Kvantum pr. szló BME Villamosmérn. és s Informatikai Kar

Átírás

1 Kvanum p pímfakoizáció Gyöngy ngyösi LászlL szló BME Villamosmén nöki és s Infomaikai Ka

2 Támadás s kvanumszámíógéppel Egy klasszikus algoimusnak egy U unié anszfomáci ció feleleheő meg. Minden klasszikus algoimus megvalósíha haó unié anszfomáci cióval egy kvanumszámíógépben A szupeponál kezdőállapo segís ségével pedig páhuzamosan végehajhaó az előí művele m az összes leheséges bemenő adaa A művelevm velevégehajás s eljes mém ékben páhuzamosan ö énik

3 A kvanumhálóza működésének m elmélei lei alapjai A kvanumszámíások sok soán n kihasználha lhaó kvanumjelenségek: Szupepozíci ció Összefonódo állapook Hullámf mfüggvények inefeenciája Az eloszo kvanumszámíógép-hálózaban zaban felhasználha lhaó jelenségek: EPR állapook Kvanum-elepo elepoáció Kvanum-páhuzamoss huzamosság

4 Kvanumalgoimusok Mennyie kell aanunk a kvanumszámíógépek ámad madásáól? Pee Sho pímfakoiz mfakoizációs s algoimusa A fakoizáci cióval szemben, az LNKO megalálásáa isme gyos, klasszikus algoimus Egy olyan szám m megalálásá,, amelynek a fölbonandó számmal van közös k s oszója, áfogalmazhajuk egy függvény peiódus dusának meghaáoz ozásáaa Klasszikus endszeben nehéz z felada, viszon a peióduskees duskeesésese gyos kvanum-algoimus algoimus lehe alálni. lni. Az RSA felöése egy 600 klasszikus számíógépb pből álló hálózanak 8 hónapigh ao. Ugyanezen felada egyelen kvanumszámíógépnek csupán másodpeces idő ve igénybe.

5 Az RSA algoimus

6 Az RSA algoimus Legyen N pqké nagy pímszám szozaa, ahol p és q pímszám hossza is egyaán n bi. Az így előállío N az RSA modulusa. Napjainkban N álagos hosszúsága n 04 5 bi hosszú. bi, ami 309 decimális jegye jelen. A ké píményező pedig Az RSA kezdei időszakában még az n 8 bies modulus is bizonságosnak bizonyul, majd éppen a ámadások és a echnika fejlődése haásáa, a bizonságo a számok nagyságának emelésével igyekezek bizosíani. Így le az RSA modulus hossza 56, 5, majd 04 bi. (N) Az Eule-Fema éel alapján udjuk, hogy x (mod N), ahol ( N) az Eule függvény, ami az N edukál maadékoszályainak számá adja meg, másképpen az N -nél kisebb, N -hez képes elaív pímek számá.

7 Az RSA algoimus Ha N ké pím szozaa, akko ( N) a kövekezőképpen haáozhaó meg: ( N) ( p)( q ). A nyilvános kulcs egy eszőlegesen válaszo e szám lesz, - ami a gyakolai alkalmazásokban a gyos számíhaóság édekében álalában 6 +=65537,- amelyhez meg kell haáozni a ikos kulcskén szolgáló muliplikaív invezé d -, a mod ( N) aimeika használaával: ed mod ( N ). Az alapul szolgáló nehéz pobléma gaanálja, hogy a nyilvános kulcs (e), valamin az isme modulus (N) ismeeében egy hamadik fél nem udja meghaáozni a ikos kulcso (d), hiszen ehhez ismenie kellene ( N) ééké, ami viszon N pímfakoai (p és q) ismeeében udna csak egyszeűen meghaáozni.

8 Az RSA algoimus Azonban egy megfelelően nagy egész számo píményezőie bonani (p- és q- meghaáozni) nehéz felada. A gyakolaban a ikos és nyilvános kulcsok melle felünejük a modulus ééké is, hiszen ez a kulcs-páa jellemző és szükséges a későbbi számíásokhoz is. Így ehá a kulcsok: Nyilvános kulcs: ( e, N ) Tikos kulcs: ( d, N ) Ahol e- nyilvános exponensnek, d- pedig a pivá (ikos) exponensnek nevezzük.

9 Az RSA algoimus Kódolás Az elküldeni kíván üzenee egy N-nél kisebb egész szám (x) epezenálja. (ez feléel az algoimus működéséhez). Az x üzenee ehá ekinhejük egy egész számnak, amelye eljesül, hogy 0 x N. Abban az eseben, ha a ényleges üzene ennél hosszabb, akko az üzenee blokkoka oszjuk, amelyek eljesíik e feléel. A kódol üzene szinén egy N-nél kisebb egész szám lesz (y). A kódoláshoz a küldő fél a címze nyilvános kulcsá használja, a kódol üzenee a kövekező képleel számolja ki: e y x (mod N).

