Kozma László Matematikai alapok 2. kiegészített kiadás Debrecen, 2004
Egyetemi jegyzet, kézirat, 2004 2. kiegészített kiadás Kiadó: Studium 96 Bt., Debrecen Nyomda: Alföldi Nyomda Rt., Debrecen
Az összeállítás olyan I. éves hallgatók számára készült, akik nem főszakként tanulják a matematikát (közgazdász, programtervező, mérnök, stb. szakos hallgatók), de mégis alapos matematikai ismeretekre van szükségük tanulmányaikhoz. A bemutatott anyag az analízis és a lineáris algebra alapvető fogalmait és összefüggéseit tárgyalja, illetve bevezetésként néhány, a matematika minden területén használatos fogalmat. Szemléltető példákkal, kidolgozott feladatokkal az összeállítást nem bővítettük, ezért az előadások és szemináriumok látogatása melegen javasolt. Egy matematikai elmélet alapfogalmakból, axiómákból, definíciókból, tételekből és bizonyításokból áll. Az alapfogalmakat nem definiáljuk, hanem éppen az axiómák által a kiindulási pontként igaznak elfogadott kijelentések által vannak meghatározva. Éppen annyi tulajdonságot, összefüggést tudunk róluk, amennyit az axiómák kifejeznek. Az elmélet kiépítése során a már ismert fogalmak segítségével újabb fogalmakat határozunk meg, idegen szóval definiálunk. A fogalmak közötti összefüggésekre állításokat mondunk ki. Az elméletben egy állítás (kijelentés) akkor igaz s ilyenkor az elmélet tételének tekintjük, ha bebizonyítható, azaz logikailag helyes következtetési módszerekkel levezethető az axiómákból, s a már ismert tételekből. Nem célunk, és nincs is arra lehetőségünk, hogy ilyen ún. axiomatikus matematikai elméleteket fejtsünk ki. Csak a módszer néhány vonását alkalmazzuk a pontosabb matematikai gondolkozás fejlesztése érdekében. Állításaink legtöbbször ha...(feltétel)..., akkor...(következmény)... típusúak, ami azt jelenti, hogy a feltétel teljesülése esetén a következmény is teljesül. A bizonyítás módszere lehet ún. direkt, amikor a feltételből helyes logikai következtetési lépésekkel jutunk el a következményhez, vagy lehet ún. indirekt, amikor a következmény tagadásából (hamis voltának feltételezéséből) jutunk ellentmondásra. Amennyiben az állításunk azt fejezi ki, hogy valamely kijelentés minden természetes számra teljesül, akkor alkalmazhatjuk az ún. teljes indukciós bizonyítást: először belátjuk, hogy az állítás teljesül n = 1 esetén, majd azt, hogy ha tetszőleges n-re igaz az állítás, akkor n + 1 esetén is. Gyakran használjuk a következő jelöléseket és rövidítéseket: N a természetes számok halmaza Z az egész számok halmaza Q a racionális számok halmaza R a valós számok halmaza A matematikai állítások megfogalmazásakor alkalmazzuk a következő logikai jeleket: minden, bármely, teszőleges létezik, van olyan 3
4
Tartalomjegyzék 1. Halmazok és relációk 9 1.1 Halmazműveletek............................ 9 1.2 Függvény leképezés.......................... 12 1.3 Halmazok számossága......................... 12 2. A valós számokról 13 3. Komplex számok 17 3.1 A komplex számsík........................... 19 3.2 Komplex szám n-edik gyöke...................... 20 4. Sorozatok konvergenciája 23 4.1 Műveletek konvergens sorozatokkal.................. 24 4.2 A konvergencia monotonitása..................... 25 4.3 Valós számsorozat tágabb értelemben vett határértéke....... 26 4.4 Nevezetes határértékek......................... 26 5. Számsorok és hatványsorok 31 5.1 Számsorok................................ 31 5.2 Pozitív tagú sorok konvergenciakritériumai............. 32 5.3 Hatványsorok.............................. 33 6. Függvények határértéke és folytonossága 37 6.1 Határérték................................ 37 6.2 Folytonosság.............................. 39 6.3 Folytonos függvények tulajdonságai.................. 40 6.4 Elemi függvények folytonossága.................... 42 6.5 Néhány függvény határértéke..................... 43 6.6 A határérték fogalom kiterjesztése.................. 44 7. Differenciálás 47 7.1 Differenciálhányados és deriváltfüggvény............... 47 7.2 A monotonitás és a differenciálhatóság kapcsolata.......... 50 7.3 L Hospital szabály........................... 54 5
6 TARTALOMJEGYZÉK 7.4 Magasabb rendű deriváltak...................... 56 7.5 Konvexitás és a deriváltak kapcsolata................ 56 7.6 Taylor polinom............................. 58 7.7 A függvény szélsőértéke létezésének feltételei............ 60 8. Többváltozós függvények 63 8.1 R n metrikus fogalmai......................... 63 8.2 Határérték és folytonosság....................... 64 8.3 Többváltozós függvények differenciálhatósága............ 65 8.4 Magasabb rendű parciális deriváltak................. 67 8.5 Kétváltozós függvények szélsőértéke................. 68 8.6 Feltételes szélsőérték-számítás..................... 69 9. Határozatlan integrál 75 9.1 Alapintegrálok............................. 75 9.2 Integrálási szabályok.......................... 76 9.3 Racionális törtfüggvények integrálása................. 78 10. Határozott integrál 81 10.1 Alapfogalom és tulajdonságok..................... 81 10.2 Newton-Leibniz tétel.......................... 84 10.3 Integrálási szabályok.......................... 85 10.4 Alkalmazások.............................. 87 10.5 Improprius integrálok......................... 89 11. Kettős integrál 91 11.1 A kettős integrál fogalma....................... 91 11.2 Szukcesszív integrálás......................... 93 11.3 Többszörös integrál........................... 95 12. Differenciálegyenletek 97 12.1 Elsőrendű differenciálegyenlet..................... 97 12.2 Szétválasztható differenciálegyenletek................ 99 12.3 Lineáris differenciálegyenlet...................... 100 13. Vektorterek 103 13.1 Lineáris függőség............................ 105 13.2 Bázis és dimenzió............................ 106 13.3 Altér és rang.............................. 107 14. Determinánsok 109 14.1 Kifejtési tétel.............................. 114 14.2 Rangszámtétel............................. 115
TARTALOMJEGYZÉK 7 15. Lineáris egyenletrendszerek 117 15.1 Gauss elimináció............................ 118 15.2 Mátrixszámítás............................. 120 15.21. Mátrixműveletek........................ 121 15.3 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága............. 122 15.4 A lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza............ 124 16. Euklideszi terek 127 16.1 A belső szorzat............................. 127 16.2 Ortogonalitás.............................. 130 16.3 Legkisebb négyzetek módszere..................... 133 17. Lineáris transzformációk 135 17.1 Lineáris leképezés, defektus és rang.................. 135 17.2 Lineáris transzformáció mátrixa.................... 137 17.3 Sajátérték-probléma.......................... 139 18. Az euklideszi terek transzformációi 143 18.1 Szimmetrikus és ortogonális mátrixok................ 143 18.2 Szimmetrikus és ortogonális transzformációk............. 144 18.3 Kvadratikus formák.......................... 147 19. Lineáris programozás 149
8 TARTALOMJEGYZE K
