2. Er- és elmozdulási hatásábrák összefoglalása munkatételek alapján

Átírás

1 A szerkezetekben keletkez mértékadó igénybevételek meghatározásához a hatásábrák mélyreható ismeretére van szükség. Statikailag határozott tartók er-jelleg&, vagyis reakcióer és igénybevételi hatásábráival a Statika tárgy keretében, elmozdulási hatásábráival pedig a Rugalmasságtan tárgy keretében foglalkoztunk. Mivel a két téma egymástól és a jelen tárgyalástól idben távol került ismertetésre, ezért szükségesnek látjuk a két téma egységes, tömör összefoglaló ismertetését. Az összefoglalást a munkatételek alapján tesszük meg. Az alábbi táblázatban összefoglaljuk a szükséges ismert fogalmakat a 2.1 ábrával összhangban. Az ábrán a tartó egy keresztmetszetét a, a teher helyzetét pedig az x koordináta jelöli ábra Igénybevételi ábra és hatásábra 1

2 Mechanikai jellemzk ábrái és hatásábrái Fogalom Jelölés Definíció Hatás Igénybevételi és elmozdulási függvény, ábra C C( Hatásfüggvény C (x ( C C (x Hatásábra ( C Hatáson minden olyan mérhet mechanikai mennyiséget (reakcióer, igénybevétel, elmozdulás értünk, amely a tartó egy rögzített keresztmetszetében ( a teher helyzetének (x a függvényében adható meg (2.1.a. ábra. Az igénybevételi vagy elmozdulási függvény/ábra ( C( leírja egy rögzített helyzet (álló teheregyüttes hatására az adott mechanikai jellemz (C változását a keresztmetszet helyzetének ( változása függvényében (2.1.b. ábra. A hatásfüggvény ( C ( x leírja a tartónak egy rögzített helyzet ( keresztmetszetében keletkez küls vagy bels hatás változását (C, a mozgó egységer$ helyzetének (x változása függvényében (2.1.c. ábra. A hatásábra a hatásfüggvény képe. Az er- és elmozdulási hatásfüggvényeket munkatételekbl származtatjuk. Ennek rendjét foglalja össze az alábbi táblázat: Hatásfüggvények származtatása Er-hatásfüggvények Elmozdulási hatásfüggvények Virtuális elmozdulások tétele alapján Virtuális erk tétele alapján 2.1. Statikailag határozott tartók er-hatásfüggvényei a virtuális elmozdulások tétele alapján A virtuális elmozdulások tételét a Rugalmasságtan tárgy keretében tárgyaltuk. A tétel ismertetése az alkalmazásokkal együtt aliszky, urutzné és Szilágyi Szilárdságtan cím& tankönyvében található [4]. A virtuális elmozdulások tétele szerint egy er$rendszer akkor és csak akkor statikailag lehetséges (egyensúlyi, ha bármely virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája zérus. Er-hatásábrák készítésekor a mozgó egységteher és az általa okozott, vele egyensúlyban lév küls és bels erk változását vizsgáljuk. A tétel értelmében az egységteher és a következtében fellép küls és bels erk tetszleges virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkájának összege az egységteher minden helyzetében zérus. A virtuális munka felírásához a tartón tetszleges virtuális elmozdulásrendszert kell felvenni. A virtuális elmozdulásrendszer alapvet tulajdonsága, hogy kompatibilis, azaz 2

3 geometriailag lehetséges, vagyis elemei a geometriai egyenletek által megszabott összefüggésben állnak egymással. Ezt az elmozdulásrendszert úgy kell felvennünk, hogy a vizsgált erhatás feltétlenül munkát tudjon végezni rajta, ugyanakkor elégítse ki a tartón érvényes geometriai kerületi feltételeket. Az egységteher pedig a tartón így létrejöv virtuális elmozdulásrendszeren végez munkát. A kétféle virtuális munka összegének - mivel az errendszer az egységteher minden helyzetében egyensúlyban van - zérust kell adnia. Ha a vizsgált er$hatás küls$ jelleg (reakcióer$, akkor virtuális elmozdulást, ha pedig bels$ jelleg (igénybevétel, akkor virtuális alakváltozást (relatív elmozdulást iktatunk be. Hogy a beiktatandó elmozdulásnak vagy alakváltozásnak helyet csináljunk, a tartót minden esetben át kell alakítani. Virtuális elmozdulás beiktatásához az elmozdulásnak megfelel eredeti kényszer-komponenst el kell távolítani, virtuális alakváltozás beiktatásához pedig az alakváltozási komponens jellegének megfelelen a tartón egy-szabadságfokú bels átvágást kell végrehajtani. Ez a beavatkozás a tartó elmozdulási (kinematikai szabadságfokát minden esetben eggyel növeli, azaz a tartót egy fokkal fellazítja. A virtuális elmozdulás vagy alakváltozás beillesztésekor általános esetben a fellazított tartó mentén virtuális elmozdulás-alakváltozás-rendszer jön létre. Ha a tartó statikailag határozott volt, akkor a fellazítás következtében egy-szabadságfokú, kényszermozgású láncolattá alakul, amelynek elmozdulását a beiktatott elmozdulás vagy alakváltozás egyértelm&en meghatározza. Virtuális elmozdulás beiktatása esetén a láncolat mentén csak elmozdulások jönnek létre, alakváltozások nem. Virtuális alakváltozás beiktatásakor ugyanez a helyzet, kivéve a beiktatás keresztmetszetét, ahol a beiktatott virtuális alakváltozás szinguláris alakváltozásként van jelen (csak a beiktatás helyén van alakváltozás, máshol nincs. Az egyensúlyban lév tartón a küls és bels virtuális munkaösszeg zérust ad. A virtuális küls$ munka két részbl állhat: a vizsgált küls erhatásnak (reakcióer a beiktatott virtuális elmozduláson végzett munkájából, valamint a tartón mozgó egységtehernek a hatásvonalába es virtuális elmozdulásokon végzett munkájából. A virtuális bels$ munka is két részbl állhat: a vizsgált bels erhatásnak (igénybevétel a beiktatott virtuális alakváltozáson végzett munkájából, valamint a tartón mozgó egységteherbl keletkez bels erknek (igénybevételek a virtuális alakváltozás-rendszeren végzett munkájából. Statikailag határozott tartó esetén, amikor a beavatkozás eredményeként kialakult láncolaton nem keletkeznek virtuális alakváltozások, ez az utóbbi bels munka zérus. Mivel a tartószerkezetek terhei tipikusan gravitációs terhek, a tartón mozgó egységteher függleges er, amely függleges eltolódásokon végez munkát. Statikailag határozatlan tartók er-hatásfüggvényeinek az elállítása a virtuális elmozdulások tétele alapján a bels virtuális munka kiszámítása miatt nehézkes. Ezért az alábbiakban csak a statikailag határozott tartók esetével foglalkozunk. Ugyanakkor a statikailag határozatlan tartók erhatásábráival foglalkozó fejezetekben utalni fogunk a virtuális elmozdulások tétele alapján nyerhet megoldásra is üls erk (reakcióerk hatásfüggvényei Legyen a tartón mozgó egységer F, helyzetének koordinátája x. Határozzuk meg a C küls reakcióer (C hatásfüggvényét! Távolítsuk el a reakcióernek megfelel kényszerkomponenst, és iktassuk be a helyén a reakcióervel munka-kompatibilis e virtuális elmozdulást. Ez a terhel egységer hatásvonalában v e (x virtuális eltolódást okoz. A teljes virtuális munka most csak küls részbl áll, azaz W = W = F v ( x + C e = 0. k e 3