10 Az RSA algoimus Dekódolás Az üzene visszafejéséhez a fogadó fél sajá ikos kulcsá használva a kövekező számíás végzi: d ed c y = x =x (mod N). Az így kapo c éék ponosan az elküldö üzene, x lesz, mivel ed mod ( N), azaz c x.

11 Az RSA algoimus A kódolásnál az is bizosíani kell, hogy x és N elaív pímek legyenek, azaz mivel N pq, így az x nem lehe oszhaó sem p-vel, sem q-val. Gyakolailag azonban annak az esélye, hogy x belealál a píményezők valamelyik öbbszöösébe, köülbelül annyi, minha a ikos kulcso valaki póbálgaással elalálná, azaz endkívül kicsi. (Éppen ezé a gyakolai éleben ez a kiéiumo el szokák hanyagolni.) Az RSA ehá egy egyiányú függvény, amely ado d eseén könnyen inveálhaó az előzők alapján, azonban a pivá kulcs ismeee nélkül ez nagyon nehéz. Az RSA felöése ponosan aa iányul, hogy d ismeee nélkül kell inveálni az RSA függvény.

12 Az RSA algoimus Kulcsgeneálás A kulcsgeneálás soán haáozzuk meg mind a ikos-nyilvános kulcspá, mind a használ modulus. A paaméeeke (p, q, e) úgy kell megválaszani, hogy az isme, speciális eseben működő ámadási módszeeke kiküszöböljük. Ezeknek megfelelően a válaszás iányelvei: p és q legyen nagy; egyenkén legalább 5 biesek (ha van az N-nek lenne kis píményezője, akko léezik haékony ámadás) (p-q) is legyen nagy; legalább 5 bies (ha kicsi, léezik ámadás) p és q legyen vélelenül válaszo e legyen elaív pím ( N) -hez (ez az algoimus működéséhez szükséges) e ne legyen kicsi (ha e kicsi, akko léezik ámadás) d ne legyen kicsi (ha d kicsi, akko léezik ámadás) Több kulcs geneálása eseén ne használjuk ugyanazon modulus.

13 RSA példap

14 Az RSA algoimus Tegyük fel, hogy az RSA kulcsgeneálás soán má megválaszouk a ké pím összeevő, p- és q-, valamin a nyilvános kulcshoz szükséges, kievő e-. A paaméeek ismeeében előszö meghaáozzuk az N modulus, az ( N) Eule-Fema függvény ééké, majd a ikos kulcs kievőjé, d-: N modulus meghaáozása: p 3, q 7, e0. N?, ( N)?, d? N pq 37. ( N) meghaáozása: ( N) ( p-)( q-) 6 9.

15 Az RSA algoimus A d- úgy kell megválaszanunk, hogy ed mod ( N) legyen. Ezé az Euklideszi algoimus segíségével meghaáozzuk a ( N) és e legnagyobb közös oszójá, aminek -nek kell lennie, hiszen kiköés, hogy ( N) és e elaív pímek legyenek. e Az algoimus végehajásával azonban megkaphajuk az -e, azaz a legnagyobb közös oszó a 0 (e) és a 9 ( ( N) ) lineáis kombinációjakén, és így má kiszámíhaó d: Az uolsó soból kifejezzük az -e: 9-9 0

16 Az RSA algoimus A behelyeesíésével: A 9 = 9-0behelyeesíésével: A 9 = 9-0behelyeesíésével: = 9-9 (0-9) = = 0 (9-0) Azaz: = Ha mos mindké oldalnak vesszük a 9-vel ( ( N) -nel) ve oszási maadéká, akko az kapjuk, hogy: -9 0 (mod 9), ami 9-9 = 73 mia áíhaó poziív számoka: e 73 0 (mod 9)

17 Az RSA algoimus e Ebből, illeve az ed mod ( N) összefüggésből, azaz d 0 (mod 9) kifejezésből az kapjuk, hogy d 73. Tehá a (válaszo p=3, q=7 pímszámokkal a feni algoimus szein előállío) nyilvános kulcs (N=; e=0), a ikos kulcs pedig (d=73). Tegyük fel, hogy az x=70 nyíl üzenee akajuk kódolni. Ekko a kódolás művelee: y = 70 0 (mod ) = 83. Azaz y=83 lesz a kódol üzene. A dekódolás: x = (mod ) = 70.