1. Halmazok és relációk A halmaz és a halmaz elemének fogalma alapfogalom. Szemléletesen mondhatjuk, hogy a halmaz bizonyos tulajdonságokkal rendelkező dolgok összessége, a halmaz elemeiből áll, vagy hogy egy halmaz elemei által van meghatározva. A halmazokat legtöbbször latin nagy betűvel, az elemeit pedig latin kis betűvel jelöljük. Az a A jelölés annak a rövidítése, hogy az a eleme az A halmaznak. A halmazokat legtöbbször az elemeit jellemző tulajdonság kijelölésével adjuk meg. Véges sok elemet tartalmazó halmaz esetében egyszerűbb a halmaz elemeinek felsorolása. Pl. A = {1, 2, 3, 4}. Amennyiben egy tulajdonság kijelölésével adunk meg egy halmazt, annak eldöntése, hogy egy adott dolog a halmazhoz tartozik-e, sokszor kisebb-nagyobb nehézséget okoz, vagy éppen megoldhatatlan probléma. Pl. A = {x x N, x osztója 1993 nak}. Egy halmaznak természetesen nemcsak számok lehetnek az elemei, hanem bármi, pl. függvények, sőt halmazok is. Az olyan halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevezzük, jele:. Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha elemeik ugyanazok. Az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jelölése: A B. Így minden halmaz önmagának részhalmaza, s az üres halmaz is minden halmaznak részhalmaza. A valódi részhalmaza B-nek, ha A B, de A B. A részhalmaz fogalmát felhasználva mondhatjuk, hogy két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha mindkettő része a másiknak, azaz bármelyikük minden eleme a másik halmaznak is eleme. 1.1 Halmazműveletek Megadott halmazokból újabb halmazokat képezhetünk a következő műveletekkel: Definíció. Az A és B halmazok unióján (másszóval egyesítésén) azt a A B- vel jelölt halmazt értjük, melynek elemei A és B közül legalább az egyiknek elemei. A és B metszete az a A B-vel jelölt halmaz, melynek elemei mind A-nak, mind B-nek elemei. Ha A B, akkor az A halmaz B-re vonatkozó komplementerének (kiegészítő halmazának) nevezzük azt a A-vel jelölt halmazt, mely B olyan elemeiből áll, amelyek nincsenek A-ban. 9
10 1. HALMAZOK ÉS RELÁCIÓK Megjegyzés. 1. A komplementerképzés jelében célszerű lenne kifejezni, hogy a B alaphalmazra vonatkozóan történik, de nem szokás. Az alaphalmaz kijelölése mindig szükséges, ha komplementert kívánunk képezni. Ha sok halmazzal dolgozunk, kézenfekvő olyan alaphalmazt választani, amely az összeset tartalmazza. Nyilvánvalóan A B és A = A teljesül. 2. A fenti alapműveletek segítségével újabb műveletek is definiálhatók, pl. a különbségképzés: A \ B := A B, stb. 3. Ha két halmaz metszete az üres halmaz, azaz A B =, akkor diszjunktaknak (idegeneknek) mondjuk őket. Ilyenkor A-nak és B-nek nincs közös eleme. 4. Jelekkel e definiciókat így fejezhetjük ki: A B := {x x A vagy x B} A B := {x x A és x B} 5. Több halmaz akár végtelen sok is metszetét, illetve egyesítését is e definíciónak megfelelően értelmezhetjük: i=1 A i = {x i esetén x A i } i=1a i = {x i hogy x A i } A halmazműveletekre vonatkozóan teljesülnek a következő azonosságok: Állítás. A B = B A (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (A B) = A A A = A A B = A B A B = B A (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (A B) = A A A = A A B = A B Megjegyzés. 1. A fenti számolási szabályok az ún. Boole algebrák axiómái. Ez azt jelenti, hogy egy alaphalmaz összes részhalmazai a halmazok fent definiált szokásos műveleteivel Boole algebrát alkotnak. Az utolsó két azonosságot de Morgan azonosságnak nevezzük.
1.1. HALMAZMŰVELETEK 11 2. Megfigyelhetjük, hogy ha a baloldali azonosságcsoportban a metszet- és az unióképzés jelét felcseréljük, akkor a jobboldali azonosságokhoz jutunk. Ezt nevezik a Boole algebrák dualitási tulajdonságának. Ez azzal a következménnyel is jár, hogy ha egy, a halmazok műveleteire levezetett összefüggésben felcseréljük a metszet- és unióképzés jelét, akkor egy újabb, duális összefüggéshez jutunk. Definíció. Az A és B halmazok Descartes szorzatán (direkt szorzatán) azt a halmazt értjük, amelynek elemei az A és B elemeiből képezhető rendezett párok; jele: A B. Megjegyzés. 1. A Descartes szorzat képzésében résztvevő két halmaz lehet azonos is. Ilyen esetben az {(a, a) a A} A A halmazt a Descartes szorzat diagonálisának mondjuk. 2. Véges sok A 1,..., A n halmaz Descartes szorzatát hasonlóképpen értelmezzük: A 1... A n az olyan (a 1,...,a n ) rendezett n-esek halmaza, amelyekre a i A i minden i = 1,...,n esetén. Ha ezen n db halmaz mindegyike ugyanaz a halmaz, akkor a tömörebb A n jelölést alkalmazzuk. Definíció. Relációnak nevezzük két halmaz Descartes szorzatának egy részhalmazát. Az A halmazon értelmezett ekvivalenciarelációról beszélünk, ha A A-nak olyan R részhalmaza adott, amely teljesíti a következő tulajdonságokat: minden a A esetén (a, a) R ha (a, b) R, akkor (b, a) R ha (a, b) R és (b, c) R, akkor (a, c) R (reflexív) (szimmetrikus) (tranzitív) Megjegyzés. 1. Ekvivalenciarelációra legegyszerűbb példa az elemek egyenlősége. Kevésbé triviális példát kapunk ekvivalenciára pl. az egész számok körében, ha két egész számot ekvivalensnek tekintünk, ha 5-tel osztva ugyanazt a maradékot adják. 2. Ha adott az A halmazon egy ekvivalenciareláció, az A halmaz diszjunkt részhalmazokra, ún. osztályokra bomlik úgy, hogy egy osztályba az egymással ekvivalens elemek tartoznak. Az utolsó példában 5 maradékosztály van.
12 1. HALMAZOK ÉS RELÁCIÓK 1.2 Függvény leképezés Definíció. Az A és B halmazok közötti F relációt függvénynek (vagy leképezésnek) mondjuk, ha bármely a A esetén pontosan egy olyan b B létezik, melyre (a, b) F. Azt mondjuk, hogy b a-nak a képe: F(a) = b, a függvény szokásos jelölése pedig F: A B. Az A halmazt az F függvény értelmezési tartományának nevezzük, B-t pedig F értékkészletének mondjuk. F képtere B azon elemeiből áll, amelyek szerepelnek valamelyik (a, b) F párban. Megjegyzés. 1. A függvény (leképezés) tehát kapcsolatot létesít az értelmezési tartományt alkotó halmaz elemei és az értékkészlet elemei között. Az értelmezési tartomány minden eleméhez hozzátartozik az értékkészlet valamely eleme, de fordítva nem szükségképpen. A képtér az értékkészlet azon elemeiből áll, amlyek a leképezés során képpé válnak. 2. Egy leképezést kölcsönösen egyértelműnek (idegen szóval injektívnek) mondunk, ha az értelmezési tartomány különböző elemeinek a képei különbözőek. Ha képtér egybeesik az értékkészlettel, akkor a leképezést szürjektívnek nevezzük. Az egyaránt injektív és szürjektív leképezéseket bijektívnek mondjuk. Az ilyen függvények invertálhatók, azaz a függvényt alkotó relációban a párok felcserélésével előálló (b, a) párok halmaza is függvény. Ezt a függvényt inverz függvénynek nevezzük, jele: F 1 : B A. Nyilvánvalóan F 1 (F(a)) = a és F(F 1 (b)) = b teljesül minden a A, b B esetén. 1.3 Halmazok számossága Definíció. Két halmazt egyenlő számosságúnak (vagy ekvivalensnek) mondunk, ha létesíthető közöttük bijektív leképezés. A természetes számok halmazával egyenlő számosságú halmazokat megszámlálhatóan végtelennek mondjuk, a többi végtelen halmazt nem megszámlálhatónak. A számosságok elméletéből csak két egyszerű, de fontos állítást említünk: A racionális számok Q halmaza megszámlálhatóan végtelen. A valós számok R halmaza nem megszámlálható.
