Valek Béla. Modern Fizika Kézikönyv I. Általános Relativitáselmélet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valek Béla. Modern Fizika Kézikönyv I. Általános Relativitáselmélet"

Átírás

1 Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle

2

3 Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle A dokumenum bámely észé, vagy egészé ilos anyagi haszonszezés céljából sokszoosíani, amennyiben aól az íó máskén nem endelkezik. A dokumenum egyébkén szabadon felhasználhaó, amennyiben ez az oldal aalmazza és foáskén meg van jelölve. Valek Béla, A könyv a kövekező szabad szofveek felhasználásával készül: OpenOffice.og 3..1 Copyigh 000, 010 Oacle és/vagy leányvállalaai. A eméke az OpenOffice.og alapján készíee: FSF.hu Alapívány. Maxima 5..1 using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL.6.8 (a.k.a. GCL) Disibued unde he GNU Public License. Dedicaed o he memoy of William Schele. Euphoia Inepee fo 3-bi DOS Copyigh (c) Rapid Deploymen Sofwae 007

4 Bevezeés Bevezeés Ez a sooza példákon és levezeéseken keeszül muaja be a moden fiziká. A émák felépíése a hagyományos udományöénei vonal helye pakikus szemponoka köve. Előszö felépíjük azoka a maemaikai keeeke, melyeken belül az ado modellek mozognak, majd hiányalanul levezejük a legfonosabb kövekezményeke, és fiss kísélei eedményekkel vejük őke össze. A köeek felhasználhaóak a szakeüleükön efeenciaanyagnak, illeve alkalmas önálló anulása is az egyes émákban. Az egyeemi okaásban gyakolaok segédeszközekén ehenek hasznos szolgálao. Az első köe az álalános elaiviáselméleel foglalkozik. A megnevezésnek csupán udományöénei oka van, az elmúl évszázadban egymás uán nyeek kísélei igazolás Einsein elméleének kövekezményei. Klasszikus eüleől van szó, ahol évszázados udományfilozófiai gondolaok nyeek maemaikai megfogalmazás, majd kísélei bizonyíás. Fonos megjegyezni, hogy az a hagyományos mechanikai világkép, amiől sokszo az állíjuk, hogy könnyebben felfoghaó, valójában egy félkész szellemi emék. Az álalános elaiviáselméle alapfelevései héköznapi apaszalaokból meíenek. A é göbülségének belőlük kövekező felismeése valójában a Föld gömbölyű alakjának a megééséhez hasonló, és ha a maemaikai alapokkal iszában vagyunk, nem is köveel komoly képzelőeő. Az Olvasóól feléelezek némi felsőfokú alapismeee maemaika, és a hagyományosabb fizikai ágyak köében, de csak annyi maemaikai ejengősség van a könyvben, amennyi a fizikához felélenül szükséges. A diffeenciálszámíás hagyományos jelölései használjuk, illeve indexes mennyiségeke. A fizikai levezeésekben mindenhol az SI-méékendsze használjuk Valek Béla 4

5 Bevezeés Taalomjegyzék Bevezeés...4 Ábajegyzék...8 Megfigyelések...9 Jelölések és állandók Alapok Koodináa-endszeek Tenzook Kovaiáns deiválás Konnexió ulajdonságai Roáció Páhuzamos elolás Konnexió és meikus enzo Legövidebb ú Meikus enzo kovaiáns deiválja Göbe meni deivál Auopaallel egyenesek egyenlee Geodeikus menén megmaadó mennyiségek Göbüle Páhuzamos elolás zá kö menén Egyenesek elhajlása Inegálás Vaiáció és haáselv Runge-Kua közelíés Példák Kédimenziós felüle göbülee Sík Henge Kúp Gömb Paaboloid Hipeboloid Bolyai sík Kaenoid Helikoid Hipebolikus paaboloid Tóusz Sík és álalános éidő Sajáidő Loenz-anszfomáció Sebesség és gyosulás összeadása A fény abeációja Dopple-effekus Események soendje Enegia és lendüle Relaiviszikus akéa

6 Taalomjegyzék 3.9 Fénynél gyosabb észecskék Kömozgás és Thomas pecesszió Gaviációs vööselolódás Gömbszimmeikus éidő Gömbszimmeikus koodináa-endsze Schwazschild-koodináák Geodeikus egyenleek Gaviációs vööselolódás Féegjáa Newoni közelíés Kö alakú pálya Felszíni gyosulás és lebegés Geodeikus pecesszió Köpályák sabiliása Napközelpon vándolása Fényelhajlás Áapály Zuhanó pálya Izoóp koodináák Gaussi poláis koodináák Fogó Schwazschild-koodináák Kuskal-Szekees koodináák Kuskal-Szekees éidő Fogó fekee lyuk éideje Tengely-szimmeikus éidő Ens-egyenle A Ke-megoldás levezeése Koodináaszingulaiások Vööselolódás Téidő csavaodása Egyenlíői köpálya Ke-Schild meikák Tomimasu-Sao éidők Anyagi közegek éideje Enegia-impulzus enzo Einsein-egyenle anyagi közegben Ideális folyadék Gömbszimmeikus égies Állandó sűűségű gömb Zuhanás a középponba Relaiviszikus po Összeomló gömb alakú pofelhő Elekomágneses kölcsönhaás Elekomágneses hullámok Klein-Godon egyenle Poca egyenle Diac egyenle Weyl egyenle

7 Taalomjegyzék 7. Gaviációs hullámok A meikus enzo felbonása A meika vizsgálaa Síkhullám megoldások Másodendű közelíés Példák Világegyeem éideje Feléelezések Poziív göbüle Negaív göbüle Nulla göbüle Kozmológiai vööselolódás Hubble övény Síkbeli geomeia Álalános Fiedmann-egyenleek Világmodellek...6 Függelék...66 A.1 Makoszkopikus kölcsönhaások egyesíése...66 A. Elekomosan ölö gömbszimmeikus fekee-lyuk...7 Összefoglalás...83 Iodalomjegyzék...84 Tágymuaó

8 Taalomjegyzék Ábajegyzék Galilei, Clausius, Maxwell, Einsein, Kaluza...1 sík deékszögű koodináákkal...49 sík poláis koodináákkal...50 henge...50 kúp poláis koodináákkal...51 kúp deékszögű koodináákkal...51 gömb poláis koodináákkal...5 gömb deékszögű koodináákkal...53 paaboloid poláis koodináákkal...55 paaboloid deékszögű koodináákkal...55 egypalású hipeboloid...57 képalású hipeboloid poláis koodináákkal...58 képalású hipeboloid deékszögű koodináákkal...58 akoid...60 kaenoid...61 helikoid...6 hipebolikus paaboloid...63 óusz...66 Minkowski koodináa-endsze...69 féegjáa poláis koodináákkal féegjáa deékszögű koodináákkal lebegő es gyosulása geomeiai poenciál...15 gaviációs lencse áapály - Nap haása a Földe áapály - fekee lyuk haása póbaese zuhanó es pályája sajáidőben zuhanó es pályája koodináa időben...14 Kuskal-Szekees koodináák eljes féegjáa poláis koodináákban eljes féegjáa deékszögű koodináákban Kuskal-Szekees éidő fogó fekee-lyuk hosszmesze zuhanás égies belsejében...09 gyosulás égies belsejében...10 összeomló pofelhő

9 Megfigyelések Megfigyelések Lehe, hogy csak az ézékszeveink csapnak be minke, de nem éezzük, hogy a Föld közel 30 km/másodpeces sebességgel száguld a Nap köül. Valójában, az sem udjuk megmondani egy óceánjáó belsejében, hogy a kiköőben vagyunk-e még, vagy má a nyíl vízen szeli a haboka. Az igazság az, hogy nemcsak mi nem udjuk, (ideális eseben) a műszeeink sem észlelik a különbsége. Lehe, hogy csak ponalanok, de az is lehe, hogy valami elvi dolog akadályoz meg minke benne, hogy megállapísuk az abszolú sebességünke. Ez a Galileo Galileiől számazó elaiviási elv. Az idő egy iányba öénő haladása, vagyis az ok és kövekezmény soendje annyia magáól éeődő, és emészees apaszalaunk, hogy egész meglepő, ha ez még ki is kell jeleneni. Súlyos logikai poblémák meülnének fel, ha nem így lenne, mégsem mondhaunk más, min hogy eddig nem apaszalunk más. Ennek a gondolanak akko le nagy jelenősége, amiko Rudolf Clausius felismee az enópiá, melynek a válozása kijelöli az idő iányá. Vegyük azonban figyelembe, hogy ezzel a éellel semmi nem állíounk az idő múlásának méékéől, vagy méékének állandóságáól. A fény ézékelheelenül gyosan ejed a mi fogalmainkhoz képes. Azonban má eze évvel ezelő Ibn al-hayham aab udós felveee, hogy egy ejedő jelenségől van szó, aminek ennél fogva ejedési sebessége kell, hogy legyen. Csillagászai méeű jelenségek eseében vesszük csak észe, illeve a mi szemünknél övidebb eakcióidejű műszeeink ézékelheik. Igen fonos az, hogy a sebessége vákuumban mindenko egyfaja, és állandó, minden megfigyelő számáa, függelenül a mozgásállapoukól, aminek az elmélei megalapozásá James Clek Maxwell egyenleei adják. Annyia megbízunk ebben a apaszalaban, hogy a ávolság egységének, a mée definíciójának az alapjául válaszouk SI egységekben. Ha ez nem így lenne, akko például egy nagyon gyos jámű lehagyhaná, és a fedélzei műszeek má nem a megszoko ééke ménék. Ezzel viszon meghaáozhanánk az abszolú sebességünke, amiől úgy udjuk, hogy leheelen. Űhajósjelölek a paabolikus pályán zuhanó epülőgépben (a hányaógépben ) övid időe megapaszalhaják a világűbeli súlyalanságo. Vidámpaki szimuláook pedig háadönik a láogaóika, bá csak a sajá súlyuka ézik, mégis az hiszik, hogy gyosulnak. Ha hielen elindulna közben a eheauó, amie felszeelék a beendezés, a ben ülők nem udnák megállapíani, hogy ényleg gyosulnak-e, vagy csak hanya fekszenek az ülésben. Ismé ké megkülönbözeheelen jelenség, ehá jelensük ki hogy megegyeznek, ez Albe Einsein ekvivalencia-elve. Elekomágneses haása gyosuló esek úgy viselkednek, minha gaviáció hana ájuk, hasonló apaszalai övény íja le a mozgásuka. Viszon ez az eő függ aól, hogy van-e eedő ölésük, ső nem csak vonzani, aszíani is képes. Ennek ellenée az álalános elekomágneses és gaviációs ében mozgó észecske pályájá le lehe íni iszán geomeiai eszközökkel, ahogy az Theodo Kaluza megmuaa. A megfogalmazo kijelenésünk lényegében az fogja jeleni, hogy a ölö műsze nem mé különbsége gaviációs, elekomos gyosulás, vagy a súlyalanság állapoa közö. Az álalános elaiviáselméle ezeken a megfigyeléseken alapszik, és a éidő viselkedésé íja le, illeve a kölcsönhaásá a benne lévő anyaggal. Ezzel léehoz egy keee, amiben az összes öbbi fizikai modell leíhaó. 9

