Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok stratégiáitól. 1.1. Feladat. Két játékos egymás utá eltör egy m -es táblájú csokoládét. Egy lépésbe midkét játékos eltörheti a csokoládé egyik darabját, de csak az eredeti barázdák meté. Az a játékos veszít, aki em tud újabb lépést tei. Megoldás. A legfotosabb téy itt az, hogy a darabok száma mide lépésbe eggyel ő. Kezdetbe csak 1 darab csokoládék va. De a végére m darab kis téglalap alakú darabot kapuk. Így, a játék csak (m 1) lépésig fog tartai. Ha az utolsó lépés egy páros szám, azaz m egy páratla szám, akkor a második játékos a yertes játékos. Ha m egy páros szám akkor a kezdő játékos a yertes. 1,, 3,..., 100 1.. Feladat. Az számokat felírjuk egy táblára. Két játékos egymás utá sorra letöröl bármely két, a és b számot. Ezutá helyettük az a + b 1 számot írják fel a táblára, amíg csak egy szám marad. A kezdő játékos a yerő, ha az utolsó szám páros. Ellekező esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. Fotos hogy észrevegyük, hogy a lépések száma összese 99, és a számok összege száma mide lépésbe 1-gyel csökke. A játék elejé az összes szám összege: 1 + + 3 +... + 100 = 5050, ami egy páros szám. Így a játék végére az 5050 99 = 4951 szám fog maradi (ami egy páratla szám). Így, midig a második játékos fog yeri. 1,, 3,..., 005 1.3. Feladat. Az számokat felírjuk egy táblára. Két játékos egymás utá sorra letöröl két, a és b számot. Ezutá a két szám helyére az a b számot írják, amíg csak egy szám marad a táblá. A kezdő játékos a yerő, ha a visszamaradó szám páros. Ellekező esetbe a második játékos yer. Megoldás. A játék elejé fotos, hogy észrevegyük, hogy a számok összege 1+ + 3 +... + 005 = 1003 005, ami egy páratla szám. Egyszerű kiszámoli, hogy mide lépés utá az összeg páratla marad. Hogy ezt belássuk, elég megvizsgáli két esetet - amikor a és b azoos, illetve mikor elletétes paritásúak. Így, az utolsó visszamaradó szám páratla és így midig a második játékos yer. 1.4. Feladat. Két játékos a következő játékot játssza: A kezdő játékos első lépése hogy egy 15 kőből álló kupacot szétosszo két kupacra. Aztá leírja a két kupacba lévő kövek számáak szorzatát. Ezutá a második játékos teszi meg ugyaezt a lépést az így keletkezett két kupac egyikével, és így tovább, amíg 15 darab egy kőből álló kupacot em kapuk. i) Legye A k a jelölése az egyes kupacokba lévő kövek számáak égyzetösszegéek, ha a kövek k kupacba vaak szétosztva. Bizoyítsuk be, hogy: A k > A k +1 ;
ii) A játék végé kiszámítjuk az S összeget, az így kapott szorzatok összegét. A kezdő játékos yer, ha az S összeg páros szám. Egyéb esetbe a második játékos a yerő. Megoldás. i) Tegyük fel hogy a k-adik lépésbe egy egy x és y kőből állóra. Ezért: ( x + y) ( x + y ) = 0 x + y kőből álló kupacot szétosztuk Ak Ak + 1 = xy >,azaz A k > A k + 1 ; ii) Már észrevettük, hogy mide szétosztás utá az A k szám kétszeresével csökke a két kupacba szétosztott kövek számáak szorzatával. Így: 1 1 1 S = ( A1 Ak ) = [ 15 ( 1 + 1 +... + 1 )] = ( 15 15) = 105, azaz az S összeg midig 105-tel lesz egyelő. Így midig a második játékos lesz a yerő a kezdő játékos első lépésétől és a kövek szétosztásáak módjától függetleül. Második rész - Szimmetria Itt olya matematikai játékokat foguk megézi, ahol a yerő játékos alapvetőe a szimmetria ötletét haszálja fel..1. Feladat. Egy játékhoz szükséges tábla egy ( ) ( 1 1) kiterjedésű téglalap, ami -es égyzetekre va osztva, pedig egy természetes szám. Két játékos egymás utá befest vagy egy festetle égyzetet, vagy két (vízszitese vagy függőlegese) szomszédos festetle mezőt. Az a játékos veszít, aki em tud többet lépi. Megoldás. Ha