Kódolás és szimbolikus dinamika

Átírás

1 Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kódolás és szimbolikus dinamika szakdolgozat írta: Rusz Mihály Balázs Matematika BSc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Buczolich Zoltán egyetemi docens ELTE TTK Analízis tanszék Budapest, 2010

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Motiváció A merevlemez vázlatos működése Problémák egy az egyben tárolás esetén Az MFM kódolás Alapismeretek A szimbolikus dinamika alapjai A teljes shift Shift terek Csúszó blokk kódok A véges állapotú gép Véges állapotú kód építése State-splitting Elemi splitting Generált splitting Teljes splitting Közelítő sajátvektorok A közelítő sajátvektor algoritmus Elemi v-konzisztens splitting A kódoló építése A kódoló eljárás A state-splitting algoritmus Állapotfüggő dekóder A dekódoló eljárás

3 1. Bevezetés 1.1. Motiváció Napjainkban, mikor a technika igen nagy ütemben fejlődik és minden valószínűség szerint ez az iram csak nőni fog, rendkívül fontos a hatékonyság, a takarékosság és a gyorsaság. A számítógépek segítségével olyan korlátokat léptünk át, melyek a korábbi századokban megközelíthetetlennek látszottak. Egyre szélesebb körökben váltja fel a ceruzát és a tollat a billentyűzet, a papírt a merevlemez, a CD, a DVD, a pendrive, vagy éppen a mobiltelefonunkba is helyezhető Micro SD kártya. Formanyomtatványok helyett intenetes űrlapokat tölthetünk ki, például személyi jövedelemadónkat is bevallhatjuk ilyen módon. Az interneten keresztül levelezhetünk, vásárolhatunk, közzétehetjük szakdolgozatunkat, híreket olvashatunk. Szinte végtelen hosszú az újítások sora. Lehetőségünk nyílt nagyon nagy információmennyiség feldolgozására (gondoljunk például a meteorológiára), viszont ezt a rengeteg adatot tárolnunk is kell. A merevlemezen, CD-n, DVD-n, stb. az információt 0-1 sorozatok formájában tároljuk. A gyakorlat azt mutatta, hogy az ilyen sorozatokat nem célszerű egy az egyben tárolni részben a hibalehetőségek miatt, részben pedig a tárhelyigény nagysága miatt ezért kódolni kell őket. Ennek a dolgozatnak a célkitűzése, hogy bemutassa egy véges állapotú kódoló építésének menetét, illetve az állapotfüggő dekóder rel történő dekódolási eljárást. Először a merevlemez vázlatos működési elvét írom le, majd néhány gyakorlati problémát ismertetek, melyek a merevlemezen történő adattárolásnál jelentkeznek, azután rátérek a fő témára, hogy hogyan is 3

4 lehet egy véges állapotú géppel kódolni az inputként kapott 0-1 sorozatokat, majd pedig hogyan lehet a kódolt sorozatokat dekódolni A merevlemez vázlatos működése A merevlemez belsejében több, egymás fölött elhelyezkedő, mágnesezhető réteggel bevont körlemez található. Ezek folyamatosan forognak, manapság egy asztali számítógépben általában 7200 f ordulat/perc, egy notebookban pedig 5400 f ordulat/perc sebességgel. Minden lemez adatsávokra van osztva (lásd 2. ábra). Az adatokok olvasására, illetve írására egy fej szolgál, amely sugárirányban tud mozogni a lemezeken. Íráskor ebben a fejben 1. ábra. Illusztráció áram folyik, aminek az iránya változtatható. Ennek az áramnak a hatására a lemez mágneseződik. Az 3. ábrán látható, hogyan alakul a mágnesezettség, ha a sorozatot kell felírnunk a lemezre. Ha inputként egy 1-es érkezik, akkor megváltozik az áram iránya, ezzel ellentétes polaritású mágnest hoz létre, ha pedig 0, akkor nem változik. A 4. ábrán az adat visszaolvasásának folyamata látható. Az L érték az úgynevezett mérési ablak hossza. Azt figyeljük, hogy egy-egy mérési ablakon belül jelentkezik-e impulzus (feszültség csúcs), amit az ellentétes polaritású mágnesek idéznek elő. Ha van impulzus, azt 1- esnek olvassuk le, a hiánya pedig a 0-t jelenti. 4

5 2. ábra. Az adatok elhelyezkedése a merevlemezen 3. ábra. Adat írásakor 1.3. Problémák egy az egyben tárolás esetén Interferencia. Ez a probléma akkor jön elő, ha túl sűrűn történik a polaritásváltás, mert ilyenkor előfordulhat, hogy a mágneses erőtérben kioltódás lép fel. A merevlemez tulajdonságai miatt létezik egy minimális távolság, aminek két polaritásváltás között lennie kell. Ha tudjuk, hogy olyan sorozatokkal dolgozunk, amelyekben két 1-es között d darab 0 van, akkor a mérési ablakunk csökkenthető lenne re, mert még így is elég messze lenne egymástól a két 1-es. Órajel-elcsúszás. 5 d+1

6 4. ábra. Adat olvasásakor Akkor jelentkezik ez a probléma, ha túl sok a 0 két 1-es között. Tartalmazzon az adatunk egy részt. Ahol a 0-k száma n. Ezt úgy olvassuk ki, mint (n + 1) L idővel elválasztott polaritásváltást. Ha n nagy, akkor az órajelben levő legkisebb elcsúszás is hibás n-et eredményez, amelyből következik, hogy hibás adatot fogunk kiolvasni. Ezt a hibát például úgy is ki lehet küszöbölni, hogy nem engedünk meg kettő darab 0-t egymás mellett Az MFM kódolás A fent említett problémákat orvosolhatjuk a módosított frekvencia modulációs (MFM) módszerrel is, mely a következőképpen működik. 0-t szúrunk be az 10, a 01 és az 11 közé, 1-est a 00 közé. Például Az így kapott kódok olyanok, hogy kellően sokszor fordul elő bennük 1- es, amit használhatunk órajelszinkronizációra, és nincs egymás mellett 6