10 Jelölések és állandók Jelölések és állandók A könyv folyamán végig az indexes jelölésmódo használjuk. Az indexek mindig egybeűsek, és a kövekező ábláza összefoglalja, hogy hol és milyen jelenéssel használjuk őke: eek szabad indexek összegzési indexek 3D-s é (1 3) álalános é (1 N) i, j, k, l, m, n a, b, c, d, e, f 4D-s éidő (0 3) η, κ, μ, ν, ξ, σ α, β, γ, δ, ε, ζ 5D-s éidő (0 4) spino-é (1 4) P, Q, R, S, T, U A, B, C, D, E, F Az egyenleek ké oldalán ugyanannyi szabad indexnek kell lennie, hiszen valójában annyi egyenleünk van, amennyi a dimenziók száma szoozva a szabad indexek számával: v i =a u i b i v 1 =a u 1 b 1, v =a u b, v 3 =a u 3 b 3 Azoka a agoka amelyekben összegzési indexek vannak, összegzés kell éeni, mégpedig annyiszo amennyi a dimenziók száma: N s=v a u a = v a u a =v 1 u 1 v u v 3 u 3 a=1 A Konecke-dela: i j = { 1, i= j 0, i j A koodináa-endszeeke, amikben az egyes mennyiségek fel vannak íva, bal alsó saokban lévő indexszel jelezzük. Különböző ponokban felí mennyiségeke különböző beűkkel jelöljük, ahol csak leheséges. Kéindexű máix deeminánsa kiszámíhaó a kövekező ekuzív képleel: M ij = 1 a 1 M 1 a M i 1 j a Késze konavaiáns meikus enzo komponenseinek kiszámíása késze kovaiáns meikus enzoból: g kl = 1k l g i k j l g ij A Lambe-függvény deiválja és inegálja: dw x dx 1 = e W x W x1 W x dx= x W x 1 W x 1 C 10

11 Jelölések és állandók Temészei állandók: fénysebesség: c=, m s gaviációs állandó: =6, m 3 Idő és ávolságegységek: kg s Júlián év: csillagászai egység: fényév: pasec: 1a=365,5 nap=3, s 1 AU =1, m 1 fényév=9, m 1 Pc=3, m =, AU =3, fényév 11

12 1. Alapok 1. Alapok Ebben a fejezeben bevezejük az a maemaikai nyelvezee, ami az álalános elaiviáselméle használ. A célunk az, hogy méheő mennyiségeke aláljunk, amikkel a öbbdimenziós felüleeke jellemezni udjuk. Ezzel a poblémával a diffeenciál-geomeia foglalkozik, és az alkalmazo módszeek hasonlóak azokhoz, amike a földméők használnak. Maga a geomeia szó is földméés jelen, mely évén a émánk egy ősi udományhoz kapcsolódik, melye má az anik világban is nagy szakéelemmel művelek. Amíg a geodéák a Föld göbül felszíné, mi a göbül éidő fogjuk feléképezni, de a céljaink ponosan ugyanazok: ájékozódni, ávolságoka méni, vagy megkeesni a legövidebb ua ké pon közö, és így ovább. Láni fogjuk, hogy a ée vonakozó naiv, földhöz agad feléelezésekből kiindulva endkívül álalános, válozaos ulajdonságokkal endelkező geomeiá lehe felépíeni, melyben az összes fonos geomeiai mennyisége meg udjuk haáozni. Ebből levonhajuk magunknak a anulságo, hogy amiko az egyszeű sík éől gondolkozunk, valójában számos ki nem mondo megköéssel és feléelezéssel élünk, melyek nem kövekeznek auomaikusan a kezdei feléeleinkből. 1.1 Koodináa-endszeek Képzeljünk el egy eszőleges ee, melynek a ponjai egyedi számsookkal különbözejük meg, melyeke úgy válaszunk meg, hogy egymáshoz közeli ponok eseén a számsook száméékei is közel essenek egymáshoz. A számsooka annyi szám alkoja, amennyi a ponok egyéelmű azonosíásához felélenül szükséges. Más szóval egy koodináa-endsze veszünk fel benne, ahol a számsooka koodináavekooknak, az őke alkoó számoka pedig koodinááknak hívjuk, melyeke megállapodás szein jobb felső indexszel jelölünk. Az x pon helyzeé jelölő koodináaveko i.-ik eleme: x i (1.1.1) Ezek a számsook emészeesen nem kizáólagosak, eszőlegesen úja lehe számozni a é ponjai. Ha más logika szein oszjuk ki a soszámoka, egy másik koodináa-endsze veszünk fel, ami egy -essel jelölünk a bal alsó saokban, ahol a koodináák függenek az első koodináaendszeben felve koodináákól: x i = x i ( 1 x j ) (1.1.) Rendeljünk hozzá a é minden ponjához egy számo, vagy más néven skalá. Egy skalámező a ponok függvényében adunk meg, ennek az úgyneveze skaláfüggvénynek az ééke egy ado ponban emészeesen függelen a koodináa-endszeől: x i x i = x i 1 (1.1.3) Válasszunk egy koodináa-endszeben ké különböző pono: 1

13 1.1 Koodináa-endszeek x i y i = x i + Δx i (1.1.4) A skalámező ezekben a ponokban felve éékeinek különbsége nem függ aól, hogy milyen koodináa-endsze válaszounk: x i = x i 1 y i 1 = x i y i (1.1.5) A mező éékének válozási sebessége a koodináák szeini paciális deiválja: lim x 0 x i x i x i = xi x i x i Ez megszoozva a mege úal megkapjuk a mező éékének válozásá egy koodináa menén. A mező éékének infiniezimálisan kicsi eljes válozásá úgy közelíjük, hogy egyszeűen összeadjuk a válozásoka az egyes koodináák menén, így megkapjuk a eljes deivála, ahol az a indexe a jelölésendszeünk szabályai szein összegzés végzünk: d = lim x 0 x i x i x i x a x a = xi dx a x a Így ha végelenül kicsie csökkenjük a ké pon közöi ávolságo, akko az a kövekezőképpen udjuk deiválakkal kifejezni ké különböző koodináa-endszeben: d = a 1 x a 1 dx = a x a dx (1.1.6) A skalámező éékének koodináánkéni válozása függ aól, hogy milyen koodináa-endsze alkalmazunk. Megvizsgáljuk, hogy a válozás az egyik koodináa menén mekkoának lászik a másik koodináa-endsze koodináái menén. Hogy kevésbé legyenek zsúfolak a képleek, a ovábbiakban öbbnyie elhagyjuk az 1-es indexe. d = x a dxa / 1 x i x i = x a x a x i (1.1.7) Ezzel megkapuk a skalámező paciális deiváljának anszfomációjá. A koodináa-diffeenciál anszfomációjához behelyeesíjük a koodináaválozás: dx i = xi x a dxa (1.1.8) A keejük skalászozaa a eljes deivál, ami koodináa-endszeől függelen: 13

14 1.1 Koodináa-endszeek dx a x a = xb x b xa x a x c dxc = (1.1.9) x b dxb Végelenül kicsi elmozdulás eseén mindké koodináa-endszeben váloznak a koodináák. A válozások kölcsönös aányai a ké koodináa-endsze közö a anszfomációs máixo alkoják: i j = xi x j 1 i 1 j = xi x j (1.1.10) Azoka a mennyiségeke, melyek úgy anszfomálódnak, min a skalámező paciális deiváljai, elnevezzük kovaiáns vekooknak, melyek a é ponjai ugyanúgy beszámozhaják, csak egy másik logika szein. I az index megállapodás szein a jobb alsó saokba keül: x = i x a a i v i = x i Kovaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a skalámező paciális deiváljai: v i =v a xa x i =v a i a (1.1.11) Azoka a mennyiségeke pedig, melyek úgy anszfomálódnak min a koodináa-diffeenciálok, elnevezzük konavaiáns vekooknak. I az index helyzee nem válozik: dx i = xi v i =dx i x a dxa Konavaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a koodináa-diffeenciálok: v i = xi i = x a va a v a (1.1.1) Ha felcseéljük a koodináa-endszeeke, akko a fodío anszfomációs képleek a kövekezők: v i = xi v a x a = i a v a v i = v a x a = v x i a a i (1.1.13) A diffeenciál ecipoka úgy anszfomálódik min egy kovaiáns veko: 1 dx i = 1 1 i a dx = xa 1 a x i dx = a i a 1 dx a (1.1.14) 14