18 Támadási leheőségek

19 RSA elleni ámad madási módszeekm Az RSA elleni ámad madásoka az alábbi csopookba főf soolhajuk: Implemenáci ciófüggő ámadások Kulcskeeséses ses ámad madás Számíási idő méése Helyelen alkalmazáson alapuló ámadások Közös s modulus Kis pivá exponens Új j ámad madási leheőség becslésével Az RSA ámad madás s a Fema egyik éel elével A modulus fakoizáci cióján alapuló ámadások

20 Fakoizáci ció alapú ámadás Az RSA bizonságának nak kulcsa az, hogy az összee számok fakoizálása az eddigi udásunk alapján nehéz felada A fakoizáláshoz szüks kséges lépésszl sszám m a fakoizáland landó szám jegyeinek számával exponenciálisan nő, és s ez igaz még m g a leghaékonyabb klasszikus fakoizáló algoimus eseében is. Maemaikailag azonban nincs bizonyíva az, hogy nem léezik l haékony klasszikus algoimus, amely a számjegyek számáól polinomiálisan lisan függő lépésszámban oldaná meg a fakoizáci ció. A jelenleg széles köben k használaos nyilvános nos kulcsú RSA ikosíás s ké k nagy pímsz mszám m szozaának gyos fakoizálásának megoldhaalanságán alapul. Emia igen nagy édeklődés kele, amiko 994-ben Pee Sho közzée egy olyan kvanumalgoimus,, amely polinomiális lis idő ala oldja meg a fakoizáci ció.

21 Fakoizáci ció alapú ámadás Az elmélei lei RSA ámad madások legelejedebb csopoja ehá ez, amelyben a ámad madás s a publikus kulcs ismeeében (e) az N modulus fakoizálásáa a iányul N oszóinak ismeeében a ámad madó könnyen kiszámíhaja ( N) -, és s ennek ismeeében a pivá kulcs is adódik dik d e mod ( N)

22 Fakoizáci ció alapú ámadás A modulus fakoizáci cióján alapuló ámadások műveleigénye a modulus hosszának exponenciális függvf ggvénye, így elég g nagy modulus eseén, a gyakolai felöés s ieális időig igényű lehe. A jelenlegi leggyosabb fakoizáci ciós algoimus az 993-ban publikál l Numbe Field Sieve algoimus. Az RSA Secuiy álal meghidee fakoizáci ciós vesenyen is ezzel az algoimussal éék k el a ekodo, ami egy 5 bies szám m oszóinak a megkeesése se vol.

23 Fakoizáci ció alapú ámadás Az RSA felöése pímfakoiz mfakoizációs algoimussal ) Vegyük az x FN ( x) a mod( N), ahol x 0,,,... függvény, amelyben a egy 0 és N közöi eszőleges emészees szám. Az FN ( x) függvényől udjuk, hogy peiodikus. ) Miuán a FN ( x) függvény peiodikus, meghaáozzuk az peiodus: F ( x) F ( bk ), ahol k 0,,,... 3) Legyen M, N a / N 4) Haáozzuk meg N és M legnagyobb közös oszójá (P ), valamin N és M legnagyobb közös oszójá (P ). 5) P és P az N píményezői lesznek, illeve a píményezőinek szozaa.

24 A Szozaényez nyezőke bonás szozaényezőke bonás bámilyen függvény eseében végehejhaó. Legyen N=73, ( 7x39, mos 39 nem pím) valamin a ééké válasszuk 3-nak. Ekko a függvényünk alakja a kövekező: ( ) 3 x F73 x mod(73). Nézzük k meg, hogy egyes éékeke milyen ééke vesz fel a függvf ggvény. x F(x) A függvf ggvény ééke peiodikusan ismél lődik

25 Szozaényez nyezőke bonás A felada ezuán n a függvf ggvény peiódus dusának a meghaáoz ozása, azaz: F ( x) F ( x k ) mod(73), ahol k 0,,, A függvf ggvényünk nk peiódusa 6, így F ( x) F ( xk6) mod(73), ahol k 0,,, Ahonnan 6/ M 3 68; 6/ M 3 66.

26 Fakoizáci ció alapú ámadás Ebből l az Euklideszi-algoimussal: Azaz, Így, d(68,73) 39; d(66,73) 7. P 39; P 7. N P P A kapo eedmények valóban az N oszói, N PP, azaz

27 Fakoizáci ció alapú ámadás klasszikus endsze eseén A végehajv gehajás s kiikus észe az peiódus meghaáoz ozása. A legnagyobb közös k s oszók k megalálása az Euklideszi- algoimus alapján n pedig polinomiális lis lépésszl sszámban könnyen elvégezhe gezheő. A peiódus keesésének lépésszl sszáma azonban N jegyeinek számával exponenciálisan növekszik, azaz ugyanolyan bonyolulságú,, min más m - aká az egyszeű póbálga lgaásos - fakoizáci ciós s algoimus. Kijelenhejük k ehá,, hogy klasszikus endszeekben a felöés gyakolailag leheelen.

28 A kvanumámad madás s menee

29 Támadás kvanumszámíógéppel A pímfakoiz mfakoizáció végzv gző kvanumáamk amkö

30 Támadás kvanumszámíógéppel Amíg g a pímfakoiz mfakoizáció klasszikus endszeekben exponenciális, addig kvanumos endszeekben négyzees növekményű végehajási idő igényel. Az algoimus, a fakoizáland landó szám moduláis haványainak peiodiciási ulajdonságá kihasználva kvanumegiszeeken végzi el a pím ményezőke bonás.