7 kettő 1-es, így a mérési ablak a felére csökkenthető (L = ). n bitet 2 ugyan 2n bittel tudunk kódolni, de a helyigény 2n ( ) 2 = n marad. 2. Alapismeretek Ez a fejezet azt a célt szolgálja, hogy ismertesse azokat a definíciókat és állításokat, melyek elengedhetetlenek lesznek a későbbiekben. Két terület ismeretanyagára lesz szükségünk. Először meg kell ismerkednünk a szimbolikus dinamika alapjaival, majd pedig a véges állapotú gépekkel A szimbolikus dinamika alapjai Az információt gyakran olyan sorozatokkal írjuk le, melyek elemei egy véges halmazból kerülnek ki. Pédául ez a dolgozat is betűk, írásjelek és matematikai szimbólumok hosszú sorozata A teljes shift 2.1. Definíció. Az A véges halmazt, melyből a sorozat elemei származnak ábécének, A = {a, b, c,...} esetén a-t, b-t, stb. betűknek nevezzük. Például a 10-es számrendszerben felírt számok esetében A = {0, 1, 2,..., 9}, bináris sorozatok esetében pedig A = {0, 1}. Bár a valóságban a sorozatok végesek, gyakran praktikus végtelennek tekinteni őket. A mindkét irányban végtelen sorozatokat x =... x 2 x 1 x 0 x 1 x 2... alakban fogjuk felírni, ahol x i A minden i-re. Az x i szimbólumot x i-edik koordinátájának nevezzük. A 0. koordinátát külön ki is emel- 7

8 hetjük, mi pontot fogunk tenni elé. Például esetén x 0 = 3, x 1 = 1 stb Definíció. Ha A egy ábécé, akkor teljes A-shiftnek hívjuk az összes mindkét irányban végtelen sorozat halmazát, ahol a sorozat tagjai csak A elemei közül kerülhetnek ki. Teljes r-shiftnek, vagy egyszerűen r-shiftnek nevezzük azt a teljes shiftet, amelynek ábécéje az A = {0, 1,..., r 1} halmaz. A teljes A-shiftre bevezetjük azt a jelölést, hogy A Z = {x = (x i ) i Z : x i A minden i Z-re}. Az x A Z -t A Z egy pontjának nevezzük. A későbbiekben nem csak külön-külön kell szimbólumokat kezelnünk, hanem úgynevezett blokkokat, vagy más néven szavakat is, melyeket úgy definiálunk, mint az ábécébeli szimbólumok véges hosszú sorozatai. A blokk hossza a benne szereplő szimbólumok száma. Megengedett az ɛ-nal jelölt üres blokk is, ennek hossza 0. Például A = {1, 2, 3} esetén egy hét hosszú blokk. A k hosszú blokkokat k-blokkoknak is szoktuk hívni. Bevezetjük a blokkok számára az x [i,j] = x i x i+1... x j jelölést. i > j esetén x [i,j] legyen ɛ Definíció. Legyen X A Z és x = (... x 2 x 1.x 0 x 1 x 2...) X. Shiftnek 1 nevezzük a következő σ-val jelölt függvényt. σ : X X, σ(x i ) = x i+1 minden i-re, azaz σ(... x 2 x 1.x 0 x 1 x 2...) = (... x 1 x 0.x 1 x 2 x 3...) Látszik, hogy a shift függvény invertálható, az inverzét jelöljük σ 1 -nel. σ 1 (x i ) = x i 1. Jelölje σ n a shift n-edik iteráltját, azaz σ(σ(... σ(x)...))- t, vagyis σ n (x i ) = x i+n. Hasonló módon definiáljuk σ n -t is. 1 Magyarra fordítva eltolást jelent, de inkább az angol verzió használatos. 8

9 Shift terek Sokszor szükség van arra, hogy a szimbólum sorozatainkban ne fordulhassanak elő bizonyos blokkok. A merevlemeznél, ahogy az előzőekben láttuk, problémát okoz, ha két 1-es van egymás mellett, vagy ha túl sok a 0 két 1-es között Definíció. Legyen F blokkoknak egy halmaza, ezeket fogjuk tiltott szavaknak hívni. Jelölje Ω A,F azon x A Z elemek halmazát, melyek F egyetlen elemét sem tartalmazzák. Shift térnek nevezzük az A Z egy Ω részhalmazát, ha Ω = Ω A,F valamilyen F blokkhalmazzal. Példák shift terekre. 1. Nyilván, minden teljes A-shiftre igaz az, hogy A Z = Ω A,{ɛ}, vagyis ha nem tiltunk le semmit, akkor meghagytuk az összes sorozatot. Szintén nyilvánvaló, hogy Ω A,A =, hiszen ekkor mindent letiltunk. 2. Azt a shift teret szeretnénk definiálni, melynek ábécéje A = {0, 1}, és nem fordulhat elő benne két darab 1-es egymás mellett. Ebben az esetben a tiltóblokk-halmaz egyelemű, F = {11}. Tehát a keresett Ω shift tér az Ω 2,{11}. Például az x = Ω 2,{11}, de y = / Ω 2,{11}. 3. RLL(d, k)-val 2 jelöljük azokat a speciális típusú A = {0, 1} ábécé felett értelmezett shift tereket, amelyekben két 1-es között legalább d, legfeljebb k darab 0 lehet. Az RLL(0, 2) esetében a tiltóblokkokhalmaz F = {000}. 2 Az angol Run Length Limited rövidítése. 9

