Veszprémi Egyetem. M szaki Informatikai Kar. Számítástudomány Alkalmazása Tanszék. M szaki informatika szak DIPLOMADOLGOZAT

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Veszprémi Egyetem. M szaki Informatikai Kar. Számítástudomány Alkalmazása Tanszék. M szaki informatika szak DIPLOMADOLGOZAT"

Átírás

1 Veszprémi Egyetem M szaki Informatikai Kar Számítástudomány Alkalmazása Tanszék M szaki informatika szak DIPLOMADOLGOZAT Egzakt linearizációs szabályozó struktúra kiválasztása MIMO rendszerekre gráfelméleti módszerekkel Bujdosó Tibor Témavezet : Dr. Hangos Katalin Veszprém 2004.

2 i Nyilatkozat Alulírott Bujdosó Tibor, diplomázó hallgató, kijelentem, hogy a diplomadolgozatot a Veszprémi Egyetem Számítástudomány Alkalmazása tanszékén készítettem mérnökinformatikus diploma (master of engineering in information technology) megszerzése érdekében. Kijelentem, hogy a diplomadolgozatban foglaltak saját munkám eredményei, és csak a megadott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. Tudomásul veszem, hogy a diplomadolgozatban foglalt eredményeket a Veszprémi Egyetem, valamint a feladatot kiíró szervezeti egység saját céljaira szabadon felhasználhatja. Veszprém, május 13. Bujdosó Tibor

3 ii Köszönetnyilvánítás Legel ször témavezet mnek, Dr. Hangos Katalinnak mondok hálás köszönetet a gondos irányításért, és a sok támogatásért, amellyel munkámat, fejl désemet segítette. Köszönettel tartozom szüleimnek, hogy tanulmányaimat sok esztend n át minden erejükkel segítették. Hálás vagyok Németh Erzsébetnek, aki munkámat sok hasznos tanáccsal segítette.

4 iii Tartalmi összefoglaló Egzakt linearizációs szabályozó struktúra gráfelméleti módszerekkel történ kiválasztását vizsgálom ebben a diplomamunkában nemlineáris MIMO rendszerekre. Egzakt linearizáció alkalmazásával lineáris szabályozóval szabályozhatunk egy SISO nemlineáris rendszert úgy, hogy a nemlineáris rendszerhez találunk egy olyan alkalmas statikus nemlineáris állapotvisszacsatolást, amivel elérhetjük, hogy a rendszer lineáris legyen az új bemenet és az eredeti kimenet között. Ha egy MIMO nemlineáris rendszert szeretnénk ezzel a módszerrel szabályozni, akkor a MIMO rendszert szét kell vágnunk olyan részrendszerekre, amelyek teljesítik az egzakt linearizáció relatív fokszám feltételét. Ehhez felhasználom a nemlineáris MIMO rendszer struktúragráfját, amelyben megkeresem azokat a SISO részgráfokat, amelyek eleget tesznek a relatív fokszám feltételnek. Ezeket a részgráfokat megfeleltetve egy súlyozott páros gráfnak, és ezen a súlyozott páros gráfon maximális párosítást keresve megkapunk egy lehetséges optimális egzakt linearizációs szabályozó struktúrát, amelyben minimális a részrendszerek közötti kölcsönhatás. Az egzakt linearizációs szabályozó struktúrát megkeres algoritmust C++ programozási nyelven implementáltam. Több esettanulmányon vizsgálom, hogy az egzakt linearizációs szabályozó struktúra kiválasztása egyértelm és optimális-e. Kulcsszavak: egzakt linearizáció, relatív fokszám feltétel, struktúra gráf, kölcsönhatás a részrendszerek között

5 iv Summary Distributed controller structure selection for exact linearization is investigated in this diploma thesis by using graph theoretical methods on nonlinear MIMO systems. Using exact linearization, we could control a nonlinear SISO system with linear controllers in such a way that the use of static nonlinear state feedback is accomplished for the purpose of transforming a given nonlinear system into a linear and controllable one. If we want to control a MIMO nonlinear system with this method, the MIMO system should be decomposed into distributed subsystems which satisfy the relative degree condition of the exact linearization. For this purpose we apply the structure graph of the nonlinear MIMO system, wherein SISO subgraphs are found that satisfy the relative degree condition. These subgraphs correspond to the edges of a weighted bipartite graph and maximal matching is found in this weighted bipartite graph to obtain a possible optimal exact linearization control structure wherein the interaction of the subsystems are minimal. I have implemented the exact linearization control structure selection algorithm using C++ programming language. By using case studies I have investigated whether the result of the proposed algorithm is unique and optimal. Keywords: exact linearization, relative degree condition, structure graph, interaction of the subsystems

6 v Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Nemlineáris rendszerek egzakt linearizálása állapot visszacsatolással Relatív fokszám Nemlineáris koordináta transzformáció és állapot visszacsatolás Az állapottér egzakt linearizációs probléma SISO rendszerekre Probléma kit zés A megoldás létezési feltétele A megoldás menete Egzakt linearizációs szabályozó struktúra tervezés MIMO rendszerekre Relatív fokszám vizsgálata struktúra gráfokon Folyamatrendszerek maximális relatív fokszámmal Súlyozott páros gráf struktúratervezésre Maximális párosítás keresésének feltételei A f átlóban lév elemek kiválasztása Domináns párok kölcsönhatásának minimalizálása Algoritmus a maximális párosítás megkeresésére A páros gráf élsúlyainak meghatározása A maximális párosítás megkeresése Részrendszerek kapcsolata Esettanulmányok H cserél cella modellje Szabályozó struktúra kiválasztása a h cserél hálózaton Folytonosan kevert tartály reaktor Tennessee Eastman probléma Az esettanulmányok értékelése A program felhasználói leírása Összefoglalás Függelék 42

7 1 1. Bevezetés 1 BEVEZETÉS Egy nemlineáris rendszert nemlineáris szabályozókkal szabályozni csak akkor érdemes, ha széles m ködési tartományban szeretnénk egy, a célfüggvényben megfogalmazott viselkedést elérni. Ez esetben a nemlineáris rendszer analízise nehéz feladat. Egzakt linearizáció alkalmazásával lineáris szabályozóval szabályozhatunk egy SISO nemlineáris rendszert úgy, hogy a nemlineáris rendszerhez találunk egy olyan alkalmas statikus nemlineáris állapot visszacsatolást, amivel elérhetjük, hogy a rendszer lineáris legyen az új bemenet és az eredeti kimenet között, feltéve, hogy a rendszer kielégíti az úgynevezett relatív fokszám feltételt ( lemma). Ezután bármely lineáris szabályozótervezési módszer, úgymint PID, pólusáthelyezés, LQR alkalmazható a rendszer stabilizálására, vagy a dinamikus paraméterek módosítására. Ha egy több bement több kimenet (MIMO) nemlineáris rendszert szeretnénk ezzel a módszerrel szabályozni, akkor a MIMO rendszert szét kell vágnunk olyan részrendszerekre, amelyek teljesítik a fenti relatív fokszám feltételt. E diplomamunkában nemlineáris MIMO rendszerekhez szabályozó struktúra kiválasztásának egy lehetséges egzakt linearizáción alapuló módszerét gráfelméleti módszerekkel vizsgálom, felhasználva a folyamatrendszer struktúragráfját. A diplomamunkámban vizsgált probléma elméleti alapjainak leírása megtalálható [1]-ben. Ez a munka a nemlineáris rendszer szabályozó struktúrájának kiválasztásához a relatív fokszám és a rendszer struktúragráfja közötti kapcsolatot írja le, de nem ad algoritmikus megoldást az optimális szabályozó struktúra meghatározására A szabályozó struktúra kiválasztását más megközelítésben is lehet vizsgálni. Pl. [4]- ben a rendszer numerikus paramétereit is felhasználva kerül kiválasztásra a megfelel szabályozó struktúra. Itt a relatív er sítési mátrixot megfeletetve egy súlyozott páros gráfnak úgy kell kiválasztani a legjobb szabályozó struktúrát, hogy a párosításban szerepl élsúlyok abszolult értékének összege maximális legyen. A munkám során felhasznált gráfelméleti módszerek megtalálhatók [6]-ben és [5]- ban. A vizsgálandó rendszer struktúragráfjában a bemenetekt l a kimenetekig vezet legrövidebb utakat szélességi kereséssel határozza meg a program. Az átsúlyozott relatív fokszám mátrixnak megfeleltetett súlyozott párosgráfban pedig maximális súlyú párosítást keresek a legjobb szabályozó struktúra kiválasztására.

