L I N EÁR I S ALG E B RA

Átírás

1 WETTL FERENC L I N EÁR I S ALG E B RA azoknak, akik érteni is szeretnék 2011 Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Copyright

2

3 Kulcsszavak: Lineáris algebra, vektorok, lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, lineáris leképezések Rövid ismertetés: A könyv a szerző mérnökhallgatók számára tartott előadásainak tapasztalataira építve a lineáris algebra több témáját újszerű módon tárgyalja A fogalmakhoz és tételekhez a szokásos helyett igyekszik motiválhatóbb, természetesebb utakat találni, és ezzel érthetőbbé tenni az Olvasó számára Különösen azokra a témákra koncentrál, melyek ismerete a modern mérnöki, természettudományos és közgazdasági alkalmazások megértéséhez szükséges A könyv jelen változata az első oktatási eredmények nyomán folyamatosan változik

4 Támogatás: Készült a TÁMOP /2/A/KMR számú pályázat Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felelős vezető: dr Ferenczi Miklós Projektmenedzser: dr Ádám Katalin A projekt webcíme: Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert Copyright: Wettl Ferenc, BME TTK, 2011 E mű a Creative Commons (CC BY-NC-ND 30) Nevezd meg! Ne add el! Ne változtasd! 30 Magyarország Licenc szerint használható A copyright terminusai: kizárólag a Budapesti Műszaki Egyetem Természettudományi Karának és a Szerző nevének feltüntetésével idézhető, kizárólag szerződéskötés nyomán használható kereskedelmi célra, nem módosítható és nem készíthető belőle átdolgozás

5 Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 29 Vektor magadása egy irányított szakasszal 30 Vektor megadása hossz és irány segítségével 31 Vektorműveletek a 2- és 3-dimenziós térben 31 A lineáris kombináció definíciója 33 Lineáris függetlenség 35 Speciális lineáris kombinációk 36 Távolság, szög, orientáció 39 Skaláris szorzás 39 Hosszúság és szög 40 Pithagorász-tétel 40 Két fontos egyenlőtlenség 41 Egységvektorral való szorzás és a merőleges vetítés 42 Merőlegesség és orientáció 43 Vektori szorzás 44 Parallelepipedon térfogata, és előjeles térfogata 47 Vegyes szorzat 47 Vektorok koordinátás alakban 50 Descartes-féle koordinátarendszer 50 Műveletek koordinátás alakban megadott vektorokkal 51 A derékszögű koordinátarendszer 53 Az R n halmaz 55 R n vektorainak összeadása és skalárral szorzása 55 Lineáris kombináció, lineáris függetlenség, lineáris összefüggőség 57 Skaláris szorzás R n -ben 59 Távolság és szög R n -ben 60 Korrelációs együttható 62 Bitvektorok 63 Kódvektorok, kódok 63 Vektorműveletek Z n m-ben 64

6 6 2 Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 69 Egyenes és sík egyenletei 69 Alakzatok és egyenletek 69 Síkbeli egyenes egyenletei 71 Síkbeli pont egyenletei 74 A 3-dimenziós tér síkjainak egyenletei 75 Térbeli egyenes egyenletei 77 Térbeli pont egyenletei 80 Egyenletek R n -ben 81 A lineáris egyenletrendszer és két modellje 84 Lineáris egyenlet és egyenletrendszer 84 Ekvivalens lineáris egyenletrendszerek 86 Mátrixok 87 Egyenletrendszer mátrixa és bővített mátrixa 88 Sormodell: hipersíkok metszete 89 Oszlopmodell: vektor előállítása lineáris kombinációként 92 Megoldás kiküszöböléssel 95 Elemi sorműveletek 95 Lépcsős alak 95 Gauss-módszer 96 Redukált lépcsős alak 100 Gauss Jordan-módszer 101 A redukált lépcsős alak egyértelműsége 103 Szimultán egyenletrendszerek 104 Kiküszöbölés Z p -ben * 106 Megoldás a gyakorlatban 109 A kiküszöbölés műveletigénye 109 Numerikusan instabil egyenletrendszerek 109 Részleges főelemkiválasztás 111 Skálázás 113 Iteratív módszerek 114 Jacobi-iteráció 115 Gauss Seidel-iteráció 116 Az iterációk konvergenciája Megoldhatóság és a megoldások tere 121 Homogén és inhomogén egyenletrendszerek megoldásai 121 Kötött változók száma, mátrix rangja 121 Egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele 123 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai 125 Altér 126 Kifeszített altér 128 Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai 130 Lineáris függetlenség és összefüggőség 132 Alterek tulajdonságai és az egyenletrendszerek 135 Sor- és oszloptér 135 Bázis 136 Vektor egy bázisra vonatkozó koordinátás alakja 138 Dimenzió és rang 140 Elemi bázistranszformáció * 143 A lineáris algebra alaptétele 147 A sortér és a nulltér merőlegessége 147 Kiegészítő altér 148 A lineáris egyenletrendszer megoldásainak jellemzése 151 Megoldások 155 II Mátrixok algebrája és geometriája 161

7 7 4 Mátrixműveletek definíciói 165 Táblázatok 165 Táblázatok összeadása 165 Táblázat szorzása számmal 166 Táblázatok szorzása 166 Lineáris helyettesítés 167 Elemenkénti mátrixműveletek 170 Alapfogalmak, jelölések 170 Elemenkénti mátrixműveletek 172 Mátrixok lineáris kombinációi 173 Mátrixszorzás 175 Skaláris szorzat és diadikus szorzat mátrixszorzatos alakja 176 Lineáris egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja 177 Lineáris helyettesítés mátrixszorzatos alakja 178 Szorzás vektorral 179 Szorzás standard egységvektorral 179 A báziscsere mátrixszorzatos alakja 180 Bázisfelbontás * 182 Egységmátrix, elemi mátrixok 183 Mátrixműveletek Z m -ben * 185 Blokkmátrixok 185 Műveletek blokkmátrixokkal 185 Vektorokra particionált mátrixok 187 Lineáris egyenletrendszer megoldásának blokkmátrix alakja * Mátrixműveletek tulajdonságai 195 Az alapműveletek algebrai tulajdonságai 195 Az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai 195 A szorzás tulajdonságai 196 Mátrix hatványozása 198 A transzponálás tulajdonságai 200 Mátrix inverze 201 Az inverz 201 Elemi mátrixok inverze 204 Az inverz kiszámítása 205 Az inverz tulajdonságai 207 Az invertálhatóság és az egyenletrendszerek megoldhatósága 209 Invertálhatóság, bázis, báziscsere 212 Műveletek speciális mátrixokkal 216 Diagonális mátrixok 216 Permutációs mátrixok és kígyók 216 Háromszögmátrixok 218 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok 219 Mátrix és diád összegének inverze * 220 Gyorsszorzás * 222 Az LU-felbontás 225 Az LU-felbontás használata egyenletrendszer megoldására 226 Mátrix invertálása LU-felbontással 227 Az LU-felbontás kiszámítása 228 PLU-felbontás 230 Az LU-felbontás a gyakorlatban 233 Megoldások 235