10 Egy adott shift térnek nem feltétlenül egyértelmű a tiltóblokk-halmaza. A 2-es példában F = {000} helyett választhattuk volna az F = {1000, , 00000}-t is Definíció. Véges típusú shift térnek hívjuk azokat a shift tereket, melyek véges sok tiltó blokkal megadhatóak. Ellenkező esetben a végtelen típusú shift tér kifejezést haszáljuk Definíció. Legyen X egy teljes shift részhalmaza, B n (X) pedig az összes n-blokk, ami előfordul X-ben. X nyelvének nevezzük az B(X) = B n (X) n=0 kifejezést, vagyis az összes X-ben előforduló szavak halmazát. Az előző példák közül a 2-esben szereplő shift tér nyelve {ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 000, 001, 010, 100, } Csúszó blokk kódok Tegyük fel, hogy egy sorozat x =... x 1 x 0 x 1... egy X shift térben az A ábécé felett. Legyenek m és n rögzített egész számok, amikre teljesül, hogy m n. Szeretnénk x-et átalakítani egy y =... y 1 y 0 y 1... egy másik C ábécé feletti sorozattá. Ehhez egy Φ függvényt használunk, amely X-beli megengedett (m+n+1)-blokkokból, azaz B m+n+1 (X)-ből képez C-beli szimbólumokká. Az ilyen függvényeket (m + n + 1)-blokk leképezéseknek hívjuk. y koordinátáit a következő módon számítjuk ki. y i = Φ (x i m x i m+1... x i+n ) = Φ ( x [i m,i+n] ). 10

11 2.7. Definíció. Legyen X egy shift tér A felett és Φ : B m+n+1 (X) C egy blokk leképezés. Ekkor a φ : X C Z csúszó blokk kódnak hívjuk, melynek memóriája illetve anticipációja a Φ függvényhez tartozó m és n A véges állapotú gép A véges állapotú gép szimbólumokból álló sztringekkel 3 dolgozik, van egy kijelölt kezdőállapota és rendelkezik egy átmenet-függvénnyel, amely meghatározza, hogy az adott beérkező szimbólum hatására a gép melyik állapotába kerüljön (előfordulhat az is, hogy a gépnek ugyanabban az állapotában kell maradnia). Az állapotok száma pedig véges. Példa. Képzeljünk el egy embert, aki imád sportfogadásokat kötni, és egy olyan szolgáltatásra is előfizetett, amely sms-értesítést küld arról, hogy a meccs végeredménye egyezik-e az általa megtippeltel. Az sms-ben különbözés esetén a 0, egyezés esetén 1-es érkezik. Emberünk ezzel tudta nélkül is egy véges állapotú géppé vált, mégpedig a következő módon. Ha helyesen tippelt, akkor boldog állapotba, ha rosszul, akkor pedig szomorú állapotba kerül. Ha már eleve boldog volt, és 1-es érkezik az sms-ben, akkor boldog is marad, ha pedig szomorú volt és 0 érkezik, akkor szomorú is marad. Kis tétekkel játszik, csupán hobbiból, nem számít neki, hogy a végén profitja, vagy vesztesége származik a játékokból. Az 5. ábra mutatja, hogyan néz ki az őt leíró véges állapotú gép. Tegyük fel, hogy éppen boldog volt, amikor ezt az üzenetsorozatot kapja: Az ábráról jól leolvasható, miként változott a hangulata az sms-ek hatására. Az 5. ábrát a gép állapotátmeneti diagramjának (Finite State Tran- 3 A sztring egyszerű objektumoknak, például karaktereknek egy sorozata. 11

12 5. ábra. Egy véges állapotú gép sition Diagram, FSTD) hívjuk, melynek kulcsfontosságú szerepe lesz, amikor kódoló építésére használunk véges állapotú gépeket Definíció. FSTD-nek nevezünk egy G irányított gráfot, amelynek véges sok csúcsa (ezek felelnek meg az állapotoknak) és éle van, az élei pedig egy véges ábécé elemeivel vannak megcímkézve. A csúcsok halmazát V (G)-vel, az élek halmazát E(G)-vel jelöljük. Irányítatlan gráfokat is tudunk FSTD-ként kezelni, ha az éleket odaés visszafele irányítva is behúzzuk. Hogyan tudunk FSTD-vel sztringeket gyártani? Kiválasztunk egy kezdő csúcsot, majd innen indulunk el az élek mentén, természetesen figyelembe véve azok irányítását. Minden egyes él meg 12

13 6. ábra. Tipikus FSTD van címkézve, amelyeket az élen való áthaladáskor leolvasunk. A 6. ábrán látható FSTD-vel például a accca sztringet a csúcsok sorozatával tudjuk előállítani Definíció. Egy FSTD által generált összes véges hosszúságú sorozatok halmazát korlátozott rendszernek hívjuk és S-sel jelöljük Definíció. Egy G FSTD-t determinisztikusnak nevezünk, ha minden csúcsára igaz az, hogy a kimenő élek különbözően vannak megcímkézve. Vagyis ahhoz, hogy előállítsunk egy kívánt címkét, egyértelműen meg van határozva, hogy melyik élen kell elindulnunk az adott csúcsból Definíció. Ha a G FSTD minden i csúcsára teljesül, hogy minden a + 1 hosszú út, ami i-ben kezdődik és ugyanazt a sorozatot állítja elő ugyanazzal az éllel indul, és a a legkisebb ilyen pozitív egész, akkor a-t G lokális anticipációjának nevezzük. Más szavakkal, elég ha tudjuk a kiinduló csúcsát egy útnak és a sztring első a + 1 szimbólumát amit generál ahhoz, hogy tudjuk az első él végpontját. 13

14 2.12. Definíció. Egy G FSTD-nek véges a lokális anticipációja, ha a véges. Ha nincs véges a, akkor végtelen lokális anticipációjúnak nevezzük. Az FSTD determinisztikussága ekvivalens azzal, hogy a lokális anticipációja 0, hiszen ez azt jelenti, hogy ha tudjuk a kiinduló csúcsot és a sztring 0+1 = 1 szimbólumát amit generál, az elég ahhoz, hogy tudjuk az első és egyben egyetlen él végpontját. 7. ábra. 1 anticipációjú FSTD Definíció. Egy G FSTD-t irreducibilisnek nevezünk, ha bármely i kezdőcsúcsából vezet út bármely kiválasztott j csúcsba. Ha pedig nem irreducibilis, akkor reducibilisnek nevezzük Definíció. Egy G FSTD-t szétesőnek nevezünk, ha az éleinek halmaza szétbontható két részre úgy, hogy ne létezzen olyan él, melynek végpontjai különböző részben vannak. Ha nem széteső, akkor összefüggőnek nevezzük. 14

