A mikrorészecskék kettős természete, de Broglie-hipotézis

Átírás

1 A mikrorészcskék kttős trmészt, d Brogli-hipotézis... Hullámcsomag... Kétréss kisérlt... 4 A Hisnbrg-fél határozatlansági rláció... 5 A kvantummchanika alapjai... 0 A kvantummchanika alaplvi (alapaiómái)... 0 Az oprátorok konkrét alakja és a Schrödingr-gynlt... 3 Stacionárius állapotok és az időfüggtln Schrödingr-gynlt... 5 A Schrödingr-gynlt mgoldása konkrét rndszrkr... 6 Szabad részcsk dimnzióban:... 6 Végtln mély potnciálgödör... 8 Potnciállépcső gy dimnzióban... 9 Alagútffktus... Az impulzusmomntum... 3 A pályaimpulzusmomntum... 3 A spin... 6 A mágnss momntum... 7 Az gylktronos atom kvantummchanikai modllj... 9 Az iránykvantáltság bizonyítékai Kvantumstatisztikák... 3 Azonos részcskék:... 3 A klasszikus-, a Bos-Einstin- és a Frmi-Dirac statisztika A többlktronos atomok A priódusos rndszr A lézr (utolsó ZH anyagának gy kis rész)... 4 Indukált misszió... 4 A lézr működés... 4 A mikrorészcskék kttős trmészt, d Brogli-hipotézis Az lktromágnss sugárzásnál számos stbn jlntkztt a kísérltk értlmzésénél a részcsk-hullám kttősség, vagyis hogy a fény hullámként és részcskék áramaként is vislkdht. D Brogli 94-bn vttt fl azt, hogy a közönségs anyagi részcskéknk is ilyn kttős trmésztt klln tulajdonítani, vagyis pl. az lktron, proton, stb. hullámként is flfoghatók. Fltétlzt, hogy a fotonokra lvzttt lndült (I) hullámhossz (λ) kapcsolat általános érvényű, azaz a részcskékhz rndlhtő hullám hullámhossza: h vagy I 34 ahol h Js a Planck állandó. A képlt thát mindn részcskér érvénys, függtlnül attól, hogy van- nyugalmi tömg (pl. lktron), vagy nincs (foton). A képlt lső alkalmazásaként tkintsük a hidrogén atomot, amly gy proton körül kringő lktron. Stacionáris stbn az lktron gy állóhullámnak fll mg, thát a pálya hossza (a kör krült) gész számú többszörös a hullámhossznak: n r. h p

2 Ezt láthatjuk a bal oldali a ábrán. A jobb oldali b ábrán z nm tljsül, a hullám nm önmagába záródik, z nm lht stacionárius állapot. Mgjgyzzük, hogy az n r fltétl tljsül klasszikus rndszrkr is, pl. mgütött acélkarikán kialakuló állóhullámokra. h h A fnti I mv képltt bhlyttsítv: nh mv r, átrndzv kapjuk a Bohr-fél fltétlt az impulzusmomntumra: L mvr n. Thát a d Brogli-hipotézis mgmagyarázta a Bohrfél fltétlt. A sors fintoraként kidrült, hogy a Bohr-fél fltétl nm igaz, így a d Brogli fél lvztés sm lht hlys. Az alapötlt és a hullámhosszra vonatkozó képlt viszont igaz és z gy nagy talán a lgfontosabb - lépés volt a kvantummchanikához vztő úton. Példa: Ha gy lktront U potnciálkülönbségn flgyorsítunk, akkor v sbsségr tsz szrt: U U m v, v m, nnk mgfllőn a lndült U I mv m U m, a d m Brogli hullámhossza pdig: h I h. U m Az univrzális állandókat flhasználva, ha például az lktront gyorsító fszültség U = 50 V, akkor a hozzá rndlhtő hullámhossz 0 0 m. A kísérltk szrint is az lktron mozgásakor kitrjdt hullámként vislkdik, gy tárgyba történő bcsapódáskor pdig részcskként, thát kttős trmésztt mutat. Protonokkal és más mikrorészcskékkl is kimutattak intrfrncia jlnségkt. A hullám-részcsk kttősség nmcsak az lktromágnss sugárzás stén, hanm a mikrorészcskéknél is kimutatható. Hullámcsomag Nm gytln síkhullámot rndljünk a részcskéhz, hanm hullámcsomagot.

3 R "sima" hullám A i t k A hullámtanból ismrt, hogy két ign közli frkvnciájú hullám össztvés lbgést rdményz. Végtln sok szinuszhullámból végs hosszúságú hullámvonulat (végs számú lbgés) is flépíthtő. k 0 k k 0 k i ktk Ak dk C i tk 0 0 ahol a második tényző gy átlagos frkvnciájú és hullámhosszú sima hullám R burkoló P sok sima hullám intgrálása stén ilyn görbalakot kapunk k k 0 i k tkk C A k 0 0 dk burkoló k 0 k Vizsgáljuk mg a burkoló gy pontjának (P pont) sbsségét! P-r nézv: k t k k állandó 0 0 de k állandó 0 d t v k k0 k k k d 0 dt 0 de p v k k dk dp 0 dp mrt: E E k h h p p A klasszikus fizika szrint: E m de p dp m v p 3

4 Kétréss kisérlt (fényr: Young 80, lktronra: Jöhnson 96 ) Kisérlti bizonyíték az lktron hullámtrmésztér lktron d y y I D / a résk távolsága m / yd s n (itt n=) D D y y, D, d ismrtébn számítható. d A kísérlt kis nrgiás lktronokkal végzhtő. Az rdmény tljsn hasonló. 4

5 mindkét rés nyitott csak a flső rés nyitott csak az alsó rés nyitott Az intnzitás loszlása alapvtőn különbözik, ha gyszrr csak gy-gy rés van nyitva, illtv ha gyszrr mindkttő. Ha mind a két rés nyitva van, akkor értlmtln a kérdés, hogy az lktron mlyik résn jött át. Az lktronnak hullámtrmészt van. Az lktron-hullám mind a két résn gyszrr halad át. Az lktronnak a két résn áthaladt részi intrfrálnak gymással. Dtktáláskor az lktront mindig gészbn dtktáljuk. Ebbn a kísérltbn az lktron hullám is (a réskn való áthaladáskor) és részcsk is (dtktáláskor). A foton és az lktron bbn a kísérltbn tljsn hasonlóan vislkdik! A Hisnbrg-fél határozatlansági rláció A hullámcsomagtól fogunk ljutni idáig. : a részcsk hlyzténk bizonytalansága. prcízbb jlntés: a kérdéss fizikai mnnyiség SZÓRÁSA, azaz, a középértéktől való ltérésk négyzt átlagának a gyök. 5

6 > / z a. részcsk jobban lokalizált, mint az lőző lapon lévő. részcsk / k kicsi hullámszámtartományból flépíthtő k nagy hullámszámtartomány szükségs a flépítéshz k < k k k Fourir analízissl a hullámtanból nyrhtő összfüggés k Ha flhasználjuk a foton lndültér lvzttt összfüggést: p p k, azt kapjuk, hogy Jól lokalizált részcsk kicsi k nagy p nagy Jól lokalizált részcsk: 0 p Nm lokalizált részcsk: k = k0 k = 0 p = 0 Közbülső st /gyakorlatban a részcskék ilynk/: Az gzakt lvztés rdmény: p ypy Hisnbrg fél határozatlansági összfüggésk zp z Et 6

7 , p y, p z, p y z E,t gymáshoz kanonikusa konjugált változók: gyszrr nm mérhtők trszőlgs pontossággal A határozatlansági rláció ign szépn mutatja, hogy a makrofizikai fogalmak a mikrovilág lírására csak korlátozottan alkalmasak. A kapható válasz pontosságát a kísérlti körülményk lv bhatárolják. Egy fizikai mnnyiség mérési pontosságának nm lsz lvi határa, ha a kísérlti körülménykt mg tudjuk úgy választani, hogy a mért mnnyiség konjugált párja a mérés során határozatlan marad. Ekkor viszont z utóbbi mnnyiség méréskor nm azért lsz nagy a szórás, mrt nm jók a műszrink (az gy gyakorlati probléma lnn, amin lvilg lhtn javítani), hanm mrt a mnnyiségnk nm létzik határozott érték. Visszatérés a kétréss kísérlthz: a. gyik rés nyitva: 0 p (azaz a szórási képből nm határozható mg a hullámhossz) b. mindkét rés nyitva: nagy p kicsi (azaz a szórási képből mghatározható a hullámhossz) A határozatlansági rlációk néhány kövtkzmény:. Trajktóriák kérdés: Klasszikus fizikában: A) mákszm m = 0-6 kg 0-6 m - hlyét µm pontossággal tudjuk mghatározni 34, átrndzv: m v v a mákszm sbsségét 0 m - s pontossággal tudjuk mghatározni Azonban z nm igazi mgszorítás, mrt nincs olyan műszr amivl ilyn pontosan lhtn sbsségt mérni. Thát a mákszmnk van trajktóriája. B) Elktron 0 0 m és m 0 30 kg, zért 34 0 v m s 7

