Az égi mechanika alapfeladata általánosan mint az n-test probléma fogalmazható meg a

1. fejezet Az n-test probléma 1.1. Mozgásegyenletek Az égi mechanika alapfeladata általánosan mint az n-test probléma fogalmazható meg a következőképpen: x Határozzuk meg az n számú n 2 n N pontszerű test mozgását ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerők hatnak. z P j P n rij r n r j P i r i O r P 1 1 y 1.1. ábra. Az n-test probléma Jelölje az n-test problémában a tömegpontokat P 1 P 2... P n tömegüket m 1 m 2... m n. Legyen P i helyvektora egy Oxyz inerciarendszerben r i derékszögű koordinátái x i y i z i i {1 2... n} 1.1. ábra. A P i tömegpontra a P j j i i j {1 2... n} által kifejtett gravitációs vonzóerő a Newton féle általános tömegvonzási törvény alapján F ij = G m im j r 2 ij r ij r ij 1.1 ahol G = 6 674 10 11 m 3 kg 1 s 2 a Newton-féle gravitációs állandó 1 r ij = r j r i 1.2 r ij = r ij = x j x i 2 + y j y i 2 + z j z i 2 1.3 1 A Seattle-i Washington Egyetem kutatói 2000-ben torziós ingával végzett nagypontosságú mérései szerint G = 6 674 215 ± 0 000 092 10 11 m 3 kg 1 s 2. 1

2 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA és az erő irányát a P i -ből a P j -be mutató r ij r ij egységvektor adja. Az égi mechanikában a Nemzetközi mértékrendszerben SI használt kg m s egységek helyett sajátos egységeket használnak amelyek a következők: tömegegysége a Nap tömege hosszúságegység a csillagászati egység időegység pedig a középnap. Ebben a mértékrendszerben a tömegvonzási törvényben szereplő gravitációs állandót hagyományosan k 2 -tel jelöljük ahol a k Gauss-féle gravitációs állandó értéke: k = 0 017 202 098 95. Így a tömegvonzási erő kifejezésére az F ij = k 2 m im j r 2 ij kifejezéseket használjuk. A P i -re ható F i erő az F ij -k összegzésével adódik: F i = k 2 r ij r ij j i i j {1 2... n} 1.4 n r 2 ij r ij r ij i = 1 2... n. Az erőknek a derékszögű koordináta-rendszer tengelyeire eső vetületei: F ix = k 2 n x j x i F rij 3 iy = k 2 n Az n-test probléma Newton-féle mozgásegyenletei így m i ri = k 2 n y j y i F rij 3 iz = k 2 n z j z i. rij 3 r rij 3 ij i = 1 2... n 1.5 alakban írhatók ahol az r i gyorsulások az idő függvényeként változó r i : [t 0 t v ] R 3 helyzetvektorok t idő szerinti másodrendű deriváltjai. A 1.5 közönséges másodrendű differenciálegyenletek az r i t 0 = r i0 ri t 0 = r i0 i = 1 2... n 1.6 kezdeti feltételekkel egy kezdetiérték-feladatot alkotnak amely megoldásai az r ij = 0 i j = 1 2... n i j ütközéseken kívül egyértelműen meghatározottak.

1.2. AZ N-TEST PROBLÉMA ELSŐ INTEGRÁLJAI 3 1.1.1. Megjegyzés. Az égi mechanikában szokásos V = k2 2 in r ij = k 2 1 i<j n potenciális energiát bevezetve az n-test probléma 1.5 mozgásegyenletei az m i ri = grad i V i = 1 2... n alakban írhatók amely egyenletek komponensekben az r ij 1.7 m i x i = V egyenletekkel ekvivalensek. m i y i = V y i m i z i = V z i i = 1 2... n 1.8 Bizonyítás. Például az x koordináta esetén ha l {1 2... n}: V x l = x l = k2 2 k 2 2 n j l n j l m l m j r lj m l m j x j x l r 3 lj + x l + n i l k 2 2 n i l m i m l r il m i m l x i x l r 3 il = = k2 n i l m l m i x i x l r 3 li = F lx ami éppen a P l -re ható erő x komponense. Az összegek deriválásánál azt tartottuk szem előtt hogy csak azon tagok deriváltja nem zérus amelyekben megjelenik x l l = i vagy l = j esetén. Az n-test problémát leíró 1.8 egyenletek 3n számú közönséges másodrendű differenciálegyenletet jelentenek a meghatározandó x i t y i t z i t i = 1 2... n függvények számára ahol a független változó a t idő amelyre 0 t 0 t t v. Így a 1.8 differenciál-egyenletrendszer rendje 6n. 1.2. Az n-test probléma első integráljai Az n-test probléma mozgásegyenleteiből álló differenciálegyenlet-rendszer megoldásának legkézenfekvőbb módja első integrálok keresése.

4 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA 1.2.1. Definíciók. Valamely f : M R 3n [t 0 t v ] R M R 3n függvényt az n-test probléma mozgásállandójának nevezzük ha a 1.5 mozgásegyenletek bármely r 1 r 2... r n megoldásához létezik olyan c R állandó amelyre f r 1 r 2... r n r 1 r 2... r n t = c t [t 0 t v ]. 1.9 A 1.9 összefüggést a 1.5 mozgásegyenletek első integráljának nevezzük. A 1.5 mozgásegyenletek integrálásához 6n független első integrálra lenne szükség mely összesen 6n tetszőleges állandót tartalmaz. Az n-test probléma általános megoldása ezen integrálokból lenne kifejezhető a t idő és a 6n tetszőleges állandó függvényeként. Az egyes megoldásokhoz tartozó integrációs állandók a 1.6 kezdeti feltételek alapján határozhatók meg. Az n-test problémára irányuló kutatások középpontjában hosszú időn keresztül a megfelelő számú független első integrál keresése állott. A következőkben az ismert első integrálokat mutatjuk be. A tömegközéppont-integrálok 1.2.2. Tétel. A tömegközéppont-integrálok. Az n-test probléma bármely megoldása esetén léteznek az a b állandó vektorok amelyekre ahol a pontrendszer össztömege és m r C = a és m r C = at + b t [t 0 t v ] 1.10 m = r C = 1 m m i 1.11 r i 1.12 a rendszer C tömegközéppontjának helyzetvektora. Bizonyítás. A 1.5 mozgásegyenleteket összegezve minden i-re: m i ri = k2 n r 3 ij r ij = 0 1.13