15 2.15. Definíció. Egy G irreducibils FSTD-t, amely valódi része (egyenlőséget nem engedünk meg) egy irreducibilis FSTD-nek, irreducibilis komponensnek nevezünk. 8. ábra. Egy reducibilis FSTD és az irreducibilis komponensei Definíció. G q -t G q-adik hatványának nevezzük. G q csúcsai ugyanazok, mint G csúcsai, de akkor van él két csúcs között, ha G- ben létezett egy q-hosszú út köztük. A G q által generált rendszert S q -val jelöljük. S q ábécéjét S-beli q-blokkok alkotják. Ha G-nek véges lokális anticipációja volt, akkor G q -nak is az lesz. Ha G irreducibilis FSTD, akkor bármely hatványa vagy irreducibilis, vagy szétesik diszjunkt irreducibilis komponensekre. log Definíció. A Cap(S) = lim 2 (N(n;S)) n mennyiséget az S n rendszer Shannon-kapacitásának nevezzük, ahol az N(n; S) az S-beli n hosszú utak számát jelöli. Cap(S) az n hosszú sztringek növekedési ütemét méri, azaz elég nagy n-re a megengedett n hosszú sztringek száma jól becsülhető a 2 Cn értékkel, ahol C n = log 2 (N(n;S)) n. 15

16 Shannon megmutatta, hogy ez a mennyiség felső korlátot ad az elérhető rátára bármely véges állapotú rendszerben. Sőt, adott p, q egymáshoz relatív prím egészekre, amelyekre p/q Cap(S) teljesül, létezik olyan k egész szám és 2 kp blokk S-ben, amelyek kq hosszúak. Bármely S-et reprezentáló G FSTD Shannon-kapacitását kiszámíthatjuk, feltéve, hogy a lokális anticipációja véges. A legegyszerűbb abban az esetben, ha az FSTD determinisztikus. A számításhoz a gráf szomszédsági mátrixát használjuk, amit A(G)-vel jelölünk Állítás. Legyen G egy FSTD. Ha G-nek véges a lokális anticipációja, akkor Cap(S) = log 2 λ(a(g)), ahol λ(a(g)) a szomszédsági mátrix legnagyobb valós sajátértéke Állítás. Legyen G egy FSTD, szomszédsági mátrixa pedig A(G) és legyen m 1. Ekkor az m hosszú utak száma i-ből j-be (A(G m )) ij, ebből adódóan G q szomszédsági mátrixa A(G) q lesz. Bizonyítás. m = 1-re igaz az állítás, hiszen így definiáltuk A(G)- t. Legyen A = A(G). A 2 = AA. Jelölje a i. a baloldali mátrix i-edik sorvektorát, a.j a jobboldali mátrix j-edik oszlopvektorát. Ekkor a (A 2 ) ij = a i1 a 1j +a i2 a 2j +..., ahol a i1 azt mutatja, hogy hányféleképpen juthatok el (hány út vezet) i-ből 1-be, a 1j pedig azt, hogy hányféleképpen juthatok el 1-ből j-be. a i1 a 1j az összes kettő hosszú utat jelenti, ami átmegy az 1-es csúcson. Ugyanígy a i2 a 2j a 2-es csúcson átmenő kettő hosszú utakat számolja és így tovább. Összegük tehát az összes i-ből j-be vezető kettő hosszú utak száma. Ugyanezzel az érveléssel, A m = A m 1 A esetén A m 1 az összes m 1 hosszú utat megszámolta, az A-val való szorzás pedig megnöveli az utak hosszát eggyel. 4 A(G) = {a ij } szomszédsági mátrix, ahol a ij az i csúcsból a j csúcsba vezető élek számát jelenti. 16

17 2.20. Állítás. Az S q rendszer kapacitása q-szorosa az S rendszer kapacitásának, azaz Cap(S q ) = qcap(s). Bizonyítás. Tudjuk, hogy Cap(S) = log 2 (λ(a)). Cap(S q ) = log 2 (λ(a q )) = log 2 (λ(a)) q = qλ(a). 3. Véges állapotú kód építése 3.1. Tétel. Véges állapotú kódolás tétele. Legyen az S rendszer Shannon-kapacitása Cap(S). Legyenek p, q Z +, p/q Cap(S). Ekkor létezik véges állapotú kódoló állapotfüggő dekóderrel, amely bináris adatot kódol a rendszerbe konstans p/q rátával. Ez a tétel biztosítja, hogy létezik olyan véges állapotú kód, amelynek rátája eléri a Cap(S)-t abban az esetben, ha az racionális, másrészt bármely adott p, q egészekre, amelyek teljesítik a fenti feltételeket, létezik olyan kódoló, amely p/q rátával működik. A tétel bizonyítása a következő módszeren alapszik State-splitting Adott a G FSTD és p/q rátájú kódot szeretnénk készíteni (p/q Cap(S)). Tekintsük G q -t, G q-adik hatványát. Itt a csúcsok ugyanazok, mint G-ben, az élek viszont G-beli q hosszú utaknak felelnek meg. Ahhoz, hogy elő tudjunk állítani minden adatként érkező p-blokkból egy q-blokkot, G q minden egyes csúcsából legalább 2 p darab él kell, hogy kiinduljon. Az egy csúcsból kiinduló élek számát kifoknak nevezzük és d ki -vel jelöljük. Tehát a feltételünk a következő. 17