8 2 1 BEVEZETÉS A diplomamunka a következ képpen épül fel. A 2. fejezetben SISO nemlineáris rendszerek egzakt linearizálásának feltételeit és megoldását írom le. A 3. fejezetben MIMO nemlineáris rendszerekhez egzakt linearizációs szabályozó struktúra kiválasztásának feltételeit és a szabályozó struktúra kiválasztására alkalmas algoritmust mutatom be. A 4. fejezetben az egzakt linearizációs szabályozó struktúra kiválasztására létrehozott algoritmust vizsgálom konkrét pédákon. Az 5. fejezet a C++ programozási nyelven implementált algoritmus felhasználói dokumentációját tartalmazza.

9 3 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL 2. Nemlineáris rendszerek egzakt linearizálása állapot visszacsatolással [3]Az egzakt linearizáció célja az, hogy SISO nemlineáris rendszerhez találjunk egy olyan alkalmas statikus nemlineáris állapot visszacsatolást, amivel elérhetjük, hogy a rendszer lineáris legyen az új koordinátákban az új bemenet és az eredeti kimenet között. Ezután bármely lineáris szabályozótervezési módszer, úgymint PID, pólusáthelyezés, vagy LQR alkalmazható a rendszer stabilizálására, vagy a dinamikus paraméterek módosítására. Az egzakt linearizáció állapot visszacsatolással egy egyszer, de szigorú alkalmazási határokkal rendelkez technika nemlineáris rendszerek szabályozására, mert csak olyan id invariáns SISO rendszereknél alkalmazható, amelyek kielégítik az úgynevezett relatív fokszám feltételt Relatív fokszám A relatív fokszám fogalma nemcsak az egzakt linearizáció szükséges feltételeiben játszik központi szerepet, hanem a nemlineáris szabályozás elméletének más területein is Deníció (Lie-derivált). Legyenek adottak a λ R n R, f R n R n függvények, és U = dom(f) dom(λ) R n nyílt halmaz. Azt mondjuk, hogy a λ függvény Lie-deriváltja f mentén az alábbi függvény: L f λ(x) = λ(x) n x f(x) = λ(x) f i (x) = < dλ(x), f(x) > (1) i=1 x i Láthatjuk, hogy a Lie-derivált skalár érték, így a m veletet elvégezhetjük a magasabb rend deriváltakra is: L g L f λ(x) = (L fλ(x)) g(x) x (2) L k fλ(x) = (Lk 1 f λ(x)) f(x) x (3)

10 4 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL Deníció (Relatív fokszám). Azt mondjuk, hogy egy egy-bemenet egykimenet (SISO) nemlineáris rendszer relatív fokszáma r az x 0 pontban, ha ẋ = f(x) + g(x)u (4) y = h(x) (5) 1. L g L k fh(x) = 0 minden x-re x 0 környezetében k < r 1-re, és 2. L g L r 1 f h(x) Lemma. A relatív fokszám r pontosan egyenl azzal a számmal, ahányszor t = t 0 -nál deriválni kell a bemenet értékét, hogy az a kimeneten megjelenjen. A deníció és a fenti állítás összevetéséhez felhasználjuk az (4) állapot egyenletet, amelyben a g(x) függvény vektor érték : g 1 (x) g(x) =. g n (x) A kimeneti egyenlet k-adik deriváltját a következ képpen számoljuk: k = 0 : y = h(x) dy dt = h xẋ = h x (f(x) + g(x)u) = L fh(x) + L g h(x) u k = 1 : feltéve, hogy L g h = 0 (1. feltétel), akkor ẏ = L f h, és d 2 y dt = (L fh) 2 x (f(x) + g(x)u) = L2 fh + L g L f h u Ha L g L f h 0, akkor r > 1 (lásd 2. feltétel) és így tovább. Több-bemenet több-kimenet (MIMO) rendszerekre a relatív fokszámot deniálhatjuk az összes lehetséges be-kimenet párra.

11 5 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL Példa (Lineáris id invariáns SISO rendszerek relatív fokszáma). Legyen a lineáris id invariáns SISO rendszer a következ egyenletekkel adott: ẋ = Ax + Bu y = Cx Könny belátni azt, hogy és L k fh(x) = CA k x L g L k fh(x) = CA k B Megjegyezzük azt, hogy a relatív fokszám feltételek függnek a lineáris id invariáns SISO rendszer Markov paramétereit l. Így az r relatív fokszám a következ képpen adható meg: CA k B = 0 k < r 1 CA r 1 B 0. Jól ismert, hogy az az egész szám, amely egy lineáris rendszerben teljesíti ezt a feltételt, pontosan egyenl a rendszer átviteli függvényében H(s) = C(sI A) 1 B a nevez fokszámának (n) és a számláló fokszámának (m) különbségével, azaz r = n m 0. A következ pálda bemutatja egy egyszer nemlineáris rendszer relatív fokszámának kiszámítását Példa (Nemlineáris rendszer relatív fokszáma). Kiszámoljuk a következ rendszer relatív fokszámát az [1 1] T pontban. ẋ = x u 2ωζ(1 µx 2 1)x 2 ω 2 x 1 y = h(x) = x 1 ahol ω, ζ and µ nemnulla konsatansok. Találjunk két olyan pontot az állapottéren, ahol a rendszer relatív fokszáma különböz.

12 6 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL A szükséges Lie-deriváltakat a következ képpen számolhatjuk: L g h(x) = h x g(x) = [ L f h(x) = x 2 L g L f h(x) = L fh x g(x) = [ ] 0 1 ] 0 = 0 1 = 1 Látható, hogy a rendszer relatív fokszáma 2 az állapottér bármely pontjában (az [1 1] T pontban is). Következésképpen nincsenek az állapottérnek olyan pontjai, ahol a rendszer relatív fokszáma különböz lenne Nemlineáris koordináta transzformáció és állapot visszacsatolás SISO rendszereknél statikus állapot visszacsatolásos szabályzásnál az általános esetben az u bemenetet a következ képpen számoljuk: u = α(x) + β(x)v (6),ahol v a küls referencia input. Az e szabályozóval visszacsatolt input-an nemlineáris SISO rendszer a következ lesz: ẋ = f(x) + g(x)α(x) + g(x)β(x)v (7) y = h(x) (8) Az állapotvisszacsatolás alkalmazásának (és a koordináták váltásának az állapottéren) az a célja, hogy transzformáljuk az adott nemlineáris rendszert egy olyanná, amely lineáris és irányítható. A következ lemma bevezeti a a koordináta transzformációt, amely alkalmazásával a rendszer lineáris lesz az új koordinátákban Lemma. Tekintsük az (4) nemlineáris rendszert r=n relatív fokszámmal (ami pontosan egyenl a az állapottér dimenziójával) valamely x = x 0 pontban és a következ koordináta transzformációt φ 1 (x) φ 2 (x) Φ(x) = =. φ n (x) h(x) L f h(x). L n 1 f h(x) (9)