31 Klasszikus memóiac iacímzés kvanumbiekkel A klasszikus adaoka (az a moduláis haványai) aalmazó memóiacell iacellák k megcímz mzése szupepozíci ciós állapookkal is

32 Támadás s kvanumszámíógéppel x Az F(x)=a N mod(n) függvény megvalósíásához a áolás egy kvanumegiszeel valósíjuk meg, amely egisze álljon n daab kvanumbi-ből. A kvanumegisze jelölése: A- egisze. Az n daab kvanumbi felhasználásával a kvanumegiszeben n 0 - állísuk elő -ól -ig az összes emészees szám szupepozíciójá! A kvanumegiszeben a szupepozíció előállíásá a Hadamad-opeáo segíségével ehejük meg, amely n - léehozza a x állapoo. n x=0

33 Támadás s kvanumszámíógéppel Az A-egiszeben áol x éékeke felhasználva, hajsuk F(x)=a mod(n) x vége az N függvénynek megfelelő opeáció, a kapo eedményeke együk egy újabb kvanumegiszebe! Miuán a művele így a ké egisze aalma: elvégzéséhez ké egisze használunk, n - x=0 x F (x). N

34 Támadás s kvanumszámíógéppel A kövekező lépésben a B - egiszeben eláol éékekhez kell valahogyan hozzájununk. Ee egyelen leheőségünk van: méés kell végehajanunk. A kvanumegiszeen ehá egy méés kell végehajanunk, amely a kvanumelmélei axióma alapján a B- egisze aalmá, azaz állapoá vélelenszeűen valamelyik konké F * N állapoba viszi.

35 Támadás s kvanumszámíógéppel * Az en azonban csak azon x állapook szupepozíciója lehe, amelyeke igaz az, hogy F ( x ) F, azaz x b k. ahol k=0,,,..., N A-egiszeb * * N * 0 * * 0 valamin b azon legkisebb emészees szám, amelye F (x * ) = F *. N 0 N Azaz, a B-egiszeen elvégze méés soán kapo vélelenszeű F éék egy vélelenszeű ééke endel * 0 * N az x -hoz, azonban az A-egiszeben kialakul szupeponál állapo mindenféleképpen peiódusú lesz.

36 Támadás s kvanumszámíógéppel Az A-egiszeen ezuán kvanum Fouie-anszfomáció hajunk vége, amelynek eedménye a keese éék lesz. Az biokában az N szám oszói, P és P má meghaáozhaóak.

37 Támadás s kvanumszámíógéppel. A kiindulási helyzeben mindé egisze, azaz az X és s Y egisze éékkel inicializáljuk. ljuk. A ké k egisze kiindulási állapoa ekko: 0,0. Ezuán n az X egisze aalmá szupepozíci ciós állapoba hozzuk.

38 Támadás s kvanumszámíógéppel 3. Az X egisze aalmának felhasználásával előáll llíjuk az x f ( x) a mod( N) éékeke, és s az éékeke az Y egiszeben áoljuk el. A endszeünk nk állapoa a ké k egisze diek szozaa lesz. Az Y egiszeből l ö énő kiolvasáshoz shoz méés kell végeznv geznünk. nk. A méés m s uán, az X egiszeben csak peiódus dusú állapook maadnak, hiszen csak ezen éékeke eljesül l a mé m f(x) függvf ggvény. 4. A kövekezk vekező lépésben az X egiszeen végehajjuk a Fouie anszfomáci ció. A Fouie anszfomáci ció végehajása uán, a y * 0 mk állapook eseén, a peiódus meghaáoz ozó agok ééke lesz. A agok összege pedig éppen k. Azaz, az X egiszeen végehajo v Fouie anszfomáci ció uán n megkapjuk k ééké..

39 A kvanum-fouie anszfomáci ció Valószínűség elői állapo (A egisze) b0 b0 b0 b0 3 a b 0 x a0

40 Támadás s kvanumszámíógéppel 5. Végül l elvégezz gezzük k a méés m az X egiszeen. Az X egiszeben, a Fouie anszfomáci ció uán n csak olyan éékek maadak, amelyek k öbbsz bbszöösei: sei: n * n y0 mk m, ahol k /. Az biokában az N szám oszói, P és P má meghaáozhaóak.

41 A kvanum-fouie anszfomáci ció Valószínűség uáni állapo (A egisze)

42 Eőfo foásszükségle A Kvanum Fouie anszfomáci ció végehajása soán csak olyan kvanumkapuka használunk, amelyek anszfomáci ciója unié, így a eljes Kvanum Fouie Tanszfomáci ció is unié. A anszfomáci ció végehajásához hoz szüks kséges kapuk száma ma: n A anszfomáci ció végehajása uáni áfodíáshoz kell még g n/ daab SWAP kapu. n n

43 Eőfo foásszükségle A kvanum-fouie anszfomáci ció végehajáshoz szüks kséges kapuk száma nagyságendileg gendileg Klasszikus endszeben log O n O N n log O n O N N ahol N n.