1.2. AZ N-TEST PROBLÉMA ELSŐ INTEGRÁLJAI 5 ugyanis a kettős összegben az r ij és r ji kiejti egymást. Így idő szerinti kétszeri integrálással kapjuk hogy léteznek az a és b állandó vektorok amelyekre m i ri = a és m i r i = at + b. Ezen utóbbi összefüggések 1.11 és 1.12 figyelembevételével a kijelentésben szereplő 1.10 tömegközéppont-integrálokhoz vezetnek. 1.2.3. Megjegyzések. 1. Az a b integrációs állandók értéke a kezdeti feltételek alapján a = m r i0 és b = m i r i0 at 0. 2. A 1.10 tömegközéppont integrálok komponensekben felírva az 1.5 rendszer hat első integrálját jelentik. 1.2.4. Következmények. 1. Az impulzusmegmaradás tétele. Az n-test probléma esetén a pontrendszer n m i v i = n m r i i impulzusa állandó: n m i v i = a. Tehát az a nem más mind a rendszer össz-ipulzusa teljes lendülete. 2. A tömegközéppont tétele. A rendszer C tömegközéppontja vagy nyugalomban van a = 0 vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez a 0. Az impulzusmomentum-integrál 1.2.5. Tétel. Az impulzusmomentum-integrál. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan c állandó vektor amelyre r i m i ri = c t [t 0 t v ]. 1.14 Bizonyítás. A 1.5 mozgásegyenletek mindkét oldalát megszorozva vektoriálisan balról r i -vel majd minden i-re összegezve adódik hogy r i m i ri = k2 r rij 3 i r ij = 0 1.15 n ugyanis az r i r ij és r j r ji vektorok összege zérusvektor: r i r ij + r j r ji = r i r j r i + r j r i r j = r i r j + r j r i = 0. A 1.15 összefüggésből idő szerinti integrálással kapjuk hogy létezik olyan c R 3 amelyre teljesül a 1.14 összefüggés.

6 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA 1.2.6. Megjegyzések. 1. A 1.14 impulzusmomentum-integrál bal oldalán a pontrendszer impulzusmomentuma van. Így az impulzusmomentum-integrál az impulzus-momentum perdület állandóságát fejezi ki. 2. Az impulzusmomentum-integrál komponensekben felírva az n-test probléma újabb három első integrálját adja. Az energiaintegrál 1.2.7. Tétel. Az energiaintegrál. Az n-test probléma bármely megoldása esetén létezik olyan h R állandó amelyre ahol T + V = h t [t 0 t v ] 1.16 T = 1 2 m i v i 2 1.17 a rendszer kinetikus energiája V pedig a 1.7-ben értelmezett potenciális energia. Bizonyítás. A 1.5 mozgásegyenletek beszorozva rendre skalárisan a v i = r i sebességekkel majd összegezve i szerint: m i ri r i = k 2 r rij 3 i r ij 1.18 ahol a bal oldalon levő kifejezés nem más mint a kinetikus energia idő szerinti deriváltja b o = n m i ri r i = dt dt 1.19 míg a jobb oldaldalon szereplő összeg az alábbi módon alakítható: j o = k 2 = 1 2 k2 n in = 1 2 k2 in r 3 ij r rij 3 ij r 3 ij r i r ij = 1 2 k2 in rj r i = 1 2 k2 r ij ṙ ij = 1 2 k2 in r rij 3 ij r i + in in r rij 3 ij r ij = r 3 ij r ji r j = ṙ rij 2 ij = dv dt. 1.20

1.2. AZ N-TEST PROBLÉMA ELSŐ INTEGRÁLJAI 7 A 1.18 1.19 és 1.20 összefüggések alapján a d T + V dt = 0 összefüggés következik ahonnan a 1.16 azonnali. 1.2.8. Megjegyzések. 1. Az energiaintegrál a mechanikai energia a mozgási és potenciális energiák összegének állandóságát vagyis az energia megmaradásának elvét fejezi ki. 2. A 1.10 1.14 és 1.16 egyenletek a 1.5 mozgásegyenletek tíz 6 + 3 + 1 skaláris első integrálját jelentik. Ezek az ún. klasszikus első integrálok. Az n-test problémára n 3 estén további első integrálok nem ismeretesek. A bemutatott tíz első integrál felhasználásával a 1.5 egyenletek egy 6n 10-ed rendű differenciál-egyenletrendszerre transzformálhatók. 3. n = 2 esetén az új rendszer másodrendű mely egyszerűen integrálható lásd a következő részben. 4. n = 3 esetén a redukált rendszer 8-ad rendű melynek integrálásához további első integrálok lennének szükségesek. Sokáig próbálkoztak újabb első integrálok keresésével mígnem H. Burns bebizonyította 1887 hogy a háromtest-probléma esetében nem létezik a tíz klasszikus első integráltól független algebrai első integrál mely a koordináták és sebességek algebrai függvénye lenne. Poincaré kimutatta 1889 hogy a háromtest-problémára olyan transzcendens első integrálok sem léteznek melyek a változók egyértékű függvényei lennének. Bruns és Poincaré eredményeit P. Painlevé általánosította 1898 az n-test problémára. Ezek az eredmények véget vetettek az n-test probléma integrálására irányuló próbálkozásoknak. Ha ugyanis találnánk további első integrálokat azok olyan bonyolultak lennének hogy a mozgásegyenletek redukálására nem lennének alkalmazhatók. Az első integrálok két alkalmazását említhetjük a Naprendszer esetében. 1. Feltéve hogy a Naprendszer zárt pontrendszer melynek tagjaira csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerők hatnak a tömegközéppont integrálok értelmében a Naprendszer tömegközéppontja egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A környező csillagok rendszerének tömegközéppontjához képest a mozgás sebessége 20 km/sec iránya a Herkules csillagkép felé mutat. Figyelembe véve azonban a Tejútrendszer csillagainak gravitációs hatását a Naprendszer tömegközéppontjának mozgása már nem egyenes vonalú hanem a Tejútrendszer centruma körüli körmozgás kb. 250 km/sec-os sebességgel. 2. A pontrendszer C tömegközéppontján átmenő és a c impulzusmomentum vektorra merőleges sík az ún. Laplace-féle invariábilis sík. A c állandósága miatt ez a sík