2. A valós számokról A valós számok R halmaza a racionális és irracionális számokból áll. Tizedes tört alakjukat tekintve a racionális számok véges vagy végtelen, de szakaszos tizedes törtként állíthatók elő, míg az irracionális számok nem szakaszos végtelen tizedes törtként. A valós számok körében az összeadás és a szorzás művelete értelmezett, s teljesíti a következő tulajdonságokat (az ún. testaxiómákat): a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + ( a) = 0 a b = b a (a b)c = a (b c) a 1 = a a 1 = 1 a a (b + c) = a b + a c R rendezett halmaz, azaz a valós számpárok összehasonlíthatók, s e rendezés harmónikus kapcsolatban van a műveletekkel; teljesülnek a következő tulajdonságok: a a a b, b c = a c a b = a + c b + c a 0, b 0 = a b 0 A valós számok egy A részhalmazát felülről korlátosnak mondjuk, ha létezik hozzá olyan b valós szám, melyre a b teljesül minden a A esetén. b-t ilyenkor A egy felső korlátjának mondjuk. Hasonlóan, A-t alulról korlátosnak mondjuk, ha b R (alsó korlát), melyre b a teljesül a A esetén. Az alulról és felülről is korlátos halmazokat korlátosnak mondjuk. Az A R halmaz pontos felső korlátja egy olyan b felső korlát, melynél kisebb felső korlátja A-nak nincsen. Jele: b = supa. Nevezik felső határnak, idegen szóval szupremumnak is. Hasonlatosan, az A halmaz pontos alsó korlátja egy olyan alsó korlát, melynél nagyobb alsó korlátja A-nak nincs. Szinonim 13
14 2. A VALÓS SZÁMOKRÓL kifejezés: alsó határ, infinum, jele: inf A. Például A = {a R a 2 < 2} esetén infa = 2, supa = 2. A valós számhalmaz igen fontos tulajdonsága (teljességi axiómája) az ún. felső határ-tulajdonság: A valós számok bármely felülről (alulról) korlátos részhalmazának van pontos felső (alsó) korlátja. Ez a tulajdonság különbözteti meg a valós számok halmazát a racionális számok halmazától. Állítás. Legyen adott minden n természetes szám esetén egy [a n, b n ] zárt intervallum, s tegyük fel, hogy ez az intervallumrendszer fogyó, azaz minden n N- re [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ]. Ekkor ezen intervallumrendszer metszete nem üres, azaz van olyan valós szám, amely mindegyik megadott intervallumban benne van. Bizonyítás. Legyen A = {a n n N}, B = {b n n N}, és a = supa, illetve b = infb. Azt kell belátnunk, hogy a b. Tegyük fel indirekten, hogy a > b. Ekkor van olyan c, hogy b < c < a. Ez a c nem felső korlátja A-nak, s nem alsó korlátja B-nek, ezért van olyan n 1, illetve n 2 index, hogy a n1 > c, illetve b n2 < c. n 1 és n 2 közül válasszuk ki a nagyobbat, legyen ez pl. n 1. Ekkor b n1 b n2 < c < a n1 teljesül. Ez viszont lehetetlen, ellentmondás. Q. E. D. Egy a valós szám ε sugarú nyílt környezetén az (a ε, a+ε) nyílt intervallumot értjük, ahol ε tetszőleges pozitív valós számot jelöl. Jele: G(a, ε). Ezt megadhatjuk a következőképp is: G(a, ε) = {x R x a < ε} (Ez utóbbi megadás lehetőséget ad arra is, hogy ily módon a komplex számok körében is értelmezzük a nyílt környezet fogalmát, sőt olyan terekben is, ahol az abszolút érték tulajdonságaival rendelkező távolságfüggvény van megadva.) Definíció. Ha adott egy A részhalmaz, azt mondjuk, hogy az a A szám belső pontja az A halmaznak, ha van olyan G(a, ε) nyílt környezete a-nak, melyre G(a, ε) A. Azokat a halmazokat, amelyeknek minden pontja belső pont, nyíltaknak nevezzük. Egy A halmazt zártnak nevezünk, ha komplementere nyílt. Az A halmaz torlódási pontjának nevezzük az olyan a R számot, melynek minden nyílt környezetében az A halmaznak végtelen sok eleme található. Könnyen látható, hogy a torlódási pont definíciójában elegendő lenne azt megkövetelni, hogy a bármely nyílt környezete tartalmazza A-nak legalább egy a- tól különböző elemét. Ugyanis, ha az ε sugarú nyílt környezetben van egy a 1 A, mely a-tól különbözik, tekintsük ε 1 = a 1 a -et. A ε 1 sugarú környezetben is található valamely a 2 A, melyre a 2 a. Újra ezek távolságát képezve (ε 2 ),stb.ismételve a lépéseket, A-nak végtelen sok elemét találjuk az első ε sugarú környezetben. Állítás. Egy A halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza mindegyik torlódási pontját. Bizonyítás. Ha zárt egy halmaz, akkor komplementere nyílt, ezért a komplementer minden pontja belső pontja a komplementernek, ezért a komplementer egyik pontja sem lehet torlódási pontja A-nak, hiszen van olyan környezete, amely
csak a komplementerből tartalmaz pontokat. Így A torlódási pontjai csak A-ban lehetnek. Fordítva, ha az A halmaz tartalmazza az összes torlódási pontját, akkor a komplementer egyik pontja sem torlódási pontja A-nak, ezért a komplementer bármelyik pontjához lehet találni olyan nyílt környezetét, amely nem tartalmazza A-nak egyik pontját sem, azaz e környezetek a komplementerben vannak. Ez azt jelenti, hogy a komplementer minden pontja belső pont, tehát a komplementer nyílt halmaz, az eredeti így zárt. Q. E. D. Bolzano Weierstraß tétel: Állítás. A valós számhalmaz bármely korlátos végtelen részhalmazának van torlódási pontja. Bizonyítás. A korlátosság miatt a korlátos A halmaz elemei mind egy [a 1, b 1 ] zárt intervallumban vannak. Felezzük meg ezt az intervallumot, s az [a 1, a 1 + b 1 ], 2 illetve [ a 1 + b 1, b 1 ] intervallumok közül válasszuk ki azt (vagy azok közül egyiket), 2 amelyik A-nak végtelen sok elemét tartalmazza. Jelöljük ezt [a 2, b 2 ]-vel. Felezve ezt az intervallumot, s így folytatva az eljárást, egy zárt intervallumokból álló [a n, b n ] fogyó intervallumrendszerhez jutunk. Ezen intervallumok metszete nem üres. Legyen c a metszetnek egy eleme. Megmutatjuk, hogy c torlódási pontja az A halmaznak. Tekintsünk egy tetszőleges pozitív ε-t. Ehhez meghatározható egy olyan n 0 természetes szám, hogy 1 2 < ε n0 2(b 1 a 1 ). Az n 0-dik intervallum hossza b 1 a 1 2 n0 1 < ε, ezért [a n 0, b n0 ] G(c, ε). Az n 0 -dik intervallum végtelen sok elemét tartalmazza A-nak, így G(c, ε) is, tehát c torlódási pontja A-nak. Q. E. D. 15
16 2. A VALÓS SZÁMOKRÓL
