Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7.
Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Tétel Bizonyítás Példák 2 Alapozás A kompaktság fajtái A deiníciók kövekezményei I
Definíciók Definíciók 1 Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A S lefedésének nevezzük, ha A előáll U-beli halmazok uniójaként. 2 megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés. 3 U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. 4 S szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza. 5 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa. 6 S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése.
Definíciók Definíciók 1 Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A S lefedésének nevezzük, ha A előáll U-beli halmazok uniójaként. 2 megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés. 3 U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. 4 S szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza. 5 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa. 6 S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése.
Definíciók Definíciók 1 Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A S lefedésének nevezzük, ha A előáll U-beli halmazok uniójaként. 2 megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés. 3 U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. 4 S szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza. 5 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa. 6 S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése.
Definíciók Definíciók 1 Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A S lefedésének nevezzük, ha A előáll U-beli halmazok uniójaként. 2 megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés. 3 U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. 4 S szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza. 5 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa. 6 S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése.
Definíciók Definíciók 1 Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A S lefedésének nevezzük, ha A előáll U-beli halmazok uniójaként. 2 megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés. 3 U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. 4 S szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza. 5 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa. 6 S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése.
Definíciók Definíciók 1 Az S metrikus tér részhalmazainak U családját az A S lefedésének nevezzük, ha A előáll U-beli halmazok uniójaként. 2 megszámlálható, véges, nyílt lefedések, rész-lefedés. 3 U végesmetszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. 4 S szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza. 5 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát, ha van megszámlálható nyílt bázisa. 6 S Lindelöf tulajdonságú, minden nyilt lefedésének van megszámlálható rész-lefedése.
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Tétel Tétel A következő állítások ekvivalensek : 1 S szeparábilis 2 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát 3 S Lindelöf tulajdonságú
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Tétel Tétel A következő állítások ekvivalensek : 1 S szeparábilis 2 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát 3 S Lindelöf tulajdonságú
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Tétel Tétel A következő állítások ekvivalensek : 1 S szeparábilis 2 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát 3 S Lindelöf tulajdonságú
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Tétel Tétel A következő állítások ekvivalensek : 1 S szeparábilis 2 S kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát 3 S Lindelöf tulajdonságú
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Bizonyítás Bizonyítás 1 2 Ha D S megszámlálható és sűrű, akkor B = {B 1n (a) : a D, n N} megszámlálható nyílt halmazrendszer, melyről D sűrű volta miatt belátható, hogy bázis. 2 3 Ha B egy megszámlálható bázis, U egy megszámlálható lefedés, akkor x S hez választható U x U és B x B, hogy x B x U x. De {B x$ B megszámlálható, ezért a megfelelő {U x} megszámlálható, és lefedése S nek 3 1 A B n = {B 1n (x) : x S} halmazcsalád minden n N esetén lefedése S nek, ezért van megszámlálható részlefedése : az A n = {B 1n (y) : y Y n} halmazcsalád, ahol Y n megszámlálható. (Kiválasztási axióma!). Belátható, hogy az S n N Un halmazcsalád megszámlálható és sűrű.
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Bizonyítás Bizonyítás 1 2 Ha D S megszámlálható és sűrű, akkor B = {B 1n (a) : a D, n N} megszámlálható nyílt halmazrendszer, melyről D sűrű volta miatt belátható, hogy bázis. 2 3 Ha B egy megszámlálható bázis, U egy megszámlálható lefedés, akkor x S hez választható U x U és B x B, hogy x B x U x. De {B x$ B megszámlálható, ezért a megfelelő {U x} megszámlálható, és lefedése S nek 3 1 A B n = {B 1n (x) : x S} halmazcsalád minden n N esetén lefedése S nek, ezért van megszámlálható részlefedése : az A n = {B 1n (y) : y Y n} halmazcsalád, ahol Y n megszámlálható. (Kiválasztási axióma!). Belátható, hogy az S n N Un halmazcsalád megszámlálható és sűrű.