egy páratla szám, akkor a kezdő játékos a yerő az első lépése pedig, hogy befesti a két középsőégyzetet, ami két egyelő részre osztja a táblát. Ezutá már csak szimmetrikusa követie kell a második játékos lépéseit. Ha egy páros szám, akkor a második játékos a yerő csak a kezdő játékos lépéseit kell követie szimmetrikusa a tábla középpotjára ézve... Feladat. Két játékos egymás utá beszíezi egy agy ( 10) égyzet részeit a következő három lehetséges alakzattal: - ( ) ( 1 1) -es, ( ) 10 -es kiterjedésű 1 -es téglalappal vagy -es égyzetekkel. Lehetetle beszíezi ugyaazt a részt kétszer is. Az a játékos a yerő, aki a agy égyzet utolsó mezőjét is beszíezi. Megoldás. A kezdő játékos a yerő a következő stratégiát haszálva: Első lépése beszíezi egy ( ) -es égyzetet, amiek a középpotja egybeesik a agy égyzet középpotjával. Ezutá már csak szimmetrikusa meg kell ismételie a második játékos mide lépését. 11 100.3. Feladat. Két játékos egymásutá végzi egy játék lépéseit egy ( )-as téglalap alakú papíro. Egy lépésbe be lehet szíezi egy vagy több mezőt, amik egy égyzetet formálak. Egy mezőt em lehet többször is beszíezi. Az a játékos veszít, aki em tud több lépést tei.
Megoldás. A kezdő játékos yer, ha a következő szimmetrikus stratégiát haszálja: Be kell szíezi azt a( 10 10) -es égyzetet, amiek a középvoala egybeesik a téglalap középvoalával. Ezutá következik a szimmetrikus játék az adott középvoalra..4. Feladat. Adott egy következő kiterjedésű téglatest: i) 4 4 4 ii) 4 4 3 iii) 4 3 3 ami egység-kockákból áll. Midkét játékos csiálhat egy-egy lyukat egy sorba egy tű segítségével, ha va abba a sorba legalább egy lyuk élküli kocka. Az a vesztes, aki em tud többet lépi. Megoldás. Az i) és ii) esetbe a második játékos a yerő és a középpotos szimmetriát kell alkalmazia. A harmadik esetbe a kezdő játékos a yerő, egy lyukat kell csiália a 4 darab 3 3 -as réteg középső kockáiak sorá. Ezutá pedig a középpotos szimmetriát kell követie..5. Feladat. Adott egy kovex -szög. Midkét játékos berajzolja egy még be em rajzolt átlóját az -szögek. Nem egedélyezett, hogy olya átlót rajzoljaak be, amiek lee közös potja egy már berajzolt átlóval. Az a játékos veszít, aki em tud többet lépi. Megoldás. Ha egy páros szám, akkor az első játékos a yerő az első lépése, hogy összekösse az -szög két szemközti csúcsát. Így az -szög két egyelő részre va osztva egyelő számú csúcsokkal. Ezutá a kezdő játékosak már csak szimmetrikusa követie kell a második játékost a második játékos által a két rész valamelyikébe tett lépést egy szimmetrikus lépéssel kell viszoozia a másik részbe. Ameyibe egy páratla szám, akkor em ismerik a szerzők a teljes megoldást?.6. Feladat. Két játékos egymás utá elhelyez egy-egy királyt a sakktáblá. Nem megegedett, hogy úgy helyezzeek el egy királyt, hogy azt üsse egy már másik, a sakktáblá elhelyezett király. Az a játékos veszít, akiek icse lehetősége több királyt elhelyezie a sakktáblá. Ki fog yeri egy becsületes játék eseté? Tipp. A második játékos a yerő, ha a középpotra való szimmetrikus stratégiát haszálja..7. Feladat. Két játékos féyszórókat helyez el a: i) k k ; ii) k kiterjedésű téglalapok egység-égyzetei. Mide féyszóró kivilágít mide égyzetet, ami em balra vagy em feljebb va attól. Mide lépésbe legalább egy új égyzetet ki kell világítai. Az a játékos veszít, aki a bal felső sarokba tesz egy féyszórót. Melyik játékosak lehet yerő stratégiája és hogya? Válasz. i) A kezdő játékos a yerő. Az első lépése, hogy kivilágítsa a lehető legagyobb égyzetet, ami em egyezik meg a megadottal. Ezutá pedig a szimmetrikus stratégiát kell követie. ii) Itt is a kezdő játékos a yerő. Itt szükséges, hogy idukciót haszáljuk. Az első lépése a jobb alsó sarok. Ezutá pedig a kivilágított mezőket mide lépésével egy sarok élküli téglalappá egészíti ki. Harmadik rész - MINIMAX
