER 3

24 KOMPENZÁCIÓS MÓDSZER KÜLÖNBSÉGI MÓDSZER Etlo mérése ( ullázás ) Eltérés mérése 4

25 A mérés eredméye Mk mérés eredméy összetevő? A MÉRÉSI EREDMÉNY ALAKJA q q q A mérés csk kkor efejezett, h hszámítást s elvégeztük! Méredő meység Mérőszám (3 részől áll) h Etlo mértékegység H v vlód érték, csk elmélet, mert h smerék, em kellee mérük Helyette:, leolvsott, téylegese mért érték h vgy helyes érték, melyet vl. szám. módszerekkel ecslük. A legvlószíű várhtó érték (μ), vgy z ezt legjo közelítő átlg H smert redszeres hák eredője Elmélete: H = v Gykorlt: H = h zoytl eredetű, véletle hák eredője. Bzoytlság trtomáy. Műszerköyve ± előjellel szereplő h. 5

26 A mérés muk eredméyét dötőe két htípus efolyásolj :. Redszeres hák eredője (Ismert, számíthtó). Véletle hák (Csk ecsülhető, ok és gyság smeretle) M É R É S I H I B Á K O S Z T Á L Y O Z Á S A EREDETÜK SZERINT JELLEGÜK SZERINT FORMÁJUK SZERINT 6

27 MÉRÉSI HIBÁK EREDETÜK SZERINT (Lásd: Műszertechk témköre) Modell há Mérés eljárás há Fzk elv Mérés módszer Mérés kvtelezéséek há A műszer működés módj A mérőműszer megválsztás Mérés dtok feldolgozásák há MÉRÉSI HIBÁK EREDETE PÉLDÁKON BEMUTATVA V MODELL ELJÁRÁS KIVITEL d h 4 H: A mukdr vlós lkj eltér z deáls hegertől, például hordós Elv: mechk H: mérőfelületek z értkezés felület érdesség csúcs fekszeek fel, felület érdesség összevethető mérőeszköz felotásávl Módszer: összehsolító H: tolómérő esetée összehsolító módszerrel mérük, de z Ae-elv em teljesül, zz méredő hosszúság és mérce em esek egy egyeese Mód: értéses H: tolómérő mérőfelülete és mukdr közé szeyeződés került Mérőeszköz: tolómérő Hák: lleés h, osztás hák Mérés körülméye H: forgácsoló megmukálás utá közvetleül törték mérés, mukdr hőmérséklete z előírtál mgs Mérő személy H: fgyelmetleségől dódó leolvsás h 7

28 MÉRÉSI HIBÁK JELLEGÜK SZERINT Durv mérés h Redszeres h Véletle h A h, és hokozók jellemzése "Kugró" érték Áltlá fgyelmetleség okozz, lpvetőe elkerülhető A mérés eljárás és mérőeszköz elv há Elve meghtározhtó, htás kszámíthtó és korrgálhtó A hokok dőe és tére véletleszerűe lépek fel Pl.: zjok, súrlódás hák, köryezet htások, méredő meységek változás A h megszü - tetésée k módj A redszeres hákhoz hsoló, kugró érték kzárásávl./ Töyre redelkezésre állk mérőeszközt gyártó korrekcós dt. H em, kkor hterjedés számítás és klrácó szükséges./ Nem meghtározhtó h mértéke, ee z esete véletle hkét kell kezel Ismételt mérésekkel felsmerhető, kszűrhető Sttsztk módszerekkel fgyeleme vehető: átlgérték szórás kofdec várhtó érték hsttsztk Példák k k k K e k k,, k, Kugró érték K K K ep 3 k e e k,, e e e, e MÉRÉSI HIBÁK FORMÁJUK SZERINT MEGJENENÍTÉSI FORMA IDŐ / FREKVENCIA FÜGGÉSÉBEN Aszolút h H sz h mért érték helyes érték h Trzes h Dmkus h Reltív h H rel Redukált h H red h mért érték százléká % h h m m Potosság osztály H sz v PO % m m Álldósult h Ampltúdó átvtel háj Fázs átvtel háj Mtvételezés h 8

29 Elsőredű műszer dőel jellemző. U(t) Dmkus h Vlód (helyes) kmeet függvéy Trzes h Átmeet függvéy egységseesség emeetre t t t j Elsőredű műszer válsz egység-seesség függvéyre Elsőredű műszer dőel jellemző. U(t) Sttkus h (dőe álldó) U h U 0. 95U U Trzes h (dőe változó értékű) Ut U e t T T t T eá ll A kmeet válszfüggvéye emeet ugrás-szerű változásár (átmeet függvéy) 9

