A mkrorészcskék kttős trmészt, d Brogl-hpotézs... Hullámcsomag... Kétréss kísérlt... 4 A Hsnbrg-fél határozatlanság rlácó... 5 A kvantummchanka alapja... 0 A kvantummchanka alaplv (alapaómá)... 0 Az oprátorok konkrét alakja és a Schrödngr-gynlt... 4 Staconárus állapotok és az dőfüggtln Schrödngr-gynlt... 6 A Schrödngr-gynlt mgoldása konkrét rndszrkr... 7 Szabad részcsk dmnzóban:... 7 Végtln mély potncálgödör... 8 Potncállépcső gy dmnzóban... 9 Alagútffktus... Az mpulzusmomntum... 4 A pályampulzusmomntum... 4 A spn... 7 A mágnss momntum... 8 Az gylktronos atom kvantummchanka modllj... 9 Az ránykvantáltság bzonyítéka... 3 Kvantumstatsztkák... 33 Azonos részcskék:... 33 A klasszkus-, a Bos-Enstn- és a Frm-Drac statsztka... 34 A többlktronos atomok... 39 A pródusos rndszr... 4 A lézr (utolsó ZH anyagának gy ks rész)... 44 Indukált msszó... 44 A lézr működés... 45 A mkrorészcskék kttős trmészt, d Brogl-hpotézs Az lktromágnss sugárzásnál számos stbn jlntkztt a kísérltk értlmzésénél a részcsk-hullám kttősség, vagys hogy a fény hullámként és részcskék áramaként s vslkdht. D Brogl 94-bn vttt fl azt, hogy a közönségs anyag részcskéknk s lyn kttős trmésztt klln tulajdonítan, vagys pl. az lktron, proton, stb. hullámként s flfoghatók. Fltétlzt, hogy a fotonokra lvzttt lndült (I) hullámhossz (λ) kapcsolat általános érvényű, azaz a részcskékhz rndlhtő hullám hullámhossza: h vagy I 34 ahol h 6.66 0 Js a Planck állandó. A képlt thát mndn részcskér érvénys, függtlnül attól, hogy van- nyugalm tömg (pl. lktron), vagy nncs (foton). A képlt lső alkalmazásaként tkntsük a hdrogén atomot, amly gy proton körül krngő lktron. Staconárs stbn az lktron gy állóhullámnak fll mg, thát a pálya hossza (a kör krült) gész számú többszörös a hullámhossznak: n r. h p
Ezt láthatjuk a bal oldal a ábrán. A jobb oldal b ábrán z nm tljsül, a hullám nm önmagába záródk, z nm lht staconárus állapot. Mgjgyzzük, hogy az fltétl tljsül klasszkus rndszrkr s, pl. mgütött acélkarkán kalakuló állóhullámokra. n r h h A fnt I mv képltt bhlyttsítv: nh r mv átrndzv kapjuk a Bohr-fél fltétlt az mpulzusmomntumra: h L mvr n n. Thát a d Brogl-hpotézs mgmagyarázta a Bohr-fél kvantumfltétlt. A sors fntoraként kdrült, hogy a Bohr-fél fltétl nm gaz, így a d Brogl fél lvztés sm lht hlys. Az alapötlt és a hullámhosszra vonatkozó képlt vszont gaz és z gy nagy talán a lgfontosabb - lépés volt a kvantummchankához vztő úton., Példa: Ha gy lktront U potncálkülönbségn flgyorsítunk, akkor v sbsségr tsz szrt: U U m v, v m, nnk mgfllőn a lndült U I mv m U m, a d m Brogl hullámhossza pdg: h h I U m. Az unvrzáls állandókat flhasználva, ha például az lktront gyorsító fszültség U = 50 V, akkor a hozzá rndlhtő hullámhossz 0 0 m. A kísérltk szrnt s az lktron mozgásakor ktrjdt hullámként vslkdk, gy tárgyba történő bcsapódáskor pdg részcskként, thát kttős trmésztt mutat. Protonokkal és más mkrorészcskékkl s kmutattak ntrfrnca jlnségkt. A hullám-részcsk kttősség nmcsak az lktromágnss sugárzás stén, hanm a mkrorészcskéknél s kmutatható. Hullámcsomag Nm gytln síkhullámot rndljünk a részcskéhz, hanm hullámcsomagot.
R "sma" hullám A t k A hullámtanból smrt, hogy két gn közl frkvncájú hullám össztvés lbgést rdményz. Végtln sok sznuszhullámból végs hosszúságú hullámvonulat (végs számú lbgés) s flépíthtő. k 0 k k 0 k ktk Ak dk C tk 0 0 ahol a másodk tényző gy átlagos frkvncájú és hullámhosszú sma hullám R burkoló P sok sma hullám ntgrálása stén lyn görbalakot kapunk k k 0 k tkk C A k 0 0 dk burkoló k 0 k Vzsgáljuk mg a burkoló gy pontjának (P pont) sbsségét! P-r nézv: k t k k állandó k állandó 0 t k k k k mrt: 0 0 E h 0 0 p A klasszkus fzka szrnt: E m de p dp m v de d k v d dt 0 de p v k k dk dp 0 dp E k h p p 3
Kétréss kísérlt (fényr: Young 80, lktronra: Jöhnson 96 ) Ksérlt bzonyíték az lktron hullámtrmésztér lktron d y y I D / a résk távolsága m / yd s n (tt n=) D D y y, D, d smrtébn számítható. d A kísérlt ks nrgás lktronokkal végzhtő. Az rdmény tljsn hasonló. 4
mndkét rés nytott csak a flső rés nytott csak az alsó rés nytott Az ntnztás loszlása alapvtőn különbözk, ha gyszrr csak gy-gy rés van nytva, lltv ha gyszrr mndkttő. Ha mnd a két rés nytva van, akkor értlmtln a kérdés, hogy az lktron mlyk résn jött át. Az lktronnak hullámtrmészt van. Az lktron-hullám mnd a két résn gyszrr halad át. Az lktronnak a két résn áthaladt rész ntrfrálnak gymással. Dtktáláskor az lktront mndg gészbn dtktáljuk. Ebbn a kísérltbn az lktron hullám s (a réskn való áthaladáskor) és részcsk s (dtktáláskor). A foton és az lktron bbn a kísérltbn tljsn hasonlóan vslkdk! A Hsnbrg-fél határozatlanság rlácó A hullámcsomagtól fogunk ljutn dág. : a részcsk hlyzténk bzonytalansága. prcízbb jlntés: a kérdéss fzka mnnység SZÓRÁSA, azaz, a középértéktől való ltérésk négyzt átlagának a gyök. 5
> / z a. részcsk jobban lokalzált, mnt az lőző lapon lévő. részcsk / k kcs hullámszám-tartományból flépíthtő k nagy hullámszám-tartomány szükségs a flépítéshz k < k k k Fourr analízssl a hullámtanból nyrhtő összfüggés k Ha flhasználjuk a foton lndültér lvzttt összfüggést: p k, azt kapjuk, hogy p Jól lokalzált részcsk kcs k nagy p nagy Jól lokalzált részcsk: 0 p Nm lokalzált részcsk: k = k0 k = 0 p = 0 Közbülső st, mndkét szórásvégs (gyakorlatban a részcskék lynk): p / 6
Az gzakt lvztés rdmény: p yp y zp z Et, p y, p z, p y z Hsnbrg fél határozatlanság összfüggésk gymáshoz kanonkusa konjugált változók: gyszrr nm mérhtők trszőlgs pontossággal E,t A határozatlanság rlácó gn szépn mutatja, hogy a makrofzka fogalmak a mkrovlág lírására csak korlátozottan alkalmasak. Egy fzka mnnység mérés pontosságának nm lsz lv határa, ha a kísérlt körülménykt mg tudjuk úgy választan, hogy a mért mnnység konjugált párja a mérés során határozatlan marad. Ekkor vszont z utóbb mnnység méréskor 7