18 d ki 2 p. (3.1.1) A későbbiekben látni fogjuk, hogy valójában elég, ha létezik egy rész-fstd, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal Definíció. Az R(i) sorösszeget a következő módon definiáljuk. R(i) = A(K) i,1 + A(K) i, A(K) i,n, ahol A(K) i,j a K-beli i csúcsból a j-be vezető élek száma. Vagyis ha a szomszédsági mátrix egy sorának elemeit összeadjuk, akkor pont a sorindex által reprezentált csúcs fokát kapjuk meg. Ezzel a jelöléssel a feltétel: R(i) 2 p (3.1.2) Tekintsük az A(G q )u 2 p u (3.1.3) egyenlőtlenséget, ahol u egy 0-1 oszlopvektor, vagyis olyan oszlopvektor, amelynek komponensei 0 vagy 1 értékűek lehetnek. Azok a csúcsok, amelyeknek megfelelő u-beli komponens 1-es, egy olyan rész-fstd-t alkotnak, amely teljesíti a feltételt Elemi splitting Legyen H egy FSTD és legyen E i az i csúcsból induló élek halmaza. Osszuk fel két diszjunkt részre E i -t. A felosztás utáni egyik élhalmazt jelöljük Ei 1 -vel, a másikat pedig Ei 2 -vel. Ezután elkészítünk egy H FSTD-t, amelynek a csúcshalmazába belevesszük i-t kivéve H minden csúcsát, az i csúcsot pedig két új csúccsal helyettesítjük, melyeket jelöljünk i 1 -gyel és i 2 -vel. Tehát 18

19 V (H ) = {j H j i} {i 1, i 2 } (3.1.4) i 1 -et és i 2 -t i leszármazottjainak, i-t pedig i 1 és i 2 szülőjének nevezzük. H élei pedig a következők lesznek: 1. eset: ha H-ban az él j i-ből i-be vezetett, akkor H -ben i 1 -be és i 2 -be is behúzunk egy élt. 2. eset: ha H-ban i-ből indult és j i-be vezetett, és e Ei k, akkor H -ben i k -ból fog j-be vezetni (k {1, 2}). 3. eset: ha H-ban i-nél hurokél található és e Ei k, akkor H -ben két él indul i k -ból, egy i 1 -be és egy i 2 -be. Minden esetben az élek címkéi H -ben megegyeznek a szülő élek címkéivel Generált splitting Ez egy általánosabb formája a elemi splittingnek és vissza is lehet vezetni rá. 2 helyett N részhalmazra bontjuk az éleket. E i = Ei 1 Ei 2... Ei N (3.1.5) 3.3. Állítás. A H által generált sorozatok rendszere pontosan ugyanaz, mint amit H generál. Ha a H által generált rendszer anticipációja a volt, akkor H -é legfeljebb a + 1. Ha H irreducibilis volt, akkor H is az Teljes splitting Ez az eljárás nem más, mint a generált splitting abban az esetben, amikor úgy partícionáljuk az élhalmazt, hogy minden partíció egy-egy 19

20 élnek feleljen meg. Azt az FSTD-t, amelyet ezzel az eljárással kapunk H (2) -vel jelöljük és H élgráfjának nevezzük. A state-splitting eljárásokkal megváltoztathatjuk a lokális képét bármely FSTD-nek, például a csúcsok kifokát is Közelítő sajátvektorok Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy mit tehetünk akkor, ha ugyan p/q Cap(S), de G q nem teljesíti a kifok-kritériumot? 3.4. Definíció. Az A q v 2 p v egyenlőtlenséget közelítő sajátvektor egyenlőtlenségnek, a benne szereplő v-t pedig (A q, 2 p )-közelítő sajátvektornak nevezzük. Ennek jelentése a G q gráfban: tekintsük v-t, mint a csúcsok súlyvektorát, azaz v = (v 1, v 2,..., v r ) esetén v i az i csúcs súlyát jelenti. Ugyanezeket a súlyokat rendeljük hozzá az élekhez is, mégpedig úgy, hogy v j legyen annak az élnek a súlya, amelyiknek a vépontja j. Az élek súlyát jelöljük w(e)-vel. Így a közelítő sajátvektor egyenlőtlenség megfelel annak a kritériumnak, hogy minden csúcsra igaznak kell lennie annak, hogy ha összeadjuk a csúcsból kimenő élek súlyait, akkor annak legalább 2 p -szer nagyobbnak kell lennie, mint a csúcs súlya. Képlettel a következő képpen tudjuk felírni: w(e) 2 p v i (3.2.1) e E i A gyakorlatban mindig feltehető, hogy a v közelítő sajátvektor komponensei pozitívak a következő miatt. Ha v komponensei között található 0 értékű, akkor a nekik megfelelő 0 súlyú csúcsokat, és ezen csúcsokhoz tartozó éleket töröljük G q -ból. Ily módon létrehozunk egy K rész- FSTD-t. A v vektort K-ra megszorítva, azaz v komponensei közül a 20

21 0 értékűeket elhagyva egy w vektort kapunk, ami (A(K), 2 p ) közelítő sajátvektor lesz. De hogyan találhatunk közelítő sajátvektort? A közelítő sajátvektor algoritmus A következő algoritmus P. A. Franaszektől származik. Legyen T = (t ij ) egy mátrix, melynek elemei nemnegatív, egész számok és legyen n pozitív egész szám. Amit keresünk, az egy (T, n)-közelítő sajátvektor, vagyis egy olyan nemnegatív egész komponensű vektor, amely teljesíti a T v nv egyenlőtlenséget. Az algoritmus lépései a következők: 1. Legyen k = Legyen v (0) = (L, L,..., L). 3. Minden koordinátára ( definiáljuk ]) a = min vi k, mennyiséget. v (k+1) i [ 1 n j t ijv (k) j 4. Ha v (k+1) v (k), akkor k := k + 1 és a 3. lépéstől folytatjuk. 5. Ha v (k+1) = v (k), akkor legyen v = v (k). Ez az algoritmus mindig egy nemnegatív, egész komponensekkel rendelkező v vektort fog előállítani. Ha v = 0, az azt jelenti, hogy L-et túl kicsinek választottuk, és nem létezik közelítő sajátvektor legfeljebb L értékű komponensekkel. Ebben az esetben újra kell kezdeni az algoritmust egy nagyobb L értékkel. Kézenfekvő az a módszer, hogy először L = 1-gyel indítjuk az algoritmust, majd egyesével növeljük az értékét, amíg nem találunk egy közelítő sajátvektort. A keresést lehet gyorsítani, például azzal, hogy L = 1, 2, 4, 8,... értékekkel próbálkozunk és ha valamilyen k-ra L = 2 k esetén az algoritmus közelítő sajátvektort talál, akkor bináris keresést hajtunk végre a 2 k 1 és 2 k közötti számokon. 21