3. Komplex számok A valós számok körében a negatív számoknak nincs négyzetgyökük, s emiatt bizonyos másodfokú egyenleteknek nincs megoldásuk. E hiányosságok kiküszöbölésére a komplex számok fogalmát építjük ki. Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b)(c, d) := (ac bd, bc + ad) a-t a z = (a, b) komplex szám valós részének, míg b-t a képzetes (imaginárius) részének nevezzük.jelölésük: Re(z) és Im(z). Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik megegyeznek. A komplex számhalmaz jele: C. Állítás. A komplex számok C halmaza a fent definiált összeadása és szorzása teljesíti a testaxiómákat. Bizonyítás. A valós számok tulajdonságaira építve, a szorzás invertálhatóságát kivéve, a testaxiómák ellenőrzése egyszerű számolás. Ha z = (a, b) 0, akkor az a és b valós számok közül legalább az egyik nem nulla, ezért a 2 + b 2 > 0. a Megmutatjuk, hogy z = (a, b) inverze az ( a 2 + b 2, b a 2 + b2) komplex szám lesz: ( a (a, b) a 2 + b 2, b ) ( a 2 + b 2 ) ba ab a 2 + b 2 = a 2, + b2 a 2 + b 2 = (1, 0). Láthatjuk, hogy az egységelem az (1, 0) komplex szám, a zéruselem pedig a (0, 0) komplex szám lesz. Q. E. D. Megjegyzés. 1. Nyilvánvaló, hogy (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) és (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) teljesül. Emiatt az (a, 0) komplex számot azonosíthatjuk az a valós számmal, s így a valós számtest a komplex számok egy részhalmazát alkotják. 17
18 3. KOMPLEX SZÁMOK 2. Ha i-vel jelöljük a (0, 1) komplex számot és 1-gyel az (1, 0) egységelemet, akkor i 2 = 1. E jelölésekkel (a, b) = a + bi, hiszen a + bi = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b) A továbbiakban az a + bi klasszikus jelölést alkalmazzuk. 3. Ha z = a + bi, ahol a és b valós szám, akkor a z = a bi komplex számot z konjugáltjának nevezzük. A konjugált képzése a következő tulajdonságokkal rendelkezik: z + w = z + w z w = z w z + z = 2 Re(z) és z z = 2 Im(z)i z z pozitív valós szám, kivéve z = 0-t. 4. Nem egészen triviális két komplex szám hányadosát képezni, azaz klasszikus alakban kifejezni. Célszerű a nevező konjugáltjával bővíteni a törtet. Pl. 3 + 4i (3 + 4i)(4 2i) = 4 + 2i (4 + 2i)(4 2i) = 1 + 1 2 i 5. A z komplex szám abszolút értékének nevezzük z z nemnegatív négyzetgyökét, jelölése: z. Így z = a 2 + b 2. Az abszolút érték következő tulajdonságokkal rendelkezik: z > 0, ha z 0, és 0 = 0 z = z zw = z w Re(z) z Im(z) z z + w z + w A harmadik összefüggés igazolásához legyen z = a + bi, w = c + di, ahol a, b, c, d valós számok. Ekkor zw 2 = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = z 2 w 2. Az utolsó igazolásához azt figyeljük meg, hogy zw és zw egymás konjugáltja, ezért zw + zw = 2 Re(zw). Így z + w 2 = (z + w)(z + w) = zz + zw + zw + ww = = z 2 + 2Re(zw) + w 2 z 2 + 2 zw + w 2 = = z 2 + 2 z w + w 2 = ( z + w ) 2.
3.1. A KOMPLEX SZÁMSÍK 19 3.1 A komplex számsík Amennyiben a sík egy Descartes-féle (derékszögű) koordinátarendszerében a z = a + bi komplex számhoz hozzárendeljük az (a, b) koordinátájú pontot, egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést kapunk a sík pontjai és a komplex számok halmaza között. Az a + 0i alakú (valós) komplex számoknak az x tengely pontjai, míg a tisztán képzetes (0 + b i alakú) komplex számoknak az y tengely pontjai felelnek meg. Ha a z = (a, b) = a + b i komplex számot az origóból induló (a, b) végpontú vektorral szemléltetjük, a komplex számok összeadásának a vektorok összeadása felel meg, a konjugálásnak az x tengelyre való tükrözés, míg a komplex szám abszolút értéke a megfelelő vektor hossza. A szorzás szemléletes jelentése az ún. trigonometrikus alak segítségével lesz könnyen látható. Amennyiben ϕ jelöli a z = (a, b) = a + b i komplex számnak, mint vektornak a pozitív irányú x tengellyel bezárt forgásszögét, s r = z az abszolút értéket, akkor látható, hogy a = r cosϕ, b = r sin ϕ Tehát z = a + b i = r(cos ϕ + i sin ϕ). Az utóbbit nevezzük a komplex szám trigonometrikus alakjának, ϕ-t a z komplex szám argumentumának (vagy irányszögének), jele: ϕ = arg z. A klasszikus algebrai alakból a trigonometrikus alak előállításához r és ϕ kiszámítása így történhet: r = z = a 2 + b 2, s b 0 esetén ϕ-t a cosϕ = a r összefüggésből, míg b 0 esetén ϕ = 2π ϕ 0, ahol cosϕ 0 = a r. b z = a + bi i r = z ϕ 1 a Szorozzuk össze a z 1 = r 1 (cosϕ 1 +i sin ϕ 1 ) és z 2 = r 2 (cos ϕ 2 +i sinϕ 2 ) komplex számokat. Ekkor z 1 z 2 = r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cosϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i(sin ϕ 1 cosϕ 2 + cosϕ 1 sin ϕ 2 )] A trigonometrikus függvények ismert addíciós képlete alapján: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Innen láthatjuk, hogy szorzásnál az argumentumok összeadódnak, az abszolút értékek pedig összeszorzódnak. Egy adott komplex számmal való szorzás ezért
20 3. KOMPLEX SZÁMOK úgy szemléltethető, mint origó körüli argϕ szögű elforgatás és r = z arányú nyújtás együttese. z 1 z 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 + ϕ 2 z 1 z 2 A szorzásra vonatkozó képletből adódik, hogy trigonometrikus alakban a hatványozás elvégzése nagyon leegyszerűsödik. (Moivre képlet) z n = R n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)), n N Az osztás formulájának megtalálásához előbb 1 -t állítjuk elő trigonometrikus z alakban: 1 z = 1 (cos( ϕ) + i sin( ϕ)) r Ezért z 1 1 = z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sinϕ 1 ) 1 (cos( ϕ 2 ) + i sin( ϕ 2 )) = z 2 z 2 r 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )). 3.2 Komplex szám n-edik gyöke Definíció. Az z = r(cos ϕ + i sin ϕ) komplex szám n-edik gyökén olyan komplex számot értünk, amelynek n-edik hatványa z-vel egyenlő. Ha tehát w z-nek az n-edik gyöke, akkor w n = z. Tegyük fel, hogy w = t(cos ψ + i sin ψ), akkor a hatványozás miatt t n (cosnψ + i sinnψ) = r(cos ϕ + i sinϕ)
3.2. KOMPLEX SZÁM N-EDIK GYÖKE 21 Két komplex szám akkor egyenlő, ha abszolút értékeik megegyeznek, irányszögeik pedig 2π egész számú többszörösében különböznek egymástól. Ezért t n = r, nψ ϕ = k 2π ahol k egész szám. Mivel t és r nemnegatív, t = n r, ψ = (ϕ + k 2π)/n A Moivre képlet alapján látható, hogy w valóban n-edik gyök. w-nek ezen előállításában ugyan végtelen sok k érték szerepel, de könnyen látható, hogy a k = 0, 1,..., n 1 választással n különböző w számot kapunk, s a további k értékek nem adnak újabb gyököt. Ez azt jelenti tehát, hogy minden komplex számnak a 0-át kivéve, pontosan n darab n-edik gyöke van. Speciálisan minden komplex számnak (s köztük a valós számoknak is ), a 0-t kivéve, a komplex számok körében mindig pontosan két négyzetgyökük van, s a valós együtthatós másodfokú egyenleteknek is mindig van megoldása komplex számok körében, vagy két valós (esetleg egybeeső), vagy két konjugált komplex szám. Az 1 komplex szám n-dik gyökeit n-dik egységgyököknek nevezzük. n = 6 ε 2 ε 1 ε 3 ε 0 1 ε 4 ε 5