8 8 6 Determináns 239 Parallelogramma előjeles területe 239 térfogata 240 Parallelepipedon előjeles A determináns, mint sorvektorainak függvénye 241 A determináns definíciója 241 A determináns értékének kiszámítása 243 Mátrixműveletek és determináns 246 Mikor 0 a determináns értéke 248 A determináns, mint elemeinek függvénye 254 Kígyók determinánsa 254 Permutációs mátrix determinánsa * 256 Előjeles aldetermináns 258 Determináns kifejtése 261 Cramer-szabály és a mátrix inverze 262 Blokkmátrixok determinánsa * 266 Vandermonde-determináns 267 Megoldások Mátrixleképezések és geometriájuk 279 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 279 A mátrixleképezés fogalma 279 Műveletek mátrixleképezések között 280 Mátrixleképezések tulajdonságai 281 A mátrixleképezés hatásának szemléltetései 282 Lineáris leképezés 285 Lineáris leképezések alaptulajdonságai 288 Lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban 289 Hasonlóság 290 Tartományok képe és mértékük változása 292 Többváltozós függvények differenciálása * és 3-dimenziós geometriai transzformációk mátrixa 301 Forgatás 301 Merőleges vetítés 304 Tükrözés 306 Vetítés 306 Eltolás 307 Merőleges vetítés és a legjobb közelítés 308 Merőleges vetítés R n egy alterére 308 Melyik mátrix merőleges vetítés mátrixa? 309 Altértől való távolság 310 Egyenletrendszer optimális megoldása 312 A pszeudoinverz fogalma * 313 A pszeudoinverz tulajdonságai * 317 A pszeudoinverz és a minimális abszolút értékű optimális megoldás * 318 Lineáris és polinomiális regresszió 320 Ortonormált bázis, ortogonális mátrixok 324 Ortogonális és ortonormált bázis 324 Ortogonális mátrixok 326 Ortogonális mátrixok geometriája 328 A 2- és 3-dimenziós tér ortogonális transzformációi 329 Givens-forgatás, Householder-tükrözés * 331 Gram Schmidt-ortogonalizáció * 333 A QR-felbontás * 334 Egyenletrendszer optimális megoldása QR-felbontással * 338 Komplex és véges test feletti terek * 342

9 9 Komplex vektorok skaláris szorzata 342 Önadjungált mátrixok 344 Távolság és a merőleges vetítés komplex terekben 345 Unitér mátrixok 345 Fourier-mátrixok 345 Diszkrét Fourier-transzformáció 348 Periodikus összetevők szűrése 350 Gyors Fourier-transzformáció 352 Vektorok konvolúciója 355 Megoldások 355 III Mátrixok sajátságai Sajátérték, diagonalizálás 363 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 363 A sajátérték és a sajátvektor fogalma 363 Karakterisztikus polinom 365 A valós 2 2-es mátrixok sajátaltereinek jellemzése 367 Mátrix összes sajátértékének és sajátvektorának meghatározása 368 A karakterisztikus egyenlet komplex gyökei 371 A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökei: az algebrai és a geometriai multiplicitás 372 Speciális mátrixok sajátértékei 373 Sajátértékek és a mátrix hatványai 374 Hasonlóság, diagonalizálhatóság 377 Lineáris transzformációk sajátértékei 377 Hasonló mátrixok sajátértékei 378 Mátrixok diagonalizálása 379 Sajátértékek multiplicitása és a diagonalizálhatóság * 382 Mátrixok hatványai és egyéb függvényei 385 Mátrixok ortogonális diagonalizálása 386 Kvadratikus formák 388 Homogén másodfokú polinomok mátrixszorzatos alakja 389 Főtengelytétel 390 Kvadratikus formák és mátrixok definitsége 391 Kúpszeletek osztályozása 393 Definitség és sajátértékek 393 Szélsőérték 393 Szélsőérték az egységgömbön Szinguláris érték 395 Szinguláris érték, szinguláris vektor, SVD 395 Szinguláris érték 395 Szinguláris felbontás 396 A szinguláris értékek és a szinguláris felbontás meghatározása 399 Szinguláris érték szerinti felbontás létezése 401 Bal és jobb szinguláris vektorok 402 Szimmetrikus és önadjungált mátrixok szinguláris felbontása 402 Polárfelbontás 402 Pszeudoinverz 402 Információtömörítés 402

10 10 10 Jordan-féle normálalak 405 Schur-felbontás 405 Általánosított sajátvektorok és a Jordan-blokk 405 Jordan normálalak 409 A Jordan-alak egyértelműsége 411 A Jordan-bázis konstrukciója 415 Mátrixfüggvények 420 A Jordan normálalak használata a differenciálegyenletrendszerek megoldásában Nemnegatív mátrixok 423 Mátrixok összehasonlítása 423 Pozitív mátrixok 424 Nemnegatív mátrixok 427 Irreducibilis mátrixok 431 Megoldások 434 A Függelék 437 Lebegőpontos számábrázolás 437 A lebegőpontos számábrázolás 437 Műveletek lebegőpontos számokkal 439 Algoritmusok műveletigénye: flop és flops 440 Komplex számok 442 Testek, gyűrűk 442 Prímelemű testek 445 Aritmetika véges halmazon 445 Polinomok 447 B Lineáris algebra dióhéjban 449 Irodalomjegyzék 451 Tárgymutató 453

11 Listák Tételek, állítások, következmények 12 Parallelogramma-módszer A vektorműveletek tulajdonságai Vektorral párhuzamos vektorok Két vektorral egy síkba eső vektorok Térbeli vektorok Síkbeli vektor felbontása Térbeli vektor felbontása Két ponton átmenő egyenes jellemzése Intervallum pontjainak jellemzése Mikor 0 a skaláris szorzat? A skaláris szorzás műveleti tulajdonságai Pithagorász-tétel Cauchy Bunyakovszkij Schwarz-egyenlőtlenség Háromszög-egyenlőtlenség Egységvektorral való szorzás geometriai jelentése Vektor felbontása merőleges összetevőkre Mikor 0 a vektori szorzat? Vektori szorzat abszolút értékének geometriai jelentése Vektori szorzás műveleti tulajdonságai Ekvivalencia reláció Vektorműveletek koordinátás alakja Skaláris szorzat ortonormált koordinátarendszerben Vektori szorzat ortonormált koordinátarendszerben Az összeadás és skalárral szorzás tulajdonságai Lineáris függetlenség Lineáris összefüggőség A skaláris szorzás tulajdonságai Cauchy Bunyakovszkij Schwarz-egyenlőtlenség Háromszög-egyenlőtlenség R n -ben Skaláris szorzat és abszolút érték R n -ben Síkbeli egyenes explicit vektoregyenlete Síkbeli egyenes implicit vektoregyenlete Síkbeli egyenes explicit egyenletrendszere Síkbeli egyenes (implicit) egyenlete Sík explicit vektoregyenlete Sík implicit vektoregyenlete Sík explicit egyenletrendszere Sík implicit egyenlete Térbeli egyenes explicit vektoregyenlete Térbeli egyenes explicit egyenletrendszere Térbeli egyenes implicit egyenletrendszere Ekvivalens átalakítások Sormodell Oszlopmodell Lépcsős alakra hozás A redukált lépcsős alak egyértelmű A kiküszöbölés műveletigénye Elégséges feltétel az iterációk konvergenciájára Főelemek oszlopai Kötött és szabad változók száma A megoldhatóság mátrixrangos feltétele Homogén lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Megoldások lineáris kombinációja Alterek összege Megoldások altere A kifeszített altér altér Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldásai Inhomogén egyenletrendszer megoldhatósága Lineáris függetlenség eldöntése Elemi sorműveletek hatása a sor- és oszlopvektorokra Mátrix lépcsős alakjának vektorai Bázis ekvivalens definíciói Bázis-tétel Dimenzió = rang Dimenziótétel Elemi bázistranszformáció A sortér és a nulltér merőlegessége 148

