Valek Béla. Modern Fizika Kézikönyv I. Általános Relativitáselmélet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valek Béla. Modern Fizika Kézikönyv I. Általános Relativitáselmélet"

Átírás

1 Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle

2

3 Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle A dokumenum bámely észé, vagy egészé ilos anyagi haszonszezés céljából sokszoosíani, amennyiben aól az íó máskén nem endelkezik. A dokumenum egyébkén szabadon felhasználhaó, amennyiben ez az oldal aalmazza és foáskén meg van jelölve. Valek Béla, A könyv a kövekező szabad szofveek felhasználásával készül: OpenOffice.og 3..1 Copyigh 000, 010 Oacle és/vagy leányvállalaai. A eméke az OpenOffice.og alapján készíee: FSF.hu Alapívány. Maxima 5..1 using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL.6.8 (a.k.a. GCL) Disibued unde he GNU Public License. Dedicaed o he memoy of William Schele. Euphoia Inepee fo 3-bi DOS Copyigh (c) Rapid Deploymen Sofwae 007

4 Bevezeés Bevezeés Ez a sooza példákon és levezeéseken keeszül muaja be a moden fiziká. A émák felépíése a hagyományos udományöénei vonal helye pakikus szemponoka köve. Előszö felépíjük azoka a maemaikai keeeke, melyeken belül az ado modellek mozognak, majd hiányalanul levezejük a legfonosabb kövekezményeke, és fiss kísélei eedményekkel vejük őke össze. A köeek felhasználhaóak a szakeüleükön efeenciaanyagnak, illeve alkalmas önálló anulása is az egyes émákban. Az egyeemi okaásban gyakolaok segédeszközekén ehenek hasznos szolgálao. Az első köe az álalános elaiviáselméleel foglalkozik. A megnevezésnek csupán udományöénei oka van, az elmúl évszázadban egymás uán nyeek kísélei igazolás Einsein elméleének kövekezményei. Klasszikus eüleől van szó, ahol évszázados udományfilozófiai gondolaok nyeek maemaikai megfogalmazás, majd kísélei bizonyíás. Fonos megjegyezni, hogy az a hagyományos mechanikai világkép, amiől sokszo az állíjuk, hogy könnyebben felfoghaó, valójában egy félkész szellemi emék. Az álalános elaiviáselméle alapfelevései héköznapi apaszalaokból meíenek. A é göbülségének belőlük kövekező felismeése valójában a Föld gömbölyű alakjának a megééséhez hasonló, és ha a maemaikai alapokkal iszában vagyunk, nem is köveel komoly képzelőeő. Az Olvasóól feléelezek némi felsőfokú alapismeee maemaika, és a hagyományosabb fizikai ágyak köében, de csak annyi maemaikai ejengősség van a könyvben, amennyi a fizikához felélenül szükséges. A diffeenciálszámíás hagyományos jelölései használjuk, illeve indexes mennyiségeke. A fizikai levezeésekben mindenhol az SI-méékendsze használjuk Valek Béla 4

5 Bevezeés Taalomjegyzék Bevezeés...4 Ábajegyzék...8 Megfigyelések...9 Jelölések és állandók Alapok Koodináa-endszeek Tenzook Kovaiáns deiválás Konnexió ulajdonságai Roáció Páhuzamos elolás Konnexió és meikus enzo Legövidebb ú Meikus enzo kovaiáns deiválja Göbe meni deivál Auopaallel egyenesek egyenlee Geodeikus menén megmaadó mennyiségek Göbüle Páhuzamos elolás zá kö menén Egyenesek elhajlása Inegálás Vaiáció és haáselv Runge-Kua közelíés Példák Kédimenziós felüle göbülee Sík Henge Kúp Gömb Paaboloid Hipeboloid Bolyai sík Kaenoid Helikoid Hipebolikus paaboloid Tóusz Sík és álalános éidő Sajáidő Loenz-anszfomáció Sebesség és gyosulás összeadása A fény abeációja Dopple-effekus Események soendje Enegia és lendüle Relaiviszikus akéa

6 Taalomjegyzék 3.9 Fénynél gyosabb észecskék Kömozgás és Thomas pecesszió Gaviációs vööselolódás Gömbszimmeikus éidő Gömbszimmeikus koodináa-endsze Schwazschild-koodináák Geodeikus egyenleek Gaviációs vööselolódás Féegjáa Newoni közelíés Kö alakú pálya Felszíni gyosulás és lebegés Geodeikus pecesszió Köpályák sabiliása Napközelpon vándolása Fényelhajlás Áapály Zuhanó pálya Izoóp koodináák Gaussi poláis koodináák Fogó Schwazschild-koodináák Kuskal-Szekees koodináák Kuskal-Szekees éidő Fogó fekee lyuk éideje Tengely-szimmeikus éidő Ens-egyenle A Ke-megoldás levezeése Koodináaszingulaiások Vööselolódás Téidő csavaodása Egyenlíői köpálya Ke-Schild meikák Tomimasu-Sao éidők Anyagi közegek éideje Enegia-impulzus enzo Einsein-egyenle anyagi közegben Ideális folyadék Gömbszimmeikus égies Állandó sűűségű gömb Zuhanás a középponba Relaiviszikus po Összeomló gömb alakú pofelhő Elekomágneses kölcsönhaás Elekomágneses hullámok Klein-Godon egyenle Poca egyenle Diac egyenle Weyl egyenle

7 Taalomjegyzék 7. Gaviációs hullámok A meikus enzo felbonása A meika vizsgálaa Síkhullám megoldások Másodendű közelíés Példák Világegyeem éideje Feléelezések Poziív göbüle Negaív göbüle Nulla göbüle Kozmológiai vööselolódás Hubble övény Síkbeli geomeia Álalános Fiedmann-egyenleek Világmodellek...6 Függelék...66 A.1 Makoszkopikus kölcsönhaások egyesíése...66 A. Elekomosan ölö gömbszimmeikus fekee-lyuk...7 Összefoglalás...83 Iodalomjegyzék...84 Tágymuaó

8 Taalomjegyzék Ábajegyzék Galilei, Clausius, Maxwell, Einsein, Kaluza...1 sík deékszögű koodináákkal...49 sík poláis koodináákkal...50 henge...50 kúp poláis koodináákkal...51 kúp deékszögű koodináákkal...51 gömb poláis koodináákkal...5 gömb deékszögű koodináákkal...53 paaboloid poláis koodináákkal...55 paaboloid deékszögű koodináákkal...55 egypalású hipeboloid...57 képalású hipeboloid poláis koodináákkal...58 képalású hipeboloid deékszögű koodináákkal...58 akoid...60 kaenoid...61 helikoid...6 hipebolikus paaboloid...63 óusz...66 Minkowski koodináa-endsze...69 féegjáa poláis koodináákkal féegjáa deékszögű koodináákkal lebegő es gyosulása geomeiai poenciál...15 gaviációs lencse áapály - Nap haása a Földe áapály - fekee lyuk haása póbaese zuhanó es pályája sajáidőben zuhanó es pályája koodináa időben...14 Kuskal-Szekees koodináák eljes féegjáa poláis koodináákban eljes féegjáa deékszögű koodináákban Kuskal-Szekees éidő fogó fekee-lyuk hosszmesze zuhanás égies belsejében...09 gyosulás égies belsejében...10 összeomló pofelhő

9 Megfigyelések Megfigyelések Lehe, hogy csak az ézékszeveink csapnak be minke, de nem éezzük, hogy a Föld közel 30 km/másodpeces sebességgel száguld a Nap köül. Valójában, az sem udjuk megmondani egy óceánjáó belsejében, hogy a kiköőben vagyunk-e még, vagy má a nyíl vízen szeli a haboka. Az igazság az, hogy nemcsak mi nem udjuk, (ideális eseben) a műszeeink sem észlelik a különbsége. Lehe, hogy csak ponalanok, de az is lehe, hogy valami elvi dolog akadályoz meg minke benne, hogy megállapísuk az abszolú sebességünke. Ez a Galileo Galileiől számazó elaiviási elv. Az idő egy iányba öénő haladása, vagyis az ok és kövekezmény soendje annyia magáól éeődő, és emészees apaszalaunk, hogy egész meglepő, ha ez még ki is kell jeleneni. Súlyos logikai poblémák meülnének fel, ha nem így lenne, mégsem mondhaunk más, min hogy eddig nem apaszalunk más. Ennek a gondolanak akko le nagy jelenősége, amiko Rudolf Clausius felismee az enópiá, melynek a válozása kijelöli az idő iányá. Vegyük azonban figyelembe, hogy ezzel a éellel semmi nem állíounk az idő múlásának méékéől, vagy méékének állandóságáól. A fény ézékelheelenül gyosan ejed a mi fogalmainkhoz képes. Azonban má eze évvel ezelő Ibn al-hayham aab udós felveee, hogy egy ejedő jelenségől van szó, aminek ennél fogva ejedési sebessége kell, hogy legyen. Csillagászai méeű jelenségek eseében vesszük csak észe, illeve a mi szemünknél övidebb eakcióidejű műszeeink ézékelheik. Igen fonos az, hogy a sebessége vákuumban mindenko egyfaja, és állandó, minden megfigyelő számáa, függelenül a mozgásállapoukól, aminek az elmélei megalapozásá James Clek Maxwell egyenleei adják. Annyia megbízunk ebben a apaszalaban, hogy a ávolság egységének, a mée definíciójának az alapjául válaszouk SI egységekben. Ha ez nem így lenne, akko például egy nagyon gyos jámű lehagyhaná, és a fedélzei műszeek má nem a megszoko ééke ménék. Ezzel viszon meghaáozhanánk az abszolú sebességünke, amiől úgy udjuk, hogy leheelen. Űhajósjelölek a paabolikus pályán zuhanó epülőgépben (a hányaógépben ) övid időe megapaszalhaják a világűbeli súlyalanságo. Vidámpaki szimuláook pedig háadönik a láogaóika, bá csak a sajá súlyuka ézik, mégis az hiszik, hogy gyosulnak. Ha hielen elindulna közben a eheauó, amie felszeelék a beendezés, a ben ülők nem udnák megállapíani, hogy ényleg gyosulnak-e, vagy csak hanya fekszenek az ülésben. Ismé ké megkülönbözeheelen jelenség, ehá jelensük ki hogy megegyeznek, ez Albe Einsein ekvivalencia-elve. Elekomágneses haása gyosuló esek úgy viselkednek, minha gaviáció hana ájuk, hasonló apaszalai övény íja le a mozgásuka. Viszon ez az eő függ aól, hogy van-e eedő ölésük, ső nem csak vonzani, aszíani is képes. Ennek ellenée az álalános elekomágneses és gaviációs ében mozgó észecske pályájá le lehe íni iszán geomeiai eszközökkel, ahogy az Theodo Kaluza megmuaa. A megfogalmazo kijelenésünk lényegében az fogja jeleni, hogy a ölö műsze nem mé különbsége gaviációs, elekomos gyosulás, vagy a súlyalanság állapoa közö. Az álalános elaiviáselméle ezeken a megfigyeléseken alapszik, és a éidő viselkedésé íja le, illeve a kölcsönhaásá a benne lévő anyaggal. Ezzel léehoz egy keee, amiben az összes öbbi fizikai modell leíhaó. 9