22 3. KOMPLEX SZA MOK
4. Sorozatok konvergenciája Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex (értékű) sorozatról. A f: N R függvényjelölés helyett gyakoribb az a n jelölés alkalmazása, ahol a n a függvényértékeket jelöli (a n = f(n) n N esetén), melyeket a sorozat tagjainak mondunk. Egy valós vagy komplex számsorozatot korlátosnak mondunk, ha a sorozat tagjai korlátos halmazt alkotnak R-ben, illetve C-ben, azaz ha van a 0-nak olyan ε sugarú környezete, amely tartalmazza a sorozat minden tagját. Egy a n valós(!) számsorozatot monoton növekvőnek mondunk, ha a n a n+1 teljesül minden n N-re. Szigorúan monoton növekvő az a n sorozat, ha a n < a n+1 teljesül minden n N-re. Analóg módon értelmezzük a monoton csökkenő, illetve szigorúan monoton csökkenő sorozatok fogalmát. Megjegyzés. Szigorúan monoton növekvő sorozatra példa az a n = 1 1 n sorozat, 2 monoton csökkenő például a b n = [ 100 n ] sorozat. Ezek korlátosak is, de pl. nem korlátos a c n = log 2 n, vagy a d n = ( 1) n n sorozat. Definíció. Egy a n sorozat torlódási pontján olyan a számot értünk, melynek tetszőleges ε > 0 sugarú nyílt környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja található. Azt mondjuk, hogy az a n sorozat konvergens és határértéke a, ha a-nak bármely ε > 0 sugarú nyílt környezete a sorozat összes tagját tartalmazza véges sok kivételével, azaz ha bármely ε > 0-hoz létezik olyan n 0 N küszöbszám, hogy minden n > n 0 esetén a n a < ε. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy a n konvergál (vagy tart) a-hoz, jelben: a n a, vagy lim a n = a. n Természetesen, ha a határértéke az a n sorozatnak, akkor torlódási pontja is, de általában fordítva nem teljesül. Viszont ha a n korlátos, s csak egyetlen torlódási ponttal rendelkezik, akkor konvergens is, és határértéke az egyetlen torlódási pont lesz. Konvergens sorozatnak csak egyetlen határértéke van, hiszen ha a 1 és a 2 is az volna, akkor diszjunkt környezeteiket tekintve, mindkét környezetnek a sorozat összes tagját kellene tartalmazni véges sok kivételével, ami lehetetlen. A konvergens sorozatok korlátosak, hiszen pl. a 1 sugarú környezete tartalmazza a sorozat összes tagját véges sok kivételével, a kintmaradtak közül az 23
24 4. SOROZATOK KONVERGENCIÁJA a-tól legtávolabbinak a-tól mért távolságát d-vel jelölve, nyilvánvaló, hogy minden n-re a d a n a + d teljesül. Példa konvergens sorozatra: a n = 1. Ez a sorozat konvergens, s határértéke n 0, hiszen ha teszőleges ε > 0-t választunk, hozzá lehet találni olyan küszöbindexet, pl. n 0 = [ 1 ε ] +1-et, melyre bármely n > n 0 esetén valóban a n 0 = 1 < ε. Nem n konvergens viszont, pl. az b n = ( 1) n + 1 sorozat, hiszen két torlódási pontja is n van. Az alkalmazások szempontjából fontos a következő egyszerű tétel: Állítás. Valós, monoton növekvő korlátos sorozat konvergál a pontos felső korlátjához. Valós, monoton csökkenő korlátos sorozat konvergál a pontos alsó korlátjához. Bizonyítás. Az a n monoton növekvő korlátos sorozat pontos felső korlátját jelölje a, s tekintsünk egy tetszőleges pozítív ε-t. a ε nem felső korlátja a sorozat elemeinek, ezért van olyan n 0 N, hogy a n0 > a ε. A monotonitás miatt ekkor minden n > n 0 esetén a a n > a ε, tehát a n a < ε. Hasonló érvelés adható monoton csökkenő sorozat esetén is. Q. E. D. 4.1 Műveletek konvergens sorozatokkal Sorozatokkal ugyanazon műveleteket végezhetjük, mint a valós, illetve a komplex számokkal: Az a n és b n sorozatok összegének, szorzatának, illetve ha b n 0, akkor hányadosának nevezzük rendre az a n + b n, a n b n, a n b n sorozatokat. Állítás. Ha a n 0 és b n korlátos, akkor a n b n 0. Ha a n a és b n b, akkor a n + b n a + b. Ha a n a és b n b, akkor a n b n ab. Ha a n a, b n b és b n 0, b 0, akkor a n b n a b. Bizonyítás. Jelölje K a b n sorozat egy korlátját: b n K. Tetszőleges ε > 0 esetén a n 0 miatt van olyan n 0, hogy ha n > n 0, akkor a n < ε K. Ezért a n b n = a n b n < ε K K = ε. A második igazolásához is tetszőleges ε > 0-ból indulunk ki. a n és b n konvergenciája miatt ε/2-höz van olyan n 1 és n 2, hogy n > n 1, illetve n > n 2 esetén
4.2. A KONVERGENCIA MONOTONITÁSA 25 a n a < ε/2, illetve b n b < ε/2 teljesedik. Ekkor minden n > max{n 1, n 2 } esetén (a n + b n ) (a + b) a n a + b n b < ε/2 + ε/2 = ε. Szorzat esetében a következő átalakítást végezzük el: a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a Az a n sorozat korlátos, hiszen konvergens, tehát a n K valamely K R-ra. a n a miatt létezik olyan n 1, hogy ha n > n 1, akkor a n a < ε/2 b. Másrészt, b n b miatt létezik olyan n 2, hogy ha n > n 2, akkor b n b < ε/2k. Ha n > max{n 1, n 2 }, akkor a fenti becslést is figyelembe véve a n b n ab < ε adódik. A hányadosra vonatkozó állítás bizonyításához előbb azt figyeljük meg, hogy a b n sorozatnak 0 nem torlódási pontja, hiszen konvergens sorozatnak nem lehet két torlódási pontja. Ezért 0 valamely nyílt környezetében nincs a sorozatnak egyetlen tagja sem. Ez azt jelenti, hogy van olyan K pozitív valós szám, hogy b n K. Végezzük el a következő átalakításokat: a n a b n b = a nb ab + ab ab n a n a b n b b n + a b b n b b n a n a miatt létezik olyan n 1, hogy ha n > n 1, akkor a n a < Kε/2. Másrészt, b n b miatt létezik olyan n 2, hogy ha n > n 2, akkor b n b < K b ε/2. Ha a n > max{n 1, n 2 }, akkor a fenti átalakítást kihasználva kapjuk, hogy a n a b n b < ε. Q. E. D. 4.2 A konvergencia monotonitása Állítás. Ha a n a, b n b és a n b n minden n N-re, akkor a b. Bizonyítás. Tegyük fel indirekten, hogy a > b. Legyen ε = a b 2. a n a miatt van olyan n 1, hogy ha n > n 1, akkor a n (a ε, a + ε). Hasonlóan b n b miatt van olyan n 2, hogy ha n > n 2, akkor b n (b ε, b + ε). Ezért, ha n > max{n 1, n 2 } teljesül, akkor b n < b + ε = a + b 2 = a ε < a n. Ez ellentmond állításunk feltételének. Q. E. D. Megjegyzés. Ha a feltételben szigorú egyenlőtlenség teljesül, a következményben mégsem állítható, hogy a < b. Ezt mutatja az a n = 0, b n = 1 n sorozatok példája. Állítás. (Rendőrelv) Ha a n a, b n a, és a n c n b n minden n N-re, akkor c n a.