nm azért lsz nagy a szórás, mrt nm jók a műszrnk (az gy gyakorlat probléma lnn, amn lvlg lhtn javítan), hanm mrt a mnnységnk nm létzk határozott érték. Vsszatérés a kétréss kísérlthz: a. gyk rés nytva: 0 p (azaz a szórás képből nm határozható mg a hullámhossz) b. mndkét rés nytva: nagy p kcs (azaz a szórás képből mghatározható a hullámhossz) A határozatlanság rlácók néhány kövtkzmény:. Trajktórák kérdés: Klasszkus fzkában: A) mákszm m = 0-6 kg 0-6 m - hlyét µm pontossággal tudjuk mghatározn 34, átrndzv: m v 0 34 0 v 0 6 6 0 0 a mákszm sbsségét 0 m - s pontossággal tudjuk mghatározn Azonban z nm gaz mgszorítás, mrt nncs olyan műszr, amvl lyn pontosan lhtn sbsségt mérn. Thát a mákszmnk van trajktórája. B) Elktron 0 0 m és m 0 30 kg, zért 34 0 v 0 0 30 0 0 6 m s A H atomban az lktron sbsség bb a nagyságrndb sk a klasszkus fzka szrnt. Az atomban az lktronnak nncs trajktórája. Az atom lktronra a bzonytalanság olyan mértékű, hogy nm mondhatjuk, hogy pl. az lktron az éppn az atommagtól rányban van, sbsség pdg y rányba mutat (z stbn mpulzusmomntuma nm lhtn nulla), hanm úgy fogjuk fl, hogy az lktron flhőként körülvsz az atommagot, pl. gömb alakban. 3, Zéruspont nrga: 8
Határozatlanság képlt: p m v v m Kérdés, hogy a kntkus nrgának mnél kll nagyobbnak lnn. Mgjgyzés: a különböző részcskéknk különböző sbsségük van, thát van spktruma. M lht az koordnáták szórása? v A szórás nagyságrndlg többnyr gyzk a középértéktől való mamáls ltéréssl, d ttől ksbb. ~ v A kntkus nrga dmnzóban: Tkn. mv mv 8m 4.) Hdrogén atom: V k c r Coulomb-nrga Tmn 8mr kvantumos nyüzsgés nrgája: nnél ksbb nrgával nm rndlkzht a csapdában a részcsk E V T c mn 9
5.) Et konjugált változó párra fnnáll. a Hsnbrg-fél határozatlanság összfüggés mndn kanonkusan E és t s kanonkus konjugált Jlntés : a tljs nrga (E) rövd djű méréssl nm határozható mg ttszőlgs pontossággal. Példa: grjszttt állapot élttartama. t t E E élttartam:t E t nrgája pontosan mghatározható A grjszttt állapotokon rövd dg tartózkodk az -, utána vsszamgy az alapállapotra. A grjszttt állapot nrgája nm lht pontosan mghatározott, Az alapállapot nrgája pontosan mghatározott. Kövtkzmény a spktrumokra: E h E h ht 4t pl.: t 0 8 s 7 0 Hz Szélsbb spktrumvonal rövdbb átlagos éltdjű grjszttt állapothoz tartozk. A kvantummchanka alapja A kvantummchanka alaplv (alapaómá) I. A kvantum mchanka rndszrk állapotát (r,t) kompl értékű rgulárs függvény írja l. Ennk a függvénynk a nv hullámfüggvény, 0
vagy állapotfüggvény. Az állapotfüggvény tartalmazza a rndszrből nyrhtő összs nformácót. Rgulárs függvény tulajdonsága: folytonos, korlátos, négyztsn ntgrálható. A rgulárs függvény közé nm tartozk a 0 függvény. Négyztsn ntgrálható: (A * a kompl konjugáltat jlnt) A hullám függvény közvtln fzka jlntéssl nm bír, d abszolút értékénk négyzt a részcsk tartózkodás valószínűség sűrűség függvény. V térfogatban való tartózkodás valószínűszínűség: Mgjgyzés: Schrödngr úgy gondolta, az lktron gy lknt, flhőhöz hasonlítható dolog, amnk ténylgs sűrűség a függvény. Azonban, a kísérltk azt mutatják, hogy az lktront nkább úgy kll lképzln, mnt gy pontszrű részcskét, am véltlnszrűn "ugrál d-oda", sok hlyn tartózkodk gyszrr bzonyos valószínűségkkl. Ha gy részcskénk az lhlyzkdését vzsgáljuk a tljs térr nézv, akkor P(tljs térr)=. Tljs térr dv Tljs térr dv C * ahol P ( V => a hullám függvény gyr normált ) V dv V dv Tljs térr dv (norma négyzt) Skalárs szorzás értlmzés: (, ) (, ) tt.. (, ) (, ) (, ) 3 3 3 ( C, ) C (, ) (, C ) C(, ) dv (, ) (, ) dv tljstérr (rdmény gy kompl szám, amly prsz függht az dőtől) Tulajdonsága: II. Szuprpozcó lv: Ha a ψ és ψ a rndszr lhtségs állapotat írják l, akkor a c c lnárs kombnácó s lhtségs állapot, ahol c ttszőlgs kompl számok. Ezt az lvt az ntrfrnca jlnség kövtlt mg és a Schrödngr-gynlt lnartásában nylvánul mg, lásd később. A fnt képlttl kapott ψ állapotot aztán újabb és újabb ψ3, ψ4,
állapotokkal kombnálva s lhtségs állapotot kapunk, thát nm csak kttő, hanm ttszőlgs számú állapot szuprpozícója s lhtségs állapot. A szuprpozícó lvébn a mkrorészcskék hullám-tulajdonsága nylvánul mg. A kétréss kísérltbn pl. nyaláb különböző résn áthaladt rész gymással szuprponálódnak és ntrfrnca-kép jön létr. Fontos, hogy mndz nm azt jlnt, hogy a valószínűség sűrűségk (thát a összadódnának, hszn akkor nm jöhtn létr koltás. III. A fzka mnnységk önadjungált (hrmtkus) oprátorokkal írhatók l. Oprátorok jlölés: O ( Pl.: p, L, E ) Az oprátorok függvényhz fv.t rndlnk. pl.: szrnt drválás: O O Lnárs oprátorok: L C C C L C L A fzka mnnységkt mndg lnárs oprátorok írják l. (Lnárs oprátor pl. a drválás, nm lnárs pl. a négyztr mlés.) A lnartás a szuprpozícó lv matt szükségs. Hrmtkusság: skalárszorzásnál gy hrmtkus/önadjungált oprátort az lső tagra, vagy a másodk tagra alkalmazva, a szorzás rdmény nm változk. Képlttl: Művlt szabályok oprátorokkal: Ô Ĥ,, Ĥ Ô Ô Ô Ô Ô Ô Szorzásban az oprátorok általában nm csrélhtők fl, a művlt nm kommutatív. Kommutátor: Azt jllmz, hogy mnnyr nm flcsrélhtő a két oprátor: Flcsrélhtő oprátorok kommutátora zérus. Ô Ô,Ô ÔÔ ÔÔ IV. A fzka mnnységkhz rndlt oprátor sajátérték mggyznk a fzka mnnységk méréskor lhtségs értékkkl. Ha gy oprátor hat gy függvényr, annak általában mgváltozk az alakja, mnt ahogyan gy vktornak s mgváltozk az ránya, ha gy mátrszal mgszorozzuk. Előfordul azonban, hogy a függvény csak gy számmal szorzódk mg az oprátor hatására (z a vktor nyújtásának fll mg). Ez stbn a vktort az adott oprátor sajátvktorának, a számot a hozzá tartozó sajátértéknk nvzzük. Sajátérték gynlt : (k a sajátérték) O k Pl: O Ô k Egy oprátornak sok sajátérték lht. Az, hogy konkrétan mlykt kapjuk mg, mndg függ attól, hogy mlyn függvényr hatunk az oprátorral. Egy gyakorlat példa: ha az nrga oprátort alkalmazzuk a réz gyk vztés lktronjára, nm ugyan azt az rdményt mérjük, mntha pl. gy rézatom blső, között lktronjára alkalmaznánk. Thát az nrga oprátornak más a sajátértékét kapjuk tt, mnt ott, nnk mgfllőn az nrga méréssl mgállapított érték s különbözk. -k)
Tétl: A hrmtkus oprátorok sajátérték valósak. Bz: H,, H Thát h csak valós lht, mrt gy szám és a konjugáltja csak akkor gyzk mg, ha nncs magnárus rész. Így tljsül az a gyakorlat kövtlmény, hogy a mérőműszrk mndg valós értékkt mérjnk. V. Egy fzka mnnység méréssl kapható átlagértékét a(z): O (, O ) skalárs szorzat adja. (Ez s aómaként van kmondva) * Fgylmb vév a skalárs szorzat jlntését: O O dv pl.: tljs té rr * dv * dv tljs té rr tljs té rr analóga: tömgközéppont koordnátája(klasszkus mchanka): * dv tartózkodás valószínűség sűrűség ténylgs sűrűség z fontos különbség a kvantummchanka és a klasszkus mchanka között. Egy fzka mnnység értékénk határozatlansága azzal jllmzhtő, hogy mnnyvl tér l várhatóan az átlagértéktől a mért érték. Ezt a valószínűségszámításban szórásnak hívják: O H h ( h, ) (, h) h (, ) h(, ) h h O O : szórás Állítás: Ha két oprátornak szmultán sajátfüggvénykből álló bázsa van, akkor a két oprátor flcsrélhtő. Ez az állítás vsszaflé s gaz. M a szmultán saját függvény? Lgyn két oprátor: O és O φ akkor szmultán sajátfüggvény, ha: O c O c B klln látnunk, hogy bből kövtkzk a flcsrélhtőség: O O O O Ehhz szorozzuk mg jobbról a flső gynltt O -vl az alsót pdg O -l. Oˆ Oˆ Oˆ c c Oˆ c c Oˆ Oˆ Oˆ c c Oˆ c c 3