30 A mérés eredméy meghtározás Fotos foglmk lormérések kértékeléséek segítéséhez (Ks előzetes tyg sttsztk részéől) Mérés sorozt: Azoos meység (méret) smételt mérése ugyzo mukdro. H mérést -szer smételjük, és 0, kkor sorozt szórásák ecslése z átlg szórásávl törtéhet. Soroztmérés: Azoos meység (méret) mérése zoos típusú gyártmáy eltérő drj. 30

31 Mérés eredméy lkj. Várhtó érték (Az smeretle meység mtemtk ecslése, első mometum, leárs átlg) 3. Redszeres hák eredője (Korrekcó: H) 4. Véletle hák eredője (Eredő zoytlság) 5. Megízhtóság (kofdec) szt, és fktor 6. Szórás (A másodk mometum, vgy dszperzó poztív égyzetgyöke) 7. Átlg szórás smételt mérés eseté (mérés sorozt) 8. Sűrűségfüggvéy f() 9. Eloszlásfüggvéy (kumulált vlószíűség) F() 0. Regresszó (Leárs, vlmt Wld módszere) MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA EGYETLEN MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN: Eredméy y H t s Bzoytlság, m z eljárás és kvtelezés hár vezethető vssz. (Szűkee értelmezve műszer zoytlság). Leolvsott érték Eredő redszeres h (korrekcó) Megízhtóság (vlószíűség szt) fktor 3

32 MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA TÖBB MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN, A TÍPUSÚ BECSLÉSSEL: Eredméy y H t s H t s Sorozt átlg, vgy soroztok átlgk átlg Eredő redszeres h Átlg szórás Megízhtóság szt fktor MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA TÖBB MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN B TÍPUSÚ BECSLÉSSEL, U.N. KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁGGAL*: Eredméy Sorozt átlg y H U H t Eredő redszeres h k u j j Megízhtóság szt fktor Kterjesztett zoytlság 3

33 KÉRDÉSEK A KÉPLETEKRE VONATKOZÓAN: A két képlete eddg egy összetevőt smerük fel: Redszeres hák (eredetük, jellegük és formájuk) Tová foglmkt kell tsztázuk következőke: Eredő h (hterjedés) Vrc, szórás Várhtó érték, átlg Átlgok szórás Megízhtóság tervllum (szt) A MÉRÉSI ADATOK STATISZTIKAI RENDSZEREZÉSE ELŐTT NÉHÁNY ELŐKÉSZÍTŐ LÉPÉSRE IS SZÜKSÉG VAN (KÖV. DIÁK) MÉRŐMŰSZER LEOLVASÁSA A mérés eredméyét áltlá y tzedes jegyre kerekítve kell megd, mlye potos mérőműszert le tudtuk olvs. Átlg, szórás, kofdec tervllum megdás (számítások eredméye), legfelje tzedes jeggyel hossz lehet. 33

34 KEREKÍTÉSI SZABÁLYOK A felesleges számjegyeket elhgyjuk, megmrdókt kerekítjük. Elhgyott jegy Megmrdó jegy Példák < 5 Nem változk > 5 Eggyel ő = 5, de utá v még értékes jegy = 5 és megmrdó jegy pártl = 5 és megmrdó jegy páros, vgy ull Nem változk ABSZOLÚT GYAKORISÁG ÁBRÁZOLÁSA HISZTOGRAMON. qr =0 Δ r

35 ABSZOLÚT GYAKORISÁG ÁBRÁZOLÁSA HISZTOGRAMON. qr =40 Δ Láthtó, hogy ésszerű lesz q r / árázolás, mert övelésével z ordát z egeke ő! r Késő lát fogjuk, hogy egy oly q r / f() függvéyt célszerű keres, mely vrás -re és Δ-re, és ez lesz reltív gykorságól szármzttott sűrűségfüggvéy! AZ ELSŐ STATISZTIKAI TAPASZTALATOK : ÁTLAG SZÓRÁSA Azoos körülméyek között megsmételt k számú mérés sorozt elvégzése utá mde sorozt eleme szórk sját átlgértékük körül. Az átlgértékek vszot ugycsk szórk z átlgok átlg körül, ár eek szórásk mértéke ylvávló kse. A várhtó értéket z átlgok átlg jo közelít, mt egyetle sorozt átlg. Az átlgok ugycsk ormál eloszlást muttk. Az átlgok átlg: k k j j H em szereték (em tudjuk) k mérés soroztot elvégez, vjo lehetséges-e egyetle, elvégzett mérés sorozt szórásáól megecsül zt, hogy sorozt k-szor megsmétlése eseté mekkor lee z átlgok szórás? 35