8 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA a térben állandó helyzetű. A pontrendszer hosszú idő alatt lejátszódó dinamikai fejlődését célszerű az invariábilis síkhoz viszonyítva vizsgálni. A Naprendszer Laplace-féle invariábilis síkjának szögkoordinátái G. Burkhardt 1982 számításai szerint: i = 1 35 13 86 Ω = 107 36 30 8 ahol i a pályahajlás Ω a felszálló csomó hossza. Az adatok a J 2000 0 epochához tartozó ekliptikai koordináta-rendszerre vonatkoznak. A Naprendszer dinamikai fejlődését célszerű az invariábilis síkhoz viszonyítani. Az n-test probléma megoldását a kívánt pontossággal numerikus integrálás segítségével közelíthetjük meg. 1.3. A Lagrange Jacobi-egyenlet 1.3.1. Tétel. Lagrange Jacobi. Az n-test probléma esetén a mozgás teljes ideje alatt érvényes az Ï = 2U + 4h 1.21 ún. Lagrange Jacobi-egyenlet ahol U = V az erőfüggvény I = m i x 2 i + yi 2 + zi 2 1.22 a rendszer tehetetlenségi nyomatéka h pedig az energiaállandó. Bizonyítás. Az U erőfüggvény a koordináták 1-edrendű homogén függvénye ugyanis tetszőleges λ > 0 valós számra U λx 1... λz n = λ 1 U x 1... z n. A homogén függvényekre vonatkozó Euler-tétel szerint így x i + y i + z i = U. 1.23 y i z i Az 1.8 m i ẍ i =... mozgásegyenleteket felhasználva 1.23-ból U = V figyelembevételével kapjuk hogy m i x i ẍ i + y i ÿ i + z i z i = U.

1.3. A LAGRANGE JACOBI-EGYENLET 9 Adjuk ehhez 1.17 T = 1 n 2 m r i i 2 figyelembevételével az 1.16 T + V = h energia-integrál kétszeresét 2T = 2U + 2h: m i xi ẍ i + ẋ 2 i + y i ÿ i + ẏi 2 + z i z i + żi 2 = U + 2h. Innen [ ] d m i x i ẋ i + y i ẏ i + z i ż i = U + 2h dt és [ d 2 ] m dt 2 i x 2 i + yi 2 + zi 2 = 2U + 4h. A tehetetlenségi nyomaték 1.22 értelmezése szeritn 1.21 azonnali. 1.3.2. Megjegyzés. Az 1.21 Lagrange Jacobi-egyenletet mely fontos szerepet játszik az n-test problémára vonatkozó kvalitatív vizsgálatokban először Lagrange vezette le 1772- ben a háromtest-problémára majd C.G.J. Jacobi általánosította 1842-ben tetszőleges számú tömegpontra. Az 1.22 összefüggéssel értelmezett mennyiség a P i tömegpontok rendszerének a koordináta-rendszer O kezdőpontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Ez az r i távolságoktól függ. Célszerű 1.22-et olyan alakra hozni amelyben r i helyett a tömegpontok közti r ij távolságok szerepelnek és amely így a koordináta-rendszer kezdőpontjától független. 1.3.3. Tétel. Az n-test problémára vonatkozó Lagrange Jacobi-egyenlet felírható az alakban ahol R = 1 2m R = 2U + 4h 0 1.24 m = n m i az össztömeg és h 0 R állandó. rij 2 1.25 Bizonyítás. Induljunk ki a következő összefüggésekből: m i m i x 2 i = m 2 i x 2 i + 1 x 2 2 i + xj 2 2 m i x i = m 2 i x 2 i + x i x j.

10 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Az első egyenletből a másodikat kivonva az m = n m i figyelembevételével kapjuk hogy 2 m m i x 2 i m i x i = 1 x j x i 2. 1.26 2 Az 1.10 tömegközéppont-integrálok felhasználásával az a és b vektorok komponenseit a 1 a 2 a 3 -mal illetve b 1 b 2 b 3 -mal jelölve: és így az 1.26 összefüggés az m i x i = a 1 t + b 1 m m i x 2 i a 1 t + b 1 2 = 1 2 x j x i 2 alakra hozható. Ezt az összefüggést az y és z koordinátákra is felírva majd a három egyenletet összeadva kapjuk hogy 3 mi a k t + b k 2 = 1 2 rij. 2 Az 1.25 jelöléssel I = R + 1 m 3 a k t + b k 2. 1.27 1.27-2t 1.21-be helyettesítve az 1.24 egyenletet kapjuk ahol Ezzel tételünket bizonyítottuk. h 0 = h a2 1 + a 2 2 + a 2 3. 1.28 2m 1.3.4. Megjegyzések. 1. A koordináta-rendszer középpontját a C tömegközéppontba helyezve a 1 = a 2 = a 3 = 0 így 1.28-ból látható hogy h 0 a baricentrikus energiaállandó. 2. 1.27 az 1.10 tömegközéppont-integrálok felhasználásával az I = R + mr 2 C alakban írható. Itt mr 2 C a C tömegközéppontba koncentrált m = n m i össztömeg tehetetlenségi nyomatéka a koordináta-rendszer O kezdőpontjára vonatkoztatva.