Ezzl bláttuk, hogy a két oprátor gymással flcsrélhtő az adott sajátfüggvényr nézv, ha a függvény szmultán sajátfüggvény. Ha létzk lynkből álló bázs, akkor mndn függvény kkombnálható sajátfüggvénykből, thát mndn függvényr nézv gaz, hogy nm számít, mlyn sorrndbn alkalmazzuk a két oprátort a függvénykr, ugyanazt kapjuk. Két fzka mnnységnk akkor létzk gyszrr pontos érték (akkor mérhtők gyszrr), ha oprátoruk flcsrélhtő, azaz a kommutátoruk nulla. Ha ugyans olyan rndszrn mérjük mg a fzka mnnység értékét, amlyt a mnnységhz tartozó oprátor sajátfüggvény ír l, akkor mndnképp a sajátfüggvényhz tartozó sajátértékt kapjuk. Ha ψ két oprátornak s sajátfüggvény, akkor mndkttőr határozott értékt (a mgfllő sajátértékt) kapunk bzonytalanság nélkül (a műszr tökéltlnségéből adódó hbáktól most ltkntünk). Konkrét példát a szabad részcskénél mutatunk b. Mndzkből az kövtkzk, hogy azon mnnység-párokra, amlykr határozatlanság rlácó áll fnt, a kommutátor nm tűnht l. Az oprátorok konkrét alakja és a Schrödngr-gynlt A lggyszrűbb tárgyalásban az mpulzus komponnséhz és az hly-koordnátához a kövtkző oprátort rndljük: pˆ és hasonlóan: pˆy, pˆz y z ˆ (z úgy hat, hogy gy f() függvényt mgszorozza -szl). és y y, z z, Rndljünk most az nrgához és az dőhöz s oprátort: Ê és ˆt t t Korábban láttuk, hogy a Hsnbrg-fél határozatlanság rlácók az oprátorok szntjén a kommutátorokban jlntkznk. A fzka mnnységkhz thát úgy rndltük hozzá az oprátorokat, hogy a Hsnbrg-fél flcsrélés rlácók tljsülnk. Ezk a rlácók a kövtkzők: (mndn kanonkusan konjugált változóra fnnállnak) Bzonyítsuk b, hogy p és mgfll a flcsrélés törvénynk: pˆ, ˆ pˆ ˆ p ˆ ( ) azaz tljsült a flcsrélés törvény. Mgjgyzés: az gymáshoz nm kanonkusan konjugált hly- és mpulzuskoordnáta változók trmésztsn flcsrélhtők. Pl. pˆ, yˆ 0 pˆ, ˆ 0 y pˆ, ˆ, pˆ, yˆ, pˆ, zˆ, Eˆ, tˆ y z stb Hogyan található mg a több fzka mnnység oprátora? 4
Ugyanúgy, mnt ahogy gyk fzka mnnység a máskból mgkapható. pl.: kntkus nrga p klasszkusan: T mv ( p p p ) A h m m y z T ( p p p p p p ) m m y y z z mnt konstans, kmlhtő a drválás lé: y y m y z m y z m azaz z z T : Laplac oprátor m A töltéshz, tömghz nm rndlhtünk oprátort, mrt azok konstansok! Potncáls nrga (csak konzrvatív mzőbn van értlm): Mvl a potncáls nrga csak a hlykoordnátáktól függ, és a hlykoordnáták oprátora a "vlük való szorzás" zért a potncáls nrga oprátora s a "vl való szorzás". V=V(,y,z) V=V Konzrvatív mzőbn a tljs nrga: E=T+V A tljs nrga oprátora az ún. Ĥ Hamlton oprátor: ˆ ˆ ˆ,, H T V V y z. m Vszont a korábban dfnált Ê t oprátornak ugyanazt kll adna, mnt a most dfnált Hamlton-oprátornak: H r, t E r, t Bhlyttsítv: r t V r r t r t,,, m Ez a kvantummchanka dnamka alapgynlt, más névn dőfüggő Schrödngr gynlt. Ez írja l a rndszr dőbl változását. Tulajdonképpn zzl mg tudjuk mondan a később állapotát a rndszrnk, ha a korábbt smrjük. Mgjgyzés: Az dőfüggő Schrödngr gynltből lvzthtő Nwton. törvény (a = F/m), így kszámolható, hogyan változk a sbsség. Ez azonban csak átlagértékkr áll fnn! Általánosan s gaz, hogy a kvantummchanka alapgynltéből, aómából a klasszkus mchanka alapgynlt, aómá lvzthtők. A kvantummchanka thát a trmészt általánosabb törvényt adja mg, amlyk a makrovlág lírására s alkalmasak (lvbn). Az t 5
gyszrűség matt azonban sokszor célszrű a klasszkus mchanka nvű, mgszokott közlítést alkalmazn. Staconárus állapotok és az dőfüggtln Schrödngr-gynlt Tgyük fl, hogy az dőtől nm függő V potncált tartalmazó Ĥ t dőfüggő Schrödngr-gynltnk az alább alakban állítottuk lő a mgoldást: E t ( r,t) (r) Ebbn az az érdks, hogy a jobb oldalon az gyk tényző csak a hlytől, a másk csak az dőtől függ. Ha rr hatunk bármlyn dőtől függtln Hamlton oprátorral, akkor H lnartása matt az ponncáls tényző kmlhtő H lé. Másflől, ha zt a ψ-t ldrváljuk t szrnt, akkor önmagát kapjuk, szorozva az ponncáls függvény ktvőjébn a t gyütthatójával. Thát ha bhlyttsítjük az dőfüggő Schrödngr-gynlt jobb és bal oldalán ψ hlyér, t t Hˆ ( r) E( r), akkor az p tényzővl gyszrűsíthtünk, z után az gynlt jobb oldalán csak Eφ marad. Mndz azt jlnt, hogy az új gynltbn nncs dő változó: Hˆ ( r) E( r). Ennk nv dőfüggtln Schrödngr-gynlt vagy nrga-sajátértékgynlt. Bírva a Hamlton-oprátor kfjzését: ( r ) V ( r ) ( r ) E( r ) m Thát a krstt konstans az nrga-sajátérték. Ebből pdg az s kövtkzk, hogy az állapotfüggvény hlytől függő rész az nrga-sajátfüggvény. Thát ha a hullámfüggvény a fnt szparált alakban áll lő, akkor a rndszr nrgasajátállapotban tartózkodk. Ez a hullámfüggvény az állapotgynlt staconárus mgoldása. Mtől staconárus? E t E t ( r, t) * *( r ) ( r ) *( r ) ( r ) ( r ) : valószínűség sűrűségfüggvény, csak r - től függ. Thát a fzka mnnységk az dőtől nm függnk, zért staconárus az állapot. Ez zt s jlnt, hogy a rndszr nrga-sajátállapotban tartózkodk az dők végztég, thát pl. az atomok grjszttt állapota nm bomlk l fotont kbocsájtva, hogy az nrgamnmumot lérj. Fontos mgjgyzn, hogy z csak a hagyományos kvantummchanka szrnt gaz. Ez a kvantummchanka azonban csak akkor alkalmazható, ha a részcskszám állandó. A kvantummchanka nm alkalmas részcskék kltkzésénk és ltűnésénk lírására, am képs rr, az a kvantum-lktrodnamka. A kvantum-lktrodnamka szrnt például a grjszttt állapot - bár staconárus - lőbb-utóbb gy foton kbocsájtásával mgszűnk. Thát az általunk flírt állapotgynlt hányossága, hogy ltűnő és kltkző részcskér nm alkalmazható. 6