Ebbe a részbe olya játékokat foguk megézi, amibe mide játékos yereméye változtatható bizoyos számokkal, és ezek a számok a játékosok lépéseitől függeek, és midkét játékos öveli szereté a yereméyét. A játékokba a két játékos által megszerezhető yereméy összege kostas lesz, függetle a játékosoktól. A játékosok érdekei elletétesek, mivel ha az egyik játékos jutalma megő, akkor a másiké csökke. 3.1. Feladat. Egy fiú és egy láy eloszt egymás között 10 csomagot a következő módo: a fiú szétosztja őket két halomba és láy elviszi az egyik kupacot. Meyi csomagot vihet el a láy, illetve a fiú? Megoldás. Midkette potosa 5 csomagot fogak elvii. Ugyais a fiú em fogja őket két eltérő kupacba osztai, mert akkor a láy a agyobbat fogja elvii. A fiú érdeke az, hogy a láy részét olya kicsire állítsa be, ameyire csak lehet. Az ilye típusú stratégiákat hívjuk miimax stratégiáak. 3.. Feladat. Alisa és Basilio 10 darab aray pézérmet osztaak szét egymás között a következő módo: Basilio az összes érmet két kupacba osztja szét. Midegyik kupac em kevesebb, mit érmét tartalmaz. Ezutá Alisia midegyik kupacot két további kupacra osztja szét. A játé végé Alisia kapja a legagyobb és a legkisebb kupacot, a többit pedig Basilio. Meyi pézérmet kap Alisia, és háyat Basilio? a b. Megoldás. Tegyük fel, hogy Basilio a és b érmére osztja szét a kupacot, úgy, hogy Alisa pedig szétosztja az első kupacot például két egyforma részre, a második kupacot pedig 1 és b - 1 érmére. Így Alisa legalább b érmét fog szerezi. De és ezért b 5 b a, a + b = 10. Így Alisáak legalább 5 pézérméje lesz. Ha Basilio két egyforma részre osztja szét a kupacot, akkor Alisa a lépéseitől függetleül 5 érmét fog szerezi. Így midkette potosa 5 érmét fogak megszerezi. 1,, 3,..., 100, 101 3.3. Feladat. Egy táblára fel vaak írva az számok. A két játékos midegyike egymás utá letöröl egy 9 számból álló halmazt. 11 ilye letörlés utá csak szám marad a táblá. Az kezdő játékos jutalma eek a két szám külöbségéek az abszolút értéke. Bizoyítsuk be, hogy a kezdő játékos jutalma em kevesebb, mit 55, a második játékos lépéseitől függetleül! Megoldás. A kezdő játékos első lépése, hogy letörölje a 47 és 55 közötti 9 számot. Az így megmaradt számok két csoportra oszthatók: 1-től 46-ig és 56-tól 101-ig. Redezzük godolatba olya számpárokba a két csoportba tartozó számokat, amelyekek a külöbsége pot 55, pl (1,56), (,57), stb. Ha a második játékos letörli a k számot, de em törli le aak a párját, akkor a kezdő játékosak kell azt letörölie és azo kívül csak számpárt kell letöröljö (ugyayit, mit a második játékos). Negyedik rész - SZÁMELMÉLET 4.1. Feladat. Adott a következő 14 szám: 1,, 3,..., 9, 7, 8, 9, 10, 11. Két játékos egymás utá választhat egy-egy számot. A játék végé midkét játékos összeadja az általa választott számokat. Az a játékos yer, akiek agyobb az összeg abszolút értéke. Melyik játékosak va yerőstratégiája? Megoldás. A számok összege együtt:
