PANNON EGYETEM GAZDÁLKODÁS- ÉS SZERVEZÉSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA Badics Tamás ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK PhD értekezés Témavezető: Dr. Medvegyev Péter Veszprém, 2011.
ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK Értekezés a PhD fokozat elnyerése érdekében a Pannon Egyetem Gazdálkodás- és Szervezéstudományok Doktori Iskolájához tartozóan Írta: Badics Tamás A jelölt a doktori szigorlaton 100%-ot ért el, Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve:...... igen/nem... (aláírás) Bíráló neve:...... igen/nem... (aláírás) Bíráló neve:...... igen/nem... (aláírás) A jelölt az értekezés nyilvános vitáján... %-ot ért el. Veszprém... (a Bíráló Bizottság elnöke) A doktori oklevél minősítése...... (az EDT elnöke)
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 6 1.1. Az alaptétel............................... 6 1.2. Az értekezés felépítése és újszerű eredményei............. 16 2. A Delbaen Schachermayer-tétel előzményei 20 2.1. Az általános egyensúlyelmélettől az arbitrázsárazásig........ 21 2.1.1. Az Arrow Debreu-egyensúly.................. 21 2.1.2. A Radner-egyensúly...................... 25 2.1.3. Arbitrázsmentesség....................... 29 2.2. Életképesség és a Kreps Yan-tétel................... 31 2.3. A sztochasztikus folyamatok általános elmélete................................. 39 3. A pénzpiac modellje több periódus esetén 47 3.1. Pénzpiac végesen generált valószínűségi mező esetén......... 48 3.1.1. Önfinanszírozó kereskedési stratégiák............. 48 3.1.2. Ármérce-invariancia....................... 50 3.1.3. Az arbitrázs fogalma...................... 52 3.2. A Dallang Morton Willinger-tétel................... 54 3.3. Folytonos idejű pénzpiacok....................... 55 3.3.1. Önfinanszírozó portfóliók.................... 55 3.3.2. Ármérce invariancia....................... 57 4. Alaptétel szemimartingál modellben 61 4.1. Néhány előzetes eredmény....................... 68 4.1.1. A kompaktsági lemma..................... 68 4.1.2. Az L 0 korlátos és zárt részhalmazainak van maximális eleme 73 i
4.1.3. Gyenge* topológia és a sztochasztikus konvergencia..... 77 4.2. Mémin tételére való visszavezetés................... 80 4.2.1. A sztochasztikus integrálok értékének kiterjesztése a végtelenbe............................... 81 4.2.2. A lehetséges kaszálások terének korlátossága........ 83 4.2.3. A C 0 Fatou-zártsága és a C gyenge* zártsága........ 85 4.2.4. A maximális elem és a Fatou-zártság............. 85 4.2.5. A közelítő sorozatok egyenletes konvergenciája........ 86 4.3. A szemimartingál topológiában konvergens sorozat létezése..... 91 4.3.1. Új mértékre való áttérés.................... 91 4.3.2. Néhány egyszerű becslés.................... 93 4.3.3. Néhány szörnyű becslés..................... 96 4.3.4. A szemimartingál topológiában konvergens sorozat meghatározása......................... 113 4.4. Az alaptétel többdimenziós szemimartingál modellek esetén..... 121 5. Martingálmérték és optimális portfóliók 128 5.1. A portfolió választás duális megközelítése véges dimenzió esetén.. 129 5.1.1. A haszonmaximalizációs probléma............... 129 5.1.2. A minimaxmérték........................ 131 5.1.3. Lagrange-dualitás........................ 132 5.2. A portfolióválasztás duális megközelítése végtelen dimenzió esetén. 137 5.2.1. A C kúp és a martingálmértékek halmaza közti duális kapcsolat.............................. 137 5.2.2. A haszonmaximalizálási probléma és a duálisa........ 140 5.2.3. A minimaxmérték........................ 142 6. A Frittelli-féle alaptétel 145 6.1. Arbitrázs és preferenciák........................ 145 6.1.1. A sztochasztikus dominancia.................. 145 6.1.2. A no market free lunch fogalma............... 147 6.2. Az alaptétel............................... 149 7. Arbitrázsfogalmak karakterizációja 153 7.1. Az arbitrázsmentesség és NFLVR................... 154 7.2. Az Orlicz-terek elmélete........................ 155 ii