12 Kiegészítő alterek tulajdonságai A merőleges kiegészítő altér tulajdonságai A lineáris algebra alaptétele A négy kitüntetett altér Lineáris egyenletrendszer megoldásai Mátrixszorzás és lineáris kombináció Mátrix elemeinek, sor- és oszlopvektorainak előállítása Koordináták változása a bázis cseréjénél Bázisfelbontás Elemi sorműveletek mátrixszorzással Műveletek blokkmátrixokkal A szorzat oszlopai és sorai A megoldás felírása blokkmátrixokkal A nulltér bázisa Összeadás és skalárral szorzás tulajdonságai Mátrixszorzás algebrai tulajdonságai Hatványozás azonosságai Transzponálás tulajdonságai Sorművelet inverzének mátrixa Az inverz egyértelműsége Az inverz létezéséhez elég egy feltétel es mátrix inverze Az inverz alaptulajdonságai Az invertálhatóság és az egyenletrendszerek Invertálhatóság és bázis Az áttérés mátrixának inverze Műveletek diagonális mátrixokkal Műveletek permutációs mátrixokkal Műveletek háromszögmátrixokkal Műveletek (ferdén) szimmetrikus mátrixokkal Felbontás szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix összegére A T A és AA T szimmetrikus Sherman Morrison-formula Az LU-felbontás létezése és egyértelműsége Nullvektort tartalmazó determináns Elemi sorműveletek determinánson Elemi mátrixok determinánsa Permutációs mátrix determinánsa Háromszögmátrix determinánsa Determinánsok szorzásszabálya Transzponált determinánsa Zérus értékű determináns Egyenletrendszer megoldhatósága és a determináns Felbontás kígyók determinánsainak összegére Permutációs mátrix determinánsa Determinánsfüggvény létezése Determináns rendjének csökkentése Determinánsok kifejtési tétele Cramer-szabály Mátrix inverzének elemei Determinánsok szorzata blokkmátrixban es blokkmátrix determinánsa Vandermonde-determináns értéke Mátrixleképezések alapműveletei Inverz mátrixleképezések A lineáris kombinációt megőrző leképezések Síkbeli forgatás, tükrözés, vetítés Lineáris leképezés mátrixa Lineáris leképezések alaptulajdonságai Lineáris leképezés mátrixai közti kapcsolat Hasonló mátrixok hatása Hasonlóságra invariáns tulajdonságok Tartomány mértékének változása lineáris transzformációban Jacobi-mátrix Láncszabály A forgatás mátrixa Tengely körüli forgatás Rodrigues-formula Egyenesre való merőleges vetítés mátrixa Síkra való merőleges vetítés mátrixa Síkbeli tükrözés mátrixa Síkra való tükrözés mátrixa Altérre való vetítés mátrixa Merőleges vetítés mátrixai Legjobb közelítés tétele Vektor felbontása összetevőkre Egyenletrendszer optimális megoldása Pszeudoinverz létezése és egyértelműsége A pszeudoinverz kiszámítása Penrose-tétel A + A és AA + merőleges vetítés Optimális megoldás pszeudoinverzzel Lineáris regresszió Linearizálható regressziós modellek Ortogonális vektorok függetlensége Legjobb közelítés ONB esetén Szemiortogonális mátrixok ekvivalens definíciói Ortogonális mátrixok ekvivalens definíciói Ortogonális mátrixhoz tartozó mátrixleképezés Ortogonális mátrixok tulajdonságai Egy vektor tükrözése egy másikba Gram Schmidt-ortogonalizáció QR-felbontás Legkisebb négyzetek QR-felbontással Az adjungált tulajdonságai A komplex skaláris szorzás tulajdonságai Fourier-összeg helyettesítési értékei A Fourier-mátrixok tulajdonságai 347

13 A DFT tulajdonságai Gyors Fourier-transzformáció A sajátvektorok alterei Háromszögmátrixok sajátértékei Determináns, nyom és a sajátértékek es szimmetrikus mátrixok sajátalterei Speciális mátrixok sajátértéke Mátrix invertálhatósága és a 0 sajátérték Mátrix hatványainak sajátértékei és sajátvektorai Mátrix hatványainak hatása Sajátérékhez kapcsolódó invariánsok Diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele Különböző sajátértékek sajátvektorai Különböző sajátértékek és diagonalizálhatóság Algebrai és geometriai multiplicitás kapcsolata Diagonalizálhatóság és a geometriai multiplicitás Szimmetrikus mátrix sajátalterei Valós spektráltétel Főtengelytétel Definitség meghatározása a sajátértékekből A szinguláris értékek tulajdonságai Jordan normálalak A Jordan-alak egyértelműsége Exponenciális függvény kiszámítása Perron-tétel: pozitív sajátérték és sajátvektor Perron-tétel: egyszeres és domináns sajátérték Perron Frobenius-tétel gyenge változat Collatz Wielandt-tétel Nemnegatív mátrixok spektrálsugarának becslése Perron Frobenius-tétel erős változat Mátrix rangja Invertálható négyzetes mátrixok 450 Definíciók Irányított szakasz, kötött vektor 29 Vektor 30 Zérusvektor 30 Vektor hossza 31 Vektorok szöge Két vektor összege háromszögmódszer Vektorok különbsége Vektor szorzása skalárral Lineáris kombináció Vektorok függetlensége Két vektor skaláris szorzata 39 Egységvektor Vektori szorzat Vegyes szorzat 48 Vektor koordinátás alakja 2D-ben 50 Vektor koordinátás alakja 3D-ben Vektorműveletek R n -ben Abszolút érték, szög, merőlegesség, távolság 60 Korrelációs együttható Kód Alakzat (implicit) egyenletrendszere Alakzat (explicit) egyenletrendszere Lineáris egyenlet Lineáris egyenletrendszer Lineáris egyenletrendszer megoldása Ekvivalens egyenletrendszerek Elemi sorműveletek Lépcsős alak Redukált lépcsős alak 100 rref függvény Szimultán egyenletrendszerek Soronként domináns főátlójú mátrix Mátrix rangja Altér Nulltér Kifeszített altér Sortér, oszloptér Bázis Dimenzió Vektorrendszer rangja 142 Merőleges altér és merőleges kiegészítő altér 148 Kiegészítő altér Lineáris helyettesítés Mátrixok egyenlősége Adott típusú mátrixok tere Mátrixok összege, különbsége Zérusmátrix Mátrix szorzása skalárral Mátrixok szorzása Diadikus szorzat Áttérés mátrixa Egységmátrix Elemi mátrixok Mátrix inverze Permutációs mátrix, kígyó Háromszögmátrix Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok LU-felbontás PLU-felbontás Determináns Előjeles aldetermináns Vandermonde-determináns