8 A H atomban az lktron sbsség bb a nagyságrndb sik a klasszikus fizika szrint. Az atomban az lktronnak nincs trajktóriája. Az atomi lktronra a bizonytalanság olyan mértékű, hogy nm mondhatjuk, hogy pl. az lktron az éppn az atommagtól irányban van, sbsség pdig y irányba mutat (z stbn impulzusmomntuma nm lhtn nulla), hanm úgy fogjuk fl, hogy az lktron flhőként körülvszi az atommagot, pl. gömb alakban. 3, Zérusponti nrgia: Határozatlansági képlt: p m v v m Kérdés, hogy a kintikus nrgiának minél kll nagyobbnak lnni. Mgjgyzés: a különböző részcskéknk különböző sbsségük van, thát van spktruma. Mi lht az koordináták szórása? v ~ v A szórás nagyságrndilg gyzik a középértéktől való maimális ltéréssl. ( ttől kisbb ) A kintikus nrgia dimnzióban: Tkin. mv mv 8m 4.) Hidrogén atom: 8

9 V k c r Coulomb-nrgia Tmin 8mr kvantumos nyüzsgés nrgiája: nnél kisbb nrgiával nm rndlkzht a csapdában a részcsk E V T c min 5.) Et a Hisnbrg-fél határozatlansági összfüggés mindn kanonikusan konjugált változó párra fnnáll. E és t is kanonikus konjugált Jlntés : a tljs nrgia (E) rövid idjű méréssl nm határozható mg ttszőlgs pontossággal. Példa: grjszttt állapot élttartama. t t E E élttartam:t E t nrgiája pontosan mghatározható A grjszttt állapotokon rövid idig tartózkodik az -, utána visszamgy az alapállapotra. A grjszttt állapot nrgiája nm lht pontosan mghatározott, Az alapállapot nrgiája pontosan mghatározott. Kövtkzmény a spktrumokra: 9

10 E h pl.: t E h ht 4t s 0 Hz Szélsbb spktrumvonal rövidbb éltidjű grjszttt állapothoz tartozik. A kvantummchanika alapjai A kvantummchanika alaplvi (alapaiómái) I. A kvantum mchanikai rndszrk állapotát (r,t) kompl értékű rguláris függvény írja l. Ennk a függvénynk a nv hullámfüggvény, vagy állapotfüggvény. Az állapotfüggvény tartalmazza a rndszrből nyrhtő összs információt. Rguláris függvény tulajdonságai: folytonos, korlátos, négyztsn intgrálható. A rguláris függvény közé nm tartozik a 0 függvény. Négyztsn intgrálható: Tljs térr (A * a kompl konjugáltat jlnti) dv C A hullám függvény közvtln fizikai jlntéssl nm bír, d abszolút értékénk négyzt a részcsk tartózkodási valószínűség sűrűség függvény lhtn. V térfogatban való tartózkodás valószínűszínűség: * P ( V ) V dv V dv Mgjgyzés: Schrödingr úgy gondolta, az lktron gy lknt, flhőhöz hasonlítható dolog, amink ténylgs sűrűség a függvény. Azonban, a kísérltk azt mutatják, hogy az lktront inkább úgy kll lképzlni, mint gy pontszrű részcskét, ami véltlnszrűn "ugrál id-oda", sok hlyn tartózkodik gyszrr bizonyos valószínűségkkl. Ha gy részcskénk az lhlyzkdését vizsgáljuk a tljs térr nézv, akkor P(tljs térr)=. Tljs térr dv => a hullám függvény gyr normált Tljs térr dv (norma négyzt) 0

11 Skaláris szorzás értlmzés: (, ) dv tljstérr (rdmény gy konkrét szám vagy gy idõfüggvény) Tulajdonságai: (, ) (, ) tt.. (, ) (, ) (, ) ( C, ) C (, ) (, C ) C(, ) dv (, ) II. Szuprpozició lv: Ha a ψ és ψ a rndszr lhtségs állapotait írják l, akkor a c c lináris kombináció is lhtségs állapot, ahol c i ttszőlgs kompl számok. Ezt az lvt az intrfrncia jlnség kövtlt mg és a Schrödingr-gynlt linaritásában nyilvánul mg, lásd később. A fnti képlttl kapott ψ állapotot aztán újabb és újabb ψ3, ψ4, állapotokkal kombinálva is lhtségs állapotot kapunk, thát nm csak kttő, hanm ttszőlgs számú állapot szuprpozíciója is lhtségs állapot. III. A fizikai mnnyiségk önadjungált (hrmitikus) oprátorokkal írhatók l. Oprátorok jlölés: O (Pl p L E.:,, ) Az oprátorok függvényhz fv.t rndlnk. pl.: szrinti driválás: O Lináris oprátorok: O L C C C L C L A fizikai mnnyiségkt mindig lináris oprátorok írják l. (Lináris oprátor pl. a driválás, nm lináris pl. a négyztr mlés.) Hrmitikusság: skalárszorzásnál gy hrmitikus/önadjungált oprátort az lső tagra, vagy a második tagra alkalmazva, a szorzás rdmény nm változik. Képlttl: Művlti szabályok oprátorokkal: Ĥ,, Ĥ Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô (Szorzásban az oprátorok általában nm csrélhtők fl, a művlt nm kommutatív.) Ô

12 Kommutátor: Azt jllmzi, hogy mnnyir nm flcsrélhtő a két oprátor: Flcsrélhtő oprátorok kommutátora zérus. Ô,Ô ÔÔ ÔÔ IV. A fizikai mnnyiségkhz rndlt oprátor sajátértéki mggyznk a fizikai mnnyiségk méréskor lhtségs értékkkl. Ha gy oprátor hat gy függvényr, annak általában mgváltozik az alakja, mint ahogyan gy vktornak is mgváltozik az iránya, ha gy mátriszal mgszorozzuk. Előfordul azonban, hogy a függvény csak gy számmal szorzódik mg az oprátor hatására (z a vktor nyújtásának fll mg). Ez stbn a vktort az adott oprátor sajátvktorának, a számot a hozzá tartozó sajátértéknk nvzzük. Sajátérték gynlt : (k a sajátérték) Pl: O Ô O k k Oprátor sajátérték mindig függ attól, hogy milyn függvényr hat. Egy gyakorlati példa: ha az nrgia oprrátort alkalmazzuk a Hidrogénr, nm ugyan azt az rdményt mérjük, mintha pl. Uránra alkalmaznánk. Thát az nrgia oprátornak más a sajátérték itt, mint ott. Tétl: A hrmitikus oprátorok sajátértéki valósak. Biz: H,, H H h ( h, ) (, h) h (, ) h(, ) h h Thát h csak valós lht, mrt gy szám és a konjugáltja csak akkor gyzik mg, ha nincs imaginárius rész. Így tljsül az a gyakorlati kövtlmény, hogy a mérőműszrk mindig valós értékkt mérjnk. V. Egy fizikai mnnyiség méréssl kapható átlagértékét a(z): O (, O ) skaláris szorzat adja. (aiómaként van kimondva) * Figylmb vév a skaláris szorzat jlntését: O O dv pl.: tljs té rr * dv * dv tljs té rr tljs té rr analógiai tömgközéppont koordinátája(klasszikus mchanika): dv * tartózkodási valószínűség sűrűség

