Valek Béla. Modern Fizika Kézikönyv I. Általános Relativitáselmélet
|
|
- Zsuzsanna Orbán
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle
2
3 Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle A dokumenum bámely észé, vagy egészé ilos anyagi haszonszezés céljából sokszoosíani, amennyiben aól az íó máskén nem endelkezik. A dokumenum egyébkén szabadon felhasználhaó, amennyiben ez az oldal aalmazza és foáskén meg van jelölve. Valek Béla, bvalek@yahoo.com A könyv a kövekező szabad szofveek felhasználásával készül: OpenOffice.og 3..1 Copyigh 000, 010 Oacle és/vagy leányvállalaai. A eméke az OpenOffice.og alapján készíee: FSF.hu Alapívány. Maxima 5..1 using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL.6.8 (a.k.a. GCL) Disibued unde he GNU Public License. Dedicaed o he memoy of William Schele. Euphoia Inepee fo 3-bi DOS Copyigh (c) Rapid Deploymen Sofwae 007
4 Bevezeés Bevezeés Ez a sooza példákon és levezeéseken keeszül muaja be a moden fiziká. A émák felépíése a hagyományos udományöénei vonal helye pakikus szemponoka köve. Előszö felépíjük azoka a maemaikai keeeke, melyeken belül az ado modellek mozognak, majd hiányalanul levezejük a legfonosabb kövekezményeke, és fiss kísélei eedményekkel vejük őke össze. A köeek felhasználhaóak a szakeüleükön efeenciaanyagnak, illeve alkalmas önálló anulása is az egyes émákban. Az egyeemi okaásban gyakolaok segédeszközekén ehenek hasznos szolgálao. Az első köe az álalános elaiviáselméleel foglalkozik. A megnevezésnek csupán udományöénei oka van, az elmúl évszázadban egymás uán nyeek kísélei igazolás Einsein elméleének kövekezményei. Klasszikus eüleől van szó, ahol évszázados udományfilozófiai gondolaok nyeek maemaikai megfogalmazás, majd kísélei bizonyíás. Fonos megjegyezni, hogy az a hagyományos mechanikai világkép, amiől sokszo az állíjuk, hogy könnyebben felfoghaó, valójában egy félkész szellemi emék. Az álalános elaiviáselméle alapfelevései héköznapi apaszalaokból meíenek. A é göbülségének belőlük kövekező felismeése valójában a Föld gömbölyű alakjának a megééséhez hasonló, és ha a maemaikai alapokkal iszában vagyunk, nem is köveel komoly képzelőeő. Az Olvasóól feléelezek némi felsőfokú alapismeee maemaika, és a hagyományosabb fizikai ágyak köében, de csak annyi maemaikai ejengősség van a könyvben, amennyi a fizikához felélenül szükséges. A diffeenciálszámíás hagyományos jelölései használjuk, illeve indexes mennyiségeke. A fizikai levezeésekben mindenhol az SI-méékendsze használjuk Valek Béla 4
5 Bevezeés Taalomjegyzék Bevezeés...4 Ábajegyzék...8 Megfigyelések...9 Jelölések és állandók Alapok Koodináa-endszeek Tenzook Kovaiáns deiválás Konnexió ulajdonságai Roáció Páhuzamos elolás Konnexió és meikus enzo Legövidebb ú Meikus enzo kovaiáns deiválja Göbe meni deivál Auopaallel egyenesek egyenlee Geodeikus menén megmaadó mennyiségek Göbüle Páhuzamos elolás zá kö menén Egyenesek elhajlása Inegálás Vaiáció és haáselv Runge-Kua közelíés Példák Kédimenziós felüle göbülee Sík Henge Kúp Gömb Paaboloid Hipeboloid Bolyai sík Kaenoid Helikoid Hipebolikus paaboloid Tóusz Sík és álalános éidő Sajáidő Loenz-anszfomáció Sebesség és gyosulás összeadása A fény abeációja Dopple-effekus Események soendje Enegia és lendüle Relaiviszikus akéa
6 Taalomjegyzék 3.9 Fénynél gyosabb észecskék Kömozgás és Thomas pecesszió Gaviációs vööselolódás Gömbszimmeikus éidő Gömbszimmeikus koodináa-endsze Schwazschild-koodináák Geodeikus egyenleek Gaviációs vööselolódás Féegjáa Newoni közelíés Kö alakú pálya Felszíni gyosulás és lebegés Geodeikus pecesszió Köpályák sabiliása Napközelpon vándolása Fényelhajlás Áapály Zuhanó pálya Izoóp koodináák Gaussi poláis koodináák Fogó Schwazschild-koodináák Kuskal-Szekees koodináák Kuskal-Szekees éidő Fogó fekee lyuk éideje Tengely-szimmeikus éidő Ens-egyenle A Ke-megoldás levezeése Koodináaszingulaiások Vööselolódás Téidő csavaodása Egyenlíői köpálya Ke-Schild meikák Tomimasu-Sao éidők Anyagi közegek éideje Enegia-impulzus enzo Einsein-egyenle anyagi közegben Ideális folyadék Gömbszimmeikus égies Állandó sűűségű gömb Zuhanás a középponba Relaiviszikus po Összeomló gömb alakú pofelhő Elekomágneses kölcsönhaás Elekomágneses hullámok Klein-Godon egyenle Poca egyenle Diac egyenle Weyl egyenle
7 Taalomjegyzék 7. Gaviációs hullámok A meikus enzo felbonása A meika vizsgálaa Síkhullám megoldások Másodendű közelíés Példák Világegyeem éideje Feléelezések Poziív göbüle Negaív göbüle Nulla göbüle Kozmológiai vööselolódás Hubble övény Síkbeli geomeia Álalános Fiedmann-egyenleek Világmodellek...6 Függelék...66 A.1 Makoszkopikus kölcsönhaások egyesíése...66 A. Elekomosan ölö gömbszimmeikus fekee-lyuk...7 Összefoglalás...83 Iodalomjegyzék...84 Tágymuaó
8 Taalomjegyzék Ábajegyzék Galilei, Clausius, Maxwell, Einsein, Kaluza...1 sík deékszögű koodináákkal...49 sík poláis koodináákkal...50 henge...50 kúp poláis koodináákkal...51 kúp deékszögű koodináákkal...51 gömb poláis koodináákkal...5 gömb deékszögű koodináákkal...53 paaboloid poláis koodináákkal...55 paaboloid deékszögű koodináákkal...55 egypalású hipeboloid...57 képalású hipeboloid poláis koodináákkal...58 képalású hipeboloid deékszögű koodináákkal...58 akoid...60 kaenoid...61 helikoid...6 hipebolikus paaboloid...63 óusz...66 Minkowski koodináa-endsze...69 féegjáa poláis koodináákkal féegjáa deékszögű koodináákkal lebegő es gyosulása geomeiai poenciál...15 gaviációs lencse áapály - Nap haása a Földe áapály - fekee lyuk haása póbaese zuhanó es pályája sajáidőben zuhanó es pályája koodináa időben...14 Kuskal-Szekees koodináák eljes féegjáa poláis koodináákban eljes féegjáa deékszögű koodináákban Kuskal-Szekees éidő fogó fekee-lyuk hosszmesze zuhanás égies belsejében...09 gyosulás égies belsejében...10 összeomló pofelhő