36 Hogy vszoyul egymáshoz egyetle mérés sorozt szórás és k mérés sorozt átlgák szórás? Egy elemű mérés sorozt szórás: s s Az átlg vrcáj (szóráségyzete) és szórás: Ezek vlószíűség változók kár átlgok s lehetek! D D D s D D D... D D D... D s Az átlg gdozás k Átlg sűrűségfüggvéye k Sorozt sűrűségfüggvéye A MÉRÉSEK SZÁMA ÉS A SZÓRÁS A későeke lát fogjuk, hogy mérés eredméyek 99.7 % vlószíűség szt mellett, z átlg körül ±3s trtomáyo elülre esek. Lehet egyetle sorozt szórásáól s következtet k sorozt szórásár. Előzőeke láttuk, hogy k sorozt szórás z összes mérés dt (összes elem eseméy) szórásák -ed része. Fotos gykorlt következtetés: A zoytlság csökketése érdekée érdemese szórás csökketésére töreked ( mérések godos kvtelezésével), mt mérések számát övel! 36

37 Mérés és vlószíűség számítás Okság törvéye A jeleségeket okok redszere hozz létre. H z okok mdegykét fgyeleme lehete ve, jeleség lefolyás zokól egyértelműe levezethető, kszámíthtó vol. Mvel ez lehetetle, z esetek túlyomó töségée jeleségeket véletleszerűek evezhetjük. 37

38 OKSÁG TÖRVÉNYE KAUZÁLIS SZKÉMA H feltételek összessége feáll, kkor z eseméy ekövetkezk. Műszk péld: V A A külöségtétel csk sját fogytékos smeretek mtt, esetleg célszerűségől szükséges. SZTOCHASZTIKUS SZKÉMA A htótéyezők szám oly gy, és oly oyolultk z összefüggések, hogy ezeket vgy em lehet szám ve, vgy ktűzött feldt megoldás érdekée ez em s szükséges. A folymt fő jellemzője véletleszerű tömegjeleség. Műszk péld: Ágyúgolyó ecspódás helyéek meghtározás Vlószíűség számítás foglm méréstechká Vlószíűség változó méréstechká: mérés dt (elem eseméy) Ismételt mérésél véletle gdozást mutt, külööző tervllumok eső értékeket meghtározott vlószíűséggel vesz fel. Lehet folytoos, vgy dszkrét változó. Gykorság: A mérés sorozt szereplő zoos mérés dtok szám Gykorság árázolás dgrmo: Hsztogrm 38

39 Vlószíűség számítás foglm méréstechká Reltív gykorság: Az zoos mérés dtok előfordulásák szám osztv z összes mérések számávl (lpsokság). Osztály sorolás: Vlmey mért dtot trtlmzó tervllum (terjedelem) felosztás zoos szélességű rész-tervllumokr. Az egyes tervllumok eső dtokt egyetle értékkel, z osztályközéppel helyettesítjük. Az egyes osztályok szereplő dtok gykorságát q r -rel jelöljük. Terjedelem: A mérés sorozt tlálhtó szélső értékek között külöség: R m m Vlószíűség méréstechká: H mde, egy mérés sorozt szereplő dt függetle egymástól, és előfordulásuk zoos mértéke lehetséges, kkor egyetle mérés dt A előfordulásák vlószíűsége P(A): P( A) k: kedvező esetek szám (tt vzsgált mérés dt) : z összes mérések szám k/ z eseméy (dt) reltív gykorság k P(A)=0 lehetetle eseméy P() ztos eseméy A 0 P 39

40 A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉSE 654. júl. 9. Pscl egy Fermt-hoz írt levéle vlószíűség számítás első tudomáyos géyű tárgylás olvshtó Az első vlószíűség defícók Beroull: A vlószíűség oly zoyosság fok, mely úgy vszoyul teljes zoyossághoz, mt rész z egészhez. Lplce: Azoos vlószíűséggel ekövetkező eseméyek eseté Kedvező eseméyek szám P Összeslehetséges eseméy szám Guss, Posso, Mrkov st. A legfotos véletle folymtok és vlószíűség eloszlások kuttás. 933 Kolmogorov A vlószíűség elmélet hlmzelmélet lpoko yugvó omtkus meglpozás. A vlószíűség e szert egy eseméyhlmzr ormált mérték. Mérés sorozt kértékelése és z eloszlás próáj 40

41 Mérés dtok feldolgozás dt csoportosítássl (osztályok) és élkül R R LF 3. LA LF 3.7 L A s E s E q MÉRÉSI ADATOK FELDOLGOZÁSÁNAK ÖSSZEFOGLALÁSA s 3 A Csoport sorolássl q r r m q r r r m r s qr r... 3 s 0 k r r r f s k k k k 3... k k k s k s eredő H szórás közelítőleg zoos: eseté M Függetle soroztokr: s s... sk s s... s s s Ld: 63. kép Az átlgok átlg: k k f d k 4