A Schrödngr-gynlt mgoldása konkrét rndszrkr Szabad részcsk dmnzóban: A potncál V=const., zt a V konstanst válasszuk 0-nak. Thát az dőfüggtln Schrödngr-gynltt oldjuk mg V=0 potncálra: ( ) m E( ) hogy mgkapjuk a staconárus állapotokat. A mgoldások a sn, cos és p. függvényk, pl.: ahol a k ttszőlgs paramétr. ( ) A Ez sajátfüggvény p -nk. A mgfllő sajátérték gynlt: p X p X, ahol p oprátor, p sajátérték. k k azaz A p A Elvégzv a drválást: bből látszk, hogy ka k k p A p k, vagys k nm más, mnt a korábban dfnált hullámszám: p k. Ez hasonlóan lvégzhtő az y és z koordnátára s, thát három dmnzóban: k y z r K K p p y p z pr A szabad részcsk staconárus állapotban thát a kövtkző függvénnyl lírt állapotban tartózkodk: Etpr Et Ez pdg gy síkhullámot ír l. Mgjgyzésk: r, t K mvl r, t r,. Staconárus állapotban a részcsk mndg nrga sajátállapotban tartózkodk, z szabad részcskér gyúttal mpulzus sajátállapot s. Thát a részcsk gydjűlg rndlkzk mghatározott nrgával és mghatározott mpulzussal. Ez így van a klasszkus fzkában s. 5 Lgyn pl. a részcsk hullámfüggvény 5( ) Ha rr hattatjuk a sajátérték. Ha hattatjuk a mozgás nrga, ahol thát k=5 (a mértékgység pl. /m). oprátort, akkor azt kapjuk, hogy p 5, z az mpulzus-oprátor oprátorát, akkor azt kapjuk, hogy m 7
5 E m 5,7, z az nrga-sajátérték (llnőrzzük l!). Ha vszont a részcsk hullámfüggvény a 5 7 ( ), am nm sajátfüggvény, akkor 50% valószínűséggl valószínűséggl pdg (átlagérték) p 6 p 7 érvénysül az nrgára s, vagys p 5, 50% -t kapnánk az mpulzus méréskor. Az mpulzus várható érték, bár zt az értékt sohasm kapjuk méréskor. Hasonló határozatlanság 5,7 nm nrga-sajátállapot, thát nm staconárus állapot, azaz gyorsan mgváltozk, átalakul az dőfüggő Schrödngr-gynltnk lgt tév.. A síkhullámnál vszont a szabad részcsk hly tljsn határozatlan, mvl a síkhullámban tartózkodás valószínűség hlytől függtln érték. K K K konstans Vagys a síkhullámban a részcsk gyáltalán nncs lokalzálva, bárhol ugyanolyan séllyl tartózkodk. Az lőző pontban flsorolt gyk φ függvény sm sajátfüggvény a hly oprátorának, mvl annak sajátfüggvény csak gy pontban különböznk nullától. A szuprpozícó lv alapján azonban szabad részcskét líró síkhullámokból s kkombnálhatunk olyan hullámcsomagot, amly már mghatározott térrészb lokalzálható, z vszont már nm lsz nrga- és mpulzussajátállapot, így nm s staconárus. 3. Az nrgára nm kaptunk fltétlt, vagys az nrga (E) érték ttszőlgs lht. Thát míg kötött állapotban (a Bohr-modll szrnt és alább látn fogjuk, hogy a kvantumfzka szrnt s) a részcsk dszkrét nrgaértékkl rndlkzk, addg szabad állapotban bármlyn poztív nrgája lht, vagys a szabad állapotú részcsk nrgaspktruma folytonos. 4. Gyakorlásként számoljuk k a fnt síkhullámnak a hullámhosszát és a frkvncáját! A síkhullám mnt tudjuk - flírható a kövtkző alakban s: tkr r, t K, ahol : frkvnca, k : hullámszámvktor E E E Thát: f f h h Vagys vsszakaptuk a Planck-fél összfüggését. p p k h Itt pdg vsszakaptuk d Brogl hpotézst. Ez nm mglpő, hszn az anyag hullámtrmésztéből kövtkznk zk az gynltk, d ahogy flírtuk zkt, az még nm látszott rögtön. Most vszont láthatjuk, hogy zk az gynltk tljsn mgfllnk annak, amt d Brogl állított. Végtln mély potncálgödör A kövtkző potncál a (0,a) ntrvallumra korlátozza a részcsk mozgását: V()= h p, ha 0 0, ha 0 a, ha a 8
ha <0 vagy >a akkor 0, hsz a részcsk a (0,a) ntrvallumra van korlátozva. (Látn fogjuk, hogy zt csak végtlnül nagy potncállal lht mgtnn.) A folytonosság matt: A gödör blsjébn (a 0 a a 0 0 szakaszon) a Schrödngr-gynlt: d E m d átrndzv ugyanazt az gynltt kapjuk, mnt szabad részcskér: ahol me=p. Ezt flhasználva: d d = me d p d A határfltétlk vszont most tljsn mások, mnt a szabad részcskénél. A gödör szélén a függvénynk nullának kll lnn, a kompl ponncáls függvény vszont shol sm nulla, thát nm lht mgoldás. A sznusz és kosznusz jlgű trgonomtrkus függvényk vszont jók lhtnk. A mgoldás: A sn p, mrt z az alak llszkdk a határfltétlkhz. Fzkalag z állóhullámot jlnt. (0) 0 automatkusan tljsül, d szükségs ( a) 0 fnnállása s: 0=Asn a=n, vagys a hullámfüggvény: n n A sn a me a = n p a p h mea n h n. 4 Vagys az nrga lhtségs érték: E h 8ma Thát az nrga nm folytonos, hanm dszkrét értékkt vsz fl, konkrétabban az n kvantumszám négyztévl arányos. Végs potncálgödör: A részcsk végs valószínűséggl tartózkodk a klasszkus mozgástartományon kívül, ahol ngatív a kntkus nrgája. Grjszttt állapotban a klasszkusan mgngdtt mozgástartomány gys pontjaról vszont kszorul a részcsk. Potncállépcső gy dmnzóban n (S) 9
Lgyn a potncállépcső a kövtkző: 0, ha 0 V V, ha 0 0 Általános mgoldás az () tartományra hasonló, mnt szabad részcskér: p A B, p 0 Általános mgoldás a () tartományra, a lépcső blsjér: d V0 E ( dőtől függtln gynlt) m d Átrndzv: d m V 0 E d Tárgyaljuk azt az stt, ha V0 >E : A fő különbség a két, látszatra nagyon hasonló Schrödngr-gynlt között (a fnt S és a mostan között), hogy z utóbb stbn az nrga ksbb, mnt a potncál érték, vagys a jobb oldalon az gyüttható poztív. Matmatkalag nm a sznusz és kosznusz függvényk a mgoldások, hanm valós ktvős ponncáls függvényk, am mnőséglg más fzka q m( V E) mnnység valós, hszn V0 >E. vslkdést rdményz. Ekkor a 0 p d q d Mgoldás: q q ( ) C D. q Azonban D=0 kll, hogy lgyn, mvl, ha normálhatóságnak. Ez azt jlnt, hogy a poztív ktvő nm fzka mgoldás. q Végrdménybn a mgoldás: C, am llntmond a 0
tartózkodás valószínűségsűrűség a. tartományban q * * C C C ( ) ( ) ( ) 8 m( V0 E) a részcsk valamlyst bhatol a. tartományba, d a valószínűség-sűrűség ponncálsan lcsngő. Ez azt jlnt, hogy a részcsk lőbb-utóbb vsszafordul; a vsszavrődés 00%-os. Bhatolás mélység: b az a távolság amlyn a tartózkodás valószínűség-sűrűség az -ad részér csökkn (0) ( b ) C 8m(V0 E) b - C ;a ktvőknk mg kll gyzn. 8m(V 0 E) b b 8m(V 0 E) A részcsk annál jobban b tud hatoln a klasszkus fzka szrnt számára tltott tartományba mnél ksbb a tömg és mnél ksbb a hányzó nrga. Alagútffktus Végs vastagságú gát E V 0 E 0 a
0 ha 0 vagy a V() V0 ha 0 a Emlltt: E<V0 Thát a részcsk akkor s átjuthat a gáton, ha nncs lég nrgája, hogy átugorja a gátat. Lgyn G annak a valószínűség, hogy a részcsk átjuthat a gáton. Ezt jó közlítéssl az alább formula adja mg: ( a) G (0) 8 m( V0 E) a Ez a kvantummchanka alagútffktus, amly a határozatlanság rlácó gyk mgnylvánulása. A klasszkus mchankában z az ffktus hányzk. A részcsk jó séllyl átjut a gáton (G nagy), ha m kcs V0-E (azaz a hányzó nrga) kcs, és a gát szélsség kcs. Példák alagútffktusra. Vékony odrétg vzt. V V0 E fém od fém 34 0 b 0 9 9 8m(V E) 0 0 0 0 - z kb. gy odrétg vastagsága. Körülblül gy rétg od csökknt -vl az lktronsűrűségt.. Hdgmsszó
