A tőzsdei részvények hozamainak modellezése fontos feladat, mert a hozamokat leíró

Átírás

1 MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE A LÉVY-HATVÁNY GARCH-MODELLEL* A anulmányban a Lévy-havány GARCH-modell imeejük, é működéé ezeljük a MOL- (BÉT) é a CISCO- (NASDAQ) ézvények nagy fekvenciájú logaimiku hozamain. Bá a modell mindké ézvény időoáa jobban illezkedik, min a zokáo (nomáli elozláú innovációkkal endelkező) GARCH-modell, a maadékagok abiliáa elveheő. Ez az eedmény megkédőjelezi a Lévy-elozláok haználaának léjogoulágá pénzügyi időooka leíó modellekben. TÁRGYSZÓ: Lévy-elozlá, abil GARCH. A őzdei ézvények hozamainak modellezée fono felada, me a hozamoka leíó modell kulczeepe jázik a moden pénzügyi elméleekben (például deivaívák áazáánál), a pénzinézeeke éinő piaci kockázaok zámíáánál, vagy opimáli befekeéi (például fedezei) pofóliók kialakíáánál. A jelenleg alkalmazo zochaziku modellek, é a ájuk épülő elméleek ponalanok. A piaci válágok ézben annak ulajdoníhaók, hogy a piaci zeeplők az elejed modellek alapján ozul méik fel befekeéeik kockázaá, é hibá befekeéi dönéeke hoznak. A gyakolaban elejed ponalan modellek helye az uóbbi években öbb modell zülee má, azonban az új modellek közül egyik em íja le kiemelkedően jobban az adaoka, min a öbbi. A keee modellől az vájuk, hogy a hozamok eddig megime ipiku aizikai ulajdonágai (ylized fac) képe legyen leíni. A legfonoabb ulajdonágok a kövekezők.. A hozamok empiiku elozlázéle a ok kiugó éék (oulie) mia vaag, az elozlá lehe azimmeiku.. A hozamok övid ávú auokoelációja a haékony piacok elméleével özhangban álalában elhanyagolhaó, de előfodul, hogy az auokoeláció függvény olyan laan a nullához, hogy az auokoelációk özege nem konvegál (hozú ávú memóia). 3. A hozamok abzolú éékei é négyzeei nagy kéleleéek melle i zignifikánan auokoelálak. 4. A haonló (például nagy) abzolú éékű hozamok időben közel vannak egymához, copooulnak (volailiy clueing). * A anulmányban imeee eedmények a zező Budapei Közgazdaágudományi é Államigazgaái Egyeemen megvéde PhD-dizeációjának ézé képezik. A zező ezúon i közönee mond émavezeőjének, Kőöi Gábonak. A zező eléheő elekoniku poán: palagyi@bkae.hu. Saizikai Szemle, 8. évfolyam, zám

2 57 Az iodalomban zámalan modell jelen meg e ulajdonágok leíááa. A modellek öbbége ké fő copoba oolhaó. Az elő copoba azoka ooljuk, amelyek a hozamoka függelen, azono elozláúnak ekinik, é az elozlá valamilyen ime elozláal közelíik. Ezek közül keő zeenék kiemelni, a nomáli elozláú modell (Bachelie [900], mely az elő munka az iodalomban), é a Lévy-elozlá alkalmazó abil Paeo-modell (Mandelbo [963a,b], Fama [965], Vaga [999], Palágyi [999], Palágyi Manegna [999], Palágyi Kőöi Manegna [00]). Az uóbbi az előző álalánoíáának ekinheő, mivel a nomáli elozlá i a abil elozláok caládjának agja. Ha felezük, hogy a hozamok zámo egymáól nagyjából függelen vélelen köülmény eedői, akko az álalánoío közponi haáelozlá-éel zein a hozamok abil elozláokkal közelíheők, ezek ugyani definíció zein függelen azono elozláú valózínűégi válozók megfelelően nomál özegeinek haáelozláai. Néhány ovábbi példa a fonoabb közelíő elozláok közül: alenaív abil elozláok (Minik Rachev [993]), hipeboliku elozláok (Bandoff Nielen [994], Ebelein Kelle [995], é Küchle e al. [999]), Suden -elozlá (Spano [993]). E modellek öbbége (a nomáli például nem) az. ulajdonág leíááa képe, a öbbiée vizon nem. Ezek leíáához a hozamok folyamaának dinamikájá i figyelembe kell venni. A dinamiku modellek különöen fono copojá alkoják az ún. zochaziku volailiá-modellek (Havey Ruiz Shephad [994], Kim Shephad Chib [998], Vaga [003]). Ezek a volailiá (a hozamok zóáa) dinamikájá i ézben leíják. E modellek peciáli eeének ekinheők a (G)ARCH- (Genealized Auoegeive Condiional Heeokedaiciy) modellek (Bollelev Engle Nelon [994], Gouieoux [997]). Az uóbbi modellek az., 3. é 4. ulajdonágoka i képeek leíni, némi módoíáal (fakcionálian inegál GARCH-, FIGARCH-modellek, Baillie Bollelev Mikkelen [996]) a. ulajdonágo i. Amin láuk, a modellek elő copoja (a hozamoka függelen azono elozláúnak ekinjük) cak az. ulajdonág leíááa képe. Ennek ellenée ezek a modellek i édekeek, me egíenek annak a kédének a vizgálaában, hogy a hozamoka jobban leíó dinamiku modellek (például GARCH) hibaagjai, amelyek e modellek felevéei zein függelenek é azono elozláúak, milyen elozláal közelíük. Ez a kédé eljeen nyio, az eddigi vizgálaok zein ninc olyan elozlá, amely ebből a zemponból lényegeen jobb lenne, min a öbbi: gyakan előfodul, hogy ugyanaz a modell különböző elozláú innovációk melle haonlóan jól illezkedik az adaoka. A leggyakabban haznál elozlá a nomáli, amelynél azonban lényegeen jobbak i vannak (például Suden - é a Lévy-). Ebben a anulmányban az vizgáljuk, hogy a Lévy-elozláok mennyie alkalmaak a hibaagok leíááa. A zochaziku volailiá-modellek álaláno alakja y = µ + ε, ahol y jelöli a hozamoka, µ pedig a hozamok (a időpono megelőző infomációk mellei) feléele váhaó ééke, azono elozláúak, zimmeikuak, é zóáuk. (A ε = σ z. A valózínűégi válozók függelenek, -ke gyakan andad nomáli elozláúnak vezik.) A σ valózínűégi válozók nem negaívak, é ögzíe melle z z