13 ténylgs sűrűség z a különbség a kvantummchanika és a klasszikus mchanika között Egy fizikai mnnyiség értékénk határozatlansága azzal jllmzhtő, hogy mnnyivl tér l várhatóan az átlagértéktől a mért érték. Ezt a valószínűségszámításban szórásnak hívják: O O O : szórás Állítás: Ha két oprátornak szimultán sajátfüggvénykből álló bázisa van, akkor a két oprátor flcsrélhtő. Ez az állítás visszaflé is igaz. Mi a szimultán saját függvény? Lgyn két oprátor: O és O φ akkor szimultán sajátfüggvény, ha: O c O c bből kövtkzik, hogy: O O O O Szorozzuk most mg a flső gynltt -vl az alsót pdig -l. O Oˆ Oˆ Oˆ c c Oˆ c c Oˆ Oˆ Oˆ c c Oˆ c c Ezzl bláttuk, hogy a két oprátor gymással flcsrélhtő az adott sajátfüggvényr nézv, ha a függvény szimultán sajátfüggvény. Ha létzik ilynkből álló bázis, akkor mindn függvény kikombinálható sajátfüggvénykből, thát mindn függvényr nézv igaz, hogy nm számít, milyn sorrndbn alkalmazzuk a két oprátort a függvénykr, ugyanazt kapjuk. Két fizikai mnnyiségnk akkor létzik gyszrr pontos érték (akkor mérhtők gyszrr), ha oprátoruk flcsrélhtő, azaz a kommutátoruk nulla. Ha ugyanis olyan rndszrn mérjük mg a fizikai mnnyiség értékét, amlyt a mnnyiséghz tartozó oprátor sajátfüggvény ír l, akkor mindnképp a sajátfüggvényhz tartozó sajátértékt kapjuk. Ha ψ két oprátornak is sajátfüggvény, akkor mindkttőr határozott értékt (a mgfllő sajátértékt) kapunk bizonytalanság nélkül (a műszr tökéltlnségéből adódó hibáktól most ltkintünk). Konkrét példát a szabad részcskénél mutatunk b. Mindzkből az kövtkzik, hogy azon mnnyiség-párokra, amlykr határozatlansági rláció áll fnt, a kommutátor nm tűnht l. O Az oprátorok konkrét alakja és a Schrödingr-gynlt A lggyszrűbb tárgyalásban az impulzus komponnséhz és az hly-koordinátához a kövtkző oprátort rndljük: pˆ i és ˆ hasonlóan: (z úgy hat, hogy gy f() függvényt mgszorozza -szl). 3

14 pˆ y, pˆz i y i z és y y, z z Rndljünk most az nrgiához és az időhöz is oprátort: Ê i t és ˆt t Korábban láttuk, hogy a Hisnbrg-fél határozatlansági rlációk az oprátorok szintjén a kommutátorokban jlntkznk. A fizikai mnnyiségkhz thát úgy rndltük hozzá az oprátorokat, hogy a Hisnbrg-fél flcsrélési rlációk tljsülnk. Ezk a rlációk a kövtkzők: (mindn kanonikusan konjugált változóra fnnállnak), Bizonyítsuk b, hogy p és mgfll a flcsrélési törvénynk: i i i i i i pˆ, ˆ pˆ ˆ p ˆ ( ) azaz tljsült a flcsrélési törvény. Mgjgyzés: az gymáshoz nm kanonikusan konjugált hly- és impulzuskoordináta változók trmésztsn flcsrélhtők. Pl. pˆ, yˆ 0 pˆ, ˆ 0 y pˆ, ˆ, pˆ, yˆ, pˆ, zˆ, Eˆ, tˆ i i i i y z stb Hogyan található mg a többi fizikai mnnyiség oprátora? pl.: kintikus nrgia Ugyanúgy, mint ahogy gyik fizikai mnnyiség a másikból mgkapható. p klasszikusan: T mv ( p p p ) A h i m m y z T ( p p p p p p ) m m y y z z i i mint konstans, kimlhtő a driválás lé: i y i y m i y z m y z m azaz i z i z T m : Laplac oprátor A töltéshz, tömghz nm rndlhtünk oprátort, mrt azok konstansok! Potnciális nrgia (csak konzrvatív mzőbn van értlm): 4

15 Mivl a potnciális nrgia csak a hlykoordinátáktól függ, és a hlykoordináták oprátora a "vlük való szorzás" zért a potnciális nrgia oprátora is a "vl való szorzás". V=V(,y,z) V=V Konzrvatív mzőbn a tljs nrgia: E=T+V A tljs nrgia oprátora (Hamilton oprátor): Ĥ ˆ ˆ ˆ,, H T V V y z. m Viszont a korábban dfiniált Ê i t oprátornak ugyanazt kll adnia, mint a most dfiniált Hamilton-oprátornak: H r, t E r, t Bhlyttsítv: r t V r r t r t,,, m i t Ez a kvantummchanika dinamikai alapgynlt, vagy időfüggő Schrödingr gynlt. Ez írja l a rndszr időbli változását. Tulajdonképpn zzl mg tudjuk mondani a későbbi állapotát a rndszrnk, ha a korábbit ismrjük. Mgjgyzés: Az időfüggő Schrödingr gynltből lvzthtő Nwton. törvény (a = F/m). Általánosan is igaz, hogy a kvantummchanika alapgynltéből, aiómáiból a klasszikus mchanika alapgynlti, aiómái lvzthtők. A kvantummchanika thát a trmészt általánosabb törvényit adja mg, amlyk a makrovilág lírására is alkalmasak (lvbn). Az gyszrűség miatt azonban sokszor célszrű a klasszikus mchanika nvű közlítést alkalmazni. Stacionárius állapotok és az időfüggtln Schrödingr-gynlt Tgyük fl, hogy a Ĥ i t időfüggő Schrödingr-gynltnk az alábbi alakban állítottuk lő a mgoldást: E i t ( r,t) (r) Ebbn az az érdks,hogy a jobb oldalon az gyik tényző csak a hlytől, a másik csak az időtől függ. Ha zt ldriváljuk t szrint, akkor önmagát kapjuk, szorozva az ponnciális függvény kitvőjébn a t gyütthatójával. Thát ha bhlyttsítjük az időfüggő Schrödingrgynlt jobb oldalán ψ hlyér, akkor az gynlt bal oldalán gyszrűsítés után csak Eφ marad, thát az új gynltbn nincs idő változó: Hˆ ( r) E( r) 5

16 nnk nv időfüggtln Schrödingr-gynlt vagy nrgia-sajátértékgynlt. Bírva a Hamilton-oprátor kifjzését: ( r ) V ( r ) ( r ) E( r ) m Thát a krstt konstans az nrgia-sajátérték. Ebből pdig az is kövtkzik, hogy az állapotfüggvény hlytől függő rész az nrgia-sajátfüggvény. Thát ha a hullámfüggvény a fnti szparált alakban áll lő, akkor a rndszr nrgiasajátállapotban tartózkodik. Ez a hullámfüggvény az állapotgynlt stacionárius mgoldása. Mitől stacionárius? i E t i E t ( r, t) * *( r ) ( r ) *( r ) ( r ) ( r ) r : valószínűségi sűrűségfüggvény, csak - től függ. Thát az időtől nm függnk a fizikai mnnyiségk, zért stacionárius az állapot. Ez zt is jlnti, hogy a rndszr nrgiasajátállapotban tartózkodik az idők végztéig, thát pl. az atomok grjszttt állapota nm bomlik l fotont kibocsájtva, hogy az nrgiaminimumot lérj. Fontos mgjgyzni, hogy z csak a hagyományos kvantummchanika szrint igaz. Ez a kvantummchanika azonban csak akkor alkalmazható, ha a részcskszám állandó. A kvantummchanika nm alkalmas részcskék kltkzésénk és ltűnésénk lírására, ami képs rr, az a kvantumlktrodinamika. A kvantum-lktrodinamika szrint például a grjszttt állapot - bár stacionárius - lőbb-utóbb gy foton kibocsájtásával mgszűnik. Thát az általunk flírt állapotgynlt hiányossága, hogy ltűnő és kltkző részcskér nm alkalmazható. A Schrödingr-gynlt mgoldása konkrét rndszrkr Szabad részcsk dimnzióban: A potnciál V=const., zt a V konstanst válasszuk 0-nak. Ekkor stacionárius stbn igaz, hogy: ( ) E( ) m nnk mgoldásai a sin, cos és p. függvényk, pl.: ahol a k ttszőlgs. Ez sajátfüggvény p -nk ( ) A ik A mgfllő sajátérték gynlt: azaz i ik A p A ik p X p X, ahol p oprátor, p sajátérték. 6