Az lktronok a fém blsjébn gy potncálgödörbn vannak, a gát végtln hosszúnak tknthtő az lktron kjutás valószínűség zérus. Fszültségt kapcsolva a fémr, az így kalakult gáton az lktron végs valószínűséggl átjuthat. Gyakorlat alkalmazás: pásztázó alagútmkroszkóp. Wklépé vákuum fém vákuum Pásztázó alagútmkroszkóp (scannng tunnl mcroscop) az gykrstály hgyt mozogatják a flült fltt. Ahol a flültn domborulat van, a tűhgy közlbb krül a flülthz csökkn a potncálgát nő a G átjutás valószínűség. Ekkor, hogy állandó értékn tartsák az áramot, a tűt ltávolítják a flülttől és zt a távolítást rgsztrálja a brndzés. Thát a tű nm ér hozzá a flülthz! gykrstály hgy a végén gy atommal E ( külső lktromos flült 3. Mndn nrgatrmlő rakcó küszöb alatt ndul. Lgyn pl. V0 a potncálgát magassága, E a rndlkzésr álló nrga. Ha V 0 > E, d V0-E kcs, akkor a rakcó gn lassan már folyk. Például a magfúzóhoz kb. 00mlló K hőmérséklt klln, d a nap blsjébn s csak kb. 0 mlló K van, zért lassú a fúzó. V0 Ek E Ev 4. - bomlás: 3
E U r k Z ( ) r E r vákuum mag vákuum Az részcsk lőbb-utóbb átjut a gáton, d hogy várhatóan mkor, az rősn függ az nrgájától. 5. Tunnl-magntorsstanc: A modrn GMR olvasófjkbn a két mágnss rétg között olyan vékony szgtlő rétg van, amlyn alagutazással jut át az lktron 6. Alagút-dóda: Van olyan U tartomány, ahol a fszültség növléskor csökkn az áram. Ennk magyarázatát később tárgyaljuk. 7. Josphson-átmnt a szupravztőknél: Vékony szgtlő rétgn fszültség nélkül s folyhat áram. Az mpulzusmomntum A pályampulzusmomntum Az lktron atommag körül mozgásához kapcsolódó prdült: L r P a klasszkus fzkában. Lz Py yp L ypz zpy L y zp P z A kvantummchankában a fzka mnnységkhz oprátort kll rndln. Például: L P yp y z y y L z lőállítása gömb polár koordnáta-rndszrbn zt az alakot ölt. A több komponns bonyolultabb, nm vsszük. Az atomfzkában az orgót az atommaghoz rögzítjük, az a vszonyítás pont. Mvl gynlő a prdült nagysága? Vnn kll a koordnáták négyztösszgét: L L L y L z azaz L L L y L z Az oprátor négyzt azt jlnt, hogy kétszr kll alkalmazn. 4
Állítás: L, L y, L z gymással nm flcsrélhtő, d Pl: L L y L y L? L bármlykkl flcsrélhtő. yp * * z zp y zp P z zp P z yp z zp y yp z zp zp y zp yp z P z zp y P z zp yp z P z yp z zp zp y P z zp y Csak a kanonkusan konjugált változók oprátora nm csrélhtők fl. P * * z z yp P y zp z P y P y P * z z zp z yp P y Mvl a szorzat lső tagja gynlő L z L z Ez az oprátorok kommutátora. -vl, a másodk pdg L z így a mgoldás: Kövtkzmény:, L y és L z gydjűlg nm határozhatók mg (mrt nncs szmultán sajátfüggvényük, zért nm lht olyan állapot, amly mndhárom mnnységr nézv sajátállapot). L vszont L és valamlyk komponns ( pl.: L z ) gydjűlg mghatározható. Szmultán sajátfüggvénykkl gyszrr két sajátérték-gynltt s flírhatunk : L L L L z z amlyk gydjűlg mgoldhatók. Mgoldás nélkül a végrdmény: L l( l ) l 0,,,... L z m m l, l,..., l szmultán sajátértékk Y lm (, ) szmultán sajátfüggvényk ( gömbfüggvényk ), ahol azmut, polárszög. A gömbfüggvényk alakja a kövtkző (nm kll mgtanuln!) m m ( )( m)! m Y (, ) ( ) P (cos ) 4 ( m)! ahol P az ún. asszocált Lgndr polnom. m, Pl.: a.) lgyn l 0 kkor L 0 és L z 0 gyáltalán nncs mpulzus momntum. 5
b.) lgyn l kkor L és L z, ha m L z 0, ha m 0 L z, ha m. A kapott rdménykt bal oldalt ábrázoltuk. Ez gy amlybn sugarú gömb a flső kúp alkotóvktoranak hossza mgfll az L z ha m stnk, nnk függőlgs vtült, z éppn az alsó kúp alkotóvktoranak hossza, függőlgs vtült, z mgfll L z ha m stnk a középn lévő kör pdg a L z 0, m 0 stnk fll mg. Kövtkzttés: a ktüntttt ránnyal az Pl.: =? L Lz cos L hasonlóan lvégzv a több stbn s 45 m 90 m 0 35 m mpulzusvktor nm zárhat b akármlyn szögt. 45 IRÁNYKVANTÁLÁS : ttszőlgsn flvtt ránnyal a rndszr mpulzusmomntum-vktora nm zárhat b akármlyn szögt. (Nobl-díj az gazolásáért) Határozatlanság tt s van! Ha smrt az L vktor gy komponns, a több (a másk kttő) már bzonytalan. A vktort jllmző 3 adatból, y, z vagy r,, csak kttő határozható mg gydjűlg. Itt mghatároztuk r -t, -t, d határozatlan maradt. Az mpuzusmomntum-vktor nm határozható mg tljs pontosággal! (kvétl, ha L =0 ) 6
M a hlyzt cntráls mzőbn? Ekkor L mgmaradó mnnység, mvl nncs forgatónyomaték. A potncáls nrga csak a cntrumtól mért r távolság függvény. Vr Vr Ekkor és gy ttszőlgsn választott L mpuzusmomntum-komponns-oprátor, L,, Ly Lz flcsrélhtő. Ennk kövtkzmény: vannak szmultán sajátfüggvény, sajátállapotak gyszrr létznk. E, E L, A korábbakat s hozzávév: oprátorok szmultán sajátfüggvénykkl rndlkznk, azaz gydjűlg mghatározottak a rndszrr nézv (d kkor az és az y komponns nm határozható mg, kvév, ha L=0). Ennk kövtkzmény: E, L és Lz gydjűlg mghatározott értékkkl rndlkznk. A sajátfüggvény alakja:,, Ez bármlyn cntráls mzőbn gaz. (Mgjgyzés: klasszkus fzkában E és A spn L z r f r Y l, m, ahol Yl,m(,) gömbfüggvénykt jlöl. L állandó a cntráls mzőbn). 95. Goudsmt és Uhlnbck: az lktron rndlkzk saját mpulzusmomntummal (a pörgés matt ). Ez a SPIN. Jl: S J L S J L S : tljs mpulzusmomntum : pálya mpulzusmomntum : spn Az mpulzusmomntumra vonatkozó sajátérték gynltnk a spnr s gaznak kll lnn: S S S z S Mgoldás: (lvztés nélkül, csak a sajátértékkkl foglalkozva) S s s ( ) d s z S z m S m S azaz m S és m S azaz kétfél bállás létzk. A spnvktor nagysága bhlyttsítéssl adódk: S 3 ( ) 3 S S 4 Továbbá cos S z S ( ) ( 3 ) 3 7
Thát a spnvktor függőlgssl bzárt szög: cos 54, 7 3 3 A kvantumszámok rndszr kgészítndő gylktronos atomok stén: n, l, m, ms ms: SPINKVANTUMSZÁM. Thát szgorúan vév nm a spn a kvantumszám, mrt az mndg ugyananny, hanm a spn-vtült. Ennk flhasználásával: S z m S m S vagy m S A nmrlatvsztkus kvantummchanka nm tudja lvztn vagy mgndokoln a spn létzését, d aómaként llntmondásmntsn bvhtő az lméltb. A rlatvsztkus kvantumlméltből kjön a spn lét (a spn gy rlatvsztkus ffktus). Nm az lktron forgásából származk, hanm gy lválaszthatatlan (vlszülttt) tulajdonság. A mágnss momntum Az atommag körül krngő lktronnak nmcsak mpulzusmomntuma (prdült), hanm mágnss momntuma s van. Korábban láthattuk, hogy a köráram mágnss momntuma: m IA IAn, ahol A nagysága a körlap trült( r ), ránya a jobbkéz-szabály szrnt mrőlgs a körlapra, I pdg a krngő lktron által képvslt áram. dq I dt T A későbbkbn M lgyn a jlölés r v v T M r n rn v r 8
