2011. október 21.
Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai
Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω az f egy xpontja. Ha f k (ω) = f (f (... (f (ω))... ) = ω, akkor ω f egy periodikus pontja. Legyen λ = (f k ) (ω) Ekkor ω vonzó, ha 0 λ < 1 közömbös, ha λ = 1 taszító, ha λ > 1.
Deníció (1) Def.: Az f -hez tartozó Julia halmaz (J(f )) az f taszító periodikus pontjait tartalmazó halmaz lezárása. Def.: A Julia halmaz komplementerét a Fatou halmaznak nevezzük. Nézzük a legegyszer bb példát f -re: f (z) = z 2 A hozzá tartozó Julia halmaz: J(f ) = z = 1
Julia halmaz - példa
Def.: A {g k } függvények családját normálisnak nevezünk egy U nyílt halmazon, ha minden {g k }-beli függvénysorozatnak létezik egy a végtelenbe, vagy egy korlátos analitikus függvényhez U minden kompakt részhalmazán egyenletesen konvergáló részsorozata. Montel tétele: Legyen {g k } komplex analitikus függvények egy családja egy U nyílt halmazon. Ha a {g k } család nem normális, akkor minden ω C-hez, legfeljebb egy kivétellel létezik egy g k (z) = ω, valamilyen z U-ra és k-ra.
Denició (2) Vizsgálhatjuk, hogy az {f k } iterációs lépések normálisak-e. Deniálhatjuk a következ halmazt: J 0 (f ) = {z C {f k (z)} k 1 nem normális } Montel tételét használva bebizonyítható, hogy J 0 (f ) ekvivalens a korábban deniált J(f )-fel. Míg az el z deníció szemléletesebb volt, addig ez könnyebben alkalmazható a vizsgálatok során, és a Julia halmazok több tulajdonsága is bizonyítható.
Julia halmaz tulajdonságai Ha f egy polinom, akkor J 0 (f ) kompakt. J 0 (f ) nem üres. J 0 (f ) f -re és f 1 -re nézve is invariáns, vagyis J 0 = f (J 0 ) = f 1 (J 0 ). J 0 (f p )=J 0 (f ) minden pozítív egész p-re. Ha f polinom, akkor J 0 (f ) belseje üres. J 0 (f ) perfekt halmaz (zárt és nincs izolált pontja).
Egy további tulajdonság Ha ω egy vonzó xpont, akkor deniáljuk a vonzás területét a következ képpen: Def.: A(ω) = {z C f k (z) ω, ha k } Legyen ω f egy vonzó xpontja. Ekkor A(ω) = J(f ).
Mandelbrot halmaz 2. ábra. A Mandelbrot halmaz
Mandelbrot halmaz Vizsgáljuk a C-n másodfokú polinomokat: f c (z) = z 2 + c Def.: Az M Mandelbrot halmazt a következ képpen denáljuk: M = {c C J(f c ) folytonos} Ez a deníció azonban nem alkalmas számolásokra, kellene egy jobb megfogalmazás. Ehhez vizsgáljuk meg f c (z) hatását sima görbékre.
Mandelbrot halmaz Lemma: Legyen C egy hurok a komplex síkon ha c C -n belüli pont,akkor, fc 1 (C) is egy hurok, ha c a C görbén van, akkor fc 1 (C) egy nyolcas. Tétel:(M egy ekvivales deníciója) M = {c C {f k c (0)} k 1 korlátos} = ={c C f k c (0) ha k }
Mandelbrot halmaz Miért jó ez? Tudunk ábrákat rajzolni! Rögzítünk egy k 0 és r értéket. Iterálunk k-szor ha f k c (0) > r, akkor c a Mandelbrot halmazon kívül esik, ha k = k 0 és f k c (0) akkor c a Mandelbrot halmaz része.
Hogyan osztályozzuk a Julia halmazokat? Vizsgáljuk meg, hogyan változik J(f c ) a c paraméter függvényében! Ha az M halmazon kívül választunk c pontot, akkor J(f c ) nem lesz folytonos. J(f c ) alakját jelent sen meghatározza f c vonzó periodikus pontjainak száma,amire így az osztályozás alapjául tekinthetünk. Nézzük meg a Mandelbrot halmaz különböz részeit (törzs, rügyek, hajszálak)
A Julia halmazok összefoglalása Ha a Mandelbrot halmaz különböz részeib l választunk c-t, akkor más szerkezet J(f c )-t kapunk: a törzsben kváziköröket, rügyekben p periódusú görbéket, a hajszálakon ágakat, és ha M-en kívül választunk akkor egy nem folytonos ponthalmazt.
Források Kenneth Falconer: Fractal Geometry en.wikipedia.org Ábrák: XaoS
Köszönjük a gyelmet