1.4. RELATÍV MOZGÁSEGYENLETEK 11 Alkalmazás: Lagrange-féle stabilitás A Lagrange Jacobi-egyenlet egyszerű alkalmazásaként vizsgálható a Lagrange-féle stabilitás. 1.3.5. Definíció. Az n tömegpontból áll rendszer Lagrange-féle értelemben stabil ha a tömegpontok közti összes r ij távolságnak véges felső határa van. A Lagrange-féle stabilitás nem mond semmit a minimális távolságokról a tömegpontok közti lehetséges ütközésekről. 1.3.6. Tétel. A Lagrange-féle stabilitás szükséges feltétele hogy h 0 < 0 legyen. Bizonyítás. Integráljuk 1.24-et kétszer az idő szerint. Ekkor R = R 0 + Ṙ0 t t 0 + t t t 0 t 0 2U + 4h 0 dτdτ ahol R 0 Ṙ 0 integrációs állandók. Ha a rendszer Lagrange-féle értelemben stabil az r ij távolságok felülről korlátosak így U-nak mely definíciója szerint nem negztív pozitív alsó korlátja van: U K > 0. Így R R 0 + Ṙ0 t t 0 + K + 2h 0 t t 0 2 ] = R 0 + [Ṙ0 + K + 2h 0 t t 0 t t 0. Látható hogy h 0 0 esetén a szögletes zárójelben álló kifejezés Ṙ0 előjelétől függetlenül t növekedésével mindenképpen pozitív lesz és t esetén R. Ekkor viszont legalább az egyik r ij azaz a rendszer instabil. A Lagrange-féle stabilitás szükséges feltétele tehát hogy h 0 < 0 legyen. 1.4. Mozgásegyenletek az egyik tömegpontra vonatkoztatva A bolygók és holdjaik mozgásának vizsgálatában fontos szerepet játszik az n-test problémának az az esete amelyben az egyik test pl. P 1 sokkal nagyobb tömegű a többinél. Ezek mozgását így elsősorban P 1 gravitációs hatása határozza meg. Célszerű ezért a P i tömegpontok i = 2 3... n mozgását P 1 -hez viszonyítva vizsgálni. Például a bolygók mozgását vizsgálva P 1 a Nap P 2 P 3... P n a bolygók. Egy bolygó holdjai esetében P 1 a központi bolygó P 2 P 3... P n pedig a holdak.

12 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA 1.4.1. Tétel. Az n-test probléma esetén a P i tömegpontnak a P 1 tömegpontra vonatkoztatott mozgását az r i + µ i egyenletek írják le ahol és r 3 i r i = R i i = 1 2... n 1.29 r i r i = r i r 1 i = 2 3... n 1.30 µ i = k 2 m 1 + m i i = 2 3... n 1.31 R i = k 2 j=2 1 m j r i r j. 1.32 r ij r j 3 x z P j r j r j z r ij P i r i r P 1 1 O r i y x 1.2. ábra. A relatív mozgás vizsgálata. y Bizonítás. Az Oxyz inerciarendszerben a mozgásegyenletek 1.5 szerint P i i = 2 3... n esetén: m i ri = k 2 P 1 esetén pedig m 1 r1 = k 2 j=2 r rij 3 ij m 1 m j r r1j 3 1j. Az első egyenletből a másodikat kivonva kapjuk a P 1 -hez viszonyított relatív mozgások mozgásegyenleteit. Az első egyenletben m i -vel a másodikban m 1 -el egyszerűsítve majd a kivonást elvégezve 1.30 figyelembevételével kapjuk hogy r i = k 2 m 1 r i + k 2 r 3 i j=2 m j r 3 ij r ij k 2 m i r i k 2 r i 3 j=2 m j r j 3 r j vagyis r i = k2 m 1 + m i r r i 3 i + k 2 j=2 m j rij r 3 ij r j 1.33 r j 3

1.4. RELATÍV MOZGÁSEGYENLETEK 13 ahol az 1.2 ábra alapján r i = r 1i = r i r 1 r j = r 1j = r j r 1 r ij = r j r i = r j r i és az r i koordinátáit x i y i z i-vel jelölve r i = r i = x 2 i + y i 2 + z i 2 r ij = r ij = x j x i 2 + y j y i 2 + z j z i 2. Az 1.32 összefüggéssel bevezetett R i függvények segítségével az 1.33 egyenlet komponensekben az ẍ i + µ i r i 3 ÿ i + µ i r i 3 z i + µ i r i 3 x i = R i 1.34 x i y i = R i i = 2 3... n y i z i = R i z i alakban írhtó ami nem más mint az 1.29 relatív mozgásegyenletek Descartes-féle megfelelője. 1.4.2. Megjegyzések. 1.34-be R i = 0-t helyettesítve kapjuk hogy ẍ i + µ i x i = 0 1.35 r i 3 ÿ i + µ i y i = 0 r i 3 z i + µ i z i = 0 i = 2 3... n. r i 3 A 1.35 egyenletek a P i tömegpontok P 1 körüli mozgását írják le abban az esetben ha mindegyik P i -re i = 2 3... n csak P 1 gravitációs vonzása hatna. Ekkor különböző i-kre az 1.35 egyenletek egymástól függetlenek. Az 1.34 egyenletek a P i tömegpontok P 1 körüli mozgását határozzák meg P 1 és a többi P j j = 2 3... n j i tömegpont együttes hatása alatt. A P j tömegpontok hatását P i -re az R i függvény fejezi ki. Mindegyik P i -hez más-más R i függvény tartozik. Mivel R i az összes P i pont koordinátáitól függ a 1.29 illetve 1.34 egyenletek nem függetlenek egymástól.