14 14 77 Lineáris leképezés Hasonlóság 290 Lineáris leképezés rangja 292 Lineáris leképezés determinánsa Differenciálhatóság 294 Altérre való merőleges vetület 308 Optimális megoldás 312 Normálegyenlet-rendszer A Moore Penrose-féle pszeudoinverz 314 Regressziós egyenes 321 Ortogonális és ortonormált bázis Ortogonális és szemiortogonális mátrix 326 Givens-forgatás 331 Householder-tükrözés 331 QR-felbontás Komplex mátrix adjungáltja Komplex vektorok skaláris szorzata Komplex vektorok hossza, távolsága, szöge, merőlegessége Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) Sajátérték, sajátvektor Sajátaltér Lineáris transzformáció sajátértéke, sajátvektora Diagonalizálhatóság Ortogonális diagonalizálhatóság Kvadratikus formák és mátrixok definitsége Szinguláris érték 396 Szinguláris felbontás Általánosított sajátvektor Jordan-blokk Mátrix exponenciális függvénye Reducibilis és irreducibilis mátrixok Lebegőpontos számok Test Z m 446 Kidolgozott példák 116 Skaláris szorzat kiszámítása a definíció alapján Skaláris szorzat kiszámítása Merőleges összetevőkre bontás Vektori szorzat meghatározása i, j, k vektori szorzata Parallelepipedon térfogata Vegyes szorzat Vektorok koordinátái Pontok koordinátái Skaláris szorzás koordinátarendszerben Parallelogramma területe Vektorok szöge és távolsága BCD-kód Lineáris kombináció Z n m-ben One time pad a tökéletes titkosítás Paritásbit Ellenőrző összeg Az x + y = 1 egyenlet Az x 2 + y 2 = 1 egyenlet Síkbeli egyenes egyenletei Sík egyenletei Térbeli egyenes egyenletrendszerei Egyenes és sík explicit vektoregyenlete Hipersík egyenlete Lineáris egyenlet Lineáris egyenlet azonos átalakítása Lineáris egyenletrendszerek Egyenletrendszer egy megoldása Mátrix használata a megoldáshoz Sormodell két kétismeretlenes egyenlettel Ha 0 lesz a bal oldal Sormodell három háromismeretlenes egyenlettel A megoldás lépései az oszlopmodellben Lépcsős alak Gauss-módszer, egy megoldás Gauss-módszer, végtelen sok megoldás Homogén lineáris egyenletrendszer megoldása Síkok metszésvonalának meghatározása Redukált lépcsős alak Redukált lépcsős alakra hozás Gauss Jordan-módszer, egy megoldás Gauss Jordan-módszer, végtelen sok megoldás Szimultán egyenletrendszer megoldása Szimultán egyenletrendszer bővített mátrixa Egyenletrendszer Z 2 fölött Egyenletrendszer Z 5 fölött Instabil egyenletrendszer Gauss-módszer lebegőpontos számokkal Részleges főelemkiválasztás Sor szorzása Jacobi-iteráció Gauss Seidel-iteráció Divergens iteráció Mátrix rangjának kiszámítása Kötött és szabad változók száma Egyenletrendszer megoldásainak száma 124

15 Altér Nulltér Kifeszített altér vektorai Vektorok lineáris függetlenségének eldöntése Altér bázisának meghatározása Vektor felírása a bázisvektorok lineáris kombinációjaként Vektor koordinátás alakja a B bázisban Mátrix transzponáltja Dimenzió kiszámítása Egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval Vektorokra merőleges altér Lineáris egyenletrendszer sortérbe eső megoldása Lineáris helyettesítések kompozíciója Mátrixok és elemeik Mátrixok összege, különbsége Mátrixok lineáris kombinációja Mátrixok szorzása Skaláris és diadikus szorzat Egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja Szimultán egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja Áttérés a standard bázisra Báziscsere Bázisfelbontás Elemi mátrixok Mátrix balról szorzása elemi mátrixszal Műveletek blokkmátrixokkal es blokkmátrixok Szorzat előállítása diádok összegeként Nulltér bázisa Egyszerűsítés mátrixszal Nullosztó Mátrix hatványozása Polinom helyettesítési értéke Mátrix inverze Szinguláris mátrix I A inverze nilpotens A esetén Az inverz kiszámítása Inverz tulajdonságainak alkalmazása Egyenletrendszer megoldása mátrixinvertálással Mátrixegyenlet megoldása mátrixinvertálással Mátrix elemi mátrixok szorzatára bontása Az áttérés mátrixának inverze Műveletek diagonális mátrixokkal Sorok permutációja mátrixszorzással Kígyók Permutációs mátrix inverze Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok Inverz változása Inverz változása számpéldán Gauss-kiküszöbölés mátrixszorzással Egyenletrendszer megoldása LU-felbontással Mátrix invertálása LU-felbontással PLU-felbontás előállítása Determináns kiszámítása háromszög alakra hozással Determináns kiszámolása PLU-felbontásból Determináns kiszámítása elemi oszlopműveletekkel Zérus értékű determinánsok Inverziók száma és a determináns Előjeles aldetermináns Determináns rendjének csökkentése Kifejtési tétel Cramer-szabály Mátrix inverze Interpoláció másodfokú polinomokra Vektori szorzással definiált mátrixleképezés Mátrixleképezés ábrázolása az egységrács képével Mátrixleképezés ábrázolása az egységkör képével A deriválás és az integrálás lineáris leképezés Lineáris leképezés mátrixa másik bázisban Jacobi-mátrix kiszámítása Függvényérték becslése Jacobi-mátrixszal Láncszabály Forgatás egy tetszőleges pont körül Koordinátatengely körüli forgatás a térben Forgatás mátrixa A forgatás mátrixának inverze Síkra eső merőleges vetület kiszámítása Merőleges vetület kiszámítása Néhány pszeudoinverz A pszeudoinverz kiszámítása Egyenletrendszer optimális megoldása Egyenletrendszer optimális megoldása Egy pont síkra való merőleges vetülete Ortogonális mátrixok Ortogonális mátrixok inverze Forgatás tengelye és szöge Householder-tükrözés Gram Schmidt-ortogonalizáció QR-felbontás kiszámítása QR-felbontás Givens-forgatásokkal QR-felbontás Hauseholder-tükrözéssel 338

16 Egyenletrendszer optimális megoldása Önadjungált mátrixok DFT kiszámítása Magas frekvenciájú összetevők szűrése Jó bázis tükrözéshez Sajátérték, sajátvektor Sajátaltér bázisának meghatározása Karakterisztikus polinom felírása es mátrixok sajátvektorainak ábrázolása Az összes sajátérték és sajátvektor meghatározása Magasabbfokú karakterisztikus egyenlet Komplex sajátértékek és komplex elemű sajátvektorok Sajátérték algebrai és geometriai multiplicitása Lineáris transzformáció sajátértéke, sajátaltere Mátrix diagonalizálása Diagonalizálhatóság megállapítása Lineáris transzformáció diagonalizálása Mátrixok nagy kitevős hatványai Másodfokú polinom mátrixszorzatos alakja Főtengely-transzformáció Definitség meghatározása a sajátértékekből Szinguláris értékek Szinguláris felbontások Szinguláris értékek meghatározása Szinguláris felbontás Jordan-lánc konstrukciója Jordan-lánchoz tartozó Jordan-blokk Jordan-láncok és Jordan-blokkok kapcsolata Normálalakok Jordan-blokkok mérete Jordan-blokkok mérete Jordan-bázis előállítása Mátrix exponenciális függvénye Lebegőpontos számok értéke Lebegőpontos számok halmaza Alapműveletek lebegőpontos számokkal Flop és flops Műveletek paritásokka XOR és AND Számolás az órán Számolás Z m -ben Művelettábla Osztás, reciprok 447