9 Megfigyelések Megfigyelések Lehe, hogy csak az ézékszeveink csapnak be minke, de nem éezzük, hogy a Föld közel 30 km/másodpeces sebességgel száguld a Nap köül. Valójában, az sem udjuk megmondani egy óceánjáó belsejében, hogy a kiköőben vagyunk-e még, vagy má a nyíl vízen szeli a haboka. Az igazság az, hogy nemcsak mi nem udjuk, (ideális eseben) a műszeeink sem észlelik a különbsége. Lehe, hogy csak ponalanok, de az is lehe, hogy valami elvi dolog akadályoz meg minke benne, hogy megállapísuk az abszolú sebességünke. Ez a Galileo Galileiől számazó elaiviási elv. Az idő egy iányba öénő haladása, vagyis az ok és kövekezmény soendje annyia magáól éeődő, és emészees apaszalaunk, hogy egész meglepő, ha ez még ki is kell jeleneni. Súlyos logikai poblémák meülnének fel, ha nem így lenne, mégsem mondhaunk más, min hogy eddig nem apaszalunk más. Ennek a gondolanak akko le nagy jelenősége, amiko Rudolf Clausius felismee az enópiá, melynek a válozása kijelöli az idő iányá. Vegyük azonban figyelembe, hogy ezzel a éellel semmi nem állíounk az idő múlásának méékéől, vagy méékének állandóságáól. A fény ézékelheelenül gyosan ejed a mi fogalmainkhoz képes. Azonban má eze évvel ezelő Ibn al-hayham aab udós felveee, hogy egy ejedő jelenségől van szó, aminek ennél fogva ejedési sebessége kell, hogy legyen. Csillagászai méeű jelenségek eseében vesszük csak észe, illeve a mi szemünknél övidebb eakcióidejű műszeeink ézékelheik. Igen fonos az, hogy a sebessége vákuumban mindenko egyfaja, és állandó, minden megfigyelő számáa, függelenül a mozgásállapoukól, aminek az elmélei megalapozásá James Clek Maxwell egyenleei adják. Annyia megbízunk ebben a apaszalaban, hogy a ávolság egységének, a mée definíciójának az alapjául válaszouk SI egységekben. Ha ez nem így lenne, akko például egy nagyon gyos jámű lehagyhaná, és a fedélzei műszeek má nem a megszoko ééke ménék. Ezzel viszon meghaáozhanánk az abszolú sebességünke, amiől úgy udjuk, hogy leheelen. Űhajósjelölek a paabolikus pályán zuhanó epülőgépben (a hányaógépben ) övid időe megapaszalhaják a világűbeli súlyalanságo. Vidámpaki szimuláook pedig háadönik a láogaóika, bá csak a sajá súlyuka ézik, mégis az hiszik, hogy gyosulnak. Ha hielen elindulna közben a eheauó, amie felszeelék a beendezés, a ben ülők nem udnák megállapíani, hogy ényleg gyosulnak-e, vagy csak hanya fekszenek az ülésben. Ismé ké megkülönbözeheelen jelenség, ehá jelensük ki hogy megegyeznek, ez Albe Einsein ekvivalencia-elve. Elekomágneses haása gyosuló esek úgy viselkednek, minha gaviáció hana ájuk, hasonló apaszalai övény íja le a mozgásuka. Viszon ez az eő függ aól, hogy van-e eedő ölésük, ső nem csak vonzani, aszíani is képes. Ennek ellenée az álalános elekomágneses és gaviációs ében mozgó észecske pályájá le lehe íni iszán geomeiai eszközökkel, ahogy az Theodo Kaluza megmuaa. A megfogalmazo kijelenésünk lényegében az fogja jeleni, hogy a ölö műsze nem mé különbsége gaviációs, elekomos gyosulás, vagy a súlyalanság állapoa közö. Az álalános elaiviáselméle ezeken a megfigyeléseken alapszik, és a éidő viselkedésé íja le, illeve a kölcsönhaásá a benne lévő anyaggal. Ezzel léehoz egy keee, amiben az összes öbbi fizikai modell leíhaó. 9
10 Jelölések és állandók Jelölések és állandók A könyv folyamán végig az indexes jelölésmódo használjuk. Az indexek mindig egybeűsek, és a kövekező ábláza összefoglalja, hogy hol és milyen jelenéssel használjuk őke: eek szabad indexek összegzési indexek 3D-s é (1 3) álalános é (1 N) i, j, k, l, m, n a, b, c, d, e, f 4D-s éidő (0 3) η, κ, μ, ν, ξ, σ α, β, γ, δ, ε, ζ 5D-s éidő (0 4) spino-é (1 4) P, Q, R, S, T, U A, B, C, D, E, F Az egyenleek ké oldalán ugyanannyi szabad indexnek kell lennie, hiszen valójában annyi egyenleünk van, amennyi a dimenziók száma szoozva a szabad indexek számával: v i =a u i b i v 1 =a u 1 b 1, v =a u b, v 3 =a u 3 b 3 Azoka a agoka amelyekben összegzési indexek vannak, összegzés kell éeni, mégpedig annyiszo amennyi a dimenziók száma: N s=v a u a = v a u a =v 1 u 1 v u v 3 u 3 a=1 A Konecke-dela: i j = { 1, i= j 0, i j A koodináa-endszeeke, amikben az egyes mennyiségek fel vannak íva, bal alsó saokban lévő indexszel jelezzük. Különböző ponokban felí mennyiségeke különböző beűkkel jelöljük, ahol csak leheséges. Kéindexű máix deeminánsa kiszámíhaó a kövekező ekuzív képleel: M ij = 1 a 1 M 1 a M i 1 j a Késze konavaiáns meikus enzo komponenseinek kiszámíása késze kovaiáns meikus enzoból: g kl = 1k l g i k j l g ij A Lambe-függvény deiválja és inegálja: dw x dx 1 = e W x W x1 W x dx= x W x 1 W x 1 C 10
11 Jelölések és állandók Temészei állandók: fénysebesség: c=, m s gaviációs állandó: =6, m 3 Idő és ávolságegységek: kg s Júlián év: csillagászai egység: fényév: pasec: 1a=365,5 nap=3, s 1 AU =1, m 1 fényév=9, m 1 Pc=3, m =, AU =3, fényév 11
12 1. Alapok 1. Alapok Ebben a fejezeben bevezejük az a maemaikai nyelvezee, ami az álalános elaiviáselméle használ. A célunk az, hogy méheő mennyiségeke aláljunk, amikkel a öbbdimenziós felüleeke jellemezni udjuk. Ezzel a poblémával a diffeenciál-geomeia foglalkozik, és az alkalmazo módszeek hasonlóak azokhoz, amike a földméők használnak. Maga a geomeia szó is földméés jelen, mely évén a émánk egy ősi udományhoz kapcsolódik, melye má az anik világban is nagy szakéelemmel művelek. Amíg a geodéák a Föld göbül felszíné, mi a göbül éidő fogjuk feléképezni, de a céljaink ponosan ugyanazok: ájékozódni, ávolságoka méni, vagy megkeesni a legövidebb ua ké pon közö, és így ovább. Láni fogjuk, hogy a ée vonakozó naiv, földhöz agad feléelezésekből kiindulva endkívül álalános, válozaos ulajdonságokkal endelkező geomeiá lehe felépíeni, melyben az összes fonos geomeiai mennyisége meg udjuk haáozni. Ebből levonhajuk magunknak a anulságo, hogy amiko az egyszeű sík éől gondolkozunk, valójában számos ki nem mondo megköéssel és feléelezéssel élünk, melyek nem kövekeznek auomaikusan a kezdei feléeleinkből. 1.1 Koodináa-endszeek Képzeljünk el egy eszőleges ee, melynek a ponjai egyedi számsookkal különbözejük meg, melyeke úgy válaszunk meg, hogy egymáshoz közeli ponok eseén a számsook száméékei is közel essenek egymáshoz. A számsooka annyi szám alkoja, amennyi a ponok egyéelmű azonosíásához felélenül szükséges. Más szóval egy koodináa-endsze veszünk fel benne, ahol a számsooka koodináavekooknak, az őke alkoó számoka pedig koodinááknak hívjuk, melyeke megállapodás szein jobb felső indexszel jelölünk. Az x pon helyzeé jelölő koodináaveko i.-ik eleme: x i (1.1.1) Ezek a számsook emészeesen nem kizáólagosak, eszőlegesen úja lehe számozni a é ponjai. Ha más logika szein oszjuk ki a soszámoka, egy másik koodináa-endsze veszünk fel, ami egy -essel jelölünk a bal alsó saokban, ahol a koodináák függenek az első koodináaendszeben felve koodináákól: x i = x i ( 1 x j ) (1.1.) Rendeljünk hozzá a é minden ponjához egy számo, vagy más néven skalá. Egy skalámező a ponok függvényében adunk meg, ennek az úgyneveze skaláfüggvénynek az ééke egy ado ponban emészeesen függelen a koodináa-endszeől: x i x i = x i 1 (1.1.3) Válasszunk egy koodináa-endszeben ké különböző pono: 1