44 Példa: Eőfo foásszükségle 50 bi eseében, egy klasszikus endszeben elvégze Fouie anszfomáci ció lépésszáma: N log N 50log Ugyanez, egy 50 kvanumbies endsze eseén: log N log Azaz, egy klasszikus endszebeli n - lépésszámú művele, egyelen lépésben l elvégezhe gezheő egy kvanumendsze eseében.

45 A pímfakoiz mfakoizációs kvanumalgoimus ulajdonságai Exponenciális helye polinomiális lis idősz szükségle Klasszikus endsze Kvanum endsze Ο n 3 n lépés lépés Példa: számjegy 0 év számjegy 0 év néhány óa

46 A kvanum Fouie anszfomáci ció

47 Fouie anszfomáci ció Adasook, függvények viselkedésének jellemzésée a Fouie-anszfomáció egy nagyon haékony eszköz A Fouie anszfomáció elsősoban akko hasznos igazán, ha a vizsgál függvényünk különböző fekvenciával válozó, hamonikus függvények összege. A különböző fekvenciával válozó hamonikus függvények szinuszos vagy koszinuszos függvények lehenek, vagy ahhoz közelíenek. A Fouie anszfomáció alkalmazásával az egyes, különböző peiódusú komponensek súlyá adhajuk meg. A Fouie-anszfomációa egy egyszeű A Fouie anszfomáció számos helyen alkalmazzák a moden, elekonikus kommunikációs eszközökben is

48 Fouie anszfomáci ció Egy peiodikus függvény szinuszos és koszinuszos agok lineáis kombinációjakén öénő felbonásá Fouie-sonak nevezzük. Bámilyen peiodikus, folyonos függvény felíhaó szinuszos és koszinuszos agok lineáis kombinációjakén. A kvanumszámíásoknál is alkalmazhajuk a Fouie sofejés: a 0 és egy oonomál bázis alko, a szinuszos és koszinuszos agok pedig az időaományban alkonak oonomál bázis, a hullámfüggvény eseében. A Fouie so álalános alakja a kövekező: a 0 sin cos f a n b n n n n Ha egy hullámfomá szeenénk leíni, akko szükségünk lesz a szinuszos és koszinuszos agokhoz aozó a0, a,, an és b0, b,, bn együhaók éékeie n

49 Fouie anszfomáci ció Tegyük fel, hogy megaláluk a kövekező együhaóka: a 0.5, a4 és b 4, az összes öbbi együhaó ééke nulla. Ebben az eseben a Fouie so a kövekezőképpen adhaó meg: n4 4 o f 0.5sin si c s. A függvény alakja a kövekező:

50 Fouie anszfomáci ció Az f függvény egyes alkoóészeke bonva a kövekező: Az egyes fekvenciák és ampliúdók elemezéseuán : Szinuszos Koszinuszos Hullámfüggvény fekvencia ampliúdó ampliúdó 0.5sin 0 sin 4 0 4cos 0 4

51 Fouie anszfomáci ció A DFT egy diszké, peiodikus k időaománybeli soozaból állíja elő a fekvenciaaománybeli diszké soozao. A DFT függvény álal előállío kimenee egy komplex ömb. A ömbben lévő elemek számá a minavéelezési fekvencia, és a hullámfoma hossza haáozza meg. Azaz, az N daab 0,, N komplex szám N daab komplex számmá anszfomálódik a f0,, fn függvények segíségével, a kövekezőképpen: N f j ke, ahol j 0,, N -. k 0 i jk N

52 Fouie anszfomáci ció A DFT inveálhaó máixxal endelkezik, így a DFT inveze is elvégezheő, amelyből megkapjuk az időaománybeli éékeke. Az invez Fouie anszfomáció alakja: k N N j0 f e j i N jk, ahol k 0,, N - A szinuszos és koszinuszos agoka ehá elő kell állíanunk komplex, exponenciális alakban. A soozaunk diszké, ezé csak bizonyos ponoka minavéelezünk, a minavéelezési fekvencia pedig a minavéelezés ponosságá haáozza meg.

53 Fouie anszfomáci ció A kvanum-fouie anszfomáció a kövekezőképpen adhaó meg: N i xy F : x exp y. N y0 N Ahol x bináis szám, amelynek alakja n azon legkisebb egész szám, amelye igaz, hogy n n n 0 n n l x x x x N n., és i Ezen x bináis számo n daab kvanumbien ábázoljuk, azaz x x x xn, ezek a vekook pedig egy N dimenziós enzoi szozaé bázisvekoai, ez ehá a számíási bázis. A számíási bázisunk ábázolásához egy n bies kvanumegisze szükséges. A feni kifejezés ehá áíhaó a kövekezőképpen: n i xy F : x exp y. n n y 0

54 Fouie anszfomáci ció Ahol ehá xy egy nomál szozásnak felel meg, amely szozás kvanumegiszeekkel valósíjuk meg: x x x x n n 0 y y y y n n 0,. Az x k és y k egymásól függelen kvanumbiek. A kvanum Fouie anszfomáció egy unié anszfomáció, és ez egy szozafelbonás évén is igazolhaó: Mivel N N N N i xy F : cx x c x exp y c y y. x0 x0 N y0 N y0 N i xy y F x x N x0 N c c exp c, ahol y 0, N, így a kapo eedmény a c x együhaók Fouie anszfomálja.