10 Jelölések és állandók Jelölések és állandók A könyv folyamán végig az indexes jelölésmódo használjuk. Az indexek mindig egybeűsek, és a kövekező ábláza összefoglalja, hogy hol és milyen jelenéssel használjuk őke: eek szabad indexek összegzési indexek 3D-s é (1 3) álalános é (1 N) i, j, k, l, m, n a, b, c, d, e, f 4D-s éidő (0 3) η, κ, μ, ν, ξ, σ α, β, γ, δ, ε, ζ 5D-s éidő (0 4) spino-é (1 4) P, Q, R, S, T, U A, B, C, D, E, F Az egyenleek ké oldalán ugyanannyi szabad indexnek kell lennie, hiszen valójában annyi egyenleünk van, amennyi a dimenziók száma szoozva a szabad indexek számával: v i =a u i b i v 1 =a u 1 b 1, v =a u b, v 3 =a u 3 b 3 Azoka a agoka amelyekben összegzési indexek vannak, összegzés kell éeni, mégpedig annyiszo amennyi a dimenziók száma: N s=v a u a = v a u a =v 1 u 1 v u v 3 u 3 a=1 A Konecke-dela: i j = { 1, i= j 0, i j A koodináa-endszeeke, amikben az egyes mennyiségek fel vannak íva, bal alsó saokban lévő indexszel jelezzük. Különböző ponokban felí mennyiségeke különböző beűkkel jelöljük, ahol csak leheséges. Kéindexű máix deeminánsa kiszámíhaó a kövekező ekuzív képleel: M ij = 1 a 1 M 1 a M i 1 j a Késze konavaiáns meikus enzo komponenseinek kiszámíása késze kovaiáns meikus enzoból: g kl = 1k l g i k j l g ij A Lambe-függvény deiválja és inegálja: dw x dx 1 = e W x W x1 W x dx= x W x 1 W x 1 C 10

11 Jelölések és állandók Temészei állandók: fénysebesség: c=, m s gaviációs állandó: =6, m 3 Idő és ávolságegységek: kg s Júlián év: csillagászai egység: fényév: pasec: 1a=365,5 nap=3, s 1 AU =1, m 1 fényév=9, m 1 Pc=3, m =, AU =3, fényév 11

12 1. Alapok 1. Alapok Ebben a fejezeben bevezejük az a maemaikai nyelvezee, ami az álalános elaiviáselméle használ. A célunk az, hogy méheő mennyiségeke aláljunk, amikkel a öbbdimenziós felüleeke jellemezni udjuk. Ezzel a poblémával a diffeenciál-geomeia foglalkozik, és az alkalmazo módszeek hasonlóak azokhoz, amike a földméők használnak. Maga a geomeia szó is földméés jelen, mely évén a émánk egy ősi udományhoz kapcsolódik, melye má az anik világban is nagy szakéelemmel művelek. Amíg a geodéák a Föld göbül felszíné, mi a göbül éidő fogjuk feléképezni, de a céljaink ponosan ugyanazok: ájékozódni, ávolságoka méni, vagy megkeesni a legövidebb ua ké pon közö, és így ovább. Láni fogjuk, hogy a ée vonakozó naiv, földhöz agad feléelezésekből kiindulva endkívül álalános, válozaos ulajdonságokkal endelkező geomeiá lehe felépíeni, melyben az összes fonos geomeiai mennyisége meg udjuk haáozni. Ebből levonhajuk magunknak a anulságo, hogy amiko az egyszeű sík éől gondolkozunk, valójában számos ki nem mondo megköéssel és feléelezéssel élünk, melyek nem kövekeznek auomaikusan a kezdei feléeleinkből. 1.1 Koodináa-endszeek Képzeljünk el egy eszőleges ee, melynek a ponjai egyedi számsookkal különbözejük meg, melyeke úgy válaszunk meg, hogy egymáshoz közeli ponok eseén a számsook száméékei is közel essenek egymáshoz. A számsooka annyi szám alkoja, amennyi a ponok egyéelmű azonosíásához felélenül szükséges. Más szóval egy koodináa-endsze veszünk fel benne, ahol a számsooka koodináavekooknak, az őke alkoó számoka pedig koodinááknak hívjuk, melyeke megállapodás szein jobb felső indexszel jelölünk. Az x pon helyzeé jelölő koodináaveko i.-ik eleme: x i (1.1.1) Ezek a számsook emészeesen nem kizáólagosak, eszőlegesen úja lehe számozni a é ponjai. Ha más logika szein oszjuk ki a soszámoka, egy másik koodináa-endsze veszünk fel, ami egy -essel jelölünk a bal alsó saokban, ahol a koodináák függenek az első koodináaendszeben felve koodináákól: x i = x i ( 1 x j ) (1.1.) Rendeljünk hozzá a é minden ponjához egy számo, vagy más néven skalá. Egy skalámező a ponok függvényében adunk meg, ennek az úgyneveze skaláfüggvénynek az ééke egy ado ponban emészeesen függelen a koodináa-endszeől: x i x i = x i 1 (1.1.3) Válasszunk egy koodináa-endszeben ké különböző pono: 1

13 1.1 Koodináa-endszeek x i y i = x i + Δx i (1.1.4) A skalámező ezekben a ponokban felve éékeinek különbsége nem függ aól, hogy milyen koodináa-endsze válaszounk: x i = x i 1 y i 1 = x i y i (1.1.5) A mező éékének válozási sebessége a koodináák szeini paciális deiválja: lim x 0 x i x i x i = xi x i x i Ez megszoozva a mege úal megkapjuk a mező éékének válozásá egy koodináa menén. A mező éékének infiniezimálisan kicsi eljes válozásá úgy közelíjük, hogy egyszeűen összeadjuk a válozásoka az egyes koodináák menén, így megkapjuk a eljes deivála, ahol az a indexe a jelölésendszeünk szabályai szein összegzés végzünk: d = lim x 0 x i x i x i x a x a = xi dx a x a Így ha végelenül kicsie csökkenjük a ké pon közöi ávolságo, akko az a kövekezőképpen udjuk deiválakkal kifejezni ké különböző koodináa-endszeben: d = a 1 x a 1 dx = a x a dx (1.1.6) A skalámező éékének koodináánkéni válozása függ aól, hogy milyen koodináa-endsze alkalmazunk. Megvizsgáljuk, hogy a válozás az egyik koodináa menén mekkoának lászik a másik koodináa-endsze koodináái menén. Hogy kevésbé legyenek zsúfolak a képleek, a ovábbiakban öbbnyie elhagyjuk az 1-es indexe. d = x a dxa / 1 x i x i = x a x a x i (1.1.7) Ezzel megkapuk a skalámező paciális deiváljának anszfomációjá. A koodináa-diffeenciál anszfomációjához behelyeesíjük a koodináaválozás: dx i = xi x a dxa (1.1.8) A keejük skalászozaa a eljes deivál, ami koodináa-endszeől függelen: 13

14 1.1 Koodináa-endszeek dx a x a = xb x b xa x a x c dxc = (1.1.9) x b dxb Végelenül kicsi elmozdulás eseén mindké koodináa-endszeben váloznak a koodináák. A válozások kölcsönös aányai a ké koodináa-endsze közö a anszfomációs máixo alkoják: i j = xi x j 1 i 1 j = xi x j (1.1.10) Azoka a mennyiségeke, melyek úgy anszfomálódnak, min a skalámező paciális deiváljai, elnevezzük kovaiáns vekooknak, melyek a é ponjai ugyanúgy beszámozhaják, csak egy másik logika szein. I az index megállapodás szein a jobb alsó saokba keül: x = i x a a i v i = x i Kovaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a skalámező paciális deiváljai: v i =v a xa x i =v a i a (1.1.11) Azoka a mennyiségeke pedig, melyek úgy anszfomálódnak min a koodináa-diffeenciálok, elnevezzük konavaiáns vekooknak. I az index helyzee nem válozik: dx i = xi v i =dx i x a dxa Konavaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a koodináa-diffeenciálok: v i = xi i = x a va a v a (1.1.1) Ha felcseéljük a koodináa-endszeeke, akko a fodío anszfomációs képleek a kövekezők: v i = xi v a x a = i a v a v i = v a x a = v x i a a i (1.1.13) A diffeenciál ecipoka úgy anszfomálódik min egy kovaiáns veko: 1 dx i = 1 1 i a dx = xa 1 a x i dx = a i a 1 dx a (1.1.14) 14

15 1.1 Koodináa-endszeek A feniekből kövekezik, hogy a kovaiáns és konavaiáns vekook skalászozaa is függelen aól a koodináa-endszeől, melyben felíuk a komponenseike, és az eedmény egy skalá: v a u a =v b b a a c u c =v b u b (1.1.15) Készees anszfomáció végzünk, egy veko felíunk egy másik koodináa-endszeben, majd visszaéünk az eedeibe: v i = xi v a x a = i a v a v i = i b v a b a = i a v a v i =v a xi x a =va i a A anszfomációs máixok skalászozaa a Konecke-dela: i a a j = i j = xi x a xa x j (1.1.16) 1. Tenzook Azok a mennyiségek, melyeke vekook szozaából állíunk elő, a enzook családjába aoznak. Ezek speciális enzook, me csak n m számól függenek, ahol m a vekook száma, n pedig a koodinááké: v i u j w k p l q m =T ijk lm (1..1) Viszon egy ilyen enzo epezenáló máixnak n m függelen komponense is lehe, és ez az álalános enzoa is igaz. Ebből levezeheő a anszfomációs szabály: Tenzo: olyan T mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko a kövekezőképpen anszfomálódik: ijk i T lm= a b j c k abc T d l e m (1..) de Jól lászik a feni összefüggésen, hogy ha a enzo összes komponense nulla, akko ez így maad bámilyen koodináa-anszfomáció eseén. A enzo angja az indexek száma, egy skalá nullad-angú enzo, a veko elsőangú, és így ovább. Álalános enzook szozaa szinén enzo, például: A ijk B lm =T ijk lm (1..3) Tenzook összegé csak ugyanolyan ang eseén udjuk éelmezni, például: 15