13 1.1 Koodináa-endszeek x i y i = x i + Δx i (1.1.4) A skalámező ezekben a ponokban felve éékeinek különbsége nem függ aól, hogy milyen koodináa-endsze válaszounk: x i = x i 1 y i 1 = x i y i (1.1.5) A mező éékének válozási sebessége a koodináák szeini paciális deiválja: lim x 0 x i x i x i = xi x i x i Ez megszoozva a mege úal megkapjuk a mező éékének válozásá egy koodináa menén. A mező éékének infiniezimálisan kicsi eljes válozásá úgy közelíjük, hogy egyszeűen összeadjuk a válozásoka az egyes koodináák menén, így megkapjuk a eljes deivála, ahol az a indexe a jelölésendszeünk szabályai szein összegzés végzünk: d = lim x 0 x i x i x i x a x a = xi dx a x a Így ha végelenül kicsie csökkenjük a ké pon közöi ávolságo, akko az a kövekezőképpen udjuk deiválakkal kifejezni ké különböző koodináa-endszeben: d = a 1 x a 1 dx = a x a dx (1.1.6) A skalámező éékének koodináánkéni válozása függ aól, hogy milyen koodináa-endsze alkalmazunk. Megvizsgáljuk, hogy a válozás az egyik koodináa menén mekkoának lászik a másik koodináa-endsze koodináái menén. Hogy kevésbé legyenek zsúfolak a képleek, a ovábbiakban öbbnyie elhagyjuk az 1-es indexe. d = x a dxa / 1 x i x i = x a x a x i (1.1.7) Ezzel megkapuk a skalámező paciális deiváljának anszfomációjá. A koodináa-diffeenciál anszfomációjához behelyeesíjük a koodináaválozás: dx i = xi x a dxa (1.1.8) A keejük skalászozaa a eljes deivál, ami koodináa-endszeől függelen: 13
14 1.1 Koodináa-endszeek dx a x a = xb x b xa x a x c dxc = (1.1.9) x b dxb Végelenül kicsi elmozdulás eseén mindké koodináa-endszeben váloznak a koodináák. A válozások kölcsönös aányai a ké koodináa-endsze közö a anszfomációs máixo alkoják: i j = xi x j 1 i 1 j = xi x j (1.1.10) Azoka a mennyiségeke, melyek úgy anszfomálódnak, min a skalámező paciális deiváljai, elnevezzük kovaiáns vekooknak, melyek a é ponjai ugyanúgy beszámozhaják, csak egy másik logika szein. I az index megállapodás szein a jobb alsó saokba keül: x = i x a a i v i = x i Kovaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a skalámező paciális deiváljai: v i =v a xa x i =v a i a (1.1.11) Azoka a mennyiségeke pedig, melyek úgy anszfomálódnak min a koodináa-diffeenciálok, elnevezzük konavaiáns vekooknak. I az index helyzee nem válozik: dx i = xi v i =dx i x a dxa Konavaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a koodináa-diffeenciálok: v i = xi i = x a va a v a (1.1.1) Ha felcseéljük a koodináa-endszeeke, akko a fodío anszfomációs képleek a kövekezők: v i = xi v a x a = i a v a v i = v a x a = v x i a a i (1.1.13) A diffeenciál ecipoka úgy anszfomálódik min egy kovaiáns veko: 1 dx i = 1 1 i a dx = xa 1 a x i dx = a i a 1 dx a (1.1.14) 14
15 1.1 Koodináa-endszeek A feniekből kövekezik, hogy a kovaiáns és konavaiáns vekook skalászozaa is függelen aól a koodináa-endszeől, melyben felíuk a komponenseike, és az eedmény egy skalá: v a u a =v b b a a c u c =v b u b (1.1.15) Készees anszfomáció végzünk, egy veko felíunk egy másik koodináa-endszeben, majd visszaéünk az eedeibe: v i = xi v a x a = i a v a v i = i b v a b a = i a v a v i =v a xi x a =va i a A anszfomációs máixok skalászozaa a Konecke-dela: i a a j = i j = xi x a xa x j (1.1.16) 1. Tenzook Azok a mennyiségek, melyeke vekook szozaából állíunk elő, a enzook családjába aoznak. Ezek speciális enzook, me csak n m számól függenek, ahol m a vekook száma, n pedig a koodinááké: v i u j w k p l q m =T ijk lm (1..1) Viszon egy ilyen enzo epezenáló máixnak n m függelen komponense is lehe, és ez az álalános enzoa is igaz. Ebből levezeheő a anszfomációs szabály: Tenzo: olyan T mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko a kövekezőképpen anszfomálódik: ijk i T lm= a b j c k abc T d l e m (1..) de Jól lászik a feni összefüggésen, hogy ha a enzo összes komponense nulla, akko ez így maad bámilyen koodináa-anszfomáció eseén. A enzo angja az indexek száma, egy skalá nullad-angú enzo, a veko elsőangú, és így ovább. Álalános enzook szozaa szinén enzo, például: A ijk B lm =T ijk lm (1..3) Tenzook összegé csak ugyanolyan ang eseén udjuk éelmezni, például: 15
16 1. Tenzook ij A k B k ij i = a j b A c ab B ab c c k (1..4) Szoozzunk össze egy eszőleges enzo olyan vekookkal, amikkel mindegyik indexe összegzés végzünk. A feniek szein egy invaiáns skalá kapunk: T abc v a u b w c p d q e =s (1..5) de Ha nem ismejük egy öbbindexű mennyiség emészeé, a feni összefüggés használaával bebizonyíhaó, hogy enzo. Ugyanis ha felíjuk egy másik koodináa-endszeben, a anszfomációs máixok csak akko ejik ki egymás, ha a öbbindexes mennyiség ugyanannyi vonula fel belőlük, min amennyi a vekooka anszfomálja. A Konecke-dela ééke egyező indexek eseén egy, különböző indexeknél nulla. A feni összefüggés alapján enzo, mégpedig egy speciális faja, mivel a komponensei külön-külön is invaiánsak: b a v a u b =v b u b =s (1..6) A kovaiáns vekookkal is be lehe számozni a é ponjai, ezeke a számsooka a kovaiáns koodináák alkoják: x i (1..7) Tulajdonképpen ez is csak egy koodináa-endsze a sok leheséges közül, ezé minden bizonnyal á lehe anszfomálni egy pon konavaiáns koodináái kovaiáns koodináákká. Ezé legyen a második koodináa-endsze a kovaiáns, így a koodináa-válozások kölcsönös aányai egy g ij szimmeikus mennyisége alkonak: x i x j 1 g ij = x i x j = x j x i =g ji (1..8) v i =v a xi v x a i =v a x i x a =va g ia (1..9) Fodío iányban: 1 x i x j g ij = xi x j = x j x i =g ji (1..10) v i =v a xa x i v i =v a xa x i =v a g ai (1..11) A veko konavaiáns és kovaiáns válozaának skalászozaa invaiáns skalá ami a veko hossza ehá az új mennyiségünk enzo-jellegű: 16
17 1. Tenzook v a v a =v a v b g ab =v b v a g ba (1..1) A segíségével indexeke is lehe emelni és süllyeszeni, úgyhogy nevezzük el meikus enzonak: v a u b w c p d q e g ai g bj g ck g dl g em =v i u j w k p l q m T abc de g ai g bj g ck g dl g em =T ijk lm (1..13) Készees anszfomáció végzünk, egy konavaiáns veko felíunk kovaiáns alakban, majd visszaíjuk konavaiánssá: v i =v a g ab g bi =v a a i A meikus enzook skalászozaa a Konecke-dela: g ia g aj = i j = x i xa x a (1..14) x j Ha minden indexe összegzünk, akko az eedmény a dimenziószám: g ab g ab = b b =N (1..15) Egy kéindexű álalános enzo mindig fel lehe bonani egy szimmeikus és egy aniszimmeikus enzo összegée. Az egymással szemben lévő enzokomponensek álagolásával szimmeikus enzo hozhaó lée: s T ij = 1 T ijt ji = 1 T jit ij = s T ji (1..16) Az álalános enzoból kivonva az eedmény egy aniszimmeikus enzo: T ij a =T ij s T ij =T ij 1 T ijt ji = 1 T ij T ji = 1 T ji T ij = a T ji (1..17) melynek a diagonális elemei nullák: a T ii = 1 T ii T ii =0 (1..18) Az összegük visszaadja az eedei enzo: s T ij a T ij = 1 T ijt ji 1 T ij T ji =T ij (1..19) Álalános kéindexű enzo indexeinek megfodíása: T ij =T ji a T ij (1..0) 17
