lméleti fizia. elméleti összefoglaló. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan pontoat nevezzü, ahol a tömegpont gyorsulása 0. Ha a tömegpont egy ilyen pontban tartózodi, és nincs sebessége, aor a továbbiaban is ott fog maradni. dimenziós mozgáso esetében az -gal jelölt egyensúlyi ponto definíciója így írható: mẍ 0, () amiből a mozgásegyenlet szerint a övetező feltétel adódi: dv() d = 0. (2) V() 2 z a éplet más megfogalmazásban azt jelenti, hogy egyensúlyi pontban a potenciálna szélsőértée ell legyen. Az. ábrán ét, dinamiai szempontból alapvetően ülönböző egyensúlyi pont látható. Teintsü először az 2 egyensúlyi pontot, és tegyü fel, hogy benne tartózodi a tömeg. ábra. gy V() potenciálfüggvény ét egyensúlyi ponttal. Az egyensúlyi pont stabil, az 2 instabil. pont. Mi történi aor, ha a tömegpontot is mértében elmozdítju? or a potenciál deriváltja, azaz a tömegpontra ható erő nem lesz 0. Ha a tömegpontot balra mozdítottu i, aor F() dv/d < 0, azaz az erő negatív irányban hat, ami a tömegpontot az 2 egyensúlyi ponttól távolítja. Az erő hasonló módon távolít az 2 jobb oldalán is. Az ilyen típusú egyensúlyi pontot instabilna nevezzü. Az instabilitás matematiai feltétele, hogy a potenciálfüggvény másodi deriváltja az egyensúlyi pontban negatív legyen: d 2 < 0. (3) Az ábra egyensúlyi pontja viszont másmilyen: stabil. Stabil egyensúlyi pontot aor apun, ha d 2 > 0. (4)
lméleti fizia. elméleti összefoglaló 2 Ilyenor létezi az egyensúlyi pontna olyan örnyezete, amiben a tömegpontra ható erő visszatérítő irányú. z lehetővé teszi, hogy a tömegpont ebben a örnyezetben rezgőmozgást végezzen, amit a 2. ábra szemléltet. V() ẋ 2. ábra. Felső grafion: egy V() potenciálfüggvény stabil egyensúlyi ponttal. A jelölt mechaniai energiával a tömegpont az egyensúlyi pont örül rezeg, ahogyan ez a vonatozó fázistérbeli trajetóriából is leolvasható (alsó grafion). 2. Stabil egyensúlyi pont örüli is rezgése Láttu tehát, hogy stabil egyensúlyi pont valamely örnyezetében oszcilláció (rezgőmozgás) mehet végbe. Ha enne icsi az amplitúdója, vagyis a tömegpont a mozgás során nem távolodi el túlságosan az egyensúlyi ponttól, aor a V() potenciált jól özelíthetjü anna vezető rendig teintett Taylor-sorával: V() V( )+ dv() d = V( )+ 2 d 2 ( )+ 2 d 2 ( ) 2 ( ) 2. (5) Az -ben lineáris tag együtthatója, azaz a potenciál első deriváltja egyensúlyi pontban (2) szerint 0. A onstans V( ) tagna nincs jelentősége, az nem jeleni meg a mozgásegyenletben. Így önnyen észrevehető, hogy az (5) ifejezés éppen egy -ban elhelyezett harmonius
lméleti fizia. elméleti összefoglaló 3 oszcillátor potenciálja (lásd Függelé). A rugóállandó megfeleltethető a potenciál másodi deriváltjána az egyensúlyi pontban: = d2 V(). (6) d 2 Azt találtu tehát, hogy egy tömegpont bármilyen tipius egyensúlyi pont örül végzett is amplitúdójú rezgése özelítőleg harmonius rezgőmozgás, amelyne a örfrevenciája (7) szerint ω = m = m d 2 (7). Az egyetlen ivétel, amior ez nem így van, a /d 2 = 0 eset. Az (5) ifejezésben hallgatólagosan feltételeztü, hogy a másodi derivált nem tűni el. Ha eltűni, aor a sorfejtésben tovább ell mennün, és az így adódó rezgőmozgás nem lesz harmonius. Az elmondottaat grafiusan a 3. ábrán övethetjü. A stabil egyensúlyi pontot a örnyezetében ialauló fázistérbeli strutúra miatt elliptius pontna is szoás nevezni. V() ẋ 3. ábra. Felső grafion: a V() potenciálfüggvényt (feete vonal) az stabil egyensúlyi pont örül parabolával özelíthetjü (világosé vonal). Ha az mechaniai energia nem túl nagy (övetezéséppen a rezgés amplitúdója sem), aor a tömegpont trajetóriája a fázistérben (piros vonal, alsó grafion) jól özelíthető ellipszissel (világosé vonal).