7.3. A "nincs ingyenebéd" feltétel..................... 156 7.4. Az életképesség egy újabb megközelítése............... 158 8. Az állapotár deflátor és az egy ár törvénye 159 8.1. Az egy ár törvénye kétperiódusos modellben............. 159 8.2. Állapotár deflátor és kockázati prémium............... 160 8.3. Az egy ár törvényének karakterizációja................ 163 9. Összegzés 165 10.További kutatási lehetőségek 168 A szerzőnek az értekezés témájához kapcsolódó publikációi 170 Irodalom 171 iii
Ábrák jegyzéke 1.1. A martingálmérték geometriai interpretációja............ 13 5.1. Konkáv függvény duális leírása..................... 130 iv
Abstract This dissertation deals with the foundation of the theory of asset pricing in a frictionless market under the most general assumptions. At this level of abstraction, the pricing techniques, treated in the known monographs on mathematical finance (e.g. [80], [33], [60] and [9]) do not work, so the semimartingale theory consists mainly of existence statements. One of the most important problem of asset pricing is the mathematical characterization of the economically consistent models of financial markets. From the economic point of view the assumption of no-arbitrage i.e. the assumption that one cannot do business in which one can only gain with strictly positive probability but without exposure to risk seems a fairly mild condition and it is astonishing what far-reaching consequences it has. Under the Fundamental Theorem of Asset Pricing we mean such types of statements which assert an equivalence between the above-mentioned consistency condition and some mathematical properties of the stochastic process describing asset prices. The fundamental theorem of asset pricing, loosely speaking, asserts that the absence of arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent probability measure, under which the discounted price process is a "martingale", which means that there is a new fictive probability the martingale measure under which one can t systematically gain on average. It will be showed, the martingale measure play important role both in the theory of complete and incomplete markets. The aim of the dissertation is to survey the literature and the mathematical and economic antecedents of the fundamental theorem of asset pricing for semimartingale models, to present a didactic unified treatment of the semimartingale approach of asset pricing and to simplify some of the original proofs. A new feature of the dissertation is that it does not focus on questions of pricing but on the relations of the arbitrage theory and the classical theory of economics.
Estratto Questa tesi si occupa della fondazione della teoria della valutazione mezzi finanziari in un mercato privo di attrito sotto l ipotesi più generale. A questo livello di astrazione, le tecniche di valutazione, trattati nelle monografie noti sulla finanza matematica ([80], [33], [60] e [9]) non funzionano, quindi la teoria semimartingala consiste principalmente di dichiarazioni esistenzali. Uno dei problemi più importanti della valutazione è la caratterizzazione matematica dei modelli economicamente coerenti dei mercati finanziari. Dal punto di vista economico l assunzione di non-arbitraggio - cioè l ipotesi che non si puˇn fare business in cui si può solo guadagnare con probabilità strettamente positiva, ma senza esposizione al rischio - sembra una condizione abbastanza mite, ed è sorprendente quanto sono lontane le conseguenze di vasta portata che ha. Sotto il teorema fondamentale di valutazione si intende che questi tipi di dichiarazioni che affermano un equivalenza tra la condizione di coerenza di cui sopra e alcune proprietà matematiche del processo stocastico che descrivono i prezzi dei mezzi. Il teorema fondamentale di valutazione, in un senso non troppo preciso, afferma che l assenza di arbitraggio è equivalente alla esistenza di una misura di probabilità equivalente, sotto il quale il processo di prezzo scontato è una "martingala", che significa che c è una probabilità nuova fittizia - la martingala misura - in cui non si può sistematicamente guadagnare in media. Sarà mostrato che la misura martingala ha un ruolo molto importante sia nella teoria dei mercati completi che in quelle incompleti. Lo scopo della tesi è quello di una rassegna della letteratura e degli antecedenti matematici ed economici del teorema fondamentale di valutazione per i modelli semimartingale, e presentare un trattamento didattico unificato dei semimartingale approccio della valutazione e di semplificare alcune delle prove originali. Una nuova caratteristica del lavoro di tesi è che non si concentra su una questione