42 HISZTOGRAMTÓL A SŰRŰSÉGFÜGGVÉNYIG Célszerűség: Az dtok számák övekedése e okozz z ordát hosszák övekedését. Az egyes osztályokhoz trtozó részhlmzokt votkoztssuk teljes lpsokságr: qr Így hsztogrm ordátáj már csk ttól függ, hogy mlye szélesre válsztjuk Δ trtomáyt. Kétszeres Δ mellett hsztogrm oszlop s megközelítőleg kétszeres lesz. Fordított helyzet, h z tervllumot szűkítjük. P r Emlékeztetőül: qr =40 Δ r

43 A hsztogrmtól folytoos sűrűségfüggvéyg rjz qr / Dszkrét, reltív gykorság (hsztogrm) P d f d d f () Folytoos vlószíűség sűrűség függvéy f qr P lm lm 0 0 P f d F f() vrás -re és -re! Átlgérték Dszkrét változó eseté Dszkrét és folytoos változók Vlószíűség jellemzők számításák összehsolítás: Folytoos változó eseté s k Szóráségyzet (vrc, dszperzó) Dszkrét változó eseté: VIGYÁZAT! A tpsztlt szórás: s Folytoos változó eseté q k r r r P k f r k k q f Vr M ( ) r f r d r r r r M f d f STANDARD ELTÉRÉS: s vgy ζ d 43

44 Jellegzetes sűrűségfüggvéyek f() Alklmzás Normáls eloszlás (és Stdrdzált ormáls eloszlás) Bomáls eloszlás f f e p p h 0,,,..., máskét 0 Közpot htárérték tétel: Sok, tetszés szert eloszlású vlószíűség változó összege ormáls eloszlást d. Pl.: Mérés dtok eloszlás Kockjáték, szúrópró Jellegzetes sűrűségfüggvéyek f() Alklmzás Possoeloszlás f e! 0 h 0,,,... h 0 Rtk eseméyek szám gyo tervllum Logrtmkus ormáls eloszlás f 0 e l h 0 h 0 Vállltok forglm, élettrtm szélsőségese gy géyevételekél 44

45 Jellegzetes sűrűségfüggvéyek f() Alklmzás Epoecáls eloszlás f 0 e 0 0, 0 Nem öregedő termékek élettrtm Weulleloszlás f 0 e - Öregedő termékek élettrtm, ygkfárdás Közpot htáreloszlás tétel: A NORMÁL ELOSZLÁS EREDETE Ngy számú, függetle vlószíűség változó külööző eloszlásk összege közelítőleg ormáls eloszlású, h z egyes tgok értéke kcs teljes összeghez képest. A metrológá eek zért v gy jeletősége, mert mérés hák sok, egymástól függetle zvró téyező htásár lkulk k. Megjegyzedő, hogy em mde htáreloszlás ormáls típusú. A ormál eloszlás lpgodolt: Hfüggvéy f(δ) 0 =δ 0 =0 δ 0 : várhtó érték (mmáls vlószíűségű) Feltételezés: A hfüggvéy szmmetrkus, zz poztív és egtív előjelű eltérések előfordulás vlószíűsége zoos. Korá defícó lpjá sűrűségfüggvéy z eloszlásól számíthtó: P( ) f ( ) P( A ) f d 0 45

46 Az A eseméy értelmezése: A P A P A P A P H z A eseméy függetle, kkor z összes eseméy (tt: h) együttes ekövetkezéséek vlószíűsége z elem vlószíűségek szorztáól dódk: f d m 0 A közös várhtó érték legjo közelítését P m ( 0 ) esetée kpjuk. Logrtmus lklmzásávl egyszerű szélső érték keresés, mert szorzásokól összegzés lesz: Eredméy: A kostsok meghtározás utá ormál eloszlás sűrűségfüggvéye: f d d 0 l f d 0 f c e c ep 0 f c 0 e Prméterek: μ (várhtó érték), ζ (szórás) c 0 NORMÁL ELOSZLÁS NORMALIZÁLT NORMÁL ELOSZLÁS F( ) k vlószíűsége, hogy F P változó értéke F f d Normál eloszlás sűrűségfüggvéye: f e A prméterek emprkus (gykorlt) esete: s s Az értékek egyszerű, táláztos formá törtéő megdhtóság érdekée áttérés egy prméteres, ormlzált ormál eloszlás függvéyre: u u d du F u e du e du Fet eloszlásfüggvéyől ormlzált sűrűségfüggvéy s szármztthtó: f u u e 46

47 P f d F % f() f(u) Normált ormál eloszlás Sűrűségfüggvéy és kumulált vlószíűség függvéy, zz eloszlásfüggvéy szemléltetése μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ u F() F(u) = = = μ-3σ μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ u A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MÓDSZEREINEK ALKALMAZÁSA A MÉRÉSTECHNIKÁBAN A MÉRÉSI BIZONYTALANSÁG SZÁMÍTÁSA HIBAINTERVALLUM MEGBÍZHATÓSÁGI SZINT SZÓRÁS A MÉRÉSI SOROZAT HOSSZÁNAK HATÁSA 47