18 1. Tenzook Tenzookkal epezenálhaó mennyiségeke és a belőlük alkoo egyenleeke kovaiáns mennyiségeknek, illeve kovaiáns egyenleeknek hívjuk. Ebben a megnevezésben a kovaiancia nem a kovaiáns vekooka ual, hanem aa, hogy az ezekből a mennyiségekből alkoo egyenleek alakja enzoanszfomációka invaiáns. 1.3 Kovaiáns deiválás A fejeze címében szeeplő kovaiáns szó szinén nem a kovaiáns vekooka vonakozik, hanem a enzoanszfomáció-invaiancia megnevezése. Deiváljuk a skaláfüggvény paciális deiválja anszfomációs összefüggésének mindké oldalá: = xa x i a x x i / x j = x j x i x j x a x x i x a x j x i a x a (1.3.1) A jobb oldal első agjában anszfomáljuk az egyik nevező diffeenciál a másodikból az első koodináa-endszebe: a x j x a x = xb x i x b x a xa x j x i Visszahelyeesíjük: = xb x j x i x b a x a x x j x i x a x a x j x i (1.3.) A skalámező második paciális deiválja, ami a kovaiáns veko paciális deiválja, nem úgy anszfomálódik min egy enzo. Felíjuk és behelyeesíjük a feni képlebe: v i = x i v i = v a xb x j b x x j xa v x i a x a x j x i (1.3.3) Áendezzük a képlee, és anszfomáljuk az egyik ago szozó veko az első koodináaendszeből a másodikba: v a xb x b x j xa x i = v i x j v a x a x j x i 18
19 1.3 Kovaiáns deiválás v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i (1.3.4) Tegyük fel, hogy egy kovaiáns vekomező konsans egy ado koodináa-endszeben, vagyis a paciális deiválja mindenhol nulla: v i =0 j (1.3.5) x Felíjuk ez az összefüggés egy másik koodináa-endszeben, és felesszük, hogy o is nulla: v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x =0 (1.3.6) a x j x i Bevezeünk egy új jelölés a második agban: b ji = xb x a x a x j x i (1.3.7) Ez az összefüggés eszőleges koodináa-endszeben leíja, hogy a vekomező paciális deiválja elűnik az eedei koodináa-endszeben: v i b v x j b ji =0 (1.3.8) Az új jelölés ami bevezeünk egy speciális ípusú konnexió, ami mindig szimmeikus az alsó ké indexében. Definiáljuk vele a kovaiáns veko kovaiáns deiváljá, majd kövekezik a konnexió álalános definíciója: j v i = v i x v b j b ji (1.3.9) Konnexió: olyan Γ mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko bizosíja, hogy az kovaiáns deivál úgy anszfomálódjon min egy enzo: j v i = v i x v a j a ji j v i = b v a b a j i (1.3.10) Azok az álalános mennyiségek amelyek kielégíik a konnexió definíciójá viszon má nem felélenül szimmeikusak. Egy skalámező paciális deiválja enzo, ezé legyen ez a kovaiáns deiválja: i = x i (1.3.11) Kovaiáns és konavaiáns veko skalászozaának az eedménye egy skalá: 19
20 1.3 Kovaiáns deiválás i u a v a = ua v a x i (1.3.1) i u a v a u a i v a = ua x i v a ua v a x i i u a v a u a v a x i ua v b b ia = ua x i v a ua v a x i i u a v a = ua x i v au a b v b ia / 1 v a A konavaiáns veko kovaiáns deiválja: i u j = u j x i ua ia j (1.3.13) Mos má eszőleges enzo kovaiáns deiváljá meg udjuk haáozni, konavaiáns és kovaiáns vekook szozaának felhasználásával: n T n T ijk lm ijk lm = n v i u j w k p l q m = n v i u j w k p l q m v i n u j w k p l q m n T ijk lm = vi x n u j w k p l q m v a i na u j w k p l q m Összevonjuk a vekooka a jobb oldalon: n T T ijk lm ijk lm x n = i na T ajk j lm na T iak k lm na A Konecke-dela kovaiáns deiválja nulla: k i j = i j x i k ak a j jk a i i a =0 jk T ija lm a nl T ijk a am nm T ijk la (1.3.14) i jk =0 (1.3.15) 1.4 Konnexió ulajdonságai 0
21 1.4 Konnexió ulajdonságai Megvizsgáljuk hogyan anszfomálódik a konnexió, ezé előszö észleesen kiíjuk a kovaiáns veko kovaiáns deiváljának anszfomációjá: v i d v x j d ji = v a xb xa (1.4.1) x v c b c ba x j x i v i d v x j d ji = v a xb x b xa v x j x i c c ba xb xa x j x i A jobboldali első ago má feljebb megismeük, behelyeesíünk: Egyszeűsíünk: v a xb b x x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i v i d v x j d ji = v i v x j b xb x x a c v a x j x i c ba xb xa x j x i x a d v d ji = v b xb x c v a x j x i c ba xb xa x j x i (1.4.) Tanszfomáljuk a jobboldali második agban lévő veko az első koodináa-endszeből a másodikba, és leegyszeűsíünk a veko szozókkal: d v d ji = v b xb x x a a x j x i v d x d x c c ba xb xa x j x i A konnexió anszfomációs szabálya: d k k ji = xk x a x a x j x i c ba xk x xa x j x i c xb (1.4.3) A konnexió ehá nem enzo-jellegű mennyiség. Az álalános konnexió szimmeikus észe: C k ij = 1 ij k k ji (1.4.4) Az álalános konnexió aniszimmeikus észe a ozió: S k ij = 1 ij k k ji k ij = k ji k S ij (1.4.5) 1
22 1.4 Konnexió ulajdonságai Behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: S k ij = 1 x e x i x xk j x e e ab x a x x b i x x k j x x e xk e x j x i x e e ba xb x x a j x i xk x e Egyszeűsíünk, a ozió anszfomációja: k = 1 e e ab ba xa x xb i x xk j x e S ij (1.4.6) A ozió a anszfomációs képlee alapján egy háomindexű enzo: k k = S ij S ij a i b k j e (1.4.7) A konnexió végelenül kicsi különbségei úgy anszfomálódnak min a enzook: első koodináa-endsze: második koodináa-endsze: j ik j = ik j x ik x x j j j ik = ik x ik x x (1.4.8) Az első képlebe behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: j ik = x e x i x k x j e x e ab x xa x xb i x x j k x e x e x i x k x j e x e ab x x xa x xb i x x j k x e j ik e = ab x xa x x b i x x j k x e e ab x x xa x x b i x x j k x e (1.4.9) A konnexió vaiációja enzo-jellegű mennyiség: j ik j = ik xa x xb i x x j k x e (1.4.10) 1.5 Roáció A kovaiáns veko deiváljának anszfomációja:
23 1.5 Roáció v i v x j b xb x x a = v a xb a x j x i b xa x x j x i (1.5.1) Ez a mennyiség nem enzokén anszfomálódik. De ha megcseéljük benne az indexeke, és kivonjuk az eedei kifejezésből, enzo-jellegű mennyisége kapunk, a neve oáció. Az összefüggés jobb oldala: v a xb x b xa v b x j x i x a x a xb x i x = v v a j x b b xb x a xa =T x j x i ab b a j i Az összefüggés bal oldala: v i x v j b xb x a x a x j x i v j x v i b xb x a x a x i x j = v i A oáció anszfomációs szabálya a másodangú enzookénak felel meg: x v j j x = T i ij T ab b j a i = T ij (1.5.) Ez a enzo aniszimmeikus: T ij = T ji = v i x j v j x i = v j x i v i x j (1.5.3) A diagonális elemei pedig mindig nullák: T ii = v v i x i i =0 i (1.5.4) x Ha az aniszimmeikus enzo paciális deiváljának az indexei ciklikusan pemuáljuk és összeadjuk, az eedmény nulla, me a vekook második deiváljai kiejik egymás: x v j j x i v j i x x v j k k x x v k j x v i i x = k v i x k x v j j x k x v j i x i x v k k x i x v k j x j x v i i x j x =0 k T ij x k T jk x i T ki x j = x k v i (1.5.5) A kovaiáns deiválból képze oáció: j v i i v j = v i x j v j x v b i b ji Ez az egyenlőség csak akko eljesül, ha a konnexió szimmeikus: b ij = v i x v j (1.5.6) j x i k k ij = ji (1.5.7) 3
24 1.5 Roáció 1.6 Páhuzamos elolás Felveszünk ké végelenül közeli pono, ezekben a ponokban vekooka, és ké különböző koodináa-endszeben is felíjuk őke. A évedések elkeülése édekében összefoglaljuk egy áblázaban a jelöléseke: Első koodináa-endsze Első pon x i x i Második pon y i y i Első ponbeli vekook v i, w i v i Második ponbeli vekook u i, q i u i Második koodináa-endsze Páhuzamosan elolunk egy veko az első ponból a másodikba, az egyik koodináa-endsze úgy vesszük fel, hogy az eedei és az új veko minden komponense megegyezzen: u i =v i (1.6.1) A kövekezőképpen számíjuk á a vekook koodináái: v i = xi v a x a u i = yi u a y a (1.6.) Behelyeesíjük az első koodináa-endszeben felí összefüggésbe: x i v a x a = yi u a y a (1.6.3) A másik koodináa-endszeben álalánosan íjunk fel egy elolás: u i = v i dv i (1.6.4) A ké pon különbsége a oális deivál, ami a második koodináa-endsze koodináái szein deiválunk: y i = x i xi dx a x a y i = xi y j x j / x i x j dx a x j x a (1.6.5) Behelyeesíjük az elolás képleébe, majd felbonjuk a záójeleke: 4