3 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 573 σ függelen z -ől. (A σ -ke a hozamok zochaziku volailiáának hívják.) A 4. ulajdonágo infomálian úgy magyaázhajuk, hogy nyugod (ki volailiáú) é idege (volaili) időzakok válogaják egymá a piacon. Min emlíeük, a zochaziku volailiá-modellek caládjába aoznak a (G)ARCH-modellek, amelyekben definíció zein σ = c0 + ciε i + d jσ j. 0 A z innovációk függelen, andad nomáli elozláúak, µ álalában acionáiu ARMA-folyama. A c paamée poziív, c, d nem negaívak,. A folyama zigoú acionaiáának elégége feléele (Bougeol Picad [99]), hogy a pezizencia i j V = c i + d j. A volailiá négyzeée vonakozó, lényegében ARMA-egyenle zolgál a hozamok négyzee auokoelációinak kizűéée. Az előző modellből a V= megzoíá bevezeéével kapjuk az ún. inegál GARCH-, azaz IGARCH-modelleke (Baillie Bollelev [989]). A megzoíá moivációjá az adja, hogy a pénzügyi időookból becül V éékek álalában közel vannak egyhez. A GARCH-modell zámo álalánoíáa láo napvilágo (Bollelev Engle Nelon [994]); a ovábbiakban zámunka keő lez édeke. Az egyik kiindulóponja az a megfigyelé (Taylo [986]), hogy a hozamok ( ) abzolú éékének auokoeláció függvénye laan cökkenő, é egézen maga endű auokoelációk i zignifikánan poziívak. Ez a ulajdonág elég álalánonak mondhaó ézvényeke, illeve indexeke. Taylo maga 40 időo vizgál, é megfigyeléé kéőbb zámo anulmány eőíee meg. Ding, Gange é Engle [993] haonló jelenége figyelek meg, > 0 auokoelációia, ovábbá az alálák, hogy az auokoelációk maximuma (minden kéleleénél) = közelében van (Tayloulajdonág). Ennek alapján célzeűnek lázik a GARCH-modellben a egyenlee a kövekezővel helyeeíeni: σ = c 0 + ci ε i + d jσ j. σ -e vonakozó Ezzel a módoíáal a Taylo Schwe-modell kapjuk. Ding, Gange é Engle az S&P 500 index hozamain özehaonlíják a ké modell, é eedményeik zein a GARCH-modell likelihood ééke zignifikánan nagyobb, min a Taylo Schwemodellé. Édeke, é a GARCH-modell eeében különöen meglepő eedmény, hogy mindké modellel zimulál időo endelkezik a Taylo-ulajdonággal. Ding, Gange é

4 574 Engle egy új modell javaolnak, amelynek egyzeűíe válozaa annyiban álalánoíáa mindké előző modellnek, hogy a feléele volailiáa a σ = c 0 + c i ε i + d σ j egyenlee íjuk fel, é a kievő i becüljük. Ez a Powe ARCH-, azaz PARCHmodell. (Az álaláno modellbe egy azimmeiá leíó ago i beleveek, ez az Aymmeic PARCH-, A-PARCH-modell, amelye i nem íunk fel, me kéőbb úgyi cak a PARCH-modell fogjuk haználni.) A GARCH-modell máik é a jelen anulmány zemponjából édekeebb álalánoíáa a modell innovációinak elozláával kapcolao. A pénzügyi időooka illeze GARCH-modellek maadékagjainak elozláa gyakan zignifikánan elé a nomáliól (vaag elozlázéllel endelkező), ezé a nomáli elozlá helye álalánoío exponenciáli (Nelon [99]), Suden- (Bollelev [987]), é ezek kombinációi (Bollelev Engle Nelon [994]) i népzeűek. A abil elozláú innovációkkal hajo GARCH-modellek (McCulloch [985], Liu Boen [995], Panoka Minik Rachev [995], Minik Paolella Rachev [000]) egyelőe nem ejedek el zéle köben. Ugyanakko hangúlyoznunk kell, hogy a abil elozláoknak i i kiemel zeepe ad a közponi haáelozlá éele. A modell maadékagjai ugyani a modell álal le nem í vélelen haáok eedői, amelyek a éel zein abil elozláokkal közelíheők. A GARCH-modellek (alapéelmezében nomáli innovációkkal vezéel modelleke gondolunk) a volailiá dinamikájának leíááa züleek. Ugyanakko GARCHmodellekkel az adaok vaagelozlázél-ulajdonága i jól epodukálhaó. Ponoabban, ha X-zel jelöljük a GARCH-modell acionáiu megoldáá, akko megfelelő feléelek melle (Davi Mikoch [998], Mikoch Sǎicǎ [000]) λ α ( X > λ) Cα lim λ P =, azaz a GARCH-időo elozlázéle azimpoikuan haványfüggvény zein a nullához (éppúgy, min a Lévy-elozláú időoé). Konkéan például ARCH() (GARCH(,0)) időoa α monoon cökkenő függvénye -nek, j c ( 3) = 4 α, ( c 3 -a X kuózia végelen), α ( ) = (c -e X zóáa i végelen). A gyakolaban okzo előfoduló, közel inegál (a pezizencia közel van -hez) GARCH(,) folyamaok kuózia végelen, az inegál GARCH(,) folyamaoka pedig α =, így a zóá i végelen. Máfelől az ún. Paeo abil modellek (függelen azono elozláúnak ekinjük az adaoka, é α < indexű abil elozlá illezünk ájuk) i jól leíják a vaagelozlázél-ulajdonágo. Az előzők alapján a közudaban, illeve az iodalomban a GARCH-modelleke é a Paeo abil modelleke gyakan egymá veélyáainak ekinik (például Ghoe Kone [995]), é az vizgálják, hogy melyik modell illezkedik jobban az adaooka. A vizgálaok kiindulóponja gyakan a zóá végeégével kapcolao, úja é úja felbukkanó kédé: a vaagelozlázéljelenége vajon a volailiy clueing (vége zóáú innovációkkal endelkező