15 1.1 Koodináa-endszeek A feniekből kövekezik, hogy a kovaiáns és konavaiáns vekook skalászozaa is függelen aól a koodináa-endszeől, melyben felíuk a komponenseike, és az eedmény egy skalá: v a u a =v b b a a c u c =v b u b (1.1.15) Készees anszfomáció végzünk, egy veko felíunk egy másik koodináa-endszeben, majd visszaéünk az eedeibe: v i = xi v a x a = i a v a v i = i b v a b a = i a v a v i =v a xi x a =va i a A anszfomációs máixok skalászozaa a Konecke-dela: i a a j = i j = xi x a xa x j (1.1.16) 1. Tenzook Azok a mennyiségek, melyeke vekook szozaából állíunk elő, a enzook családjába aoznak. Ezek speciális enzook, me csak n m számól függenek, ahol m a vekook száma, n pedig a koodinááké: v i u j w k p l q m =T ijk lm (1..1) Viszon egy ilyen enzo epezenáló máixnak n m függelen komponense is lehe, és ez az álalános enzoa is igaz. Ebből levezeheő a anszfomációs szabály: Tenzo: olyan T mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko a kövekezőképpen anszfomálódik: ijk i T lm= a b j c k abc T d l e m (1..) de Jól lászik a feni összefüggésen, hogy ha a enzo összes komponense nulla, akko ez így maad bámilyen koodináa-anszfomáció eseén. A enzo angja az indexek száma, egy skalá nullad-angú enzo, a veko elsőangú, és így ovább. Álalános enzook szozaa szinén enzo, például: A ijk B lm =T ijk lm (1..3) Tenzook összegé csak ugyanolyan ang eseén udjuk éelmezni, például: 15

16 1. Tenzook ij A k B k ij i = a j b A c ab B ab c c k (1..4) Szoozzunk össze egy eszőleges enzo olyan vekookkal, amikkel mindegyik indexe összegzés végzünk. A feniek szein egy invaiáns skalá kapunk: T abc v a u b w c p d q e =s (1..5) de Ha nem ismejük egy öbbindexű mennyiség emészeé, a feni összefüggés használaával bebizonyíhaó, hogy enzo. Ugyanis ha felíjuk egy másik koodináa-endszeben, a anszfomációs máixok csak akko ejik ki egymás, ha a öbbindexes mennyiség ugyanannyi vonula fel belőlük, min amennyi a vekooka anszfomálja. A Konecke-dela ééke egyező indexek eseén egy, különböző indexeknél nulla. A feni összefüggés alapján enzo, mégpedig egy speciális faja, mivel a komponensei külön-külön is invaiánsak: b a v a u b =v b u b =s (1..6) A kovaiáns vekookkal is be lehe számozni a é ponjai, ezeke a számsooka a kovaiáns koodináák alkoják: x i (1..7) Tulajdonképpen ez is csak egy koodináa-endsze a sok leheséges közül, ezé minden bizonnyal á lehe anszfomálni egy pon konavaiáns koodináái kovaiáns koodináákká. Ezé legyen a második koodináa-endsze a kovaiáns, így a koodináa-válozások kölcsönös aányai egy g ij szimmeikus mennyisége alkonak: x i x j 1 g ij = x i x j = x j x i =g ji (1..8) v i =v a xi v x a i =v a x i x a =va g ia (1..9) Fodío iányban: 1 x i x j g ij = xi x j = x j x i =g ji (1..10) v i =v a xa x i v i =v a xa x i =v a g ai (1..11) A veko konavaiáns és kovaiáns válozaának skalászozaa invaiáns skalá ami a veko hossza ehá az új mennyiségünk enzo-jellegű: 16

17 1. Tenzook v a v a =v a v b g ab =v b v a g ba (1..1) A segíségével indexeke is lehe emelni és süllyeszeni, úgyhogy nevezzük el meikus enzonak: v a u b w c p d q e g ai g bj g ck g dl g em =v i u j w k p l q m T abc de g ai g bj g ck g dl g em =T ijk lm (1..13) Készees anszfomáció végzünk, egy konavaiáns veko felíunk kovaiáns alakban, majd visszaíjuk konavaiánssá: v i =v a g ab g bi =v a a i A meikus enzook skalászozaa a Konecke-dela: g ia g aj = i j = x i xa x a (1..14) x j Ha minden indexe összegzünk, akko az eedmény a dimenziószám: g ab g ab = b b =N (1..15) Egy kéindexű álalános enzo mindig fel lehe bonani egy szimmeikus és egy aniszimmeikus enzo összegée. Az egymással szemben lévő enzokomponensek álagolásával szimmeikus enzo hozhaó lée: s T ij = 1 T ijt ji = 1 T jit ij = s T ji (1..16) Az álalános enzoból kivonva az eedmény egy aniszimmeikus enzo: T ij a =T ij s T ij =T ij 1 T ijt ji = 1 T ij T ji = 1 T ji T ij = a T ji (1..17) melynek a diagonális elemei nullák: a T ii = 1 T ii T ii =0 (1..18) Az összegük visszaadja az eedei enzo: s T ij a T ij = 1 T ijt ji 1 T ij T ji =T ij (1..19) Álalános kéindexű enzo indexeinek megfodíása: T ij =T ji a T ij (1..0) 17

18 1. Tenzook Tenzookkal epezenálhaó mennyiségeke és a belőlük alkoo egyenleeke kovaiáns mennyiségeknek, illeve kovaiáns egyenleeknek hívjuk. Ebben a megnevezésben a kovaiancia nem a kovaiáns vekooka ual, hanem aa, hogy az ezekből a mennyiségekből alkoo egyenleek alakja enzoanszfomációka invaiáns. 1.3 Kovaiáns deiválás A fejeze címében szeeplő kovaiáns szó szinén nem a kovaiáns vekooka vonakozik, hanem a enzoanszfomáció-invaiancia megnevezése. Deiváljuk a skaláfüggvény paciális deiválja anszfomációs összefüggésének mindké oldalá: = xa x i a x x i / x j = x j x i x j x a x x i x a x j x i a x a (1.3.1) A jobb oldal első agjában anszfomáljuk az egyik nevező diffeenciál a másodikból az első koodináa-endszebe: a x j x a x = xb x i x b x a xa x j x i Visszahelyeesíjük: = xb x j x i x b a x a x x j x i x a x a x j x i (1.3.) A skalámező második paciális deiválja, ami a kovaiáns veko paciális deiválja, nem úgy anszfomálódik min egy enzo. Felíjuk és behelyeesíjük a feni képlebe: v i = x i v i = v a xb x j b x x j xa v x i a x a x j x i (1.3.3) Áendezzük a képlee, és anszfomáljuk az egyik ago szozó veko az első koodináaendszeből a másodikba: v a xb x b x j xa x i = v i x j v a x a x j x i 18

19 1.3 Kovaiáns deiválás v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i (1.3.4) Tegyük fel, hogy egy kovaiáns vekomező konsans egy ado koodináa-endszeben, vagyis a paciális deiválja mindenhol nulla: v i =0 j (1.3.5) x Felíjuk ez az összefüggés egy másik koodináa-endszeben, és felesszük, hogy o is nulla: v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x =0 (1.3.6) a x j x i Bevezeünk egy új jelölés a második agban: b ji = xb x a x a x j x i (1.3.7) Ez az összefüggés eszőleges koodináa-endszeben leíja, hogy a vekomező paciális deiválja elűnik az eedei koodináa-endszeben: v i b v x j b ji =0 (1.3.8) Az új jelölés ami bevezeünk egy speciális ípusú konnexió, ami mindig szimmeikus az alsó ké indexében. Definiáljuk vele a kovaiáns veko kovaiáns deiváljá, majd kövekezik a konnexió álalános definíciója: j v i = v i x v b j b ji (1.3.9) Konnexió: olyan Γ mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko bizosíja, hogy az kovaiáns deivál úgy anszfomálódjon min egy enzo: j v i = v i x v a j a ji j v i = b v a b a j i (1.3.10) Azok az álalános mennyiségek amelyek kielégíik a konnexió definíciójá viszon má nem felélenül szimmeikusak. Egy skalámező paciális deiválja enzo, ezé legyen ez a kovaiáns deiválja: i = x i (1.3.11) Kovaiáns és konavaiáns veko skalászozaának az eedménye egy skalá: 19

20 1.3 Kovaiáns deiválás i u a v a = ua v a x i (1.3.1) i u a v a u a i v a = ua x i v a ua v a x i i u a v a u a v a x i ua v b b ia = ua x i v a ua v a x i i u a v a = ua x i v au a b v b ia / 1 v a A konavaiáns veko kovaiáns deiválja: i u j = u j x i ua ia j (1.3.13) Mos má eszőleges enzo kovaiáns deiváljá meg udjuk haáozni, konavaiáns és kovaiáns vekook szozaának felhasználásával: n T n T ijk lm ijk lm = n v i u j w k p l q m = n v i u j w k p l q m v i n u j w k p l q m n T ijk lm = vi x n u j w k p l q m v a i na u j w k p l q m Összevonjuk a vekooka a jobb oldalon: n T T ijk lm ijk lm x n = i na T ajk j lm na T iak k lm na A Konecke-dela kovaiáns deiválja nulla: k i j = i j x i k ak a j jk a i i a =0 jk T ija lm a nl T ijk a am nm T ijk la (1.3.14) i jk =0 (1.3.15) 1.4 Konnexió ulajdonságai 0