25 = x i v a x a xi x i dx a x b x b x a 1.6 Páhuzamos elolás x i v a x a = xi v b x b xi dv b x b x i vb dv b (1.6.6) x b x a dx a v b x i x b x a dx a dv b Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: 0= xi dv b x b x i dx a x b x a v b / x j x i i c x j x xc dv b c x b = x j x x c dx a c x b x a v b (1.6.7) Az egyenle bal oldalán behelyeesíjük és alkalmazzuk a Konecke-delá, a jobb oldalán a konnexió helyeesíjük be, ahogy a koábbi definíciónál eük: j ba = x j x c x c x b x a (1.6.8) dv j j = ba dx a v b Ez visszahelyeesíjük a konavaiáns veko elolási képleébe, a koodináa-endsze azonosíó számok nélkül. Az indexek minden ovábbi nélkül felcseélheők, ami meg is eszünk, ugyanis ekko ugyanaz a konnexió kapjuk meg, ami koábban definiálunk: u i =v i i ba v a dx b (1.6.9) Felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: v a w a =u a q a (1.6.10) A konavaiáns veko elolása: u i =v i dv i =v i i ba v a dx b (1.6.11) A kovaiáns veko elolása: q i =w i dw i (1.6.1) 5
26 1.6 Páhuzamos elolás Behelyeesíjük a skalászozaba: v a w a =v a a dc v c dx d w a dw a (1.6.13) v a w a =v a w a v a dw a a dc v c dx d w a a dc v c dx d dw a Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: dw i = a bi dx b w a Ez visszahelyeesíjük a kovaiáns veko elolási képleébe: q i =w i a bi w a dx b (1.6.14) Ezek alapján eszőleges enzo elolási képleé meg udjuk haáozni. I má nem használjuk a áblázaba foglal jelöléseke: v i u j w k p l q m =T ijk lm Behelyeesíjük az elolási képleeke, és elhanyagoljuk a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványai aalmazó agoka. Így csak a vekook szozaai, illeve azok a agok maadnak meg, melyek csak egysze aalmazzák a konnexió: v i i ba v a dx b u j j ba u a dx b w k k ba w a dx b p l a bl p a dx b q m a bm q a dx b = ijk i ajk T lm ba T j iak lm ba T k ija lm ba T lm a ijk a ijk bl T am bm T la dx b (1.6.15) 1.7 Konnexió és meikus enzo Az előző fejezehez hasonlóan felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: g ab x v a w b = g ab y u a q b (1.7.1) I az egyenle bal oldalán az első ponban felve vekook közöi skalászozao íuk fel, a jobb oldalon pedig a második ponban felve vekook közöi skalászozao. Az egyik meikus enzoól a végelenül közeli másikhoz sofejéssel közelíünk: g ij y=g ij x g ijx x a dx a 1 g ij x dx b (1.7.) x a x b dxa Behelyeesíjük a vekook páhuzamos elolásának képleé, és a meikus enzo sofejésé, 6
t 2 Hőcsere folyamatok ( Műv-I. 248-284.o. ) Minden hővel kapcsolatos művelet veszteséges - nincs tökéletes hőszigetelő anyag,
Hősee folyamaok ( Műv-I. 48-84.o. ) A ménöki gyakola endkívül gyakoi feladaa: - a közegek ( folyadékok, gázok ) Minden hővel kapsolaos művele veszeséges - nins ökélees hőszigeelő anyag, hűése melegíése
RészletesebbenHF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és
Házi feladaok megoldása 0. nov. 6. HF. Haározza meg az f 5 ugyanabban a koordináarendszerben. Mi a leheséges legbővebb érelmezési arománya és érékkészlee az f és az f függvényeknek? ( ) = függvény inverzé.
RészletesebbenNegyedik gyakorlat: Szöveges feladatok, Homogén fokszámú egyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Negyedik gyakorla: Szöveges feladaok, Homogén fokszámú egyenleek Dierenciálegyenleek, Földudomány és Környezean BSc. Szöveges feladaok A zikában el forduló folyamaok nagy része széválaszhaó egyenleekkel
Részletesebben5. Differenciálegyenlet rendszerek
5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:
Részletesebben3. Gyakorlat. A soros RLC áramkör tanulmányozása
3. Gyakorla A soros áramkör anlmányozása. A gyakorla célkiőzései Válakozó áramú áramkörökben a ekercsek és kondenzáorok frekvenciafüggı reakív ellenállással ún. reakanciával rendelkeznek. Sajáságos lajdonságaik
RészletesebbenGAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK
BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben. Az idősoros vizsgálaok legfonosabb
Részletesebben5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR
5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb
RészletesebbenElőszó. 1. Rendszertechnikai alapfogalmak.
Plel Álalános áekinés, jel és rendszerechnikai alapfogalmak. Jelek feloszása (folyonos idejű, diszkré idejű és folyonos érékű, diszkré érékű, deerminiszikus és szochaszikus. Előszó Anyagi világunkban,
RészletesebbenA kiszámított nyomatékok módszere (CTM - Computed Torque Method)
A kiszámío nyomaékok módszee CM - Compued oue Mehod A obokaok D+G és ID iányíási módszeei csak a onól onig iányíás eseében gaanálják a nulla állandósul állapobeli hibá illeve csak az előí eenciapon közelében
RészletesebbenA Lorentz transzformáció néhány következménye
A Lorenz ranszformáció néhány köekezménye Abban az eseben, ha léezik egy sebesség, amely minden inercia rendszerben egyforma nagyságú, akkor az egyik inercia rendszerből az áérés a másik inercia rendszerre
RészletesebbenA Coulomb-törvény : ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) k 9 10 F Q. elektromos térerősség : ponttöltés tere :
Villamosságtan A Coulomb-tövény : F QQ 4 ahol, Q = coulomb = C = a vákuum pemittivitása (dielektomos álladója) 4 9 k 9 elektomos téeősség : E F Q ponttöltés tee : E Q 4 Az elektosztatika I. alaptövénye
RészletesebbenAcélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István)
célcsöe sziládsági száíása (ía: oos Isán). eezeés. Véonyfalú egyenes cs éeezése els úlnyoása. Csíe éeezése els úlnyoása 4. Hfeszülsége éonyfalú csöeen 5. Vasagfalú cs iszán ugalas állaoa 6. Vasagfalú cs
RészletesebbenSíkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése
Szilvágyi László - Wolf Ákos Síkalapok vizsgálaa - az EC-7 bevezeése Síkalapozási feladaokkal a geoehnikus mérnökök szine minden nap alálkoznak annak ellenére, hogy mosanában egyre inkább a mélyépíés kerül
Részletesebben9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
RészletesebbenKéplékenyalakítás elméleti alapjai. Feszültségi állapot. Dr. Krállics György
Képlékeyalakíás elmélei alapjai Feszülségi állapo Dr. Krállics György krallics@eik.bme.hu Az előadás sorá megismerjük: A érfogai és felülei erőke, a feszülség ezor. A feszülség ezor főérékei és főiráyai;
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin 3 ÉETTSÉG VZSG 04. május 0. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉM Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám: 40.)