( 7) + ( 8) + ( 9) + ( 10) + ( 11) 0 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + =. Így a játékosok összegei egymás elletettjei leszek azoos abszolút értékkel, függetleül a játékosok sorredjétől és lépéseitől. Ezért eek a játékak icse yertese. 4.. Feladat. Ez a játék a 60 -as számtól idul. Két játékos egymás utá csökketi a visszamaradó számot az egyik pozitív osztójával. Az a játékos veszít, aki eléri a 0-át. Megoldás. A kezdő játékos a yerő. Először csökketeie kell a 60-at az egyik páratla osztójával. Így egy páratla szám marad. Így a második játékos biztosa egy páratla számmal fogja csökketei azt szité. Így a visszamaradó szám megit páros. Így a kezdő játékos megit csökketheti azt az egyik páratla osztójával, például 1-gyel, és így tovább... 4.3. Feladat. Két játékos egymás utá írja fel egy hatjegyű szám számjegyeit. Ha a kapott szám osztható 7-tel, akkor a második játékos yer, ellekező esetbe pedig a kezdő játékos a yerő. Becsületes játék eseté ki fog yeri? Megoldás. A második játékos 1 utá midig 4-et ír, utá 1-et, 3 utá 5-öt, 4 utá -őt, 5 utá 6-ot, 6 utá 3-at, 7 utá 0-t, 8 utá 4-et, 9 utá 1-et, 0 utá 7-et. A végé a kapott szám az A = abcdef, ahol ab, cd, ef számok osztatóak 7-tel. Így A is osztható 7-tel. Így a második játékos a yerő. 4.4. Feladat. Két játékos egymás utá írja fel egy k jegyű szám számjegyeit. Ha a kapott számak osztója a 11, akkor a második játékos a yerő, ellekező esetbe a kezdő játékos yer. Ki fog yeri egy becsületes játékba? Vizsgáljuk a következő eseteket: i) k egy páros szám; ii) k egy 1-él agyobb páratla szám. Megoldás. i) A második játékos midig ugyaazt a számjegyet választja, mit a kezdő játékos. Így a kapott szám a következő alakú lesz: A = aabbcc... ff, ami osztható 11-gyel. A második játékos a yerő. ii) A kezdő játékos a yerő, mivel ő választhatja meg a szám utolsó számjegyét, így biztosa megteheti, hogy az A szám e legye osztható 11- gyel (a tíz lehetséges külöböző utolsó számjegy eseté a szám 11-gyel osztva 10 külöböző maradékot ad, azaz em lehet midegyik 0). 1,, 1,,..., 1, 4.5. Feladat. Egy sorba a következő darab számjegyet írjuk:. Két játékos egymásutá a + vagy jelet teszi két egymást követő számjegy közé. Miutá mid a 1 darab jelet elhelyezték, kiszámítják a kifejezés értékét (először a szorzásokat kell elvégezük, és azutá az összeadásokat). A kezdő játékos yer, ha a kapott szám páros. Ellekező esetbe a második játékos yer. Megoldás. A kezdő játékosak va yerő stratégiája. Az első lépése, hogy egy jelet tegye az első 1-es utá a sorba. Így a visszamaradó összes 1-es mellett két szabad hely va a jelek számára, a jobb és bal oldalo. Ezutá a kezdő játékosak olya lépéseket kell teie, hogy a megmaradó összes 1-es bal vagy jobb oldalá legye. Ez lehetséges, mivel ha a második játékos egy jelet tesz az egyik 1-es egyik oldalára, akkor a kezdő játékos egy jelet tesz a 1-es másik oldalára. A játék végére midegyik 1-es mellett lesz jel amit -es követ, vagy előz meg. Így csak páros számokat kell összeaduk, így a kifejezés kiszámításakor egy páros számot kapuk.
4.6. Feladat. Két játékos egymás utá egy k-jegyű szám jegyeit írja fel elölről idulva. A kezdő játékos fog yeri, ha a szám em osztható 9-cel. Ellekező esetbe a második játékos fog yeri. Megoldás. Egy szám 9-cel való osztási maradéka megegyezik számjegyei összegéek 9-cel való osztási maradékával. Így ha k egy páros szám, akkor a második játékos fog yeri, mivel úgy választja meg az utolsó számjegyet (az utolsó lépést), hogy az 9-re egészítse ki az első k 1 számjegy 9-cel való osztási maradékát. Így a kapott szám osztható 9-cel. Ha k egy páratla szám, akkor a kezdő játékos a yerő, mivel megválaszthatja az utolsó lépését úgy, hogy a számjegyek összege e legye osztható 9-cel. 4.7. Feladat. Egy sorba egymás utá a következő darab számjegyet írjuk: 1, 1, 1,..., 1. Két játékos egymásutá + vagy jelet teszi mide két egymást követő számjegy közé. Miutá mid az 1 jelet elhelyezték, kiszámítják a kifejezés értékét (először a szorzásokat kell elvégezük, és azutá az összeadásokat). Az első játékos yer, ha a kapott szám páros. Ellekező esetbe a második játékos yer. Tipp. Nézzük meg a 4.5. Feladat megoldását!