13 7 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL azaz a kimeneti függvény és annak els n 1 f(x) irányú deriváltjának transzformáltja. Ekkor létezik nemlineáris statikus visszacsatolás úgy, hogy a zárt rendszer az új koordinátákban lineáris és irányítható. Az új koordináták: z i = φ i (x) = L i 1 f h(x) 1 i n (10) Ezekkel a rendszermodell a következ képpen írható: így ż 1 = z 2 (11) ż 2 = z 3 (12). (13) ż n 1 = z n (14) ż n = b(z) + a(z)u (15) d dt Lk fh(x) = Lk fh(x) ẋ = Lk fh(x) (f(x) + g(x)u) x x (16) = L k+1 f h(x) + L g L k fh(x)u (17) Ha a rendszer relatív foka n, akkor és a fenti egyenlet a következ képpen alakul: L g L k fh(x) = 0 k < n (18) d dt Lk fh(x) = ż k = L k+1 f h(x) = z k+1 k < n (19) végül az utolsó egyenlet az alábbi alakú: ż n = d dt Ln 1 f h(x) + L g Lf n 1 h(x)u (20) Feltéve, hogy a következ állapot visszacsatolási szabályt választjuk a paraméterek a fenti egyenlet szerint: α(x) = b(z) a(z) = Ln f h(x) L g L n 1 f h(x) u = 1 ( b(z) + v) (21) a(z), β(x) = 1 a(z) = 1 L g L n 1 h(x) f

14 8 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL Az eredményül kapott zárt rendszert meghatározzák a következ egyenletek: ż 1 = z 2 (22) ż 2 = z 3 (23). (24) ż n 1 = z n (25) ż n = v (26) azaz a zárt rendszer valóban lineáris és irányítható. Fontos megjegyezni, hogy a transzformációt két alapelem alkotja úgy, hogy 1. a koordináta váltás az x 0 lokális környezetében deniált 2. az állapot visszacsatolás is az x 0 lokális környezetében deniált Az állapottér egzakt linearizációs probléma SISO rendszerekre Az (2.2.1) Lemmában a kritikus feltétel az, hogy a rendszer relatív fokszáma megegyezzen az állapotváltozók számával, azaz r = n legyen. Ha nem ez az eset áll fenn, azaz r < n, akkor megpróbálhatunk mesterséges kimenetet konstruálni y = λ(x) alakban. Azaz keresünk egy olyan λ(x) függvényt, amely különbözik az eredeti h(x)-t l úgy, hogy a rendszer relatív fokszáma r = n legyen. Az elgondolás az, hogy az (2.2.1) Lemmával megadott alapeset létezéséhez megtaláljuk a feltételeket, és képesek legyünk λ(x) megkonstruálására. Fontos megjegyezni, hogy nem várható, hogy a λ(x) függvény egyértelm legyen (ha létezik), mert a nemlineáris koordináta transzformáció Φ(x) sem egyértelm. Ezért azt a transzformációt Φ(x) szeretnénk megtalálni, amely egyszer és invertálható Probléma kit zés Tekintsük az (4) input-an nemlineáris rendszer modellt a kimeneti egyenlete nélkül és feltételezzük, hogy a következ probléma megoldható. ẋ = f(x) + g(x)u (27) Adott x 0 pont az állapot téren. Találjunk (ha lehetséges) az x 0 -nak olyan U környe-

15 9 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL zetét, hogy a visszacsatolás u = α(x) + β(x)v (28) és a z = Φ(x) koordináta transzformáció is értelmezve legyen U-n, úgy, hogy a megfelel zárt rendszer ẋ = f(x) + g(x)α(x) + g(x)β(x)v (29) az új z = Φ(x) koordinátákban lineáris és irányítható legyen. Azaz [ ] Φ (f(x) + g(x)α(x)) = Az (30) x x=φ 1 (z) [ ] Φ x (g(x)β(x)) = B (31) x=φ 1 (z) valamely alkalmas A R n n mátrixra és B R n vektorra teljesül: rank(b AB... A n 1 B) = n. (32) Ez a probléma a SISO verziója az úgynevezett Állapottér Egzakt Linearizációs Problémának A megoldás létezési feltétele A következ lemma megadja az állapottér egzakt linearizációs probléma megoldásához szükséges és elégséges feltételt Lemma. Az Állapottér Egzakt Linearizációs probléma megoldható akkor és csak akkor, ha létezik az x 0 -nak olyan U környezete és olyan valós érték U-n deniált λ függvény, hogy a rendszer relatív fokszáma n x 0 -ban. ẋ = f(x) + g(x)u (33) y = λ(x) (34) A λ függvény megtalálásának problémája az, hogy a rendszer relatív fokszáma x 0 - ban pontosan n legyen. Azaz a függvény olyan, hogy L g λ(x) = L g L f λ(x) =... = L g L n 2 f λ(x) = 0 x (35) L g L n 1 f λ(x 0 ) 0 (36)

16 10 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL A fenti egyenlet alapján a probléma megoldása egy parciális dierenciál egyenletrendszer (PDE) megoldását igényli. Ez jól látható, ha átírjuk az els (35) egyenletet PDE formára, felhasználva, hogy λ(x) = λ(x 1... x n ) skalár érték függvény. L g λ(x) = n i=1 λ x i (x)g i (x) = 0 (37) Deníció (Lie-szorzat). Legyenek f, g R n R n valós, vektor érték függvények, és U = dom(f) dom(g) R n nyílt halmaz. Az f és g függvények Lie-szorzata: ahol [f, g](x) = g(x) x g(x) x = g 1 (x) x 1 g 2 (x) x 1. g n (x) x 1 f(x) f(x) g(x) (38) x g 1 (x) x 2... g 2 (x) x g n (x) x 2... g 1 (x) x n g 2 (x) x n. g n (x) x n A (37) egyenlet megoldásához bevezetünk egy rövidített jelölést ahol ad i fg-t rekurzívan deniáljuk a következ képpen: Például: (39) L adf gλ = λ [f, g] (40) x ad 0 fg(x) = g(x) (41) ad i fg(x) = [f, ad i 1 f g(x)] (42) ad 1 fg(x) = ad f g(x) = [f, g], ad 2 fg(x) = [f, [f, g]] A (35) egyenlet ekkor az alábbi ekvivalens formát ölti: L g λ(x) = L adf gλ(x) =... = L ad n 2 gλ(x) = 0 (43) f és a nemtriviális feltétel (36) ekvivalens az alábbi egyenlettel: L ad n 1 f g λ(x0 ) 0. (44) Most már kimondhatjuk az állapottér egzakt linearizációs probléma megoldásához szükséges és elégséges feltételt.

17 11 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL Tétel. Feltételezzük, hogy a rendszer modell a következ képpen adott: ẋ = f(x) + g(x)u (45) Az Állapottér Egzakt Linearizációs Probléma megoldható az x 0 környezetében (azaz létezik olyan λ "kimeneti" függvény, amellyel a rendszer relatív foka n x 0 -ban) akkor és csak akkor, ha következ feltételek teljesülnek: 1. a c (x 0 ) = [ g(x 0 ) ad f g(x 0 )... ad n 2 f g(x 0 ) ad n 1 f g(x 0 ) ] mátrix rangja n, 2. a D = spang, ad f g,..., ad n 2 f g} disztribúció involutív x 0 közelében. A 2. feltétel D mátrixát írhatjuk a következ formában D = spang, [f, g], [f, [f, g]],...} és a dimenziója legfeljebb n 1, azaz dim D n 1. D konstruálása során nehéz biztosítani, hogy involutív legyen A megoldás menete Az el z ekben tárgyaltak alapján az u = α(x) + β(x)v visszacsatolás és a z = Φ(x) koordináta transzformáció megkonstruálásával az Állapottér Linearizációs probléma megoldása a következ lépésekb l áll: 1. g(x)-b l és f(x)-b l létrehozzuk a vektor mez t g(x) ad f g(x)... ad n 2 f és ellen rizzük az 1. és 2. feltételt. g(x) ad n 1 g(x) 2. Ha mindkett teljesül λ(x)-et megkapjuk a (35)-as parciális dierenciál egyenlet megoldásával. 3. Kiszámoljuk a visszacsatolási függvényeket f α(x) = Ln f λ(x) L g L n 1 f λ(x) β(x) = 1 L g Lf n 1 λ(x) (46) 4. Kiszámoljuk a koordináta transzformációt Φ(x) = col(λ(x), L f λ(x),..., L n 1 f λ(x)). (47)