17 Elvégzv a driválást: Aa ik p A ik bből p k, vagyis k nm más, mint a korábban dfiniált hullámszám: p k. Ez hasonlóan lvégzhtő az y és z koordinátára is, thát három dimnzióban: i y z r K K p p y p z i pr A szabad részcsk stacionárius állapotban thát a kövtkző függvénnyl lírt állapotban tartózkodik: Ez pdig gy síkhullámot ír l. i Et pr i Et r, t K mivl r, t r Mgjgyzésk:. Stacionárius állapotban a részcsk mindig nrgia sajátállapotban tartózkodik, z szabad részcskér gyúttal impulzus sajátállapot is. Thát a részcsk gyidjűlg rndlkzik mghatározott nrgiával és mghatározott impulzussal. Ez így van a klasszikus fizikában is. Lgyn pl. a részcsk hullámfüggvény 5 /m). Ha rr hattatjuk a i, z az impulzusoprátor sajátérték. Ha hattatjuk a mozgási nrgia hogy 5 E m hullámfüggvény a 5,7 5i ( ), ahol thát k=5 (a mértékgység pl. oprátort, akkor azt kapjuk, hogy p 5 oprátorát, akkor azt kapjuk, m, z az nrgia-sajátérték (llnőrizzük l!). Ha viszont a részcsk 5i 7i ( ), akkor 50% valószínűséggl p 5, 50% valószínűséggl pdig p 7 -t kapnánk az impulzus méréskor. Az impulzus várható érték (átlagérték) p 6, bár zt az értékt sohasm kapjuk méréskor. Hasonló határozatlanság érvénysül az nrgiára is, vagyis 5,7 nm nrgia-sajátállapot, thát nm stacionárius állapot, azaz gyorsan mgváltozik, átalakul az időfüggő Schrödingr-gynltnk lgt tév.. Ebbn az stbn viszont a szabad részcsk hly tljsn határozatlan, mivl a síkhullámban tartózkodási valószínűség hlytől függtln érték. K K K konstans Vagyis a síkhullámban a részcsk gyáltalán nincs lokalizálva, bárhol ugyanolyan séllyl tartózkodik. Az lőző pontban flsorolt gyik φ függvény sm sajátfüggvény a hly oprátorának, mivl annak sajátfüggvényi csak gy pontban különböznk nullától. 7

18 3. Az nrgiára nm kaptunk fltétlt, vagyis az nrgia (E) érték ttszőlgs lht. Thát míg kötött állapotban a részcsk diszkrét nrgiaértékkl rndlkzik, addig szabad állapotban bármilyn, vagyis a szabad állapotú részcsk nrgiaspktruma folytonos. 4. Vajon nnk a síkhullámnak mkkora a hullámhossza és frkvnciája? A síkhullám mint tudjuk- flírható a kövtkző alakban is: itkr r, t K, ahol : frkvncia, k : hullámszámvktor Thát: E E E f f h h Vagyis visszakaptuk a Planck-fél összfüggését. p p h k h p Itt pdig visszakaptuk d Brogli hipotézist. Ez nm mglpő, hiszn az anyag hullámtrmésztéből kövtkznk zk az gynltk, d ahogy flírtuk zkt, az még nm kövtkztt közvtlnül. Most viszont láthatjuk, hogy zk az gynltk tljsn mgfllnk annak, amit d Brogli állított. Végtln mély potnciálgödör A kövtkző potnciál a (0,a) intrvallumra korlátozza a részcsk mozgását: V()=, ha 0 0, ha 0 a, ha a ha <0 vagy >a akkor 0, hisz a részcsk a (0,a) intrvallumra van korlátozva. (Látni fogjuk, hogy zt csak végtlnül nagy potnciállal lht mgtnni.) A folytonosság miatt: (0)= (a)=0 A gödör blsjébn (a 0 a szakaszon) a Schrödingr-gynlt: átrndzv: ahol me=p. Ezt flhasználva: d E m d d me = d (S) Mgoldás: A sin p, d d p 8

19 mrt z az alak illszthtő lgkönnybbn a határfltétlkhz. Fizikailag z állóhullámot jlnt. (0)=0 tljsül, d szükségs (a)=0 fnnállása is: me a 0=Asin = n p mea n h n a p a=n, vagyis a hullámfüggvény: h 4 n n A sin a Thát az nrgia nm folytonos, hanm diszkrét értékkt vsz fl, konkrétabban az n h kvantumszám négyztévl arányos: E ma n 8 végs potnciálgödör: A részcsk végs valószínűséggl tartózkodik a klasszikus mozgástartományon kívül. ngatív kintikus nrgia. Grjszttt állapotban a klasszikusan mgngdtt mozgástartomány gys pontjairól viszont kiszorul a részcsk. Potnciállépcső gy dimnzióban Lgyn a potnciállépcső a kövtkző: 0, ha 0 V V, ha 0 0 Általános mgoldás az () tartományra hasonló, mint szabad részcskér: i p A B, p 0 Általános mgoldás a () tartományra, a lépcső blsjér: d V0 E ( időtől függtln gynlt) m d Átrndzv: d d m V E 0 i p 9

20 Tárgyaljuk azt az stt, ha V0 >E : A fő különbség a két, látszatra nagyon hasonló Schrödingr-gynlt között (a fnti S és a mostani között), hogy z utóbbi stbn az nrgia kisbb, mint a potnciál érték, vagyis a jobb oldalon az gyüttható pozitív. Ez pdig minőségilg más vislkdést rdményz. Ekkor a q m( V E) mnnyiség valós, hiszn V0 >E. 0 d q d d D=0 kll, hogy lgyn, mivl q q q C D, ha Ez azt jlnti, hogy a pozitív kitvő nm fizikai mgoldás. Végrdménybn a mgoldás: C q tartózkodási valószínűségsűrűség a. tartományban q * * C C C ( ) ( ) ( ) 8 m( V0 E) a részcsk valamlyst bhatol a. tartományba, d a valószínűség-sűrűség ponnciálisan lcsngő. Ez azt jlnti, hogy a részcsk lőbb-utóbb visszafordul; a visszavrődés tljs lsz. Bhatolási mélység: b az a távolság amlyn a tartózkodási valószínűség-sűrűség az -ad részér csökkn (0) ( b ) C 8m(V0 E) b - C ;a kitvőknk mg kll gyzni. 8m(V 0 E) b b 8m(V 0 E) A részcsk annál jobban b tud hatolni a klasszikus fizika szrint számára tiltott tartományba minél kisbb a tömg és minél kisbb a hiányzó nrgia. 0

21 Alagútffktus Végs vastagságú gát 0 ha 0 vagy a V() V0 ha 0 a E V 0 E Emlltt: E<V0 0 a G: annak a valószínűség hogy a részcsk átjuthat a gáton. Jó közlítéssl az alábbi formula adja mg: ( a) G (0) 8 m( V0 E) a Ez a kvantummchanikai alagútffktus. (A klasszikus mchanikában z az ffktus hiányzik.) A részcsk jó séllyl átjut a gáton (G nagy), ha m kicsi V0-E (azaz a hiányzó nrgia) kicsi, és a gát szélsség kicsi. Példák az alagútffktusra

22 . Vékony oidrétg vzt. V V0 E fém oid fém 34 0 b m(V E) z kb. gy oidrétg vastagsága. Körülblül gy rétg oid csökknti -vl az lktronsűrűségt.. Hidgmisszió Az lktronok a fém blsjébn gy potnciálgödörbn vannak, a gát végtln hosszúnak tkinthtő az lktron kijutási valószínűség zérus. Fszültségt kapcsolva a fémr, az így kialakult gáton az lktron végs valószínűséggl átjuthat. Gyakorlati alkalmazás: pásztázó alagútmikroszkóp. Wkilépé vákuum fém vákuum Alkalmazás: Pásztázó alagútmikroszkóp (scanning tunnl microscop) az gykristály hgyt mozogatják a flült fltt. Ahol a flültn domborulat van, a tűhgy közlbb krül a flülthz csökkn a potnciálgát nő a G átjutási valószínűség. Ekkor, hogy állandó értékn tartsák az áramot, a tűt ltávolítják a flülttől és zt a távolítást rgisztrálja a brndzés. Thát a tű nm ér hozzá a flülthz! gykristály hgy a végén gy atommal E ( külső lktromos flült 3. Mindn nrgiatrmlő rakció küszöb alatt indul. Ha V 0 < E, d V0-E kicsi, akkor a rakció ign lassan már folyik.