48 PÉLDÁK A NORMÁL ELOSZLÁSRA. Előírt értékkel v megdv véletle h tervllum. Mekkor P vlószíűséggel esek mérés eredméyek megdott hhtárok közé?./ P(μ-σ μ+σ) =? P F F Átlkítás u-tól vló függésre: Továá: P F P P P u F() F( ) F() F F u P 68.7%./ P(μ-σ μ+σ) =? P F F Átlkítás u-tól vló függésre: Továá: P F P P P u F() F( ) F() F F u P 95.45% 48

49 c./ P(μ-3σ μ+3σ) =? P 3 3 F 3 F 3 Átlkítás u-tól vló függésre: Továá: P F P P 3 3 P u 3 F(3) F( 3) F(3) F3 F u P 99.73% Az F(u) tálázt szmmetráj mtt dódó feldtok Írjuk le mtemtk yelvé, h véletle eseméyek (pl.: hák) várhtó érték körül szmmetrkus szóródk s=μm értékkel és 99% (P=0,99) vlószíűséggel kívájuk megd z eredméyt: P u s H u s 0,99 A ormált ormáls eloszlás u értéket trtlmzó tálázt zo mtemtk defícó értelmée dj vlószíűségeket, és ez z tegrálás szmmetrkus: P f d Azz k P vlószíűségét, hogy z vlószíűség változó (- < ) trtomáy esk, z F() eloszlásfüggvéy (= ) helye vett értéke dj meg. Tehát, h fet feldt megoldás köze szmmetrzálás élkül vesszük fgyeleme tálázt értéket, komoly számítás hát véthetük: P H u s 0, 99 Táláztól: P u szm F ( u) 0,9900, 33 3 H,330 mm 0, 99 49

50 Szmmetrzáljuk F( u) P( u H u ) 0,99 feldtot: F( u) F( ufelső ) F( ualsó ) F( uf ) F( uf ) F u F u Így már z előzőtől eltérő, helyes értéket kpjuk: P szm F 0,99 F( u F 0, 995 u szm F ( u) 0,995, 58 u F (,580 3 mm H,580 3 mm) 0,99 F ) Hsolítsuk össze zoytlság trtomáyt z előzővel! Érdekes ugykkor megfgyel, hogy vlószíűség csekély övelése mlye htássl v zoytlság trtomáy gyságár? 0,9973 F( u F ) 0,99865 u szm F ( u) 0,9973 3, 0 P szm ( 30 3 mm H 30 3 mm) 0,9973. Ismert mérés eljárás (t..: elv és módszer), vlmt kvtelezés szórás várhtó érték körül ζ. Egyetle mérés lpjá z eredméy mekkor h-tervllumml dhtó meg, h 99 % ztosággl (kofdec) kruk eljár? A felotás 0. μm, tpsztlt szórás s= μm, várhtó érték μ= mm Szmmetr, lletve tálázt-prolém: A tálázt közvetleül P(- uζ) vlószíűséget dj meg. A feldt változó trtomáyát várhtó érték körül szmmetrkuskét értelmez. Aho: F u Fu F Fu A Fu F Fu F Fu F F u 0.99 u A vlószíűség szt csekély övelése (+0.73%-kl, 99.73%-r) jeletős változást okoz zoytlság: A kszámított eredméy megdásák formá P=99 % esetée: A kszámított eredméy zoytlság ő, h megízhtóságot öveljük P=99.73 % - r: F F uf Fu F uf 3.0 Tehát há kcs szórás és potos y mm 5.0mm.6m leolvsás! y ;5.006mm H csupá egyetle 3 y mm mérésől krjuk y mm 5.0mm 3m megd lehető legztoságos y 4.997;5.003mm ecslést, kkor 3 y mm zoytlság trtomáy lesz gy. 50

51 Tö, egymást követőe elvégzett mérés sorozt eredő szórás smert. Hogy függ, és mekkor mértéke z átlgok háj mérés sorozt hosszától? A megízhtóság szt legye 99%, és legye s=0-3 mm. u s H A h mdkét előjellel előfordulht, így vlószíűség trtomáy szmmetrkus, tehát: Pu s H u s 0,99 A számítás egyszerűsítése érdekée máskét foglmzv: Mekkor vlószíűsége k, hogy h kívül esk z tervllumo? 0,99 0,0 szmmetr 0,005 ezzel: F( u u ) 0,005 0,995, Végül: P,580 mm H,580 mm P, mm H,580 mm A h gyságák változás mérés sorozt hosszák függvéyée H tervllum félszélessége [mm] A h csökkeése Vszoyítás: =,58 0-3, ,7 3, ,578 4, ,5 5, , , , , , , (~6 m) 0,0 5