26 4. SOROZATOK KONVERGENCIÁJA Bizonyítás. Tetszőleges ε > 0 esetén a n a miatt van olyan n 1, hogy ha n > n 1, akkor a n (a ε, a + ε). Hasonlóan b n a miatt van olyan n 2, hogy ha n > n 2, akkor b n (a ε, a + ε). Ezért minden n > max{n 1, n 2 } esetén a n c n b n miatt c n (a ε, a + ε) is teljesül. Q. E. D. 4.3 Valós számsorozat tágabb értelemben vett határértéke Definíció. Azt mondjuk, hogy az a n sorozat tart a végtelenhez, ha bármely K valós számhoz van olyan n 0 N, hogy ha n > n 0, akkor a n > K. Jele: a n, vagy lim a n =. Hasonlatosan, az a n sorozat tart a mínusz végtelenhez, ha n bármely K valós számhoz van olyan n 0 N, hogy ha n > n 0, akkor a n < K. Jele: a n, vagy lim a n =. n Megjegyzés. 1. A műveletekkel kapcsolatosan majdnem ugyanazon tulajdonságok érvényesek, mint a szűkebben értelmezett konvergencia esetében, pl.: Ha a n, b n, akkor a n + b n. Ha a n, b n, akkor a n + b n. Ha a n, b n, akkor a n b n. Ha a n, b n b > 0, akkor a n b n. 2. Ha a n, és a n 0, akkor 1 a n 0. Ugyanis, adott ε > 0 esetén K = 1 ε - hoz van olyan n 0 N, hogy ha n > n 0, akkor a n > K = 1 ε, azaz 1 a n < ε. Fordítva viszont a n 0-ból következik 1 a n, hasonló érveléssel. 4.4 Nevezetes határértékek Állítás. Legyen a n = p rn r + p r 1 n r 1 +... + p 1 n + p 0 q s n s + q s 1 n s 1 +... + q 1 n + q 0. Ha r = s, akkor a n p r q r. Ha r < s, akkor a n 0. Ha r > s, akkor p r q s > 0 esetén a n, míg p r q s < 0 esetén a n. Bizonyítás. r = s Osszuk el a számlálót és a nevezőt is n r -el: 1 p r + p r 1 n +... + p 1 1 1 n + p r 1 0 n r 1 q r + q r 1 n +... + q 1 1 1 n + q r 1 0 n r
4.4. NEVEZETES HATÁRÉRTÉKEK 27 A számlálóban és a nevezőben szereplő 1 n i tagok mindegyike 0-hoz tart, s kihasználva a műveletek és a határátmenet sorrendjének felcserélhetőségét, valóban a n p r. q r r < s Most n s -el osztjuk a számlálót, s nevezőt is: a n = p r( 1 n )r s +... + p 0 ( 1 n )s q s + q s 1 1 n +... + q 0( 1 n )s Ugyanazon érveléssel a számláló nullához tart, a nevező q s -hez, összességében a n 0. r > s n s -el egyszerűsítve, s kiemelve n r s -et: n r s, míg a tört p r n r s p 1 r + p r 1 n +... + p 1 1 1 n + p r 1 0 n r 1 q s + q s 1 n +... + q 1 1 1 n + q s 1 0 n s q s hez tart, ezért szorzatuk végtelenhez vagy mínusz végtelenhez tart p r q s előjelének megfelelően. Q. E. D. Állítás. Legyen a n = a n, ahol a R konstans. Ha a > 1, akkor a n. Ha a = 1, akkor a n 1. Ha 1 < a < 1, akkor a n 0. Bizonyítás. Ha a > 1, akkor a = 1 + h alakban írható, ahol h > 0. A Bernoulli egyenlőtlenség miatt a n = a n = (1 + h) n 1 + nh, ezért ha adott K esetén n > n 0 = [ K 1 h ] + 1, akkor a n 1 + nh > 1 + K 1 h h = K. Ha 1 < a < 1, a 0, akkor 1 1 > 1, ezért = 1 a a n a n. Egy előző állításunk miatt a n 0. Q. E. D. Megjegyzés. Ha a = 1, akkor a n nem konvergens sorozat. Ha a < 1, akkor a n nem konvergens, tágabb értelemben sem. ( Állítás. Az a n = 1 + n) 1 n sorozat konvergens. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy az a n sorozat szigorúan monoton növekvő, és korlátos sorozat. Ebből már a következik a sorozat konvergenciája.
28 4. SOROZATOK KONVERGENCIÁJA A) a n szigorúan monoton nő: Ekvivalens átalakításokkal a bizonyítandó a n < a n+1 egyenlőtlenségből kapjuk, hogy ( 1 + n) 1 n ( < 1 + 1 ) n+1 n + 1 ( ) n n + 1 < n n + 1 n + 2 < ( ) n+1 n + 2 n + 1 ( ) n n(n + 2) (n + 1) 2 1 1 ( ) n n + 2 < 1 1 (n + 1) 2 A Bernoulli egyenlőtlenség alapján ez viszont mindig teljesül, hiszen ( 1 ) n 1 (n + 1) 2 1 n (n + 1) 2 = 1 1 n + 2 + 1 n > 1 1 n + 2. B) a n korlátos: A binomiális tétel szerint kifejtve, majd becsléseket alkalmazva kapjuk, hogy a n = ( 1 + 1 ) n = 1 + n 1 n(n 1) + n n 2! 1 n(n 1)(n 2) + n2 3! 1 n 3 +... + 1 n n = = 1+ 1 1! + 1 2! (1 1 n )+ 1 3! (1 1 n )(1 2 n )+...+ 1 n! (1 1 n )(1 2 n )...(1 n 1 n ) < < 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! < 1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 < 3. Q. E. D. Megjegyzés. 1. Az a n = (1 + 1 n )n sorozat határértékét e-vel jelöljük: e = lim n (1 + 1 n )n. Belátható, hogy ez a szám a bizonyításban szereplő másik sorozattal is előállítható: e = lim n (1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! ). 2. Bebizonyítható, és az alkalmazásokban gyakran szükséges, hogy ha egy b n sorozat olyan, hogy b n, akkor lim n (1 + 1 b n ) bn = e.
4.4. NEVEZETES HATÁRÉRTÉKEK 29 Függelék Bernoulli egyenlőtlenség: Állítás. Bármely n N és h 1 esetén teljesül a egyenlőtlenség. (1 + h) n 1 + nh Bizonyítás. A bizonyítást n szerinti teljes indukcióval végezzük. n = 1 esetén nyilván teljesül az állítás. Tegyük fel, hogy igaz valamely n-re: (1 + h) n 1 + nh. 1 + h 0, ezért vele szorozva az egyenlőtlenséget, kapjuk, hogy (1 + h) n+1 (1 + nh)(1 + h) = 1 + (n + 1)h + nh 2 1 + (n + 1)h. Tehát n + 1 esetén is teljesül az állítás. Q. E. D. Binomiális tétel: Állítás. Bármely a, b számok esetén tetszőleges n N-re ( ) n ahol = i faktoriális). n! i!(n i)! (a + b) n = n i=0 ( ) n a i b n i i az ún. binomiális együttható, s n! = 1 2... n (ejtsd: n Bizonyítás. n szerinti teljes indukcióval történhet a bizonyítás. n = 1 esetén triviálisan teljesül az állítás. Tegyük fel, hogy n esetén igaz, s számítsuk ki (a + b) n+1 -et. Az indukciós feltevést is kihasználva kapjuk, hogy (a + b) n+1 = ( n i=0 ( ) n )a i b n i (a + b) = i n i=0 ( ) n a i+1 b n i + i n i=0 ( ) n a i b n+1 i i Részletesebben kiírva láthatjuk, hogy a két szummában ( ) ( szerepelnek ) ( azonos ) n n n + 1 a i b n+1 i alakú tagok is, ezek együtthatóira viszont + = i i 1 i összefüggés érvényes, ezért így folytathatjuk: n ( ) ( ) n+1 n n ( ) n + 1 = b n+1 + ( + )a i b n+1 i + a n+1 = a i b n+1 i i i i=1 i 1 i=0 Q. E. D.