4 Figyelembe véve, hogy F = 1, továbbá, hogy a e virtuális elmozdulás tetszleges, ezért egységnyinek is felvehet, így a küls er hatásfüggvényére az alábbi kifejezést nyerjük Eszerint: C v ( x v (. ( = e= 1 = e= 1 x Egy küls$ er$ (reakcióer$ hatásfüggvénye a támasz helyén beiktatott, a reakcióer$vel munka-kompatibilis, azzal ellentett irányú egységnyi virtuális elmozdulásból kapott, egységteher-irányú eltolódásfüggvénnyel azonos. Mivel az egységteher a gravitációs terhek esetén függleges er, és a tartószerkezetek terhei legtöbbször ilyenek, függleges eltolódási ábráról van szó. A beiktatott egységnyi virtuális elmozdulás pedig abszolút, így kimondhatjuk, hogy: A küls$ reakcióer$ hatásábrája a támasz helyén beiktatott, a reakcióer$vel munkakompatibilis, azzal ellentett irányú egységnyi abszolút elmozdulásból kapott függ$leges eltolódási ábra. üls reakcióer hatásábrája esetén tehát az egységnyi abszolút elmozdulást az er pozitív irányával ellentétesen kell felvenni, hogy eljelhelyes hatásábrát kapjunk. Példaként határozzuk meg a 2.2. ábrán látható tartón a B reakcióer hatásábráját. Mivel a pozitív B reakcióer felfelé mutat, a vele munka-kompatibilis e = 1 virtuális eltolódást - a támasz eltávolítása után - lefelé vesszük fel. Az eredményként kapott függleges eltolódási ábra az (B hatásábra ábra üls$ er$k hatásfüggvényei

5 Bels erk (igénybevételek hatásfüggvényei A helyen rögzített keresztmetszethez tartozó ( C bels er (igénybevételi hatásfüggvény esetén a keresztmetszetnél a bels ervel (igénybevétellel munka-kompatibilis virtuális alakváltozást (relatív elmozdulást iktatunk be, miután az ehhez szükséges egyszabadságfokú bels átvágást végrehajtottuk. A beiktatott virtuális alakváltozás hatására a terhel F er hatásvonalában v (x virtuális eltolódás keletkezik. A teljes virtuális munka most küls és bels részbl áll, azaz, mivel a bels virtuális munka negatív W = W + W = F v ( x C = 0 k b. Mivel F = 1, és a virtuális alakváltozás tetszleges, tehát egységnyinek is felvehet, így a bels er hatásfüggvénye az alábbi formát ölti Eszerint: C = = ( v 1( x. Egy keresztmetszet bels$ er$ (igénybevételi hatásfüggvénye a keresztmetszetben beiktatott, a bels$ er$vel munka-kompatibilis egységnyi virtuális alakváltozásból kapott függ$leges eltolódásfüggvénnyel azonos ábra Bels$ er$k hatásfüggvényei 5

6 Mivel a beiktatott szinguláris alakváltozás nem más, mint koncentrált relatív elmozdulás, kimondhatjuk, hogy: Az igénybevételi hatásábra a keresztmetszetben beiktatott, az igénybevétellel munkakompatibilis, azzal egyez$ irányú egységnyi relatív elmozdulásból kapott függ$leges eltolódási ábra. Igénybevételi hatásábra esetén tehát az egységnyi relatív elmozdulást az igénybevétel pozitív irányával megegyezen kell felvenni, hogy eljelhelyes hatásábrát kapjunk. Példaként határozzuk meg a 2.3. ábrán látható tartó koordinátájú keresztmetszetének nyomatéki hatásábráját. Ehhez a keresztmetszetnél csuklót iktatunk be, majd létrehozzuk a pozitív nyomatékkal egyez irányú = 1 relatív elfordulást. Az így létrejött függleges eltolódási ábra a keresett ( M hatásábra. Az ábrán feltüntettük a gerendának a keresztmetszetben elképzelt differenciálisan kicsiny hosszúságú szakaszát, a Szilárdságtanból jól ismert rúdelemet, amelynek mindkét véglapjára felrajzoltuk a pozitív keresztmetszeti nyomatékot. Látható, hogy a beiktatott relatív elfordulás eljele a nyomatékéval megegyezik. Az egyes igénybevételi fajtáknak megfelelen beiktatandó egy-szabadságfokú bels kapcsolatokat és relatív elmozdulásokat az alábbi táblázatban foglaljuk össze a 2.4. ábrával összhangban, ahol ugyancsak a keresztmetszetnél kimetszett rúdelemre rajzoltuk fel a pozitív igénybevételeket ábra - A relatív elmozdulásnak megfelel$ egy-szabadságfokú bels$ kapcsolat 6

7 Hatásfüggvény, hatásábra Jele Az egy-szabadságfokú bels A beiktatott alakváltozás (relatív elmozdulás átvágást biztosító kapcsolat Normáler N ( Nyíróer T Hajlítónyomaték ( ( M Rúder S ( ij kizárólag tengelyirányú relatív eltolódást engedélyez görg kizárólag tengelyre merleges relatív eltolódást engedélyez görg kizárólag relatív elfordulást engedélyez csukló kizárólag tengelyirányú relatív eltolódást engedélyez görg egységnyi koncentrált relatív eltolódás a rúd tengelye (érintje irányában egységnyi koncentrált relatív eltolódás a rúd tengelyére (érintjére merlegesen egységnyi koncentrált relatív elfordulás (érintk törése, forgáspont a rúd tengelyében egységnyi koncentrált relatív eltolódás a rúd tengelye irányában Egy-szabadságfokú láncolatok eltolódási ábrái Amint láttuk, a statikailag határozott síkbeli tartók er-hatásábrái egy-szabadságfokú síkbeli láncolatok függleges eltolódási ábráira vezetnek. A síkbeli láncolatok több merev tárcsából állnak, amelyeket síkbeli kényszerekkel, legtöbbször csuklókkal kapcsolunk egymáshoz és az aljzathoz. Egyszer& feladatok esetén felírhatjuk a függleges eltolódási ábra függvényét is, amely a hatásfüggvénnyel azonos. Minthogy a hatásábra poligon, a keresztmetszetnél szingularitással, a vonatkozó hatásfüggvény nem folytonos, azaz ún. nemsima függvény. Az ilyen függvényeket szakaszonként külön-külön függvényekkel adják meg, a függvényt alkotó rész-függvények halmazát kapcsos jellel rendelve egymáshoz. Az alkalmazási gyakorlatban azonban a kézi számításokhoz közvetlenül a hatásábrát állítják el, míg magára a hatásfüggvényre a számítógépes algoritmusok készítésénél van szükség. A láncolatok függleges eltolódási ábráit számítással és szerkesztéssel határozhatjuk meg. A számítással történ megoldás a Statika és a Szilárdságtan tantárgyakban tanult módon történik [3,4]. Az elmozdulásokra vonatkozó alapösszefüggések szerint Valamely keresztmetszet (j abszolút elmozdulásai ( j, e j egyenértékek egy megel$z$ keresztmetszet (i abszolút elmozdulásainak ( i, ei és a köztük lév$ relatív elmozdulásoknak ( ij, ukl az együttesével. A zárt vonal relatív elmozdulásai együtt (, egyenértékek nullával. ij ukl E két összefüggés alapján a vizsgált láncolat tetszés szerinti elemének, pontjainak elmozdulásai kiszámíthatók, és maga az eltolódási ábra is felrajzolható. Ha a láncolatok függleges eltolódási ábráit szerkesztéssel kívánjuk meghatározni, akkor a fenti összefüggéseket szerkesztéshez szükséges formában kell megfogalmaznunk. A szerkesztés a láncolati pólusok közötti összefüggéseken alapszik. A keresztmetszet abszolút elmozdulásának (, elfordulás-középpontját abszolút pólusnak (i, relatív elmozdulásának i ei 7