lméleti fizia. elméleti összefoglaló 4 Példa Teintsü a övetező, az [0,λ) intervallumon értelmezett potenciált: 2π V() = V 0 sin λ, ahol V 0,λ > 0. Adju meg az egyensúlyi ponto helyét, és vizsgálju meg a stabilitásuat! Határozzu meg a stabil egyensúlyi ponto örül ialauló is rezgése örfevenciáját! A potenciálfüggvény alaja a övetező: V() V 0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ Az egyensúlyi ponto helyéne a meghatározásához i ell számítani a potenciálfüggvény deriváltját: dv() 2π 2π = V 0 d λ cos λ. Innen az egyensúlyi ponto: dv() d = 0, 2π 2π V 0 λ cos λ = 0. nne ét megoldása van: = λ π 2π 2 = λ 4, 2 = λ 3π 2π 2 = 3λ 4, összhangban az ábrával. A stabilitás vizsgálatához szüségün van a potenciál másodi deriváltjára: d 2 2 V() 2π 2π = V d 2 0 sin λ λ.
lméleti fizia. elméleti összefoglaló 5 Az egyensúlyi pontoban: 2 ( 2π 2π d 2 = V 0 sin λ λ 2 ( 2π 2π d 2 = V 0 sin λ λ 2 ) 2 λ 2π = V 0 < 0, 4 λ ) 3λ 4 = V 0 ( 2π λ ) 2 > 0. Tehát instabil, 2 stabil, ahogyan az ábra alapján várhattu is. 2 örül ialaulhatna is rezgése, eze örfrevenciája: d ω = 2 V() 2 2π m d 2 = m V 0 = 2π V0 λ λ m. 2 Függelé: A harmonius oszcillátor örfrevenciája Az dimenziós harmonius oszcillátor (az előző összefoglaló idolgozott példája) iemeledő jelentőségű fiziai rendszer. Lényeges tulajdonsága, hogy a periódusideje (és így a örfrevenciája) egzatul iszámítható, az előző összefoglaló (2) épleténe a segítségével. A teljesség edvéért az előadás anyagában szereplő levezetést az alábbiaban részletesen megismétlem, de a gyaorlat anyagána a megértéséhez elegendő a potenciálalana és a levezetés eredményéne az ismerete. A harmonius oszcillátor potenciálfüggvénye a övetező alaú: V() = 2 2, (8) ahol > 0. Adott > 0 mechaniai energia mellett először fel ell idéznün a fordulóponto helyét: fp,2 =. (9) A periódusidő hivatozott éplete szerint: T p = 2m fp2 fp V( ) d = 2m 2 2 d = 2m d. (0) 2
lméleti fizia. elméleti összefoglaló 6 Éljün a övetező változócserével: így u := arcsin, () = sinu, (2) d = cosudu. (3) A határo így alaulna: ( ) ( ) u = = arcsin = arcsin( ) = π 2, (4) ( ) ( ) u = = arcsin = arcsin() = π 2. (5) Behelyettesítve mindezeet (0)-be: T p = = π 2 2m 2m m = 2 π 2 sin 2 u cosudu π 2 du cosu cosudu m = 2 [u]π 2 m ( π = 2 2 + π 2) m = 2π. (6)
lméleti fizia. elméleti összefoglaló 7 ljutottun tehát a harmonius oszcillátor periódusidejéne a jól ismert épletéhez. Figyelemreméltó, hogy a periódusidő nem függ az mechaniai energiától, és így, a (9) összefüggés értelmében, a rezgés amplitúdójától sem. A örfevencia innen már egyszerűen adódi: ω 2π T p = m. (7) http://theorphys.elte.hu/~drotos/ef/kis_rezgese.pdf