. Határozatlan intgrál.. Alkalmazza a hatványfüggvény intgrálására vonatkozó szabályt! d... d... d... d 8...... d... d... d..8. d..9. d..0. d... d... d 8... d... 8... d...... d..8...9. d..0. d d 8 d d.. Határozza mg az ponnciális függvényk intgrálját... d...... d...... d...... d..8...9. d..0. d d 0 d d d.. A parciális intgrálás szabályát alkalmazva számolja ki az intgrálokat!... d... d... d... d 9
... d... d... d..8. d..9. d..0. d ln ln... ln d... d 0ln... d 0...... ln d ln d... d ln... d..8. ln d... ln d... ln d ln... d... d.. Intgrálja hlyttsítéssl! ln... d... d... d... d... ) ( d... (...... d..9. ) d... 0 d ( ). d 8... d 8..8...0. d 8 d d... d... d... d... d... d... d..8. d 9
.. A számlálóban alakítsa ki a nvz driváltját!... d 9 9 8... d... d... d 0..9. d ln... d... log ln ln d 9... d... d... d..8. d..0....... 0 ln d log ln d ln d... d... d... d..8. d..9. d..0. d.. A hatványalap driváltjának kialakítása után intgrálja!... ( ) 0 d... ( ) d... d... d ( 0)...... d. d 8..9. d........8. 8..0. d...... d... d 0 d d d... 8 8.....9. d... d 9 d..8. ( 0) d..0. 8... 8... d 0 d d d d 9
... d... d... d........9. 8 9 d d..8...0. ln... d... ln d log... d... d ln... d... ln d ln.....9. d log ln d..8...0. d d ln 9 d ln Határozatlan intgrál fladatok mgoldásai.. Tagokra bontással és a hatvány függvény intgráljára vonatkozó szabály alkalmazásával.... C... C... C... C... C... ln C 8... d d d d d d d ln ln C C..8. ln C 8..9. 0 9 C..0.... C... 8 8 C... C... 8 C... C... 8 C 9 d d 9
... C..8. 8 8 C..9. 9 ln C 9..0. C 8.. Tagokra bontással és az ponnciális függvény intgráljára vonatkozó szabály flhasználásával.... C... C... ln ln ln C ln ln... 0 C... C... C ln ln ln ln... C..8. C ln ln ln..9. 8 8 d d d d d 8 8 C ln8 ln8 ln 9 0..0. C 9 ln ln ln 0 f gd f g f g d.. Parciális intgrálás szabályával.... C... C... C...... ln C ln ln ln C ln ln ln C ln ln..8...0. C ln ln... C... C C 9..9.... ln C... ln C 9
... 0 ln 0 C... C ln... ln C... ln C... ln C..8. 8 8 9 ln C 9 8... C ln... ln ln C... ln C... ln ln C... C..8. C ln ln ln u g.. Az fggd fudu du gd szabály alkalmazásával.... C... C... ln 0 8 C... C... C... 0 C... ln C..8. ln 8 C..9. C..0. 9ln C 8 8... u u du u u u u u du u u C C 9 9 9 ln 9 9 ln d du d du... u u u u du u u u u du C C 0 8 d du d du... ln 9 C... C 0 8... 0 99 C... 8 C 98
... 8 0 9 C 0..8. 8 8 C.. A számlálóban kialakítjuk a nvz driváltját, és alkalmazzuk az f f d ln f C formulát.... ln 9 C... d ln C... d C ln... ln C... ln C... ln C... ln C..8. d ln C 0..9. 0 0 d ln ln d ln ln C..0. 0ln ln C... ln ln log C... ln ln log C... ln ln C... ln ln C... ln C... ln C... ln C..8. ln C..9. ln ln C..0. ln ln C n n.. A hatványalap driváltjának kialakítása után az f f fd C, ha n formulát n alkalmazzuk.... C... 8 C... C 8 0... 8 C... C... C 8... C..8...0. C... C C..9. d C... 99
... 8... C... C...... 8 d..0. ( 0) 9 C..8. 9 8 C..9. C C... C... 8 C... C... ln C... ln C ln... C... 8 C..8. C 9 ln..9. C..0. C... ln C ln ln... ln C... C... log ln C ln... C... 0ln ln C... ln log..8. C..9. C..0. C ln ln 8ln Intgrálási szabályok. Ha F f mindn függvényénk nvzzük a; b n. a; b r, akkor a F függvényt a f függvény primitív. Az f függvény primitív függvényink összsségét az f függvény határozatlan intgráljának nvzzük. Jlölés: f d FC A dfinícióból kövtkzik: f d f C.. Egyszr függvényk intgrálja.. d C C C C 00
.. n n d, ha n R, n n.. d d ln C.. a a d C, d C ln a. Mvltk és az intgrál kapcsolata.. cf d.. c f d f g d f d g d.. Parciális intgrálás szabálya fgd fg fg d.. Hlyttsítéss intgrálás szabálya f g g d f u du F g C, F f.. Hlyttsítéss intgrálás spciális sti a.) f n f n f d C, ha n - n f b.) f d ln f C. Hasznos tanácsok.. Ha a nvz gytagú, a számláló többtagú, akkor érdms tagonként losztani a számlálót... Az k k azonosságot használjuk az típusú függvényk intgrálására. k p q.. A gyökfüggvénykt át kll írni törtkitvs hatványfüggvénykrr:... A parciális intgrálás szabályát használhatjuk, az k adtípusú intgráloknál, a logaritmust tartalmazó intgrálok gy részénél. A parciális intgrálás szabályánál választani kll f -t, illtv g-t. A választás az alábbi két szmpont alapján lhtségs: f -nk azt a tényzt választjuk, amit tudunk intgrálni. I. II. g-nk azt a tényzt választjuk, amlyr ggyszrbb mint q p g. ( Ugyanis a formulában az gynlség után még van gy intgrál, amit ki kll számolni.).. Ha gy olyan összttt függvény szrpl az intgrálban, amink a bls függvény lináris, akkor a lináris függvény hlytt vzthtünk b új változót. f.. Törtk intgrálásakor gyakran használhatjuk az f d ln f C szabályt, thát ha a számláló driváltját ki tudjuk alakítani a nvzbn, akkor a törtt tudjuk intgrálni. 0
f n f n f d C, (ha n -), szabályt n próbáljuk használni, ha a gyök alatt nm lináris függvény van... Gyökös intgráloknál az.8. Ha logaritmust tartalmazó függvényt kll intgrálni, és tényz szrpl az intgrálban, akkor az f n f n f d C, ha n -, vagy az n f f d ln f C szabályokat alkalmazhatjuk. Mgjgyzés: Ezkkl a szabályokkal a függvényk gy szk rétg intgrálható. Az intgrálható függvényk kör nyilván bvbb, d van aránylag gyszr függvény, amlynk nm tudjuk flírni az intgrálját az alapmvltk végs számú alkalmazásával. Például az d intgrál ilyn. 0