5 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 575 GARCH-folyama) okozza, avagy a nem vége zóáú Paeo-féle abil elozláok. A ké modell özehaonlíáának azonban ninc éelme, ugyani, ha az adaoban valóban van GARCH-haá, akko az egyéz ozíja a abiliá indexének becléé (lád például Rachev Minik [000]), máéz az adao auokoeláció ukúájá figyelmen kívül hagyó Paeo abil modellől nem váhaó el, hogy jobban illezkedjék, min az auokoeláció figyelembe vevő GARCH (ami áadául a vaagelozlázélulajdonágo i leíja). A helyzee ovább bonyolíja, hogy megfelelően paaméeeze IGARCH-modellekkel (Ghoe Kone [995]) zimulál adaooka az aggegáción alapuló abiliái vizgálaok alapján éveen abil elozláúnak vélheünk (a ézleeke lád kéőbb). Így mivel a valódi adaook gyakan jól leíhaók IGARCH modellekkel, előfodulha, hogy azoka éppen ezé fogadjuk el éveen abilnak. Özehaonlíá ehá a abil (Lévy), é az egyéb elozláú innovációkkal endelkező GARCH-modellek közö édeme végezni; abiliái ez elvégzéének akko van éelme, ha az adaoból, illeve ennek haványaiból minél jobban kizűük az auokoeláció. A ovábbiakban előbb imeejük a abil havány GARCH-modell, majd ez a modell é ké megzoíáá, a nomáli havány GARCH- é a nomáli GARCHmodelleke illezjük a CISCO- (CISCO Syem Inc.) é a MOL-ézvények hozamaia. Végül megvizgáljuk a Lévy-havány GARCH-modellek maadékagjainak abiliáá. A abil havány GARCH-modell leíáa A abil havány GARCH-, azaz S α,β GARCH(,) folyama (Minik Paolella Rachev [000]) a koábban leí Powe ARCH-folyama, amelyben a z innovációk abil elozláúak: y = µ + ε ahol ε = σ z, z S (,β,0) α é σ = c, paaméeekkel meghaáozo abil elozlá jelöl- Az S α ( σ, β, µ ) -vel az ( α σ, β, µ ) jük. Az ( σ, β µ) 0 + ci ε i + d jσ j. S α, elozlá α (abiliá) indexe a (0,] inevallumban van ( α = a nomáli elozlának felel meg), a β azimmeiapaamée pedig [-,]-ben. Az elozlá kálapaaméee σ (a volailiá elnevezé i évényé vezíi, me a zóá α < melle nem léezik), elolái paaméee pedig µ ( α > eeén ez a váhaó éék). A ovábbiakban mi cak zimmeiku elozláoka haználunk ( β = 0 ), me a nem zimmeiku elozlá űűégfüggvényé egyelőe nem udjuk kizámolni. Alkalmazáainkban zigoúan acionáiu ARMA-folyama. µ

6 576 Az S α,β GARCH(,)-folyama zigoúan acionáiu megoldáa léezéének elégége feléelei (Minik Paolella Rachev [00]) < α é 0 < < α melle c > 0, c i 0, i =, K,,, d j 0, j =,,, 0,, é 0 K i V = E z c + d. j Az < α é 0 < < α eeben E z a kövekező zá alakban íhaó fel: ( ) + τ α co τ = λα, β, = Γ α, β acan ψ α α V = E z α, β, ahol τ α, β : = β an ( απ ), é Ha α < é α, akko π Γ( ) co, ha ψ = π, ha = E = (ha α < é α, akko λ ). z α, β, T 0 Minik, Paolella é Rachev [00] a = α < eee Mone-Calo-zimulációkkal vizgálva aa a kövekezeée juoak, hogy ekko a folyama nem acionáiu: egy bizonyo minaméeől ( ) kezdve minden haáon úl nő (legalábbi gyakolai éelemben). Ez a jelenég annál kiebb T 0 -nál kövekezik be, minél közelebb van V ééke - hez. V < 0,9 melle még 5000-e elemzámú minák i acionáiunak űnnek. Ez azé édeke, me Liu é Boen [995] éppen a = α megzoíá melle becülek abil havány GARCH(,)-modelleke különböző valuák napi áfolyamaiból (ízéve adao haználak, így a mináik bőven kiebbek volak, min 5000), α, 8, 9 köüli éékeke becülek, é 5, illeve zázaléko konfidenciazinen elveeék a abil havány GARCH-modell. Ez az eedmény azonban lehe a hibá = α pecifikáció kövekezménye. Mivel a modell beclée oán a zigoú acionaiáa vonakozó feléeleke folyamaoan alkalmazzuk, fono izázni, hogy mi öénik ezekkel az α, haáeeben, vagyi akko, amiko az opimáli modell a nomáli GARCH. Konkéan a λ α, β, c i + d feléel édeke, amelyben ekko λα, β,. Ez annyiban különbözik a nomáli GARCH paaméeeie vonakozó acionaiái feléelől, hogy a c i elő van egy kee zozó. Ez az eléé abból adódik, hogy a abil elozláok álalunk haznál paaméeezée melle az α = eeben z zóáa. Az GARCH(,)-modell j S α,β

7 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 577 egyenleei (az α = = eee nézzük) könnyen á lehe íni egyégnyi zóáú innovációka a z = z, σ = σ anzfomációkkal. Ekko y = µ + σ z = µ + σ z ( µ ARMA-ukúájá válozalanul hagyuk), így az y időo válozalan, a volailiáa vonakozó egyenlee pedig keővel zoozzuk: 0 i i j j. ( ) = c + c ε + d ( σ ) σ Innen a nomáli GARCH acionaiái feléele zein V = c i + d, ami megegyezik a abil havány GARCH acionaiái feléelével az α, ámene melle. A függelenég vizgálaa, idenifikáció A modell beclée elő megvizgáljuk, hogy az adao, illeve négyzee zignifikánan auokoelál-e. Lévy-elozláokkal zeenénk modellezni az adaoka, így nullhipoéziünk lehe az, hogy az adaok függelen, azono, zimmeiku, < α < indexű Lévy-elozláúak. Az α > feléel pénzügyi időookból becül α indexeke mindig eljeül, ezé gyakolailag nem jelen megzoíá, vizon bizoíja a váhaó éék léezéé. Mivel a Lévy-elozláú valózínűégi válozóknak ninc zóáuk, ezé koelációjuk inc, így felmeül a kédé, hogy az auokoeláció függvény j ρˆ n h n,x ( h) = ( X X )( X + h X ) = n = ( ) X X becül-e valami? A válaz a kövekező állíából (Adle Feldman Taqqu [998], 4. old.) kapjuk meg: a nullhipoézi melle d ( n ln n) α ρˆ ( h) U V n, X ahol U S ( α, 0, 0) é V ( 0) α, válozók, é α C α α C α,, S függelen abil elozláú valózínűégi = Γ α C α. ( α) co( πα ) V ún. poziív abil elozlá. Az elnevezé onnan zámazik, hogy α <, β = é µ = 0