21 1.4 Konnexió ulajdonságai Megvizsgáljuk hogyan anszfomálódik a konnexió, ezé előszö észleesen kiíjuk a kovaiáns veko kovaiáns deiváljának anszfomációjá: v i d v x j d ji = v a xb xa (1.4.1) x v c b c ba x j x i v i d v x j d ji = v a xb x b xa v x j x i c c ba xb xa x j x i A jobboldali első ago má feljebb megismeük, behelyeesíünk: Egyszeűsíünk: v a xb b x x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i v i d v x j d ji = v i v x j b xb x x a c v a x j x i c ba xb xa x j x i x a d v d ji = v b xb x c v a x j x i c ba xb xa x j x i (1.4.) Tanszfomáljuk a jobboldali második agban lévő veko az első koodináa-endszeből a másodikba, és leegyszeűsíünk a veko szozókkal: d v d ji = v b xb x x a a x j x i v d x d x c c ba xb xa x j x i A konnexió anszfomációs szabálya: d k k ji = xk x a x a x j x i c ba xk x xa x j x i c xb (1.4.3) A konnexió ehá nem enzo-jellegű mennyiség. Az álalános konnexió szimmeikus észe: C k ij = 1 ij k k ji (1.4.4) Az álalános konnexió aniszimmeikus észe a ozió: S k ij = 1 ij k k ji k ij = k ji k S ij (1.4.5) 1

22 1.4 Konnexió ulajdonságai Behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: S k ij = 1 x e x i x xk j x e e ab x a x x b i x x k j x x e xk e x j x i x e e ba xb x x a j x i xk x e Egyszeűsíünk, a ozió anszfomációja: k = 1 e e ab ba xa x xb i x xk j x e S ij (1.4.6) A ozió a anszfomációs képlee alapján egy háomindexű enzo: k k = S ij S ij a i b k j e (1.4.7) A konnexió végelenül kicsi különbségei úgy anszfomálódnak min a enzook: első koodináa-endsze: második koodináa-endsze: j ik j = ik j x ik x x j j j ik = ik x ik x x (1.4.8) Az első képlebe behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: j ik = x e x i x k x j e x e ab x xa x xb i x x j k x e x e x i x k x j e x e ab x x xa x xb i x x j k x e j ik e = ab x xa x x b i x x j k x e e ab x x xa x x b i x x j k x e (1.4.9) A konnexió vaiációja enzo-jellegű mennyiség: j ik j = ik xa x xb i x x j k x e (1.4.10) 1.5 Roáció A kovaiáns veko deiváljának anszfomációja:

23 1.5 Roáció v i v x j b xb x x a = v a xb a x j x i b xa x x j x i (1.5.1) Ez a mennyiség nem enzokén anszfomálódik. De ha megcseéljük benne az indexeke, és kivonjuk az eedei kifejezésből, enzo-jellegű mennyisége kapunk, a neve oáció. Az összefüggés jobb oldala: v a xb x b xa v b x j x i x a x a xb x i x = v v a j x b b xb x a xa =T x j x i ab b a j i Az összefüggés bal oldala: v i x v j b xb x a x a x j x i v j x v i b xb x a x a x i x j = v i A oáció anszfomációs szabálya a másodangú enzookénak felel meg: x v j j x = T i ij T ab b j a i = T ij (1.5.) Ez a enzo aniszimmeikus: T ij = T ji = v i x j v j x i = v j x i v i x j (1.5.3) A diagonális elemei pedig mindig nullák: T ii = v v i x i i =0 i (1.5.4) x Ha az aniszimmeikus enzo paciális deiváljának az indexei ciklikusan pemuáljuk és összeadjuk, az eedmény nulla, me a vekook második deiváljai kiejik egymás: x v j j x i v j i x x v j k k x x v k j x v i i x = k v i x k x v j j x k x v j i x i x v k k x i x v k j x j x v i i x j x =0 k T ij x k T jk x i T ki x j = x k v i (1.5.5) A kovaiáns deiválból képze oáció: j v i i v j = v i x j v j x v b i b ji Ez az egyenlőség csak akko eljesül, ha a konnexió szimmeikus: b ij = v i x v j (1.5.6) j x i k k ij = ji (1.5.7) 3

24 1.5 Roáció 1.6 Páhuzamos elolás Felveszünk ké végelenül közeli pono, ezekben a ponokban vekooka, és ké különböző koodináa-endszeben is felíjuk őke. A évedések elkeülése édekében összefoglaljuk egy áblázaban a jelöléseke: Első koodináa-endsze Első pon x i x i Második pon y i y i Első ponbeli vekook v i, w i v i Második ponbeli vekook u i, q i u i Második koodináa-endsze Páhuzamosan elolunk egy veko az első ponból a másodikba, az egyik koodináa-endsze úgy vesszük fel, hogy az eedei és az új veko minden komponense megegyezzen: u i =v i (1.6.1) A kövekezőképpen számíjuk á a vekook koodináái: v i = xi v a x a u i = yi u a y a (1.6.) Behelyeesíjük az első koodináa-endszeben felí összefüggésbe: x i v a x a = yi u a y a (1.6.3) A másik koodináa-endszeben álalánosan íjunk fel egy elolás: u i = v i dv i (1.6.4) A ké pon különbsége a oális deivál, ami a második koodináa-endsze koodináái szein deiválunk: y i = x i xi dx a x a y i = xi y j x j / x i x j dx a x j x a (1.6.5) Behelyeesíjük az elolás képleébe, majd felbonjuk a záójeleke: 4

25 = x i v a x a xi x i dx a x b x b x a 1.6 Páhuzamos elolás x i v a x a = xi v b x b xi dv b x b x i vb dv b (1.6.6) x b x a dx a v b x i x b x a dx a dv b Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: 0= xi dv b x b x i dx a x b x a v b / x j x i i c x j x xc dv b c x b = x j x x c dx a c x b x a v b (1.6.7) Az egyenle bal oldalán behelyeesíjük és alkalmazzuk a Konecke-delá, a jobb oldalán a konnexió helyeesíjük be, ahogy a koábbi definíciónál eük: j ba = x j x c x c x b x a (1.6.8) dv j j = ba dx a v b Ez visszahelyeesíjük a konavaiáns veko elolási képleébe, a koodináa-endsze azonosíó számok nélkül. Az indexek minden ovábbi nélkül felcseélheők, ami meg is eszünk, ugyanis ekko ugyanaz a konnexió kapjuk meg, ami koábban definiálunk: u i =v i i ba v a dx b (1.6.9) Felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: v a w a =u a q a (1.6.10) A konavaiáns veko elolása: u i =v i dv i =v i i ba v a dx b (1.6.11) A kovaiáns veko elolása: q i =w i dw i (1.6.1) 5

26 1.6 Páhuzamos elolás Behelyeesíjük a skalászozaba: v a w a =v a a dc v c dx d w a dw a (1.6.13) v a w a =v a w a v a dw a a dc v c dx d w a a dc v c dx d dw a Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: dw i = a bi dx b w a Ez visszahelyeesíjük a kovaiáns veko elolási képleébe: q i =w i a bi w a dx b (1.6.14) Ezek alapján eszőleges enzo elolási képleé meg udjuk haáozni. I má nem használjuk a áblázaba foglal jelöléseke: v i u j w k p l q m =T ijk lm Behelyeesíjük az elolási képleeke, és elhanyagoljuk a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványai aalmazó agoka. Így csak a vekook szozaai, illeve azok a agok maadnak meg, melyek csak egysze aalmazzák a konnexió: v i i ba v a dx b u j j ba u a dx b w k k ba w a dx b p l a bl p a dx b q m a bm q a dx b = ijk i ajk T lm ba T j iak lm ba T k ija lm ba T lm a ijk a ijk bl T am bm T la dx b (1.6.15) 1.7 Konnexió és meikus enzo Az előző fejezehez hasonlóan felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: g ab x v a w b = g ab y u a q b (1.7.1) I az egyenle bal oldalán az első ponban felve vekook közöi skalászozao íuk fel, a jobb oldalon pedig a második ponban felve vekook közöi skalászozao. Az egyik meikus enzoól a végelenül közeli másikhoz sofejéssel közelíünk: g ij y=g ij x g ijx x a dx a 1 g ij x dx b (1.7.) x a x b dxa Behelyeesíjük a vekook páhuzamos elolásának képleé, és a meikus enzo sofejésé, 6

t 2 Hőcsere folyamatok ( Műv-I. 248-284.o. ) Minden hővel kapcsolatos művelet veszteséges - nincs tökéletes hőszigetelő anyag,

t 2 Hőcsere folyamatok ( Műv-I. 248-284.o. ) Minden hővel kapcsolatos művelet veszteséges - nincs tökéletes hőszigetelő anyag, Hősee folyamaok ( Műv-I. 48-84.o. ) A ménöki gyakola endkívül gyakoi feladaa: - a közegek ( folyadékok, gázok ) Minden hővel kapsolaos művele veszeséges - nins ökélees hőszigeelő anyag, hűése melegíése

Részletesebben

3. Gyakorlat. A soros RLC áramkör tanulmányozása

3. Gyakorlat. A soros RLC áramkör tanulmányozása 3. Gyakorla A soros áramkör anlmányozása. A gyakorla célkiőzései Válakozó áramú áramkörökben a ekercsek és kondenzáorok frekvenciafüggı reakív ellenállással ún. reakanciával rendelkeznek. Sajáságos lajdonságaik

Részletesebben

5. Differenciálegyenlet rendszerek

5. Differenciálegyenlet rendszerek 5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:

Részletesebben

GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK

GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben. Az idősoros vizsgálaok legfonosabb

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb

Részletesebben

Előszó. 1. Rendszertechnikai alapfogalmak.