23 Például a magfúzióhoz kb. 00millió K hőmérséklt klln, d a napban csak kb. 0 millió K van, zért lassú a fúzió. V0 Ek E 4. - bomlás: Ev E U r k Z ( ) r Az részcsk lőbb-utóbb E r átjut a gáton. vákuum mag vákuum 5. Tunnl-magntorsistanc: A modrn GMR olvasófjkbn a két mágnss rétg között olyan vékony szigtlő rétg van, amlyn alagutazással jut át az lktron 6. Alagút-dióda: Van olyan U tartomány, ahol a fszültség növléskor csökkn az áram. 7. Josphson-átmnt a szupravztőknél: Vékony szigtlő rétgn fszültség nélkül is folyhat áram. Az impulzusmomntum A pályaimpulzusmomntum Az lktron atommag körüli mozgásához kapcsolódó prdült: L r P a klasszikus fizikában. Lz Py yp L ypz zpy L y zp P z A kvantummchanikában a fizikai mnnyiségkhz oprátort kll rndlni. Például: L P yp y z y i y i i 3

24 L z lőállítása gömbi polár koordináta-rndszrbn zt az alakot ölti. A többi komponns bonyolultabb, nm vsszük. Az atomfizikában az origót az atommaghoz rögzítjük, az a viszonyítási pont. Mivl gynlő a prdült nagysága? Vnni kll a koordináták négyztösszgét: L L L y L z azaz L L L y L z Az oprátor négyzt azt jlnti, hogy kétszr kll alkalmazni. Állítás: L, L y, L z gymással nm flcsrélhtő, d Pl: L L y L y L? L bármnyikkl flcsrélhtő. yp * * z zp y zp P z zp P z yp z zp y yp z zp zp y zp yp z P z zp y P z zp yp z P z yp z zp zp y P z zp y Csak a kanonikusan konjugált változók oprátorai nm csrélhtők fl. P * * z z yp P y zp z P y P y P * z z zp z yp P y Mivl a szorzat lső tagja gynlő i L z i L z Ez az oprátorok kommutátora. i -vl, a masodik pdig L z így a mgoldás: Kövtkzmény: L, L y és L z gyidjűlg nm határozhatók mg (mrt nincs szimultán sajátfüggvényük, zért nm lht mindhárom mnnyiségr nézv sajátállapot). viszont L és valamlyik komponns ( pl.: L z ) gyidjűlg mghatározható. Szimultán sajátfüggvénykkl gyszrr két sajátérték-gynltt is flírhatunk : L L amlyk gyidjűlg mgoldhatók. L L z z Mgoldás nélkül a végrdmény : L l( l ) l 0,,,... 4

25 L z m ög. m l, l,..., l szimultán sajátértékk Y lm (, ) szimultán sajátfüggvényk ( gömbfüggvényk ), ahol azimut, polársz Pl.: a.) lgyn l 0 kkor L 0 és L z 0 gyáltalán nincs impulzus momntum. b.) lgyn l kkor L és L z,ha m L z 0,ha m 0 L z,ha m. A kapott rdménykt bal oldalt ábrázoltuk. Ez gy amlybn sugarú gömb a flső kúp alkotóvktorainak hossza, nnk függőlgs vtült, z éppn mgfll az L z ha m stnk az alsó kúp alkotóvktorainak hossza, függőlgs vtült, z mgfll L z ha m stnk a középn lévő kör pdig a L z 0, m 0 stnk fll mg. Kövtkzttés: Pl.: a kitüntttt iránnyal az =? Lz cos L 45 hasonlóan lvégzv a többi stbn is 45 m 90 m 0 35 m L impulzusvktor nm zárhat b akármilyn szögt. IRÁNYKVANTÁLÁS : ttszőlgsn flvtt iránnyal a rndszr impulzusvktora nm zárhat b akármilyn szögt. (Nobl-díj az igazolásáért) 5

26 Határozatlanság itt is van! Ha ismrt az bizonytalan. A vktort jllmző 3 adatból gyidjűlg. L vktor gy komponns, a többi ( a másik kttő ) már csak kttő határozható mg, y, z vagy r,, Itt mghatároztuk r -t, -t, d határozatlan maradt. Az impuzusmomntum-vktor nm határozható mg tljs pontosággal! Mi a hlyzt cntrális mzőbn? Ekkor L mgmaradó mnnyiség, mivl nincs forgatónyomaték. A potncális nrgia csak a cntrumtól mért r távolság függvény. Vr Vr Ekkor E és gy ttszőlgsn választott L impuzusmomntum-komponns-oprátor, L,, Ly Lz flcsrélhtő. Ennk kövtkzmény: vannak szimultán sajátfüggvényi, sajátállapotaik gyszrr létznk., E L, A korábbiakat is hozzávév: oprátorok szimultán sajátfüggvénykkl rndlkznk, azaz gyidjűlg mghatározottak a rndszrr nézv (d kkor az és az y komponns nm határozható mg, kivév, ha L=0). Ennk kövtkzmény: E, L és Lz gyidjűlg mghatározott értékkkl rndlkznk. A sajátfüggvény alakja:,, L z Ez bármiyn cntrális mzőbn igaz. (Mgjgyzés: klasszikus fizikában E és r f r Y l, m, ahol Yl,m(,) gömbfüggvénykt jlöl. L állandó a cntrális mzőbn). A spin 95. Goudsmit és Uhlnbck: az lktron rndlkzik saját impulzusmomntummal ( a pörgés miatt ). Ez a SPIN. Jl: S J L S J L S : tljs impulzusmomntum : pálya impulzusmomntum : spin Az impulzusmomntumra vonatkozó sajátérték gynltnk a spinr is igaznak kll lnni: S S S z S Mgoldás: (lvztés nélkül, csak a sajátértékkkl foglalkozva) S s s ( ) d s z S z m S m S azaz m S és m S 6

27 azaz kétfél bállás létzik. A spinvktor nagysága bhlyttsítéssl adódik: 3 3 ( ) S S 4 Továbbá S cos S z S ( ) ( 3 ) 3 Thát a spinvktor függőlgssl bzárt szög: cos 54, A kvantumszámok rndszr kigészítndő gylktronos atomok stén: n, l, m, ms ms: SPINKVANTUMSZÁM. Thát szigorúan vév nm a spin a kvantumszám, mrt az mindig ugyanannyi, hanm a spin-vtült. Ennk flhasználásával: S z m S m S vagy m S A nmrlativisztikus kvantummchanika nm tudja lvztni vagy mgindokolni a spin létzését, d aiómaként llntmondásmntsn bvhtő az lméltb. A rlativisztikus kvantumlméltből kijön a spin lét (a spin gy rlativisztikus ffktus). Nm az lktron forgásából származik, hanm gy lválaszthatatlan (vlszülttt) tulajdonság. A mágnss momntum Az atommag körül kringő lktronnak nmcsak impulzusmomntuma (prdült), hanm mágnss momntuma is van. Korábban láthattuk, hogy a köráram mágnss momntuma: m IA IAn, ahol A nagysága a körlap trült( r ), iránya a jobbkézszabály szrint mrőlgs a körlapra, I pdig a kringő lktron által képvislt áram. 7

28 dq I dt T A későbbikbn M T r v lgyn a jlölés v v M r n rn r Ezkkl a kringő lktron mágnss momntumának nagysága: Tkintv, hogy az m tömgű klasszikus lktron prdülténk nagysága: M mvrn L m m vr M. L m vr, Az lktronokra a ngatív töltésük miatt trmésztsn m és L llntéts irányú. Bár klasszikusan vzttük l, z az összfüggés a kvantummchanika szrint is igaz marad, még akkor is, ha ott szó sincs kringésről. A z-komponnsr hasonlóan kapjuk: M z Lz ; Lz= m m azaz Mz= m m ; m 0; ;... 4 Vzssük b a B 9,7 0 J / T Bohr-magntonnak nvztt mnnyiségt, kkor az m gynlt gyszrűbbnk néz ki: m,...,,0,,..., Mz= Bm ; azaz a mágnss momntum z-komponns is kvantált, lgkisbb gység thát a Bohr-magnton. A spin stén a mérésk (és a haladottabb lmélt szrint) más a hlyzt, ugyanis a spinhz tartozó mágnss nyomaték kétszrs, thát: MS S. m A z komponnsr: Z M S B m m ms m m s thát mágnss szmpontból a spin "duplán számít". Az lktron tljs mágnss momntumát és annak z komponnsét a vktorok, ill. a komponnsk összadásával kapjuk: M m L m S M m L m S Z Z Z ( LZ SZ ) m Érdksség: Kvantumlktrodinamikai korrkciók miatt a valóságban az lktron mágnss momntuma z irányú komponnsénk lgkisbb érték nm pontosan gyzik a Bohr-magntonnal. Z A pontos érték: M S B A kvantumlktrodinamikai lmélti számítás a kísérltilg mért értékkl számjgyig mggyzik. Ez ign ritka pontosságot jlnt. m S z. 8