Ezkkl a krngő lktron mágnss momntumának nagysága: Tkntv, hogy az m tömgű klasszkus lktron prdülténk nagysága: M mvrn L m m vr M L m vr Az lktronokra a ngatív töltésük matt trmésztsn M és llntéts rányú. Bár klasszkusan vzttük l, z az összfüggés a kvantummchanka szrnt s gaz marad, még akkor s, ha ott szó sncs krngésről. A z-komponnsr hasonlóan kapjuk: M z Lz ; Lz= m m azaz Mz= m m ; m 0; ;... 4 Vzssük b a B 9,7 0 J / T Bohr-magntonnak nvztt mnnységt, kkor az m gynlt gyszrűbbnk néz k: M m m,...,,0,,..., z B ; ahol azaz a mágnss momntum z-komponns s kvantált, lgksbb gység thát a Bohr-magnton. A spn stén a mérésk (és a haladottabb lmélt szrnt) más a hlyzt, ugyans a spnhz tartozó mágnss nyomaték kétszrs, thát: MS S. m A z komponnsr: Z M S B m m ms m m s thát mágnss szmpontból a spn "duplán számít". Az lktron tljs mágnss momntumát és annak z komponnsét a vktorok, ll. a komponnsk összadásával kapjuk: M m L m S M Z m L m S Z Z ( LZ SZ ) m Érdksség: Kvantumlktrodnamka korrkcók matt a valóságban az lktron mágnss momntuma z rányú komponnsénk lgksbb érték nm pontosan gyzk a Bohr-magntonnal. Z A pontos érték: M.00 59 65 8 S B A kvantumlktrodnamka lmélt számítás a kísérltlg mért értékkl számjgyg mggyzk. Ez gn rtka pontosságot jlnt. Az gylktronos atom kvantummchanka modllj (Hdrogénatom, ha Z=, más stbn on) m L S z.,. 9
mag töltés: +Z Vr k Z r r lktron (Vonzó kölcsönhatás stén a Coulomb-potncál ngatív). Az dőfüggtln Schrödngr-gynlt a kövtkző: Z k E ; m r A gömbszmmtra matt úgy gyszrűbb kzln a problémát, hogy az r,, gömb r,,. polárkoordnátákra térünk át, thát a hullámfüggvény új változó: Ekkor prsz a Laplac oprátort s át kll transzformáln, zt nm részltzzük. A (staconárus) mgoldások a kövtkző (szparált) alakban állnak lő: r,, R r, Y, n, l l, m ahol az n,l,m paramétrkt kvantumszámoknak nvzk, az R radáls hullámfüggvény pdg a gömbfüggvénykhz hasonlóan bonyolult. Az lktronok jllmzésér thát nm célszrű a koordnátákat és a sbsségükt használn, hlytt az ún. kvantumszámokat használjuk, amlyk a hullámfüggvény paramétr. Később látn fogjuk, hogy a kvantumszámokkal a többlktronos atomok lktronjat s jllmzhtjük, d csak közlítőlg, mvl gzakt jlntésük csak az gylktronos atomra (a H atomra) van: n főkvantumszám: mghatározza az lktron nrgáját (a Bohr modlll kapott képlt szrnt): n z E n *, * ahol,8aj és n=,, 3, 4, (az zknk mgfllő héjakat sokszor K, L, M, N, btűkkl jlölk). A főkvantumszám mghatározza azon flültk számát s, amlykn a hullámfüggvény zérus értékt vsz fl (csomóflültk). mllékkvantumszám: mghatározza az lktron (pálya)mpulzusmomntumának nagyságát:, ahol 0,,...,n L ( ). Ez határozza mg a pálya, az lktronflhő szmmtráját ( 0 stén gömbszmmtrkus, -r nkább propllrhz hasonló). (A Bohr-modll L n fltvés thát hlytln.) A könnybb áttknthtőség kdvéért az 0,,,3,... alhéjakat sokszor az s, p, d, f, btűkkl jlölk. m: mágnss kvantumszám: mghatározza az lktron (pálya)mpulzusmomntumának z rányú komponnsét: L z m, ahol m,...,,0,,...,. Ezáltal mghatározza a pálya rányítását, pl. -r a propllr nm állhat akármlyn rányban, csak néhány jól mghatározottban. Ez az ránykvantáltság a klasszkus mchankához képst új lm. m s : spn-kvantumszám: mghatározza az lktron saját mpulzusmomntumának z komponnsét: Sz m s, ahol m s,. A saját mpulzusmomntum az lktron blső tulajdonsága, a z tnglyhz képst kétfélképpn állhat és vtülténk nagysága fl a pályamomntum mnmáls (d nm zérus) vtülténk. 30
A több függvény nm gömbszmmtrkus: pl: n= l= 0 m= 0 a hdrogén alapállapotban 0 mpulzusmomntummal rndlkzk. n= l= 0 m= 0 vagy l= m= - vagy m= 0 vagy m=, z az állapot négyszrsn dgnrált! Az ránykvantáltság bzonyítéka Korábban láttuk, hogy a mágnss momntum ugyanolyan módon kvantált, mnt az mpulzusmomntum, blértv az ránykvantáltságot s. Vszont a mágnss momntum (llntétbn az mpulzusmomntummal) gy jól mérhtő mnnység, mrt kölcsönhat a mágnss mzővl. A kölcsönhatás nrgája: E p mb. Ep mz B B Bm Ha a mágnss ndukcó a z tngly rányába mutat, akkor:, ahol m,...,,0,,..., gész szám. A mágnss nrga adagosságát két alapvtőn különböző kísérlt s gazolja: a Zman-ffktus és a Strn-Grlach kísérlt. 3
A Zman-ffktus Mgfgylés: A mágnss mzőb hlyztt atom színképvonala flhasadnak. Magyarázat: mágnss tér hányában az atom nrgaszntk nm függnk a mágnss kvantumszámtól, (homogén vagy nhomogén) mágnss térbn azonban gn. Az E p mb mágnss nrga, am az m mágnss kvantumszám lőjlénk mgfllőn ngatív és poztív s lht: E p m B, vagys a mágnss mző ltolja, flhasítja az B rdt szntkt. A foton kbocsájtása során amkor az atom lktron alacsonyabb nrgaszntr krül - a mágnss kvantumszám vagy nm változk, vagy ggyl változk, thát f E h Ep 0 vagy B B. Ezn átmnt során kbocsájtott foton frkvncája, nnk ltolódása a mágnss mzőb hlyztt atom stébn B f 0 vagy B h lht. A színképvonalak bbn a modllbn thát háromflé hasadnak. Ha gy olyan lktront tkntünk, amlynk nncs pályamomntuma, csak spnj, akkor a kétfél spn-bállás két különböző nrgát jlnt. Mgjgyzzük, hogy z a Zman-ffktus lggyszrűbb formája, általános stbn az lktronok spnj nagyon mgbonyolítja a folyamatot. Strn-Grlach kísérlt Ez a kísérlt már közvtln bzonyítékkal szolgált az ránykvantálásra. A kísérlt során gy "kályhát" használunk am Ag atomokat állít lő. Ezt az "atom sugarat" nhomogén mágnss mzőn vztjük át, és azt tapasztaljuk, hogy hogy a sugár két részr hasad, vagys az rnyőn két foltot látunk, holott a klasszkus mchanka szrnt gy lmosódott foltot klln látnunk. Fontos hogy atomokat rsztünk át a mágnss mzőn és nm lktronokat, hszn bbn az stbn az lktronok körpályára állnának a két mágnss pólus között. A kísérlt lv rajzát az alább ábrákon láthatjuk. A flvtt rányok ttszőlgsk, a m stünkbn a ks koordnáta rndszrk jlölk zkt. Inhomogén mágnss térn áthaladó atomnyaláb több (pl. két) lkülönült ágra szakad. Az nhomogén mzőt az ábrán különlgs alakú mágnss pólusokkal hozzák létr. Az atomnyaláb középn az lrndzés szmmtrasíkjában halad. 3
Magyarázat: nhomogén mágnss mzőbn a mágnss momntumokra rányításuktól függőn rő hat: F Ep mb. Tgyük fl, hogy csak a pályamomntumokkal foglalkozunk. Fgylmb vév, hogy a nyaláb hlyén a mágnss ndukcó fölflé (a z tngly rányába) mutat és bbn az rányban s változk lgnkább. B Fz Bm z. A vízszntsn nduló atomokra thát annyfél függőlgs ltérítő rő hathat, ahányfél mágnss kvantumszámuk lht. Ez pdg az atomnyaláb m db ágra szakadását jlnt. A kísérltt lőször züst atomokkal végzték l. Az züst atomban a lzárt héjakon kívül csak gy db (5s) lktron van, mlyr n=5, =0. Ennk a pálya-mpulzusmomntuma 0, d a spnj ½, ms amly kétfélképp állhat b ( ). Ez az rő képltébn csak anny változást jlnt, hogy az m m hlyéb s írandó (mrt a spnhz tartozó mágnss nyomaték kétszrs), thát B Fz B z. Ennk mgfllőn az züstnyaláb a kísérltbn két ágra szakadt szét. Kvantumstatsztkák Azonos részcskék: pl.: Egy atom tartalmaz N db lktront, hullámfüggvény: (r, r, r 3,..., r N ) Az atomban flcsrélünk két lktront:.. a hullámfüggvény:, 3 N (r r, r,..., r ) Két lktron flcsrélés smmlyn mérhtő fzka mnnységr nm lht smmlyn hatással. Matmatkalag csak abban nylvánulhat mg a flcsrélés, hogy kap gy gységny abszolút értékű fázsszorzót, mrt z úgys ksk a várható értékk és sajátértékk számításánál. r, r,..., r N = r, r,..., r N r, r, r N = r, r, r N ; Ha most vsszacsréljük a két lktront. 33