della valutazione, ma sulle relazioni tra la teoria arbitraggio e la teoria classica dell economia. 3
Kivonat Jelen értekezés a súrlódásmentes pénzpiacon történő árazás elméletének alapjaival foglalkozik, a lehető legáltalánosabb, szemimartingál árfolyamatokon alapuló megközelítésben. Az absztrakciónak ezen a szintjén az ismert pénzügyi matematikáról szóló monográfiák (ld. pl.: [80], [33], [60] és [9]) által tárgyalt speciális árazási eljárások legtöbbje már nem működik, így a szemimartingálokra vonatkozó elmélet elsősorban egzisztencia bizonyításokból áll. Az eszközárazás elméletének egyik legalapvetőbb kérdése, hogy egy pénzpiaci modellt mikor tekintünk közgazdasági szempontból konzisztensnek és milyen matematikai tulajdonságokkal karakterizálható egy ilyen modell. Közgazdasági szempontból az arbitrázsmentesség feltevése, vagyis az a feltevés, hogy a pénzpiacon nem köthetünk olyan üzletet amin pozitív valószínűséggel nyerünk, anélkül hogy bármit is kockáztatnánk, nem tűnik túlságosan megszorítónak, és egészen megdöbbentő, hogy milyen szerteágazó következtetéseket lehet levonni ebből az ártalmatlannak tűnő feltevésből. A pénzügyi eszközök árazásának alaptételén általában olyan típusú állításokat értünk, amelyek a konzisztencia fenti közgazdasági követelményének és a pénzpiacot pontosabban az eszközök árait leíró sztochasztikus folyamat valamely matematikai tulajdonságának ekvivalenciájáról szólnak. A legtöbb modellben bizonyítható annak az általános elvnek valamilyen formája, miszerint az arbitrázsmentesség feltevése ekvivalens azzal az állítással, miszerint a létezik egy olyan valószínűség, amiszerint az értékpapírok diszkontált árfolyamata egy bizonyos értelemben martingál. Mint látni fogjuk, az ún. martingálmérték mind a teljes, mind a nemteljes piacok elméletében fontos szerepet játszik. Jelen értekezés célja részben az alaptétel szemimartingálokra vonatkozó irodalmának, valamint közgazdaságtani és matematikai előzményeinek áttekintése, részben pedig a szemimartingálokra vonatkozó elmélet didaktikus egységes keretben való tárgyalása, helyenként pedig az eredeti cikkekben található bizonyítások egy-
szerűsítése. Az értekezés egy újszerű vonása, hogy nem az árazás kérdésére öszpontosít, hanem az arbitrázselmélet és a klasszikus közgazdaságtan kapcsolódási pontjait kívánja hangsúlyozni. 5
1. fejezet Bevezetés 1.1. Az alaptétel A közgazdasági elmélet központi eleme a hatékony piacok elmélete, vagy ahogyan az elméletet vitatók nevezni szokták a piaci fundamentalizmus. Ez a széles körben használt gondolatrendszer képezi a pénzügyi eszközök árazásának, illetve a rá épülő piaci kockázatkezelés gyakorlatának hátterét. A gondolatrendszer három alapvető feltételre épül. Az egyik a teljesség feltételezése, a másik az arbitrázs hiányának megkövetelése, a harmadik pedig a tranzakciós költségek elhanyagolhatósága. Mind a három inkább egy elv mint egy konkrétan megfogható matematikai állítás. A teljesség feltétele némiképpen elnagyoltan azt mondja ki, hogy a piacokon levő nagyszámú eszköz között jelentős redundancia van. Éppen ezért elegendő a termékek egy szűk csoportjának, az alaptermékeknek megfigyelni az árát, a többi termék ára már ezekből matematikai úton leszármaztatható. A leszármaztathatóság oka az arbitrázsmentesség és a tranzakciós költségek hiánya. A matematikai, úgymond képletszerű kapcsolat esetén az elhanyagolható tranzakciós költségek miatt a teljesség által garantált matematikai összefüggés alapján az alaptermékekből létrehozható, kikeverhető egy kompozit termék, amely úgymond replikálja az eredeti terméket és így a két termék ára meg kell hogy egyezzen. Két azonos méretű és korú tojás ára azonos kell, hogy legyen, függetlenül attól, hogy melyik tyúk tojta. Ellenkező esetben úgymond arbitrálni lehetne, vagyis az olcsóbb terméket meg lehetne venni, és a vele azonos tulajdonságú de drágább terméket el lehetne adni és így biztos profitra lehetne szert tenni. Közgazdasági szempontból természetesen mind a három feltétel vitatható, különösen a korlát- 6