29 Az gylktronos atom kvantummchanikai modllj (Hidrogénatom, ha Z=, más stbn ion) mag töltés: +Z Vr k Z r r lktron (Vonzó kölcsönhatás stén a Coulomb-potnciál ngatív). Az időfüggtln Schrödingr-gynlt a kövtkző: Z k E; m r a gömbszimmtria miatt úgy gyszrűbb kzlni a problémát, hogy az r,, gömbi r,,, polárkoordinátákra térünk át, thát a hullámfüggvény új változói: kkor prsz a Laplac oprátort is át kll transzformálni, zt nm részltzzük. A (stacionárius) mgoldások a kövtkző (szparált) alakban állnak lő: r,, R r, Y, n, l l, m ahol az n,l,m paramétrkt kvantumszámoknak nvzik. Az lktronok jllmzésér thát nm célszrű a koordinátáikat és a sbsségükt használni, hlytt az ún. kvantumszámokat használjuk, amlyk a hullámfüggvény paramétri. Később látni fogjuk, hogy a kvantumszámokkal a többlktronos atomok lktronjait is jllmzhtjük, d csak közlítőlg, mivl gzakt jlntésük csak az gylktronos atomra (a H atomra) van: n főkvantumszám: mghatározza az lktron nrgiáját (a Bohr modlll kapott képlt szrint): * n Z E n, * ahol,8aj és n=,, 3, 4, (az zknk mgfllő héjakat sokszor K, L, M, N, btűkkl jlölik). A főkvantumszám mghatározza azon flültk számát is, amlykn a hullámfüggvény zérus értékt vsz fl (csomóflültk). mllékkvantumszám: mghatározza az lktron (pálya)impulzusmomntumának nagyságát:, ahol 0,,...,n L ( ). Ez határozza mg a pálya, az lktronflhő szimmtriáját ( 0 stén gömbszimmtrikus, -r inkább propllrhz hasonló). (A Bohr-modll L n fltvés thát hlytln.) A könnybb áttkinthtőség kdvéért az 0,,,3,... alhéjakat sokszor az s, p, d, f, btűkkl jlölik. m: mágnss kvantumszám: mghatározza az lktron (pálya)impulzusmomntumának z irányú komponnsét: L m m,...,,0,,...,. Ezáltal mghatározza a pálya irányítását, z, ahol pl. -r a propllr nm állhat akármilyn irányban, csak néhány jól mghatározottban. Ez az iránykvantáltság a klasszikus mchanikához képst új lm. s: spin-kvantumszám: mghatározza az lktron saját impulzusmomntumának z komponnsét: Sz ms, ahol m s,. A saját impulzusmomntum az lktron blső tulajdonsága, a z 9

30 tnglyhz képst kétfélképpn állhat és vtülténk nagysága fl a pályamomntum minimális (d nm zérus) vtülténk. a függvény alakja: 00 K Ar A többi függvény nm gömbszimmtrikus: pl: n= l= 0 m= 0 a hidrogén alapállapotban 0 impulzusmomntummal rndlkzik. n= l= 0 m= 0 vagy l= m= - vagy m= 0 vagy m=, z az állapot négyszrsn dgnrált! Az iránykvantáltság bizonyítékai Korábban láttuk, hogy a mágnss momntum ugyanolyan módon kvantált, mint az impulzusmomntum, blértv az iránykvantáltságot is. Viszont a mágnss momntum 30

31 (llntétbn az impulzusmomntummal) gy jól mérhtő mnnyiség, mrt kölcsönhat a mágnss mzővl. A kölcsönhatás nrgiája: E p mb. Ep mz B B Bm Ha a mágnss indukció a z tngly irányába mutat, akkor:, ahol m,...,,0,,..., gész szám. A mágnss nrgia adagosságát két alapvtőn különböző kísérlt is igazolja: a Zman-ffktus és a Strn-Grlach kísérlt. A Zman-ffktus Mgfigylés: A mágnss mzőb hlyztt atom színképvonalai flhasadnak. Magyarázat: mágnss tér hiányában az atomi nrgiaszintk nm függnk a mágnss kvantumszámtól, (homogén vagy inhomogén) mágnss térbn azonban ign. mb mágnss nrgia, ami az m mágnss kvantumszám lőjlénk mgfllőn Az E p Ep B Bm ngatív és pozitív is lht:, vagyis a mágnss mző ltolja, flhasítja az rdti szintkt. A foton kibocsájtása során amikor az atomi lktron alacsonyabb nrgiaszintr krül - a mágnss kvantumszám vagy nm változik, vagy ggyl változik, thát Ep 0 vagy B B f E. Ezn átmnt során kibocsájtott foton frkvnciája h, nnk B f 0 vagy B ltolódása a mágnss mzőb hlyztt atom stébn h lht. A színképvonalak bbn a modllbn thát háromflé hasadnak. Ha gy olyan lktront tkintünk, amlynk nincs pályamomntuma, csak spinj, akkor a kétfél spin-bállás két különböző nrgiát jlnt. Mgjgyzzük, hogy z a Zman-ffktus lggyszrűbb formája, általános stbn az lktronok spinj nagyon mgbonyolítja a folyamatot. Strn-Grlach kísérlt Ez a kisérlt már közvtln bizonyítékkal szolgált az iránykvantálásra. A kísérlt során gy "kályhát" használunk ami Ag atomokat állít lő. Ezt az "atom sugarat" inhomogén mágnss mzőn vztjük át és azt tapasztaljuk hogy hogy a sugár két részr hasad vagyis az rnyőn két foltot látunk, holott a klasszikus mchanika szrint gy lmosódott foltot klln látnunk. Fontos hogy atomokat rsztünk át a mágnss mzőn és nm lktronokat hiszn bbn az stbn az lktronok körpályára állnának a két mágnss pólus között. A kísérlt lvi rajzát az alábbi ábrákon láthatjuk. A flvtt irányok ttszőlgsk a mi stünkbn a kis koordináta rndszrk jlölik zkt. 3

32 Inhomogén mágnss térn áthaladó atomnyaláb több (pl. két) lkülönült ágra szakad. Az inhomogén mzőt az ábrán különlgs alakú mágnss pólusokkal hozzák létr. Az atomnyaláb középn az lrndzés szimmtriasíkjában halad. Magyarázat: inhomogén mágnss mzőbn a mágnss momntumokra irányításuktól függőn F Ep mb rő hat:. Figylmb vév, hogy a nyaláb hlyén a mágnss indukció fölflé B Fz Bm (a z tngly irányába) mutat és bbn az irányban is változik lginkább: z. A vízszintsn induló atomokra thát annyifél függőlgs ltérítő rő hathat, ahányfél mágnss kvantumszámuk lht. Ez pdig az atomnyaláb m db ágra szakadását jlnti. A kísérltt lőször züst atomokkal végzték l. Az züst atomban a lzárt héjakon kívül csak gy db (5s) lktron van, mlyr n=5, =0. Ennk a pálya-impulzusmomntuma 0, d a spinj ½, ms amly kétfélképp állhat b ( ). Ez az rő képltébn csak annyi változást jlnt, hogy az m m hlyéb s írandó (mrt a spinhz tartozó mágnss nyomaték kétszrs), thát B Fz B z. Ennk mgfllőn az züstnyaláb a kísérltbn két ágra szakadt szét. Kvantumstatisztikák Azonos részcskék: pl.: Egy atom tartalmaz N db lktront, hullámfüggvény:,, r r r N Az atomban flcsrélünk két lktront:.. a hullámfüggvény:,, r r r N Két lktron flcsrélés smmilyn mérhtő fizikai mnnyiségr nm lht smmilyn hatással. Matmatikailag csak abban nyilvánulhat mg a flcsrélés, hogy kap gy gységnyi abszolút értékű i fázisszorzót r, r,..., r N = r, r,..., r N r, r, r N = i i r, r, r N ; Ha most visszacsréljük a két lktront. 3