8 ( jk, u jk elfordulás-középpontját relatív pólusnak (j,k nevezzük. Az elmozdulásoknál megszokott módon az abszolút pólust egy jellel (bet&vel, számmal, a relatív pólust két jellel jelöljük, a vonatkozó tárcsák jelére utalva. A jeleket kerek zárójelbe tesszük. A pólusokra vonatkozó összefüggések az elmozdulásokra vonatkozó összefüggésekkel összhangban: Az i-edik tárcsa (i abszolút pólusa és a j-edik tárcsa ( j abszolút pólusa a két tárcsa ( i, j relatív pólusával egy egyenesen van. Az ( i, j, ( j, k és ( i, k relatív pólusok egy egyenesen vannak. Az els állítás jelölése: ( i, ( j ( i, j vagy ( i, ( i, j ( j vagy ( j, ( i, j ( i A második állítással egyenérték& jelölések: ( i, j, ( j, k ( i, k, vagy ( i, j, ( i, k ( j, k, vagy ( i, k, ( j, k ( i, j E két összefüggés segítségével a láncolat elmozdulási ábrája megszerkeszthet, azaz a szerkesztéshez szükséges hiányzó abszolút vagy relatív pólusok megkereshetk. A szerkesztés során a hatásábra jellemz ordinátái geometriai úton meghatározhatók. További, a fentiekbl következ állítások: - Az abszolút pólus nem mozdul el, ezért képe az eltolódási ábra zérustengelyén van. - Az a tárcsa, amelyen egynél több abszolút pólust lehet kimutatni, nem mozdul el, képe a zérustengellyel esik egybe. - Ha egy tárcsa abszolút pólusa a végtelenben van, a tárcsa önmagával párhuzamosan tolódik el. - Ha két tárcsa relatív pólusa a végtelenben van, a két tárcsa egymással párhuzamosan mozdul el. - Abszolút eltolódás pólusa az eltolódásra merleges egyenesen van. - Relatív eltolódás pólusa az eltolódásra merlegesen a végtelenben van. Az egy-szabadságfokú láncolatok abszolút és relatív pólusai közötti összefüggéseket illusztrálja a 2.5.a., b., c. és d. ábra. 8

9 2.5 ábra - Egy-szabadságfokú láncolatok abszolút és relatív pólusai közötti összefüggések Mintapéldák: Er-hatásábrák a virtuális elmozdulások tétele alapján Amint láttuk, a hatásábra-készítés lényegében a beiktatott egységnyi abszolút vagy relatív elmozdulás hatására a láncolat függleges eltolódási ábrájának elkészítésébl áll. Ez számítással és szerkesztéssel történhet. Láncolatok elmozdulásainak számítással történ meghatározását a Statikában és a Szilárdságtanban részletesen ismertettük. Az alábbiakban a számítással és szerkesztéssel történ megoldás lépéseit foglaljuk össze. Statikailag határozott tartók küls és bels er-jelleg& hatásábráinak virtuális elmozdulások tétele (vagy a gyakorlatban elterjedt kifejezéssel: kinematikai módszer alapján történ meghatározása lépéseit számítás és szerkesztés alapján az alábbi táblázatokban foglaljuk össze. Az er-hatásábra-készítés lépései számítással 1. A meghatározandó küls, vagy bels ernek megfelelen átalakítjuk a tartót: vagy eltávolítjuk a reakcióernek megfelel küls kényszerkomponenst, vagy beiktatjuk az igénybevételnek megfelel egy-szabadságfokú bels átvágást biztosító kapcsolatot. Ezáltal kialakítottuk az egy-szabadságfokú láncolatot. 2. Az így kialakult láncolaton kinematikai teherként beiktatjuk az egységnyi abszolút elmozdulást a pozitív küls ervel ellentétesen, illetve az egységnyi relatív elmozdulást a pozitív igénybevétellel megegyezen. 3. A láncolatok elmozdulásaira vonatkozó egyenérték&ségek alapján kiszámítjuk a függleges eltolódási ábra a keresett hatásábra jellemz ordinátáit. Ha szükséges, az ordináták segítségével felírhatjuk a hatásfüggvény szakaszonként lineáris függvényét is. 9

10 Az er-hatásábra-készítés lépései szerkesztéssel 1. A meghatározandó küls, vagy bels ernek megfelelen átalakítjuk a tartót: vagy eltávolítjuk a reakcióernek megfelel küls kényszerkomponenst, vagy beiktatjuk az igénybevételnek megfelel egy-szabadságfokú bels átvágást biztosító kapcsolatot. Ezáltal kialakítottuk az egy-szabadságfokú láncolatot. 2. Az így kialakult láncolaton beszámozzuk a tárcsákat, és a hozzájuk tartozó közvetlenül megállapítható abszolút és relatív pólusokat. 3. Szabadon felvesszük egy olyan tárcsa kimozdult képét, amelyik a kívánt egységnyi elmozduláshoz kapcsolódik. 4. A kimozdított tárcsához viszonyítva beillesztjük az egységnyi abszolút elmozdulást a pozitív küls ervel ellentétesen, illetve az egységnyi relatív elmozdulást a pozitív igénybevétellel megegyezen. 5. Megszerkesztjük a láncolat, pontosabban a pályát alkotó tárcsák elmozdult képét, (azon tárcsákét, amelyeket a mozgó egységer útja során érint. Ehhez megkeressük a szükséges abszolút és relatív pólusokat, felhasználva a pólusokra vonatkozó összefüggéseket. 6. Végül megszerkesztjük a zérustengelyt, amely az abszolút pólusok képének geometriai helye. 7. A hatásábrát a pályát alkotó tárcsák képe és a zérustengely közötti tartomány alkotja. Az így elállított hatásábrának számszer&en meghatározzuk a szükséges jellemz ordinátáit. M éttámaszú konzolos tartó igénybevételi és reakcióer hatásábrái szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján a Határozzuk meg a kéttámaszú tartó keresztmetszetének ( M hajlítónyomatéki hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! a. ábra 10