lan és kontrolálatlan használatuk problémás. Ugyanakkor ezek az elvek mélyen és alapvetően meghatározzák a pénzügyi világ gondolatrendszerét, ahogyan a piaci szereplők a piacot látják, vagy látni vélik. A pénzügyi szektor legfőbb tevékenysége éppen a redundancia feltárásában van 1. A redundanciára épülő fedezéssel a kockázat csökkenthető, illetve a termékekben levő kockázatok elvileg átcsomagolhatóak és az egyes piaci szereplők számára diverzifikáltan kínálhatók. Még a naiv intuició alapján is érezhető, hogy a három feltétel közül a teljesség feltétele a leginkább vitatható. Természetesen a kulcskérdés az, hogy milyen eszközök állnak rendelkezésünkre a kompozit termék kialakításakor. Matematikailag milyen transzformációk használhatók amikor a redundanciát ki akarjuk aknázni? Modellezési oldalról ez úgy fogalmazható meg, hogy milyen operációk engedhetők meg a kompozit termékek előállításakor? Természetesen minél bővebb és minél vadabb matematikai eszközöket engedünk meg, annál szélesebb lesz az előállítható termékek köre. Így tehát adott modellen belül beszélhetünk csak a teljességről. Nyilvánvaló módon a matematikai modellekben szereplő előállíthatóság és a tényleges előállíthatóság nem fedi egymást. Már az egyszerű lineáris kombináció is olyan kompozit termékeket enged meg, amelyek a valóságban nem realizálhatóak. Például hogyan állítjuk elő két termék irracionális súlyokkal vett lineáris kombinációját? És akkor még nem is említettük a sztochasztikus integrálok különböző osztályait és egyéb, a területen alapvető műveleteket, amikor az előállíthatóságot egy időben folytonosan változó súlyrendszerrel valósítjuk meg 2. Nyilván a közgazdasági elmélet azon aspektusai kerülnek be a matematikai modellekbe, amelyek a matematika eszköztárával jól kezelhetők. Érdekes módon az alapvető teljesség feltétele matematikailag nehezebben tárgyalható, így a vezető matematikusok inkább az arbitrázsmentesség feltételére koncentráltak. Ennek oka, hogy az arbitrázsmentesség gondolata jól beilleszthető a modern matematika egyik központi elméletébe, a dualitáselméletbe. Jelen értekezésben kizárólag az arbitrázsmentesség feltételére fogunk koncentrálni, és a teljesség feltételével nem kívánunk élni. Az arbitrázsmentesség végső soron azt állítja, hogy a lehetséges kompozit termékek között csak egy olyan van, amely nem negatív, nevezetesen az azonosan 1 A fel nem tárt redundancia mögött általában a piac nem kellő hatékonysága áll, amit ki lehet használni és így közvetett módon a hatékonyságot növelni lehet. Legalábbis ez az ideológia. 2 Úgymond dinamikusan fedezünk, vagyis folyamatosan minden időpontban más és más, nyilván irracionális súlyokkal replikáljuk az adott pénzügyi eszközt. Vagyis már maga a redundancia fogalma is az alkalmazott matematikai fogalomrendszer keretében értelmezhető. 7
nulla 3. Vagyis az arbitrázsmentesség azt állítja, hogy két halmaz csak egy közös pontban metszi egymást 4. A közgazdasági matematikában triviálisan ismert észrevétel, hogy ez a helyzet jól jellemezhető a szeparáló hipersíkokról szóló tétellel 5. A tétel használatához két dolgot kell tenni: biztosítani kell, hogy a halmazok konvexek és hogy zártak legyenek. A konvexitás feltétele általában viszonylag egyszerűen garantálható, elég feltenni, hogy a lehetséges stratégiák konvex módon kombinálhatók legyenek. A dolog emlékeztet a játékelmélet kevert stratégiáinak bevezetésére. A stratégiai halmazok konvexitása egy olyan bevett és rutinszerűen használt feltétel a közgazdasági elméletben, amelynek használata jószerével már fel sem tűnik. Míg a stratégiai halmazok konvexitása például az általános egyensúlyelméletben széles körben használt, de azért vitatott feltétel, a pénzügyi elméletben minden további nélkül elfogadott 6. A pénzügyi elméletben a konvexitás eléréséhez egyedül azt kell feltenni, hogy a pénzügyi termékekből szabadon portfoliót lehet csinálni, vagyis szabadon vehetjük a termékek lineáris kombinációit. Az egyedüli újszerűnek mondható probléma, hogy vehetjük-e a termékek negatív együtthatóval vett kombinációit vagy sem 7. Miként látni fogjuk a probléma az elválasztandó halmazok zártságával van, amely zártság biztosítása az alább ismertetett tételek bizonyításának legfőbb nehézsége. Ennek oka, hogy természetes módon a pénzügyi elmélet valószínűségi változókkal foglalkozik, és valószínűségi változók esetén már magának a konvergenciának a fogalma sem egyértelmű. Másképpen fogalmazva a pénzügyi elmélet megalapozását adó arbitrázstételek matematikai szempontból lényegében megegyeznek a közgazdasági elmélet területén használt szokásos dualitási eszköztárral. 