17 Bevezetés Két motiváló emlékem Néhány éve, az akkor legkiválóbb mérnökhallgatómat megkérdeztem, hogy mi a véleménye a szemeszter anyagáról Néhány óvatos, tartózkodó mondat után egy váratlan, és akkor számomra teljesen érthetetlen mondattal lepett meg A lineáris algebrát nem lehet érteni Hiába próbálkoztam azzal, hogy minden dolgozatát maximális pontszámmal írta meg, még a nehéz, gondolkodtató, bizonyítást kérő kérdésekre is tudott válaszolni Semmi magyarázattal nem tudta feloldani ezt az ellentmondást, csak makacsul megismételte állítását, és a végén még annyit tett hozzá, az analízist lehet érteni, az szép Mire gondolhatott? Hamar én is úgy gondoltam, igaza lehet Például a függvény határértékének vagy folytonosságának Cauchy-féle definíciója igen nehéz sok diák számára, pedig már középiskolában is tanulták Nehéz, de valami fogalma mégis minden hallgatónak van róla Akár tudja, akár nem a definíciót, akár jók, akár zavarosak az elképzelései, többnyire tudja miről van szó De nincs ez így például a determinánssal Aki megtanulta azt, hogy vedd az első sor elemeit, és mindegyiket szorozd meg a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal (egy rekurzív módon definiált fogalom!), az ezzel elélhet, megoldhat feladatokat, de úgy érzi, nem ért ebből semmit És mit gondol, ha azt látja, hogy ezt az érthetetlen fogalmat használva egy rejtélyesnek tűnő szabállyal (Cramer-szabály) meg tudja oldani azt az egyenletrendszert, amit már az általános iskolában is meg tudott? Csak akkor értette is, hogy mit miért csinál! A másik történet 30 éves Fiatal oktatóként kérdőre vontam az egyik mérnöki kar dékánját, hogy az oktatási reformjában miért csökkentette a matematikaórák számát! Azt válaszolta, hogy mert szükségünk van időre, hogy megtaníthassuk a diákokat gondolkodni Közbevetésemre, hogy a matematika épp ezt teszi, röviden csak annyit mondott, hogy a matematika csak kaptafákat ad nekik, gondolkodni mi tanítjuk őket Kinek készül ez a könyv és miért Ez a könyv főiskolai és egyetemi BSc és MSc szintű lineáris algebra kurzusaihoz és részben az azt megelőző félévek vektorgeometriát is tartalmazó kurzusaihoz készült Szem-

18 18 lineáris algebra léletében eltér a Magyarországon megjelent hasonló témájú tankönyvektől Megírását és a sok tekintetben újfajta megközelítést az alábbi tények indukálták: A felsőoktatás reformjának hatásaként a hallgatók mind hozott tudásukat, mind matematikai képességeiket tekintve heterogénebbek, mint korábban A felsőfokú oktatás változó szemlélete nagyobb hangsúlyt fektet az alkalmazásokra, mind a tananyag összeállításában, mind azoknak a képességeknek a kifejlesztésében, amelyek a megszerzett tudás alkalmazásához szükségesek A matematika felsőfokú oktatásával foglalkozó nemzetközi kutatások eredményei, a számítógép használatának elterjedése új oktatási szemlélet kialakítását kívánják A könyvben követett elvek Didaktikai célszerűség A könyv megírásakor fő célunk az volt, hogy a lineáris algebra absztrakt fogalmait a lehető legegyszerűbben, legérthetőbben vezessük be Sosem a legáltalánosabb megfogalmazás, a legaxiomatikusabb felépítés, a matematikailag legtömörebb tárgyalásmód megtalálása volt a cél, hanem a didaktikai célszerűség, a tananyag minél hatékonyabb tanulhatóságának elérése Moduláris szerkesztés A könyv anyagát igyekeztünk modulárisan, apró egységekre bontva megszerkeszteni, ezzel nem csak az áttekinthetőségét növelni, de a többcélú, különböző szintű, különböző időtartamú kurzusokhoz való alkalmasságát is megkönnyíteni Alapfogalmak korai bevezetése Tapasztalataink szerint nem elég hatékonyak a lineáris algebra alapfogalmainak megértetésében azok a kurzusok, melyek a kurzus elejét az egyszerű mátrix- és determinánsszámítási, egyenletrendszer-megoldási, sajátérték-számítási technikákkal töltik, majd a kurzus végén a hallgatók nyakába öntik a lineáris függetlenség, test feletti vektortér, altér, bázis, lineáris leképezés fogalmakat De nem jobb a hatásfoka a fordított felépítésű kurzusoknak sem, melyek az általános fogalmakkal és eredményekkel kezdik, melyekből a végén könnyedén kipottyan pl az egyenletrendszerek elmélete Az a határozott véleményünk, hogy (az absztrakt gondolkodásban kiválóak szűk csoportját leszámítva) a hallgatók gyorsabban és mélyebb ismeretekhez jutnak, ha az absztakt fogalmakkal konkrét esetekben már korábban megismerkednek, és az absztrakt fogalomalkotás valóban absztrakció, és nem kinyilatkoztatás útján történik A lineáris algebra legtöbb fontos, e könyvben tárgyalt fogalmával az első