11 A küls és bels virtuális munkák összege zérus (a bels mindig negatív: F v( x M ( x = 0, ahol F a tartón mozgó, x helyzet& egységer, v(x a keresztmetszetben beiktatott virtuális relatív elfordulásból keletkez függleges eltolódási ábra, és M (x a keresztmetszeti nyomaték F er helyzetétl függen változó értéke, maga a hatásábra: M ( x = ( M. Mivel F = 1, és = 1, így a keresztmetszet nyomatéki hatásábrája a keresztmetszeti nyomatékkal munka-kompatibilis egységnyi relatív elfordulásból rajzolt függleges eltolódási ábrával azonos: ( M = v( x. A nyomatéknak megfelelen tehát átalakítjuk a tartót: csuklót teszünk be a keresztmetszetnél, hogy a relatív elfordulást beiktathassuk. Ekkor a tartó egy-szabadságfokú láncolattá alakul. Beszámozzuk a tárcsákat, és a közvetlenül megállapítható abszolút és relatív pólusokat. A fix támasz csuklója a II. jel& tárcsa (2 abszolút pólusa, a két tárcsát összekapcsoló csukló pedig az (1,2 relatív pólus. Az (1 abszolút pólus a görgs megtámasztásnál keletkez abszolút eltolódásra merleges egyenesen helyezkedik el, ugyanakkor a (2 abszolút és az (1,2 relatív pólusok által meghatározott egyenesen is rajta kell lennie, azaz ( 2, (1,2 (1, így az (1 abszolút pólus a két egyenes metszéspontjában, a görgs megtámasztási pontban van. Ezután szabadon felvesszük például az I. tárcsa képét, azaz elmozdult helyzetét, amelyre levetítjük az (1,2 relatív pólust. Itt beiktatjuk a = 12 = 1 relatív elfordulást úgy, hogy a II. tárcsát a pozitív nyomatéknak megfelel eljellel fordítjuk el az I. tárcsához képest. Mivel az II. tárcsa a bal oldali tartórész, a balról számított igénybevételek eljelszabálya szerint a pozitív nyomatéknak megfelelen ez az óra járásával megegyez elfordítást jelenti. (Ha a II. tárcsa képét vesszük fel kiindulásként, és ehhez képest az I. tárcsát fordítjuk el, amely a jobb oldali tartórésznek felel meg, akkor a jobb oldali eljelszabály szerint az óra járásával ellentétes elfordítást kell alkalmaznunk. Ez természetesen ugyanazt az alakzatot eredményezi. Ekkor tehát megkapjuk a tárcsák elmozdult alakját, már csak a nullvonalat kell megszerkesztenünk. Az eltolódási ábra nullvonala a helyben maradó, el nem mozduló pontok geometriai helye. Az abszolút pólusok nem mozdulnak el, így azokat levetítve, majd összekötve, megkapjuk a nullvonalat és egyben a függleges eltolódási ábrát, azaz az ( M hatásábrát. A szerkesztéssel kapott ábra ordinátáit a 12 = 1 elfordulásból számíthatjuk, hiszen attól távolságra a támasz alatt ugyancsak nagyságú eltolódás keletkezik, amelybl már bármely ordináta számítható. b Határozzuk meg a kéttámaszú tartó keresztmetszetének ( T hatásábráját is szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! nyíróer A küls és bels virtuális munkák összege most (a bels mindig negatív: F v( x T ( x u = 0, ahol v(x most a keresztmetszetben beiktatott u virtuális relatív eltolódásból származó függleges eltolódási ábra. Mivel F = 1, u = 1 és T ( x = ( T, így a keresztmetszet nyíróer hatásábrája a keresztmetszeti nyíróervel munka-kompatibilis egységnyi relatív eltolódásból rajzolt függleges eltolódási ábrával azonos: ( T = v( x. 11

12 b. ábra Most tehát a nyíróernek megfelelen alakítjuk át a tartót: görgs kapcsolatot teszünk be a keresztmetszetnél úgy, hogy a nyírásirányú relatív eltolódást beiktathassuk. Ekkor a tartó ugyancsak egy-szabadságfokú láncolattá alakul. Beszámozzuk a tárcsákat, és a közvetlenül megállapítható abszolút és relatív pólusokat. A fix támasz csuklója most is a II. jel& tárcsa (2 abszolút pólusa, azonban az (1,2 relatív pólus most a u eltolódásra merlegesen a végtelenben van, mivel a két tárcsa párhuzamosan mozdul el. Az (1 abszolút pólus most is a görgs támasz támasztási felületére merleges egyenesen helyezkedik el, ugyanakkor a (2 abszolút és az (1,2 relatív pólusok által meghatározott egyenesen is rajta kell lennie, vagyis ( 2, (1,2 (1, így az (1 abszolút pólus a két egyenes metszéspontjában, a görgs megtámasztási pontban van. Vegyük fel az I. tárcsa képét, azaz elmozdult helyzetét. Ez után beiktatjuk a u = u 12 = 1 relatív eltolódást úgy, hogy a bal oldali II. tárcsát a pozitív nyíróernek megfelel eljellel párhuzamosan eltoljuk az I. tárcsához képest. Mivel a II. tárcsa a bal oldali tartórész, az igénybevételek eljelszabálya szerint ez a II. tárcsa felfelé való eltolását jelenti. (Ha a II. tárcsa képét vesszük fel kiindulásként, akkor a jobb oldali I. tárcsát a jobboldali eljelszabály szerint lefelé kell eltolni, amely természetesen ugyanazt az alakzatot eredményezi. Ezáltal megkapjuk a tárcsák elmozdult alakját, majd az abszolút pólusokat levetítve és összekötve megkapjuk a nullvonalat, és egyben a függleges eltolódási ábrát, azaz az T hatásábrát. A szerkesztéssel kapott ábra bármely ordinátája egyszer&en számítható. ( c Határozzuk meg a kéttámaszú tartó A támaszánál keletkez reakcióer (A hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! A virtuális munkaösszeg most csak küls munkákból áll: F v( x + A( x u A = 0, ahol v(x a függleges eltolódási ábra az A támasznál beiktatott u A virtuális abszolút eltolódásból. Mivel F = 1, u A = 1 és A( x = ( A, így az A támaszer hatásábrája a támaszervel munka-kompatibilis egységnyi abszolút eltolódásból rajzolt függleges eltolódási ábra ellentettjével azonos: ( A = v ( x,

13 2.1.1.c. ábra ezért a pozitív reakcióervel ellentétesen, lefelé mutatóan kell beiktatni a virtuális eltolódást. Most a reakcióernek megfelelen alakítjuk át a tartót: eltávolítjuk a megtámasztást, hogy az abszolút eltolódást beiktathassuk. Ekkor a tartó olyan egy-szabadságfokú láncolattá alakul, amely mindössze egyetlen tárcsából áll. Az (1 abszolút pólus most is a görgs megtámasztás megtámasztási felületére merleges egyenesen helyezkedik el, ezt levetítve a kimozdított tárcsa képére megkapjuk a tárcsa helyben maradó, nullvonalon lév pontját. A nullvonal másik pontját az A támasznál beiktatott egységnyi eltolódás kezdpontja jelöli ki. Ezáltal megkapjuk a függleges eltolódási ábrát, azaz az (A hatásábrát. A szerkesztéssel kapott ábra bármely ordinátája egyszer&en számítható. M Gerber-tartó igénybevételi és reakcióer hatásábrái szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján a Határozzuk meg a Gerber-tartó keresztmetszetének ( M hajlítónyomatéki hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! A keresztmetszet nyomatéki hatásábrája a keresztmetszeti nyomatékkal munkakompatibilis egységnyi relatív elfordulásból rajzolt függleges eltolódási ábrával azonos. A keresztmetszetnél csuklót teszünk be, hogy a relatív elfordulást beiktathassuk. Ekkor a tartó három tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. Beszámozzuk a tárcsákat. A fix támasz csuklója a középs, II. jel& tárcsa (2 abszolút pólusát adja meg, míg a két széls tárcsához csatlakozó csukló az (1,2 és a (2,3 relatív pólusokat jelöli ki. Az (1 és (3 abszolút pólusok a megfelel görgs megtámasztások megtámasztási felületére merleges egyenesen helyezkednek el. Ugyanakkor az (1 pólusnak a (2 abszolút és az (1,2 relatív, a (3 pólusnak pedig a (2 abszolút és a (2,3 relatív pólusok által meghatározott egyenesen is rajta kell lennie, azaz ( 2, (1,2 (1, illetve ( 2, (2,3 (3. Így az (1 és (3 abszolút pólusok a megfelel görgs megtámasztási pontokban vannak. 13