14 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Az R i függvény 1.32 alatti alakjában a zárójelben álló első tag 1 az R i direkt része. Ez adja P j -nek P i -re gyakorolt közvetlen hatását. A zárójel második tagja R i indirekt része. Ez P j -nek P i -re gyakorolt közvetett hatását fejezi ki ami onnan származik hogy P j befolyásolja P 1 inerciarendszerbeli mozgását és ez jelentkezik P i -nek P 1 -re vonatkoztatott mozgásában. A bolygók mozgásának vizsgálatakor P 1 a Nap P i -k a bolygók. Az 1.35 egyenletek a bolygók perturbálatlan mozgását határozzák meg amelyet egyedül a Nap gravitációs hatása hoz létre. A bolygók egymásra gyakorolt hatása perturbációi az 1.34 egyenletekből határozhatók meg. 1.34-ban R i a perturbációs függvény. Minden bolygóhoz más-más perturbációs függvény tartozik. Az 1.34 egyenletek megoldása szempontjából lényeges hogy ezek jobb oldalán az m j perturbáló bolygótömegek szerepelnek melyek igen kicsik az egyenletek bal oldalán µ i -n keresztül fellépő m 1 Nap-tömeghez képest. 1.34 így a perturbációszámítás módszereivel vizsgálható. 1.5. A Jacobi-féle koordináták Az n-test problémában gyakran alkalmazzák a Jacobi-féle koordinátákat amelyeket a következőképpen vezethetjük be: 1.5.1. Definíció. A P i i = 1... n pontrendszer esetén a P i pont ρ i -vel jelölt Jacobi-féle helyvektora i {2... n} esetén P i -nek a P 1 P 2... P i1 rendszer tömegközéppontjára vonatkoztatott helyvektora míg ρ 1 a teljes rendszer tömegközéppontjának origóra vonatkoztatott helyvektora 1.3 ábra. r ij P2 P 3 ρ 2 ρ 3 C 3 ρ 4 ρ P4 1 P 1 O 1.3. ábra. A Jacobi-féle koordináták négy tömegpont esetén. O az inerciarendszer kezdőpontja C pedig a teljes pontrendszer tömegközéppontja. Ha az Oxyz Descartes-féle inerciarendszerben az m i tömegű P i pont helyvektora r i = x i y i z i R 3 i {1... n} R i = X i Y i Z i i {2... n} pedig a P 1 P 2... P i

1.5. A JACOBI-FÉLE KOORDINÁTÁK 15 pontok tömegközéppontjának helyvektora akkor a ρ i = ξ i η i ζ i Jacobi-féle helyvektorok az értelmezés alapján a következő összefüggésekkel fejezhetők ki: ahol ρ i = r i R i1 i {2... n}. 1.36 A Jacobi-féle helyvektorok kifejezhetők a helyvektorok lineáris kombinációjaként: ρ i = r i 1 M i1 1 M n i1 m k r k ha i {2... n} m k r k ha i = 1 M i = 1.37 i m k 1.38 az első i test össztömege. Ez azonnal belátható ha figyelembe vesszük hogy a tömegközéppontok helyzetvektorait értelmezés szerinti R i1 = 1 i1 M i1 m k r k kifejezések adják amelyeket 1.36-be helyettesítve az 1.37 összefüggésekhez jutunk. A Jacobi-féle helyvektorokat adó 1.37 kifejezéseket a tengelyekre vetítve megkapjuk a Jacobi-féle koordináták at amelyek a következő összefüggésekkel fejezhetők ki: illetve ξ i = x i 1 M i1 ξ 1 = 1 m k x k η 1 = 1 m k y k ζ 1 = 1 m k z k 1.39 M n M n M n i1 m k x k η i = y i 1 M i1 i1 m k y k ζ i = z i 1 M i1 i1 m k z k 1.40 ha i {2... n}. Az alkalmazások esetében a koordináta-rendszer kezdőpontját leggyakrabban a pontrendszer tömegközéppontjában rögzítjük és ebben az esetben: ρ 1 = 0 ξ 1 = η 1 = ζ 1 = 0. Az 1.37 illetve 1.39 1.40 összefüggésekkel értelmezett J : R 3 n R 3 n Jacobi-féle koordináta-trsanszformáció bijektív ugyanis a transzformáció mátrixának nemnulla elemei