Előszó. 1. Rendszertechnikai alapfogalmak. Plel Álalános áekinés, jel és rendszerechnikai alapfogalmak. Jelek feloszása (folyonos idejű, diszkré idejű és folyonos érékű, diszkré érékű, deerminiszikus és szochaszikus. Előszó Anyagi világunkban,

Részletesebben

Síkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése

Síkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése Szilvágyi László - Wolf Ákos Síkalapok vizsgálaa - az EC-7 bevezeése Síkalapozási feladaokkal a geoehnikus mérnökök szine minden nap alálkoznak annak ellenére, hogy mosanában egyre inkább a mélyépíés kerül

Részletesebben

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István)

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István) célcsöe sziládsági száíása (ía: oos Isán). eezeés. Véonyfalú egyenes cs éeezése els úlnyoása. Csíe éeezése els úlnyoása 4. Hfeszülsége éonyfalú csöeen 5. Vasagfalú cs iszán ugalas állaoa 6. Vasagfalú cs

Részletesebben

A Coulomb-törvény : ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) k 9 10 F Q. elektromos térerősség : ponttöltés tere :

A Coulomb-törvény : ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) k 9 10 F Q. elektromos térerősség : ponttöltés tere : Villamosságtan A Coulomb-tövény : F QQ 4 ahol, Q = coulomb = C = a vákuum pemittivitása (dielektomos álladója) 4 9 k 9 elektomos téeősség : E F Q ponttöltés tee : E Q 4 Az elektosztatika I. alaptövénye

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin 3 ÉETTSÉG VZSG 04. május 0. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉM Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám: 40.)

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmaó 09 ÉETTSÉGI VIZSG 00. májs 4. ELEKTONIKI LPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ OKTTÁSI ÉS KULTUÁLIS MINISZTÉIUM

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin ÉETTSÉG VZSGA 0. május. ELEKTONKA ALAPSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBEL ÉETTSÉG VZSGA JAVÍTÁS-ÉTÉKELÉS ÚTMTATÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉMA Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám:

Részletesebben

Dinamikus optimalizálás és a Leontief-modell

Dinamikus optimalizálás és a Leontief-modell MÛHELY Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 29. január (84 92. o.) DOBOS IMRE Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell A anulmány a variációszámíás gazdasági alkalmazásaiból ismere hárma. Mind három alkalmazás

Részletesebben

A BIZOTTSÁG MUNKADOKUMENTUMA

A BIZOTTSÁG MUNKADOKUMENTUMA AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA Brüsszel, 2007. május 23. (25.05) (OR. en) Inézményközi dokumenum: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 FIN 239 RESPR 5 CADREFIN 32 FELJEGYZÉS AZ I/A NAPIRENDI PONTHOZ 2. KIEGÉSZÍTÉS Küldi:

Részletesebben

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készül a TÁMOP-4..2-08/2/A/KMR-2009-004pályázai projek kereében Taralomfejleszés az ELTE TáK Közgazdaságudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságudományi Tanszék, az

Részletesebben

Tiszta és kevert stratégiák

Tiszta és kevert stratégiák sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek emel szin Javíási-érékelési úmuaó ÉETTSÉGI VIZSG 0. okóber. ELEKTONIKI LPISMEETEK EMELT SZINTŰ ÍÁSELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ EMEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIUM Elekronikai

Részletesebben

A sztochasztikus idősorelemzés alapjai

A sztochasztikus idősorelemzés alapjai A szochaszikus idősorelemzés alapjai Ferenci Tamás BCE, Saiszika Tanszék amas.ferenci@medsa.hu 2011. december 19. Taralomjegyzék 1. Az idősorelemzés fogalma, megközelíései 2 1.1. Az idősor fogalma...................................

Részletesebben

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK

ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmuaó 063 ÉETTSÉG VZSG 006. okóber 4. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ OKTTÁS ÉS KTÁS MNSZTÉM Elekronikai alapismereek

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbikbn külön, egymásól függelenül izsgáluk nyugó ölések elekomos eé és z időben állndó ám elekomos és mágneses eé Az elekomágneses é ponosbb modelljé kpjuk, h

Részletesebben

Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezhetetlensége

Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezhetetlensége Az árfolyamsávok empirikus modelljei 507 Közgazdasági Szemle, XLVI. évf., 1999. június (507 59. o.) DARVAS ZSOLT Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezheelensége

Részletesebben

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI

Részletesebben

Módszertani megjegyzések a hitelintézetek összevont mérlegének alakulásáról szóló közleményhez

Módszertani megjegyzések a hitelintézetek összevont mérlegének alakulásáról szóló közleményhez Módszerani megjegyzések a hielinézeek összevon mérlegének alakulásáról szóló közleményhez 1. A forinosíás és az elszámolás kezelése a moneáris saiszikákban Az egyes fogyaszói kölcsönszerződések devizanemének

Részletesebben

HIVATALOS ÉRTESÍTÕ. 51. szám. A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. június 28., hétfõ. Tartalomjegyzék. III. Utasítások, jogi iránymutatások

HIVATALOS ÉRTESÍTÕ. 51. szám. A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. június 28., hétfõ. Tartalomjegyzék. III. Utasítások, jogi iránymutatások HIVATALOS ÉRTESÍTÕ A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. június 28., hétfõ 51. szám Tartalomjegyzék III. Utasítások, jogi iránymutatások 7/2010. (VI. 28.) KIM utasítás a Közigazgatási és Igazságügyi Minisztérium

Részletesebben

Geometriai Optika. ultraibolya. látható fény. 300 THz 400 THz 750 THz. 800 nm 400 nm 100 nm

Geometriai Optika. ultraibolya. látható fény. 300 THz 400 THz 750 THz. 800 nm 400 nm 100 nm Geomeiai Opia Láhaó éy: az eleomágeses hullámaomáy egy esey észe adio hullám mico hullám (cm) láhaó éy iavöös ulaibolya Röge sugázás (0-0 m) (Hz) 300 Hz 400 Hz 750 Hz λ 800 m 400 m 00 m A láhaó éy speuma:

Részletesebben

FIZIKA FELVÉTELI MINTA

FIZIKA FELVÉTELI MINTA Idő: 90 perc Maximális pon: 100 Használhaó: függvényábláza, kalkuláor FIZIKA FELVÉTELI MINTA Az alábbi kérdésekre ado válaszok közül minden eseben ponosan egy jó. Írja be a helyesnek aro válasz beűjelé

Részletesebben

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat)

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat) Mechanikai unka, energia, eljesíény (Vázla). Mechanikai unka fogala. A echanikai unkavégzés fajái a) Eelési unka b) Nehézségi erő unkája c) Gyorsíási unka d) Súrlódási erő unkája e) Rugóerő unkája 3. Mechanikai

Részletesebben

KAMATPOLITIKA HATÁRAI

KAMATPOLITIKA HATÁRAI Pécsi Tudományegyeem Közgazdaságudományi Kar Gazdálkodásani Dokori Iskola Koppány Kriszián JEGYBANKI HITELESSÉG ÉS A KAMATPOLITIKA HATÁRAI Likvidiási csapda és deflációs spirál: elméle és realiás Dokori

Részletesebben

Elektronika 2. TFBE1302

Elektronika 2. TFBE1302 Elekronika. TFE30 Analóg elekronika áramköri elemei TFE30 Elekronika. Analóg elekronika Elekronika árom fő ága: Analóg elekronika A jelordozó mennyiség érékkészlee az érelmezési arományon belül folyonos.

Részletesebben

Túlgerjesztés elleni védelmi funkció

Túlgerjesztés elleni védelmi funkció Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Budapes, 2011. auguszus Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Bevezeés A úlgerjeszés elleni védelmi unkció generáorok és egységkapcsolású ranszormáorok vasmagjainak úlzoan

Részletesebben

Erőmű-beruházások értékelése a liberalizált piacon

Erőmű-beruházások értékelése a liberalizált piacon AZ ENERGIAGAZDÁLKODÁS ALAPJAI 1.3 2.5 Erőmű-beruházások érékelése a liberalizál piacon Tárgyszavak: erőmű-beruházás; piaci ár; kockáza; üzelőanyagár; belső kama. Az elmúl évek kaliforniai apaszalaai az

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

MNB-tanulmányok 50. A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY

MNB-tanulmányok 50. A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY MNB-anulmányok 5. 26 CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk Czei Tamás Hoffmann Mihály A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk 26. január

Részletesebben

A tapintó hőmérséklet érzékelő hőtani számítása, tekintetbe véve a környezet hőmérsékletterének a felület dőlésszögétől való függését

A tapintó hőmérséklet érzékelő hőtani számítása, tekintetbe véve a környezet hőmérsékletterének a felület dőlésszögétől való függését A apnó őméséle ézéelő őan számíása, enebe véve a önyeze őméséleeéne a felüle dőlésszögéől való függésé Andás Emese. Bevezeés n éépából álló almaz áll endelezésüne a (x) függvény analus fomájána megállapíásáa

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Digitális multiméter az elektrosztatika tanításában

Digitális multiméter az elektrosztatika tanításában Nukleon 214. március VII. évf. (214) 155 Digiális muliméer az elekroszaika aníásában Záonyi Sándor Szen-Györgyi Alber Gimnázium, Szakközépiskola és Kollégium 56 Békéscsaba, Gyulai ú 53-57. A Magyar Nukleáris