22 3.5. Állítás. A közelítő sajátvektor algoritmussal kapott vektor a legnagyobb közelítő sajátvektor abban az értelemben, hogy komponensei legfeljebb akkorák, mint a kezdeti vektoré. Ezt úgy is mondhatnánk, hogy ha az u vektor egy közelítő sajátvektor, amelyre teljesül, hogy u v (0), akkor u v. Tehát ezzel az algoritmussal meg tudjuk találni a (T, n)-közelítő sajátvektort. Ha T -nek A(G q )-t, n-nek pedig 2 p -t választjuk, akkor megkaphatjuk azt a közelítő sajátvektort, amire szükségünk van a kód építése során Elemi v-konzisztens splitting Legyen H egy FSTD, T = A(H) és n Z +. Adott egy v (T, n)-közelítő sajátvektor. E i jelöli az i csúcsból kiinduló élek halmazát Definíció. Elemi v-konzisztens felosztásnak nevezünk egy E i = E 1 i E 2 i felosztást, amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy E 1 i = e E 1 i w(e) y 1 n és E 2 i = w(e) y 2 n e E 2 i ahol y 1 és y 2 egészek, y 1 1, y 2 1 és y 1 + y 2 = v i. Az i csúcsra vonatkozó, ezzel a felosztással meghatározott splittinget elemi v-konzisztens splittingnek hívjuk. Az splitting után eredményül kapott FSTD-t jelöljük H -vel, a szomszédsági mátrixát pedig T -vel. Legyen v az a vektor, amelynek kompo- 22

23 nensei a H -beli csúcsokat reprezentálják, és értékei pedig a következőképpen vannak meghatározva v j ha j i v j = y 1 ha j = i 1 y 2 ha j = i 2. (3.3.1) 3.7. Állítás. A H-ból elemi v-konzisztens splittinggel kapott H FSTDnek eggyel több csúcsa van, mint H-nak, és k v k = k v k és v i v -ben két szigorúan kisebb pozitív egész számmal lett helyettesítve, amiknek az összege v i A kódoló építése 3.8. Állítás. Legyen T a H irreducibilis FSTD szomszédsági mátrixa, és v pozitív (T, n)-közelítő sajátvektor. Tegyük fel, hogy a csupa 1 vektor nem (T, n)-közelítő sajátvektor. Ekkor H-nak van elemi v-konzisztens splittingje. Mielőtt bizonyítanánk az állítást, megmutatjuk, hogyan használhatjuk fel azt iteratív módon, kódoló FSTD készítésére. Szükségünk lesz arra a feltételre, hogy a rendszer Shannon-kapacitása legalább p/q legyen. Legyen G q az S q rendszer FSTD-je, és tegyük fel, hogy nincs 0-1 (A(G q ), 2 p )- közelítő sajátvektor, valamint legyen x (A(G q ), 2 p )-közelítő sajátvektor. Ha x-nek van 0 komponense, akkor figyelmünket arra a K FSTD-re irányítjuk, amelyet a nemnulla komponensek határoznak meg. Nevezzük w-nek azt a vektort, amelyet úgy kapunk, hogy x-et megszorítjuk K-ra, vagyis töröljük belőle a 0 értékű komponenseket. w egy (A(K), 2 p )- közelítő sajátvektor K-ban. Ha K irreducibilis, akkor használhatjuk a 3.8 állítást, viszont előfordulhat, hogy K nem lesz irreducibilis. Abban az esetben, ha K 23

24 reducibilis lenne, akkor egy irreducibilis komponensére szorítkozunk, majd erre a komponensre alkalmazzuk a 3.8 állítást. Ezt megtehetjük, mégpedig a következő érvelés miatt. Vegyük sorra K irreducibilis komponenseit és keressünk közöttük olyat, amelyre igaz az, hogy az abból a komponensból kiinduló élek abban a komponensben is végződnek (az ilyeneket nyelőnek hívjuk). Ezt mindig meg tudjuk tenni az alábbi módszerrel. Vizsgáljuk meg az egyik irreducibilis komponenst, hogy rendelkezik-e a keresett tulajdonsággal. Ha igen, akkor megállhatunk. Ha nem, akkor léteznie kell egy útnak egy másik irreducibilis komponensbe, térjünk át annak a vizsgálatára. Ismételve ezt az eljárást, biztosan találni fogunk egy megfelelő komponenst, mert különben ellentmondásra jutnánk azzal, hogy irreducibilis részekre bontottuk az eredeti FSTD-t. A keresett komponenst nevezzük el H-nak. Mivel H, K egy irreducibilis komponense, és nincs 0-1 (A(G q ), 2 p )- közelítő sajátvektor, ezért a csupa 1-es vektor nem lehet (A(H), 2 p )- közelítő sajátvektor. És mivel a H-ból induló élek H-ban is végződnek, ezért a v-nek H-ra történő megszorítása után kapott w vektor pozitív komponensű, (A(H), 2 p )-közelítő sajátvektor lesz. A 3.8 állítást használhatjuk n = 2 p -nel, hogy végrehajtsuk a v-konzisztens splittinget H-n, amellyel egy irreducibilis H -t állítunk elő. Láttuk, hogy a v-konzisztens splitting v komponenseit szigorúan kisebb pozitív egészekre bontja, iterálva ezt a splitting eljárást elkészítjük a Ĥ FSTD-t, melynek szomszédsági mátrixát ˆT jelöli. ˆT -nek van egy csupa 1-es ( ˆT, n) közelítő sajátvektora, vagyis 24