33 i r r r,, N = i r r r N,, = i r r r,, N, thát. A valóságban mindkét lhtőség mgvalósul, attól függőn, milyn részcskéről van szó. i. ha akkor a hullámfüggvény szimmtrikus a. részcsk flcsrélésér. bozonok, a spinvtültük gész számú többszörös. (Pl.: fotonok, gys atomok, pl. H).. Ha i frmionok spinvtültük akkor a hullámfüggvény antiszimmtrikus a két részcsk flcsrélésér. illtv - lht (pl.: lktron, proton, nutron). A frmionokra, így az lktronra is érvénys a Pauli lv, mlynk általános alakja: A trmésztbn csak antiszimmtrikus lktronállapotok valósulnak mg. Ugyanis tgyük fl, hogy két lktron ugyanabban az állapotban van: D az antiszimmtria miatt (r, r, r,...) (r, r, r,...) 3 3 (r, r, r,...) (r, r, r,...) 3 3 Vagyis a hullámfüggvény gynlő önmaga mínusz gyszrsévl, ami csak úgy lhtségs, hogy a függvény azonosan nulla, vagyis ilyn rndszr nulla valószínűséggl létzik. Bármly két változóra különbözni kll a függvénynk, mrt különbn az antiszimmtria nm tljsül. A klasszikus-, a Bos-Einstin- és a Frmi-Dirac statisztika Emlékzttő A fázistér gy olyan absztrakt tér, amly a hly- és sbsségkoordinátákból van összrakva. Tömgpont háromdimnziós mozgása stén 3+3 időfüggő adat írja l a tömgpont aktuális állapotát. Ezt a 6 adatot, mly lírja a mozgást, ábrázolhatjuk gy hatdimnziós koordinátarndszr gy pontjaként. Thát a fázistérbn a dinamikai rndszr összs lhtségs állapotai szrplnk, méghozzá a rndszr mindn gys lhtségs állapota a fázistér gytln pontjának flltthtő mg. A Boltzmann statisztika alapfltvési voltak:. Az azonos részcskék mgkülönböztthtők.. A fázisclla ttszőlgsn kicsir választható (azaz a fázistér gymáshoz ttszőlgsn közl lévő pontjai mgkülönböztthtők). 3. Egy cllában ttszőlgsn sok részcsk lhlyzhtő. A kvantummchanikának mindhárom alapfltvéssl szmbn llnvtési vannak: A mikrorészcskék mgkülönböztthttlnk Nm hordoznak ismrttőjgykt, nm kövthtő a pályájuk 33

34 U V p p p y z p p y p z y z y z 3 mivl p pyy pzz. Thát 3 a fázisclla nm lht ttszőlgsn kicsi Igaz a szimmtrikus hullámfüggvényű részcskékr (bozonokra) Bos-Einstin statisztika igaz rájuk Nm igaz az antiszimmtrikus hullámfüggvényű részcskékr (frmionokra) Frmi-Dirac statisztika igaz rájuk pl.: részcsk 3 cllában: Hány lhtőség van? Boltzmann Bos-Einstin Frmi-Dirac ab ** * * ab ** * * ab * * * * a b * * b a * * a b ** b a a b b a Ezkből itt nm részltztt módon adódnak az loszlásfüggvényk. Lgyn zi a fáziscllák száma az Ei állapotban. Boltzmann: N i i A E i z kt (A : a részcskszámra vonatkozó mllékfltétlből számolható) zi Bos-Einstin: Ni Ei kt A zi Frmi-Dirac: Ni Ei kt A ahol az A állandó a hőmérséklttől függ, az gys loszlásokra külön számítható. Mgjgyzésk: 34

35 , Ha az ponnsbn nagy szám szrpl, akkor kt A, azaz a három statisztika ugyanarra az rdményr vzt. Ebbn az stbn a kvantumstatisztikák tartanak a klasszikushoz. A klasszikus (Boltzmann) akkor jó közlítés, ha E i lég nagy, és a részcskék nincsnk nagyon sűrűn. Most már érthtő, hogy miért adott hlys rdményt a Boltzmann statisztika nm túl szélsőségs állapotú gázokra. Thát a nagy nrgiás állapotok mindhárom statisztika szrint kb. ugyanúgy vannak btöltv, zért az gyszrűbb Boltzmann statisztikát lht használni. Az loszlás nagynrgiás részét Boltzmann-faroknak is nvzik., Ha E i kicsi vagy ign nagy a sűrűség, akkor nm alkalmas a Boltzmann statisztika (a gáz nm tkinthtő idálisnak - lfajult gáz) Az atomok Bos-kondnzációja: Ign alacsony hőmérsékltn az összs atom gytln (nrgia)fáziscllába rakható. Ez a 90-s évk atomfizikájának ign lénygs rdmény. Lénygébn a Bos kondnzáció témaköréb tartozik néhány makroszkopikusan is mgnyilvánuló kvantummchanikai ffktus: a szuprfolyékonyság és a szupravztés.. Bos Einstin-statisztika alkalmazása fotongázra Ei Fotonok: gymástól mgkülönböztthttlnk, gy fáziscllába ttszőlgs számú krülht. Nincs részcskszám mgmaradás lőírva (kltkzhtnk, ltűnhtnk szabadon). Ez utóbbi kövtkzmény, hogy A =. (bizonyítás nélkül) 3. Frmi-Dirac-statisztika alkalmazása "lktrongázra" EF nv : Frmi-nrgia Az a részcskszámra vonatkozó mllékfltétlből kijön 35

36 Nézzük mg, hogy általában gy fáziscllában hány részcsk lsz! Azaz mivl gynlő az btöltési valószínűség A Frmi-loszlás: EF nél a fáziscllák éppn 50%-a van btöltv. T 0 stbn a Frmi-szint alatti állapotok mind btöltv, fölött ürsk. Az lktronok többségénk az nrgiája nm változik a hőmérséklttl. Kövtkzmény: A fémk fajhőjéhz a szabad lktronok csak lhanyagolható járulékot adnak. (pl.: 000K nél a járulék %) A fémbn lévő szabad (vztési) lktronokra nm érvénys az kvipartíció tétl, lgfljbb azzal a mgkötéssl, hogy az lktronok többségénk nincs szabadsági foka. Összfoglalás: A fizikában három katgóriát használnak a részcskék lírására:. Klasszikus részcskék: mgkülönböztthtők, gy fáziscllában ttszőlgsn sok lht, Boltzmann-statisztika.. Bozonok: Mgkülönböztthttln részcskék, gy fáziscllában ttszőlgsn sok lht, szimmtrikus a hullámfüggvényük, Bos-Einstin statisztika érvénys. Ezk fllősk a kölcsönhatások közvtítéséért, őkt nvzhtjük a világ építőkövi közötti ragasztónak vagy habarcsnak. 3. Frmionok: Mgkülönböztthttln részcskék, gy fáziscllában csak két részcsk lht llntéts spinnl, antiszimmtrikus a hullámfüggvényük, Frmi-Dirac statisztika érvénys. Ezkt nvzik a világ építőkövink ( két tégla nm lht gy hlyn ). Alkalmazás: paramágnss szuszcptibilitás 36

37 Hlyhz kötött atomok lzáratlan blső lktronhéjaiból adódó mágnss momntumokat vizsgálunk. Fltétlzzük, hogy a szuszcptibilitás kicsi, zért a B mágnss indukciót µ0h-val közlítjük. Egy m momntum nrgiája a H külső térbn kkor E mh Az gyszrűség kdvéért vizsgáljuk a spinmágnssség stét, vagyis amikor két lhtségs bállása van a mágnss momntumnak. Az gyik nrgiája a külső tér nélküli állapothoz képst pozitív, a másik ngatív. Ha a külső tér flflé mutat: E E 0 0mH és E E 0 0mH Mivl hlyhz kötött, azaz mgkülönböztthtő részcskékről van szó, a Boltzmann statisztikát alkalmazzuk. A két nrgiaszint btöltési számai: N E kt és N A 0 A E kt d N N N, ahol N az összs momntumok száma, ami állandó, vagyis Bhlyttsítés után az E0 kisik, így: N N 0mH 0mH kt kt A rndszr rdő mágnss momntuma: ahol m A 0mH kt E kt és N E kt N m N m N m N 0mH 0mH kt kt gy atom flflé álló mágnss momntuma. A mágnszttség: 0mH 0mH kt kt 0mH kt m m N 0mH M m N N N m th 0mH 0mH V V V V kt kt kt Az ponnciális függvényt sorba fjtv gyng térr ( mh kt 0 ) kapjuk, hogy Azaz M N mh 0 M m V kt H ahol a szuszcptibilitás fordítottan arányos a hőmérséklttl: Nm 0 V kt Az is mgjgyzndő, hogy a szuszcptibilitás gynsn arányos a mágnss momntum nagyságának négyztévl, thát szuprparamágnss nanorészcskéknél jóval nagyobb, mint paramágnss atomoknál. 0 mh kt Ha a tér rős, az tagok lhanyagolhatóvá válnak, kkor a mágnszttség konstanshoz tart. Ha nm azt tétlztük volna fl, hogy kétfél momntum-bállás van, hanm azt, hogy a kttő között folytonosan bárhogy bállhatnak a momntumok, kvalitatív akkor is nagyon hasonló rdménykt kaptunk volna. 37