Részletesebben

2.2.45. SZUPERKRITIKUS FLUID KROMATOGRÁFIA 2.2.46. KROMATOGRÁFIÁS ELVÁLASZTÁSI TECHNIKÁK

2.2.45. SZUPERKRITIKUS FLUID KROMATOGRÁFIA 2.2.46. KROMATOGRÁFIÁS ELVÁLASZTÁSI TECHNIKÁK 2.2.45. Szuperkriikus fluid kromaográfia Ph. Hg. VIII. Ph. Eur. 4, 4.1 és 4.2 2.2.45. SZUPEKITIKUS FLUID KOATOGÁFIA A szuperkriikus fluid kromaográfia (SFC) olyan kromaográfiás elválaszási módszer, melyben

Részletesebben

Finanszírozás, garanciák

Finanszírozás, garanciák 29..9. Fiaszíozás, gaaciák D. Fakas Szilvesze egyeemi doces SZE Gazdálkodásudomáyi Taszék fakassz@sze.hu hp://d.fakasszilvesze.hu/ Fiaszíozás émaköei. A péz idıééke, jövıéék és jeleéék, speciális pézáamlások

Részletesebben

II. Egyenáramú generátorokkal kapcsolatos egyéb tudnivalók:

II. Egyenáramú generátorokkal kapcsolatos egyéb tudnivalók: Bolizsár Zolán Aila Enika -. Eyenáramú eneráorok (NEM ÉGLEGES EZÓ, TT HÁNYOS, HBÁT TATALMAZHAT!!!). Eyenáramú eneráorokkal kapcsolaos eyé univalók: a. alós eneráorok: Természeesen ieális eneráorok nem

Részletesebben

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f 0. A fény visszaveődése és töése göbült hatáfelületeken, gömbtükö és optikai lencse. ptikai leképezés kis nyílásszögű gömbtükökkel, és vékony lencsékkel. A fő sugámenetek ismetetése. A nagyító, a mikoszkóp

Részletesebben

Legfontosabb farmakokinetikai paraméterek definíciói és számításuk. Farmakokinetikai paraméterek Számítási mód

Legfontosabb farmakokinetikai paraméterek definíciói és számításuk. Farmakokinetikai paraméterek Számítási mód Legfonosabb farmakokineikai paraméerek definíciói és számíásuk Paraméer armakokineikai paraméerek Név Számíási mód max maximális plazma koncenráció ideje mér érékek alapján; a max () érékhez arozó érék

Részletesebben

DARVAS ZSOLT SÁVOS DEVIZAÁRFOLYAM-RENDSZEREK HITELESSÉGE

DARVAS ZSOLT SÁVOS DEVIZAÁRFOLYAM-RENDSZEREK HITELESSÉGE DARVAS ZSOL SÁVOS DEVIZAÁRFOLYAM-RENDSZEREK HIELESSÉGE UDAPESI KÖZGAZDASÁGUDOMÁNYI ÉS ÁLLAMIGAZGAÁSI EGYEEM MAEMAIKAI KÖZGAZDASÁGAN ÉS ÖKONOMERIA ANSZÉK ÉMAVEZEŐ: HALPERN LÁSZLÓ, KANDIDÁUS DARVAS ZSOL

Részletesebben

Folyamatszemléleti lehetőségek az agro-ökoszisztémák modellezésében

Folyamatszemléleti lehetőségek az agro-ökoszisztémák modellezésében Folyamaszemlélei leheőségek az agro-ökosziszémák modellezésében Dokori (D) érekezés Ladányi Mára Témavezeő: Dr. Harnos Zsol, MHAS, egyeemi anár BCE, Kerészeudományi Kar, Maemaika és Informaika Tanszék

Részletesebben

KIS MATEMATIKA. 1. Bevezető

KIS MATEMATIKA. 1. Bevezető KIS MATEMATIKA. Bevezeő Fizikus vagyok, és azon belül is elmélei fizikusnak arom magam, mindemelle nagyon fonosnak arom a kísérlei fiziká is, ső magam is kísérleezem a graviáció erüleén. A maemaikával

Részletesebben

Seite 1. Képlékenyalakítás 6. előadás. Lemezalakítás Hajlítás. Lemezalakítás A hajlítás. A hajlítás feszültségi és alakváltozási állapota

Seite 1. Képlékenyalakítás 6. előadás. Lemezalakítás Hajlítás. Lemezalakítás A hajlítás. A hajlítás feszültségi és alakváltozási állapota 6. előadás Lemezalakíás Hajlíás Po. D. Tisza iklós 1 iskolc, 007. okóe 17. Lemezalakíás A hajlíás a hajlíás ogalma ő ípusai szaad hajlíás élsűllyeszékes hajlíás sűllyeszékes hajlíás lengőhajlíás B B B

Részletesebben

A közgazdasági Nobel-díjat a svéd jegybank támogatásával 1969 óta ítélik oda. 1 Az

A közgazdasági Nobel-díjat a svéd jegybank támogatásával 1969 óta ítélik oda. 1 Az ROBERT F. ENGLE ÉS CLIVE W. J. GRANGER, A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK DARVAS ZSOLT A Svéd Tudományos Akadémia a 003. évi Nobel-díjak odaíélésé ké fő alkoással indokola: Rober F. Engle eseén az

Részletesebben

párhuzamosan kapcsolt tagok esetén az eredő az egyes átviteli függvények összegeként adódik.

párhuzamosan kapcsolt tagok esetén az eredő az egyes átviteli függvények összegeként adódik. 6/1.Vezesse le az eredő ávieli üggvény soros apcsolás eseén a haásvázla elrajzolásával. az i-edi agra, illeve az uolsó agra., melyből iejezheő a sorba apcsol ago eredő ávieli üggvénye: 6/3.Vezesse le az

Részletesebben

í ő ľ ü ó ľ ľ ő ľ ü Ü Ü Ł ľ ü ľ ü ľ ö ľü íľ ő ő ź ő í ó ü ľ ö ü ü ó ő ö ľĺ ó ľó ő ő ö ź í ö ő źą ö í ő ü ö ö ü ő í ľ ó ó ó ü ó ó ó ő ö í ó í ü ö í ő ę í ö ü ą í ľ ó ő í ú í ó ő ö ó ó ő ü í ó ľ í ľź ľ ú

Részletesebben

4 utú és 5 utú útváltók: Funkciójuk visszavezetheto 2 db. egyidejuleg muködtetett 312-es útváltóra. l~ ~-J~ITLTL1\!~

4 utú és 5 utú útváltók: Funkciójuk visszavezetheto 2 db. egyidejuleg muködtetett 312-es útváltóra. l~ ~-J~ITLTL1\!~ 9 4 uú és 5 uú úválók: Funkciójuk visszavezeheo 2 db. egyidejuleg muködee 32-es úválóra. - p, --,. 5/2 2 352-kén 5 ~ muködik. 4 :"- "4 S ::z: 3 4 4/2 f~l: ::z: Alkalmazás: -kéoldali muködésu hengerek muködeése

Részletesebben

KÖZÚTI JELZÉSEK. A forgalom IRÁNYÍTÁSÁHOZa járművezetőhöz információkatkell eljuttatni 2010.11.09.

KÖZÚTI JELZÉSEK. A forgalom IRÁNYÍTÁSÁHOZa járművezetőhöz információkatkell eljuttatni 2010.11.09. UTAK KÖZÚTI JELZÉSEK 8. ELŐADÁS A forgalom IRÁNYÍTÁSÁHOZa járművezeőhöz információkakell eljuani A fedélzei inelligens eszközök SZEMÉLYRE SZABOTT információka szolgálanak jellemzően ájékozaás köelező érvényű

Részletesebben

fényében a piac többé-kevésbé figyelmen kívül hagyta, hogy a tengerentúli palaolaj kitermelők aktivitása sorozatban alumínium LME 3hó (USD/t) 1589

fényében a piac többé-kevésbé figyelmen kívül hagyta, hogy a tengerentúli palaolaj kitermelők aktivitása sorozatban alumínium LME 3hó (USD/t) 1589 www.kh.hu WTI (USD/hordó) 46 46 diesel ARA spo () 456 472 kerozin ARA spo () 215.9.25 Nyersanyagpiaci hírlevél piaci áekinés nyersanyag megnevezés akuális 2 héel ezelői kőolaj B az elmúl ké hében a Bren

Részletesebben

Egyenes vonalú mozgások - tesztek

Egyenes vonalú mozgások - tesztek Egyenes onalú mozgások - eszek 1. Melyik mérékegységcsoporban alálhaók csak SI mérékegységek? a) kg, s, o C, m, V b) g, s, K, m, A c) kg, A, m, K, s d) g, s, cm, A, o C 2. Melyik állíás igaz? a) A mege

Részletesebben

A Ptk. 201. (2) bekezdése védelmében.

A Ptk. 201. (2) bekezdése védelmében. -- 1998. 8. szám FÓRUM 403 J...,. ~ Dr. Kovács Kázmér ÜGYVÉD. A BUDAPEST ÜGYVÉD KAMARA ALELNÖKE A Pk. 201. (2) bekezdése védelmében. (Feluno arányalanság és az auópálya-használai szerzodések) Vékás Lajos

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

Tájékoztató a portfólió értékelésérıl, illetve a portfólión elért hozam számításáról

Tájékoztató a portfólió értékelésérıl, illetve a portfólión elért hozam számításáról Tájékozaó a pofóló éékeléséıl, lleve a pofólón elé hoza száíásáól Jelen ájékozaó elválaszhaalan észé képez az Ügyfél és az EQUILOR Befekeés Z. (ovábbakban EQUILOR) közö léejö pofólókezelés szezıdésnek.

Részletesebben

Járműelemek I. Tengelykötés kisfeladat (A típus) Szilárd illesztés

Járműelemek I. Tengelykötés kisfeladat (A típus) Szilárd illesztés BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Közlekedésmérnöki Kar Járműelemek I. (KOJHA 7) Tengelyköés kisfelada (A ípus) Szilárd illeszés Járműelemek és Hajások Tanszék Ssz.: A/... Név:...................................