16 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA a főátló mentén három azonos tömbbe rendezhetők x y és z szerint. Ezek a tömbök m 1 m 2 m 3 m 1 +...+m n m 1 +...+m n m 1 +...+m n... m n1 m 1 +...+m n m n m 1 +...+m n 1 1 0... 0 0 m 1 m 1 +m 2 m 2 m 1 +m 2 1... 0 0.................. m 1 m 1 +...+m n2 m 1 m 1 +...+m n1 m 2 m 1 +...+m n2 m 2 m 1 +...+m n1 m 3 m 1 +...+m n2... 1 0 m 3 m 1 +...+m n1... m n1 m 1 +...+m n1 1 alakőak és a megfelelő aldeterminánsok értéke 1. Így detj = 1 ami azt jelenti hogy a mátrix nem szinguláris tehát a transzformáció kölcsönösen egyértelmű. 1.5.2. Lemma. Ha egy vonatkoztatási rendszer kezdőpontját a pontrendszer tömegközéppontjába rögzítjük ρ 1 = 0 akkor az r ij = r j r i vektorok kifejezése a Jacobi-féle helyvektorok segítségével: r ij = ρ j ρ i + j1 l=i m l M l ρ l 1 i < j n. 1.41 Bizonyítás. A fenti jelölésekkel a tömegközéppontok helyzetvektora: R i = i m k r k M i = i1 m k r k + m i r i M i = M i1 R i1 + m i r i M i ahonnan M i R i M i1 R i1 = m i r i = M i M i1 r i minden i {2... n} esetén. Az 1.36 összefüggések segítségével az R i és R i1 vektorok R kiküszöbölhetők i = r i+1 ρ i+1 azaz ami a következő alakra hozható: M i r i+1 ρ i+1 M i1 r i ρ i = M i r i M i1 r i r i+1 r i = ρ i+1 M i1 M i ρ i i {2... n 1}. A fenti egyenlőségeket összegezve amikor i {2... j 1} 3 j n az j1 j1 r j r 2 = r i+1 r i = ρ i+1 M i1 ρ i M i i=2 i=2 = ρ j M j1 1 ρ 2 + M 2 l=3 1 M l1 ρ l M l

1.5. A JACOBI-FÉLE KOORDINÁTÁK 17 összefüggésekhez jutunk azaz r j r 2 = ρ j ρ 2 + j1 A P 2 pont Jacobi-féle helyvektorának értelmezése alapján felírható r 2 r 1 = ρ 2 összefüggést hozzáadva az 1.42 összefüggéshez az r j r 1 = ρ j + j1 l=2 l=2 m l M l ρ l. 1.42 m l M l ρ l ha 3 j n 1.43 összefüggéshez jutunk. Ez az összefüggés felírható minden i-re ha 3 i < j n azaz r i r 1 = ρ i + i1 l=2 m l M l ρ l. A j-re és i-re felírt összefüggéseket kivonva egymásból a lemmában szereplő 1.41 összefüggést kapjuk azaz r ij = r j r i = ρ j ρ i + j1 l=i m l M l ρ l ha 3 i < j n. Megállapíthatjuk hogy a felírt összefüggés i = 2 esetében is érvényes mivel ebben az esetben megegyezik a már ellenőrzött 1.42 összefüggéssel. Figyelembe véve a ρ 1 = 0 feltevést az 1.43 összefüggés i = 1 esetére is kiterjeszthető. Ezzel a bizonyítás teljes. 1.5.3. Következmény. A ρ 1 = 0 feltétel esetén a pontok közti r ij = r j ri kölcsönös távolságok kifejezése a Jacobi-féle koordináták segítségével: j1 r ij = ρ m l j ρ i + ρ l 1 i < j n. 1.44 M l l=i 1.5.4. Tétel. A Jacobi-féle koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletek az n-test probléma esetén: M i ξ i = m i M i1 ξ i η i = ζ i = M i m i M i1 η i i = 1 2... n. 1.45 M i m i M i1 ζ i

18 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Bizonyítás. Az m i ẍ i = m i ÿ i = y i m i z i = z i mozgásegyenletekben szereplő Descartes-féle koordinátákat helyettesítjük a Jacobi-féle koordinátákkal. Az 1.37 összefüggések mindkét oldalát kétszer deriválva az idő szerint ρ i = r i 1 M i1 i1 m k rk i = 2 3... n. 1.46 1.46-at komponensekben felírva az első komponens a Descartes-féle mozgásegyenletek felhasználásával a következőképpen írható: ξ i = 1 m i 1 M i1 i1 x k i = 2 3... n. 1.47 Fejezzük ki 1.47 jobb oldalát a Jacobi-koordinátákkal! Ehhez az x i szerinti parciális deriváltakat fejezzük ki a ξ i szerinti parciális deriváltakkal: 1.40 szerint = j=2 ξ j ξ j i 1. Ezt felhasználva Így i 2 esetén: és ξ j = m i M j1 ha j > i ξ j = 1 ha j = i ξ j = 0 ha j < i. x 1 = i 2 : = 1 M i1 j=2 j=2 ξ j ξ j x 1 = j=2 ξ j ξ j = ξ i 1 = 1 m i m i ξ i i1 j=i+1 ξ j m 1 M j1 j=i+1 1 M j1 ξ j m i. ξ j M j1 = 1 i1 + = x k M i1 x 1 x k k=2