RészletesebbenGeometria tervezés alapjai
Geomeia evezés alapjai Geomeiai evezés alapjai Koodináa endsze + + k j i i, j, k az,, koodináa engelyek iányába muaó egységvekook Objekum anszfomációk Objekum elolása az elolás veko az új helyveko az elolás
Részletesebben3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)
Maemaika A3 gyakorla Energeika és Mecharonika BSc szakok, 6/7 avasz 3. feladasor: Görbe ívhossza, görbemeni inegrál megoldás. Mi az r 3 3 i + 6 5 5 j + 9 k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? A megado
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmaó 09 ÉETTSÉGI VIZSG 00. májs 4. ELEKTONIKI LPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ OKTTÁSI ÉS KULTUÁLIS MINISZTÉIUM
RészletesebbenIntraspecifikus verseny
Inraspecifikus verseny Források limiálsága evolúciós (finesz) kövekezmény aszimmeria Denziás-függés Park és msai (930-as évek, Chicago) - Tribolium casaneum = denziás-függelen (D-ID) 2 = alulkompenzál
Részletesebbenn -alkatrészfajta r -fő termékcsoportok -az i-edik alkatrészből a j-edik főcsoportba beépülő darabszám
13., ELŐAÁ A maemaikai modell ellegzees máixai, vekoai A leí kölségfüggvények felhasználásával elvégezheő oimálásokhoz szükséges adaoka a kövekező máixokból lehe leszámazani. ovábbá megelölheők az oimalizálandó
RészletesebbenDinamikus optimalizálás és a Leontief-modell
MÛHELY Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 29. január (84 92. o.) DOBOS IMRE Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell A anulmány a variációszámíás gazdasági alkalmazásaiból ismere hárma. Mind három alkalmazás
Részletesebben1. Előadás: Készletezési modellek, I-II.
. Előadás: Készleezési modellek, I-II. Készleeke rendszerin azér arunk hogy, valamely szükséglee, igény kielégísünk. A szóban forgó anyag, cikk iráni igény, keresle a készle fogyásá idézi elő. Gondoskodnunk
Részletesebben3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
3D számíógépes geomeia és alakzaekonsukció 3. Felülemeszések páhuzamosan elol és lekeekíő felüleek hp://cg.ii.bme.hu/poal/noe/3 hps://www.vik.bme.hu/kepzes/agak/viiima D. Váa Tamás D. Salvi Pée BME Villamosménöki
RészletesebbenEzért A ortogonális transzformációval diagonalizálható, vagyis létezik olyan S ortogonális transzformáció,
Kadaiku alakok A ( ) B( ) : V függén az B bilineái függénhez aozó kadaiku alaknak neezzük Minden kadaiku alak megadhaó a köekező fomában: T A ahol A zimmeiku mái é a kadaiku alak Miel A zimmeiku ezé a
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin ÉETTSÉG VZSGA 0. május. ELEKTONKA ALAPSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBEL ÉETTSÉG VZSGA JAVÍTÁS-ÉTÉKELÉS ÚTMTATÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉMA Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám:
RészletesebbenFourier-sorok konvergenciájáról
Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees
RészletesebbenA BIZOTTSÁG MUNKADOKUMENTUMA
AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA Brüsszel, 2007. május 23. (25.05) (OR. en) Inézményközi dokumenum: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 FIN 239 RESPR 5 CADREFIN 32 FELJEGYZÉS AZ I/A NAPIRENDI PONTHOZ 2. KIEGÉSZÍTÉS Küldi:
RészletesebbenELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június
GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készül a TÁMOP-4..2-08/2/A/KMR-2009-004pályázai projek kereében Taralomfejleszés az ELTE TáK Közgazdaságudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságudományi Tanszék, az
RészletesebbenPROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK
Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI
RészletesebbenTiszta és kevert stratégiák
sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,
RészletesebbenA sebességállapot ismert, ha meg tudjuk határozni bármely pont sebességét és bármely pont szögsebességét. Analógia: Erőrendszer
Kinemaikai egyensúly éele: Téel: zár kinemaikai lánc relaív szögsebesség-vekorrendszere egyensúlyi. Mechanizmusok sebességállapoa a kinemaikai egyensúly éelével is meghaározhaó. sebességállapo ismer, ha
RészletesebbenFizika A2E, 11. feladatsor
Fizika AE, 11. feladasor Vida György József vidagyorgy@gmail.com 1. felada: Állandó, =,1 A er sség áram öl egy a = 5 cm él, d = 4 mm ávolságban lév, négyze alakú lapokból álló síkkondenzáor. a Haározzuk
RészletesebbenMódszertani megjegyzések a hitelintézetek összevont mérlegének alakulásáról szóló közleményhez
Módszerani megjegyzések a hielinézeek összevon mérlegének alakulásáról szóló közleményhez 1. A forinosíás és az elszámolás kezelése a moneáris saiszikákban Az egyes fogyaszói kölcsönszerződések devizanemének
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmuaó 063 ÉETTSÉG VZSG 006. okóber 4. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ OKTTÁS ÉS KTÁS MNSZTÉM Elekronikai alapismereek
RészletesebbenRugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai
Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek emel szin Javíási-érékelési úmuaó ÉETTSÉGI VIZSG 0. okóber. ELEKTONIKI LPISMEETEK EMELT SZINTŰ ÍÁSELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ EMEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIUM Elekronikai
RészletesebbenAz árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezhetetlensége
Az árfolyamsávok empirikus modelljei 507 Közgazdasági Szemle, XLVI. évf., 1999. június (507 59. o.) DARVAS ZSOLT Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezheelensége
Részletesebben6. szemináriumi. Gyakorló feladatok. Tőkekínálat. Tőkekereslet. Várható vs váratlan esemény tőkepiaci hatása. feladatok
6. szemináriumi Gyakorló feladaok. Tőkekínála. Tőkekeresle. Várhaó vs váralan esemény őkepiaci haása. feladaok A feladaok megoldása során ahol lehe, írjon MATLAB scripe!!! Figyelem, a MATLAB a gondolkodás
RészletesebbenBé ni. Barna 5. Benc e. Boton d
Egy asztalon háom halomban 009 db kavics van Egyet eldobok belőle, és a többit két kupacba osztom Ezután megint eldobok egyet az egyik halomból (amelyikben egynél több kavics van) és az egyik halmot ismét
RészletesebbenA sztochasztikus idősorelemzés alapjai
A szochaszikus idősorelemzés alapjai Ferenci Tamás BCE, Saiszika Tanszék amas.ferenci@medsa.hu 2011. december 19. Taralomjegyzék 1. Az idősorelemzés fogalma, megközelíései 2 1.1. Az idősor fogalma...................................
Részletesebben5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR
5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbikbn külön, egymásól függelenül izsgáluk nyugó ölések elekomos eé és z időben állndó ám elekomos és mágneses eé Az elekomágneses é ponosbb modelljé kpjuk, h
Részletesebben8. előadás Ultrarövid impulzusok mérése - autokorreláció
Ágazai Á felkészíés a hazai LI projekel összefüggő ő képzési é és KF feladaokra" " 8. előadás Ulrarövid impulzusok mérése - auokorreláció TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-1-5 projek 1 Bevezeés Jelen fejezeben áekinjük,
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
Okaási Hivaal A 015/016 anévi Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny dönő forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javíási-érékelési úmuaó 1 Ado három egymásól és nulláól különböző számjegy, melyekből
RészletesebbenMatematika A3 HÁZI FELADAT megoldások Vektoranalízis
Maemaika A HÁZI FELADAT megoldáok Vekoranalízi Nem mindenhol íram le a konkré megoldá. Ahol az jelenee volna, hogy félig én oldom meg a feladao a hallgaóág helye, o cak igen rövid megjegyzé alálnak A zh-ban
RészletesebbenGeometriai Optika. ultraibolya. látható fény. 300 THz 400 THz 750 THz. 800 nm 400 nm 100 nm
Geomeiai Opia Láhaó éy: az eleomágeses hullámaomáy egy esey észe adio hullám mico hullám (cm) láhaó éy iavöös ulaibolya Röge sugázás (0-0 m) (Hz) 300 Hz 400 Hz 750 Hz λ 800 m 400 m 00 m A láhaó éy speuma:
RészletesebbenDIFFÚZIÓ. BIOFIZIKA I Október 20. Bugyi Beáta
BIOFIZIKA I 010. Okóber 0. Bugyi Beáa TRANSZPORTELENSÉGEK Transzpor folyama: egy fizikai mennyiség érbeli eloszlása megválozik Emlékezeő: ermodinamika 0. főéele az egyensúly álalános feléele TERMODINAMIKAI
RészletesebbenFIZIKA FELVÉTELI MINTA
Idő: 90 perc Maximális pon: 100 Használhaó: függvényábláza, kalkuláor FIZIKA FELVÉTELI MINTA Az alábbi kérdésekre ado válaszok közül minden eseben ponosan egy jó. Írja be a helyesnek aro válasz beűjelé
RészletesebbenHIVATALOS ÉRTESÍTÕ. 51. szám. A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. június 28., hétfõ. Tartalomjegyzék. III. Utasítások, jogi iránymutatások
HIVATALOS ÉRTESÍTÕ A MAGYAR KÖZLÖNY MELLÉKLETE 2010. június 28., hétfõ 51. szám Tartalomjegyzék III. Utasítások, jogi iránymutatások 7/2010. (VI. 28.) KIM utasítás a Közigazgatási és Igazságügyi Minisztérium
RészletesebbenMechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat)
Mechanikai unka, energia, eljesíény (Vázla). Mechanikai unka fogala. A echanikai unkavégzés fajái a) Eelési unka b) Nehézségi erő unkája c) Gyorsíási unka d) Súrlódási erő unkája e) Rugóerő unkája 3. Mechanikai
RészletesebbenKAMATPOLITIKA HATÁRAI
Pécsi Tudományegyeem Közgazdaságudományi Kar Gazdálkodásani Dokori Iskola Koppány Kriszián JEGYBANKI HITELESSÉG ÉS A KAMATPOLITIKA HATÁRAI Likvidiási csapda és deflációs spirál: elméle és realiás Dokori
RészletesebbenElektronika 2. TFBE1302
Elekronika. TFE30 Analóg elekronika áramköri elemei TFE30 Elekronika. Analóg elekronika Elekronika árom fő ága: Analóg elekronika A jelordozó mennyiség érékkészlee az érelmezési arományon belül folyonos.