3 Vagyis nem lehet olyan portfoliót összeállítani, amely egy valószínűséggel nem negatív miközben pozitív valószínűséggel pozitív. 4 Egészen pontosan arról van szó, hogy a lehetséges portfoliók halmaza és a nem negatív valószínűségi változók halmaza csak egy pontban a nulla pontban metszik egymást. 5 Ezt az elvet számtalan tételben használjuk. Jószerével ez az első olyan gondolat, amivel egy matematikus közgazdász tanulmányai során megismerkedik. A lineáris programozás dualitási tétele, a jóléti közgazdaságtan második tétele, a Kuhn Tucker tételek, a játékelmélet nyeregponttételei stb. Dualitáselmélet alatt azokat a matematikai eredményeket értjük, amelyek a konvex halmazok hipersíkkal való elválaszthatóságára épülnek. 6 Valójában a konvexitás a pénzügyi eszközök területén jóval természetesebb mint az általános egyensúlyelméletben. Az oszthatatlanság megkövetelése mindig is az általános egyensúlyelmélet kritikájának egyik eleme volt. Az oszthatatlanság kérdése a pénzügyekben nem játszik szerepet. 7 Érdekes módon a matematikai elméletben az egyik legfontosabb közgazdaságilag inspirált áttörés a feltételes optimalizációban a nem negatív változók bevezetése és az ebből eredő komplikációk kezelése volt. Ez nagyban hozzájárult a konvex analízis kidolgozásához. Mivel a pénzügyekben az egyes változók lehetnek negatívak is, a stratégia halmazok általában alterek, ami a tárgyalást egyszerűsíti. 8
A matematikai eszköztár elvi szintjén az eltérés egyedül abból származik, hogy mivel a modellek dinamikusak és sztochasztikusak is, ezért a matematikai objektumok, amelyek körében a konvex analízis szokásos gondolatait alkalmazni kell, matematikailag nagyon bonyolultak. A szeparáló sík közgazdasági interpretációja mindig is a közgazdasági elmélet központi kérdése volt 8. Az általános és rutinszerűen használt válasz az, hogy a szeparáló sík az egyensúlyi árakat, vagy valamilyen szempontból az optimális árakat írja le. Az arbitrázselméletben a szeparáló hipersík mint martingálmérték jelenik meg. A martingálmérték a Lagrange-szorzók dinamikus, sztochasztikus környezetbeli párja. Jelen értekezés, az eszközárazás egyik központi problémájára, a martingálmérték létezésére vonatkozó irodalom áttekintésével, az arbitrázselmélet egyik matematikailag legmélyebb területének és a klasszikus közgazdaságtannak a kapcsolódási pontjait igyekszik feltárni. Az arbitrázselmélet egyik központi fogalma a martingál, ami a sztochasztikus folyamatok egy igen speciális osztályát jelöli. A martingál tulajdonság lényege legegyszerűbben a számegyenesen vett véletlen bolyongás fogalmából kiindulva érthető meg. Képzeljük el, hogy az origóból kiindulva, minden periódusban egyenlő valószínűséggel vagy jobbra vagy balra lépünk egyet. Ekkor minden t-re, a t- edik időpontbeli helyzetünk egy valószínűségi változó. Ha történetesen a t-edik időpillanatban a számegyenes a pontjában vagyunk, akkor a következő pillanatban a helyzetünk várható értéke éppen a lesz, és ez természetesen független attól, hogy hogyan jutottunk az a helyzetbe. A martingál tulajdonság a véletlen bolyongás ezen tulajdonságának egy általánosítása. Kissé leegyszerűsítve a dolgot, a valószínűségi változók egy X(1), X(2),... sorozata martingál, ha minden t-re igaz, hogy X(t) = a esetén az X(t + 1) várható értéke is éppen a. Kissé formálisabb jelölést használva E [X(t + 1) F t ] = X(t), ahol F t σ-algebra jelöli a befektetők információs struktúráját a t-edik időpontban. 9 A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele 10 kissé pongyolán megfogalmazva azt állítja, hogy egy értékpapírpiacon akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens valószínűségi mérték 11, amelyre vonatkozóan az értékpapírok 8 Gondoljunk csak a lineáris programozás duális megoldásának interpretációjára, vagy a Lagrange szorzók közgazdasági tartalmára. 9 Ld.: 10. definíció. 10 A fundamental theorem of asset pricing elnevezést a fentihez hasonló értelemben először P. H. Dybvig és R. A. Ross [31] használta. 11 Két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy mindkét mérték szerint ugyanazok a nullmértékű halmazok. 9