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály 2012. november 12. Feladatok: IZSÁK DÁVID, általános iskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: BALOG MARIANNA, általános iskolai tanár SZITTYAI

Részletesebben

Előadásvázlat Kertészmérnök BSc szak, levelező tagozat, 2015. okt. 3.

Előadásvázlat Kertészmérnök BSc szak, levelező tagozat, 2015. okt. 3. Előadásvázla Kerészmérnök BSc szak, levelező agoza, 05. ok. 3. Bevezeés SI mérékegységrendszer 7 alapmennyisége (a öbbi származao): alapmennyiség jele mérékegysége ömeg m kg osszúság l m idő s őmérsékle

Részletesebben

Készítette: Mike Gábor 1

Készítette: Mike Gábor 1 A VALÓSÁGOS FESZÜLTSÉGGENEÁTO A soros kapcsolás modellje és a vele kialakío valóságos eszülséggeneráor erhel üzemmódja lényegéen evezeője a émes vezeőjű ávielechnikai modellnek. A származaás a kövekező:

Részletesebben

PÉNZÜGYMINISZTÉRIUM MUNKAANYAG A KÖLTSÉGVETÉSI RENDSZER MEGÚJÍTÁSÁNAK EGYES KÉRDÉSEIRŐL SZÓLÓ KONCEPCIÓ RÉSZLETES BEMUTATÁSA

PÉNZÜGYMINISZTÉRIUM MUNKAANYAG A KÖLTSÉGVETÉSI RENDSZER MEGÚJÍTÁSÁNAK EGYES KÉRDÉSEIRŐL SZÓLÓ KONCEPCIÓ RÉSZLETES BEMUTATÁSA PÉNZÜGYMINISZTÉRIUM MUNKAANYAG A KÖLTSÉGVETÉSI RENDSZER MEGÚJÍTÁSÁNAK EGYES KÉRDÉSEIRŐL SZÓLÓ KONCEPCIÓ RÉSZLETES BEMUTATÁSA Függelék 2007. június Taralomjegyzék FÜGGELÉK. számú függelék: Az Országgyűlés

Részletesebben

5. HŐMÉRSÉKLETMÉRÉS 1. Hőmérséklet, hőmérők Termoelemek

5. HŐMÉRSÉKLETMÉRÉS 1. Hőmérséklet, hőmérők Termoelemek 5. HŐMÉRSÉKLETMÉRÉS 1. Hőmérsékle, hőmérők A hőmérsékle a esek egyik állapohaározója. A hőmérsékle a es olyan sajáossága, ami meghaározza, hogy a es ermikus egyensúlyban van-e más esekkel. Ezen alapszik

Részletesebben

REV23.03RF REV-R.03/1

REV23.03RF REV-R.03/1 G2265hu REV23.03RF Telepíési és üzembe helyezési leírás A D E B C F CE1G2265hu 21.02.2006 1/8 G / 4.2.4 C Gyári beállíások / 4.2.4 2211Z16 / 4.2.1 C 2211Z16 1. 2. 1. 2. + CLICK C 12 min 2211Z16 PID 12

Részletesebben

Az összekapcsolt gáz-gőz körfolyamatok termodinamikai alapjai

Az összekapcsolt gáz-gőz körfolyamatok termodinamikai alapjai Az összekapcsol áz-őz körfolyamaok ermodinamikai alapjai A manapsá használaos ázurbinák kipufoóázai nay hőpoenciállal rendelkeznek (kb. 400-600 C). Kézenfekvő ez az eneriá kiaknázni. Ez mevalósíhajuk,

Részletesebben

A tudás szerepe a gazdasági növekedésben az alapmodellek bemutatása*

A tudás szerepe a gazdasági növekedésben az alapmodellek bemutatása* A udás szerepe a gazdasági növekedésben az alapmodellek bemuaása* Jankó Balázs, az ECOSTAT közgazdásza E-mail: Balazs.Janko@ecosa.hu A anulmányban azoka a nemzeközi közgazdasági irodalomban fellelheő legfonosabb

Részletesebben

4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR

4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 4. STACONÁRUS MÁGNESES TÉR Az időben állandó sebességgel mozgó töltések keltette áam nemcsak elektomos, de mágneses teet is kelt. 4.1. A mágneses té jelenléte 4.1.1. A mágneses dipólus A tapasztalat azt

Részletesebben

Ancon feszítõrúd rendszer

Ancon feszítõrúd rendszer Ancon feszíõrúd rendszer Ancon 500 feszíőrúd rendszer Az összeköő, feszíő rudazaoka egyre gyakrabban használják épíészei, lászó szerkezei elemkén is. Nagy erhelheősége melle az Ancon rendszer eljesíi a

Részletesebben

Zsembery Levente VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS

Zsembery Levente VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS Zsembery Levene VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS PÉNZÜGYI INTÉZET BEFEKTETÉSEK TANSZÉK TÉMAVEZETŐ: DR. SZÁZ JÁNOS Zsembery Levene BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI ÉS ÁLLAMIGAZGATÁSI EGYETEM

Részletesebben

Mobil robotok gépi látás alapú navigációja. Vámossy Zoltán Budapesti Műszaki Főiskola Neumann János Informatikai Kar

Mobil robotok gépi látás alapú navigációja. Vámossy Zoltán Budapesti Műszaki Főiskola Neumann János Informatikai Kar Mobil robook gépi láás alapú navigációja Vámoss Zolán Budapesi Műszaki Főiskola Neumann János nformaikai Kar Taralom Bevezeés és a kuaások előzménei Célkiűzések és alkalmazo módszerek Körbeláó szenzorok,

Részletesebben

EGY REMÉNYTELENNEK TÛNÔ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN

EGY REMÉNYTELENNEK TÛNÔ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN eljes mozgás helye csak a nulladik módussal számolni: még azonos ömegek eseén is öbb min 98% súllyal a nulladik módus gerjed. Nem ez a helyze a b) kezdei feléelnél, amikor már m 0,1M melle is öbb min 3%,

Részletesebben

Izzítva, h tve... Látványos kísérletek vashuzallal és grafitceruza béllel

Izzítva, h tve... Látványos kísérletek vashuzallal és grafitceruza béllel kísérle, labor Izzíva, h ve... Láványos kísérleek vashuzallal és graficeruza béllel Az elekromos, valamin az elekronikus áramköröknél is, az áfolyó elekromos áram h"haása mia az egyes áramköri alkoóelemek

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész Középzinű éreégi feladaor Fizika Elő réz 1. Egy cónak vízhez vizonyío ebeége 12. A cónakban egy labda gurul 4 ebeéggel a cónak haladái irányával ellenéeen. A labda vízhez vizonyío ebeége: A) 8 B) 12 C)

Részletesebben

Ł ť ŕ í í ü ö ő ű ő ő ő ú í ä Í ř ö ő í í ę ö ő í Ú í ń đ ń É É ő Ę í í ű ü ö í ö Ĺí ö ő ü Ó ő ü ń ü ö ö ö ö ő í Ü í Ü ö í ő í ś ű Í Ł Á Á ő í ö Ú í ű í í ô ő í ő ö ö ő ú ő ä ő í ű ő ü ő ő í ő í í Í í

Részletesebben

Intuitív ADT és ADS szint:

Intuitív ADT és ADS szint: A zkvcál adazkz olya dz pá amlyél az R lácó azív lzája lj dzé lácó. zkvcál adazkzb az gy adalmk gymá uá hlyzkdk l, va gy logka odjük. Az adaok közö gy-gy jllgű a kapcola: md adalm cak gy hlyől éhő

Részletesebben

7. osztály, minimum követelmények fizikából

7. osztály, minimum követelmények fizikából 7. ozály, iniu köeelények fizikából izikai ennyiégek Sebeég Jele: Definíciója: az a fizikai ennyiég, aely eguaja, ogy a e egyégnyi idő ala ekkora ua ez eg. Kizáíái ódja, (képlee):. Szaakkal: ú oza a egéeléez

Részletesebben

HÁTADÁS. (írta: Dr Ortutay Miklós)

HÁTADÁS. (írta: Dr Ortutay Miklós) (ía: D Oua Milós) HÁTADÁS. Bevezeés. Háaás halmazállapo-válozás nélül.. Szabaáamlás.. Konveciós énszeáamú háaás csben... Lamináis áamlás... Háaás csben ubulensen áamló olaénál... Háaás csben áamló olaénál

Részletesebben

Alsó-Ausztria A nagy kiránduló térkép

Alsó-Ausztria A nagy kiránduló térkép ó- é éé Ú :7000 ééű éé é á áá ó- ó ő é, é áj áááá éá vá é áv üé, á v á á é é íűéé é á é áá ő ó-á é- ávó, űő é ű á,, v ő őé váj áó ó- áó éé á já í Z Ö á éé! Ó- áó 00 -, +4/74/000-000 @ - v ő é: / é é é:

Részletesebben

Üzemeltetési kézikönyv

Üzemeltetési kézikönyv EHBH04CB EHBH08CB EHBH11CB EHBH16CB EHBX04CB EHBX08CB EHBX11CB EHBX16CB EHVH04S18CB EHVH08S18CB EHVH08S26CB EHVH11S18CB EHVH11S26CB EHVH16S18CB EHVH16S26CB EHVX04S18CB EHVX08S18CB EHVX08S26CB EHVX11S18CB

Részletesebben

I/A. Az alkalmazottak adatai

I/A. Az alkalmazottak adatai A 2011. évi CCIV. törvény 3. melléklete alapján I. A felsőoktatási intézményekben nyilvántartott és kezelt személyes és különleges adatok I/A. Az alkalmazottak adatai a) név, nem, születési név, születési