25 n helyébe behelyettesítve 2 p -t pedig kapjuk, hogy ˆT v nv, (3.4.1) ˆT v 2 p v. (3.4.2) Mivel v a csupa 1-es vektor, ez pontosan azt jelenti, hogy Ĥ-ban minden csúcs kifoka legalább 2 p. Így Ĥ teljesíti a es kritériumot Állítás. A szükséges iterációk száma legfeljebb i v i 1. Bizonyítás. Az i csúcsnak, amihez a v i komponens tartozik, legfeljebb v i leszármazottja lehet, amihez v i 1 vágás kell. Hasonlóan érvelve a többi csúcs esetén is, összesen i v i 1 vágásra lesz szükségünk. Most már hozzáláthatunk a 3.8-as állítás bizonyításához. Bizonyítás. Legyen v max 1 v-nek a legnagyobb komponense. Először megmutatjuk, hogy létezik egy i csúcs, amely rendelkezik a 1. v i = v max 2. t ij 0 valamilyen j csúcsra, amelyre v j < v max tulajdonságokkal, majd pedig belátjuk, hogy ennek a csúcsnak van v- konzisztens vágása. Indirekt tegyük fel, hogy nem létezik ilyen csúcs. Ekkor a v max értékű komponensekhez tartozó csúcsokból kiinduló élek végpontjai csak olyan csúcsok lehetnek, melyek szintén v max értékű komponensekhez tartoznak. Mivel feltettük, hogy H ireducibilis, a v közelítő sajátvektor konstans kell hogy legyen, mégpedig minden komponensének v max -szal kell egyenlőnek lennie. Vagyis v = (v max, v max,..., v max ). Ha tekintjük a közelítő sajátvektor egyenlőtlenséget, azaz 25

26 T v nv, (3.4.3) és elosztjuk mindkét oldalt v max -szal, kapjuk, hogy T (1, 1,..., 1) n(1, 1,..., 1) (3.4.4) ami azt jelenti, hogy a csupa 1-es vektor is közelítő sajátvektor. De T -ről feltettük, hogy a csupa 1-es vektor nem közelítő sajátvektora, így ellentmondásra jutottunk. Láttuk tehát, hogy biztosan van egy i csúcs, amely rendelkezik az 1-es és 2-es tulajdonsággal. Feladatunk, hogy megkonstruáljuk ennek a csúcsnak a v-konzisztens vágását. Vegyük észre, hogy E i legalább n e- lemű ( E i n). A közelítő sajátvektor egyenlőtlenséget koordinátánként kiírva kapjuk, hogy t ik v k nv i, (3.4.5) k az 1-es feltétel szerint v i = v max, így felülről becsülhetjük az egyenlőtlenséget, ha minden k-ra v k helyett v max -ot írunk, vagyis E i v max k t ik v max nv max 5, (3.4.6) az egyenlőtlenséget v max -szal elosztva éppen azt kapjuk, hogy E i n. Jelöljük E i -t M-mel, írjuk fel E i -t E i = {e 1, e 2,..., e M } alakban, és e 1 végpontja legyen j. A 2. feltételt használva tudjuk, hogy v j = w(e 1 ) < v max. Jelölje W m a súlyok m-ig vett részletösszegét, vagyis a 5 Mivel a T mátrix i. sorában szereplő elemek összege éppen az i csúcsból kiinduló élek száma, így k t ikv max = v max k t ik = v max E i. 26

27 m W m = w(e k ), m = 1,..., M (3.4.7) k=1 kifejezést és jelölje R m W m n-nel vett osztási maradékát, azaz R m W m (mod n), m = 1,..., M. (3.4.8) A skatulya-elvhez hasonló állítás miatt, miszerint n helyre n tárgyat úgy tudunk csak elhelyezni, hogy vagy minden helyen lesz egy, vagy lesz olyan hely, ahova több tárgy is kerül, az alábbi két eset fordulhat elő. 1. R m 0 (mod n), valamely 1 m n esetén, vagy 2. R m1 R m2 (mod n), valamely 1 m 1 < m 2 n esetén. Az első eset fennállása esetén úgy határozzuk meg a v-konzisztens vágáshoz szükséges felosztásokat, hogy E 1 i = {e k k = 1, 2,..., m} (3.4.9) és E 2 i = E i E 1 i, (3.4.10) a második esetben pedig E 1 i = {e k k = m 1 + 1,..., m 2 } (3.4.11) és E 2 i = E i E 1 i. (3.4.12) Mindkét esetben az E i -beli élek súlyainak összege osztható lesz n-nel, hiszen az első esetben W m R m 0 mod n, a második esetben pedig az igaz, hogy 27

28 w(e 1 ) + w(e 2 ) w(e m1 ) w(e m2 ) 0 (mod n) (3.4.13) w(e 1 ) + w(e 2 ) w(e m1 ) 0 (mod n) (3.4.14) a két kongruenciát kivonva egymásból kapjuk, hogy w(e m1 +1) w(e m2 ) 0 mod n (3.4.15) Tehát mindkét esetben létezik r egész szám, hogy w(e) = rn. (3.4.16) e E 1 i Állítás. 1 r < v max. Bizonyítás. Nyílvánvaló, hogy 1 r, mert E 1 i nem üres egyik e- setben sem. Az első esetben E 1 i -nek legfeljebb n eleme van és köztük szerepel e 1 is, amiről feltettük, hogy a súlya kisebb, mint v max. Ezért a súlyösszeg biztosan kisebb lesz v max n-nél, azaz r < v max. A második esetben pedig E 1 i, n-nél szigorúan kisebb elemszámú, és minden elem legfeljebb v max -szal járul hozzá az összeghez. Ezek után már feltehetjük, hogy e E 2 i w(e) = e E i w(e) e E 1 i w(e) v i n rn = (v i r)n. (3.4.17) A 3.6 definícióban meghatározott v-konzisztens vágáshoz szükséges y 1 és y 2 értékeit úgy választjuk meg, hogy legyen, E i -nek pedig az y 1 = r y 2 = v i r E i = E 1 i E 2 i 28