diszkontált árait leíró folyamat egy bizonyos értelemben martingál (ld. 24., 26. és 31. tétel), vagyis létezik olyan új valószínűségi mérték, amely alatt pénzügyi eszközök segítségével nem lehet szisztematikusan átlagban nyerni. Hogy egészen pontosak legyünk, az állítás ebben a formában inkább csak egy alapelv, ami akkor válik ténylegesen igazolható állítássá, ha pontosan definiáljuk az arbitrázsmentesség és martingál" fogalmakat. Mint látni fogjuk, ezek pontos tartalma modellosztályonként eltérő lehet. Ezen a ponton érdemes egy nyilvánvaló, de azért igen fontos megjegyzést tenni. A tétel nem azt állítja, hogy a pénzügyi eszközök az arbitrázs hiánya esetén martingált alkotnak, vagyis hogy hosszú idő átlagában nem lehet rajtuk pénzügyi eszközökkel nyerni 12. A martingál tulajdonság kikényszerítéséhez két dolgot kell tenni. Egyrészt a folyamatokat diszkontálni kell, másrészt az egyes kimenetelekhez tartozó valószínűségeket ki kell cserélni egy mesterséges valószínűségre. Vagyis az egyes kimenetelek esetén elérhető nyereségeket és veszteségeket nem azok bekövetkezésének tényleges valószínűsége szerint kell súlyozni, hanem egy mesterségesen vett súlyrendszer szerint. A két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy a pozitív valószínűségű halmazok súlya nem lesz nulla és fordítva. A szeparáló sík az új és a régi valószínűségek arányát adja meg. Mit jelent az, ha egy halmaz valószínűsége a kétszeresére nőtt és mit jelent az, ha a felére csökkent? Az elmélet a maga tiszta voltában erre nem ad választ, pusztán annyit mond, hogy az alkalmas súlyok megadhatóak 13. Másképpen a nincsen arbitrázs feltétel, vagyis hogy két alkalmas konvex halmaznak nincsen közös pontja, a modell megfelelően specifikált feltételei miatt pontosan azt jelenti, hogy van elválasztó sík, amely normálisának segítségével az egyes valószínűségeket ténylegesen átskálázva az eredeti folyamat az átskálázott valószínűségek esetén hosszú idő átlagában pusztán pénzügyi eszközökkel nem lesz manipulálható. A matematikai alapprobléma szemléltetéséhez tekintsünk egy olyan kétperiódusos pénzpiaci modellt, ahol az állapottér az Ω = {ω 1, ω 2 } kételemű halmaz. A P valószínűségi mértéket a p = (p 1, p 2 ) vektor reprezentálja, ahol p 1 = P({ω 1 }) > 0, 12 Nyilván lehet. A martingál tulajdonságot sok esetben félreértik. Hosszú idő átlagában a valós valószínűségekhez tartozó valós világban lehet pozitív nyereséget biztosítani. Ezt a matematikai fantáziavilágban létező martingálmérték alatt nem lehet megcsinálni. De senki sem állítja, hogy a két valószínűség azonos. A martingálmérték a nyerő esetek valószínűségét csökkenti, a veszteségekét növeli, így az esélyeket átlagban kiegyenlíti. Az arbitrázs hiánya csak bizonyos igen enyhe konzisztencia feltételt ír elő, de a konzisztencia feltételek közé nem tartozik az, hogy hosszú idő átlagában nem lehet nyerni. 13 Ezek a súlyok kulcsszerepet játszanak a származtatott termékek árazásában, de erre most nem térünk ki. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy a súlyok, arányok kiszámolásakor nem lép fel semmilyen nullával való osztásból származó probléma. 10
p 2 = P({ω 2 }) > 0, P( ) = 0 és P({ω 1, ω 2 }) = 1. Ekkor az Ω feletti valószínűségi változók halmaza éppen az R 2, és a fentiek alapján az x R 2 valószínűségi változó várható értéke a px skaláris szorzat. Tegyük fel, hogy a pénzpiacon egy nulla kamatozású kockázatmentes kötvénnyel és egy kockázatos értékpapírral lehet kereskedni, és a kockázatos értékpapír hozama a fenti Ω halmazon értelmezett R valószínűségi változóval írható le. Ekkor rendre H 1 és H 2 -vel jelölve az első periódusban kötvénybe illetve kockázatos értékpapírba fektetett pénzmennyiséget, a H = (H 1, H 2 ) kereskedési stratégia kifizetése nyilván a H 1 +H 2 (1+R) valószínűségi változó. A fenti modellben feltételes követelésnek nevezzük az R 2 beli elemekkel reprezentálható f = (f 1, f 2 ) kifizetéseket, melyek p 1 valószínűséggel f 1 és p 2 valószínűséggel f 2 kifizetést biztosítanak a követelés birtokosának. Jelöljük A-val