r r r,, N = r r r N,, = r r r,, N, thát. Thát lv szntn két lhtőség van. A valóságban mndkét lhtőség mgvalósul, attól függőn, mlyn részcskéről van szó.. ha akkor a hullámfüggvény szmmtrkus a. részcsk flcsrélésér. bozonok. a spnvtültük gész számú többszörös. (Pl.: fotonok, gys atomok, pl. H).. Ha akkor a hullámfüggvény antszmmtrkus a két részcsk flcsrélésér. frmonok. Spnvtültük lltv - lht (pl.: lktron, proton, nutron). A frmonokra, így az lktronra s érvénys a Paul lv, mlynk általános alakja: A trmésztbn csak antszmmtrkus lktronállapotok valósulnak mg. Ugyans tgyük fl, hogy két lktron ugyanabban az állapotban van: (r, r, r,...) (r, r, r,...) D az antszmmtra matt 3 3 (r, r, r,...) (r, r, r,...) 3 3 Vagys a hullámfüggvény gynlő önmaga mínusz gyszrsévl, am csak úgy lhtségs, hogy a függvény azonosan nulla, vagys lyn rndszr nulla valószínűséggl létzk. Bármly két változóra különbözn kll a függvénynk, mrt különbn az antszmmtra nm tljsül. A klasszkus-, a Bos-Enstn- és a Frm-Drac statsztka Emlékzttő A fázstér gy olyan absztrakt tér, amly a hly- és sbsségkoordnátákból van összrakva. Tömgpont háromdmnzós mozgása stén 3+3 dőfüggő adat írja l a tömgpont aktuáls állapotát. Ezt a 6 adatot, mly lírja a mozgást, ábrázolhatjuk gy hatdmnzós koordnátarndszr gy pontjaként. Thát a fázstérbn a dnamka rndszr összs lhtségs állapota szrplnk, méghozzá a rndszr mndn gys lhtségs állapota a fázstér gytln pontjának flltthtő mg. A klasszkus fzkában a Boltzmann statsztka alapfltvés voltak:. Az azonos részcskék mgkülönböztthtők.. A fázsclla ttszőlgsn kcsr választható (azaz a fázstér gymáshoz ttszőlgsn közl lévő pontja mgkülönböztthtők). 3. Egy cllában ttszőlgsn sok részcsk lhlyzhtő. A kvantummchankának mndhárom alapfltvéssl szmbn llnvtés vannak: A mkrorészcskék mgkülönböztthttlnk Nm hordoznak smrttőjgykt, nm kövthtő a pályájuk 34
U V p p p y z p p y p z y z y z 3 mvl p pyy pzz. Thát 3 a fázsclla nm lht ttszőlgsn kcs. 8 3. Igaz a szmmtrkus hullámfüggvényű részcskékr (bozonokra) Bos-Enstn statsztka gaz rájuk Nm gaz az antszmmtrkus hullámfüggvényű részcskékr (frmonokra) Frm-Drac statsztka gaz rájuk pl.: részcsk 3 cllában: Hány lhtőség van? Boltzmann Bos-Enstn Frm-Drac ab ** * * ab ** * * ab * * * * a b * * b a * * a b ** b a a b b a Ezkből tt nm részltztt módon adódnak az loszlásfüggvényk. Lgyn z a fázscllák száma az E állapotban. E z kt Boltzmann: N (A : a részcskszámra vonatkozó mllékfltétlből Bos-Enstn: N Frm-Drac: N A z A z A E kt E kt számolható) ahol az A állandó a hőmérséklttől függ, az gys loszlásokra külön számítható. Mgjgyzésk: 35
kt, Ha az ponnsbn nagy szám szrpl, akkor A, azaz a három statsztka ugyanarra az rdményr vzt. Ebbn az stbn a kvantumstatsztkák tartanak a klasszkushoz. A klasszkus (Boltzmann) akkor jó közlítés, ha E lég nagy, és a részcskék nncsnk nagyon sűrűn. Most már érthtő, hogy mért adott hlys rdményt a Boltzmann statsztka nm túl szélsőségs állapotú gázokra. Thát a nagy nrgás állapotok mndhárom statsztka szrnt kb. ugyanúgy vannak btöltv, zért az gyszrűbb Boltzmann statsztkát lht használn. Az loszlás nagynrgás részét Boltzmann-faroknak s nvzk., Ha E kcs vagy gn nagy a sűrűség, akkor nm alkalmas a Boltzmann statsztka (a gáz nm tknthtő dálsnak - lfajult gáz) Az atomok Bos-kondnzácója: Ign alacsony hőmérsékltn az összs atom gytln (nrga)fázscllába rakható. Ez a 90-s évk atomfzkájának gn lénygs rdmény. Lénygébn a Bos kondnzácó témaköréb tartozk néhány makroszkopkusan s mgnylvánuló kvantummchanka ffktus: a szuprfolyékonyság és a szupravztés.. Bos Enstn-statsztka alkalmazása fotongázra N A z E kt Fotonok: gymástól mgkülönböztthttlnk, gy fázscllába ttszőlgs számú krülht. Nncs részcskszám mgmaradás lőírva (kltkzhtnk, ltűnhtnk szabadon). Ez utóbb kövtkzmény, hogy A =. (bzonyítás nélkül) E 3. Frm-Drac-statsztka alkalmazása "lktrongázra" Az A E F kt a részcskszámra vonatkozó mllékfltétlből kjön. EF nv : Frm-nrga. Ennk flhasználásával: N A z z E E E F kt kt 36
Nézzük mg, hogy általában gy fázscllában hány részcsk lsz, azaz mvl gynlő az btöltés valószínűség: N z E E F kt Mvl a nvzőbn gynél nagyobb szám áll, z az érték sosm nagyobb, mnt, zért bszélhtünk valószínűségről. Thát a Frm-statsztkát alkalmazva a Paul-lv automatkusan tljsül. A Frm-loszlás grafkusan: N z A képltből s lolvasható, hogy EF nél a fázscllák éppn 50%-a van btöltv. T 0 stbn a Frm-sznt alatt állapotok mnd btöltv, fölött ürsk. Az lktronok többségénk az nrgája nm változk a hőmérséklttl. Kövtkzmény: A fémk fajhőjéhz a szabad lktronok csak lhanyagolható járulékot adnak. (pl.: 000K nél a járulék %) A fémbn lévő szabad (vztés) lktronokra nm érvénys az kvpartícó tétl, lgfljbb azzal a mgkötéssl, hogy az lktronok többségénk nncs szabadság foka. Összfoglalás: A fzkában három katgórát használnak a részcskék lírására:. Klasszkus részcskék: mgkülönböztthtők, gy fázscllában ttszőlgsn sok lht, Boltzmann-statsztka.. Bozonok: Mgkülönböztthttln részcskék, gy fázscllában ttszőlgsn sok lht, szmmtrkus a hullámfüggvényük, Bos-Enstn statsztka érvénys. Ezk fllősk a kölcsönhatások közvtítéséért, őkt nvzhtjük a vlág építőköv között ragasztónak vagy habarcsnak. 3. Frmonok: Mgkülönböztthttln részcskék, gy fázscllában csak két részcsk lht llntéts spnnl, antszmmtrkus a hullámfüggvényük, Frm-Drac statsztka érvénys. Ezkt nvzk a vlág építőkövnk ( két tégla nm lht gy hlyn ). 37