8 578 melle az ( σ, β µ ) S elozlá űűégfüggvényének aója R. A hivakozo éel α, (lád még Embech Klüppelbeg Mikoch [997], 37. old.) zigoúan acionáiu lineái Lévy-folyamaok mina auokoeláció függvényének konvegenciájáa vonakozik, nekünk i cak az előző peciáli eee van zükégünk. α Állíáunk zein ˆρ ( h) nullához a, é a konvegencia ebeége ( n). ( h) n,x ami lényegeen gyoabb, min a nomáli elozláú adaoknál ( n ) + n,x n ln, ˆρ kiiku éékeinek meghaáozáához ki kellene zámolnunk U V kvaniliei. Ez cak Mone- Calo-zimulációval (Adle Feldman Taqqu [998], 43. old.), vagy numeiku inegáláal (Bockwell Davi [99], 539. old.) végezheő el. Mielő ovábblépnénk, megjegyezzük, hogy a nullhipoéziünknek megfelelő adaok négyzeei auokoeláció függvényének konvegenciájáa vonakozó, a koábbiakhoz haonló elmélei eedmények udomáunk zein nincenek, ezé előfodulha, hogy a ˆρ h aizika nem becül emmi. Auokoelációk helye Ljung Box- n, X ( ) aizikáka zámolunk az adaokból (illeve ezek négyzeeiből), a kiiku éékeke pedig Mone-Calo-zimulációval haáozuk meg (4. ábla). Ennek oán eze, az adaoéval megegyező méeű, függelen é az adaoból becül α indexű abil elozláú miná geneálunk, az egye minákból (illeve ezek négyzeeiből) kizámoluk a aizikáka, majd meghaáozuk a aizikák 99 zázaléko kvanilié. Az így kapo kiiku éékek a ábla c (Lévy) oai annyiban ájékozaó jellegűek, hogy függnek α - ól, amelynek beclée vizon ozío lehe, ha az adaoban van auokoeláció. Konkéan például együk fel, hogy egy α indexű abil elozláal hajo GARCH-minából vizabecül α ééke 0,-vel kiebb, min a geneáló folyama α -ja. Ez az eléé (ami elég ipiku) az előendű Ljung Box-aizikákhoz aozó kiiku ééke köülbelül -vel (a négyzeekhez aozó 0,5-el) növeli, így nagyobb eéllyel fogadjuk el az adao függelennek. Ehhez a bizonyalanághoz képe azonban az adaoból zámol aizikák öbbége bőven a kiiku éékek ala, az adaok négyzeeiből zámol aizikák öbbége pedig jóval a kiiku éékek fele van. Kivéelek a 30 pece adaoból zámol hamad- é negyedendű aizikák, amelyek nagyobbak a kiiku éékeknél, é a 60 pece adaok négyzeeiből zámol hamad- é negyedendű aizikák, amelyek kiebbek, min a kiiku éékek. Az uóbbi nem édeke, az előbbiből eeleg kövekezehenénk egy magaabb endű ARMA-folyamaa, de az illezkedéek vizgálaa ez nem igazola: a 30 pece adaoka legjobban illezkedő ARMA(0,0) GARCH(,)-modell maadékagjaiból zámol ugyanezen aizikák má kiebbek, min a megfelelő kiiku éékek (ezeke az adaoka nem közölük). A 4. ábla c (nomáli) oaiban az α = indexhez (nomáli elozlá) aozó kiiku éékek zeepelnek, amelyek a megfelelő zabadágfokú elozláok pecenilieihez (6,63 9,,34 3,8) közeli éékek. A Lévy kiiku éékek egyéz ipikuan nagyobbak, min a nomálihoz aozók, máéz az eléé a négyzeekből zámol kiiku éékeknél jelenőebb. Az eedmények alapján a CISCO-ézvénye vonakozó abil havány GARCHmodellekből elhagyuk az ARMA-éz ( µ = konan). A GARCH-éz idenifikációjá- val nem póbálkozunk, me nem imejük ( h) n, X χ ρˆ elozláá, ee udomáunk zein

9 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 579 még nincenek elmélei eedmények. Mikoch é Sǎicǎ [000] közölek ( h) n, X ˆρ elozlááa vonakozó eedményeke abban az eeben, ha X vége zóáú innovációkkal hajo GARCH(,) folyama. Ezek zein például közel inegál GARCH(,)- ˆρ h nem a konanhoz, így ez a aizika nem becül emmi. folyamaa ( ) n, X Beclé, eedmények A abil havány GARCH-modell becléé maximum likelihood-módzeel végezük. A beclé oán numeiku nehézége a abil űűégfüggvény kizámíáa (McCulloch [998]), é a feléele opimum megkeeée jeleneek (ezek melle zámo apó numeiku pobléma adódo, amelyeke i nem ézleezünk). Az opimum keeééhez a Nelde Mead-féle algoimu haználuk. A keeé a paaméeek eének olyan aományán végezük, ahol a modell acionaiái feléelei eljeülnek. Ezek közül a pezizenciáa vonakozó i V = E z c + d okoza a legöbb nehézége, me az opimáli pon gyakan a V = haáon vol. Mivel V elég bonyolul függvénye α -nak é -nak, az opimumkeeő eljáá gyakan leáll a haáfelüle olyan ponjában, amely még nem vol opimáli. Ezé egyéz öbb vélelen ponból újaindíouk a keeé, máéz egy opimálinak vél pono cak akko fogadunk el opimumnak, ha onnan kici kilökve ugyanoda konvegál viza az eljáá. A feni újaindíáok melle egy ARMA(p,q) GARCH(,) öviden pq-modell becléé minden olyan p q modell beclééből elindíouk, amelye a p p, q q,, é feléelek eljeülek. A bonyolulabb modell pluz paaméeeinek kezdőééké nullának veük. Az előzőkben emlíeük, hogy a modellek GARCH-ézének idenifikációjával nem foglalkozunk, ezé öbb különböző pq konfiguáció melle becülünk modelleke, majd kiválazouk a legjobban illezkedő ól -ig minden pq konfiguáció kipóbálunk ( ), kivéve azoka, amelyek nyilvánvalóan úlidenifikálak volak. Az eeek öbbégében az auokoeláció függvény előzee vizgálaa alapján elég le volna a p = q = 0 konfiguációkkal foglalkozni, de kívánciágból megnézük a öbbi i. A modellválazá előoban az AICC-kiéium zein öén, ami a nagy minaméeek mia ugyanaz a válazá adja, min a legnagyobb likelihood-éék. Ha ez a válazá egy olyan modelle ee, ami úlidenifikál vol, akko az egyzeűbb modell válazouk. A becléekhez a CISCO- é a MOL-ézvények 5, 30 é 60 pece hozamai haználuk a elje 998. évből. A abil (Lévy-) havány GARCH-modell melle a paaméeeke e megzoíáokkal előálló nomáli havány GARCH- ( α = megzoíá), é nomáli GARCH- ( = α = megzoíá) modelleke i becülük. Valamennyi adaoa az ARMA(0,0) GARCH(,) modellek illezkedek a legjobban; a magaabb endű folyamaok ezekől nem különbözek zignifikánan. Az 3. áblákban (CISCO) é az 5. áblában (MOL) alálhaók a modellek becül paaméeei, a andad hibák, a paaméeek 99 zázaléko konfidencia-inevallumainak j