16 1. Tenzook ij A k B k ij i = a j b A c ab B ab c c k (1..4) Szoozzunk össze egy eszőleges enzo olyan vekookkal, amikkel mindegyik indexe összegzés végzünk. A feniek szein egy invaiáns skalá kapunk: T abc v a u b w c p d q e =s (1..5) de Ha nem ismejük egy öbbindexű mennyiség emészeé, a feni összefüggés használaával bebizonyíhaó, hogy enzo. Ugyanis ha felíjuk egy másik koodináa-endszeben, a anszfomációs máixok csak akko ejik ki egymás, ha a öbbindexes mennyiség ugyanannyi vonula fel belőlük, min amennyi a vekooka anszfomálja. A Konecke-dela ééke egyező indexek eseén egy, különböző indexeknél nulla. A feni összefüggés alapján enzo, mégpedig egy speciális faja, mivel a komponensei külön-külön is invaiánsak: b a v a u b =v b u b =s (1..6) A kovaiáns vekookkal is be lehe számozni a é ponjai, ezeke a számsooka a kovaiáns koodináák alkoják: x i (1..7) Tulajdonképpen ez is csak egy koodináa-endsze a sok leheséges közül, ezé minden bizonnyal á lehe anszfomálni egy pon konavaiáns koodináái kovaiáns koodináákká. Ezé legyen a második koodináa-endsze a kovaiáns, így a koodináa-válozások kölcsönös aányai egy g ij szimmeikus mennyisége alkonak: x i x j 1 g ij = x i x j = x j x i =g ji (1..8) v i =v a xi v x a i =v a x i x a =va g ia (1..9) Fodío iányban: 1 x i x j g ij = xi x j = x j x i =g ji (1..10) v i =v a xa x i v i =v a xa x i =v a g ai (1..11) A veko konavaiáns és kovaiáns válozaának skalászozaa invaiáns skalá ami a veko hossza ehá az új mennyiségünk enzo-jellegű: 16

17 1. Tenzook v a v a =v a v b g ab =v b v a g ba (1..1) A segíségével indexeke is lehe emelni és süllyeszeni, úgyhogy nevezzük el meikus enzonak: v a u b w c p d q e g ai g bj g ck g dl g em =v i u j w k p l q m T abc de g ai g bj g ck g dl g em =T ijk lm (1..13) Készees anszfomáció végzünk, egy konavaiáns veko felíunk kovaiáns alakban, majd visszaíjuk konavaiánssá: v i =v a g ab g bi =v a a i A meikus enzook skalászozaa a Konecke-dela: g ia g aj = i j = x i xa x a (1..14) x j Ha minden indexe összegzünk, akko az eedmény a dimenziószám: g ab g ab = b b =N (1..15) Egy kéindexű álalános enzo mindig fel lehe bonani egy szimmeikus és egy aniszimmeikus enzo összegée. Az egymással szemben lévő enzokomponensek álagolásával szimmeikus enzo hozhaó lée: s T ij = 1 T ijt ji = 1 T jit ij = s T ji (1..16) Az álalános enzoból kivonva az eedmény egy aniszimmeikus enzo: T ij a =T ij s T ij =T ij 1 T ijt ji = 1 T ij T ji = 1 T ji T ij = a T ji (1..17) melynek a diagonális elemei nullák: a T ii = 1 T ii T ii =0 (1..18) Az összegük visszaadja az eedei enzo: s T ij a T ij = 1 T ijt ji 1 T ij T ji =T ij (1..19) Álalános kéindexű enzo indexeinek megfodíása: T ij =T ji a T ij (1..0) 17

18 1. Tenzook Tenzookkal epezenálhaó mennyiségeke és a belőlük alkoo egyenleeke kovaiáns mennyiségeknek, illeve kovaiáns egyenleeknek hívjuk. Ebben a megnevezésben a kovaiancia nem a kovaiáns vekooka ual, hanem aa, hogy az ezekből a mennyiségekből alkoo egyenleek alakja enzoanszfomációka invaiáns. 1.3 Kovaiáns deiválás A fejeze címében szeeplő kovaiáns szó szinén nem a kovaiáns vekooka vonakozik, hanem a enzoanszfomáció-invaiancia megnevezése. Deiváljuk a skaláfüggvény paciális deiválja anszfomációs összefüggésének mindké oldalá: = xa x i a x x i / x j = x j x i x j x a x x i x a x j x i a x a (1.3.1) A jobb oldal első agjában anszfomáljuk az egyik nevező diffeenciál a másodikból az első koodináa-endszebe: a x j x a x = xb x i x b x a xa x j x i Visszahelyeesíjük: = xb x j x i x b a x a x x j x i x a x a x j x i (1.3.) A skalámező második paciális deiválja, ami a kovaiáns veko paciális deiválja, nem úgy anszfomálódik min egy enzo. Felíjuk és behelyeesíjük a feni képlebe: v i = x i v i = v a xb x j b x x j xa v x i a x a x j x i (1.3.3) Áendezzük a képlee, és anszfomáljuk az egyik ago szozó veko az első koodináaendszeből a másodikba: v a xb x b x j xa x i = v i x j v a x a x j x i 18

19 1.3 Kovaiáns deiválás v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i (1.3.4) Tegyük fel, hogy egy kovaiáns vekomező konsans egy ado koodináa-endszeben, vagyis a paciális deiválja mindenhol nulla: v i =0 j (1.3.5) x Felíjuk ez az összefüggés egy másik koodináa-endszeben, és felesszük, hogy o is nulla: v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x =0 (1.3.6) a x j x i Bevezeünk egy új jelölés a második agban: b ji = xb x a x a x j x i (1.3.7) Ez az összefüggés eszőleges koodináa-endszeben leíja, hogy a vekomező paciális deiválja elűnik az eedei koodináa-endszeben: v i b v x j b ji =0 (1.3.8) Az új jelölés ami bevezeünk egy speciális ípusú konnexió, ami mindig szimmeikus az alsó ké indexében. Definiáljuk vele a kovaiáns veko kovaiáns deiváljá, majd kövekezik a konnexió álalános definíciója: j v i = v i x v b j b ji (1.3.9) Konnexió: olyan Γ mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko bizosíja, hogy az kovaiáns deivál úgy anszfomálódjon min egy enzo: j v i = v i x v a j a ji j v i = b v a b a j i (1.3.10) Azok az álalános mennyiségek amelyek kielégíik a konnexió definíciójá viszon má nem felélenül szimmeikusak. Egy skalámező paciális deiválja enzo, ezé legyen ez a kovaiáns deiválja: i = x i (1.3.11) Kovaiáns és konavaiáns veko skalászozaának az eedménye egy skalá: 19

20 1.3 Kovaiáns deiválás i u a v a = ua v a x i (1.3.1) i u a v a u a i v a = ua x i v a ua v a x i i u a v a u a v a x i ua v b b ia = ua x i v a ua v a x i i u a v a = ua x i v au a b v b ia / 1 v a A konavaiáns veko kovaiáns deiválja: i u j = u j x i ua ia j (1.3.13) Mos má eszőleges enzo kovaiáns deiváljá meg udjuk haáozni, konavaiáns és kovaiáns vekook szozaának felhasználásával: n T n T ijk lm ijk lm = n v i u j w k p l q m = n v i u j w k p l q m v i n u j w k p l q m n T ijk lm = vi x n u j w k p l q m v a i na u j w k p l q m Összevonjuk a vekooka a jobb oldalon: n T T ijk lm ijk lm x n = i na T ajk j lm na T iak k lm na A Konecke-dela kovaiáns deiválja nulla: k i j = i j x i k ak a j jk a i i a =0 jk T ija lm a nl T ijk a am nm T ijk la (1.3.14) i jk =0 (1.3.15) 1.4 Konnexió ulajdonságai 0

21 1.4 Konnexió ulajdonságai Megvizsgáljuk hogyan anszfomálódik a konnexió, ezé előszö észleesen kiíjuk a kovaiáns veko kovaiáns deiváljának anszfomációjá: v i d v x j d ji = v a xb xa (1.4.1) x v c b c ba x j x i v i d v x j d ji = v a xb x b xa v x j x i c c ba xb xa x j x i A jobboldali első ago má feljebb megismeük, behelyeesíünk: Egyszeűsíünk: v a xb b x x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i v i d v x j d ji = v i v x j b xb x x a c v a x j x i c ba xb xa x j x i x a d v d ji = v b xb x c v a x j x i c ba xb xa x j x i (1.4.) Tanszfomáljuk a jobboldali második agban lévő veko az első koodináa-endszeből a másodikba, és leegyszeűsíünk a veko szozókkal: d v d ji = v b xb x x a a x j x i v d x d x c c ba xb xa x j x i A konnexió anszfomációs szabálya: d k k ji = xk x a x a x j x i c ba xk x xa x j x i c xb (1.4.3) A konnexió ehá nem enzo-jellegű mennyiség. Az álalános konnexió szimmeikus észe: C k ij = 1 ij k k ji (1.4.4) Az álalános konnexió aniszimmeikus észe a ozió: S k ij = 1 ij k k ji k ij = k ji k S ij (1.4.5) 1