Alkalmazás: paramágnss szuszcptbltás Hlyhz kötött atomok lzáratlan blső lktronhéjaból adódó mágnss momntumokat vzsgálunk. Fltétlzzük, hogy a szuszcptbltás kcs, zért a B mágnss ndukcót µ0h-val közlítjük. Egy m momntum nrgája a H külső térbn kkor E mh Az gyszrűség kdvéért vzsgáljuk a spnmágnssség stét, vagys amkor két lhtségs bállása van a mágnss momntumnak. Az gyk nrgája a külső tér nélkül állapothoz képst poztív, a másk ngatív. Ha a külső tér flflé mutat: E E mh 0 0 és 0 0 0 E E mh Mvl hlyhz kötött, azaz mgkülönböztthtő részcskékről van szó, a Boltzmann statsztkát alkalmazzuk. A két nrgasznt btöltés száma: E E N kt kt és N A A d N N N, ahol N az összs momntumok száma, am állandó, vagys Bhlyttsítés után az E0 ksk, így: N mh kt N 0 0 mh kt A rndszr rdő mágnss momntuma: A 0mH kt E kt N és E kt N m N m N m N 0mH 0mH kt kt 0mH kt ahol m gy atom flflé álló mágnss momntuma. A mágnszttség dfnícó szrnt: 0mH 0mH m m kt kt N 0mH M m N N N m th 0mH 0mH V V V V kt kt kt A tangns hprbolkusz függvény dfnícóját th( ) flhasználva a mágnszttségr kapott végrdményünk: M N 0mH m th V kt 0 mh Ha a tér rős, ll. a hőmérséklt alacsony, az kt tagok lhanyagolhatóvá válnak, kkor a rndszr tlíttté válk, lénygébn az összs momntum a tér rányában áll. A th függvény gyhz, a mágnszttség pdg konstanshoz tart, 38
ahogy a grafkonról s lolvasható. M H T Nm V Az ponncáls függvényt sorba fjtv, gyng térr ( mh kt 0, thát csak lső rndg mgyünk l) kapjuk, hogy N mh 0 M m V kt Azaz kkor érvénys a lnárs anyaggynlt: M H ahol a szuszcptbltás fordítottan arányos a hőmérséklttl: Nm 0 V kt Emlltt látható, hogy a szuszcptbltás gynsn arányos a mágnss momntum nagyságának négyztévl, thát szuprparamágnss nanorészcskéknél jóval nagyobb, mnt paramágnss atomoknál. Mgjgyzésk:. Ha nm azt tétlztük volna fl, hogy kétfél momntum-bállás van, hanm azt, hogy a kttő között folytonosan bárhogy bállhatnak a momntumok, kvaltatív akkor s nagyon hasonló rdménykt kaptunk volna.. Mvl az lktromos dpólusok külső lktromos térbn szntén potncáls nrgával rndlkznk, amlynk kfjzés hasonló a fnthz, így rájuk s gy hasonló lvztéssl és közlítéskkl lnárs anyaggynlt kapható, amlyből a D E formula adódk. A többlktronos atomok Az gylktronos atomra lmélt úton gzakt rdmény kapható. A többlktronos atomok kllőn pontos lírása vszont a kvantummchanka lgnhzbb problémá közé tartozk. E lírás, 39
különösn nagy rndszámú atomok stén, csak hatékony közlítő módszrkkl lhtségs. Látn fogjuk, hogy a lgáltalánosabban használt közlítésbn gy atom mndn lktronját gy-gy, a H- atom lktronjának lírásakor már bvált kvantumszám-négyssl írjuk l. Már a kétlktronos atom st s csak numrkus közlítéssl oldható mg, d ttszőlgs pontossággal. Az dőfüggtln Schrödngr-gynlt: Z Z k k k E m r r r ahol, m Z Z k k r r k r, kntkus nrga a mag és lkrton kölcsönhatás lktron lktron kölcsönhatás Még több lktron stén sokkal több tag van a Hamlton-oprátorban: N N N N k Z k E m r j rj j ahol r, r,..., rn : a hlykoordnáták függvény 3N darab változó szrpl a függvénybn. Például vas stén N=6. Ha gy-gy változó 00 pontjában tároljuk a függvényértékkt (nny a mgfllő pontossághoz fltétlnül szükségs), akkor összsn 00 00 00 0 3N 3*6 78 56 darab függvénypontról van szó. Mkkora számítógép kll nny adat tárolásához? kg 0 6 atomból áll 40
naprndszr 0 30 kg galas 0 naprndszr vlág 0 galast tartalmaz thát vlág 0 78 atomból áll Mvl gy függvényérték tárolásához lgalább gy atom kll (sőt blátható dőn blül gynél jóval több), zért kkora számítógép lvlg sm építhtő, és még nm s bszéltünk arról, hogy dffrncáloprátorokat klln hattatn rr a függvényr. Thát átlagos atommért stén pusztán numrkus közlítő módszrrl nm oldható mg a probléma. Másfajta, hatékonyabb, fzka alapokon álló közlítés szükségs! Közlítés gyrészcsk hullámfüggvénykkl (függtln részcsk közlítés). A hullám fgv-t gyrészcsk hullámok szorzataként képzljük l. r, r,..., r r r... r N N N Ezt a függvényt már könnybbn tudjuk tároln. Így ha gy darab -t 00 3 =0 6 ponton ábrázolunk, az összsn N*0 6 pont. A számítás azonban nm gyszrű. A közlítésbn a Schrödngr-gynlt szétsk N darab különálló gynltr. N k Z k m r r E r j rj j Itt nm részltztt módszrrl az gynlt numrkusan mgoldható. Az rdmény: néhány százalékra pontos nrgaértékk kaphatók. A lgfontosabb változás, hogy az nrga most már a főkvantumszám mlltt a mllékkvantumszámtól s függ. Konkrétabban, ugyanazon n-r -ll növkszk az nrga: E <E n, n, + Ez azt jlnt, hogy a kvantumszámok jlntés módosul gy kcst. Oka: Ha több lktron van, a blső lktronok taszítják a külsőkt, vagys lárnyékolják számukra az atommag vonzását, zért a potncáls nrga abszolút értékbn csökkn. A magasabb értékű lktronok pályája távol van a gömbszmmtrától, zk az lktronok átlagosan távolabb vannak a magtól és így jobban érzk a lárnyékolást, thát a mag Coulombvonzása csökkn, a potncáls nrga abszolút értékbn csökkn, az össz-nrga nő. 4
Látható, hogy z a függés nm lhanyagolható, hanm olyan mértékű, hogy a nagyobb főkvantumszámú lktronnak ksbb lht az nrgája: E(s)< E(p)< E(3s)< E(3p)< E(4s)< E(3d) A tljs sorrnd, nagyobb btűmérttl jlölv a sorban hátrébb csúszott állapotokat: s, s, p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p Mgjgyzés: ma már zrléknél s pontosabb közlítésk s vannak, amlyk számos tt nm tárgyalt hatást s fgylmb vsznk. Ezk smrttés mghaladja tárgy krtt. A pródusos rndszr A kövtkző törvénykt tknttb kll vnnünk:. Paul lv: (függtln részcsk közlítésbn) ugyanazzal a n, l, m, m s kvantumszám négyssl nm rndlkzht két lktron gy atomon blül.. Enrgamnmumra való törkvés, azaz a létző nrgaszntk alulról kzdv töltődnk fl. 3. Hund-szabály: azonos nrgájú szntk közül a térbllg különbözők töltődnk b lőször. Így vannak az (gymást lktrosztatkusan taszító) lktronok a lgmsszbb gymástól. Ráadásul az rdő spnvtült mamáls, thát az lktronok lőször különböző mágnss és mggyző spnkvantumszámmal krülnk az atomba, ahogy z az alább táblázatban s látható pl. a ntrogén sorára tkntv. Elm Elktronkonfgurácó Utolsó lktron kvantumszáma Erdő spn vtült 4
n l m H s 0 0 pl.:/ ½ H 0 0 -/ 0 L B (s) (s) s (s) ( s) m s 0 0 / / 0 0 -/ 0 B (s) ( s) p / / C (s) ( s) ( p ) 0 / N (s) 3 ( s) ( p ) - / 3/ O (s) 4 ( s) ( p ) -/ F (s) 5 ( s) ( p ) 0 -/ / N (s) 6 ( s) ( p ) - -/ 0 Na (s) 6 ( s) ( p) 3s 3 0 0 / / Ha thát (képzltbn) a +Z töltésű atommaghoz gysévl adagoljuk az lktronokat, akkor az lső lktron a lgksbb nrgájú, azaz az s állapotba mgy (n=, l=0, m=0 és pl. ms=/). A másodk lktron még mht az s állapotba, mrt ms=-/ s lht. A harmadk lktron már nm fér b az n= állapotba, zért az ggyl magasabb nrgájú, az n= főkvantumszámú állapotba fog mnn. Számoljuk össz, hogy z az állapot hányfél kvantumszám kombnácóban tölthtő b, azaz hány lktron fér l rajta. Ha n=, akkor kétfél értékt vht fl: 0 és. Ezn blül =0- ra m=0, mvl ms-nk két lhtségs érték van, z két lhtőség. n=, =-r m háromfél lht -, 0 és, a spn matt kttővl szorozva 6 lhtőség, azaz összsn 8 lhtségs kombnácó. Thát 43