10 580 aló é felő haáai, a pezizencia (V) é a log likelihood-függvény ééke (log lik). A MOL-ézvénye a ki minamée mia cak 5 pece hozamokból végezünk becléeke. A andad hibáka é a konfidencia-inevallumoka a modellek Mone-Calozimulációiból zámoluk. A zimulációk záma eze vol, a zimulál minák méee pedig megegyeze annak az adaonak a méeével, amelyből a modell becülük. Az eljáá ok gépidő igényel: Mhz-e PIII-a PC-ken előoban a minaméeől é a paaméeek zámáól függően néhány pecig fu egy beclé, így eze beclé egy-háom napig fu egy gépen. A áblákban alálhaó eedményekhez kapcolódó Mone-Calozimulációk öbb, emlíe ípuú PC-n köülbelül egy héig fuoak úgy, hogy a nagyobb minaméeű zimulációka ké-háom gépe ozouk el. Az eedményeke áekinve megállapíhajuk, hogy növekvő időkálákon a CISCOhozamokból becül α indexek ééke a GARCH-haá figyelembevéele melle i nő, így kédée, hogy a maadékagok valóban abil elozláúak-e (eől bővebben kéőbb). Ugyanakko a Lévy GARCH-modell minden adaoa jobban illezkedik, min a nomáli GARCH, a likelihood-éékek különbége a MOL-adaokon a legjelenőebb. Az uóbbiakból becül α index lényegeen kiebb, min a CISCO adaaiból becül, ami aa ual, hogy a magya papí hozamai közö gyakoibbak az oulieek. Ennek leheége okai közül mindenekelő a vizgál időzaka eő ooz válágo emlíenénk. Máik leheége ok a piac méee, azaz kiebb piac könnyebben eagál külő haáoka. A CISCO-adaokból úgy űnik, hogy a paamée ééke zinén nő az aggegációval, de mindenü zignifikánan kiebb, min α becül ééke. becléének elozláa fede. Még egy édekeég, hogy a CISCO 30 é 60 pece hozamaia illeze nomáli havány GARCH-modellben ééke keőhöz konvegál, így ez a modell egybeeik a nomáli GARCH-cal. A pezizencia ééke a Lévy havány GARCH-modellekben, a öbbi modellben i közel van egyhez, de kici kiebb. A maga pezizencia-éék az jeleni, hogy a piaco éő okkok haáa laan múlik el. Lévy-havány, GARCH-paaméeek beclée, CISCO. ábla Időkála, pec (minamée) µ α c 0 c d V log lik 5 (6548) 30 (374) 60 (637) 0,000069,75,50 0, ,07 0,7 0, ,0 0,06 0, ,008 0,06 0,0008,80,58 0, ,30 0,760 0,000058,7, 0, ,088 0,68 0,00009,77,54 0, ,036 0,905 0, ,0 0,07 0, ,005 0,009 0,000347,84,68 0, ,049 0,96 0,0005,7,7 0, ,04 0,874 0,0004,83,66 0, ,034 0,899 0, ,03 0, 0, ,008 0,08 0,000670,9,8 0, ,063 0,937 0,000343,75,5 0, ,08 0,84, ,,000 37,9, , Megjegyzé. I é a. é 3. áblában egy ado időkála oában a paaméeek becül éékei alálhaók. A becléek ala a andad hibáka, é a 99 zázaléko konfidencia-inevallum felő é aló haáai üneük fel.

11 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 58. ábla Időkála, pec (minamée) Nomáli havány, GARCH-paaméeek beclée, CISCO µ c 0 c d V log lik 5 (6548) 30 (374) 60 (637) 0,000060,69 0, ,9 0,685 0, ,6 0, ,0 0,00 0,00074,00 0, ,55 0,73 0,000069,8 0, ,03 0,63 0,000070,00 0, ,035 0,90 0, ,09 0, ,005 0,04 0,000343,00 0, ,05 0,93 0,0003,47 0, ,04 0,86 0,00007,00 0, ,044 0,873 0,0008 0,5 0, ,00 0,08 0,000588,00 0, ,076 0,90 0,000453,3 0, ,05 0,780 0, ,4 0,97 06,0 0, , 3. ábla Időkála, pec (minamée) Nomáli GARCH-paaméeek beclée, CISCO µ c 0 c d V log lik 5 (6548) 30 (374) 60 (637) 0, , ,3 0,67 0, , ,007 0,00 0, , ,33 0,78 0, , ,094 0,67 0, , ,035 0,90 0, , ,005 0,03 0, , ,047 0,930 0,0009 0, ,0 0,86 0, , ,044 0,873 0,0006 0, ,008 0,0 0, , ,065 0,93 0, , ,04 0,800 0, ,0 0,97 06,0 0, , Illezkedévizgála Az előző zakazban becül GARCH-modellek illezkedéének vizgálaa oán ké kédéel foglalkozunk: egyik az, hogy a modellek maadékagjainak ( z ) haványai zignifikánan auokoelálak-e, a máik pedig az, hogy a Lévy-havány GARCHmodellek maadékagjai abil elozláúak-e. Az elő kédé megválazoláához Ljung Box-ez aizikáka zámolunk a z, z é z adaookból. A kievő ééke a modell paaméeének becül ééke vol. Az eedményeke a 4-5. áblákban láhajuk. A kiiku éékeke a áblák c oai Mone-Calo-zimulációval haáozuk meg. Ennek oán eze olyan függelen, zimmeiku abil elozláú x miná zimulálunk, amelyek α indexe megegyeze a modell