RészletesebbenTúlgerjesztés elleni védelmi funkció
Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Budapes, 2011. auguszus Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Bevezeés A úlgerjeszés elleni védelmi unkció generáorok és egységkapcsolású ranszormáorok vasmagjainak úlzoan
Részletesebben13 Wiener folyamat és az Itô lemma. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull
13 Wiener folyama és az Iô lemma Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 1 Markov folyamaok Memória nélküli szochaszikus folyamaok, a kövekező lépés csak a pillananyi helyzeől
Részletesebben.1. A sinx és cosx racionális függvényeinek integrálásáa. = R sinx,cosx dx. x x 2. 1 dt
. Trigonomeriai fügvények inegrálása Egy J függvény ípusáól függ. R x inegrál kiszámíása az R x racionális.. A sinx és cosx racionális függvényeinek inegrálásáa negrál J R sinxcosx Helyeesíés () R A és
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenErőmű-beruházások értékelése a liberalizált piacon
AZ ENERGIAGAZDÁLKODÁS ALAPJAI 1.3 2.5 Erőmű-beruházások érékelése a liberalizál piacon Tárgyszavak: erőmű-beruházás; piaci ár; kockáza; üzelőanyagár; belső kama. Az elmúl évek kaliforniai apaszalaai az
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenVektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Részletesebben!"#$%& ' #$ ()*+,-. /0 1 ()*+ *+., :;- *+ & < DE FG *+ HIJKELM () E NO< %& *+ PQRS T%&#$ U*+VOW X Y V > () ()*+ Z[\ FG #]^_ :%&#
!"#$%& ' #$ ()*+,-. /0 1 ()*+ *+.,234561 789:;- *+ & < ()*+=>?@ABC DE FG *+ HIJKELM () E NO< %& *+ PQRS T%&#$ U*+VOW X Y V > () ()*+ Z[\ FG #]^_ :%&# $`a %& ()b6^ c Vb ^ < b < %& V b K^_ ()*+ > ()* + V=>
Részletesebben2. gyakorlat: Z épület ferdeségmérésének mérése
. gyakorla: Z épüle ferdeségének mérése. gyakorla: Z épüle ferdeségmérésének mérése Felada: Épíésellenőrzési feladakén egy 1 szines épüle függőleges élének érbeli helyzeé kell meghaározni, majd az 1986-ban
Részletesebben2.2.45. SZUPERKRITIKUS FLUID KROMATOGRÁFIA 2.2.46. KROMATOGRÁFIÁS ELVÁLASZTÁSI TECHNIKÁK
2.2.45. Szuperkriikus fluid kromaográfia Ph. Hg. VIII. Ph. Eur. 4, 4.1 és 4.2 2.2.45. SZUPEKITIKUS FLUID KOATOGÁFIA A szuperkriikus fluid kromaográfia (SFC) olyan kromaográfiás elválaszási módszer, melyben
RészletesebbenA Maxwell-féle villamos feszültségtenzor
A Maxwell-féle villamos feszültségtenzo Veszely Octobe, Rétegezett síkkondenzátoban fellépő (mechanikai) feszültségek Figue : Keesztiányban étegezett síkkondenzáto Tekintsük a. ábán látható keesztiányban
RészletesebbenA kúpszeletekről - V.
A kúpszeleekről - V. A kúpszeleekről szóló munkánk III. részének 10. ábrájá kiegészíve láhajuk az 1. ábrán. Mos ez alapján dolgozva állíunk fel összefüggéseke a kúpszeleek Dandelin - gömbös / körös vizsgálaának
RészletesebbenFinanszírozás, garanciák
29..9. Fiaszíozás, gaaciák D. Fakas Szilvesze egyeemi doces SZE Gazdálkodásudomáyi Taszék fakassz@sze.hu hp://d.fakasszilvesze.hu/ Fiaszíozás émaköei. A péz idıééke, jövıéék és jeleéék, speciális pézáamlások
RészletesebbenLegfontosabb farmakokinetikai paraméterek definíciói és számításuk. Farmakokinetikai paraméterek Számítási mód
Legfonosabb farmakokineikai paraméerek definíciói és számíásuk Paraméer armakokineikai paraméerek Név Számíási mód max maximális plazma koncenráció ideje mér érékek alapján; a max () érékhez arozó érék
RészletesebbenMNB-tanulmányok 50. A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY
MNB-anulmányok 5. 26 CZETI TAMÁS HOFFMANN MIHÁLY A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk Czei Tamás Hoffmann Mihály A magyar államadósság dinamikája: elemzés és szimulációk 26. január
RészletesebbenSeite 1. Képlékenyalakítás 6. előadás. Lemezalakítás Hajlítás. Lemezalakítás A hajlítás. A hajlítás feszültségi és alakváltozási állapota
6. előadás Lemezalakíás Hajlíás Po. D. Tisza iklós 1 iskolc, 007. okóe 17. Lemezalakíás A hajlíás a hajlíás ogalma ő ípusai szaad hajlíás élsűllyeszékes hajlíás sűllyeszékes hajlíás lengőhajlíás B B B
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
Részletesebbenf r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f
0. A fény visszaveődése és töése göbült hatáfelületeken, gömbtükö és optikai lencse. ptikai leképezés kis nyílásszögű gömbtükökkel, és vékony lencsékkel. A fő sugámenetek ismetetése. A nagyító, a mikoszkóp
RészletesebbenA tapintó hőmérséklet érzékelő hőtani számítása, tekintetbe véve a környezet hőmérsékletterének a felület dőlésszögétől való függését
A apnó őméséle ézéelő őan számíása, enebe véve a önyeze őméséleeéne a felüle dőlésszögéől való függésé Andás Emese. Bevezeés n éépából álló almaz áll endelezésüne a (x) függvény analus fomájána megállapíásáa
Részletesebbenfényében a piac többé-kevésbé figyelmen kívül hagyta, hogy a tengerentúli palaolaj kitermelők aktivitása sorozatban alumínium LME 3hó (USD/t) 1589
www.kh.hu WTI (USD/hordó) 46 46 diesel ARA spo () 456 472 kerozin ARA spo () 215.9.25 Nyersanyagpiaci hírlevél piaci áekinés nyersanyag megnevezés akuális 2 héel ezelői kőolaj B az elmúl ké hében a Bren
RészletesebbenDigitális multiméter az elektrosztatika tanításában
Nukleon 214. március VII. évf. (214) 155 Digiális muliméer az elekroszaika aníásában Záonyi Sándor Szen-Györgyi Alber Gimnázium, Szakközépiskola és Kollégium 56 Békéscsaba, Gyulai ú 53-57. A Magyar Nukleáris
RészletesebbenII. Egyenáramú generátorokkal kapcsolatos egyéb tudnivalók:
Bolizsár Zolán Aila Enika -. Eyenáramú eneráorok (NEM ÉGLEGES EZÓ, TT HÁNYOS, HBÁT TATALMAZHAT!!!). Eyenáramú eneráorokkal kapcsolaos eyé univalók: a. alós eneráorok: Természeesen ieális eneráorok nem
RészletesebbenFolyamatszemléleti lehetőségek az agro-ökoszisztémák modellezésében
Folyamaszemlélei leheőségek az agro-ökosziszémák modellezésében Dokori (D) érekezés Ladányi Mára Témavezeő: Dr. Harnos Zsol, MHAS, egyeemi anár BCE, Kerészeudományi Kar, Maemaika és Informaika Tanszék
RészletesebbenKészítette: Mike Gábor 1
A VALÓSÁGOS FESZÜLTSÉGGENEÁTO A soros kapcsolás modellje és a vele kialakío valóságos eszülséggeneráor erhel üzemmódja lényegéen evezeője a émes vezeőjű ávielechnikai modellnek. A származaás a kövekező:
Részletesebben4 utú és 5 utú útváltók: Funkciójuk visszavezetheto 2 db. egyidejuleg muködtetett 312-es útváltóra. l~ ~-J~ITLTL1\!~
9 4 uú és 5 uú úválók: Funkciójuk visszavezeheo 2 db. egyidejuleg muködee 32-es úválóra. - p, --,. 5/2 2 352-kén 5 ~ muködik. 4 :"- "4 S ::z: 3 4 4/2 f~l: ::z: Alkalmazás: -kéoldali muködésu hengerek muködeése
RészletesebbenA közgazdasági Nobel-díjat a svéd jegybank támogatásával 1969 óta ítélik oda. 1 Az
ROBERT F. ENGLE ÉS CLIVE W. J. GRANGER, A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK DARVAS ZSOLT A Svéd Tudományos Akadémia a 003. évi Nobel-díjak odaíélésé ké fő alkoással indokola: Rober F. Engle eseén az
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMozgás centrális erőtérben
Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének
RészletesebbenA fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum
A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i
RészletesebbenHelyettesítéses-permutációs iteratív rejtjelezők
Helyeesíéses-peruációs ieraív rejjelezők I. Shao-i elv: kofúzió/diffúzió Erős iverálhaó raszforáció előállíhaó egyszerű, köye aalizálhaó és ipleeálhaó, de öagába gyege raszforációk sokszori egyás uái alkalazásával.