18 12 2 NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGZAKT LINEARIZÁLÁSA ÁLLAPOT VISSZACSATOLÁSSAL Deníció (Linearizáló visszacsatolás és koordináták). A (46)-ben de- niált visszacsatolást linearizáló visszacsatolásnak, a (47) alapján megadott új koordinátákat linearizáló koordinátáknak nevezzük. Fontos megjegyezni, hogy a SISO nemlineáris rendszerek visszacsatolásos linearizációja nem robosztus, s t néha meglehet sen érzékeny a paraméterek és a struktúrális bizonytalanságok miatt, ezért csak korlátozottan használható folyamat rendszerek alkalmazásaiban

19 13 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 3. Egzakt linearizációs szabályozó struktúra tervezés MIMO rendszerekre Mivel az egzakt linearizáció csak egy-bemenet egy-kimenet (SISO) rendszerekre alkalmazható, ha egy több-bemenet több kimenet (MIMO) nemlineáris rendszert szeretnénk ily módon linearizálni, akkor a MIMO rendszert "szét kell vágnunk" olyan SISO részrendszerekre amelyek között a kölcsönhatás minimális. A következ kben egy lehetséges szétvágási módszer kerül leírásra Relatív fokszám vizsgálata struktúra gráfokon Egy adott bemenet és kimenet pár közötti kölcsönhatást jellemzi a közöttük számolható relatív fokszám. A rendszer struktúra gráfja a változók között lév kapcsolatokat írja le. Eképpen a renszer struktúra gráfja és a bemenetek, kimenetek között számolható relatív fokszámok között egyértelm megfeleltetés létesíthet Deníció (Struktúra gráf). Legyen adott a több-bemenet több-kimenet (MIMO) nemlineáris rendszer a következ egyenletekkel: m r ẋ = f(x) + g j (x)u j + w k (x)d k (48) j=1 k=1 y i = h i (x), i = 1...p (49) ahol x R n az állapot vektor d k, u j, y i R a zavarás, a bemenet, és a kimeneti változók. A nemlineáris rendszer struktúra gráfja egy irányított gráf G = (V, E), ahol a csúcsok halmazát alkotja a bemeneti változók halmazának U = (u 1,..., u m ), a zavarások halmazának D = (d 1,..., d r ), az állapotváltozók halmazának X = (x 1,..., x n ) és a kimeneti változók halmazának Y = (y 1,..., y p ) uniója. Ezek a részhalmazok páronként diszjunktak: V = U D X Y (50) X U = X D = X Y = 0 (51) U D = U Y = D Y = 0 (52)

20 14 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE az élek E halmaza leírja a közvetlen összeköttetéseket a csúcsok között. Létezik irányított él (v i, v j ) v i -b l v j -be, ha a v i változó szerepel a v j -t (ha kimenet), vagy v j -t (ha állapotváltozó) meghatározó egyenlet jobb oldalán. A gráfban nem futnak be élek a bemenetekbe, és a kimenetekb l nem indulnak ki élek Példa (H cserél hálózat struktúragráfja). Tekintsük az (1) ábrán adott h cserél hálózatot. Az energia mérlegek, amelyek leírják a rendszer dinamikus viselkedését a következ egyenlet struktúrával írhatók le: ahol dt 1 dt dt 2 dt dt 3 dt dt 4 dt dt 5 dt dt 6 dt = φ 1 (T 1, T 2, T 10, F 1 ) (53) = φ 2 (T 1, T 2, T 20, F 2 ) (54) = φ 3 (T 3, T 4, T 30, F 3 ) (55) = φ 4 (T 3, T 4, T 40, F 4 ) (56) = φ 5 (T 5, T 6, T 50, F 5 ) (57) = φ 6 (T 5, T 6, T 60, F 6 ) (58) F i = az i. ág tömegárama, T i = az i. ág kimeneti h mérséklete T i0 = az i. ág bemeneti h mérséklete és φ i (.) a változók egymástól való függését jelöli. Az F 2 és az F 4 folyam összeadódik, így a következ algebrai egyenletek teljesülnek: F 6 = φ 7 (F 2, F 4 ) T 60 = φ 8 (T 2, T 4, F 2, F 4 ). Ezt gyelembe véve az (58) egyenlet a következ alaban írható: dt 6 dt = φ 9(T 2, T 4, T 5, T 6, F 2, F 4 ). A szabályozási cél, hogy a kívánt értéken tartsuk T 1 és T 6 h mérsékleteket. F zavarásnak a T 30 és T 50 h mársékleteket tekintjük. A rendelkezésre álló bemenetek az F 1, F 2 és F 4 tömegáramok.

21 15 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 1. ábra. H cserél hálózat Ilyen feltételezésekkel a h cserél hálózat struktúra gráfja a 2. ábrán látható Deníció (Relatív fokszám MIMO rendszerekre). Tekintsük a (48), (49) egyenletekkel megadott MIMO nemlineáris rendszert. r ij a relatív fokszám az (u j, y i ) által meghatározott SISO rendszerben az x 0 pontban, ha 1. L g L k fh i (x) = 0 minden x-re x 0 környezetében k < r ij 1-re, és 2. L g L r ij 1 f h i (x) 0 Egy MIMO nemlineáris rendszerhez megadhatjuk annak relatív fokszám mátrixát a következ képpen: amelynek elemei az pár között. r 11 r 1p M r =..... r m1 r mp (59) r ij relatív fokszámok az összes lehetséges bemenet és kimenet Ha az adott bemenet és kimenet között a struktúra gráfban nem létezik út, akkor a megfelel relatív fokszám r ij =.

22 16 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 2. ábra. A h cserél hálózat struktúra gráfja Lemma (Relatív fokszám MIMO rendszerekre a struktúra gráfon). Tekintsük a (48), (49) egyenletekkel megadott MIMO nemlineáris rendszert és a neki megfelel struktúra gráfot. Legyen l ij a legrövidebb út u j és y i között. Legyen r ij a relatív fokszám u j és y i között. Ekkor a következ egyenl ség teljesül: r ij = l ij 1. Tehát egy adott u j és y i bemenet között számolható r ij relatív fokszám azt jelenti, hogy a struktúra gráfban a bemenett l a kimenetig hány állapotváltozón megy keresztül a közöttük lév legrövidebb irányított út. Bizonyítás: Ha a relatív fokszám Denícióját összevetjük azzal, ahogyan a

23 17 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE Lemmában a kimeneti egyenlet k-adik deriváltját számoljuk, akkor a következ t láthatjuk: k = 0: y i = h i (x) dy i dt = h i x ẋ = h i x (f(x) + g(x)u) = L fh i (x) + L g h i (x) u k = 1 feltéve, hogy L g h i = 0, akkor ẏ = L f h i, és d 2 y i dt = (L fh i ) (f(x) + g(x)u) = L 2 2 x fh i + L g L f h i u és így tovább. Ekkor a relatív fokszám Deníciója szerint k < r ij 1-re L g L k fh(x) = 0, azaz a kimeneti egyenlet k < r ij 1-re a következ alakú lesz: d k y i dt = L k fh i és k = r ij 1-re a kimeneti egyenlet a következ alakú lesz: d k y i dt = L k fh i + L g L k 1 f h i u Ezek a deriváltak meghatározzák a struktúragráfban az u j -b l az y i -be vezet úton lév állapotokat a következ módon: u j y (r ij) i... ÿ i y i y i Ez az út a legrövidebb u j és y i között, mert ha lenne olyan l ij < r ij + 1, akkor lenne olyan L g L l ij 2 f l ij = r ij 1. 0, de ez r ij deníciójából következ en ellentmondás, azaz Fontos megjegyezni, hogy a relatív fokszám kiszámításával csak a rendszer struktúrális tulajdonságairól kapunk információt. Így a relatív fokszám kevesebb információt tartalmaz, mint az állapottér modell, mert például nem tartalmaz információt a rendszer numerikus paramétereir l. A relatív fokszám azt jellemzi, hogy mennyire közvetlen a kölcsönhatás a bemenetek és a kimenetek között.