1.5. A JACOBI-FÉLE KOORDINÁTÁK 19 = = 1 M i1 1 M i1 i1 [ m 1 i1 + M j1 ξ j ξ k j=2 j=3 [ = 1 i1 M i1 j=3 j1 m k j=3 k=2 k=2 m 1 i1 + M j1 ξ j ξ k k=3 1 m 1 M j1 ξ j 1 M j1 ξ j [ = 1 i1 j1 M j1 m 1 m k M i1 Tehát j=3 = 1 M i1 j=i k=2 M i1 = M j1 ξ j ξ i = 1 m i 1 = 1 m i M i1 j=i+1 j=i i1 j=k+1 i1 k=2 j=k+1 j=i 1 M j1 ξ j i1 j=i x k = 1 + M j1 ξ j = 1 m i + 1 M i1 ξ i = ] m k = M j1 ξ j m k = M j1 ξ j m 1 M j1 ξ j ] 1 m k = M j1 ξ j k=2 i1 m k j=i 1 i 2. M j1 ξ j j=i M i. m i M i1 ξ i 1 = M j1 ξ j ] 1 = M j1 ξ j Ugyanígy vezethetők le az η i ζ i koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletek is. 1.5.5. Megjegyzések. i Az 1.8 mozgásegyenletekkel szemben az 1.45 egyenletrendszer nem 3n hanem 3n 1 másodrendű differenciálegyenletből áll. 1.45 rendszáma így 6n 1. Az egyenletek számának hárommal a rendszám hattal való csökkenése 1.8-hoz képest annak a következménye hogy a Jacobi-koordináták a tömegpontok helyzetét lényegében a rendszer tömegközéppontjához viszonyítva adják meg aminek a mozgása viszont a tömegközéppont-integrálok értelmében ismert. ii Az 1.45 egyenletek előnye az 1.29-al szemben az hogy 1.45 mindegyik egyenletében az erőkomponensek ugyanazon U erőfüggvényből származtathatók. Ezzel szemben 1.29-ban az erőkomponensek minden i-re más-más R i függvényből kaphatók meg. iii Az 1.45 egyenletek úgy is felfoghatók mint amelyek az m i M i1 /M i tömegű tömegpontok mozgását határozzák meg az U erőfüggvényből származtatható erők hatására.

20 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA Alkalmazások. Az 1.45 egyenletek egyik alkalmazásaként a Hold mozgáselméletét említjük. Az n = 3 esetben legyen P 1 a Föld P 2 a Hold P 3 a Nap 1.4. ábra! 1.45-ből i = 2-re kapjuk a Hold i = 3-ra a Nap mozgásegyenleteit. A Hold mozgásegyenletei a Földre vonatkoztatva: ξ P 2 ξ 2 η 2 ζ 2 2 = m 1 + m 2 m 1 m 2 ξ 2 Hold r 23 η 2 = m 1 + m 2 1.48 m ρ 2 3 P 3 ξ 3 η 3 ζ 3 1 m 2 η 2 ρ Nap ζ 2 = m 1 + m 2. 3 m 1 m 2 ζ 2 r 13 A Nap mozgásegyenletei a Föld Hold rendszer tömegközéppontjára vonatkoztatva: P 1 Föld ξ 3 = m 1 + m 2 + m 3 m 3 m 1 + m 2 ξ 3 1.4. ábra. A Föld Hold Nap rendszer. η 3 = m 1 + m 2 + m 3 1.49 m 3 m 1 + m 2 η 3 ζ 3 = m 1 + m 2 + m 3 m 3 m 1 + m 2 ζ 3 r 12 = ρ 2 r 23 = ρ 3 m 1 ρ 2 m 1 + m 2 r 31 = ρ m 2 3 + ρ 2 m 1 + m 2. ahol az U = V és 1.7 szerint U = k 2 m1 m 2 + m 2m 3 + m 3m 1 r 12 r 23 r 31 ahol 1.44 alkalmazásával Az 1.48 egyenletekből határozható meg a Hold mozgása a Föld körül a Nap perturbáló hatásának figyelembevételével. Az 1.48 és 1.49 nem függetlenek egymástól U-n keresztül a Hold és a Nap koordinátái mindkét egyenletrendszerben szerepelnek. Az 1.48 1.49 egyenletek alkalmazásának előnye az hogy 1.49 alapján a Nap mozgása igen jó közelítéssel Kepler-féle mozgásnak tekinthető tehát amely a kéttest-probléma megoldásának megfelelően megy végbe így 1.48-ban első közelítésben a Nap koordinátái az idő ismert függvényeinek tekinthetők. 1.48 megoldását így maghatározva később figyelembe vehetők a Nap Kepler-mozgástól való eltéréséből származó perturbációk.

1.6. REKURZÍV HATVÁNYSOROK 21 1.6. Az n-test probléma megoldása rekurzív hatványsorokkal Az n-test probléma vizsgálatában nagy szerepük van a numerikus módszereknek. Ezek egyike az ún. Steffensen módszer az n-test probléma megoldásának numerikus megközelítésére hatványsorokat használ. A módszer névadója J. F. Steffensen aki 1957- ben vizsgálta a háromtest-probléma megoldását az idő hatványai szerinti hatványsorok formájában. Steffensen módszerét R. Broucke 1971 alkalmazta az n-test problémára. Tekintsük az n + 1-test problémát például a Nap és a körülötte keringő n bolygó rendszere. A relatív mozgást leíró 1.33 r i = k2 m 0 + m i r r i 3 i + k 2 m j rij r 3 ij r j i = 1... n r j 3 egyenletek alapján ahol µ i = k 2 m 0 + m i r i = r i r 0 i = 1... n a bolygók mozgásegyenletei a Napra i = 0 vonatkoztatva: ẋ i = u i ẏ i = v i ż i = w i u i = m 0 + m i x i r 3 i v i = m 0 + m i y i r 3 i ẇ i = m 0 + m i z i r 3 i m j xi x j r 3 ij m j yi y j r 3 ij m j zi z j r 3 ij + x j 1.50 rj 3 + y j rj 3 + z j i = 1... n rj 3 ahol r 2 i = x 2 i + y 2 i + z 2 i r 2 ij = x i x j 2 + y i y j 2 + z i z j 2. 1.51 1.50-ben x i y i z i illetve u i v i w i az i-edik bolygó hely- illetve sebességkoordinátái m 0 a Nap vagy középponti test tömege m i az i-edik bolygó tömege. 1.50-ben a pont a t idő szerinti deriválást jelenti amelynek egysége a korábbiaktól eltérően nem egy középnap hanem 1/k = 58 13244... középnap k a Gauss-féle gravitációs állandó. Az