RészletesebbenKÖZÚTI JELZÉSEK. A forgalom IRÁNYÍTÁSÁHOZa járművezetőhöz információkatkell eljuttatni 2010.11.09.
UTAK KÖZÚTI JELZÉSEK 8. ELŐADÁS A forgalom IRÁNYÍTÁSÁHOZa járművezeőhöz információkakell eljuani A fedélzei inelligens eszközök SZEMÉLYRE SZABOTT információka szolgálanak jellemzően ájékozaás köelező érvényű
RészletesebbenTakács Lajos ( ) és Prékopa András ( ) emlékére.
Haladvány Kiadvány 17-06-15 Mely merev kör½u gráfok és hogyan használhaók valószín½uségi becslésekhez? Hujer Mihály hujer.misigmail.com Ajánlás. Takács Lajos (1924 2015) és Prékopa András (1929 2016) emlékére.
Részletesebben1. Feladatkör: nemzeti számvitel. Mikro- és makroökonómia
Mikro- és makroökonómia Felada: hielpénzrendszer működése (egyszerűsíe Rosier-modell) Tekinsünk egy zár isza hielpénz-gazdaságo, ahol minden arozás a kövekező időszakban kell visszaadni és a bank egyálalán
Részletesebben) (11.17) 11.2 Rácsos tartók párhuzamos övekkel
Rácsos arók párhuzamos övekkel Azér, hog a sabiliási eléelek haásá megvizsgáljuk, eg egszerű síkbeli, saikailag haározo, K- rácsozású aró vizsgálunk párhuzamos övekkel és hézagos csomóponokkal A rúdelemek
RészletesebbenElőadásvázlat Kertészmérnök BSc szak, levelező tagozat, 2015. okt. 3.
Előadásvázla Kerészmérnök BSc szak, levelező agoza, 05. ok. 3. Bevezeés SI mérékegységrendszer 7 alapmennyisége (a öbbi származao): alapmennyiség jele mérékegysége ömeg m kg osszúság l m idő s őmérsékle
RészletesebbenDARVAS ZSOLT SÁVOS DEVIZAÁRFOLYAM-RENDSZEREK HITELESSÉGE
DARVAS ZSOL SÁVOS DEVIZAÁRFOLYAM-RENDSZEREK HIELESSÉGE UDAPESI KÖZGAZDASÁGUDOMÁNYI ÉS ÁLLAMIGAZGAÁSI EGYEEM MAEMAIKAI KÖZGAZDASÁGAN ÉS ÖKONOMERIA ANSZÉK ÉMAVEZEŐ: HALPERN LÁSZLÓ, KANDIDÁUS DARVAS ZSOL
Részletesebben/01 1!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&' () *+,-./ 01! :; CDE 6?289:; FGHIJKLMN O C ( PKL QRSTUV :;*W? CXY? Z[R \] ^ _ `a?o :;?boc^ *+ *+!"#
!"#$%&'!"#$%&' () *+,-./ 01! 234567289:; ?289:; @8ABCDE 6?289:; FGHIJKLMN O C ( PKL QRSTUV :;*W? CXY?Z[R \] ^ _ `a?o :;?boc^*+ *+!"#$%&'()* $%+, -./01 234+5 +,67* 894: ; "#
Részletesebbení ő ľ ü ó ľ ľ ő ľ ü Ü Ü Ł ľ ü ľ ü ľ ö ľü íľ ő ő ź ő í ó ü ľ ö ü ü ó ő ö ľĺ ó ľó ő ő ö ź í ö ő źą ö í ő ü ö ö ü ő í ľ ó ó ó ü ó ó ó ő ö í ó í ü ö í ő ę í ö ü ą í ľ ó ő í ú í ó ő ö ó ó ő ü í ó ľ í ľź ľ ú
RészletesebbenKIS MATEMATIKA. 1. Bevezető
KIS MATEMATIKA. Bevezeő Fizikus vagyok, és azon belül is elmélei fizikusnak arom magam, mindemelle nagyon fonosnak arom a kísérlei fiziká is, ső magam is kísérleezem a graviáció erüleén. A maemaikával
RészletesebbenJárműelemek I. Tengelykötés kisfeladat (A típus) Szilárd illesztés
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Közlekedésmérnöki Kar Járműelemek I. (KOJHA 7) Tengelyköés kisfelada (A ípus) Szilárd illeszés Járműelemek és Hajások Tanszék Ssz.: A/... Név:...................................
RészletesebbenKockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály
KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály 2012. november 12. Feladatok: IZSÁK DÁVID, általános iskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: BALOG MARIANNA, általános iskolai tanár SZITTYAI
RészletesebbenStatisztika II. előadás és gyakorlat 1. rész
Saiszika II. Saiszika II. előadás és gyakorla 1. rész T.Nagy Judi Ajánlo irodalom: Ilyésné Molnár Emese Lovasné Avaó Judi: Saiszika II. Feladagyűjemény, Perfek, 2006. Korpás Ailáné (szerk.): Álalános Saiszika
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
Részletesebben3D-s számíógépes geomeia és alakzaekonskció 3. Felülemeszések páhzamosan elol és lekeekíő felüleek hp://cg.ii.bme.h/poal/noe/3 hps://www.ik.bme.h/kepzes/agak/viiiav8 D. Váa Tamás D. ali Pée BME Villamosménöki
Részletesebbenpárhuzamosan kapcsolt tagok esetén az eredő az egyes átviteli függvények összegeként adódik.
6/1.Vezesse le az eredő ávieli üggvény soros apcsolás eseén a haásvázla elrajzolásával. az i-edi agra, illeve az uolsó agra., melyből iejezheő a sorba apcsol ago eredő ávieli üggvénye: 6/3.Vezesse le az
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenMobil robotok gépi látás alapú navigációja. Vámossy Zoltán Budapesti Műszaki Főiskola Neumann János Informatikai Kar
Mobil robook gépi láás alapú navigációja Vámoss Zolán Budapesi Műszaki Főiskola Neumann János nformaikai Kar Taralom Bevezeés és a kuaások előzménei Célkiűzések és alkalmazo módszerek Körbeláó szenzorok,
Részletesebben