22 1.4 Konnexió ulajdonságai Behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: S k ij = 1 x e x i x xk j x e e ab x a x x b i x x k j x x e xk e x j x i x e e ba xb x x a j x i xk x e Egyszeűsíünk, a ozió anszfomációja: k = 1 e e ab ba xa x xb i x xk j x e S ij (1.4.6) A ozió a anszfomációs képlee alapján egy háomindexű enzo: k k = S ij S ij a i b k j e (1.4.7) A konnexió végelenül kicsi különbségei úgy anszfomálódnak min a enzook: első koodináa-endsze: második koodináa-endsze: j ik j = ik j x ik x x j j j ik = ik x ik x x (1.4.8) Az első képlebe behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: j ik = x e x i x k x j e x e ab x xa x xb i x x j k x e x e x i x k x j e x e ab x x xa x xb i x x j k x e j ik e = ab x xa x x b i x x j k x e e ab x x xa x x b i x x j k x e (1.4.9) A konnexió vaiációja enzo-jellegű mennyiség: j ik j = ik xa x xb i x x j k x e (1.4.10) 1.5 Roáció A kovaiáns veko deiváljának anszfomációja:

23 1.5 Roáció v i v x j b xb x x a = v a xb a x j x i b xa x x j x i (1.5.1) Ez a mennyiség nem enzokén anszfomálódik. De ha megcseéljük benne az indexeke, és kivonjuk az eedei kifejezésből, enzo-jellegű mennyisége kapunk, a neve oáció. Az összefüggés jobb oldala: v a xb x b xa v b x j x i x a x a xb x i x = v v a j x b b xb x a xa =T x j x i ab b a j i Az összefüggés bal oldala: v i x v j b xb x a x a x j x i v j x v i b xb x a x a x i x j = v i A oáció anszfomációs szabálya a másodangú enzookénak felel meg: x v j j x = T i ij T ab b j a i = T ij (1.5.) Ez a enzo aniszimmeikus: T ij = T ji = v i x j v j x i = v j x i v i x j (1.5.3) A diagonális elemei pedig mindig nullák: T ii = v v i x i i =0 i (1.5.4) x Ha az aniszimmeikus enzo paciális deiváljának az indexei ciklikusan pemuáljuk és összeadjuk, az eedmény nulla, me a vekook második deiváljai kiejik egymás: x v j j x i v j i x x v j k k x x v k j x v i i x = k v i x k x v j j x k x v j i x i x v k k x i x v k j x j x v i i x j x =0 k T ij x k T jk x i T ki x j = x k v i (1.5.5) A kovaiáns deiválból képze oáció: j v i i v j = v i x j v j x v b i b ji Ez az egyenlőség csak akko eljesül, ha a konnexió szimmeikus: b ij = v i x v j (1.5.6) j x i k k ij = ji (1.5.7) 3

24 1.5 Roáció 1.6 Páhuzamos elolás Felveszünk ké végelenül közeli pono, ezekben a ponokban vekooka, és ké különböző koodináa-endszeben is felíjuk őke. A évedések elkeülése édekében összefoglaljuk egy áblázaban a jelöléseke: Első koodináa-endsze Első pon x i x i Második pon y i y i Első ponbeli vekook v i, w i v i Második ponbeli vekook u i, q i u i Második koodináa-endsze Páhuzamosan elolunk egy veko az első ponból a másodikba, az egyik koodináa-endsze úgy vesszük fel, hogy az eedei és az új veko minden komponense megegyezzen: u i =v i (1.6.1) A kövekezőképpen számíjuk á a vekook koodináái: v i = xi v a x a u i = yi u a y a (1.6.) Behelyeesíjük az első koodináa-endszeben felí összefüggésbe: x i v a x a = yi u a y a (1.6.3) A másik koodináa-endszeben álalánosan íjunk fel egy elolás: u i = v i dv i (1.6.4) A ké pon különbsége a oális deivál, ami a második koodináa-endsze koodináái szein deiválunk: y i = x i xi dx a x a y i = xi y j x j / x i x j dx a x j x a (1.6.5) Behelyeesíjük az elolás képleébe, majd felbonjuk a záójeleke: 4

25 = x i v a x a xi x i dx a x b x b x a 1.6 Páhuzamos elolás x i v a x a = xi v b x b xi dv b x b x i vb dv b (1.6.6) x b x a dx a v b x i x b x a dx a dv b Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: 0= xi dv b x b x i dx a x b x a v b / x j x i i c x j x xc dv b c x b = x j x x c dx a c x b x a v b (1.6.7) Az egyenle bal oldalán behelyeesíjük és alkalmazzuk a Konecke-delá, a jobb oldalán a konnexió helyeesíjük be, ahogy a koábbi definíciónál eük: j ba = x j x c x c x b x a (1.6.8) dv j j = ba dx a v b Ez visszahelyeesíjük a konavaiáns veko elolási képleébe, a koodináa-endsze azonosíó számok nélkül. Az indexek minden ovábbi nélkül felcseélheők, ami meg is eszünk, ugyanis ekko ugyanaz a konnexió kapjuk meg, ami koábban definiálunk: u i =v i i ba v a dx b (1.6.9) Felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: v a w a =u a q a (1.6.10) A konavaiáns veko elolása: u i =v i dv i =v i i ba v a dx b (1.6.11) A kovaiáns veko elolása: q i =w i dw i (1.6.1) 5

26 1.6 Páhuzamos elolás Behelyeesíjük a skalászozaba: v a w a =v a a dc v c dx d w a dw a (1.6.13) v a w a =v a w a v a dw a a dc v c dx d w a a dc v c dx d dw a Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: dw i = a bi dx b w a Ez visszahelyeesíjük a kovaiáns veko elolási képleébe: q i =w i a bi w a dx b (1.6.14) Ezek alapján eszőleges enzo elolási képleé meg udjuk haáozni. I má nem használjuk a áblázaba foglal jelöléseke: v i u j w k p l q m =T ijk lm Behelyeesíjük az elolási képleeke, és elhanyagoljuk a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványai aalmazó agoka. Így csak a vekook szozaai, illeve azok a agok maadnak meg, melyek csak egysze aalmazzák a konnexió: v i i ba v a dx b u j j ba u a dx b w k k ba w a dx b p l a bl p a dx b q m a bm q a dx b = ijk i ajk T lm ba T j iak lm ba T k ija lm ba T lm a ijk a ijk bl T am bm T la dx b (1.6.15) 1.7 Konnexió és meikus enzo Az előző fejezehez hasonlóan felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: g ab x v a w b = g ab y u a q b (1.7.1) I az egyenle bal oldalán az első ponban felve vekook közöi skalászozao íuk fel, a jobb oldalon pedig a második ponban felve vekook közöi skalászozao. Az egyik meikus enzoól a végelenül közeli másikhoz sofejéssel közelíünk: g ij y=g ij x g ijx x a dx a 1 g ij x dx b (1.7.) x a x b dxa Behelyeesíjük a vekook páhuzamos elolásának képleé, és a meikus enzo sofejésé, 6

GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK

GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben. Az idősoros vizsgálaok legfonosabb

Részletesebben

5. Differenciálegyenlet rendszerek

5. Differenciálegyenlet rendszerek 5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:

Részletesebben

A BIZOTTSÁG MUNKADOKUMENTUMA

A BIZOTTSÁG MUNKADOKUMENTUMA AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA Brüsszel, 2007. május 23. (25.05) (OR. en) Inézményközi dokumenum: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 FIN 239 RESPR 5 CADREFIN 32 FELJEGYZÉS AZ I/A NAPIRENDI PONTHOZ 2. KIEGÉSZÍTÉS Küldi:

Részletesebben

Dinamikus optimalizálás és a Leontief-modell

Dinamikus optimalizálás és a Leontief-modell MÛHELY Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 29. január (84 92. o.) DOBOS IMRE Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell A anulmány a variációszámíás gazdasági alkalmazásaiból ismere hárma. Mind három alkalmazás

Részletesebben

Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezhetetlensége

Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezhetetlensége Az árfolyamsávok empirikus modelljei 507 Közgazdasági Szemle, XLVI. évf., 1999. június (507 59. o.) DARVAS ZSOLT Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezheelensége

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbikbn külön, egymásól függelenül izsgáluk nyugó ölések elekomos eé és z időben állndó ám elekomos és mágneses eé Az elekomágneses é ponosbb modelljé kpjuk, h

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek emel szin Javíási-érékelési úmuaó ÉETTSÉGI VIZSG 0. okóber. ELEKTONIKI LPISMEETEK EMELT SZINTŰ ÍÁSELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ EMEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIUM Elekronikai

Részletesebben

MNB-tanulmányok 50. A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY

MNB-tanulmányok 50. A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY MNB-anulmányok 5. 26 CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk Czei Tamás Hoffmann Mihály A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk 26. január

Részletesebben

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat)

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat) Mechanikai unka, energia, eljesíény (Vázla). Mechanikai unka fogala. A echanikai unkavégzés fajái a) Eelési unka b) Nehézségi erő unkája c) Gyorsíási unka d) Súrlódási erő unkája e) Rugóerő unkája 3. Mechanikai

Részletesebben

Finanszírozás, garanciák

Finanszírozás, garanciák 29..9. Fiaszíozás, gaaciák D. Fakas Szilvesze egyeemi doces SZE Gazdálkodásudomáyi Taszék fakassz@sze.hu hp://d.fakasszilvesze.hu/ Fiaszíozás émaköei. A péz idıééke, jövıéék és jeleéék, speciális pézáamlások

Részletesebben

Legfontosabb farmakokinetikai paraméterek definíciói és számításuk. Farmakokinetikai paraméterek Számítási mód

Legfontosabb farmakokinetikai paraméterek definíciói és számításuk. Farmakokinetikai paraméterek Számítási mód Legfonosabb farmakokineikai paraméerek definíciói és számíásuk Paraméer armakokineikai paraméerek Név Számíási mód max maximális plazma koncenráció ideje mér érékek alapján; a max () érékhez arozó érék

Részletesebben

A hőérzetről. A szubjektív érzés kialakulását döntően a következő hat paraméter befolyásolja:

A hőérzetről. A szubjektív érzés kialakulását döntően a következő hat paraméter befolyásolja: A hőérzeről A szubjekív érzés kialakulásá dönően a kövekező ha paraméer befolyásolja: a levegő hőmérséklee, annak érbeli, időbeli eloszlása, válozása, a környező felüleek közepes sugárzási hőmérséklee,

Részletesebben

Tájékoztató a portfólió értékelésérıl, illetve a portfólión elért hozam számításáról

Tájékoztató a portfólió értékelésérıl, illetve a portfólión elért hozam számításáról Tájékozaó a pofóló éékeléséıl, lleve a pofólón elé hoza száíásáól Jelen ájékozaó elválaszhaalan észé képez az Ügyfél és az EQUILOR Befekeés Z. (ovábbakban EQUILOR) közö léejö pofólókezelés szezıdésnek.