52 Adott mérés hkorlátj Δ = ± 0-4 mm, és kétféle s szórás (s =Δ), vlmt (s =0Δ). Háy mérést kell elvégez hhoz, hogy z eredméy 99% vlószíűséggel hkorláto elül mrdjo? A megdott vlószíűség szt szmmetrkus elosztv: P( u s 0 4 mm H u s ) 0,99 0,99 0,0 0,005 F u 0,005 0,995 A táláztól: u, 58./ H tehát szórás hhtárrl megegyező, kkor mérések szám:,58 s mm H 0 mm 0, ,6./ De h szórás hhtár tízszerese, kkor szükséges mérések szám ő(!):,58 s mm H 0 mm 3 0, SZÓRÁS BECSLÉSE A TERJEDELEMBŐL Gykorlt segítség szórás gyors közelítésére, h k mérés soroztot végeztük soroztokét számú méréssel: Terjedelem: R =,m,m Átlgos terjedelem: R k k R A() Szórás ecslése z átlgos terjedelemől: S R A R 5

53 KÖZVETETT MÉRÉS EREDŐ HIBÁJA részeredméyől tevődk össze mérés eredméye: y f,... Például fjlgos elleállás meghtározás: A U A R I Ideáls esete: = 0 és így y f, 0, ,... 0 mért -edk jellemző helyes ( vlódt em smerjük) értéke, melyet kellőe gy számú mérés átlgértékével ecslük. Hávl terhelt mérés (vlóság) esetée: X d 0 H,,... Feldtuk megkeres y 0 zo dy 0 változását, mely zért lép fel, mert helyett volt mérésük eredméye: 0 Kvtelezés: Ilye típusú feldtok megoldásár szolgál prcáls derválás! y dy y d... X X 0,... 0 X0,... X 0 d (Tylor sor elsőredű tgjól) A prcáls dervált értéket 0 helye htározzuk meg. KÖZVETETT MÉRÉS EREDMÉNYÉNEK SZÓRÁSA Vlmey részeredméyt redszeres és véletle hák terhelek. A redszeres hákt korrekcó vesszük fgyeleme, véletle hákt szórásuk jellemz: Levezetés élkül: H z,,...,... változók egymástól függetleek, kkor kszámíthtó közvetett mérés eredméyéek vrcáj (szóráségyzete): f... f... y Vr f... Vr... Vr Fetekkel z eredő tpsztlt szórás áltláos hszáltos meghtározás: s y f,... f sx,... s... X Csesev tétele szert ez optmstá, és egye vlósághoz közel ecslést d, mt hterjedéssel számított szolút, vgy reltív h. 53

54 Aszolút és reltív hák terjedése közvetett mérésél (A hák htás z eredméye)./ H végeredméyt ddtív kpjuk részeredméyekől: y = + z Eredő szolút h: y y y z z ± előjel zt muttj, hogy z eltérés mdkét ráy felléphet, részeredméyek há súlyfktorokkl terhelve összedódk, esetüke: y ( z) z z z y y z Eredő reltív h: z y z z z z A két részeredméy egymáshoz vló kpcsolták emuttásár z összefüggés számlálóját és evezőjét osztottuk -szel. A reltív h képlete jól muttj, hogy z esete, h végeredméyt két érték külöségekét kpjuk, és számértékek közel állk egymáshoz, ge veszélyes lehet ez mérés és számítás módszer!./ H végeredméyt szorzássl, osztássl, vgy htváyozássl kphtjuk: Eredő szolút h: Eredő reltív h: y y y z y z m mz m m z mz m m z m 0 0 m, z z z m z Összegezhetjük, hogy z szolút érték mtt, mdkét függvéy-típus esetée pesszmsztkus eredméyt kpuk. Csesev gzolt, hogy z eredő h számítás sorá reáls eredméyhez jutuk, h rész-hákt véletle hkét fogjuk fel, és hák égyzetösszegéek gyökével számoluk. AJÁNLOTT MÓDSZER KÖZVETETT MÉRÉS HIBÁJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA: A redszeres hákt korrekcókét vesszük fgyeleme A részeredméyek szórásól eredő szórást számoluk 54

55 PÉLDÁK A KÖZVETETT MÉRÉS BIZONYTALANSÁGÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA. Heger űrtrtlmák meghtározás hosszmérésekkel: y f h D V, 4 Elv okokól számításokhoz mdkét, -szer megsmételt hosszmérés dtól dódó legjo ecslés értéket, zz z átlgot hszáljuk fel. Ugycsk meghtározhtó mdkét mérés szórás s, m egye z eljárást és kvtelezést s mősít. s s h s s D h h D D,, 4,, D h V f h D D V f 4 s D s h D s h D y Eredő mérés zoytlság:. Görület sugrák mérése szferométerrel: R R R R R R R R s s s R A mérés eredő zoytlság: Számítások mérhető meységekől: s s Az f sík és lecse felülete között távolság méréséhez síküveglpot hszálk. Az méret és szórás gépköyve tlálhtó, esetleg mér kell. R- f