12 58 becül indexével (illeve nomáli elozlá eeén keővel), méee pedig ugyanakkoa vol, min az adaoé, amiből a modell becülük. Ezuán az x, x é x minákból Ljung Box-aizikáka zámolunk, végül meghaáozuk a aizikák empiiku elozláának 99 zázaléko kvaniliei. A CISCO-ézvény (4. ábla) 5 pece adaaiból zámol aizikák bőven a kiiku éékek ala vannak, ilyen zemponból ezeke az adaoka illezkednek legjobban a modellek. A 60 pece adaoknál a Lévy-havány GARCH-maadékagokból zámol előendű aizikák egy kici nagyobbak, min a megfelelő kiiku éékek. Édeke módon a nomáli GARCH-modelleknél má nem ez a helyze. A CISCO 30 pece adaaia a Ljung Box-aizikák alapján egyik modell illezkedée em mondhaó jónak. A CISCO-a cak a maadékagok haványainak aizikái közölük, a maadékagok aizikái minden modell é időkála eeén meze a kiiku éékek ala volak. Ljung Box-ezaizikák é kiiku éékek, CISCO 5 pec 30 pec 60 pec n ábla y 0,6 0,85 0,93 0,93 0,44 3,0 5,3,5 0,04 0,49 0,55,5 c (Lévy) 6,60 0, 4,6 8, 7,78 0,6 3,7 6,5 6,57,4 4,8 6,7 c (nomáli) 6,53 8,94 0,8 3,0 6,64 8,84,7,6 7,56 9,47,5,6 y ,3 9, ,8 5,4 7 3,6 c (Lévy),65 7, 0,6 47,7,35 4,0 9,0 34,0 6,6 3,3 33, 39,5 c (nomáli) 6,87 8,77, 3,0 6,8 9,08,3,5 6,85 8,3,0,6 Lévy-havány GARCH-maadékok z 0,4 0,9 0,4 0,5 6,09 9,0 35,5 4,0 7,78 8,73 4,4 4,4 c 5,56 8,6 9,3 47,5 4,74 5,8,6 37,4 7,35 3, 30,8 37,8 z 0,43 0,43,0,8,88 46, 5,4 55,6 8,5 8,83,7,8 c,65 7, 0,6 47,7,35 4,0 9,0 34,0 6,6 3,3 33, 39,5 Nomáli havány GARCH-maadékok z c 0,05 7, 0,6 9,05 0,9, 0,0 3,3,4 6,8 9,60 9,08 7,3,3,5,5,4 6,85,97 8,3 0,,0 0,6,6 z 0,07 0,0 0,9 0,34,4 9,60 7,3,5,4,97 0, 0,6 c 6,87 8,77, 3,0 6,8 9,08,3,5 6,85 8,3,0,6 Nomáli GARCH-maadékok z 0,50 0,5 0,7 0,87,4 9,59 7,3,5,4,97 0, 0,6 c 6,87 8,77, 3,0 6,8 9,08,3,5 6,85 8,3,0,6 Megjegyzé. A áblában n a aizika endje, y, y, z, z oában az adao ( y ) é a maadékagok ( z ) megfe- () c lelő haványaiból zámol aizikáka, ezek ala pedig 99 zázaléko valózínűégi zinhez aozó kiiku éékeke üneünk fel.

13 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 583 A MOL-ézvény 5 pece hozamaiból becül Lévy-havány GARCH- é nomáli GARCH-modellek paaméeei, valamin a modellek maadékagjaiból zámío Ljung Box-ez aizikáka é kiiku éékeke az 5. ábla muaja. A ábla éelmében a MOL-ézvény eeén valamennyi aizika jóval a kiiku éékek ala van. Úgy űnik, a Lévy-modell egy kici jobban eljeí, min a nomáli. A MOL-ézvény 5 pece hozamaiból becül modellek 5. ábla µ α c 0 c d V log lik Lévy 0,0009,38 0,85 0,0005 0,054 0,9 0, ,3 0, ,03 0,07 0, ,008 0,009 0,00097,47,03 0, ,077 0,936-0,00003,3 0,64 0, ,034 0,885 z 0,00 (9,4) 0,03 (3,7) 0,05 (35,9) 0,07 (36,8) z 0,0 (,5) 0,03 (9,7) 0,03 (33,6) 0,03 (38,) z 0,00 (3,69) 0,00 (9,7) 0,00 (,0) 0,00 (,7) nomáli 0, ,0004 0,0009 0, ,039 0,805 0, ,00 0,063 0, ,065 0,9 0,0008 0, ,04 0,559 z,80 (6,8),8 (8,43),95 (,) 3,08 (,) z 0,79 (6,35),0 (8,46),80 (0,4),97 (,6) 0, ,0 Megjegyzé. A Lévy-, illeve nomáli ookban a modellek paaméeeinek becül éékei, a becléek ala a andad hibák, é a 99 zázaléko konfidenciainevallum felő é aló haáai alálhaók. Az z é z ookban a modellek maadékagjainak ( z ) megfelelő haványaiból zámol Ljung Box-aizikák zeepelnek negyedendig bezáólag, záójelekben a 99 zázaléko valózínűégi zinhez aozó kiiku éékeke üneük fel. A mina méee 798 vol. A GARCH-modellek illezkedéének vizgálaako fono meggyőződni aól, hogy egy illeze GARCH-modell maadékagjai abil (nomáli, illeve Lévy-) elozláúak-e. Egy adao abiliáá ellenőizhejük úgy, hogy az adaoka n-eével özeadjuk, é az így kapo minából úja becüljük az α indexe. Az adao SuS (Sabiliy unde Summaion) ulajdonágúnak mondjuk, ha a beclé ( αˆ ( n) ) nem függ n-ől. Szimulál abil elozláú minákban ez jó közelíéel eljeül, valódi adaookon ( αˆ ( n) ) különböző üemben a keőhöz. Az SuS ulajdonág fomálian i ezelheő (Fama Roll [97], Hu Mille Wichen [974], Paolella [00]). A Fama é Roll álal javaol ez az ( αˆ ( n ) αˆ ( ) ) különbégen alapzik, míg Paolella egyene illez az ( αˆ ( n) ) göbée (ebben az eeben αˆ az index Hill [975] -féle becléé jeleni) é a meedekég nulláól való elééé vizgálja. A ovábbiakban az iodalomból néhány példá muaunk olyan adaooka, amelyeken a SuS-ezek hami kövekezeée vezehenek. Hu, Mille é Wichen olyan mináka zimulálnak, amelyek ké különböző zóáú, nulla váhaó éékű, nomáli elozláú ézminából állnak (a ézminák egymá uán vannak fűzve, így a különböző zóáú ézek nem keveednek), majd megmuaják, hogy ezeke a mináka Roll-ezje