Részletesebben

cukorbeteg kedvencének kezelése

cukorbeteg kedvencének kezelése Caninsulin VePen Soha nem vol ilyen egyszerû cukorbeeg kedvencének kezelése Ha kedvence cukorbeeg Elôször lehe, hogy lesújoa a cukorbeegség diagnózisa, de gondoljon csak bele, mi is jelen ez: sikerül beazonosíani

Részletesebben

(Nem jogalkotási aktusok) IRÁNYMUTATÁSOK

(Nem jogalkotási aktusok) IRÁNYMUTATÁSOK 2011.8.23. Az Európai Unió Hivaalos Lapja L 217/1 II (Nem jogalkoási akusok) IRÁNYMUTATÁSOK AZ EURÓPAI KÖZPONTI BANK IRÁNYMUTATÁSA (2011. június 30.) az euróra vonakozó adagyűjésről és a 2. Készpénzinformációs

Részletesebben

Zsembery Levente VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS

Zsembery Levente VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS Zsembery Levene VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS PÉNZÜGYI INTÉZET BEFEKTETÉSEK TANSZÉK TÉMAVEZETŐ: DR. SZÁZ JÁNOS Zsembery Levene BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI ÉS ÁLLAMIGAZGATÁSI EGYETEM

Részletesebben

( r) t. Feladatok 1. Egy betét névleges kamatlába évi 20%, melyhez negyedévenkénti kamatjóváírás tartozik. Mekkora hozamot jelent ez éves szinten?

( r) t. Feladatok 1. Egy betét névleges kamatlába évi 20%, melyhez negyedévenkénti kamatjóváírás tartozik. Mekkora hozamot jelent ez éves szinten? Feladaok 1. Egy beé névleges kamalába évi 20%, melyhez negyedévenkéni kamajóváírás arozik. Mekkora hozamo jelen ez éves szinen? 21,5% a) A névleges kamalába időarányosan szokák számíani, ehá úgy veszik,

Részletesebben

Üzemeltetési kézikönyv

Üzemeltetési kézikönyv EHBH04CB EHBH08CB EHBH11CB EHBH16CB EHBX04CB EHBX08CB EHBX11CB EHBX16CB EHVH04S18CB EHVH08S18CB EHVH08S26CB EHVH11S18CB EHVH11S26CB EHVH16S18CB EHVH16S26CB EHVX04S18CB EHVX08S18CB EHVX08S26CB EHVX11S18CB

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI: ELÉGTELEN

PRÓBAÉRETTSÉGI: ELÉGTELEN VÉLEMÉNYEK PRÓBAÉRETTSÉGI: ELÉGTELEN Az új, készinû éreségivel eddig csak véleményezésre kiküldö anyagok formájában alálkozam. Már ezek alapján sem váram sok jó. Nem a ké szinel kapcsolaban vannak fennarásaim

Részletesebben

Fenntartható makrogazdaság és államadósság-kezelés

Fenntartható makrogazdaság és államadósság-kezelés és államadósság-kezelés Balaoni András Tóh G. Csaba (Századvég Gazdaságkuaó Zr.) Budapes, 2011. május Taralom 1. Bevezeés...4 2. A fennarhaó gazdasági növekedés...10 2.1. A neoklasszikus növekedési modell...

Részletesebben

DIPLOMADOLGOZAT Varga Zoltán 2012

DIPLOMADOLGOZAT Varga Zoltán 2012 DIPLOMADOLGOZAT Varga Zolán 2012 Szen Isván Egyeem Gazdaság- és Társadalomudományi Kar Markeing Inéze Keresle-előrejelzés a vállalai logiszikában Belső konzulens neve, beoszása: Dr. Komáromi Nándor, egyeemi

Részletesebben

Jelzáloghitel-törlesztés forintban és devizában egyszerű modellek

Jelzáloghitel-törlesztés forintban és devizában egyszerű modellek Közgazdasági Szemle, LXii. évf., 215. január (1 26. o.) Király Júlia Simonovis András Jelzáloghiel-örleszés forinban és devizában egyszerű modellek A devizaalapú jelzáloghielek néhány éves népszerűség

Részletesebben

Ł ť ŕ í í ü ö ő ű ő ő ő ú í ä Í ř ö ő í í ę ö ő í Ú í ń đ ń É É ő Ę í í ű ü ö í ö Ĺí ö ő ü Ó ő ü ń ü ö ö ö ö ő í Ü í Ü ö í ő í ś ű Í Ł Á Á ő í ö Ú í ű í í ô ő í ő ö ö ő ú ő ä ő í ű ő ü ő ő í ő í í Í í

Részletesebben

Ancon feszítõrúd rendszer

Ancon feszítõrúd rendszer Ancon feszíõrúd rendszer Ancon 500 feszíőrúd rendszer Az összeköő, feszíő rudazaoka egyre gyakrabban használják épíészei, lászó szerkezei elemkén is. Nagy erhelheősége melle az Ancon rendszer eljesíi a

Részletesebben

Kamat átgyűrűzés Magyarországon

Kamat átgyűrűzés Magyarországon Kama ágyűrűzés Magyarországon Horváh Csilla, Krekó Judi, Naszódi Anna 4. február Összefoglaló Elemzésünkben hiba-korrekciós modellek segíségével vizsgáljuk a piaci hozamok és a banki forin hiel- és beéi

Részletesebben

Alsó-Ausztria A nagy kiránduló térkép

Alsó-Ausztria A nagy kiránduló térkép ó- é éé Ú :7000 ééű éé é á áá ó- ó ő é, é áj áááá éá vá é áv üé, á v á á é é íűéé é á é áá ő ó-á é- ávó, űő é ű á,, v ő őé váj áó ó- áó éé á já í Z Ö á éé! Ó- áó 00 -, +4/74/000-000 @ - v ő é: / é é é:

Részletesebben

OTDK-dolgozat. Váry Miklós BA

OTDK-dolgozat. Váry Miklós BA OTDK-dolgoza Váry iklós BA 203 EDOGÉ KORRUPCIÓ EGY EOKLASSZIKUS ODELLBE EDOGEOUS CORRUPTIO I A EOCLASSICAL ODEL Kézira lezárása: 202. április 6. TARTALOJEGYZÉK. BEVEZETÉS... 2. A KORRUPCIÓ BEVEZETÉSE EGY

Részletesebben

Intuitív ADT és ADS szint:

Intuitív ADT és ADS szint: A zkvcál adazkz olya dz pá amlyél az R lácó azív lzája lj dzé lácó. zkvcál adazkzb az gy adalmk gymá uá hlyzkdk l, va gy logka odjük. Az adaok közö gy-gy jllgű a kapcola: md adalm cak gy hlyől éhő

Részletesebben

7. osztály, minimum követelmények fizikából

7. osztály, minimum követelmények fizikából 7. ozály, iniu köeelények fizikából izikai ennyiégek Sebeég Jele: Definíciója: az a fizikai ennyiég, aely eguaja, ogy a e egyégnyi idő ala ekkora ua ez eg. Kizáíái ódja, (képlee):. Szaakkal: ú oza a egéeléez

Részletesebben

A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei

A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei A mágneses ér alapfogalma, alapörvénye A nyugvó vllamos ölések közö erőhaásoka a vllamos ér közveí (Coulomb örvénye). A mozgó ölések (vllamos áramo vvő vezeők) közö s fellép erőhaás, am a mágneses ér közveí.

Részletesebben

A személyi jövedelemadó reformjának hatása a társadalombiztosítási nyugdíjakra

A személyi jövedelemadó reformjának hatása a társadalombiztosítási nyugdíjakra Közgazdasági Szemle, LVIII. évf., 20. december (029 044. o.) Cseres-Gergely Zsombor Simonovis András A személyi jövedelemadó reformjának haása a ársadalombizosíási nyugdíjakra 2009 és 203 közö a magyar

Részletesebben

Radnai Márton. Határidős indexpiacok érési folyamata

Radnai Márton. Határidős indexpiacok érési folyamata Radnai Máron Haáridős indexpiacok érési folyamaa Budapesi Közgazdaságudományi és Államigazgaási Egyeem Pénzügy anszék émavezeő: Dr. Száz János Minden jog fennarva Budapesi Közgazdaságudományi és Államigazgaási

Részletesebben

Parametrikus nyugdíjreformok és életciklus-munkakínálat

Parametrikus nyugdíjreformok és életciklus-munkakínálat Közgazdasági Szemle, LX. évf., 213. november (1169 127. o.) Paramerikus nyugdíjreformok és éleciklus-munkakínála A ársadalombizosíási nyugdíjrendszer finanszírozása puszán a demográfiai folyamaok kövekezében

Részletesebben

Rövid távú elôrejelzésre használt makorökonometriai modell*

Rövid távú elôrejelzésre használt makorökonometriai modell* Tanulmányok Rövid ávú elôrejelzésre használ makorökonomeriai modell* Balaoni András, a Századvég Gazdaságkuaó Zr. kuaási igazgaója E-mail: balaoni@szazadveg-eco.hu Mellár Tamás, az MTA dokora, a Pécsi

Részletesebben

AUTOMATIKA. Dr. Tóth János

AUTOMATIKA. Dr. Tóth János UTOMTIK UTOMTIK Dr. Tóh János TERC Kf. udapes, 3 Dr. Tóh János, 3 3 Kézira lezárva:. november 9. ISN 978-963-9968-57-8 Kiadja a TERC Kereskedelmi és Szolgálaó Kf. Szakkönyvkiadó Üzleága, az 795-ben alapío

Részletesebben

2014.11.18. SZABÁLYOZÁSI ESZKÖZÖK: Gazdasági ösztönzők jellemzői. GAZDASÁGI ÖSZTÖNZŐK (economic instruments) típusai. Környezetterhelési díjak

2014.11.18. SZABÁLYOZÁSI ESZKÖZÖK: Gazdasági ösztönzők jellemzői. GAZDASÁGI ÖSZTÖNZŐK (economic instruments) típusai. Környezetterhelési díjak SZABÁLYOZÁSI ESZKÖZÖK: 10. hé: A Pigou-éelen alapuló környezei szabályozás: gazdasági öszönzők alapelvei és ípusai 1.A ulajdonjogok (a szennyezési jogosulság) allokálása 2.Felelősségi szabályok (káréríés)