A szeparábilitás ekvivalens megfogalmazásai Bizonyítás Bizonyítás 1 2 Ha D S megszámlálható és sűrű, akkor B = {B 1n (a) : a D, n N} megszámlálható nyílt halmazrendszer, melyről D sűrű volta miatt belátható, hogy bázis. 2 3 Ha B egy megszámlálható bázis, U egy megszámlálható lefedés, akkor x S hez választható U x U és B x B, hogy x B x U x. De {B x$ B megszámlálható, ezért a megfelelő {U x} megszámlálható, és lefedése S nek 3 1 A B n = {B 1n (x) : x S} halmazcsalád minden n N esetén lefedése S nek, ezért van megszámlálható részlefedése : az A n = {B 1n (y) : y Y n} halmazcsalád, ahol Y n megszámlálható. (Kiválasztási axióma!). Belátható, hogy az S n N Un halmazcsalád megszámlálható és sűrű.
Példák Példák 1 E ω ban az {[α] : α E } megszámlálható bázis. 2 R n ben az a csupa racionális számokból álló n esek megszámlálható sűrű halmazt alkotnak.
Példák Példák 1 E ω ban az {[α] : α E } megszámlálható bázis. 2 R n ben az a csupa racionális számokból álló n esek megszámlálható sűrű halmazt alkotnak.
Alapozás Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b R és a < b, akkor minden [a, b] beli soroztanak van torlódási pontja. ε háló: A S ε háló, ha S minden eleme ε > 0 nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
Alapozás Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b R és a < b, akkor minden [a, b] beli soroztanak van torlódási pontja. ε háló: A S ε háló, ha S minden eleme ε > 0 nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
Alapozás Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b R és a < b, akkor minden [a, b] beli soroztanak van torlódási pontja. ε háló: A S ε háló, ha S minden eleme ε > 0 nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
Alapozás Alapozás A Bolzano-Weierstrass tétel: Ha a, b R és a < b, akkor minden [a, b] beli soroztanak van torlódási pontja. ε háló: A S ε háló, ha S minden eleme ε > 0 nál közelebb van A valamelyik pontjához. Véges-metszet tulajdonság Ha F az S részhalmazainak olyan családja, hogy bármely véges részrendszerének a metszete nemüres, végesmetszet tulajdonságúnak nevezzük. Heine-Borel tétel: Ha F az [a, b] valós intervallum részhalmazainak végesmetszet tulajdonságú családja, akkor F nemüres.
A kompaktság fajtái A kompaktság fajtái Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. S kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges lefedés.
A kompaktság fajtái A kompaktság fajtái Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. S kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges lefedés.
A kompaktság fajtái A kompaktság fajtái Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. S kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges lefedés.
A kompaktság fajtái A kompaktság fajtái Sorozatkompaktság Az S metrikus tér sorozatkompakt, ha minden sorozatának van torlódási pontja S ben. Megszámlálható kompaktság Az S metrikus tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden végtelen halmazának van torlódási pontja. Bikompaktság Az S metrikus tér bikompakt, ha bármely zárt halmazokból álló végesmetszet tulajdonságú részhalmaz-családjának a metszete nemüres. S kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges lefedés.
A deiníciók kövekezményei I A deiníciók kövekezményei I Tétel Tétel Ha S sorozatkompakt, akkkor minden ε > 0 esetén van ε hálója.
A deiníciók kövekezményei I A deiníciók kövekezményei I Tétel Tétel Ha S sorozatkompakt, akkkor minden ε > 0 esetén van ε hálója. Bizonyítás Tegyük fel, hogy van olyan ε > 0, melyhez nincs ε háló. Mivel S nemüres ( minden számra ε háló). Válasszunk ki egy x 1 elemet. Ha már x 1, x 2,..., x n t kiválasztottuk ami nem ε háló -, x n+1 kiválasztható úgy, hogy ρ(x j, x n+1 ) > ε minden j re. A konstrukció miatt x n nek nincs torlódási pontja, ellentmondás.
A deiníciók kövekezményei I A deiníciók kövekezményei I Tétel Tétel Ha S sorozatkompakt, akkkor minden ε > 0 esetén van ε hálója. Bizonyítás Tegyük fel, hogy van olyan ε > 0, melyhez nincs ε háló. Mivel S nemüres ( minden számra ε háló). Válasszunk ki egy x 1 elemet. Ha már x 1, x 2,..., x n t kiválasztottuk ami nem ε háló -, x n+1 kiválasztható úgy, hogy ρ(x j, x n+1 ) > ε minden j re. A konstrukció miatt x n nek nincs torlódási pontja, ellentmondás. Következmény Sorozatkompakt tér szeparábilis.