22 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA idő egységének ilyen választásakokor 1.50 jobb oldalán k 2 kiegyszerűsödik. 1.50 6n elsőrendű közönséges differenciálegyenletből áll az ismeretlenek száma is 6n. A Steffensen-módszer lényege olyan új segédváltozók bevezetése melyekkel 1.50-ben a nevezőkből ri 3 és rij 3 kiküszöbölhető. Legyen és s i = r 3 i i = 1 2... n s ij = rij 3 i j = 1 2... n i j. 1.52 Ezekkel az új változókkal az 1.50 egyenletek így írhatók: ẋ i = u i ẏ i = v i ż i = w i u i = m 0 + m i x i s i v i = m 0 + m i y i s i ẇ i = m 0 + m i z i s i m j [x i x j s ij + x j s j ] 1.53 m j [y i y j s ij + y j s j ] m j [z i z j s ij + z j s j ] i = 1... n. Vegyük ezen egyenletekhez az 1.51 és 1.52 deriválásából adódó r i ṙ i = x i ẋ i + y i ẏ i + z i ż i r ij ṙ ij = x i x j ẋ i ẋ j + y i y j ẏ i ẏ j + z i z j ż i ż j 1.54 i j = 1 2... n i j r i ṡ i = 3s i ṙ i r ij ṡ ij = 3s ij ṙ ij i j = 1 2... n i j 1.55 egyenleteket. Az 1.53 1.54 1.55 egyenletek egy szimultán differenciál-egyenletrendszernek tekinthetők az x i y i z i u i v i w i r i s i r ij s ij változók számára. Látható hogy 6n egyenlet van az x i y i z i u i v i w i hely- és sebességkomponensekre 2n egyenlet az r i és s i változókra és n n 1 /2 + n n 1 /2 = n n 1 egyenlet az r ij és s ij változókra. A differenciálegyenletek és az ismeretlenek száma így egyaránt n n + 7. Az egyenletek száma pl. n = 2 bolygó esetén 18 n = 9-re 144.

1.6. REKURZÍV HATVÁNYSOROK 23 Keressük a megoldást a következő Taylor-sorok alakjában x i = y i = z i = r i = r ij = X ik t k1 u i = Y ik t k1 v i = Z ik t k1 w i = R ik t k1 s i = R ijk t k1 s ij = U ik t k1 V ik t k1 W ik t k1 1.56 S ik t k1 S ijk t k1. Az 1.56 kifejezéseket az 1.53 1.54 1.55 egyenletekbe helyettesítve majd egyenlővé téve az így kapott egyenletek két oldalán t azonos hatványainak együtthatóit az X ik Y ik... S ijk ismeretlen együtthatókat meghatározható egyenletrendszer írható fel. A behelyettesítést viszonylag könnyű elvégezni mert az egyenletekben legfeljebb két változó szorzatai szerepelnek az s i s ij változók bevezetésének éppen ez az előnye. A számításokat elvégezve az ismeretlen együtthatóra a következő rekurziós összefüggések adódnak: kx ik+1 = U ik ky ik+1 = V ik kz ik+1 = W ik ku ik+1 = m 0 + m i kv ik+1 = m 0 + m i kw ik+1 = m 0 + m i kr i1 R ik+1 = p=2...k p=1...k p=1...k p=1...k qr ip R iq+1 + X ip S iq Y ip S iq Z ip S iq p=1...k m j m j m j p=1...k p=1...k p=1...k [X ip X jp S ijq + X jp S jq ] [Y ip Y jp S ijq + Y jp S jq ] [Z ip Z jp S ijq + Z jp S jq ] q [X ip X iq+1 + Y ip Y iq+1 + Z ip Z iq+1 ]

24 1. FEJEZET. AZ N-TEST PROBLÉMA kr ij1 R ijk+1 = p=2...k qr ijp R ijq+1 + p=1...k q [X ip X jp X iq+1 X jq+1 + + Y ip Y jp Y iq+1 Y jq+1 + Z ip Z jp Z iq+1 Z jq+1 ] kr i1 S ik+1 = qr ip S iq+1 3 qs ip R iq+1 p=2...k kr ij1 S ijk+1 = p=2...k qr ijp S ijq+1 3 i j = 1 2... n i j k = 1 2... N 1 p=1...k p=1...k qs ijp R ijq+1 1.57 ahol N a tagok száma az 1.56 sorfejtésekben. Az 1.57 összefüggéseket a megadott sorrendben alkalmazva minden i k + 1 indexű együttható csak korábi együtthatóktól függ így lépésről lépéste a sorfejtések együtthatói kiszámíthatók. Az X i1 Y i1 Z i1 U i1 V i1 W i1 R i1 R ij1 S i1 S ij1 kezdő együtthatók a t = 0-ra megadott kezdőfeltételekből kaphatók meg. Az n-test probléma megoldására itt ismertetett módszer számítógépes alkalmazásának előnye az 1.57 rekurziós összefüggések használatában rejlik. Broucke 1971 számításaiban az 1.56 sorokat N = 25-ig azaz t 24 hatványokig vette különböző számú de legfeljebb 10 bolygó esetén. Tapasztalatai szerint a módszer mind pontosságban mind gyorsaságban felülmúlja a hagyományos numerikus integrálási módszereket. A Nap körül keringő bolygók mozgásának problémája numerikus integrálás szempontjából az n-test probléma viszonylag egyszerű esete. Az n-test probléma numerikus integrálásánál a legnagyobb nehézséget a tömegpontok közti szoros megközelítések és ütközések okozzák. Ez a bolygómozgások esetében nem fordul elő. Az ütközések és szoros megközelítések kezelése speciális módszereket kíván. Ez a problémakör a regularizáció témájához tartozik melyről a két- és háromtest-problémával kapcsolatban részletesebben lesz szó.