29 felbontását haszáljuk. Tehát ezzel az iteratív eljárással a G q FSTD-ből elkészítünk egy Ĥ FSTD-t, amely ugyanazt az S q rendszert írja le, de rendelkezik már azzal a tulajdonsággal, hogy minden csúcsának a kifoka legalább 2 p. Ebből a Ĥ-ból könnyen tudunk p/q arányú kódolót készíteni, mégpedig úgy, hogy minden i csúcsból kiválasztunk 2 p darab kimenő élet, a többit pedig kitöröljük. Ezután minden élhez (2 p darab) különböző bináris p-blokkokat (ezeket input-tag-eknek hívjuk) rendelünk, hogy megkülönböztessük őket a már a gráfon lévő címkézéstől A kódoló eljárás 1. Választunk egy kezdő kódoló csúcsot, jelöljük i 0 -lal. 2. Ha jelenleg az i csúcsban vagyunk és az adatként kapott szó b (ami egy p-blokk), megkeressük azt az e E i élet, amihez a b input-tag tartozik. A kódszó, amit generáltunk, az a q-blokk, ami az e címkéjén szerepel. 3. Ismételjük az előző lépést, amíg van adatszó A state-splitting algoritmus Ebben a részben összefoglaljuk a kódoló építésének lépéseit. 1. Találjunk egy véges anticipációjú G FSTD-t, ha lehetséges, akkor determinisztikusat, amely reprezentálja az adott S rendszert. 2. Írjuk fel A(G)-t, G szomszédsági mátrixát. 29

30 3. Határozzuk meg Cap(S)-t, a rendszer kapacitását, melyet megkaphatunk, mint a szomszédsági mátrix legnagyobb sajátértékének kettes alapú logaritmusa. 4. Válasszuk ki a kívánt p/q kódolási arányt, amire teljesül, hogy Cap(S) p. Általában célszerű p-t és q-t relatíve kicsinek válasz- q tani. 5. Készítsük el G q -t. 6. Használjuk a közelítő sajátvektor algoritmust, hogy találjunk egy (A(G q ), 2 p )-közelítő v sajátvektort. 7. Ha szükséges, töröljük ki azokat az i csúcsokat, amelyekre v i = 0, és szorítkozzunk egy H irreducibilis nyelő komponensre. 8. Keressük meg H egy csúcsának egy elemi v-konzisztens felosztását. 9. Keressük meg az ennek a felosztásnak megfelelő elemi v-konzisztens splittingjét. Így létrehozzuk a H FSTD-t, amihez a v sajátvektor tartozik. 10. Iteráljuk a 8-as és 9-es lépést, amíg egy olyan Ĥ gráfot nem kapunk, ahol a kifok legalább 2 p. 11. Ĥ minden csúcsánál hagyjunk meg 2 p élet, és rendeljünk mindegyikhez egy p-blokkot. 4. Állapotfüggő dekóder Az előzőekben láttuk hogyan építhetünk kódolót, most pedig áttérünk a kódolási folyamat másik részére, a dekódolásra. Itt is feltesszük, hogy a kódoló eljárás során egy determinisztikus, de legalábbis véges lokális 30

31 anticipációjú G FSTD-ből indultunk ki. Láttuk azt is, hogy ekkor G q - nak is véges a lokális anticipációja (az anticipációt itt q-blokkokban mérjük). Továbbá beláttuk, hogy a state-splitting megőrzi ezt a tulajdonságot. A 3.5 eljárás során elkészített Ĥ kódoló FSTD anticipációja legyen a A dekódoló eljárás A következő módon tudjuk dekódolni a 3.5 eljárással előállított kódot. 1. A es fejezetben leírt eljárás 2-es pontjában választott i 0 kezdőcsúcsot használjuk itt is. 2. Ha a jelenlegi csúcs i, akkor a soron következő és az azutáni a darab kódszó, amit dekódolni szeretnénk, egy q-blokkokban mért a+1 hosszúságú sorozatot alkot, amit egy i-ből induló út generál. Mivel a lokális anticipáció a, az első éle az útnak egyértelműen meg van határozva. A dekódolt szó pedig ennek az élnek az inputtag-je lesz. 3. Ismételjük a 2-es lépést egészen addig, amíg kódszavaink vannak. Ezzel bebizonyítottuk a 3.1-es tételt, hiszen memutattuk mind a kódoló, mind a dekóder ekészítésének menetét. Ennek az eljárásnak az a hátránya, hogy ha meghibásodik az inputként kapott kódolt üzenet, akkor könnyen instabillá válik a dekódolás abban az értelemben, hogy az inputban levő kevés hiba esetén is sok hiba lesz a dekódolt üzenetben. A 4.1. ábrán látható kódoló FSTD esetében az éleken szereplő x/y címkében x jelenti a kódoló címkéit, y a dekóder címkéit. 31

32 Válasszuk kezdőállapotnak az 1-es csúcsot. Ha kódolni szeretnénk a sorozatot, akkor az aaaaa... kódszót kapjuk eredményül. Tegyük fel, hogy egy hiba folytán a sorozat első a eleme meghibásodott és b lett belőle. Dekódoláskor így az adatot fogjuk kapni, ami végzetes következményekhez vezethet. Például ha Beethoven IX. szimfóniáját tároltuk digitális formában, akkor rettentő zajokat fog eredményezni pár bithiba a fájlban. Ezért a gyakorlatban inkább a csúszó blokk kódokon alapuló úgynevezett csúszó blokk dekódereket használják, mivel azok nem függnek a csúcsoktól. Működése során a csúszó blokk dekóder a beérkező sorozatokban lévő adott szót, az őt megelőző m és az őt követő n szót is figyelembe veszi. A 9. ábrán egy csúszó blokk dekóder vázlatos rajzát láthatjuk. Jól látható, hogy egy bitnyi hiba csak egy m + n + 1 hosszú "ablakban" levő szavakra hat a dekódolás során. 32

33 9. ábra. Csúszó blokk dekóder működése 33

34 Hivatkozások [1] Brian H. Marcus, Paul H. Siegel, Jack K. Wolf: Finite-State Modulation Codes for Data Storage, IEEE Journal on Selected Areas in Communication Vol. 10 No. 1 January (1995) [2] Douglas Lind, Brian Marcus: An Introduction to Symbolic Dynamics and Coding, Cambridge University Press (1992) 34