14 2.1.2.a. ábra Szabadon felvesszük vagy a II., vagy a III. tárcsa képét, majd beiktatjuk a = = 1 23 virtuális relatív elfordulást a pozitív nyomatéknak megfelelen. Ezután levetítjük a (2 és (3 abszolút pólusokat a II. és III. tárcsák képére, ezáltal megkapjuk a nullvonalat. A nullvonalra levetítve az (1 abszolút pólust, az I. tárcsa egy pontját kapjuk, míg a másik pontját a II. tárcsa képére levetített (1,2 relatív pólus adja. E két pontot összekötve megkapjuk az I. tárcsa képét is, és ezáltal elállítottuk az M hatásábrát. A hatásábra ordinátáit a = 23 1 elfordulásból kiindulva számíthatjuk. ( b Határozzuk meg a Gerber-tartó egy másik keresztmetszetének ( T hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! nyíróer b. ábra A keresztmetszet nyíróer hatásábráját a keresztmetszeti nyíróervel munkakompatibilis egységnyi relatív eltolódásból rajzolt függleges eltolódási ábra adja. Most tehát a nyíróernek megfelel görgs kapcsolatot teszünk be a keresztmetszetnél. Ekkor a tartó ugyancsak három tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. Beszámozzuk a tárcsákat. Mivel a III. tárcsa két pontjában is meg van támasztva, nem mozdul el, vagyis minden pontja abszolút pólus. Ezért a III. tárcsa tetszlegesen felvett képe a nullvonallal esik

15 egybe. A u = u = 23 1 virtuális relatív eltolódás beiktatásakor a jobbra lév II. tárcsát lefelé kell párhuzamosan eltolni. Az I. tárcsa képét a II. tárcsa képére levetített (1,2 relatív, és a nullvonalra levetített (1 abszolút pólusok összekötése adja meg. Ezáltal megkaptuk a függleges eltolódási ábrát, azaz az ( T hatásábrát. A hatásábra bármely ordinátája egyszer&en számítható. c Határozzuk meg a Gerber-tartó befüggesztett tartórészén lév keresztmetszetének T nyíróer hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! ( c. ábra A keresztmetszetnél beiktatott görgs kapcsolatot a tartót ugyancsak három tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakítja. A III. tárcsa most is mozdulatlan, mivel két pontjában is meg van támasztva, tehát minden pontja abszolút pólus. A tárcsa tetszlegesen felvett képe tehát a nullvonal, amelyen most a (2,3 relatív pólus is rajta van. A u = u 12 = 1 virtuális relatív eltolódás beiktatásakor az I. és II. tárcsákat egymástól egységnyire párhuzamosan eltoljuk, majd az (1 abszolút és a (2,3 relatív pólusok nullvonalra való levetítésével megkapjuk a hatásábrát. A hatásábra bármely ordinátája ezután egyszer&en számítható. d Határozzuk meg a Gerber-tartó B támaszánál keletkez reakcióer (B hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! d. ábra 15

16 A B támaszer hatásábrája a támaszervel ellentett, azzal munka-kompatibilis egységnyi abszolút eltolódásból rajzolt függleges eltolódási ábrával azonos. A reakcióernek megfelelen eltávolítjuk a megtámasztást, ekkor a tartó két tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. Az (1 és (2 abszolút pólusok a görgs megtámasztás megtámasztási felületére merleges egyenesen helyezkednek el. Vegyük fel a II. tárcsa képét a pozitív reakcióervel ellentétesen, a lefelé mutatóan beiktatott e B = e B = 1 virtuális eltolódásnak megfelelen. A (2 pólust levetítve a tárcsa képére, megkapjuk a tárcsa helyben maradó, nullvonalon lév pontját. A nullvonal másik pontját a B támasznál beiktatott egységnyi eltolódás kezdpontja jelöli ki. Megrajzolva a nullvonalat, és levetítve rá az (1 pólust, az I. tárcsa egyik pontját kapjuk meg. A másik pontját az (1,2 relatív pólus II. tárcsára levetített képe adja. Így megkapjuk a függleges eltolódási ábrát, azaz az (B hatásábrát. Az ordináták az e = 1 eltolódás alapján számíthatók. B M Háromcsuklós tartó igénybevételi hatásábrái szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján a Határozzuk meg a háromcsuklós tartó keresztmetszetének ( M hajlítónyomatéki hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! a. ábra A keresztmetszet nyomatéki hatásábrája a keresztmetszetben beiktatott egységnyi relatív elfordulásból rajzolt függleges eltolódási ábrával azonos. A keresztmetszetnél beiktatott csukló hatására a tartó három tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. A fix támaszok csuklói az I., illetve a III. tárcsa megfelel abszolút pólusát adják meg, míg az eredeti és a beiktatott közbens csuklók az (1,2 és a (2,3 relatív pólusokat jelölik ki. Tetszlegesen felvesszük a II. vagy a III. tárcsa kimozdult alakját, és a levetített (2,3 relatív forgáspontban a pozitív nyomatéknak megfelelen elfordítjuk hozzá képest a másik tárcsát = = 23 1 értékkel. A nullvonalhoz a (3 abszolút póluson kívül a (2-re is szükségünk van. Ezt az ( 1, (1,2 (2 és a ( 3, (2,3 (2 összefüggések által meghatározott egyenesek metszéspontja adja meg. Levetítve az abszolút pólusokat a

17 megfelel tárcsák képére, megkapjuk a nullvonalat. Végül az I. tárcsa képét a nullvonalon lév (1 abszolút és a II. tárcsára levetített (1,2 abszolút pólus összekötése adja meg, és ezáltal elállítottuk az ( M hatásábrát. A hatásábra ordinátáit a 23 1 elfordulásból kiindulva számíthatjuk. b Határozzuk meg a háromcsuklós tartó keresztmetszetének ( T hatásábráját is szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! nyíróer b. ábra A keresztmetszet nyíróer hatásábrája a keresztmetszetben beiktatott egységnyi nyírásirányú relatív eltolódásból rajzolt függleges eltolódási ábrával azonos. A keresztmetszetnél beiktatott görgs kapcsolat hatására a tartó ugyancsak három tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. A fix támaszok csuklói most is az I., illetve a III. tárcsa megfelel abszolút pólusát adják meg, míg a közbens csukló alkotja az (1,2 relatív pólust, azonban a (2,3 relatív pólus a beiktatott görgs kapcsolat által meghatározott elmozdulási irányra merlegesen a végtelenben van, mivel a II. és a III. tárcsa csak egymással párhuzamosan mozdulhat el. Tetszlegesen felvesszük a II. vagy a III. tárcsa kimozdult alakját, a görgs kapcsolat mentén eltolva ket egymáshoz képest a pozitív nyíróernek megfelelen u = u = 23 1 értékkel. Mivel azonban nekünk az alkalmazott munkatétel értelmében a függleges eltolódások ábrájára van szükségünk, az ábrán a tárcsákat uy = u23, y = 2 / 2 mértékben toljuk el egymáshoz képest függlegesen. A nullvonalhoz most is szükségünk van a (2 pólusra, amelyet most is az ( 1, (1,2 (2 és a ( 3, (2,3 (2 összefüggések által meghatározott egyenesek metszéspontja határoz meg. Levetítve az abszolút pólusokat a megfelel tárcsák képére, megkapjuk a nullvonalat. Végül az I. tárcsa képét most is a nullvonalon lév (1 abszolút és a II. tárcsa képére levetített (1,2 relatív pólus összekötése adja meg, és ezáltal megkapjuk az ( T hatásábrát. Ezután kiszámítjuk a hatásábra ordinátáit. 17