Részletesebben

Kiadja a Barankovics István Alapítvány Felelős kiadó: a Kuratórium Elnöke Nyomda: Onix Nyomda, Debrecen

Kiadja a Barankovics István Alapítvány Felelős kiadó: a Kuratórium Elnöke Nyomda: Onix Nyomda, Debrecen Van megoldás ISBN 978-963-85524-4-0 Kiadja a Barankovics Isván Alapívány Felelős kiadó: a Kuraórium Elnöke Nyomda: Onix Nyomda, Debrecen Van megoldás Nyugdíjreform A családi ípusú adórendszer bemuaásakor

Részletesebben

É ú ő ú Ö ő ü ü ú í í ö ő ő ő ü ć í Í ú í ű ü ő ő í ő ő ő ö ő í í ú í ű Ĺ ő í ő ő ú ő Ĺ ő Í í ő Ĺ ú ú í ű Í ü ő ő ę ü í í í í í ö Ĺ ő ö ő í ö ű Í ö ú í ű ő ö ú ú Ö ü ö í ö ű Ü ű ö ú Ö ü ę ę ő ú ü ę ő ö

Részletesebben

Gépészeti automatika

Gépészeti automatika Gépészei auomaika evezeés. oole-algebra alapelemei, aiómarendszere, alapfüggvényei Irányíás: az anyag-és energiaáalakíó ermelési folyamaokba való beavakozás azok elindíása, leállíása, vagy bizonyos jellemzoiknek

Részletesebben

Elektronika 2. TFBE1302

Elektronika 2. TFBE1302 DE, Kísérlei Fizika Tanszék Elekronika 2. TFBE302 Jelparaméerek és üzemi paraméerek mérési módszerei TFBE302 Elekronika 2. DE, Kísérlei Fizika Tanszék Analóg elekronika, jelparaméerek Impulzus paraméerek

Részletesebben

Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem. Közgazdaságtani PhD. program

Budapesti Közgazdaságtudományi és Államigazgatási Egyetem. Közgazdaságtani PhD. program Budapesi Közgazdaságudoányi és Állaigazgaási Egyee Közgazdaságani PhD. progra JÖVEDELEMARÁNYOS VISSZAFIZETÉSEN ALAPULÓ HALLGATÓI HITELRENDSZEREK PhD. érekezés Berlinger Edina Budapes 2003 Berlinger Edina

Részletesebben

TÁJÉKOZTATÓ Technikai kivetítés és a költségvetési szabályok számszerűsítése 2011-2012

TÁJÉKOZTATÓ Technikai kivetítés és a költségvetési szabályok számszerűsítése 2011-2012 TÁJÉKOZTATÓ Technikai kiveíés és a kölségveési szabályok számszerűsíése 2011-2012 2009. okóber 21. Az elemzés szerzői: Baksa Dániel, Benk Szilárd, Berki Tamás, Draban Béla, Fehér Csaba, Gerner Vikória,

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG NEVÉBEN!

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG NEVÉBEN! i 7-5'33/07 A Fovárosi Íéloábla 2.Kf.27.561/2006/8.szám "\"?,', " R ".,--.ic-" i" lvöj.bul.lape" evlcz,,-.'{i-.)., Erkze:.. 2007 JúN 1 :szám:......,;.?:j.or; lvi\:dekleek:,""" : Ekiira ik szam ' m.:...,.

Részletesebben

Bevezetés 2. Az igény összetevői 3. Konstans jellegű igény előrejelzése 5. Lineáris trenddel rendelkező igény előrejelzése 14

Bevezetés 2. Az igény összetevői 3. Konstans jellegű igény előrejelzése 5. Lineáris trenddel rendelkező igény előrejelzése 14 Termelésmenedzsmen lőrejelzés módszerek Bevezeés Az gény összeevő 3 Konsans jellegű gény előrejelzése 5 lőrejelzés mozgó álaggal 6 Mozgó álaggal előre jelze gény 6 Gyakorló felada 8 Megoldás 9 lőrejelzés

Részletesebben

RÖVID TÁVÚ ELİREJELZİ MODELL MAGYARORSZÁGRA

RÖVID TÁVÚ ELİREJELZİ MODELL MAGYARORSZÁGRA Közgazdasági és Regionális Tudományok Inézee Pécsi Tudományegyeem Közgazdaságudományi Kar MŐHELYTANULMÁNYOK RÖVID TÁVÚ ELİREJELZİ MODELL MAGYARORSZÁGRA Balaoni András - Mellár Tamás 2011/3 2011. szepember

Részletesebben

ő Öľ ü ú Ö ľ ő ü ó óľ ő ő ü ľ Á ę ö ő ó ę ő ľ ó ĺ ü í ę ę ő ő ó ő ö ö ő ö ó ő ó ü ő ü ő ü ő ę ľ ę í ľ ü ő É ó ó ľ ö ő ó ó Ó ő ó ę ő ö ó ü ő ú í ö ę ú ő ő ü ő ĺ ü ü ĺ í ü ü ö ę ó ľ ü ő ő ę í ő ę ę ő Á ü

Részletesebben

KELET-KÖZÉP EURÓPAI DEVIZAÁRFOLYAMOK ELİREJELZÉSE HATÁRIDİS ÁRFOLYAMOK SEGÍTSÉGÉVEL. Darvas Zsolt Schepp Zoltán

KELET-KÖZÉP EURÓPAI DEVIZAÁRFOLYAMOK ELİREJELZÉSE HATÁRIDİS ÁRFOLYAMOK SEGÍTSÉGÉVEL. Darvas Zsolt Schepp Zoltán Közgazdasági- és Regionális Tudományok Inézee Pécsi Tudományegyeem, Közgazdaságudományi Kar KELET-KÖZÉP EURÓPAI DEVIZAÁRFOLYAMOK ELİREJELZÉSE HATÁRIDİS ÁRFOLYAMOK SEGÍTSÉGÉVEL Darvas Zsol Schepp Zolán

Részletesebben

É Ü Ü ú ú Á Ú ű É ú Ö Ü É Ü Á ű Á Á ú ú ú É Á ú ű É Ö É Á Ú Á ú ú É É ű ű ű Á ű Á ú Á ű ű ű ú Á Á ű ú ú ú ű ű ú ű ú ű Á ÁÁ É Á Á Á ű ű ú Ü É ú ű ű ű ű ű ű Ú Ü ű ű ű ú ú ű ű É ú ű ű Á ú ű É ú Ü Ú Ú Ü Ű

Részletesebben

ü ú Ö ű ĺ ú ö ö ü ĺ ű ú ö ę ö ö ę ĺ í ę Á ö Ó Á ę ú ŕ ö ę ö ö ö ĺ ť Á í ü Ĺ ü ö ü í í í í í ĺ Ö ű ú ĺ ł ö ü ö ű ĺ í ü ę ö í í ę ę ö ę ĺ ö ö ĺ ĺ ö ö í Ę ĺ ĺ ź ś ą ĺ ĺĺ ćą ĺ ĺ ĺ í í Áĺ ö í ö ü ű ö ü ď í

Részletesebben

1 ZH kérdések és válaszok

1 ZH kérdések és válaszok 1. A hőérzee befolyásoló ényezők 1 ZH kérdések és válaok Hőérzee befolyásoló ényezők: - a levegő hőmérséklee, annak érbeli, időbeli elolása, válozása - a környező felüleek közepes sugárzási hőmérséklee

Részletesebben

ő ľ ľü ľ ľ ü Ü Ü ľ ő ľ Ő ń ľü ľ íľ ő ő źů ő í í ü ö ü ľ ź ő ö ü ő ľő ő ö ü źů ź ź í ö ľ ź ő ľ ü ö ö ź ő đí ź ľ ő ö ű í í ö ü ö í í ú ü í ź ő ő í ú í ő Ó ő ü ú í í ú í ú ő ú ľ ő ü ő ü ű ő ő í ü ö ő í ą

Részletesebben

Á É Á É Ü É í ö ö ö í ö ö í í ö í ö Ö ö í í í í Ö ö Ö É ö ö Ö ö É ö Í Í ö ö ö í ö ö ö í ö ö ú ö Í ö Ö ö Ö ö í ö í ú ö Ö ö Ö ö í ö í É ö É í í ö í í ö í É ö ö É É É ö ö í ú í ű ö ö Í ö ö í ö Ü ö ö É ö ú

Részletesebben

Portfóliókezelési keretszerződés

Portfóliókezelési keretszerződés Széchenyi Kereskedeli Bank Zr. Befekeési Szolgálaási Üzleág Porfóliókezelési kereszerződés A Befekeési Szolgálaási Üzleág Üzleszabályzaának 18.sz. elléklee Porfóliókezelési kereszerződés Jelen szerződés

Részletesebben

Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar Közgazdaságtani Doktori Iskola. Ács Attila

Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar Közgazdaságtani Doktori Iskola. Ács Attila Szegedi Tudományegyeem Gazdaságudományi Kar Közgazdaságani Dokori Iskola Ács Aila LIKVIDITÁS ÉS REÁLGAZDASÁG KAPCSOLATA Az Egyesül Államok példáján Dokori érekezés Témavezeő: Dr. Boos Kaalin Dr. Pap Gyula

Részletesebben

A verseny kérdése az oligopol távközlési piacokon

A verseny kérdése az oligopol távközlési piacokon A verseny kérdése az oligopol távközlési piacokon (különös tekintettel a szélessávra) Pápai Zoltán 2 0 1 0. f e b r u á r T a r t a l o m 1. B e v e z e t é s...............................................................