55 A QFT áamkö felépíése

56 Kvanum Fouie-anszfom anszfomáció H a Hadamad kapu, R d pedig a fázisfodíó kapu, ami ebben az eseben a kövekezőképpen adhaó meg: 0 R d i / 0 e Ahol d az egyes bemeni kvanumbiek indexe közöi ávolságo jeleni. d.

57 Kvanum Fouie-anszfom anszfomáció Az áamkö működésének észleezése. Az x kvanumbi a Hadamad kapuba lép be elsőkén, ennek i0, xy/ i0, x eedményekén kialakul a e 0 e y0, ahol i 0, x ahol e, ami aól függ, hogy a bemeneen x 0 vagy x vol. Azaz: i 0, x y/ y 0, x e ( ) y0 y0 0, Ahol ( ) y x ééke aól függően, hogy a bemenei kvanumbi ééke 0 vagy..

58 Kvanum Fouie-anszfom anszfomáció A kövekező lépésben az R kapu akivizálódik, ami a kövekező anszfomáció hajja vége a bemenekén kapo állapoon: R 0 0 i / e. Az R kapu célbije, -azaz amelyik kvanumbien a válozaás végehajjuk- az a bemenei kvanumbi x, a konollbi pedig x. Az R kapu ehá a kövekező anszfomáció hajja vége: i 0, x i 0, x ix e e e / /. i 0 e

59 Kvanum Fouie-anszfom anszfomáció Az R kapu haása ehá a kövekező a bemenei állapoa, a konollbi figyelembevéelével: R x 0 e x 0 e e = x i(0, x/0, x/4) 0 e i 0, x i0, x ix/ x i(0, xx) = 0. e Felhasználuk az előzőekben kapo eedményünke: xn xn 0, xn xn, így az egyszeűbb jelölés mia 4 i(0, xx) használunk a -, a feni kifejezésben. e

60 Kvanum Fouie-anszfom anszfomáció A QFT kvanumáamkö kövekező kapuja az R. Konollbi: x 0. A anszfomáció ulajdonságai nem válozak, azaz ugyanúgy évényesek az előző ponban felállío feléelek: R 0 0 i /4 e. Azaz, a fázisfodíás ezúal i /4 e, az előző i / e helye!!

61 Kvanum Fouie-anszfom anszfomáció A eljes endsze leíásához azonban mos nem elég csupán az akuális x konollbie figyelembe venni, mivel az előző anszfomáció 0 eedményé adjuk bemenkén az R kapua, ahol viszon a konollbi az x vol, így: i(0, xx) R x0 x 0 e i(0, xx) i x0 /4 x0 x 0. e e x0 x e x0 x e i( x0/8 x/4 x/ = 0 i(0, x0xx) = 0. Használ jelölés: xn xn 0, xn xn 4 = (0, ) e i x x

62 Kvanum Fouie-anszfom anszfomáció Végül, ismé egy Hadamad anszfomáció kövekezik, ami az x 0 kvanumbien i 0, x0 keül végehajása, aminek eedménye: 0 e kvanumendszeünk végső állapoa a kövekező lesz :. Így a eljes i(0, x 0x) i(0, x0xx) x0 0 e 0 e i0, x 0 i(0, x0x) i(0, x0xx) 0 e 0 e 0 e. Ahol x x 0, x x 4 e. n n (0, ) n n = i x x

63 A kvanum pímfakoiz mfakoizációs algoimus lépéseil

64 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció V a x x y x a y x : A egisze, kvanumbi: N N, kivéel: ha az haványa, =n is elég y : B egisze, n kvanumbi mod N: 0 a x 0 5 y N Rendszeállapook leíása: Kiindulási állapo: n Ahol a ééke kisebb, min N, és elaív pím N-hez

65 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció. A-egiszeen végehajjuk a Hadamad anszfomáció: Az A-egisze kvanumbijeinek valószínűségi ampliúdó éékei:. Végehajjuk a Va anszfomáció: x0 x 0 Va Va x 0 x0 x x a b k x0 b0 k 0 ahol 0 k / és 0b a b,

66 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció V Va x 0 x a x0 x0 a b b k a, 0 k 0 b. ahol és b0 k0 b kb megj.: a a, mivel a mod N x 3. Méés eedménye legyen: 3 0 k 0 / k 0 k b b 0 k b0 a b a 0 b 0.