a zérusvektortól különböző nemnegatív koordinátájú R 2 -beli elemek halmazát, valamint K-val a nulla induló vagyonnal megvalósítható összes lehetséges kereskedési stratégiák kifizetéseinek halmazát, vagyis azon H 1 +H 2 (1+R) kifizetéseket melyekre H 1 +H 2 = 0. Ekkor azt mondjuk hogy nincs arbitrázs, ha K A =, vagyis ha nulla induló vagyon segítségével nem juthatunk olyan második periódusbeli véletlen kifizetéshez, mely minden kimenetel esetén nemnegatív, és legalább egy kimenetel esetén pozitív értékű. Például az (1, 1) vagy az (1, 0), illetve az (0, 1) kifizetés vektorok vagyis feltételes követelések arbitrázst tartalmaznak, ugyanis pozitív valószínűséggel nyereséget biztosítanak, miközben a veszteség valószínűsége nulla. Vegyük észre, hogy ez nem függ a valószínűségi mérték megválasztásától, mindaddig, amíg egyik kimenetel valószínűsége sem nulla, vagyis amíg a szóban forgó valószínűség az eredetivel ekvivalens. Következésképpen a piac arbitrázsmentességének tulajdonsága invariáns az ekvivalens valószínűségi mérték megválasztására vonatkozóan. Ez a megfigyelés motiválja a következő jelölés bevezetését. Jelöljük P -vel az x 1 > 0, x 2 > 0 és x 1 + x 2 = 1 feltételeknek elegettevő R 2 -beli (x 1, x 2 ) elemek halmazát. Ez utóbbi halmaz geometriailag egy olyan nyílt szakasszal reprezentálható, melynek végpontjai (0, 1) és (1, 0) (ld.: 1.1. ábra). A P halmaz elemeihez, csakúgy mint a (p 1, p 2 ) vektor esetében láttuk egyértelműen hozzá tudunk rendelni egy valószínűségi mértéket 14. Minden ilyen mérték ekvivalens lesz a P valószínűségi mértékkel, hiszen mindkét mérték szerint csak az üres halmaz nulla valószínűségű, sőt könnyen belátható, hogy minden P-vel ekvi- 14 Minden (x 1, x 2 ) P vektort azonosítsunk azzal a valószínűségi mértékkel, mely szerint az ω 1 kimenetel valószínűsége x 1 és az ω 2 valószínűsége x 2. 11
valens valószínűségi mérték P -beli elemmel reprezentálható. 15 Érdemes hangsúlyozni, hogy ha nincs arbitrázs, akkor a ( 1, 1) szintén nem lehet eleme a K-nak ugyanis a pénzügyekben ha valamely változó megengedett, akkor általában a negatívja is megengedett, mivel az egyik vektor a termék vételét, a másik az eladását reprezentálja, és a vétel, illetve az eladás eredménye egymás ellentettje. Ugyancsak pénzügyi feltételek miatt feltehetjük, hogy a termékek negatív súlyok felhasználásával is kombinálhatóak, így a K egy lineáris altere R 2 - nek. Következésképpen a K egy origón áthaladó egyenessel reprezentálható, amely egyenes a nincsen arbitrázs feltétel miatt nem metszi a pozitív síknegyedet (ld.: 1.1. ábra). A geometriai interpretáció alapján nyilvánvaló, hogy a nincs arbitrázs feltétel ekvivalens azzal, hogy a K-ra merőleges vektorok K halmazára K P. Ez azt jelenti, hogy van olyan q P valószínűségi mérték, amely merőleges minden x K-ra. Mivel két vektor pontosan akkor merőleges egymásra ha a skaláris szorzatuk zérus, ezért ez azt jelenti, hogy van olyan q P valószínűségi mérték, hogy minden K-beli x-re qx = 0, vagyis amely mellett a K minden elemének várható értéke nulla. Mivel ez speciálisan a (H 1, H 2 ) = ( 1, 1) kereskedési stratégia 1 + (1 + R) kifizetésvektorára is teljesül, ez azt jelenti, hogy R várható értéke zérus, vagyis a kockázatos értékpapír ára q szerint martingál. Összefoglalva az eddigieket, a fenti geometriai okoskodásból világosan látszik, hogy az itt tárgyalt kétdimenziós pénzpiacon pontosan akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens martingálmérték. A továbbiakban fontos szerepet fog játszani a C = K R 2 + halmaz 16, és annak C 0 polárisa 17. Mivel a C halmaz konvex kúp, vagyis az összeadás mellett zárt a nemnegatív konstanssal való szorzásra, ezért C 0 = {y R n ( x C) : yx 0}. 15 A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy bár mind a K mind a P halmaz elemeit ugyanaban a koordináta rendszerben ábrázoltuk, ezen halmazok pontjai egymással még csak köszönő viszonyban sem állnak. Általános egyensúlyelméleti analógiával élve azt mondhatjuk, hogy míg a K halmaz a jószágtér egy részhalmza, a P halmaz minden eleme egy árrendszert határoz meg, és valójában a jószágtér duálisában fekszik. Mivel véges dimenzióban mind a primál térnek mind a duálisának pontjai ugyanazon R n -beli pontokkal reprezentálhatóak, ezért a K és a P közös koordinátarendszerben ábrázolható. 16 Kreps nevéhez fűződik az a felismerés, hogy általánosabb modellek esetén szükség van az ún. díjmentes lomtalanítási feltevésre (ld.: [64]). Ezen feltevés mellett a zérus indulóvagyon révén elérhető kifizetések halmaza nem K lesz, hanem K R 2 +. 17 A konvex analízis szóhasználatával egy B R n halmaz polárisának nevezzük, és B 0 -lal jelöljük az {y R n ( x B) : yx 1} halmazt. 12