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

A budapesti közlekedési dugók okai és következményei. Összefoglalás

A budapesti közlekedési dugók okai és következményei. Összefoglalás A budapesi közlekedési dugók okai és kövekezményei Összefoglalás A fennarhaó gazdasági fejlődés elengedheelen feléele a jól működő közlekedési hálóza. Az írás legfonosabb célja az, hogy felhívja a figyelme

Részletesebben

Ú Á Ü É ő ö ó ó ő Ü ö Ó ő ú ó ö ő ú ű ű ö ú ö ó ü ö ő öü ő Ú ö Ü ű ó ü ű ő ö ő óü ó ó ő Á Á ó ó Ü ó ó ü Ü ö Á ő ő ó ö ó ü ő ö ó ö ő ó ú ú ó ő ó ó ú ü Ú Á Á É Ü É Ú ü Á É ő ü ÉÉ É Ü ó Ö ó ó ö ö ő óü ó ü

Részletesebben

ĺ ľ ľ ľ ú ĺ ź ľ ü ľ ú ü ľ óľ ľ ö ő ü í ó ĺ ű ó ľ í ő ó ö ö ó ő ľ ĺő ó ö ö ó ľ ľ ö ő ő ő ľ ľ ĺ ö ó í ő ĺő í ő ü Í ő ľ ĺ í ü ö ó ú ź Í ü ó ö ó ö ľ ű ö ő ő ĺ ö ő őőľö ö ľü ü ő ő ó ľ ľ ő őľ Íó ľ ő ó ú ő ľ

Részletesebben

A gazdasági növekedés mérése

A gazdasági növekedés mérése 3. lecke A gazdasági növekedés mérése Nominális és reál GDP, érék-, volumen- és árindex. Gazdasági növekedés és üzlei ciklusok. Hogyan mérjük a gazdasági növekedés? dinamikus elemzés: hány százalékkal

Részletesebben

í Í ő í ú ú ő ö ő í í ö ö í ö ö Á í í í Ű Í Á ü ü í í Ú í í ö ö í Í Ö í ö Í Í ö ö Á ö Í Ö í Í Á ö ö Ö Ü Í É Í í í Í Ö Á Ö ő í í ú í í ő í í É É É É ö ö Ö É ö Á É í í Í Ú Á Ú Ö É Ú Í ö ö ö Á ö Í í í ő ő

Részletesebben

ő ő ź ź ő Ĺ ź ő ő ĺ ü ĺ ľ ĺ ľ ú í ú í ľ í í ĺ ľ í üľ ú ő ľ ő ó í í ľ í ü ö ź đź ü ł ľ ľ ü ź ő ö ő ü ĺí ź ő ľ ĺ ĺí ó ő ź ĺ ź ő ľ ő ĺ í ó ó ő í ń ó ľ ź ĺ ĺ í ľľ ĺ ľĺ Ĺ ű ú í ľ ĺľ ľ ú ľ ľ ĺ ú í ó ľ ľ ó ľ

Részletesebben

Az üzleti döntéshozó tudásmegosztása az e-korszakban

Az üzleti döntéshozó tudásmegosztása az e-korszakban BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM Gazdaság- és ársadalomudományi Kar Műszaki Menedzsmen Gazdálkodás és Szervezésudományi Dokori Iskola Az üzlei dönéshozó udásmegoszása az e-korszakban dokori

Részletesebben

ö á é á á á á ö é ő á é é í é ü é í á é ő é í ő á á á á ö é é í á á á á á é ő á á é é ő é á é é ő é é á ő á á í é é é ö ö ö ö é é á í ö í é é éé ö á á á ö á á á é ú é é ö ü ő á é é ű ö é Ó Á Ó é é é É

Részletesebben

ÉPÍTÉSZ MŰSZAKI LEÍRÁS Tárgy: 5 lakásos lakóépület PRIZMAHÁZ Engedélyezési terv Helyszín: 1021 Budapest, Budenz út 12/b, HRSZ.: 10988/4 Tervező: Csongrádi János okleveles építészmérnök É-1 01-0795 1038

Részletesebben

A monetáris aggregátumok szerepe a monetáris politikában

A monetáris aggregátumok szerepe a monetáris politikában MNB-anulmányok 71. 2008 KOMÁROMI ANDRÁS A moneáris aggregáumok szerepe a moneáris poliikában A moneáris aggregáumok szerepe a moneáris poliikában 2008. január Az MNB-anulmányok sorozaban megjelenõ írások

Részletesebben

ú ú ą ę ę ą ů ő ú Ö ő ü ü ö í Á ł Í ń ö őł ü ő ö í ö őí ö í ö öń ő í ö í ö ü ö í ő ü ő ö ú ő Éś í ő ő ý ő źí ö ö ł ć ć ř ł ő ÍÍ ź ő É ćí ńę Ęł žź í ř í ć đ žš žě ł đć ű ť ť ť ť ť ť ť ů Ł ę ł ć ö ć ł Í

Részletesebben

Kollégáimmal arra az elhatározásra jutottunk, hogy kicsit átfabrikáljuk, napra késszé tesszük cégünk magazinjának első számát.

Kollégáimmal arra az elhatározásra jutottunk, hogy kicsit átfabrikáljuk, napra késszé tesszük cégünk magazinjának első számát. Üdvözlöm! Kollégáimmal arra az elhaározásra juounk, hogy kicsi áfabrikáljuk, napra késszé esszük cégünk magazinjának első számá A magazin célja ugyanaz, min a miénk, azaz levenni azoka a erheke az Ön válláról,

Részletesebben

M ISKOLCI E GYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR VÁLLALKOZÁSELMÉLET ÉS GYAKORLAT AKKREDITÁLT DOKTORI PROGRAM PROGRAMVEZETŐ: PROF. SZINTAY ISTVÁN, CSC.

M ISKOLCI E GYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR VÁLLALKOZÁSELMÉLET ÉS GYAKORLAT AKKREDITÁLT DOKTORI PROGRAM PROGRAMVEZETŐ: PROF. SZINTAY ISTVÁN, CSC. M ISKOLCI E GYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR VÁLLALKOZÁSELMÉLET ÉS GYAKORLAT AKKREDITÁLT DOKTORI PROGRAM PROGRAMVEZETŐ: PROF. SZINTAY ISTVÁN, CSC. Galbács Péer Akív szabályozás, vagy gazdaságpoliikai nihilizmus?

Részletesebben

LIKVIDITÁS ÉS REÁLGAZDASÁG KAPCSOLATA Az Egyesült Államok példáján

LIKVIDITÁS ÉS REÁLGAZDASÁG KAPCSOLATA Az Egyesült Államok példáján Szegedi Tudományegyeem Gazdaságudományi Kar Közgazdaságudományi Dokori Iskola Ács Aila LIKVIDITÁS ÉS REÁLGAZDASÁG KAPCSOLATA Az Egyesül Államok példáján Dokori érekezés ézisei Témavezeő: Dr. Boos Kaalin

Részletesebben

Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben

Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben Kehl Dániel Dr. Sipos Béla Excel parancsfájlok felhasználása a saiszikai elemzésekben (Okaási segédle) Pécsi Tudományegyeem Közgazdaságudományi Kar Pécs,. Íra: Dr. Sipos Béla egyeemi anár, PTE KTK Az Excel

Részletesebben

ú ľ Ę ú Ü ó Ą Í ő ź ť ö ľ í í ľ ú ý í ő ú ľ í ź ę í ľ ö ó Š źľ ĹÍ ö í ö ő ó ó ö í ú ł Á Á ľ Ü Ü ő í ő ú í ő ő Ó í Ü Ó Ü ú Ü Ö Ó Ö Ö Ö Ó í Ö í Ó Ö í Ü Ö Ó ó Ó ä Ö í Ö í Ü Ó í Ö Ü ö í ő Ö Ó Ü ó Ö Ó í Ó ó

Részletesebben

LS A FELFOGATÁS FEJLÕDÉSE EV

LS A FELFOGATÁS FEJLÕDÉSE EV FFGÁ FJÕDÉ H F CG yá ó WWWBF KFC D FFGÓ KÉZÜÉKK É ÁK KDBÖGZÍÉ D CG Q D C Y 02 ÖÉ/HY é köü ááú á íák, k 1979-, y ó kööé á, 1 9 7 9 kõö ó é é, y y k ó kéüékk yááá ó áóá j óáják, õéék é áó,, q kk áóák kööõ

Részletesebben

ú Ĺ ú ő Í ö ű ö ő ő Ĺ Í ő ö í ű ö ó ö ő ó ó ő ö ó ö ő í ö ő ó ó ő ö ú ť ö ő ő Ö ó ó í í Ĺ ö ő ó ó ö ó í Ĺ ť í ú ćą ő ö ö ő Ĺ Ĺ ó ú ó đ ó ń ő í ó í ö ź ń Í Ö ú ę ő ó ö ó ő ö í í ó í ó í ó ű ő ó ź í ö ö

Részletesebben

ó ó ü ľ ó ü ó ľ ü ń ó ó ó ö ę ź ź ö ö ö ö ę ę ö ó ľ ó ę ź ó ö ó ź Ĺ ź ó ť ú ü ű ö ó ź ó ö ó ö ľ ö ľ ń ó ľ ź ű ö ń ó ź ź ť ľ ó ľ ź ü ť ź ó ü ť ö ó źů ý ťü ľ ú ó ď ľ ľ ľ ľ ó ó ľ ń ľ ľ ö ó ľ ó ľ ö ź ó ľ ľ

Részletesebben

1997. évi LXXXI. törvény. a társadalombiztosítási nyugellátásról, egységes szerkezetben a végrehajtásáról szóló 168/1997. (X. 6.) Korm.