30 4. SOROZATOK KONVERGENCIA JA
5. Számsorok és hatványsorok A sor szemléletesen szólva végtelen sok tagú összeg. Számsorról beszélünk, ha végtelen sok számot kell összeadnunk. A hatványsor a függvénysor speciális esete, amikor is az összeadandó függvények mind hatványfüggvények. Az alapprobléma az, hogy mikor beszélhetünk ilyen végtelen tagú összeg összegéről, s mit értsünk rajta. 5.1 Számsorok Definíció. Az a 1 + a 2 +... + a k +... = a k végtelen sok tagú összeget számsornak (vagy numerikus sornak) nevezzük. A a k számsort konvergensnek mondjuk, ha a részletösszegek s n = n a k sorozatának létezik határértéke, ezt a k=1 határértéket a számsor összegének nevezzük. a k = lim k=1 Egyébként a sort divergensnek mondjuk. Példa. Az ún. k=1 n a k n k=1 k=1 q k mértani sor konvergens, ha q < 1. Ugyanis k=1 s n = n k=1 q k = q qn 1 1 q 1 a mértani sorozatok ismert összegzési képlete alapján, s így k=1 q k = lim n s n = 31 q 1 q.
32 5. SZÁMSOROK ÉS HATVÁNYSOROK Divergens viszont a ún. harmónikus sor, ugyanis k=1 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 +... s n = 1 + 1 2 +... + 1 n > 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) ( 1 + 5 +... + 1 ) +... + 1 8 n alapján s n felülről nem korlátos, hiszen a zárójelezett tagok összege minden esetben nagyobb, mint 1/2. Megjegyzés. Ha a k=1 a k sor konvergens, akkor lim n a n = 0. Ugyanis, ha A-val jelöljük a sor összegét, akkor bármely ε 2 > 0-hoz van olyan n 0 N, hogy n > n 0 esetén s n A < ε 2. Ez igaz s n+1-re is, ezért a n+1 = s n+1 s n s n+1 A + s n A ε. Figyeljük meg, hogy ez a feltétel ugyan szükséges a sor konvergenciájához, de nem elegendő, mint a 1 k harmónikus sor esete mutatja. Egy további feltétellel a váltakozó előjelűség feltételével, viszont már elegendő a sor konvergenciájához. Állítás. (Leibniz tétel). Ha a n monoton csökkenő és nullához tartó sorozat, akkor a k=1 ( 1)k+1 a k számsor konvergens. Bizonyítás. Látható, hogy az s 2n részletösszegek sorozata monoton nő, felülről korlátos, ezért konvergens, és az s 2n+1 részletösszegek sorozata monoton csökken, alulról korlátos, de a két határérték megegyezik, hiszen s n+1 s n = a n+1 0. Q. E. D. Példa. A Leibniz tétel alapján pl. a harmónikus sorból előjelezéssel keletkező ún. Leibniz sor konvergens: 1 1 2 + 1 3 1 4 +... <. Megjegyzés. Láthattuk, hogy egy sorban az előjeleket megváltoztatva megváltozhat a sor konvergenciája. Az olyan sorokat, amelyekkel ez nem fordulhat elő, abszolút konvergensnek mondjuk: egy a k sor abszolút konvergens, ha a a k sor konvergens. Az abszolút konvergens sorok viselkednek igazán jól: bennük a tagok sorrendje tetszőlegesen felcserélhető, az összeg nem változik. 5.2 Pozitív tagú sorok konvergenciakritériumai Most olyan számsorokkal foglalkozunk, amelyek tagjai pozítív számok. Olyan elegendő feltéleket adunk meg, amelyekből következik a sor konvergenciája vagy
5.3. HATVÁNYSOROK 33 divergenciája. Bár ezek a feltételek általában nem szükségesek a konvergenciához, szokás őket kritériumoknak nevezni. Állítás. (Majoráns kritérium) Ha 0 < a k b k teljesül minden k N-re, és b k sor konvergens, akkor a k is. Ha viszont 0 < a k b k és a k divergens, akkor a bk sor is divergens. Bizonyítás. Pozitív tagú sor részletösszegei monoton növekvő sorozatot alkotnak, másrészt a megfelelő részletösszegekre: s a n s b n. Ezért ha lims b n véges határérték, akkor lims a n is az. De ha lim s a n =, akkor lim s b n = is teljesül. Q. E. D. Állítás. (Hányadoskritérium) Egy pozitív tagú a k sor esetén ha minden k N-re a k+1 q < 1, akkor a k konvergens, a k ha minden k N-re a k+1 a k 1, akkor a k divergens. Bizonyítás. Az első esetben láthatjuk, hogy a k a 1 q k 1 teljesül minden k N- re. Ezért a a 1 q k 1 mértani sor majorálja a a k sort, ezért az konvergens. A második esetben a 1 a k teljesül minden k N esetén, ezért a divergens k=1 a 1 sor minorálja a a k sort. Q. E. D. Állítás. (Gyökkritérium) Egy pozitív tagú a k sor esetén ha minden k N-re k a k q < 1, akkor a k konvergens, ha minden k N-re a k 1, akkor a k divergens. Bizonyítás. A majoráns krtériumot használjuk: a feltétel alapján a k q k, és a q k konvergens, ezért a k is az. Ha a k 1, akkor nyilván a a k sor tagjai a divergens 1 sor tagjainál nagyobbak (vagy egyenlők). Q. E. D. Megjegyzés. Ha az előző kritériumokban szereplő feltételek egyike sem teljesül, pl. lim k k a k = 1 (növekedve), akkor akár a konvergencia akár a divergencia bekövetkezhet. 5.3 Hatványsorok Előbb a függvénysort értelmezzük, melynek speciális esete a hatványsor. Legyenek f 1, f 2,...,f k,... függvények mind ugyanazon az I R intervallumon értelmezettek. Az f 1 (x) + f 2 (x) +... + f k (x) +... = f k (x) végtelen tagú összeget függvénysornak nevezzük. A függvénysor x-ban konvergens, ha a k=1 f k(x) számsor konvergens. Azon pontok halmazát, amelyekben a függvénysor konvergens, a függvénysor konvergenciatartományának nevezzük. k=1
34 5. SZÁMSOROK ÉS HATVÁNYSOROK A függvénysorokkal kapcsolatban is számos fontos érdekes kérdés merül fel; hol konvergensek, az összegfüggvény tulajdonságaira (folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság) hogyan következtethetünk a sor tagjainak tulajdonságaiból. A k=0 a kx k függvénysort hatványsornak nevezzük. (Most az index 0- tól, indul, hogy konstans tag is lehessen.) A hatványsort úgy tekinthetjük, mint végtelen sok tagú polinomot. A hatványsor konvergenciatartományával kapcsolatban a következőket mondhatjuk: Állítás. Tekintsük a k=0 a kx k hatványsort, és együtthatóikból képezzük az b k = k a k k N számsorozatot. Ha (b k ) nem korlátos, akkor a hatványsor csak x = 0-ban konvergens. Ha (b k ) korlátos és a legnagyobb torlódási pontja a 0, akkor a hatványsor abszolút konvergens minden x < 1 a esetén. Ha (b k ) korlátos, és csak a = 0 a torlódási pontja, akkor minden x R esetén abszolút konvergens a hatványsor. Bizonyítás. Ha (b k ) nem korlátos, akkor bármely x 0 esetén végtelen sok k-ra k a k > 1 x, azaz a kx k > 1. Ez azt jelenti, hogy a sor általános tagja nem tart nullához, tehát a sor x 0 esetén nem konvergens. Második esetben bármely x < 1 a esetén legyen x 0 olyan, hogy x < x 0 < 1 a. Ekkor véges sok k kivételével k ak < 1 < 1 ( ) k x x 0 x, azaz a kx k < < 1. x 0 Így a majoráns kritérium alapján a a k x k sor abszolút konvergens. Harmadjára bármely x 0 esetén véges sok k kivételével k ak < 1 2 x, azaz a kx k < 1 2 k, ezért a a k x k hatványsor abszolút konvergens. Q. E. D. Megjegyzés. Kimutatható, hogy a hatványsorok a konvergenciatartomány belsejében jól viselkednek: 1) A hatványsor összegfüggvénye a konvergenciatartomány minden belső pontjában folytonos, 2) az összegfüggvény differenciálható, s deriváltja megegyezik a tagok deriváltjaiból álló hatványsor összegfüggvényével, 3) a hatványsor tagonként integrálható a konvergenciatartomány bármely belső intervallumán. Példa. A geometriai sor 1 1 x = 1 + x + x2 +... + x k +...
5.3. HATVÁNYSOROK 35 bármely x < 1-re konvergens. ( x)-re alkalmazva 1 1 + x = 1 x + x2 +... + ( 1) k x k +... Integráljuk a [0, x] intervallumon, ha x < 1. ln (1 + x) = x x2 2 + x3 xk+1... + ( 1)k 3 k + 1 +... Ez a sor x = 1-nél is konvergens, s így ln 2 = 1 1 2 + 1 3 1 4 +...
36 5. SZÁMSOROK ÉS HATVÁNYSOROK
6. Függvények határértéke és folytonossága A valós számhalmaz részhalmazain értelmezett, valós értékű függvények határértékét és folytonosságát értelmezzük és vizsgáljuk. Ezek a fogalmak nemcsak ebben az esetben értelmezhetők, hanem mindakkor, ha az értelmezési tartományban és az értékkészletben is a konvergencia fogalma adott. Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. f(x) f(x 0 ) esetén minimumhelyről és minimumértékről beszélünk. x 0 -at f helyi minimumhelyének (maximumhelyének) mondjuk, ha van x 0 -nak olyan G környezete, hogy minden x G D esetén f(x) f(x 0 ) (illetve f(x) f(x 0 )). A f függvényt monoton növekedőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Szigorú monotonitásról beszélünk, ha az utóbbi egyenlőtlenségekben a szigorú egyenlőtlenség jele (<) áll. 6.1 Határérték Definíció. Tekintsük az f: D R R függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontját. Az f függvény x 0 -beli határértékének nevezünk egy a számot, ha bármely x 0 -hoz konvergáló x n D, x n x 0 sorozat esetében az f(x n ) sorozat konvergál a-hoz. Megjegyzés. 1. Értelmezési tartományként, illetve értékkészletként a valós számhalmaz helyett szerepelhet egyik, vagy mindkét helyen a komplex számok halmaza is, a definíció ugyanígy hangzik. Ezért beszélhetünk komplex változós és/vagy komplex értékű függvény határértékéről is. 2. Ahhoz, hogy a függvény egy x 0 -beli határértékét vizsgáljuk nem szükséges, hogy x 0 -ban f értelmezve legyen (sőt a lényegesebb esetekben nincs is ott 37
38 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA értelmezve), csak az, hogy x 0 az értelmezési tartománynak torlódási pontja legyen. Ha az értelmezési tartomány intervallum, akkor ez azt jelenti, hogy x 0 vagy az intervallum belső pontja vagy a végpontok egyike. 3. Az f függvénynek x 0 -ban csak egyetlen határértéke lehet, ugyanis ha x n x 0 esetén f(x n ) a 1, míg x n x 0 esetén f( x n ) a 2, akkor az x 1, x 1, x 2, x 2,... sorozat esetén a függvényértékek sorozata nem konvergens. Nem létezik pl. határértéke 0-ban az f(x) = sin 1 x függvénynek. sin 1 x A függvény határértékének alternatív definiálási lehetőségére mutat rá a következő állítás. Állítás. Legyen x 0 az f: D R R függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontja. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy f x 0 -beli határértéke a legyen, az, hogy a-nak bármely nyílt G(a, ε) környezetéhez létezzen x 0 -nak olyan nyílt G(x 0, δ) környezete, hogy ha x G(x 0, δ) D, x x 0, akkor f(x) G(a, ε). Bizonyítás. A mondott feltétel elégséges: Legyen x n D, x n x 0 olyan sorozat, hogy lim x n = x 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) a. Tekintsük n a-nak egy tetszőleges G(a, ε) nyílt környezetét, a feltétel miatt van olyan δ > 0 sugarú környezete x 0 -nak, hogy ha x G(x 0, δ) D, x x 0. akkor f(x) G(a, ε). x n x 0 miatt ezen δ > 0-hoz van olyan n 0 N, hogy bármely n > n 0 -ra x n G(x 0, δ). Ekkor f(x n ) G(a, ε) minden n > n 0 esetén, azaz f(x n ) a. A feltétel szükséges: Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan ε > 0 sugarú G(a, ε) nyílt környezete a-nak, melyhez x 0 -nak egyetlen G(x 0, δ) nyílt környezete sem jó. Ekkor bármely n N esetén van olyan x n G(x 0, 1 n ) D, (x n x 0 ), hogy f(x n ) G(a, ε). Ez azt jelenti, hogy bár x n x 0, de f(x n ) nem konvergál a-hoz. Ez ellentmond annak, hogy f x 0 -beli határértéke a. Q. E. D. A függvény x 0 -beli határértékének fogalma a függvények műveleteivel, s az egyenlőtlenségekkel hasonló harmónikus kapcsolatban áll, mint a sorozat határértékének fogalma.
6.2. FOLYTONOSSÁG 39 Állítás. Legyen lim x x 0 f(x) = a és lim x x 0 g(x) = b. Ekkor lim x x0 (f(x) + g(x)) = a + b lim x x0 (f(x) g(x)) = a b f(x) ha g(x) 0 és b 0, akkor lim x x 0 g(x) = a b. ha f(x) g(x) minden x D-re, akkor lim x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) ha lim f(x) = lim g(x) = a és f(x) h(x) g(x) minden x D-re, x x 0 x x 0 akkor lim h(x) = a. x x 0 Bizonyítás. Az összeg esetében, tekintsünk egy tetszőleges x n D, x n x 0, x 0 -hoz konvergáló sorozatot: x n x 0. Ilyenkor az f(x n ) sorozat konvergál a-hoz, a g(x n ) sorozat konvergál b-hez, ezért a sorozatok konvergenciájának megfelelő tulajdonsága miatt f(x n ) + g(x n ) konvergál a + b-hez. A többi állítás is ezen séma alapján igazolható. Q. E. D. Állítás. Legyenek adottak az f: D 1 R R és g: D 2 R R függvények úgy, hogy f(d 1 ) D 2. Ha lim f(x) = a, a f(d 1 ), és lim g(x) = b, akkor x x 0 x a lim g(f(x)) = b. x x 0 Bizonyítás. 6.2 Folytonosság x n x 0 = f(x n ) a = g(f(x n )) b. Q. E. D. Definíció. Az f: D R R függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának x 0 torlódási pontjában, ha lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Megjegyzés. 1. A definíciót közvetlenül, a határtérték fogalma nélkül is megadhattuk volna: f folytonos x 0 D-ben, ha bármely x n D, x n x 0 esetén f(x n ) f(x 0 ). Ha ugyanis x 0 nem torlódási pontja D-nek, akkor f(x n ) f(x 0 ) mindig teljesül, hiszen ilyenkor x n x 0 csak úgy lehet, ha x n = x 0 minden n-re legfeljebb véges sok kivételével. 2. Környezetek segítségével a folytonosság így fogalmazható meg: f: D R R pontosan akkor folytonos x 0 -ban, ha f(x 0 ) bármely nyílt G(f(x 0 ), ε) környezetéhez van x 0 -nak olyan G(x 0, δ) nyílt környezete, hogy