14 584 d abilnak fogadja el (a becül α -k álaga,5 vol). Ezuán a mináka pemuálják (a ézmináka özekeveik), é az így kapo minák abiliáá a Roll-ez alapján elveik. A piaci adaokon haonló jelenége apazalnak: a pemuálalan piaci adao a ez abilnak fogadja el, a pemuála vizon nem. A vizgála azé anulágo, me ámua, hogy a SuS-ezek alkalmazáako ügyelni kell aa, hogy a minánk azono elozláú elemekből álljon. Ugyani, például ha a minánk különböző abil elozláú ézminák özefűzééből áll, akko ez a ez alapján éveen abilnak vélhejük, me az aggegáció lényegében a ézminákon belül maad, amelyek abilak. Ez a példa alán meekélnek űnik elő pillanáa, de ha egy valódi piacon kiebb é nagyobb volailiáú időzakok válogaják egymá úgy, hogy egy időzakon belül a volailiá köülbelül állandó, akko a piaci adaok ponoan az emlíe meeége mináka fognak haonlíani. A SuS-ez alkalmazhaóágának máik fono feléele az adaok függelenége. Számo anulmány (például Akgiay Booh [988]) aa hivakozva uaíja el a Paeoabil modell, hogy a napi, hei, havi hozamokból becül α -k nőnek. Ez a jelenég azonban az özefüggőég kövekezménye i lehe, így e anulmányok kövekezeée megkédőjelezheő. Amin a kövekező példában láni fogjuk, előfodul az i, hogy egy özefüggő adao (IGARCH-modellel zimulál adaok) abilnak lázik. Ghoe é Kone [995] nomáli é 5 (ö zabadágfokú ) elozláú innovációkkal hajo GARCH(,) é IGARCH(,) modelleke zimulálnak, majd az vizgálják, hogy ögzíe n melle a minák hány zázalékánál éi el ( αˆ ( n) ) keő. Az eedmények zein ( αˆ ( n) ) konvegenciája laabb a 5 elozláú innovációk melle, min nomáli innovációkkal, ovábbá a konvegencia ado elozláú innovációk melle annál laabb, minél nagyobb a pezizencia V = c +. A V = eeben (IGARCH) azokban a modellekben laúbb a konvegencia, ahol c nagyobb. Az IGARCH-modelleke ézleeen megvizgálva Ghoe é Kone aa a kövekezeée junak, hogy ezekben a modellekben αˆ ( n) egyálalán nem konvegál keőhöz, hanem közelíőleg konan. Ez az eedmény különöen édeke azé, me az IGARCH-modellek a pénzügyi időook öbbégénél jól haználhaók (Baillie Bollelev [989], Hieh [989], Lumdaine [995]), é éppen ezeknél a modelleknél vélhejük éveen a SuS-ezek alapján az adao Paeoabilnak. Így megkédőjelezheők azoknak a anulmányoknak az eedményei, amelyek az adaoban eeleg meglevő GARCH-haá figyelmen kívül hagyáával, a SuS-ezek alapján nem veeék el a Paeo-abil hipoézi. Ezzel elékezünk a anulmány egyik legédekeebb kédééhez: vajon a CISCO- é MOL-adaoka illeze Lévy-havány GARCH-modellek maadékagjai abil elozláúak-e? A kédé mindké ézvény eeében a 5 pece hozamokon fogjuk vizgálni, me ezekből van a legöbb, é me ezek maadékagjai különböző haványaiból zámío Ljung Box-aizikák jóval a kiiku éékek ala volak, így függelennek ekinhejük őke. Előzö a maadékagoka n-enkén aggegáljuk, é az α indexe újabecüljük az aggegáumokból. Ezuán ugyanez elvégezzük olyan függelen, zimmeiku, abil elozláú, zimulál minákból kiindulva, amelyek α indexe megegyezik a maadékagokból becül α éékével, méee pedig a maadékagok minájának méeével. Eze kiindulái minából minden aggegáció zinen kizámíjuk az aggegáumokból becül α indexek álagá, valamin a 99 zázaléko konfidencia-inevallumok felő é

15 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 585 aló haáai. Az eedményeke a 6. ábla aalmazza. I n az aggegáció endje, a CISCO- é a MOL-ookban a maadékagokból, illeve aggegáumaikból becül α indexek, alauk a zimulál minákból, illeve aggegáumaikból becül α indexek álaga, majd a konfidencia-inevallumok felő é aló haáai zeepelnek. A Lévy-havány GARCH-modell maadékagjainak abiliáa n CISCO,75,89,94,96,98,00,75,75,75,75,75,75,79,8,8,84,85,87,70,68,66,65,65,64 MOL,39,43,58,75,9,95,39,39,39,39,39,40,49,5,55,58,6,63,9,6,4,,0,8 6. ábla Láhaó, hogy a maadékagok aggegáumainak indexei gyoan aanak keőhöz é mind a konfidencia-inevallumokon kívül enek (kivéel: MOL, n = ). Ezzel zemben a zimulál minák aggegáumaiból becül indexek álaga lényegében állandó. A konfidencia-inevallumok az aggegációval zéleednek, ami a minamée cökkenéének ulajdoníhaó. Végeedményben ehá e modellek maadékagjainak abiliáá elvehejük. * A anulmányban a Lévy-elozláok alkalmazhaóágá vizgáluk havány GARCHmodellekben a MOL- é a CISCO-ézvények nagyfekvenciá hozamainak időoain. Legfonoabb eedményünk az, hogy az illeze modellek maadékagjainak abiliáa elveheő, így a modellek hibaagjai nem lehenek Lévy-elozláúak. Édeme lenne ok időoa elvégezni haonló vizgálaoka, hizen az iodalomban alálunk olyan példá i (Minik Paolella Rachev [000]), amelyben a Lévy-havány GARCH-modell maadékagjainak abiliáa nem veheő el. Hangúlyoznunk kell ovábbá, hogy a Lévy-havány GARCH-modell mindké időoa jobban illezkedik, min a nomáli havány GARCH. Nyio kédé maad azonban, hogy a GARCH-modellekben milyen elozláú innovációka édeme haználni. Előfodulha, hogy Lévy-elozláú innovációkkal jobban illezkedik egy GARCH-modell, min például elozláú innovációkkal, de a maadékagok abiliáá a ez elvei. Tezelheőég zemponjából a Lévy-elozláok haználaa,,ebezheőbb, min a -elozláoké. IRODALOM ADLER, R. J. FELDMAN, R. E. TAQQU, M. S. (zek.) [998]: A pacical guide o heavy ail. Bikhaue, Boon. AKGIRAY, V. BOOTH, G. G. [988]: The able-law model of ock eun. Jounal of he Ameican Saiical Aociaion, old. BACHELIER, L. [900]: Théoie de la péculaion. Annale de l École Nomale Supeieue Séie, 3, 7, 86. old. BAILLIE, R. T. BOLLERSLEV, T. [989]: The meage in daily exchange ae: a condiional-vaiance ale. Jounal of Buine and Economic Saiic, 7, old.