Részletesebben

ᔇ剷KÖN V A HFTA LNÖKSÉ I ÜLÉSÉRᔇ剷L Ideje: Résztvevőᔇ剷: ᔗ北 L szló l ök v l mi F s Tó h Is v, Sch i ich Bél, Vicso k Gy l és Z m Józs f l ökségi gok és B li Zol cs k cskoz si ogg l ᔗ北 L szló m g yi z l ökségi

Részletesebben

A hőérzetről. A szubjektív érzés kialakulását döntően a következő hat paraméter befolyásolja:

A hőérzetről. A szubjektív érzés kialakulását döntően a következő hat paraméter befolyásolja: A hőérzeről A szubjekív érzés kialakulásá dönően a kövekező ha paraméer befolyásolja: a levegő hőmérséklee, annak érbeli, időbeli eloszlása, válozása, a környező felüleek közepes sugárzási hőmérséklee,

Részletesebben

II./2. FOGASKEREKEK ÉS FOGAZOTT HAJTÁSOK

II./2. FOGASKEREKEK ÉS FOGAZOTT HAJTÁSOK II./. FOGASKEREKEK ÉS FOGAZOTT HAJTÁSOK A FOGASKEREKEK FUNKCIÓJA ÉS TÍPUSAI : Az áéel (ahol az index mindig a hajó kereke jelöli): n ω i n ω A fogszámviszony (ahol az index mindig a kisebb kereke jelöli):

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI: ELÉGTELEN

PRÓBAÉRETTSÉGI: ELÉGTELEN VÉLEMÉNYEK PRÓBAÉRETTSÉGI: ELÉGTELEN Az új, készinû éreségivel eddig csak véleményezésre kiküldö anyagok formájában alálkozam. Már ezek alapján sem váram sok jó. Nem a ké szinel kapcsolaban vannak fennarásaim

Részletesebben

Kína 2015.08.01 3:00 Feldolgozóipari index július 50.1 USA 2015.08.03 16:00 Feldolgozóipari index július 53.5

Kína 2015.08.01 3:00 Feldolgozóipari index július 50.1 USA 2015.08.03 16:00 Feldolgozóipari index július 53.5 www.kh.hu 215.7.31 Nyersanyagpiaci hírlevél piaci áekinés nyersanyag megnevezés akuális 2 héel ezelői kőolaj réz LME 3hó () 5298 5565 A Bren kőolaj a folyaa a mélyrepülés az elmúl ké hében, és 9%-al kerül

Részletesebben

SPEKTROSZKÓPIA: Atomok, molekulák energiaállapotának megváltozásakor kibocsátott ill. elnyeld sugárzások vizsgálatával foglalkozik.

SPEKTROSZKÓPIA: Atomok, molekulák energiaállapotának megváltozásakor kibocsátott ill. elnyeld sugárzások vizsgálatával foglalkozik. SPEKTROFOTOMETRI SPEKTROSZKÓPI: omok, molekulák energiaállapoának megválozásakor kibosáo ill. elnyeld sugárzások vizsgálaával foglalkozik. Más szavakkal: anyag és elekromágneses sugárzás kölsönhaása eredményeképp

Részletesebben

ľ ľ ő ü ő ő ő ü ü ő ľ ń ő ő ü ľ ö ü É Íľ ľ É É ą Á É Ü É Ü ą Á É Í Ü É ľ É Ü É É ľ ľé ľ ü ź ź Í ő ő ľ ő ő ů ľ Ü ö ľ ö ź ö ö ő ľ ź ű ľ ö ö ö ő ő ľ ź ľ ő ť ľ ü ę ü ľ ľ ľ ľ ú ő ź ő ć úő ő ú ľ ú ť Ł Ż Á ľ

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról Összegezés az ajánlaok elbírálásáról 9. mellékle a 92/211. (XII. 3.) NFM rendelehez 1. Az ajánlakérő neve és címe: Budesi Távhőszolgálaó Zárkörűen Működő Részvényársaság (FŐTÁV Zr.) 1116 Budes Kaloaszeg

Részletesebben

Ó á í á ő Í í ű á űí ű í í íá ű á ű í í íá íáá á í áí á ű ő ő á ú í á á ő á ő ú á á ö ő ő á ő í á ö á á ó ő á á ó í á á á ő í Á á ő á ő ó í á á á ő á ó ő í ő á í ú ö ó ö á á á ó ó ö ő ó í á á ó ü á ő ü

Részletesebben

Jelzáloghitel-törlesztés forintban és devizában egyszerű modellek

Jelzáloghitel-törlesztés forintban és devizában egyszerű modellek Közgazdasági Szemle, LXii. évf., 215. január (1 26. o.) Király Júlia Simonovis András Jelzáloghiel-örleszés forinban és devizában egyszerű modellek A devizaalapú jelzáloghielek néhány éves népszerűség

Részletesebben

LUCKY LUKE AZ EMBER, AKI GYORSABBAN LÔ, MINT AZ ÁRNYÉKA

LUCKY LUKE AZ EMBER, AKI GYORSABBAN LÔ, MINT AZ ÁRNYÉKA KÉN (S) megnevezése a nyelvújíás idején is kevese válozo, ez megelôzôen Zay büdöskônek is neveze 1791 (Zay: Mineralógia), Kovás is így emlíi 1822 (Kovás: Ásványnévár); a nyelvújíás idején kénô 1829 (Schuser:

Részletesebben

É ú ő ú Ö ő ü ü ú í í ö ő ő ő ü ć í Í ú í ű ü ő ő í ő ő ő ö ő í í ú í ű Ĺ ő í ő ő ú ő Ĺ ő Í í ő Ĺ ú ú í ű Í ü ő ő ę ü í í í í í ö Ĺ ő ö ő í ö ű Í ö ú í ű ő ö ú ú Ö ü ö í ö ű Ü ű ö ú Ö ü ę ę ő ú ü ę ő ö

Részletesebben

XV. Tornyai Sándor Országos Fizikai Feladatmegoldó Verseny a református középiskolák számára Hódmezővásárhely, 2011. április 1-3. 9.

XV. Tornyai Sándor Országos Fizikai Feladatmegoldó Verseny a református középiskolák számára Hódmezővásárhely, 2011. április 1-3. 9. A vesenydolgozatok megíásáa 3 óa áll a diákok endelkezésée, minden tágyi segédeszköz tesztek teljes és hibátlan megoldása 20 pontot é, a tesztfeladat esetén a választást meg kell indokolni. 1. 4 db játék

Részletesebben

DIPLOMADOLGOZAT Varga Zoltán 2012

DIPLOMADOLGOZAT Varga Zoltán 2012 DIPLOMADOLGOZAT Varga Zolán 2012 Szen Isván Egyeem Gazdaság- és Társadalomudományi Kar Markeing Inéze Keresle-előrejelzés a vállalai logiszikában Belső konzulens neve, beoszása: Dr. Komáromi Nándor, egyeemi

Részletesebben

7.1 ábra Stabilizált tápegység elvi felépítése

7.1 ábra Stabilizált tápegység elvi felépítése 7. Tápegységek A ápegységek az elekronikus rendezések megfelelő működéséhez szükséges elekromos energiá bizosíják. Felépíésüke és jellemzőike a áplálandó rendezés igényei haározzák meg. A legöbb elekronikus

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR ELEKTROTECHNIKAI-ELEKTRONIKAI TANSZÉK DR. KOVÁCS ERNŐ ELEKTRONIKA II.

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR ELEKTROTECHNIKAI-ELEKTRONIKAI TANSZÉK DR. KOVÁCS ERNŐ ELEKTRONIKA II. MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉNÖKI ÉS INFOMATIKAI KA ELEKTOTECHNIKAI-ELEKTONIKAI TANSZÉK D. KOVÁCS ENŐ ELEKTONIKA II. (MŰVELETI EŐSÍTŐK II. ÉSZ, OPTOELEKTONIKA, TÁPEGYSÉGEK, A/D ÉS D/A KONVETEEK) Villamosmérnö

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK 5. Beruházások

GYAKORLÓ FELADATOK 5. Beruházások 1. felada Egymás kölcsööse kizáró beruházások közöi válaszás. Ké külöböző ípusú gépe szerezheük be egyazo művele elvégzésére. A ké egymás kölcsööse kizáró projek pézáramlásai ($) a kövekező ábláza muaja:

Részletesebben

6 ANYAGMOZGATÓ BERENDEZÉSEK

6 ANYAGMOZGATÓ BERENDEZÉSEK Taralomjegyzék 0. BEVEZETÉS... 7. ANYAGMOZGATÓGÉPEK ÁLTALÁNOS MOZGÁSEGYENLETEI... 9.. Ado mozgásállapo megvalósíásához szükséges energia... 0.. Mozgásállapo meghaározása ado energiaforrás alapján... 5.

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály 2012. november 12. Feladatok: PÉCSI ISTVÁN, középiskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: LADÁNYI ANDREA, középiskolai tanár TÓTH JÁNOS, középiskolai

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Elektrosztatika (Vázlat)

Elektrosztatika (Vázlat) lektosztatika (Vázlat). Testek elektomos állapota. lektomos alapjelenségek 3. lektomosan töltött testek közötti kölcsönhatás 4. z elektosztatikus mezőt jellemző mennyiségek a) elektomos téeősség b) Fluxus

Részletesebben

8 A teljesítményelektronikai berendezések vezérlése és

8 A teljesítményelektronikai berendezések vezérlése és 8 A eljesíményelekronikai berendezések vezérlése és szabályzása Vezérlés ala a eljesíményelekronikában a vezérel kapcsolók vezérlõjeleinek elõállíásá érjük. Egy berendezés mûködésé egyrész az alkalmazo

Részletesebben