56 A HIBA RENDSZÁMA H smert h okozój és h között függvéykpcsolt, és ez utó rádásul gyors kovergáló htváysor fejthető, kkor hát redszámávl s tudjuk jellemez. f Megfotolások:. Jó műszerkostrukcó eseté ks hávl számolhtuk. Gyors kovergec eseté gz, hogy + «Ak eldötésée, hogy melyk htváyú összetevő hgyhtó el, mérök tpsztlt segít. A h redszámát htváysor még fgyeleme vett tgják ktevőjével djuk meg. Alklmzás péld: ABBE ELV K volt Erst Ae? Kpcsolt Crl Zess-szel, és mtemtk mukásságák htás tudomáyos műszerkostrukcó teré. Crl Zess mág htó szelleme: Tőkés mgátuljdo helyett lpítváy form mde Zess üzeme. Élete át trtó képzés, szocáls háló. Ae elv Összehsolító módszer, vlmt közvetle mérés strtég eseté, feldt megoldásához redelkezük kell egy osztásos mércével. Ae elve: A mérőeredezés kostrukcój legye oly, hogy mukdr méredő mérete és z osztásos mérce egy egyeese esse. Szemléletes példáj eze elv érvéyesüléséek vízsztes és függőleges Ae komprátor. H7/g6 (f6) ~ 0 30 μm l h F Péld z Ae elv e em trtásár (szükséghelyzet): Tolómérő s l l h h h s tg Hfüggvéy (ok-okozt): 3 h s l h φ«z llesztés jóvoltáól, ezért csk z első htváy mrd: A h elsőredű. 56

57 DIGITÁLIS KIJELZÉSŰ MŰSZEREKEN LEOLVASOTT ÉRTÉKEK SZÓRÁSA Közvetett A/D koverzóvl (átlkítássl) dolgozó mérőeszközökre jellemző z u. dgtáls mrdék-h, melyek értéke t. A közvetle A/D koverzó kvtálást (sztekhez redelést) jelet md z mpltúdó értékre, md pedg z dőre ézve (mtvételezés). A kvtálás mtt jelszteket egy dott trtomáy zoos értékűek vesszük, eől következk, hogy egy kvtum teljes trtomáyá téyleges érték végg zoos vlószíűséggel léphet fel. (t) *(t) t t f() z z - - z/ + z/ + (t) = EGYENLETES ELOSZLÁS DISZKRÉT ESETBEN Dszkrét vlószíűség folymt esetée (pl.: kockdoás) vlmey elem eseméy ekövetkezéséek vlószíűsége zoos: P() / P 6 f() EGYENLETES ELOSZLÁS FOLYTONOS ESETBEN (-) - F() f ( ) 0 máskét 57

58 Várhtó érték (átlg): d d f 4 ) ( ) ( d d d f d f FOYTONOS, EGYENLETES ELOSZLÁS STATISZTIKAI JELLEMZŐI Vrc (szóráségyzet): ) ( ) ( ) )( ( ) ( 3 3 ) ( ) ( ) )( 3( ) ( Alklmzás dgtáls kjelzésű műszerekre: A várhtó érték kjelzett értékkel esk egye: z z M A szórás legkse helyértékek megfelelő dgt ~9 %-: z z 3 A gykorlt egy dgtáls tolómérőre votkozttv: Osztásköz: z=0,0 mm s m 3 3 0, ,0

59 KALIBRÁLÁS Elkészült z új műszer! Ismeretle műszer Rége volt már hszált műszer Mlye krktersztkáj? M klrálás (K), és m htelesítés (H)? NEMZETKÖZI ETALON leszármzttás NEMZETI ETALON OMH vsszvezetés H REFERENCIA ETALON Legjo eszköz z dott lor HASZNÁLATI ETALON K HASZNÁLATI ETALON Htelesítés: M klrálás, és m htelesítés? Htóság tevékeység, melyek célj k elírálás, hogy mérőeszköz megfelel-e mérésügy előírásokk? Eredméye ge/em. Csk z OMH és z kkredtált lortórumok végezhetk! Klrálás: Nem htóság tevékeység, de elve csk kkredtált lortórumok végezhetk. Azo tevékeységek összessége, melyek sorá meghtározott feltételek mellett hszált etlo és mérőeszköz között összefüggést keresk. Eek eszköze regresszó lízs. Célj lehet állpot-felmérés, vgy műszerjellemzők meghtározás. Megj.: Rége jusztírozást s klrálásk tektették, ez em törvéyes! A joghtássl járó mérés tevékeység mdg vsszvezethető és leszármztthtó: Példák: Orvos méréstechk, gépjármű seességmérés, térfogt, tömeg, st. 59

60 LINEÁRIS REGRESSZIÓ. LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (GAUß) A dszkrét mérés potok lpjá ezzel módszerrel kkor lehet közelítő függvéyt keres, h z egyk változó mérése precízee törtéhet, vgy potos előírhtó. Ez áltlá megfelelő godossággl elvégzett klrálás eseté áll fe, h leárs kpcsoltot feltételezük. X e Ismert potosságú műszere leolvsott értékek X k Klráldó műszere leolvsott értékek Fotos! Mdkét változó véletleszerű, tehát sztochsztkus változó. A közöttük lévő, véletletől s függő kpcsoltot korrelácók evezzük. Ld.: következő d Megjegyzés: H mdkét változó jeletőse gdozást, zoytlságot mutt, kkor Wld módszere (éh kolozsvár mtemtkus) jálott. y h, y X k =y - m + Guß ezt módszert z lák mtt jvsolt: potok szám mtt feldt túlhtározott h változó előjelű (+,-) szélsőérték kereshető (derválás) δ X e = y h y yh y m y δ -edk helyes érték -edk mért érték -edk h klrácós lépések szám Ismeretle, elmélet (regresszós) függvéy, tt: egyees (leárs kpcsolt) Adott -hez trtozó y várhtó értékét y regresszóják evezzük. m m: A feldt tehát szélsőérték keresés Megjegyzés: H potok em egyees köré csoportosulk, kkor prolkus, hperolkus, vgy epoecáls regresszót célszerű lklmz. 60

61 Szélsőérték keresés: 0 m m m y y m f/ m: y m zz m y 0 f/ : y m zz m y 0 y m y m Az m -re és -re megolddó leárs egyeletredszer: Vgy célszerűe mátros lk: y y m m és meghtározás Crmer - szállyl egyszerű, mt mátrvertálássl! y y M m A keresett m és prméterek mátregyeletől: Lépések Crmer - módszerrel: M M det././ Számláló m esetée: 3./ Számláló esetée: y y y y y y y y Végeredméyül: y y m y y A mért potokól számítások jól gépesíthetőek

62 WALD MÓDSZERE ALKALMAZÁSA: H mdkét változót zoos, vgy hsoló mértékű zoytlság terhel. ELJÁRÁS:. A mért érték párokt sor redezzük. Lehetőleg mérés trtomáy két végéek köryezetée végezzük méréseket. A hlmzt két részre osztjuk, és mdkét részhlmz súlypotját képezzük.. A két súlypotot összekötve regresszós egyees meredekségét kpjuk. 3. A teljes hlmz S súlypotják kszámítás utá. pot kpott egyeest z S súlypot toljuk el. y= k S X X S S X X=X e 6

63 A két részhlmz súlypotják meghtározás: k j y k j k j k jk y k y j j k y j jk A regresszós egyees meredekségéek számítás: y y A teljes hlmz súlypotjá átmeő egyees és z ordát metszéspotj meghtározhtó: j j y y y j j Végül regresszós egyees egyelete: y KORRELÁCIÓ Céluk k megvzsgálás, hogy mért és hozzá trtozó y értékek között v-e leárs összefüggés? y Átlgok: y A mért értékek és z átlguk között külöségeket -dmezójú tére elhelyezve: X,,... Y y y y y,... y y A vektor-tére ugys egyszerű kpcsolt értelmezése, mert h két vektor egymássl φ szöget zár e, kkor szög gyság jellemezhetjük zt. A két vektor között hjlásszög cosus- - és + között mozoght, ezt evezzük r korrelácós fktork../ φ=90º, kkor cs közöttük leárs függés./ φ=0º, kkor v l. kpcsolt, két vektor egymásk kosts szorzóvl y= 3./ φ=80º, kkor v l. kpcsolt, két vektor között egtív kosts szorzóvl y= - 4./ φ 0º, ll. φ 80º kkor l. kpcsolt, de v egy korrekcós tg e y= + e, hol e 0, 63

64 X és Y vektor szorzt: Behelyettesítve: X Y X Y cos X Y X Y y y cos r y y cos r H r=, kkor fet egyeletől s megkphtjuk regresszós egyees egyeletét. Kérdés, mekkor értéke, h φ=0º? A korrelácó lpjá Végül: X Y másrészt X Y X Y Y X Y X Y Y X X X X X lletve zz y X X=Y X Y X X y y y A kofdec és korrelácó kpcsolt z elemszám függvéyée 64