16 586 BAILLIE, R. T. BOLLERSLEV, T. MIKKELSEN, H. O. [996]: Facionally inegaed genealized auoegeive condiional heeokedaiciy. Jounal of Economeic, 74, old. BARNDORFF-NIELSEN, O. E. [994]: Gauian invee Gauian pocee and he modelling of ock eun. Technical Repo, Aahu Univeiy. Aahu. BOLLERSLEV, T. [987]: A condiional heeokedaic ime eie model fo peculaive pice and ae of eun. Review of Economic and Saiic, 69, old. BOLLERSLEV, T. ENGLE, R. F. NELSON, D. B. [994]: ARCH model. In: Handbook of economeic, 4, Noh-Holland old. BOUGEROL, P. PICARD, N. [99]: Saionaiy of GARCH pocee and of ome non-negaive ime eie. Jounal of Economeic, 5, 5 7. old. BROCKWELL, P. J. DAVIS, R. A. [99]: Time eie: Theoy and mehod. Spinge, New Yok. DAVIS, R. A. MIKOSCH, T. [998]: The ample auocoelaion of heavy-ailed pocee wih applicaion o ARCH. The Annal of Saiic, 6. évf. 5. z old. DING, Z. GRANGER, C. W. J. ENGLE, R. F. [993]: A long memoy popey of ock make eun and a new model. Jounal of Empiical Finance,, old. EBERLEIN, E. KELLER, K. [995]: Hypebolic diibuion in finance. Benoulli,, old. EMBRECHTS, P. KLÜPPELBERG, C. MIKOSCH, T. [997]: Modelling exenal even. Spinge, Belin. FAMA, E. F. [965]: The behavio of ock make pice. The Jounal of Buine, 38, old. FAMA, E. F. ROLL, R. [97]: Paamee eimae fo ymmeic able diibuion. Jounal of he Ameican Saiical Aociaion, 66. évf.. z old. GHOSE, D. KRONER, K. F. [995]: The elaionhip beween GARCH and ymmeic able pocee: finding he ouce of fa ail in financial daa. Jounal of Empiical Finance,, 5 5. old. GOURIEROUX, C. [997]: ARCH model and financial applicaion. Spinge-Velag, New Yok. HARVEY, A. C. RUIZ, E. SHEPHARD, N. [994]: Mulivaiae ochaic vaiance model. Review of Economic Sudie, 6, old. HILL, B. M. [975]: A imple geneal appoach o infeence abou he ail of a diibuion. Annal of Saiic, 3, old. HSIEH, D. A. [989]: Modelling heeocedaiciy in daily foeign-exchange ae. Jounal of Buine and Economic Saiic, 7, old. HSU, D.-A. MILLER, R. B. WICHERN, D. W. [974]: On he able paeian behavio of ock-make pice. Jounal of he Ameican Saiical Aociaion, 69, old. KIM, S. SHEPHARD, N. CHIB, S. [998]: Sochaic volailiy: Likelihood infeence and compaion wih ARCH model. Review of Economic Sudie, 65. KÜCHLER, U. ET AL. [999]: Sock eun and hypebolic diibuion. Mahemaical and Compue Modelling, 9, 5. old. LIU, S. BRORSEN, B. W. [995]: Maximum likelihood eimaion of a GARCH-able model. Jounal of Applied Economeic, 0, old. LUMSDAINE, R. L. [995]: Finie-ample popeie of he maximum likelihood eimao in GARCH(,) and IGARCH(,) model: a Mone Calo inveigaion. Jounal of Buine and Economic Saiic, 3, 0. old. MANDELBROT, B. [963a]: New mehod in aiical economic. Jounal of Poliical Economy, 7, old. MANDELBROT, B. [963b]: The vaiaion of ceain peculaive pice. The Jounal of Buine, 36, old. MCCULLOCH, J. H. [985]: Inee-ik eniive depoi inuance pemia: Sable ACH eimae. Jounal of Banking and Finance, 9, old. MCCULLOCH, J. H. [998]: Numeical appoximaion of he ymmeic able diibuion and deniy. In: Adle, R. J. Feldman, R. E. Taqqu, M. S. (zek.) A pacical guide o heavy ail, Bikhaue, Boon old. MIKOSCH, T. STĂRICĂ, C. [000]: Limi heoy fo he ample auocoelaion and exeme of a GARCH(,) poce. The Annal of Saiic, 8. évf 5. z old. MITTNIK, S. RACHEV, S. T. [993]: Modelling ae eun wih alenaive able diibuion. Economeic Review,, old. MITTNIK, S. PAOLELLA, M. S. RACHEV, S. T. [000]: Diagnoing and eaing he fa ail in financial eun daa. Jounal of Empiical Finance, 7, old. MITTNIK, S. PAOLELLA, M. S. RACHEV, S. T. [00]: Saionaiy of able powe-garch pocee. Jounal of Economeic, 06, old. NELSON, D. [99]: Condiional heeokedaiciy in ae eun: A new appoach. Economeica, 59, old. PALÁGYI Z. [999]: Áfolyamingadozáok é kockázabeclé a Budapei Éékőzdén, Szigma 30.évf. -. z old. PALÁGYI Z. MANTEGNA, R. N. [999]: Empiical inveigaion of ock pice dynamic in an emeging make. Phyica A 69, old. PALÁGYI Z. KŐRÖSI G. MANTEGNA, R. N. [00]: High fequency daa analyi in an emeging and a developed make, In: Takayau, H. (zek.) Empiical cience of financial flucuaion. Spinge-Velag Tokyo. PANORSKA, A. K. MITTNIK, S. RACHEV, S. T. [995]: Sable GARCH model fo financial ime eie. Applied Mahemaic Lee, 8. évf. 5. z old. PAOLELLA, M. S. [00]: Teing he able Paeian aumpion. Mahemaical and Compue Modelling, 34, 095. old. RACHEV, S. MITTNIK, S. [000]: Sable Paeian model in finance. Wiley eie in financial economic and quaniaive analyi, John Wiley & Son, New Yok, Chichee. SAMORODNITSKY, G. TAQQU, M. S. [994]: Sable non-gauian andom pocee. Chapman & Hall, New Yok, London. SPANOS, A. [993]: On modelling peculaive pice: Suden auoegeive model wih dynamic heeokedaiciy. Technical Repo, Univeiy of Cypu. Nicoia. TAYLOR, S. [986]: Modelling financial ime eie. John Wiley & Son, New Yok.

17 PÉNZÜGYI IDŐSOROK ELEMZÉSE 587 VARGA J. [999]: Sock eun diibuion: a uvey of empiical inveigaion. Saizikai Szemle, 77. évf. különzám, old. VARGA J. [00]: Pénz- é őkepiaci időook zochaziku volailiá modelljei. Szigma. 33. évf.. z old. SUMMARY The auho eimaed he able powe GARCH model a decibed in Minik e al. (000) fom high fequency (5, 30 and 60 minue) eun of he ock MOL (Hungaian Oil Company, aded a he Budape Sock Exchange), and he ock CISCO (aded a NASDAQ). The daa came fom 998, full yea. The mo iniguing eul of he pape i ha even hough Levy powe GARCH fi well o he daa in he ene ha hee i no ignifican auocoelaion lef in he eidual and quaed eidual of he model, he diibuion of eidual doe no have he abiliy unde addiion popey, o i i no a Levy. Thi obevaion queion he applicabiliy of Levy diibuion in modelling financial ime eie. In fac, he only example found in he lieaue, whee abiliy of he eidual of a Levy GARCH model could no be ejeced i in he pape cied above. So he queion whehe Levy diibuion ae appopiae fo GARCH modelling ill eem o be an open one.