18 c Határozzuk meg a háromcsuklós tartó keresztmetszetének ( N hatásábráját is szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! normáler c. ábra A keresztmetszet normáler hatásábrája a keresztmetszetben beiktatott egységnyi tengelyirányú relatív eltolódásból rajzolt függleges eltolódási ábrával azonos. A keresztmetszetnél beiktatott görgs kapcsolat hatására a tartó most is három tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. A fix támaszok csuklói most is az I., illetve a III. tárcsa megfelel abszolút pólusát adják meg, míg a közbens csukló alkotja az (1,2 relatív pólust, de most a (2,3 relatív pólus a beiktatott görgs kapcsolatnál a rúd tengelyére merlegesen a végtelenben van, mivel a II. és a III. tárcsa tengelyirányban mozdul el egymással párhuzamosan. Tetszlegesen felvesszük a II. vagy a III. tárcsa kimozdult alakját, és a görgs kapcsolat mentén tengelyirányban eltoljuk ket egymáshoz képest a pozitív normálernek megfelelen u = u = 23 1 értékkel. Az alkalmazott munkatétel értelmében a függleges eltolódások ábrájára van szükségünk, ezért az ábrán a tárcsákat uy = u23, y = 2 / 2 mértékben toljuk el egymáshoz képest függlegesen. A nullvonalhoz most is szükségünk van a (2 pólusra, amely azonban az ( 1, (1,2 (2 és a ( 3, (2,3 (2 összefüggések szerint most a végtelenben van, ami azt jelenti, hogy a II. tárcsa a nullvonallal párhuzamos kell legyen. Mivel azonban a III. tárcsa képére levetített (3 abszolút pólusnak a nullvonalon kell lennie, és a III. tárcsa a II. tárcsával párhuzamos, következésképpen a III. tárcsa maga a nullvonal. Így a levetített (1 pólus is rajta van, amelybl a II. tárcsára levetített (1,2 relatív pólus segítségével az I. tárcsa képét, és így az ( N hatásábrát is megkapjuk. Ezután kiszámítjuk a hatásábra ordinátáit. 18

19 M Rácsos tartó rúder hatásábrái szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján Határozzuk meg az alsópályás rácsos tartó jelölt három rúder szerkesztéssel! hatásábráját a. ábra a Határozzuk meg az alsópályás rácsos tartó ( S 1 a virtuális elmozdulások tétele alapján! rúder hatásábráját szerkesztéssel, b. ábra Ehhez átvágjuk a rudat, és a rúd átvágott végei között egységnyi pozitív relatív eltolódást hozunk létre, majd ebbl meghatározzuk a tartón végigmen egységer pályájának, az alsó pályának a függleges eltolódási ábráját, amely a keresett hatásábrát adja. Az átvágás a rácsos tartót két merev tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakítja át. A II. tárcsa (2 abszolút pólusa a fix támasz csuklóközéppontja, az (1,2 relatív pólus a két tárcsát összeköt csuklóban van. Az (1 abszolút pólus a görgs megtámasztásnál keletkez eltolódásra merleges egyenesen van, de mivel ( 2, (1,2 (1, így a görgs támasz csuklóközéppontjában van. Az átvágott rúd két vége között úgy tudjuk legegyszer&bben beiktatni az egységnyi pozitív relatív eltolódást, ha az (1,2 relatív elfordulás-középpontban az I. és a II. tárcsát elfordítjuk egymáshoz képest olymódon, hogy a rúdban éppen a u = u 1 = 1 pozitív eltolódás (nyúlás keletkezzék. Ehhez a relatív elfordulásnak éppen = u / 4 1/ 4 nagyságúnak kell 12 1 = 19

20 lennie. Vegyük fel tetszlegesen például az I. (vagy a II. tárcsa képét, és fordítsuk el hozzá képest a másik tárcsát a 12 =1/ 4 értékkel úgy, hogy a rúdban nyúlást okozzon. Ezután levetítjük a tárcsákra az abszolút pólusaikat, és berajzoljuk a nullvonalat. Ezáltal megkaptuk a hatásábrát. b Határozzuk meg az ( S 2 rúder hatásábrát is szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! c. ábra A ferde rácsrúd átvágása a rácsos tartót négy merev tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakítja át. A IV. tárcsa (4 abszolút pólusát a fix támasz csuklóközéppontja adja, míg az (1 abszolút pólus a görgs megtámasztásnál keletkez eltolódásra merleges egyenesen van. Az egyes tárcsákat összekapcsoló csuklók alkotják az (1,2, (1,3, (2,4 és (3,4 relatív pólusokat. Mivel az alsó pálya mentén ( 2,4, (1,2 (1,4, ugyanott ( 4, (1,4 (1, így az (1 abszolút pólus a görgs támasz csuklóközéppontjában van. Most is a megfelel tárcsák relatív elfordítása közvetítésével iktatjuk be az átvágott rúd két vége között az egységnyi pozitív relatív eltolódást: vagy az (1,2, vagy a (3,4 pólusban. A szükséges relatív elfordulásnak 12 = 34 = u 2 / k = 1/ k nagyságúnak kell lennie, ahol k = 3/ 2 az (1,2 vagy (3,4 pólusok merleges távolsága az átvágott rúdtól. Mivel alsópályás tartóról van szó, vegyük fel tetszlegesen az I. tárcsa képét, és fordítsuk el hozzá képest a II. tárcsát a = 12 2 / 3 értékkel úgy, hogy a rúdban nyúlást okozzon. A nullvonal meghatározásához szükségünk van a (2 abszolút pólusra is. A ( 4, (2,4 (2 és az ( 1, (1,2 (2 összefüggésekbl megtudjuk, hogy a (2 abszolút pólus az alsó öv vonalán helyezkedik el valahol. Hogy pontosan hol, azt a (3 abszolút pólus segítségével tudhatjuk meg. A (3 pólus helyét a ( 4, (3,4 (3 és az ( 1, (1,3 (3 összefüggésekbl kapjuk meg. Az ( 1,2, (1,3 (2,3 és a ( 2,4, (3,4 (2,3 összefüggésekbl megtudjuk, hogy a (2,3 relatív pólus függlegesen a végtelenben van, ami arra utal, hogy a II. és a III. tárcsa párhuzamosan mozdul el. Ugyanakkor most már a ( 3, (2,3 (2 összefüggés kimetszi a (3 pólus függlegesében a (2 pólus keresett helyét az alsó övön. Ezután levetítjük az I. és II. tárcsákra az abszolút pólusaikat, és berajzoljuk a nullvonalat. A IV. tárcsa hiányzó képét a (4 és (2,4 pólusok levetítésébl kapjuk meg. Ezáltal megkaptuk az alsópályás tartó keresett