67 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció b 3 k b 0 a k b0 a k 0 / k 0 Eedmény : 0 0 Peiodikus állapook : b, b, b, b b 0. Felada : peiódus meghaáozása: QFT

68 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció k Fouie kx i/ N ahol e é DFT 0 N : számíási bázis anszfomáció k DFT, k s k ' k k végehajása: k kx e x x N N N ixk / N x0 x0 : k 0,, N oonomál bázis, így : N N N N N kx' x x' x x0 N x0, ha x x ' ( ill. k az N öbbszööse) k ' k. 0, ha x x' k,, így :

69 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Az A-egisze beméésének eedménye b0 az 3 k b0 a b0 3 8 állapoban, és éékek melle / k 0 A vízszines engelyen pon láhaó, a csúcséékek száma:, peiodus: csúcsponokhoz aozó maximális valószínűség:

70 4. Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Fouie-anszfomáció végehajása a állapoon: b 0 DFT DFT k b a / k 0 Áendezés uán: 4 e x a k0 x0 ixk / ixb / e e x a x0 k0 / / ixk x0 / k0 / ixb0 / e e x a ix b k / b b b0

71 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció ix/7 Az e x 0,,6 vekook, N 7 és s eseén: A komplex vekook összege 0. A szöglees záójel ééke csak abban az eseben nem nulla, ha x s /, ahol s 0,, -, ezen x ééke k melle a szöglees záójelben lévő kifejezés : 4 ixk / ixb / e e x a x0 / k0 0 b0 is/ k / isk ekko: e e / k0 / = k0 / / k 0 / ixb0 / b0, így: x0 e, x a,

72 Kvanum p Kvanum pímfakoiz mfakoizáci ció / , / :. s i i xb b x b i s b s b s b e x a x s így s e a s e a mivel

73 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció s i b0 s b0 5. Az 4 e a állapoon s0 elvégezve a A-egisze beméésé, a kapo eedmény: s0, ahol s eszőleges éék lehe 0 és - közö, azonos valószínűséggel. 0 A vízszines engelyen pon alálhaó. A vízszines engelyen éékalálhaó a nem nulla ponokhoz aozó valószínűség, a peióduséék pedig mindenhol.

74 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció s i b0 s b0 5. Az 4 e a állapoon s0 elvégezve a A-egisze beméésé, a kapo eedmény: s0, ahol s eszőleges éék lehe 0 és - közö, azonos valószínűséggel. 0 Ha s 0 : ééke nem állapíhaó meg, újból fuajuk 0 az algoimus s0 0 0: Ha s akko a kapo eedmény oszjuk vel, így: Azonban mind s, mind pedig ééke ismeelen. 0 s 0.

75 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Ha s elaív pím -hez: a nevező a megoldás. 0 Ha s 0 -nak és -nek van közös oszója: ieaív eljáással csökkenjük az s 0 ééké az közös oszó megalálásáig.

76 Kvanum-p pímfakoizáció példa

77 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A fakoizálni kíván N legyen N p 7, q 3. Az A egiszeben legyen 9 kvanumbi, az N N összefüggés figyelembevéelével. Ekko leheséges legkisebb ééke 9. Cél: peiodus meghaáozása, ado a és N éékek melle. Az algoimus végén =6 eedmény kell kapnunk! A B egisze legyen 5 kvanumbies. a : vélelen éék, elaív pím N-hez, illeve a N, így a. Ha a vélelen válaszo éékünk nem lenne elaív pím N hez, N pímfakoai könnyen megalálhanánk az LNKO(a,N) segíségével.

78 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció. A endsze kezdei állapoa : n A Hadamad anszfomáció végehajása uáni állapo : 9 9 x0 x0 x 0 x x0 x 0.

79 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció. V a x 5 5 a x x 0 x modn 5 5 x0 anszfomáció végehajása: x0 V a A B-egisze éékei szein csopoosíva, oszlopok szein pedig növekvő soendbe endezhejük.

80 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Az áendezés uáni eedmény ebben az eseben azé nem szimmeikus, me a peiódus ééke nem keő haványa. Így az első ké soban 86 éék alálhaó, a öbbiben pedig

81 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Az áendezés köveően az egy soban lévő éékek szá ma: / 5/6 86.

82 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Beméjük a B egisze: A leheséges függvényéékek a kövekezők lesznek: ( ) x F x mod( ). Az F( x) függvény álal felve éé kek: x F(x) A B egiszeen elvégze méés eedménye a,, 4,8,6, halmazból keülhe csak ki!