K A 1 P K a q 1 1.1. ábra. A martingálmérték geometriai interpretációja Fenti geometriai interpretációból világosan látszik, hogy egyrészt az ekvivalens martingálmértékek pontosan a C és A halmazokat elválasztó szeparáló hipersíkok egységnyi l 1 normájú normálvektorai, másrészt a C 0 egységnyi normájú elemeinek halmaza éppen az ekvivalens martingálmértékek halmazával egyezik meg. Minthogy az arbitrázselméletben nem beszélhetünk egyensúlyról, ígyhát egyensúlyi árról sem, ezért meg kell mondanunk, hogy ebben az esetben milyen értelemben beszélhetünk egy feltételes követelés áráról. A fenti modellben azt mondjuk, hogy egy f = (f 1, f 2 ) feltételes követelés arbitrázsmentes ára s, ha a modellt definiáló értékpapírpiacot kiegészítve az (f i s) /s, i = 1, 2 hozamú feletételes követeléssel mint értékpapírral, az így kapott kibővített piac arbitrázsmentes marad. Modellünkben egy f követelést replikálhatónak nevezünk, ha valamely H = (H 1, H 2 ) kereskedési stratégia kifizetése, vagyis H 1 + H 2 (1 + R) éppen f. 13
Megmutatjuk, hogy érvényes az ún. kockázatsemleges értékelés elve, miszerint tetszőleges replikálható f követelés arbitrázsmentes ára éppen az f követelésnek a q martingálmérték szerinti várható értéke. Mivel f előállítható a ( H 2, H 2 ) és a (H 1 + H 2, 0) stratégiák összegeként is, és ( H 2, H 2 ) kifizetése K-beli, ezért a fentiek alapján, és a várhatóérték képzésének linearitásából következik, hogy az f q szerinti várható értéke éppen H 1 + H 2, ami éppen a H kereskedési stratégiához szükséges kezdő vagyon. Ha az f követelés s ára nagyobb volna mint H 1 + H 2, akkor az f követelést eladva, e-mellett a H kereskedési stratégiát követve, továbbá s (H 1 + H 2 ) összeget a kockázatmentes kötvénybe fektetve, a kibővített piac egy olyan kereskedési stratégiáját kapjuk, amely s (H 1 + H 2 ) biztos kifizetést biztosít, ugyanakkor zérus kezdővagyon segítségével megvalósítható, vagyis arbitrázs. Ezzel beláttuk hogy az s nem lehet nagyobb mint az f q szerinti várható értéke. Hasonló arbitrázs megfontolásokkal belátható, hogy s nem lehet kisebb sem mint az f q szerinti várható értéke. Ahogy arra már korábban utaltunk, általános esetben nem az értékpapírok árfolyamata, hanem azok diszkontált árfolyamata lesz a martingálmérték szerint martingál. Ebben az esetben a kockázatsemleges értékelés elve azt mondja, hogy tetszőleges replikálható követelés arbitrázsmentes ára éppen a követelés diszkontált értékének valamely martingálmérték szerinti várható értéke. Természetesen előfordulhat, hogy bizonyos kifizetések az adott modellben nem replikálhatóak, vagyis a modell nem teljes. Ebben az esetben a feltételes követelések árazása nem oldható meg a befektetők preferenciáinak explicit szerepeltetése nélkül. Látni fogjuk, hogy az ekvivalens martingálmérték ebben az esetben is fontos szerepet játszik bizonyos portfolióválasztási döntések vizsgálatában. A bemutatott gondolatmenet minden különösebb bonyodalom nélkül kiterjeszthető a többdimenziós modellekre, mindaddig, amíg a probléma véges dimenziós marad, hiszen ezekben az esetekben a K halmaz triviálisan zárt, mivel tetszőleges topologikus vektortér véges dimenziós altere zárt. A releváns dinamikus sztochasztikus modellekben azonban pl. amikor az időhorizont végtelen, vagy az időparaméter folytonos, vagy csak egyszerűen nem végesen generált a valószínűségi mező a feltételes követelések tere tipikusan végtelen dimenziós, és ahogy funkcionálanalízisből tudjuk ilyenkor a matematikai problémák zöme topológiai természetű, így többek között a K zártsága sem fog automatikusan teljesülni, sőt ennek biztosítása teszi ki a bizonyítások túlnyomó részét. A bemutatott kétdimenziós példa jól mutatja az arbitrázsárazás lényegét, ám több szempontból félrevezető. A modell egy speciális vonása a véges számú perió- 14