21 rúder hatásábráját. Felspályás esetben ugyanezt a hatásábrát kapjuk, mivel a II. és a III. tárcsa képe megegyezik. c Határozzuk meg az ( S 3 rúder hatásábrát is szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! d. ábra A tartó szimmetriatengelyében lév oszlop átvágása révén a rácsos tartó most is négy merev tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. A IV. tárcsa (4 abszolút pólusát a fix támasz csuklóközéppontja adja. Az egyes tárcsákat összekapcsoló csuklók alkotják az (1,2, (1,4, (2,3 és (3,4 relatív pólusokat. Az (1 abszolút pólus most is a görgs megtámasztásnál keletkez eltolódásra merleges egyenesen van, de most a ( 4, (1,4 (1 összefüggésbl feljebb, a tartó felett helyezkedik el. Az átvágott rúd két vége között az egységnyi pozitív relatív eltolódást most is a megfelel tárcsák relatív elfordítása közvetítésével iktatjuk be: vagy az (1,2, vagy a (3,4 pólusban. A szükséges relatív elfordulásnak most 12 = 34 = u3 /3 = 1/ 3 nagyságúnak kell lennie. Vegyük fel tetszlegesen az I. tárcsa képét, és fordítsuk el hozzá képest a II. tárcsát a 12 = 1/ 3 értékkel úgy, hogy a rúdban nyúlást okozzon. A nullvonal meghatározásához szükségünk van a (2 abszolút pólusra is. A ( 4, (3,4 (3 és a ( 3, (2,3 (2 összefüggésekbl megtudjuk, hogy a (2 abszolút pólus az alsó öv vonalán helyezkedik el. Pontos helyét az ( 1, (1,2 (2 összefüggésbl kapjuk meg, amely szerint egybeesik az (1,2 relatív pólussal. Ez azt jelenti, hogy az I. tárcsa képén az (1 és a (2 abszolút pólus egyaránt rajta van, tehát az I. tárcsa képe a nullvonal. A ( 4, (3,4 (3, ( 1,4, (3,4 (1,3 és az ( 1, (1,3 (3 állításokból megkapjuk, hogy a (3 pólus egybeesik a (3,4 pólussal, tehát a IV. tárcsa képe is a nullvonalon van. A (2.3 és a (3,4 pólusok levetítésével megkapjuk a III. tárcsa képét, és ezzel a keresett hatásábrát is. Látható, hogy alsópályás esetben a hatásábra a pálya vonalának, azaz az I., II., III. és IV. tárcsák elmozdulási alakzatából áll. Felspályás esetben azonban csak az I. és II. tárcsa elmozdulási vonala kell, amely a nullvonalat alkotja. Valóban, felspályás esetben a vizsgált rúd vakrúd. 21

22 M Vonórudas tartó igénybevételi hatásábrái szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján a Határozzuk meg a vonórudas tartó keresztmetszetének ( T hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! nyíróer a. ábra A keresztmetszetnél beiktatott görgs kapcsolat hatására a tartó négy tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul. A fix támasz csuklója a III. tárcsa (3 abszolút pólusát adja meg, míg a közbens csuklók alkotják az (1,2, (1,4 és (3,4 relatív pólusokat. A (2,3 relatív pólus a beiktatott görgs kapcsolat által meghatározott elmozdulási irányra merlegesen a végtelenben van. Tetszlegesen felvesszük a II. vagy a III. tárcsa kimozdult alakját, és a görgs kapcsolat mentén eltoljuk ket egymáshoz képest a pozitív nyíróernek megfelelen u = u = 1 23 értékkel. A függleges eltolódási ábrában ez u23, y = cos vetületként jelenik meg, ahol a vizsgált tartószakasz vízszintessel bezárt szöge. A nullvonalhoz szükségünk van a (2 pólusra, amelyet a ( 3, (2,3 (2 és az ( 1, (1,2 (2 összefüggések által meghatározott egyenesek metszéspontja határoz meg. Ehhez azonban elzleg az (1 pólus helyét meg kell határoznunk a görgs megtámasztás függlegesében. Ezt a ( 3,4, (1,4 (1,3 és az ( 1,2, (2,3 (1,3, majd a ( 3, (1,3 (1 metszéspontok adják meg. Levetítve a (2 és (3 abszolút pólusokat a megfelel tárcsák képére, megkapjuk a nullvonalat. Végül az I. tárcsa képét a nullvonalon lév (1 és a II. tárcsa képére levetített (1,2 pólus összekötése adja meg, így megkapjuk az T hatásábrát. ( 22

23 b Határozzuk meg a vonórudas tartó keresztmetszetének ( N hatásábráját is szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! normáler b. ábra A keresztmetszetnél beiktatott görgs kapcsolat hatására a tartó most is négy tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul, most azonban a (2,3 relatív pólus a beiktatott görgs kapcsolatnál a rúd tengelyére merlegesen van a végtelenben. Tetszlegesen felvesszük a II. vagy a III. tárcsa kimozdult alakját, és a görgs kapcsolat mentén tengelyirányban eltoljuk ket egymáshoz képest a pozitív normálernek megfelelen u = u = 23 1 értékkel, ami a függleges eltolódási ábrában u23, y = sin értékben jelenik meg. A nullvonalhoz most is szükségünk van a (2 pólusra, amelyet az alábbi összefüggések alapján szerkeszthetünk meg: ( 1,4, (3,4 (1,3 és ( 1,2, (2,3 (1,3, majd ( 3, (1,3 (1, végül ( 1, (1,2 (2 és ( 3, (2,3 (2. A (2 és (3 abszolút pólusok levetítésével megkapjuk a nullvonalat, majd az (1 és (1,2 pólusok levetítésével az I. tárcsa képét. Ezzel elkészült a keresett N hatásábra. ( c Határozzuk meg a vonórúdban keletkez er (S virtuális elmozdulások tétele alapján! hatásábráját is szerkesztéssel, a A vonórúd átvágásával a tartó most is négy tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul, most azonban a (3,4 relatív pólus a vonórúd tengelyére merlegesen van a végtelenben. 23

24 2.1.5.c. ábra A vonórúdban beiktatásra kerül egységnyi pozitív relatív eltolódást az (1,2 pólusban alkalmazott relatív elfordulás közvetítésével visszük be. Tetszlegesen felvesszük az I. vagy a II. tárcsa kimozdult alakját, és elfordítjuk egymáshoz képest ket 12 =1/ h szöggel úgy, hogy a vonórúdban egységnyi nyúlás keletkezzen. Az (1 és (2 abszolút pólusok levetítésével megrajzoljuk a nullvonalat, és ezzel kész a keresett (S hatásábra. M Rácsos konzol rúder hatásábrái szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján Határozzuk meg a felspályás rácsos konzol jelölt rúder hatásábráit szerkesztéssel! a Határozzuk meg a rácsos konzol ( S 1 elmozdulások tétele alapján hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális Az ( S 1 hatásábrához a rúd átvágása a rácsos konzolt két merev tárcsából álló egyszabadságfokú láncolattá alakítja át. A II. tárcsa mereven kapcsolódik a falhoz, ezért nem mozdul el, tehát képe a nullvonal. Az (1 abszolút pólus az (1,2 relatív pólussal egybeesik. A rúdban beiktatásra kerül egységnyi pozitív relatív eltolódást az (1,2 pólusban alkalmazott relatív elfordulás közvetítésével visszük be. Tetszlegesen felvesszük a II. tárcsa képét, azaz a nullvonalat, és az (1,2 pólusban elfordítjuk az I. tárcsát 12 = 4 / 3b szöggel úgy, hogy a rúdban egységnyi nyúlás keletkezzen. Ezzel kész a keresett S hatásábra. ( 1 24

25 2.1.6.a. ábra b Határozzuk meg a rácsos konzol ( S 2 elmozdulások tétele alapján hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális b. ábra Az ( S 2 hatásábrához a rúd átvágása a rácsos konzolt ugyancsak két merev tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakítja át. A II. tárcsa most is mereven kapcsolódik a falhoz, nem mozdul el, tehát képe a nullvonal. Az (1 abszolút pólus az (1,2 relatív pólussal egybeesik. A rúdban beiktatásra kerül egységnyik pozitív relatív eltolódást az (1,2 pólusban alkalmazott relatív elfordulás közvetítésével visszük be. Tetszlegesen felvesszük a II. tárcsa 25