24 18 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 3.2. Folyamatrendszerek maximális relatív fokszámmal Számos tipikus folyamatrendszer rendelkezik maximális relatív fokszámmal, azaz r = n. Folyamatrendszereknél ezek megtalálására felhasználjuk a rendszer struktúra gráfját Lemma. Egy SISO rendszer relatív foka r = n, ha 1. A bemenett l a kimenetig vezet legrövidebb út átmegy az összes állapotváltozón. 2. A bemenet és a kimenet között számolható (n 1)-ed rend Lie-derivált nem nulla: L g L n 1 f h(x) 0 A fenti két feltétel a Lemma szerint ekvivalens egymással, így az egzakt linearizáció Lemmában leírt alapesete áll el : a koordináta transzformációt elvégezve a rendszer az új koordinátákban lineáris lesz és irányítható. Bizonyítás: 1. Ha a bemenet és a kimenet között a legrövidebb út átmegy az összes állapotváltozón, akkor ez azt jelenti, hogy a bemenet és a kimenet között nincsen rövidebb út, amely csak néhány állapotváltozón menne át. 2. A Lemmából egyértelm en következik Súlyozott páros gráf struktúratervezésre Ha egzakt linearizációs szabályozó struktúrát szeretnénk alkalmazni egy MIMO rendszernél, akkor a rendszer struktúra gráfjában találnunk kell a Tételben leírt tulajdonságokkal rendelkez részgráfokat. Ezeknek az SG i részgráfoknak diszjunkt utakat kell alkotniuk a rendszer struktúra gráfjában: SG (i) = (V (i), E (i) ) E (i) = (v 1, v 2 ) E v 1, v 2 V (i) }, i = 1,..., p V (i) V (j) = 0 1 i < j p,

25 19 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE Az egzakt linearizációs szabályozó struktúra megtalálásához tehát, a bemenetek és kimenetek egy olyan párosítását keressük, amellyel a részrendszerek számát maximalizáljuk úgy, hogy azok között a kölcsönhatás minimális. Az összes lehetséges diszjunkt utat meghatározhatjuk, ha kiszámoljuk a rendszer relatív fokszám mátrixát. Annak érdekben, hogy megkapjuk a szabályozó struktúrákat az M r relatív fokszám mátrixot megfeleltetjük egy súlyozott páros gráfnak, amelyben maximális párosítást keresünk. A szabályozó struktúra tervezéséhez használt G = (U Y, E) súlyozott páros gráf a következ képpen adott: U: bemenetek, Y : kimenetek, két független csúcshalmaz; E: élek halmaza. Létezik él u j -b l y i -be w ij súllyal, ha az M r relatív fokszám mátrix megfelel r ij eleme nem egyenl -el. Az e ij = (u j, y i ) él súlyát a relatív fokszám mátrix r ij eleméb l számoljuk a alfejezetben kés bb leírt módon Példa. Az 1. ábrán látható h cserél hálózat relatív fokszám mátrixa a következ képpen adható meg: M r = (60) A 2. ábrán látható struktúra gráfban ugyanis az összes bemenett l az összes kimenetig vezet legrövidebb utak a következ képpen írhatók le: l 11 : u 1 x 3 y 1 l 12 : l 21 : u 2 x 1 x 2 x 3 y 1 l 22 : u 2 x 1 y 2 l 31 : u 3 x 3 y 1 l 32 : u 3 x 2 x 1 y 1 Ezek az utak a Lemma szerint meghatározzák a relatív fokszám mátrix elemeit, amelyeket megfeleltetünk egy súlyozott páros gráf éleinek. Ez látható a 3. ábrán.

26 20 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 3. ábra. A relatív fokszám mátrixnak megfelel súlyozott páros gráf 3.4. Maximális párosítás keresésének feltételei Feltételezzük, hogy a kimenetek száma p kisebb, vagy egyenl a bemenetek számánál m: p m. Ehhez (m p)-es relatív rend mátrixból egy (p p)-es részre van szükségünk. Ennek a mátrixnak a f átlójában nem lehet relatív fokszám, mert akkor van olyan kimenet amelyhez nincs megfelel bemenet A f átlóban lév elemek kiválasztása Ezek közül a (p p)-es mátrixok közül azt a mátrixot fogjuk kiválasztani, amelynek f átlójában maximalizáltuk: Az 1-es relatív fokszámok számát, majd a maradékban A 2-es relatív fokszámok számát, majd a maradékban... A i-es relatív fokszámok számát, addig

27 21 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE amíg a lehetséges bemenet - kimenet párok maximális számát (p) el nem érjük. Így azokat a részrendszereket kaptuk meg, amelyeken belül a bemenet és a kimenet között a kölcsönhatás a leger sebb Domináns párok kölcsönhatásának minimalizálása Miután az (p p)-es mátrix f átlójában maximalizáltuk sorban az 1, 2,..., i-es relatív fokszámokat, törekednünk kell arra, hogy a domináns bememenet kimenet párosítások minél kevésbé hassanak egymásra. Ha az el z részben leírt feltételek teljesítése után több lehetséges (p p)-es relatív fokszám mátrixunk marad, akkor ezek közül azt választjuk, amelynek f átlóján kívül a legtöbb relatív fokszám található. A 3.4. fejezetben leírt feltételek a következ egyszer pédán szemléletesen láthatók Példa (Lehetséges párosítások közül a legmegfelel bb kiválasztása). A (60). egyenlettel megadott relatív fokszám mátrixból 3 lehetséges párosítást választhatunk ki: 1. konguráció: u 1 /y 1, u 2 /y 2 M r1 = konguráció: u 1 /y 1, u 3 /y 2 M r2 = konguráció: u 3 /y 1, u 2 /y 2 M r3 = Látható, hogy a es fejezetben megadott feltételnek csak az 1. és 3. konguráció tesz eleget. Ugyanis a 2. konguráció mátrixának f átlójában nem a lehetséges legtöbb 1-es relatív fokszám található. A maradék két konguráció közül az 1-es a legmegfelel bb, mivel ennél a párosításnál a legkisebb a részrendszerek között a kölcsönhatás. Az 1. kongurációban az u 1 -es bemenet csak az y 1 -es kimenetre hat, az y 2 -re nincs hatással. Míg a 3. kongurációban az u 3 -as bemenet az y 1 -es kimeneten kívül hat az y 2 -es kimenetre is az x 2 x 1 állapotokon keresztül.

28 22 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 3.5. Algoritmus a maximális párosítás megkeresésére A következ kben leírásra kerül algoritmus a 3.4. fejezetben leírt feltételeknek megfelel en megkeresi a relatív fokszám mátrixnak megfeleltetett súlyozott páros gráfban a lehetséges legtöbb bemenet-kimenet párt A páros gráf élsúlyainak meghatározása Az algoritmus maximális párosítást keres maximális élsúlyokkal, ezért a relatív fokszám mátrixnak megfeleltetett súlyozott páros gráf élsúlyait (amelyek eredetileg a relatív fokszám mátrix elemei voltak) meg kell változatnunk, hogy a 3.4. fejezet feltételei teljesüljenek a megfelel párosítás keresése során. Az új w ij élsúlyokat úgy határozzuk meg, hogy növekv relatív fokszámhoz csökken élsúly tartozik. Els lépésként meghatározzuk az új élsúlyok minimális és maximális értékét. Vezessük be az alábbi jelöléseket: p - a kimenetek maximális száma; t - a legnagyobb relatív fokszám; min(w ij ) = k - a legnagyobb relatív rendb l származtatott új élsúly max(w ij ) = k + t - az 1-es relatív fokszámból származtatott új élsúly A fejezetben leírt feltételt, mely szerint a relatív fokszám mátrixból kiválasztott részmátrix f átlójában maximalizáljuk sorban az 1-es, 2-es stb. relatív fokszámokat, a páros gráf új élsúlyaira vonatkoztatva következ képpen írhatjuk: A (61). egyenletet kifejezve kapjuk: (p 1) (k + t) < p k (61) Ebb l: t k > p 1 p 1 k > t 1 p 1 k + t > t p