83 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A méésünk eedménye legyen. Ekko: így az előbbi áendezésnél kapo éékhez aozó so lesz a méés eedménye. Az állapo valószínűségi ampliúdója: x F(x)

84 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A B egiszeen elvégze méés m s eedménye kövekezében az A-egiszeben A csak azon so maad, amely az akuális méési eedmény nyünkneknknek megfelel. Így, az A-egiszeben csak olyan éékek maadak, amelyek a mé m eedmény állíják k elő,, ehá egy eljes peiódus kapunk. Ebből l az eedményb nyből l azonban még m g nem udjuk kinyeni az ééké,, ezé a kövekezk vekező lépésben a Fouie anszfomáci ció alkalmazása kövekezik. k x F(x)

85 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A B-egiszeen elvégze méés eedménye, így a b 0, azaz b DFT DFT 6k 86 k xk x i i 5 5 e e x. 5 x0 86 k0 Mivel 5/6-= , így keekíünk.

86 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció 85 6xk i 5 A e ag csak abban az eseben nem nulla, ha 86 k 0 x s /, ahol s 0,, -, ezen x éékek melle a szöglees záójelben lévő kifejezés x x x x x x 05/6 0 5 / /6 7 35/ / / 6 47 :

87 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció x legyen 5 / / 6 k x i i 5 5 e e x 5 x0 86 k0. 4 e e x a x0 / k ik s ixb / b.

88 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Ha s: 0 0 és 5 közöi inevallumból keül ki, akko s0 s05. 6 A anszfomáció eedménye csak abban az eseben különbözik nulláól, ha xs/ s 0,, -. Mekkoa a valószínűsége annak, hogy az A-egisze megméése soán a 0-5 közöi inevallumból éppen x ééke fogok kapni? x A keese P valószínűség: 85 6 xk i 5 P x e 586 k 0.

89 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A P x valószínűség maximális ééké éékek eseén veszi fel, ekko: P x 5 6s k 85 6xk i 85 i 5 5 k0 x 5 s e k0 e 5 6 k 85 i 6 5 e k 0 k 0 e isk. Mivel eedmény. : N az x bemééséből nagy valószínűséggel kiolvashaó az

90 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció 85 6 xk i 5 P x e 586 k 0. A csúcséékek az x=0,85,7,56,34,47 éékeknél alálhaóak. A csúcséékek ponossága az A-egiszeben alálhaó kvanumbiek számáól függ.

91 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Leheséges méési eedmények vizsgálaa: x 0: algoimus leáll, úja kell fuanunk, azonban a B egiszeen elvégze méés eedményé a megajuk. Csak a B egiszeen elvégze méés uáni észeke fuajuk úja, így annak a valószínűsége, hogy x=0 isméelen: 85 60k i 5 P e k

92 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Ha x 85, az eedmény oszjuk vel : hiszen, ha s, akko: x = s0 / 6, s s0 85 Cél: éékéből meghaáozni az peiódus. Azaz : ből az éék előállíásá 5 5 kell elvégeznünk. Ehhez számláló ééké kell folyamaosan csökkenenünk addig, amíg el nem ée az -e, a nevezővel együ. x x k 0 k k p.

93 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció x x k 0 k. k p Az ieáció alkalmazása x 85 eseén: STOP. Azaz: A felbonása: ,,,,

94 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A felbonása:,,,, Mivel N, így azoneleme válaszjuk a,, halmazból, amelynek nevezője kisebb, min : 6 Ellenőzé s : =6. 6 mod N mod eljesül.

95 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció Ha a méés eedménye a 67 x 75 közöi inevallumból keül ki, akko: 85 s0 s0. 5 A felbonás elvégezve:. Ekko ehá nem magá az peiódus, hanem annak egyik fakoá kapuk. Ezen eedmény ellenőizve : 8 mod. A keese peiodus. A méésünk eedménye 3 le, azonban az ellenőzésnél kideül, hogy ez nem lehe a keese. Azon ééké keessük, amely az peiódusa. x 3 x Tudjuk, hogy x 8, így F ( x) 8 mod() függvény alapján: x F(x) A kapo peióduséék, az az. A keese peiodus ehá: 36.

96 Kvanum pímfakoizáció A kiinduló adaok az áamkö léehozásához: A fakoizálandó szám: N=. A függvényhez válaszo vélelenszám: a=. Az A-egiszeben alálhaó kvanumbiek száma: =9.

97 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A szimuláci ció végezével a megkapjuk az egyes állapookhoz aozó valósz színűségi ampliúdók ééké.. A szimuláci cióval kapo eedmények közül k l a legnagyobb valósz színűségi ampliúdóhoz aozó éék k adja meg a k ééké,, ami > E-8i. A-eg=85 a= A legnagyobb valószínűségű x éékek: x 0,85,7,56,34,47

98 Kvanum pímfakoiz mfakoizáció A kapo valósz színűségi ampliúdó éékből l előáll llíjuk a keese peiódus. Tudjuk, hogy k=85,, ebből l pedig a 5 k? összefüggés s felhasználásával kapjuk, hogy k 85 = : isme, ééke 5 k ééke így 0.6 A nevező és a számláló felcseélésével, az előzőekben láo módon, a peiódus ééke innen má egyszeűen meghaáozhaó.