19 TARTALOMJEGYZÉK 19 fejezetekben találkozik az olvasó, az általános fogalomalkotás csak ezt követi Fokozatosság A könyv egészen elemi az első fejezetekben középiskolás szintig visszanyúló tárgyalásmóddal kezdődik, melyet egyre összetettebb, nehezebb anyagrészek, és fokozatosan egyre tömörebb tárgyalásmód követ Többirányú megközelítés A lineáris algebrai ismeretek, hasonlóan egyéb ismeretekhez, több különböző módon is feldolgozhatók Bár e könyv semmiképp sem sorolható a formális definíció-tétel-bizonyítás ciklusokra épülő tankönyvek közé, gerincét a klasszikus megközelítés adja, mely a definíciók és tételek, valamint a köztük lévő összefüggések precíz megfogalmazására, az algoritmikus ismeretek mintapéldákon való bemutatására, és a tudásnak feladatok megoldásán való elmélyítésére épül Emellett több újkeletű technikát is segítségül hívunk Ezek egy részének felsőfokú matematika tankönyvben való alkalmazása hazánkban nem gyakori Fogalmi és procedurális gondolkodás Elsőként az absztrakt összefüggések megértését segítő elemi, konkretizáló, szemléltető példák használatát említjük Ezek első sorban a procedurális gondolkodásban erősebb, a valami fajta kézzelfoghatóságot igénylő hallgatóknak készültek Az absztrakt, fogalmi gondolkodásban otthonos olvasó számára ezek többnyire egyszerű trivialitások, az előbb jelzett hallgatók számára viszont a megértés első lépését jelenthetik Vizuális, geometriai megközelítés A második technika a mérnökhallgatók közt érthetően erős, de korunk kultúrájára egyébként is jellemző vizuális gondolkodásra, és ennek matematikai megfelelőjére, a geometriai intuícióra épít Szerencsére erre egy lineáris algebra könyv különösen alkalmas a téma számtalan geometriai kapcsolata okán Könyvünk a geometriai tartalom megismertetése mellett a vizualizáció egyéb lehetőségeit is igénybe veszi (összefüggések absztrakt ábrázolása, dinamikus geometriai programok a könyvet kísérő weboldalon, ) Algoritmikus megközelítés Részben a számítógépes kultúra elterjedtsége, részben az alkalmazásokban való fontossága miatt könyvünk fontos szerepet szán egyes témák algoritmikus megközelítésének Alkalmazások A harmadik technika az alkalmazások bemutatásához kapcsolódik, ami nem csak matematikán kívüli alkalmazást jelent A könyvben szereplő alkalmazások nem csak a megtanult anyag felhasználási lehetőségeit tekinti át, ami a lineáris algebra tanulásának moti-

20 20 lineáris algebra váló tényezője is lehet, de sok helyütt a megértést a matematikai fogalmak megértését segíti, sőt a matematikai fogalomalkotásban, és az absztrakciós készség mélyítésében is szerepet játszik Számítógép használata A negyedik eszköz a számítógép bevonása az oktatásba Az életszerűbb problémákkal való foglalkozáshoz, valóságos alkalmazások megértéséhez ma már nélkülözhetetlen a számítógépes eszközök használata Ezek ráadásul oktatási segédeszközként is használhatók (pl szemléltetés, vizualizáció), és több numerikus példa vizsgálatát is lehetővé teszik A diákok számára kínált szoftverek kiválasztásában fontos szempont volt a szabad elérhetőség és az ingyenesség Bár a számítógép hasznos segédeszköz, a könyv számítógépet nem használó kurzusokhoz is teljes értékű Kitekintések Egy ismeret elsajátítását nagyban segíti, ha több szálon kapcsolódik már korábban megszerzett ismeretekhez A matematika sokak számára idegen terület, mely elvontsága miatt nehezen kapcsolódik bármi máshoz A könyv szövegét a margón apró kitekintő megjegyzések kísérik, melyek a közvetlen alkalmazásokon túli egyéb kapcsolatokat igyekeznek létrehozni Ilyenek például a történeti megjegyzések, életrajzok, a lineáris algebra fogalmaira vonatkozó etimológiai magyarázatok, lineáris algebrai számítógépes programokhoz kapcsolódó ismeretek, programkódok, de ide tartoznak a további tanulmányokat motiváló, a matematika más területeire kitekintő megjegyzések is E kitekintéseket néhol internetes linkek erősítik Feladatok Didaktikai célból a könyv sok kidolgozott mintapéldát tartalmaz A feladatokat a könyv többcélú felhasználása érdekében nehézség és tartalom szerint osztályoztuk A feladat sorszámát a felső indexbe tett az A betűre emlékeztető háromszög jelzi, ha alkalmazási feladatról van szó (pl 211 ), és a számítógép monitorára emlékeztető négyzet jelzi a számítógéppel megoldható feladatokat (pl 212 ) A fontosnak ítélt feladatokat egy díszpont (pl 213 ), a nehéz, több időt és némi matematikai képességet igénylő feladatokat csillag jelzi (pl 215 ) Végül az elemi rutinfeladatokat, egészen egyszerű néha a képletbehelyettesítés szintjén lévő alapfeladatokat, amelyek megoldása minden hallgatótól elvárható, egy bíztatásnak szánt karakter jelzi (pl 219 ) Reményeink szerint ezek a matematika iránt kevesebb fogékonyságot mutató hallgatókat is sikerélményhez juttathatják Angol szótár Mára a legtöbb szakterületen való előrelépés feltétele az angol szakkifejezések ismerete A további tanulmányokhoz számtalan forrás érhető el angol nyelven, ezért fontosnak tartottuk, hogy e könyvben használt fontosabb szakszavakat angolul is megadjuk

21 TARTALOMJEGYZÉK 21 A könyv felépítése A könyv részei A könyv első részét a lineáris algebra két fő forrásának tanulmányozására szántuk E két forrás jól jellemezhető egy-egy alapfogalommal: a vektorral és a lineáris egyenletrendszerrel Egyikük geometriai, másikuk algebrai jellegű E fogalmakat az Olvasó korábbi tanulmányaiból már ismeri E részben ezekből kiindulva, de a lineáris vektortér absztrakt fogalmának ismerete és a mátrixműveletek bevezetése nélkül közel jutunk a lineáris algebra mélyebb fogalmaihoz A könyv második része a Mátrixok algebrája és geometriája címet viseli Megszívlelve a Linear Algebra Curriculum Study Group ajánlásait 1 1, e rész az első lineáris algebra kurzus középpontjába helyezi a mátrix fogalmát, de a legtöbb könyvvel ellentétben a mátrixok algebrája mellé helyezi a mátrixok hatásának geometriai vizsgálatát is Ez néhány későbbi fogalom szemléletesebbé tételében is segít, de fontos több modern alkalmazás miatt is (pl komputer grafika) E részben vezetjük be a determináns fogalmát is, mivel annak egyértelműen geometriai motivációt adunk A könyv harmadik részének kulcsfogalma a sajátérték, amit a cím a mátrix sajátságai szójátékkal jelez E részben nem csak a mátrixok diagonalizálása, vagy Jordan-féle normálalakja szerepel, de ide vettük a szinguláris értéket is, melynek fontossága az alkalmazásokban rohamosan növekszik A szokásostól eltérő tartalmi megoldások Kiemelünk néhány témát, melynek tárgyalásában eltérünk a bevezető lineáris algebra könyvek többségétől 1 A vektorok geometriai-fizikai bevezetését fontosnak tartottuk szemben az egyszerűbb, de a kevésbé motivált koordinátás bevezetéssel 2 Az egyenes és sík egyenletei/egyenletrendszerei osztályozásában a szokásosak helyett (paraméteres, normál) az implicit és explicit elnevezéseket használjuk, ami sokkal szorosabbá teszi e geometriai alakzatok és a lineáris egyenletrendszerek és azok megoldásai közti kapcsolatot Nevezetesen természetessé válik az egyenletrendszer implicit alak, egyenletrendszer megoldása explicit alak párosítás 3 Az R n alterének fogalmát sokkal előbb bevezetjük, mint a vektortér fogalmát Fontosnak tartjuk annak megmutatását egészen elemi szinten, hogy egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alteret alkotnak, és hogy az inhomogén egyenletrendszer megoldásait ennek eltolása adja 4 Egészen elemi szinten olyan fogalmakat is tárgyalunk, mint az alterek merőlegessége és direkt összege, hogy megértsük az egyenletrendszer megoldásainak szerkezetét 5 Az első rész végén eljutunk a lineáris algebra alaptételének kimon-