29 23 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 4. ábra. A súlyozott páros gráf a maximális párosítás megkereséséhez való új élsúlyokkal Ennek alapján a legkisebb relatív fokszámból származtatott legnagyobb max(w ij ) élsúlynak t p megfelel. A növekv relatív fokszámokhoz csökken élsúlyokat rendelünk úgy, hogy 1-el csökkentjük az élsúlyokat a relatív fokszám 1-el történ növelésekor. A fejezet feltételét úgy tudjuk gyelembe venni, hogy az így kapott élsúlyokat beszorozzuk p-vel, és mindegyikhez hozzáadjuk a relatív fokszám mátrix adott sorában (j edik) lév -ek számát. Így maximalizálni tudjuk a f átlón kívüli -ek számát (v j ). Ezzel megkaptuk a relatív fokszám mátrixnak megfelel páros gráf végleges élsúlyait, tehát pl: az 1-es relatív fokszámokhoz tartozó új élsúlyok t p 2 + a relatív fokszám mátrix adott sorában lév -ek száma. w ij = (tp r jj + 1)p + v j (62)

30 24 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE w ij = tp 2 + v j, ha r jj = 1 (tp 1)p + v j, ha r jj = 2 (63) (tp 1)p + v j, ha r jj = A maximális párosítás megkeresése A következ célfüggvény maximalizálásával megkapjuk az egzakt linearizációs szabályozó struktúrához szükséges bemenet-kimenet párokat. x ij = 1, ha ij eleme a párosításnak, x ij = 0 egyébként. w ij = él i és j csúcsok között. A célfüggvény: max z = i j w ij x ij (64) n x ij = 1, 1 j n i=1 n x ij = 1, 1 i n j=1 x ij 0, 1} Példa. A 1. képen látható h cserél hálózat súlyozott páros gráfja látható a 4. ábrán az új élsúlyokkal: p = 2 - a kimenetek száma, t = 3 - a relatív fokszám mátrix legnagyobb eleme. w 11 = (t p) p + 1 = (3 2) = 13 r 11 = 1, -k száma az 1. sorban = 1 w 21 = (t p 2) p = (6 2) 2 = 8 r 21 = 3, -k száma az 2. sorban = 0 w 22 = (t p) p = 12 r 22 = 1, -k száma az 2. sorban = 0 w 31 = (t p) p = 12 r 31 = 1, -k száma az 3. sorban = 0 w 32 = (t p 1) p = 10 r 32 = 2, -k száma az 3. sorban = 0

31 25 3 EGZAKT LINEARIZÁCIÓS SZABÁLYOZÓ STRUKTÚRA TERVEZÉS MIMO RENDSZEREKRE 3.6. Részrendszerek kapcsolata Az el z ekben ismertetett módszerrel meghatározhatjuk egy MIMO rendszernél azokat a SISO részrendszereket, amelyek segítségével egzakt linearizációs szabályozó struktúrát tudunk létrehozni. Egy adott részrendszer az általa meghatározott bemenet-kimenet pár között egy er s, nemlineáris kölcsönhatást valósít meg. Felmerül azonban a kérdés, hogy a részrendszerek hatnak e egymásra, és ha igen mennyire. A részrendszerek közötti kölcsönhatást és annak er sségét tükrözik a kiválasztott párosításhoz tartozó relatív fokszám mátrix o-diagonális elemei. Ez a kölcsönhatás annál gyengébb minél nagyobbak az o-diagonális elemek. Ideális esetben, ha nincs kölcsönhatás a részrendszerek között, a relatív fokszám mátrix f átlóján kívül az összes elem. M r = r 1... r r p Valós rendszereknél ez igen ritkán fordul el, viszont a 3. fejezetben leírt módszer amellett, hogy kiválasztja azokat a bemenet-kimenet párokat, amelyeken belül a kölcsönhatás a leger sebb, ügyel arra is, hogy a részrendszerek közötti kölcsönhatás a lehet legkisebb legyen. A 1. ábrán látható h cserél hálózatban kiválasztott egzakt linearizációs szabályozó struktúra elemei az u 1 /y 1, u 2 /y 2 bemenet-kimenet párok, amelyek a legkevésbé hatnak egymásra a lehetségesek közül. A kiválasztott párosításnak megfelel relatív fokszám mátrix: M r = A 2. ábrán látható struktúra gráfról leolvasható, hogy az u 1 bemenet nincs hatással az y 2 kimenetre. Viszont az u 2 bemenet az x 1 x 2 x 3 állapotokon keresztül hat az y 1 kimenetre. Ez a hatás azonban a leggyengébb a lehetségesek közül.

32 26 4. Esettanulmányok 4 ESETTANULMÁNYOK Az egzakt linearizációs szabályozó struktúra megkeresését e fejezetben több esettanulmány segítségével mutatom be H cserél cella modellje Az el ször vizsgált példa egy h cserél hálózat, amelyet h cserél cellák összekapcsolásával kapunk. Az energia mérlegek, amelyek egy h cserél cella dinamikus viselkedését írják le a következ k: ahol dt h dt dt m dt = F h (T h0 T h ) + UA (T m T h ) V h c ph ρ h V h = F m (T m0 T m ) + UA (T h T m ) V m c pm ρ m V m h - hideg oldal, m - meleg oldal, T h0 - hideg oldal bemeneti h mérséklete, T m0 - meleg oldal bemeneti h mérséklete, T h - hideg oldal kimeneti h mérséklete, T m - meleg oldal kimeneti h mérséklete, F h - hideg oldal tömegárama, F m - meleg oldal tömegárama, V h - hideg oldal térfogata, V m - meleg oldal térfogata, c ph - hideg oldal fajh je, c pm - meleg oldal fajh je, ρ h - hideg oldal s r sége, ρ m - meleg oldal s r sége, A - h átadási felület, U - h átadási együttható. A h cserél cella modelljében mind a hideg (V h ), mind a meleg oldalt (V m ) egy tökéletesen kevert tartálynak tekintjük, amelyek között az A h átadási felületen

33 27 4 ESETTANULMÁNYOK keresztül h energia adódik át a meleg oldalról a hideg oldalra. Az F h, F m tömegáramokat állandónak tekintjük. Feltételezzük, hogy nincs h veszteség és az U h átadási együttható állandó. A h cserél cella modellje az 5. ábrán látható. Például egy konkrét h cserél cella paraméterei a következ k lehetnek: 3 m3 F h = s 3 m3 F m = s V h = m 3 V m = m 3 c ph = J 1910 Kkg c pm = J 1590 Kkg ρ h = 1000 kg m 3 ρ m = 1000 kg m 3 A = m 2 U = 476 J m 2 Ks 5. ábra. H cserél cella modellje 4.2. Szabályozó struktúra kiválasztása a h cserél hálózaton A 6. ábrán látható h cserél hálózaton vizsgáljuk a szabályozó struktúra kiválasztását. Az energiamérlegek, amelyek leírják a rendszer dinamikus viselkedését, a