1997. évi LXXXI. törvény. a társadalombiztosítási nyugellátásról, egységes szerkezetben a végrehajtásáról szóló 168/1997. (X. 6.) Korm. 1997. évi LXXXI. örvény a ársadalombizosíási nyugelláásról, egységes szerkezeben a végrehajásáról szóló 168/1997. (X. 6.) Korm. rendeleel [A vasag beűs szöveg az 1997. évi LXXXI. örvény (a ovábbiakban:

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Ť ľ ľ ü ł ü ľ Ü ö ú ľ ü ľ Ü ö ú ű í ö ú ü í ľ ü í ü ľ ö í ü ľ Í í Ü ľ ö ú ľű í ú ľ ö ú í ź ö ü ú í ű ľ ö í ü ľ ű ö í ę Ö ľ ú í ľ ú í ť í í ľ ö ö ü ü ź Ą ű ú í ü ü í í ö ü ü ö ú ö ű ľ ľ ľľ í ľľ ę ľ í Í

Részletesebben

Portfóliókezelési keretszerződés

Portfóliókezelési keretszerződés Porfóliókezelési kereszerződés Válaszo befekeési poliika Jelen szerződés lérejö alulíro helyen és napon a Random Capial Broker Zárkörűen Működő Részvényársaság (székhely: H-1053 Budapes, Szép u.2., nyilvánarja

Részletesebben

Kóbor Ádám. A piaci kockázatmérési eszközök alkalmazási lehetoségei a pénzügyi stabilitás elemzésében

Kóbor Ádám. A piaci kockázatmérési eszközök alkalmazási lehetoségei a pénzügyi stabilitás elemzésében Kóbor Ádám A piaci kockázamérési eszközök alkalmazási leheoségei a pénzügyi sabiliás elemzésében Befekeések Tanszék Témavezeo: Dr. Király Júlia Copyrigh 3 Budapesi Közgazdaságudományi és Államigazgaási

Részletesebben

Közgazdasági idősorok elemzése X-11/12 ARIMA eljárással

Közgazdasági idősorok elemzése X-11/12 ARIMA eljárással Közgazdasági idősorok elemzése X-11/12 ARIMA eljárással 1. Az idősor-elemzés menee Az idősor-elemzés célja, hogy a közgazdasági aralmú idősor hosszú ávú és rövid ávú viselkedésé egyérelmű módon széválassza,

Részletesebben

SZÁMVEVÕSZÉKI KONFERENCIA Közpolitikai kihívások az új évtizedben

SZÁMVEVÕSZÉKI KONFERENCIA Közpolitikai kihívások az új évtizedben Taralom SZÁMVEVÕSZÉKI KONFERENCIA Közpoliikai kihívások az új évizedben Közpoliikai kihívások az új évizedben 403 CSAPODI PÁL: Kihívások a számvevõszéki ellenõrzés elõ, az ÁSZ anácsadó szerepe 405 PULAY

Részletesebben

Hatvani István Fizikaverseny 2014-15. 3. forduló megoldások. 1. kategória. 7. neutrínó. 8. álom

Hatvani István Fizikaverseny 2014-15. 3. forduló megoldások. 1. kategória. 7. neutrínó. 8. álom 1. kaegória 1.3.1. 1. CERN 2. PET 3. elekronvol. ikloron 5. Porozlay. Fiziku Napok 7. neurínó 8. álom 9. környezefizikai 10. Nagyerdő A megfejé: SZALAY SÁNDOR Szalay Sándor (195-1975) köveő igazgaók: Berényi

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

ę ź ü ľ ľ ľ ü ü ľ ö ź ź ź É Íľ É É Ü Ü Á É Í Á Á É É É Á ą Ĺ É Ü É ł Ł ľé Á ľ ü ľ ü ü ľ ľ ź Á ľ ľ ö ö ö ľ ö đ ľ ź Ĺ ú ü ü ö ź ź Ĺ ü Ü Á ś ö ö ľ ü ľ ö ü ö ö ö đ ö ź ö ö ö ö ö ľ ľ ö ü ü ź ý ö ľ Đ ź ź ľ ű

Részletesebben

ő í í ü í ö ú í ö ú ö í ú ő í Ó ő ü í Í ö ö Í í í í í Í í ű ő ö í ő ö ö íá í íí í ő ö ő Í ö Ó ö ö ü ö ö ö ő É í í Í ő ő ő ő ő ő ő ő ö ú ő ú ú ő ö ö ú ú ö ú í ő Ó ö ő Í í ü í ö ú ő ö ő ú ő í ő ö ü Í í ö

Részletesebben

Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö

Részletesebben

ľ ő ľü ő ő ü ľ ü ö ő ł ő ü ü ő Á É Á Ú É Ü É ő ú ő ő ľ ő üľ ľ ľ ő ő ľ Á Á É Á Ú Ó É Ü É Á Á ő Ĺ ź ľ ő ľ ő ľ ü ő ő ľ ő ő ľ ő Í ő ő ő ú ľ ő ľ É Í É ő ő ľ ö ő ő ő ľ ľ ő ľ ő ľ ü ö ú ŕ ő ľ ľ ő ő ľ ő ő ľ ő ő

Részletesebben

Hitelkérelmi adatlap egyéni vállalkozások részére Útdíj Hitelprogram

Hitelkérelmi adatlap egyéni vállalkozások részére Útdíj Hitelprogram Hielkérelmi adalap egyéni vállalkozások részére Údíj Hielprogram (a hielkérő egyéni vállalkozás elnevezése) A hielkérelmi adalap ávéele nem köelezi a KAVOSZ Vállalkozásfejleszési Zr.- a hielnyújásra! Az

Részletesebben

ő ü ó ő ő ő ľ Ő É ú ü ľ ű ľ ľ ľ ü ľ ĺő ő í ó í ü ö ö ü ő ź ö ö ź ó ú ö ú ú ő ú ö ő ö ó ó ő ľü íľ ó Á í ú ó ĺ ú ő ű ľ ľ ó ź ü ź ó ő ó í ó í ő ü ľ ü ő ű ü Ĺ ú ľ ú í ő ö ő ö ú ő ö ö ľ ú ť ő ľ ĺ ő ó ó ú í

Részletesebben

ó í ó ĺźĺí ĺí í Íĺ Í í ľ ľ ú ľ í ú í ĺ ó í ó ó ó ľ ľ í ľ ü ű ö ę ő ó ó ő ę ü ó í í ő í ú ľ ľ ó ó ó ó íľ ő ý ő ó ľ í ä í ó ö ő ó ó ó ę ő í ó ľ ü ó ú ć ä ő ó ú ó ń ő ú ó đ ĺ ú í ű ó í ó ú ú ú ú ő ö ú ú ú

Részletesebben

Oktatási segédlet. Hegesztett szerkezetek költségszámítása. Dr. Jármai Károly. Miskolci Egyetem

Oktatási segédlet. Hegesztett szerkezetek költségszámítása. Dr. Jármai Károly. Miskolci Egyetem Okaás segédle Hegesze szerkezeek kölségszámíása a Léesímények acélszerkezee árgy hallgaónak Dr. Járma Károly Mskolc Egyeem 013 1 Kölségszámíás Az opmálás első sádumában és alkalmazásakor álalában a ömeg,

Részletesebben

DFG/TFG 316-435 DFG 316 DFG 320 DFG 425 DFG 430 DFG 435 TFG 316 TFG 320 TFG 425 TFG 430 TFG 435. Használati utasítás 09.14 - 11.14

DFG/TFG 316-435 DFG 316 DFG 320 DFG 425 DFG 430 DFG 435 TFG 316 TFG 320 TFG 425 TFG 430 TFG 435. Használati utasítás 09.14 - 11.14 DFG/TFG 316-435 09.14 - Használai uasíás 51287768 11.14 U DFG 316 DFG 320 DFG 425 DFG 430 DFG 435 TFG 316 TFG 320 TFG 425 TFG 430 TFG 435 Megfelel ségi nyilakoza Jungheinrich AG, Am Sadrand 35, D-22047

Részletesebben

ú ű ö Á ü ú ú ű ú Ú Á Á Á Á É Í Á Á Á Á É É É Á ö ő Í Í ő Í Í ö ő ő Í ő ü ö ö ő ő ú Íő ü ö ő ú Í ő ü ö Á É Ö Í ö ö Í Á Á É Ö É ö Á Í É Á ö ö ö ö ő ú ö ü ü Á É É ő ő Í ü ő ú ú ü ő ö ő ő ő ö Ú Ő É Á Á Á

Részletesebben

É Ü É ÉÉ Ú ű ű É Á Á Á Á Á Á ű Á Á Á É Ú Ö ű ű É ű É ű Ú ű ű ű ű É Á ű ű Á ű ű ű Ü Ü Ú Ü ű ű ű Ú Ö Ó Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú Ú Ö Á ű ű ű ű Ü ű Ü ű ű Ü ű ű Ü Ú Ú Ö ű Á Á ű ű ű Ú Ü Ü ű ű ű ű Ú Ú Ú ű Ü ű ű

Részletesebben

Ú Í Í í í ú Ő ü Ú É í í Ü ű ü ű í í í ű ü ú ü í ű ü ú ü ú ü ü ü ű ü Ú É í ú ü ü ü ú ü ü ú í ü ü ú ü í í ú ű í ú ű ü í í ü í Í í í ü í ú Ü Ú É í í í ü ü ü ú ú ü ü ú ü ü ú ú í í ű ü ü ü ű Á ü ú ű í í ü ü

Részletesebben

Piaci mikrostruktúra és likviditás

Piaci mikrostruktúra és likviditás . KILENCEDIK ÉVFOLYAM 6. SZÁM 539 MICHALETZKY MÁRTON Piaci mikrosrkúra és likvidiás A anlmány hármas céllal íródo. Egyrész röviden ismerei a iaci mikrosrkúra szakerüleé, legfonosabb kaási kérdései és alafogalmai,

Részletesebben

EFG 213-320. Használati utasítás 09.09 - 03.13. EFG 213 EFG 215 EFG 216k EFG 216 EFG 218k EFG 218 EFG 220 EFG 316k EFG 316 EFG 318k EFG 318 EFG 320

EFG 213-320. Használati utasítás 09.09 - 03.13. EFG 213 EFG 215 EFG 216k EFG 216 EFG 218k EFG 218 EFG 220 EFG 316k EFG 316 EFG 318k EFG 318 EFG 320 EFG 213-320 09.09 - Használai uasíás 51151944 03.13 U EFG 213 EFG 215 EFG 216k EFG 216 EFG 218k EFG 218 EFG 220 EFG 316k EFG 316 EFG 318k EFG 318 EFG 320 Megfelel ségi nyilakoza Jungheinrich AG, Am Sadrand

Részletesebben

!"#$% $ &!'!()*+,-!+., -!&5 4!+ 32$$ 6,.32!$

!#$% $ &!'!()*+,-!+., -!&5 4!+ 32$$ 6,.32!$ !"#$% $ &!'!()*+,-!+., /0$!# -!1,!23-32*2$$1$'4 -!&5 4!+ 32$$ 6,.32!$ -!&7$$8+ -!&+92: +!'2:-3!$$22$;2-!$7$-3$2< #-439=*'$+$-3>>2>2-&.-3$!9390 9$-328!0!09$-;>:>0?$#+*'$*0'?$ $39'.#-$@0:$$>9-$:!*!-A;9-9$-3

Részletesebben

STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN

STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Polgárné Hoschek Mónika Nyuga-magyarországi Egyeem Sopron. STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN Érekezés dokori (PhD) fokoza elnyerése érdekében

Részletesebben