26 képét, azaz a nullvonalat, és az (1,2 pólusban elfordítjuk az I. tárcsát 12 = 1/ k szöggel úgy, hogy a rúdban egységnyi nyúlás keletkezzen. Ezzel kész a keresett S hatásábra. ( 1 c Határozzuk meg a rácsos konzol ( S 3 elmozdulások tétele alapján hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális c. ábra Az ( S 3 hatásábrához a rúd átvágása a rácsos konzolt négy merev tárcsából álló egyszabadságfokú láncolattá alakítja át. Most a IV. tárcsa kapcsolódik mereven a falhoz, tehát képe a nullvonal. Az egyes tárcsákat összekapcsoló csuklók alkotják az (1,2, (1,3, (2,4 és (3,4 relatív pólusokat. Most is a megfelel tárcsák relatív elfordítása közvetítésével iktatjuk be az átvágott rúd két vége között az egységnyi pozitív relatív eltolódást: vagy az (1,3, vagy a (2,4 pólusban. Vegyük fel tetszlegesen az IV. tárcsa képét, vagyis a nullvonalat, és fordítsuk el hozzá képest a II. tárcsát a 12 = 1/ k értékkel úgy, hogy a rúdban nyúlást okozzon. A hiányzó I. tárcsa képét az (1,2 és (1,4 pólusok levetítésével szerkesztjük meg. Az (1,4 pólust az ( 1,2, (2,4 (1,4 és az ( 1,3, (3,4 (1,4 összefüggésekbl a konzolvégen kapjuk meg, és a IV. tárcsa képére, a nullvonalra vetítjük le. Ezáltal megkaptuk a keresett rúder hatásábrát. 26

27 M Befogott Gerber-tartó igénybevételi és reakcióer hatásábrái szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján a Határozzuk meg a Gerber-tartó jelölt keresztmetszetének ( T hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! nyíróer a. ábra A nyíróernek megfelel görgs kapcsolat révén a tartó három tárcsából álló egyszabadságfokú láncolattá alakul. Mivel az I. tárcsa mereven befogott, így nem mozdul el, minden pontja abszolút pólus. Ezért az I. tárcsa képe a nullvonal, és az (1,2 relatív pólus egyben a (2 abszolút pólus is. A II. és III. tárcsát párhuzamosan eltoljuk egymáshoz képest egységnyivel, majd levetítjük a (2 és (3 pólusokat, és berajzoljuk a nullvonalat. Ezáltal megkaptuk a keresett hatásábrát. b Határozzuk meg a Gerber-tartó keresztmetszetének ( M hajlítónyomatéki hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! b. ábra 27

28 A keresztmetszetnél csuklót teszünk be, ekkor a tartó ismét három tárcsából álló egyszabadságfokú láncolattá alakul, ahol a mozdulatlan befogott I. tárcsa képe ismét nullvonal. Szabadon felvesszük vagy a II., vagy a III. tárcsa képét, majd beiktatjuk a = 23 1 relatív elfordulást a nyomatéki eljelszabály szerint pozitív eljellel. Ezután levetítjük a (2, illetve (3 abszolút pólusokat a megfelel tárcsák képére, és berajzoljuk a nullvonalat. Ezzel elállítottuk az M hatásábrát. ( c Határozzuk meg a Gerber-tartó A támaszánál keletkez reakcióer (A hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! c. ábra A reakcióernek megfelelen eltávolítjuk a megtámasztást, hogy az abszolút eltolódást beiktathassuk. Ekkor a tartó két tárcsából álló egy-szabadságfokú láncolattá alakul, ahol ismét az I. tárcsa képe a nullvonal. Ehhez képest vesszük fel a II. tárcsa képét úgy, hogy a pozitív reakcióervel ellentétesen, lefelé mutató egységnyi eltolódás keletkezzen a támsz helyén. Így megkapjuk az (A hatásábrát. d Határozzuk meg a Gerber-tartó befogott tartórészén lév keresztmetszetének ( M hajlítónyomatéki hatásábráját szerkesztéssel, a virtuális elmozdulások tétele alapján! d. ábra

29 A keresztmetszetnél csuklót teszünk be, ekkor a tartó ismét három tárcsából álló egyszabadságfokú láncolattá alakul, ahol a mozdulatlan befogott I. tárcsa képe ismét a nullvonal, és az (1,2 relatív pólus egyben a (2 abszolút pólus is. E pontban forgatjuk el a II. tárcsát az I.-hez képest egységnyi szöggel, majd a III. tárcsa képét a (2,3 és (3 pólusok levetítése útján kapjuk meg. Ezzel elállítottuk az M hatásábrát. ( 2.2. Statikailag határozott tartók elmozdulási hatásfüggvényei a virtuális erk tétele alapján A virtuális erk tételét a Rugalmasságtan tárgy keretében tárgyaltuk. A tétel ismertetése az alkalmazásokkal együtt a Szilárdságtan tankönyvben [4] található. A virtuális er$k tétele szerint egy elmozdulásrendszer akkor és csak akkor geometriailag lehetséges (kompatibilis, ha bármely virtuális er$rendszeren végzett (kiegészít$ munkája zérus. Elmozdulási hatásábrák készítésekor a mozgó egységer és az általa okozott, kompatibilis elmozdulás- és alakváltozás-rendszer változását vizsgáljuk. A tétel értelmében az egységer következtében fellép elmozdulások és alakváltozások tetszleges virtuális errendszeren végzett kiegészít munkájának összege az egységer minden helyzetében zérus. A virtuális kiegészít munka felírásához a tartón tetszleges virtuális errendszert kell felvenni. A virtuális errendszer alapvet tulajdonsága, hogy egyensúlyi, azaz statikailag lehetséges, vagyis elemei a statikai egyenletek által megszabott összefüggésben állnak egymással. Ezt az errendszert tehát úgy kell felvennünk, hogy a vizsgált elmozdulási hatáson feltétlenül munkát tudjon végezni, ugyanakkor elégítse ki a tartón érvényes egyensúlyi feltételeket, amelyek a tartó virtuális igénybevételeihez vezetnek. Ezek a virtuális igénybevételek pedig az egységerbl származó valódi alakváltozásokon (relatív elmozdulásokon végeznek kiegészít munkát. A kétféle virtuális kiegészít munka összegének mivel az elmozdulások és alakváltozások kompatibilisek zérust kell adnia. A virtuális erk tételének ezen felírása alapján megkapjuk a vizsgált elmozdulásnak a mozgó egységer egy adott helyzetéhez tartozó értékét. Ahhoz, hogy a mozgó egységer minden helyzetéhez megkapjuk a vizsgált elmozdulás értékét, azaz az elmozdulás hatásfüggvényét, a virtuális erk tételének két speciális alakját, Betti és Maxwell ún. felcserélhetségi tételét kell alkalmaznunk Betti és Maxwell felcserélhetségi tételei Betti tételének megértéséhez tekintsük az 2.6. ábrán látható rugalmas anyagú, kis elmozdulást végz tartót, amelyre külön a (P, majd külön a (Q errendszer m&ködik. Mindkét teherhez meghatározzuk az igénybevételeket és az elmozdulásokat is. A 2.6.a. és b. ábrán a függleges eltolódások ábráit t&ntettük fel. 29