34 28 4 ESETTANULMÁNYOK következ egyenletstruktúrával adottak: ahol dt 1 dt dt 2 dt dt 3 dt dt 4 dt dt 5 dt dt 6 dt dt 7 dt dt 8 dt dt 9 dt dt 10 dt = φ 1 (T 1, T 2, T 1 0, F 1 ) (65) = φ 2 (T 1, T 2, T 2 0, F 2 ) (66) = φ 3 (T 3, T 4, T 3 0, F 3 ) (67) = φ 4 (T 3, T 4, T 4 0, F 4 ) (68) = φ 5 (T 5, T 6, T 5 0, F 5 ) (69) = φ 6 (T 5, T 6, T 6 0, F 6 ) (70) = φ 7 (T 7, T 8, T 7 0, F 7 ) (71) = φ 8 (T 7, T 8, T 8 0, F 8 ) (72) = φ 9 (T 1, T 2, T 9 0, F 9 ) (73) = φ 10 (T 1, T 2, T 10 0, F 10 ) (74) F i = az i. ág tömegárama T i = az i. ág kimeneti h mérséklete T i 0 = az i. ág bemeneti h mérséklete és φ i (.) a változók egymástól való függését jelöli. Az F 2 és az F 4 tömegáramok összeadódnak, így a következ algebrai egyenletek teljesülnek: F 6 = φ 11 (F 2, F 4 ) T 6 0 = φ 12 (T 2, T 4, F 2, F 4 ). Ezt gyelembe véve a (70) egyenlet a következ alakban írható: dt 6 dt = φ 13(T 2, T 4, T 5, T 6, F 2, F 4 ). Az F 6 és az F 8 tömegáramok szintén összeadódnak, így a következ k teljesülnek: F 10 = φ 14 (F 6, F 8 ) = φ 15 (F 2, F 4, F 8 ) T 10 0 = φ 16 (T 6, T 8, F 6, F 8 ) = φ 17 (T 2, T 4, T 8, F 2, F 4, F 8 )

35 29 4 ESETTANULMÁNYOK Így a (74) egyenlet a következ alakban írható: dt 10 dt = φ 18 (T 2, T 4, T 8, T 9, T 10, F 2, F 4, F 8 ) A szabályozási cél, hogy a kívánt értéken tartsuk a T 1, T 5 és T 10 h mérsékleteket, amelyek rendre az y 1, y 2, y 3 kimenetek. F zavarásnak a T 3 0, T 7 0 és T 9 0 h mérsékleteket tekintjük (d 1, d 2, d 3 ). A rendelkezésre álló bemenetek az F 1, F 2, F 4, F 5 és F 8 tömegáramok (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ). 6. ábra. H cserél hálózat A szabályozó struktúra kiválasztásához el ször a h cserél hálózat 7. ábrán látható struktúragráfján megkeressük a bemenetekb l a kimenetekig vezet legrövidebb utakat. A Lemma szerint így megkapjuk a h cserél hárózat relatív fokszám

36 30 mátrixát: M r = 4 ESETTANULMÁNYOK amelyet megfeleltetünk egy súlyozott páros gráfnak (8. ábra). Ebben a páros gráfban a 3.4. fejezetben leírt feltételeknek megfelel en maximális párosítást keresünk, amelyhez a súlyozott páros gráfot a fejezetben ismertetett módon új élsúlyokkal látjuk el. Ezek után a maximális súlyú párosítást kiválasztva megkapjuk a legmegfelel bb egzakt linearizációs szabályozó struktúrát, amely a következ lesz: u 1 /y 1, u 4 /y 2, u 5 /y Folytonosan kevert tartály reaktor Tekintsük a 9. ábrán adott folytonosan kevert tartály reaktort. Az A és B anyagot tartalmazó oldatot táplálunk be a reaktorba F A és F B tömegáramokkal, T A, T B h mérsékleteken és c A0, c B0 koncentrációval. A reaktorban A+B C+D els rend reakció játszódik le. A kimeneti folyam F térfogatárammal, c A, c B, c C, c D koncentrációkkal és T h méséklettel hagyja el a reaktort. A megfelel f t vagy h t rendszert használva Q h mennyiséget táplálhatunk be, vagy vehetünk el a rendszerb l. Feltételezzük, hogy a ρ s r ség és a C p h kapacitás a folyadékban állandó; a h veszteséget elhanyagoljuk. A tömeg és energia mérlegek, amelyek leírják a rendszer dinamikus viselkedését, a következ k: dv dt dc A dt dc B dt dc C dt dt dt = F A + F B + F = F A V (c F B A0 c A ) c A V = F B V (c B0 c B ) c B F A = c C F A + F B V kc Ac B e V kc Ac B e + kc A c B e E RT = F A V (T A T ) + F B V (T B T ) + ( H) kc A c B e E 1 RT + Q ρc p V ρc p E RT E RT

37 31 4 ESETTANULMÁNYOK 7. ábra. H cserél hálózat struktúragráfja

38 32 4 ESETTANULMÁNYOK 8. ábra. A relatív fokszám mátrixnak megfelel páros gráf a maximális párosítás megkereséséhez szükséges élsúlyokkal 9. ábra. Folytonosan kevert tartály reaktor

39 33 4 ESETTANULMÁNYOK ahol C p = h kapacitás, E = aktivációs energia, F A, F B, F = tömegáramok, Q = h betáplálás a tartályba, T A, T B, T = h mérsékletek, V = térfogat, H = reakció h, c i = az i. alkotórész moláris koncentrációja, ρ = s r ség. A tartályban lév folyadék V térfogatát, a kimeneti folyam c A, c C koncentrációit és T h mérsékletét szeretnénk szabályozni. A rendelkezésre álló bemeneti változók az F A, F B, F térfogatáramok és a Q h bevitel. Így kapjuk a következ ket: az állapot változók: x 1 = V V s, x 2 = c A c AS, x 3 = c B c BS, x 4 = c C c CS, x 5 = T T S ; a bemenetek: u 1 = F A F AS, u 2 = F B F BS, u 3 = F F S, u 4 = Q Q S ; a kimenetek: y 1 = x 1, y 2 = x 2, y 3 = x 4, y 4 = x 5 ahol az S alsóindex a névleges állandósult állapot értéke. A dinamikus egyenletek átírhatók a (48) (49) egyenletekkel megadott állapottér modell formára. A rendszer struktúragráfja a 10. ábrán látható. Ezután a relatív fokszámokat kiszámolva a relatív fokszám mátrix a következ lesz: M r = Követve a fejezet feltételét, a relatív fokszám mátrix a következ alakba írható át: M r =

40 34 4 ESETTANULMÁNYOK 10. ábra. Folytonosan kevert tartály reaktor struktúra gráfja Az egzakt linearizációs szabályozó struktúrát kiszámolva két, relatív fokszám értelemben azonos megoldást kapunk: és (u 1 /y 2 ) (u 2 /y 3 ) (u 3 /y 1 ) (u 4 /y 4 ) (F A /c A ) (F B /c C ) (F/V ) (Q/T ) (u 1 /y 3 ) (u 2 /y 2 ) (u 3 /y 1 ) (u 4 /y 4 ) (F A /c C ) (F B /c A ) (F/V ) (Q/T )

41 Tennessee Eastman probléma 4 ESETTANULMÁNYOK Tekintsük az [2]-ben leírt Tennessee Eastman problémát. A bemeneti és az állapotváltozók halamaza a következ k: U = V D, V E, V A, V C, V B, V co } X = R, L r, P r, Y, C B, T co } ahol V i C V co R L r P r Y C B T co i C térfogatáram az i. komponensben, komponensek halmaza, C = A, B, C, D, E}, a h t közeg térfogatárama, a termék koncentrációjának aránya, szint a reaktorban, reaktor nyomása, termék térfogatárama, semleges komponens koncentrációja, h t közeg h mérséklete. Kiszámolva a rendszer relatív fokszám mátrixát a következ t kapjuk: M r = Látható, hogy ebben az esetben ezzel a módszerrel nem lehet eldönteni, hogy milyen egzakt linearizációs szabályozó struktúrát válasszunk Az esettanulmányok értékelése A 4.2. fejezetben bemutatott h cserél hálózaton egyértelm en eldönthet, hogy milyen egzakt linearizációs szabályozó struktúrát válasszunk. Az y 1 és y 2 kimenetekhez a fejezetben leírt feltétel alapján egyértelm en adódnak az u 1 és u 4 bemenetek. Az u 2, u 3, u 5 bemeneteknek ugyanolyan hatása van az