38 A többlktronos atomok Az gylktronos atomra lmélti úton gzakt rdmény kapható. A többlktronos atomok kllőn pontos lírása viszont a kvantummchanika lgnhzbb problémái közé tartozik. E lírás, különösn nagy rndszámú atomok stén, csak hatékony közlítő módszrkkl lhtségs. Látni fogjuk, hogy a lgáltalánosabban használt közlítésbn gy atom mindn lktronját gy-gy, a H- atom lktronjának lírásakor már bvált kvantumszám-négyssl írjuk l. Már a kétlktronos atom st is csak numrikus közlítéssl oldható mg, d ttszőlgs pontossággal. Az időfüggtln Schrödingr-gynlt: k Z k k Z E m r r r, m Z Z k k r r k r, kintikus nrgia a mag és lkrton kölcsönhatás lktron lktron kölcsönhatás Még több lktron stén sokkal több tag van a Hamilton-oprátorban: N N N N i k Z k E m i i ri i j rij i j ahol r, r,..., rn : a hlykoordináták függvény 3N darab változó szrpl a függvénybn. Például vas stén N=6. Ha gy-gy változó 00 pontjában tároljuk a függvényértékkt (nnyi a mgfllő pontossághoz fltétlnül szükségs), akkor összsn N 3* darab 38

39 függvénypontról van szó. Mkkora számítógép kll nnyi adat tárolásához? kg 0 6 atomból áll naprndszr 0 30 kg galais 0 naprndszr világ 0 galaist tartalmaz thát világ 0 78 atomból áll Mivl gy függvényérték tárolásához lgalább gy atom kll (sőt blátható időn blül gynél jóval több), zért kkora számítógép lvilg sm építhtő, és még nm is bszéltünk arról, hogy diffrnciáloprátorokat klln hattatni rr a függvényr. Thát átlagos atommért stén pusztán numrikus közlítő módszrrl nm oldható mg a probléma. Másfajta, hatékonyabb, fizikai alapokon álló közlítés szükségs! Közlítés gyrészcsk hullámfüggvénykkl (függtln részcsk közlítés). A hullám fgv-t gyrészcsk hullámok szorzataként képzljük l. r, r,..., r r r... r N N N Ezt a függvényt már könnybbn tudjuk tárolni. Így ha gy darab -t 00 3 =0 6 ponton ábrázolunk, az összsn N*0 6 pont. A számítás azonban nm gyszrű. A közlítésbn a Schrödingr-gynlt szétsik N darab különálló gynltr. N i k Z k m r i ri E i ri i j rij i j Itt nm részltztt módszrrl az gynlt numrikusan mgoldható. Az rdmény: néhány százalékra pontos nrgiaértékk kaphatók. A lgfontosabb változás, hogy az nrgia most már a főkvantumszám mlltt a mllékkvantumszámtól is függ. Konkrétabban, ugyanazon n-r -ll növkszik az nrgia: E n, <E n, + Ez azt jlnti, hogy a kvantumszámok jlntés módosul gy kicsit. Oka: Ha több lktron van, a blső lktronok taszítják a külsőkt, vagyis lárnyékolják számukra az atommag vonzását, zért a potnciális nrgia abszolút értékbn csökkn. A magasabb értékű lktronok pályája távol van a gömbszimmtriától, zk az lktronok átlagosan távolabb vannak a magtól és így jobban érzik a lárnyékolást, thát a mag Coulomb-vonzása csökkn, a potnciális nrgia abszolút értékbn csökkn, az össz-nrgia nő. 39

40 Látható, hogy z a függés nm lhanyagolható, hanm olyan mértékű, hogy a nagyobb főkvantumszámú lktronnak kisbb lht az nrgiája: E(s)< E(p)< E(3s)< E(3p)< E(4s)< E(3d) A tljs sorrnd, nagyobb btűmérttl jlölv a sorban hátrébb csúszott állapotokat: s, s, p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p Mgjgyzés: ma már zrléknél is pontosabb közlítésk is vannak, amlyk számos itt nm tárgyalt hatást is figylmb vsznk. Ezk ismrttés mghaladja tárgy krtit. A priódusos rndszr A kövtkző törvénykt tkinttb kll vnnünk:. Pauli lv: (függtln részcsk közlítésbn) ugyanazzal a n, l, m, m s kvantumszám négyssl nm rndlkzht két lktron gy atomon blül.. Enrgiaminimumra való törkvés, azaz a létző nrgiaszintk alulról kzdv töltődnk fl. 3. Hund-szabály: azonos nrgiájú szintk közül a térblilg különbözők töltődnk b lőször. Így vannak az (gymást lktrosztatikusan taszító) lktronok a lgmsszbb gymástól. Ráadásul az rdő spinvtült maimális, thát az lktronok lőször különböző mágnss és mggyző spinkvantumszámmal krülnk az atomba, ahogy z az alábbi táblázatban is látható pl. a nitrogén sorára tkintv. Elm Elktronkonfiguráció Utolsó lktron kvantumszámai Erdő spin vtült n l m m s H s 0 0 pl.:/ ½ H (s) 0 0 -/ 0 Li (s) s 0 0 / / 40

41 B (s) ( s) 0 0 -/ 0 B (s) ( s) p / / C (s) ( s) ( p ) 0 / N (s) 3 ( s) ( p ) - / 3/ O (s) 4 ( s) ( p ) -/ F (s) 5 ( s) ( p ) 0 -/ / N (s) 6 ( s) ( p ) - -/ 0 Na (s) 6 ( s) ( p) 3s / / Ha thát (képzltbn) a +Z töltésű atommaghoz gysévl adagoljuk az lktronokat, akkor az lső lktron a lgkisbb nrgiájú, azaz az s állapotba mgy (n=, l=0, m=0 és pl. ms=/). A második lktron még mht az s állapotba, mrt ms=-/ is lht. A harmadik lktron már nm fér b az n= állapotba, zért az ggyl magasabb nrgiájú, az n= főkvantumszámú állapotba fog mnni. Számoljuk össz, hogy z az állapot hányfél kvantumszám kombinációban tölthtő b, azaz hány lktron fér l rajta. Ha n=, akkor kétfél értékt vht fl: 0 és. Ezn blül =0- ra m=0, mivl ms-nk két lhtségs érték van, z két lhtőség. n=, =-r m háromfél lht -, 0 és, a spin miatt kttővl szorozva 6 lhtőség, azaz összsn 8 lhtségs kombináció. Thát az n= főkvantumszámú héjon ma. 8 lktron lht, azaz összsn 8 olyan kémiai lm lhtségs, amlynk lgkülső lktronja az L héjon van. A priódusos rndszrr pillantva láthatjuk, hogy az lső sorban valóban, a másodikban 8 lm van. Ha az nrgia nm függn a mllékkvantumszámtól, akkor a harmadik sorban már 8 lm lnn, mrt az argon után lkzdn btöltődni a 3d alhéj. Viszont a valóságban a 4s alhéj mélybb 4

42 nrgiájú, thát az argon után ismét gy, a nátriumhoz hasonló vislkdésű alkálifém, a kálium kövtkzik. Ei ionizációs potnciál: az az nrgia, amllyl a lglazábban kötött lktron lszakítható a smlgs atomból. Az ionizációs potnciál, mint a lgtöbb atomi tulajdonság a rndszámnak priodikus függvény. Ezk a tulajdonságok a lgkülső lktrontól függnk. A lézr (utolsó ZH anyagának gy kis rész) Indukált misszió Az atomokban az lktronok diszkrét nrgiákkal rndlkznk, és nrgiaminimumra törksznk. Mint ismrts, abszorpció folyamata során az atom lnyl gy fotont, és nnk kövtkztébn az gyik lktronja gy alacsonyabb nrgiájú állapotból gy magasabb állapotba krül. A grjszttt állapot élttartama általában ~0-8 s, az úgynvztt mtastabil állapotoké ~0-3 s. A fordított folyamatot spontán missziónak nvzzük, kkor az lktron magától gy alacsonyabb nrgiaállapotba krül, és az atom kibocsát gy nnk mgfllő nrgiájú fotont: hf Einstin 96-ban mgjósolt gy harmadik folyamatot, az indukált missziót. Ilynkor az atom grjszttt állapotban van, és lhalad mlltt gy olyan nrgiájú foton, amit ő maga is ki tudna bocsátani. Ez a foton indukálhatja, hogy az atom grjsztttség mgszűnjön misszió révén. E hf E hf E hf hf E hf E abszorbció E misszió indukált misszió Az abszorpció, az misszió, és az indukált misszió jlnség A kltkző foton az rdtivl mggyző frkvnciájú, vl azonos irányban halad, fázisuk azonos, thát úgy is tkinthtő, mintha az rdti foton mgduplázódott volna. Az ilyn tulajdonságú fotonok kohrnsk. A lézr működés 4