22 22 lineáris algebra dásáig (a mátrix sortere és nulltere merőleges kiegészítő alterei egymásnak) 6 Az alterek szemléltetésére egy teljesen új módszert, a levéldiagrammokat használjuk 7 A mátrixok szorzását motivált módon vezetjük be, úgy, mint ami a valósok közti szorzás számtáblázatokra való természetes általánosításából adódik 8 Csak a magyar nyelvű tankönyvirodalomban újszerű, hogy miután az egyenletrendszerek megoldása az elemi sorműveletekre épül, a mátrixműveletek tárgyalásában fontos szerep jut az elemi mátrixoknak, és az elemi sorműveletek bizonyos sorozatát magában őrző LU-felbontásnak 9 A determinánsok tárgyalásában is fontosnak tekintettük, hogy e fogalomnak ne valami érthetetlen, égből pottyant definícióját adjuk A parallelepipedon előjeles térfogatán keresztül való szemléletes bevezetés e cél elérésére kiváló, ráadásul szerencsés módon a felsőbb matematika modern definíciójához vezet 10 A determinánsok tárgyalásában új a fejezet két alfejeztre osztása Az első a determinánst, mint sorvektorainak függvényét tárgyalja Itt szerepel a determináns definíciója, és kiszámításának a gyakorlatban is használt elemi technikája A másik alfejezet a determinánst, mint elemeinek függvényét vizsgálja Ez a kifejtési tételt és az ún elemi szorzatok összegeként való előállítást az általunk ismert könyveknél egyszerűbb módon teszi érthetővé és emészthetővé 11 A mátrixleképezések geometriája tartalmas fejezet, melyben a forgatás és vetítés transzformációiból messzire jutunk (legkisebb négyzetek módszere, Gram Schmidt-eljárás, ortogonális mátrixok) E fejezet igen sok része opcionális, egy első kurzusból kihagyható 12 Ebben a fejezetben tárgyaljuk a pszeudoinverz fogalmát, amelynek egészen elemi, egyszerű és szemléletes definícióját adjuk, mellyel másutt nem találkoztunk 13 A sajátérték-sajátvektor fogalmának tárgyalása nem tér el a hagyományostól, de mindjárt az első pillanattól nagy hangsúlyt helyezünk a sajátaltér fogalmára is, melynek megértése nélkül nem lehet e témában sokra jutni 14 Bár egy első lineáris algebra kurzusba nem fér el, de kiemelten fontos helyet kap a szinguláris érték és az SVD is E fogalmakat is egészen elemi és természetes módon, két olyan ortonormált bázis meghatározásával vezetjük be, melyek egyikének képe a másik elemeinek skalárszorosaiból áll Ez a sajátérték fogalmának természetes általánosítása

23 TARTALOMJEGYZÉK 23 Szoftverek Lineáris algebra kurzusokhoz többnyire kétféle szoftver valemelyikét használják: MATLAB-típusú vagy komputer algebra rendszert Egy kurzus alatt elegendő egyetlen szoftver használata Mátrix alapú nyelvek A lineáris algebra a programnyelvek felől legtermészetesebb módon valamely mátrix alapú numerikus matematikai szoftveren keresztül közelíthető meg A MATLAB-nak és a hozzá hasonló nyelveknek e területen meghatározó szerepük van, ezért a továbbiakban mátrix alapú nyelveken csak ezeket értjük E nyelvek közül négyet emelünk ki A mintaadó és egyúttal a legelterjedtebb közöttük a MATLAB, mely egy másik, O-Matrix nevű programmal az üzleti szoftverek közé tartozik A több, főként francia kutatóintézet és egyetem (pl École Polytechnique, École Centrale Paris, INRIA) valamint cég (pl a nagy francia autógyárak) konzorciuma által támogatott SciLab és a GNU szoftverek közé tartozó Octave nyílt forráskódú ingyenes szoftverek E szoftverek mindegyike igen megbízható, nagy tudású, mindegyik komoly referenciákat szerzett valódi műszaki, pénzügyi és tudományos számítások elvégzésével, ezért nyugodt szívvel ajánlható oktatási célokra is Körültekintő mérlegelés után az Octave mellett döntöttünk, annak ingyenessége és a MATLAB-bal való nagyobb kompatibilitása miatt, így a könyvünkben szereplő mátrix alapú nyelven írt kódok ebben készültek Komputer algebra rendszerek A komputer algebra rendszerek (Computer Algebra Systems, rövidítve CAS) oktatásban való használhatósága ma már nem kérdés Legismertebb ilyen rendszerek a Maple és a Mathematica Mindkét rendszer igen nagy tudású, képességeik messze felülmúlják azt, amire egy lineáris algebra kurzusnak szüksége lehet Mivel e szoftverek beszerzése nem olcsó, itt is érdemes az ingyen elérhető lehetőségeket keresni Egy friss fejlesztés a Sage nevű program Ennek egyik előnye, hogy saját programnyelv helyett egy széles körben elterjedt és könnyen tanulható nyelvre, a Pythontra épül További jellemzői: felhasználói felületének egy web-es kereső, melyen keresztül számtalan egyéb computer algebra program is elérhető Mindez gyors fejlődést és nagy lehetőségeket kínál A fent felsorolt szoftverek bármelyike ajánlható lineáris algebra kurzushoz Könyvünk CAS-kódjai a Sage-rendszert használják A támogatás oka a rendszer ingyenessége és nagy tudása mellett az, hogy mivel webes keresőkben futhat, ezért nem csak saját gépről, hanem az Interneten keresztül valamely szerverről, így akár netbookon, vagy okostelefonon is használható, és ezzel igen rugalmas hozzáférést biztosít

24 24 lineáris algebra Jelölések Képlet oldal megjegyzés proj b a 42 a vektor b-re eső vetülete a b 39 a és b skaláris szorzata a b 45 a és b vektori szorzata (a, b) 31 a és b szöge (a, b) 44 a és b irányított szöge := definiáló egyenlőség i, i imaginárius egység, és az i változó e, e az e szám, és az e változó C, R, Q, Z komplex, valós, racionális, illetve egész számok Z m 446 modulo m vett maradékosztályok F p = Z p 447 a modulo p (p prím) vett maradékosztályok, a prímelemű test a 31 az a vektor abszolút értéke a 31 az a vektor normája a ij, a i,j 170 az A mátrix i-edik sorának, j-edik oszlopának eleme a i 170 az A mátrix i-edik sorvektora a j, a j 170 az A mátrix j-edik oszlopvektora (v) B, [v] B 139 a v vektor B bázisra vonatkozó koordinátás alakja [L] B az L lineáris leképezés B bázisra vonatkozó mátrixa A, A az A lineáris leképezés és annak A mátrixa a standard bázisban A jelölések kiválasztásánál azt az elvet követtük, hogy a fontosabb jelölések esetén a nemzetközi angol nyelvű matematikai szakirodalomban elterjedt jelölések valamelyikét követtük Ez a lebegőpontos számok írására is vonatkozik, tehát nem a magyar irodai szabványt követjük, így nem tizedesvesszőt, hanem tizedespontot használunk

25 I rész A lineáris algebra forrásai

26

27 27 A lineáris algebra két fő forrásának egyike a geometria, másika az algebra vidékéről ered Mindkét forrás jól jellemezhető egy-egy elemi fogalommal: az egyik a vektor, a másik a lineáris egyenletrendszer E könyv első része e két fogalmat vizsgálja egészen elemi, középiskolai szintről indulva A lineáris algebra mélyebb fogalmai már itt fölbukkannak, de csak nagyon egyszerű és a legkevésbé absztrakt formájukban Az első rész végére látni fogjuk, hogy e két forrás már ezen a bevezető szinten szétválaszthatatlanul egyetlen folyammá válik

28

29 1 Vektorok Általánosan elterjedt nézet szerint a természeti jelenségek leírásakor sok összefüggést számszerű adatokkal, ún skalárokkal vagy skalármenynyiségekkel fejezünk ki, míg mások leírásához a számadat mellett egy irány megadása is szükséges, és ez utóbbiakat nevezzük vektoroknak A valóság ennél sokkal színesebb: a téridő 4-dimenziós vektoraitól, a bitvektorokon, a gazdasági számítások többszázezer-dimenziós, vagy az internetkeresők által kezelt sokmillió-dimenziós vektorain át a matematika különböző területein gyümölcsöző absztrakt vektorfogalomig széles a skála Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben E szakaszban a vektor szemléletes, geometriai fogalmával ismerkedünk A vektorok összeadásán és skalárral való szorzásán keresztül két kulcsfogalomig a lineáris kombináció és a lineáris függetlenség fogalmáig jutunk Irányított szakasz, kötött és szabad vektor Tekintsünk egy sárkányrepülőt repülés közben Számtalan skalár- és vektormennyiség írja le állapotát A földtől való távolság, a légnyomás, a légellenállási együttható vagy az emelkedés szöge skalármennyiségek, míg vektormennyiségek a sebesség- és gyorsulásvektor, a szárnyra ható felhajtóerő, a gravitációs erő, a szél ereje vagy az elmozdulást leíró vektor A vektor fogalma kapcsolatban van az irányított szakasz fogalmával Irányított szakaszon olyan szakaszt értünk, melynek végpontjain megadunk egy sorrendet, azaz kijelöljük, hogy melyik a kezdő- és melyik a végpontja Más szóhasználatban az irányított szakaszt szokás kötött vektornak is nevezni Az A kezdőpontú és B végpontú irányított szakaszt AB jelöli Több jelenség leírására a kötött vektor alkalmas Természetes példa az elmozdulásvektor, mely megadja, hogy egy tárgy a tér mely pont- Skalár, skaláris: a lépcső, létra jelentésű latin scalae (scālae) szóból ered E szó származéka a skála szó is, mely jól őrzi az eredeti jelentést A skalár vagy skaláris szót a matematikában szám vagy számszerű értelemben használjuk, például olyankor, amikor egy mennyiségről azt akarjuk hangsúlyozni, hogy irány nélküli, azaz nem vektor jellegű

30 30 lineáris algebra jából melyik pontjába jutott Másik példa kötött vektorra a rugalmas testen alakváltozást okozó erőt leíró vektor (11 ábra) Alkalmazásokban gyakran előfordul, hogy egy jelenség különböző irányított szakaszokkal is ugyanúgy leírható Például ha egy tárgy mozgását egy olyan irányított szakasszal jellemezzük, melynek hossza az időegység alatt megtett út hosszával egyenlő, iránya pedig a mozgás irányát jelzi, akkor mindegy hogy a tér melyik pontjából indítjuk e szakaszt, a mozgást ugyanúgy leírja (12 ábra) Ekkor tehát nem a két pont, hanem azok viszonya a kérdés, vagyis például hogy az egyik pont a másiktól milyen távolságra, és milyen irányban van Az, hogy a két pont pontosan hol van, nem lényeges Ekkor bármely két irányított szakasz, mely párhuzamosan egymásba tolható, ugyanazt a viszonyt fejezi ki Az így kapott fogalmat a fizikában szabad vektornak nevezik Ez a fogalom a lineáris algebra vektor-fogalmának egyik forrása A vektor fogalma az irányított szakaszéból származtatható, annak a feltételnek a hozzáadásával, hogy két irányított szakasz pontosan akkor reprezentálja ugyanazt a vektort, ha párhuzamosan egymásba tolhatók (ld 13 ábra) Vektorok jelölésére félkövér kisbetűket használunk, pl x, u, v, stb A műszaki és fizikai szakirodalomban a félkövér nagy betű is előfordul, pl az F erő, a B indukció is vektormennyiségek (a) (b) 11 ábra: Kötött vektorok: (a) elmozdulásvektor (lábnyomokkal), (b) rugalmas testen alakváltozást okozó erő vektora 12 ábra: Példa szabad vektorra Vektor: a hordozó, vivő, utazó jelentésű latin vector szóból származik A tudomány más területein hordozó anyag, az élettanban vírushordozó értelemben használják Vektor magadása egy irányított szakasszal Egy vektor megadható egy irányított szakasszal, azaz két pont és a köztük lévő sorrend kijelölésével Valójában ennyi adat felesleges, hisz egy irányított szakasz önmagával párhuzamosan eltolva ugyanazt a vektort adja meg, ezért például kiköthető, hogy a kezdőpont a sík (tér) egy előre kijelölt rögzített pontja legyen Ezt a közös kezdőpontot nevezzük origónak Egy origóból induló irányított szakaszt egyértelműen definiálja a végpontja, így a vektorok megadásához elég egyetlen pont, a végpont megadása Ezzel a sík vagy tér pontjai és vektorai közt kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíthetünk (14 ábra) Az origóból egy P pontba húzott irányított OP szakaszt a ponthoz tartozó helyvektornak is szokás nevezni Világos, hogy minden vektor reprezentánsai közt pontosan egy helyvektor van A későbbiekben gyakran fogunk egy ponthalmazt úgy jellemezni, hogy az origóból a ponthalmaz pontjaiba mutató vektorokat jellemezzük Amikor vektorok végpontjairól beszélünk, mindig a vektorokat megadó, az origóból indított irányított szakaszok végpontjaira gondolunk Az olyan vektort, melynek kezdő és végpontja egybeesik, zérusvektornak vagy nullvektornak nevezzük A zérusvektort általában félkövér zérussal, azaz 0-val jelöljük A pontok és vektorok közti megfeleltetésben a zérusvektornak az origó felel meg 13 ábra: Ugyanazt a vektort reprezentáló irányított szakaszok Vektorok jelölése: Műszaki, fizikai szövegek szedésének tipográfiai szabályait az ISO szabvány írja le Eszerint a vektorok félkövér betűkkel szedendők Kézírásban aláhúzással, vagy fölé írt nyíllal szokás jelezni a vektort (pl x, u, v ), de körültekintő jelölésrendszer és jegyzetelés esetén elhagyhatók a jelzések Felsőbb matematikai művek nem használják e szabványt, mondván, kiderül a szövegből, hogy vektort jelölnek-e a betűk (x, u, v ) O OP P 14 ábra: A sík pontjai és vektorai közti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés: egy P pontnak az OP vektor felel meg, az origónak a nullvektor