42 36 4 ESETTANULMÁNYOK y 3 kimenetre. Az u 5 bemenet a legmegfelel bb, mivel ennek nincs hatása a többi kimenetre, míg az u 2 -es bemenetnek van hatása az y 1, y 2 -es kimenetekre is, az u 3 -as bemenetnek pedig az y 2 -es kimenetre van még hatása. Az eredmény optimális mivel a legjobb azok között, amelyek közül a részrendszerek legkevésbé hatnak egymásra. A 4.3. fejezetben vizsgált folytonosan kevert tartály reaktor esetében a relatív fokszám mátrixnak van két azonos sora. A megoldás nem egyértelm, mivel két, relatív fokszám értelemben azonosan jó megoldást kapunk, amelyet felhasználhatunk a szabályozó struktúra kiválasztására. A 4.4. fejezetben vizsgált Tennessee Eastman problémánál ezzel a módszerrel nem tudjuk eldönteni, hogy milyen egzakt linearizációs szabályozó struktúrát válasszunk, mivel a relatív fokszám mátrix minden eleme 1-es, így ez alapján nem tudjuk a megfelel bemenet-kimenet párokat kiválasztani. Ilyenkor más módszert kell találnunk a párosítások kiválasztására, olyat, amely gyelembe veszi a rendszer numerikus paramétereit. Ilyen lehet például [4]-ben leírt módszer, amely az állandósult állapot mátrix er sítéseit használja fel a bemenetkimenet párok kiválasztására. A Tennessee Eastman probléma állandósult állapot mátrixa G(0): V D V E V A V C V B V co R L r P r Y C B T co Ezzel a módszerrel kiválasztott bemenet-kimenet párok: (R/V A ), (L r /V E ), (P r /V C ), (Y/V B ), (C B /V co ), (T co /V D )

43 37 5 A PROGRAM FELHASZNÁLÓI LEÍRÁSA 5. A program felhasználói leírása Az egzakt linearizációs szabályozó struktúrát kiválasztó algoritmus implementálására a C++ nyelvet választottam. A C++ nyelv az egyik legrugalmasabb programozási nyelv, amelyet platform függetlennek tekinthetünk. A program használata nagyon egyszer. A program az <input.txt> leból olvassa be a bemeneti adatokat. Meg kell adni a vizsgálni kívánt folyamatrendszer struktúragráfját. A bemenetként megadott struktúragráfból el kell hagyni a hurokéleket, de mivel ezek nincsenek hatásal az eredményre, nem is szükségesek. A struktúragráf megadásához éllistás reprezentációt használtam, mivel a struktúragráfok általában nem túl sok éllel rendelkeznek, így a bemen adatok mennyisége kevesebb, mint adjacencia mátrixos ábrázolás esetén. Az éllistás tároláshoz szükség van a struktúragráf csúcsszámára is. Ezen felül a bemenetek, és a kimenetek számát, valamint a bemeneti és kimeneti csúcsok sorszámára van még szüsége a programnak. Az <input.txt> leba # -el kezdve megjegyzéseket is írhatunk. A struktúragráf csúcsait számokkal kell megadnunk 1-t l kezdve. Meg kell adnunk legalább egy bemenetet és egy kimenetet. A program ellen rzi, hogy számbemenetet és nullától különböz számokat adtunk e meg. Ha nem így járunk el hibajelzést ad: Nem szam, vagy nulla! A program kiszámolja a struktúra gráfon a bemenetekt l a kimenetekig vezet legrövidebb utak hosszát, majd a Lemmát (r ij = l ij 1) felhasználva megadja a folyamatrendszer relatív fokszám mátrixát. Ezután a (62). egyenletnek megfelel en kiszámolja a folyamatrendszer átsúlyozott relatív fokszám mátrixát. Ez a mátrix megfeleltethet egy olyan súlyozott páros gráfnak, amelyre teljesülnek a 3.4. fejezet feltételei. A program ezután megkeresi ebben a súlyozott páros gráfban a legnagyobb súlyú párosítást, amely megadja a legjobb egzakt linearizációs szabályozó struktúrát. Ezt oly módon teszi, hogy a lehetséges párosítások közül kiválasztja a legnagyobb súlyút. A súlyozás biztosítja, hogy a legjobb egzakt linearizációs szabályozó struktúrát válasszuk ki. A program eredményül az <output.txt> leban a relatív fokszám mátrixot, az átsúlyozott relatív fokszám mátrixot, valamint a legjobb szabályozó struktúrát adja vissza. Az <input.txt> leban és az <output.txt> leban nincsenek ékezetes bet k, mivel

44 38 5 A PROGRAM FELHASZNÁLÓI LEÍRÁSA ezeket a C++ fordító nem ismeri. 11. ábra. A programnak bemenetként megadott struktúra gráf A 1. ábrán látható h cserél hálózathoz a következ <input.txt> le tartozik: #csucsok_szama: 11 #honnan->hova_a_graf_elei:

45 39 5 A PROGRAM FELHASZNÁLÓI LEÍRÁSA #bemenetek_szama: 3 #kimenetek_szama: 2 #1.bemenet: 1 #2.bemenet: 2 #3.bemenet 3 #1.kimenet: 11 #2.kimenet: 10 Az eredményül kapott <output.txt> le: A relativ fokszam matrix: Az atsulyozott relativ fokszam matrix: A legjobb szabalyozo struktura: u1y1 u2y2

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Flat rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások "Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.

Részletesebben

Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk

Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi

Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

A számítástudomány alapjai

A számítástudomány alapjai A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

Soros felépítésű folytonos PID szabályozó

Soros felépítésű folytonos PID szabályozó Soros felépítésű folytonos PID szabályozó Főbb funkciók: A program egy PID szabályozót és egy ez által szabályozott folyamatot szimulál, a kimeneti és a beavatkozó jel grafikonon való ábrázolásával. A

Részletesebben

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás

Részletesebben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni

Részletesebben

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Végeselem modellezés alapjai 1. óra Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA

22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA 22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével

Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Pekárdy Milán, Baumgartner János, Süle Zoltán Pannon Egyetem, Veszprém XXXII. Magyar Operációkutatási

Részletesebben

Veszprémi Egyetem Műszaki Informatikai Kar Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Műszaki informatika szak DIPLOMADOLGOZAT

Veszprémi Egyetem Műszaki Informatikai Kar Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Műszaki informatika szak DIPLOMADOLGOZAT Veszprémi Egyetem Műszaki Informatikai Kar Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Műszaki informatika szak DIPLOMADOLGOZAT Decentralizált szabályozó rendszerek struktúrájának tervezése Kiss Levente Témavezető:

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ

FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Deníciók és tételek a beugró vizsgára

Deníciók és tételek a beugró vizsgára Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Konjugált gradiens módszer

Konjugált gradiens módszer Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Részletesebben

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Irányítástechnika 2. előadás

Irányítástechnika 2. előadás Irányítástechnika 2. előadás Dr. Kovács Levente 2013. 03. 19. 2013.03.19. Tartalom Tipikus vizsgálójelek és azok információtartalma Laplace transzformáció, állapotegyenlet, átviteli függvény Alaptagok

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Gyártórendszerek irányítási struktúrái

Gyártórendszerek irányítási struktúrái GyRDin-10 p. 1/2 Gyártórendszerek Dinamikája Gyártórendszerek irányítási struktúrái Hangos Katalin Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: hangos@scl.sztaki.hu GyRDin-10 p. 2/2 Tartalom

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)

Részletesebben

Irányításelmélet és technika I.

Irányításelmélet és technika I. Irányításelmélet és technika I Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai

Részletesebben

Julia halmazok, Mandelbrot halmaz

Julia halmazok, Mandelbrot halmaz 2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok

1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok 1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok (x, y) valós számpárokból állnak, két (a, b) és (c, d) pontnak a távolsága (a c)

Részletesebben

Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból

Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból 1 Átviteli tényező számítása: Lineáris rendszer: Pl1.: Egy villanymotor 100V-os bemenő jelre 1000 fordulat/perc kimenő jelet ad.

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/ Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben