A WGS84 és HD7 alapfelületek közötti traszformáció Molodesky-Badekas-féle (3-paraméteres) meghatározása a gyakorlat számára Timár Gábor Molár Gábor Pásztor Szilárd ELTE Geofizikai Taszék, Ûrkutató Csoport. Bevezetés A kereskedelmi forgalomba kapható, legolcsóbb kategóriájú GPS mûszerek ára már arra a szitre csökket, hogy ezek már szite tömegcikkek tekithetõk, és számos terepi észlelést végzõ kutató felszerelésébe megtalálhatók. A terepi mukát végzõ felhaszálók többsége, elsõsorba biológusok, geológusok, mezõgazdászok, geofizikusok, erdészek, katoák stb. a méréseikhez redeledõ koordiáták geodéziai potosságát em várják el; számukra elegedõ, ha pozíciójukat 3-5 méter potossággal méri és topográfiai térképe ábrázoli tudják. Ezt a követelméyt ma, a korlátozott elérhetõségi kódok feloldása utá, szite bármely GPS mûszer teljesíti problémát jelet viszot, hogy e beredezések többsége em ismeri a Magyarországo terepi kutatásialkalmazási célra haszált topográfiai térképek alapfelületeit, evezetese a HD7 (ill. a Gauss- Krüger vetületi térképeke alkalmazott S-4) dátumot. Más alapfelület, pl. a WGS84 alkalmazása eseté viszot az észlelt koordiáták eltérése megközelítheti a 00 métert, ami pedig már a emgeodéziai célú alkalmazások eseté is elfogadhatatla. A legtöbb alsókategóriás GPS mûszer esetébe lehetõség va felhaszáló általi dátumdefiiálásra (User Datum), mely 5 paramétert kívá meg: az alapellipszoidak a WGS84 ellipszoidhoz viszoyított eltolását leíró 3 paramétert (d, d, dz), illetve az alapellipszoid és a WGS84 ellipszoid agytegelyéek és lapultságáak eltérését (da és df). A HD7 és a WGS84 alapfelületek közötti, a szakirodalomba leírt traszformációk, pl. Mihály (995, 996); Busics (996); Ádám (000), az alapellipszoidok eltérésé túl 7 paramétert tartalmazak. A széleskörû, em geodéziai célú és igéyû GPS-alkalmazásokhoz szükséges még a 3-paraméteres traszformációs modell defiiálása is. Takács (00a; 00b), részbe Busics (996) yomá, olya traszformációkat ad meg, amelyekkel külöbözõ típusú kézi GPS vevõkkel, felhaszáló által defiiált koordiátaredszerek (User Grid) beállításával, avigációs célra elegedõ potossággal, közvetleül az EOV koordiáták jeleíthetõk meg. A jele dolgozat em ezt az utat választja: mivel az EOV koordiáták számítási képletei ismertek (MÉM OFTH, 975), ezért itt az EOV alapfelületéek, a HD7-ek a miél potosabb, 3-paraméteres, kézi GPS-vevõkbe is beállítható defiíciója a cél, így a GPS vevõ a HD7 alapfelülete értelmezett földrajzi koordiáták irathatók ki.. A Bursa-Wolf-féle (7 paraméteres) traszformáció A geodéziai alapfelületek, más éve dátumok defiiálása más dátumokhoz törtéõ traszformációk segítségével lehetséges (pl. Bíró, 985). A leírás és így a dátumdefiíció általába a klasszikus
Helmert-traszformáció 7 paraméterével törtéik: 3 paraméter az eltolási, 3 az elforgatási tag, és a femaradó az alapelipszoidok közötti agyítási téyezõ. A 7 paraméter, illetve a kiidulási- és a céldátum ellipszoidi koordiátái segítségével az átváltás az ú. Bursa-Wolf traszformáció segítségével törtéhet (Bursa, 96; Wolf, 963): Áttérés geocetrikus koordiátákra: = ( N + h) cos Φ cos Λ = ( N + h) cosφ si Λ Z = [ N ( e ) + h] si Φ ahol a N( Φ) = e si Φ () () (3) a harátgörbületi sugár; a az ellipszoid fél agytegelye, e az excetricitása; Φ, Λ, ill. h a pot földrajzi koordiátái és ellipszoidi magassága,, és Z pedig a geocetrikus koordiáták. Áttérés más alapfelületre: Z ' ' d + + = d ( κ ) Z dz ' Z Z (4) ahol ', ' és Z' a céldátumo értelmezett geocetrikus koordiáták, d, d és dz az eltolási, és Z az elforgatási paraméterek, a méretaráytéyezõ. A geocetrikus koordiátákról földrajzi koordiátákra törtéõ koverzió egyeletei a földrajzi szélesség számításakor em hozhatók explicit alakra, ezért Bowrig (976) yomá a potos leíráshoz képest a következõ egyszerûsítés alkalmazható: Z + e' bsi Φ ' = arcta p e a cos Λ = arcta (5) (6) p h' = N ( Φ) cosφ (7) Za ahol p = +, θ = arcta, pb 3 θ θ 3 a b e' =, b a és b az ellipszoid fél agy- és kistegelye. A feti egyszerûsítõ formula (de em az egész háromparaméteres egyszerûsítés) alkalmazása 000 km magasságig cetiméter potosságot jelet (Bowrig, 976). Ez természetese a geodéziai szitû potosság elvesztését eredméyezi, de a jele dolgozatba vázolt célak ez megfelel, és a további egyszerûsítések egyébkét is ezt meghaladó hibát eredméyezek. A GPS techológia lehetõvé tette a geocetrikus koordiátaredszerek, vagyis a Föld téyleges tömegközéppotjához rögzített, abszolút helyzetû ellipszoid, a WGS84 globális dátum bevezetését (DMA, 986). Ezt követõe bármely dátum relatív leírását a WGS84-hez képest tehetjük meg. 3. A Molodesky-Badekas-féle egyszerûsített traszformációs formulák A dátum-traszformáció megadásakor feltételkét szabhatjuk, hogy a (4) egyeletbe = = = κ := 0 Z (8) Ilyekor a 3-paraméteres, tisztá eltolássá redukált traszformációt Molodesky- illetve Molodesky-Badekas-traszformációak evezzük (Molodesky et al., 960; Badekas, 969). A traszformáció természetese az ()-(7) egyeletekbe törtéõ behelyettesítéssel is elvégezhetõ, ekkor a traszformáció vektorösszegzéssé egyszerûsödik. Nem szükséges azoba a földrajzi, ill. geocetrikus koordiáták közötti oda-vissza váltás, haem a kiiduló és a céldátumo értelmezett földrajzi koordiáták külöbsége, ill. az ellipszoid-magasságok eltérése az ú. Molodesky-féle áthidaló formulák segítségével közvetleül is megadható (DMA, 990): d si Φ cosλ d si Φ si Λ + Φ" = M si " + dz cosφ + ( a df + f da)si Φ (9) M si " d si Λ + d cos Λ Λ" = N cosφ si" (0)
h = d cosφ cos Λ + d cosφ si Λ + + ( a df + f da)si ahol Φ da e M ( Φ) = a ( e si () a meridiágörbületi sugár; Φ és Λ a kiiduló, ill. a céldátumo értelmezett szélesség-, ill. hosszúságkülöbség szögmásodpercbe, h a kiiduló és a céldátumo értelmezett ellipszoidmagasságok külöbsége, f a kiiduló ellipszoid lapultsága, da és df a kiiduló és célellipszoidok félagytegely-, ill. lapultság-eltérése. N és e leírását ld. a (3) egyelet utá. 4. A geoidmagasságok értelmezése a modellparaméterek meghatározásakor Φ) 3 A szerzõk 99 darab, Magyarország területé egyeletese elhelyezkedõ alappot adatait kapták meg a Földmérési és Távérzékelési Itézettõl a jele dolgozat elkészítéséhez. Az egyes alappotokhoz adott volt azok két EOV-koordiátája, geoid magassága, továbbá a WGS84 redszerbe értelmezett 3 geocetrikus koordiátája (Borza, 996). Az egyetle felmerülõ problémát tehát az jeleti, hogy az alappotok magasságait em a HD7 alapfelülethez, haem a szitezési folyamato keresztül a geoidhoz képest határozták meg. Ezt a problémát háromféleképp is megoldhatóak tartjuk. A geometriai értelembe egzakt megoldás az, ha a geoidmagasságokat a HD7 dátum felett értelmezett ellipszoid-magasságokká alakítjuk át, ehhez szükséges a geoid magyarországi felületdarabjáak ismerete. Jele dolgozatba az EGM96 globális geoidmodellt (NIMA, 997) alkalmaztuk az alappotoko fellépõ geoid-uduláció becslésére. Egy másik lehetséges megoldás, hogy eltekitük a geoid-udulációtól, és olya modellt defiiáluk, amely közvetleül a geoidmagasság, ill. az EOV-koordiáták és a WGS84 koordiáták között teremt kapcsolatot. Erre a geometriailag egyébkét ikorrekt defiícióra azért va lehetõség, mert bár a HD7 dátum által leírt ellipszoid és a geoid em esik egybe, Magyarország területé azoba majdem párhuzamosa haladak: a HD7 geoidudulációja 6,5-7 méter körüli, sehol em kerül 5,5 m alá, ill. 8,5 m fölé (Ádám et al., 000). A harmadik lehetõség azt célozza, hogy a GPSmûszerekbe beállítható felhaszálói dátumak e csak 3, haem mid az 5 paraméterét beállítva, magasságkorrekció (tehát a kijelzett ellipszoidmagasságból a geoid-uduláció levoása) élkül közvetleül a HD7 ellipszoid-magasság legye leolvasható. Kihaszálva az imét említett téyt, hogy a HD7 dátum geoid-udulációja majdem álladó Magyarország területé, a dátum alapját képezõ GPS67 ellipszoid fél agy- és kistegelyét egyarát ez átlagértékkel (pl. 7 méterrel) megövelve megadhatók a WGS84 és e módosított ellipszoid dátumáak paraméterei. Ismét szükséges hagsúlyozi, hogy a második és a harmadik megoldás geometriai értelembe em helyes, s bár az általuk eredméyezett paramétereket is megadjuk, csak az elsõ megoldást részletezzük. 5. A modellparaméterek számítása A geoid magyarországi darabjáak leírására a HGEO99B modell szolgál (Keyeres, 999), eek a WGS84-gyel majdem megegyezõ, abszolút elhelyezésû GRS80 ellipszoidra voatkoztatott geoid-udulációját Ádám et al. (000) leírja. Mivel a HGEO99B modell em állt redelkezésükre, a globális, 360-ad fokú és 360-ad redû EGM96 modellt (NIMA, 997) haszáltuk. Adott poto az így számolt geoid-uduláció eltérése a HGEO99B szerititõl Magyarország területé mideütt fél méter alatt marad, általába az eltérés 0 cm körüli. Az EOV síkkordiáták HD7 alapfelülete értelmezett földrajzi koordiátákká alakítását GPS Pathfider Office.70 szoftverrel végeztük, mide további traszformáció számítására a NIMA (00) GeoTras.03 programját haszáltuk. Az EOV síkkordiáták és a geoidmagasságok alapjá, az utóbbiakat az EGM96 modell segítségével ellipszoid-magasságokká kovertálva, kiszámítottuk a megkapott alappotok HD7 dátumo értelmezett geocetrikus koordiátáit. Ie az eltolási traszformáció 3 paramétere a A GPS mûszerek egy részéél az alapfelület átállítása csak a síkkordiátákat változtatja; a jelzett magasság a WGS84 ellipszoidi magasság marad. d = i= ( WGS 84, i HD7, i ) ; 3
d = i= ( WGS 84, i HD7, i ) ; dz = ( Z WGS 84, i Z HD 7, i ) () i= összefüggések segítségével egyszerûe kiszámítható, és a következõ értékeik adódtak (HD7àWGS84 iráyú traszformáció eseté): d=56,9 m (+0,48 0,53 m); d=-70,8 m (+0,50-0,79 m); dz=-9,49 m (+0,73-0,36 m) A feti zárójeles számértékek a legikább eltérõ pot koordiátájáak az átlagostól való eltérését jelzik. Az EOV koordiáták és geoidmagasságok felhaszálásával, a feti háromparaméteres modell segítségével számított WGS84 geocetrikus koordiáták átlagos eltérése a megadottaktól a 99 alappoto 4 cm, a maximális eltérés 94 cm. A traszformáció háromdimeziós potossága tehát méter. Ugyailye fotos megadi a traszformáció vízszites hibáját, amelyek átlagértéke 4 cm, maximális értéke 80 cm. Ameyibe a geoidmagasságokat ellipszoidmagasságokak tételezzük fel, úgy a következõ eredméyek adódak: d = 6,6 m (+0,9 -,5 m); d = -68,66 m (+,5 -,38 m); dz = -4,39 m (+0,95 -,8 m) Itt a háromdimeziós átlagos eltérés 75 cm, a maximális eltérés,53 méter. A vízszites átlagos eltérés 5 cm, a maximális vizszites hiba 9 cm. A becsült geoidmagasságok maximális hibája 86 cm. Végül, ha a geoidmagasságokat a 7 méterrel megövelt félagytegelyû és ugyaeyivel övelt félkistegelyû, módosított GRS67 ellipszoid feletti magasságkét értelmezzük, úgy: d = 56,8 m (+0,74-0,97 m); d = -70, m (+0,6-0,9 m); dz = -9,59 m (+0,64-0,74 m) Ekkor a háromdimeziós átlagos eltérés 5 cm, a maximális eltérés,06 méter. A vízszites hiba átlaga 45 cm, maximuma 95 cm, a függõleges eltérések átlaga 39,5 cm (vagyis a GRS67 méretét em 7 méterrel, haem 7-0,395=6,605 méterrel kell öveli). Lehetséges természetese az is, hogy a 3-paraméteres modellt ismert geoid-udulációjú pothoz, egybe az alapfelület kezdõpotjához kössük. Felhaszálva, hogy a Szõlõhegy poto a geoid 6,56 méterrel a HD7 alapfelület felett va, az így kiszámított HD7 geocetrikus koordiáták és a WGS84 geocetrikus koordiáták külöbségét képezve: d = 57.0 m; d = -69.97 m; dz = -9,9 m, ami alig tér el az elsõ megoldástól, az eltérés mértéke az EGM96 geoidmodel potosságára utal! Ez a traszformáció garatálta helyes geoid-udulációhoz, ill. magassági dátumhoz kötött. Átlagos vizszites hibája 45 cm, a maximális eltérés 95 cm. 6. Diszkusszió és összefoglalás Az eredméyekbõl látható, hogy a legkisebb hibát a geometriailag egzakt megoldás adja, ez esetbe a traszformáció méterél em agyobb háromdimeziós eltéréssel bármely vizsgált alappot WGS84-koordiátáit átalakítja HD7-koordiátákká és viszot. Eél valamivel rosszabb a módosított méretû alapellipszoidra számított modell hibája. A geometriailag helyes Molodesky-Badekas modell paraméterei tehát a következõk (HD7àWGS84 iráyú traszformáció eseté, a WGS84 és a GRS67 ellipszoid ismert félagytegely- és lapultság-eltérésével): d = 56,9 m; d = -70,8 m; dz = -9,49 m; da = -3 m; df = -,304*0-7, míg az alapfelület kezdõpotjához és aak ismert ellipszoid-magasságához kötött traszformáció paraméterei: d = 57,0 m; d = -69,97 m; dz = -9,9 m; A GRS67-tõl eltérõ alapellipszoid miatt itt da = -30 m és df = -,0937*0-7. 4
da = -3 m; df = -,304*0-7 Ezek az adatok alkalmazhatók a GPS mûszerek felhaszálói dátumakét megadva a HD7 alapfelület defiiálására 3, az eze értelmezett koordiátákból pedig a helyes EOV koordiáták számíthatók. A potosság m alatti, ami a kézi GPS-ek mérési és sok esetbe adatkijelzési potosságát meghaladja. Összehasolításkét megemlítjük, hogy a HD7 és a WGS84 közötti 7-paraméteres traszformációs modellek potossága eél jobb, de azoos agyságredû. A Busics (996) által leírt modell átlagos vizszites hibája a vizsgált 99 alappoto 30 cm, a maximális eltérés 6 cm, a maximális függõleges eltérés 87 cm (ez a modell közvetleül geoidmagasságokat számol). Hasoló vizszites potosságú a Mihály (995) által megadott, ellipszoidmagasságokat becslõ modell. Az így defiiált dátumtraszformáció további elõyei: A csak 3-paraméteres dátumtraszformációs modelleket ismerõ GIS alkalmazásokba is haszálható. A WGS84 közbeiktatása élküli, közvetle átszámítások más alapfelületekre eek alkalmazásával léyegese egyszerûbbek. Míg adott potossággal több 7-paraméteres traszformáció is meghatározható, a tisztá eltolásos modellt adott kezdõadatokat felhaszálva midig egyértelmûe defiiálhatjuk. Köszöetyilváítás A dolgozat elkészítéséhez szükséges geodéziai alapadatokat a Földmérési és Távérzékelési Itézet bocsátotta a szerzõk redelkezésére, kizárólag tudomáyos célú felhaszálásra. A szerzõk ezúto modaak köszöetet dr. Borza Tiborak (FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatórium) és dr. Györffy Jáosak (ELTE Térképtudomáyi Taszék) a dolgozat elkészítéséhez yújtott szakmai segítségért. 3 Bár a dolgozat em részletezi, a gyakorlati alkalmazások érdekébe megadjuk az S-4 (Gauss-Krüger vetületû új katoai térképek alapfelülete) defiiálására GIS szoftverekbe alkalmazott paramétersort: d = 8 m; d = - m; dz = -77 m; da = -08 m; df = 4,80795*0-7; koverziós iráy: S-4 à WGS84 (NIMA, 00). * IRODALOM. Ádám J.: 000. Magyarországo alkalmazott geodéziai voatkoztatási redszerek vizsgálata. Geodézia és Kartográfia 5/:9-5.. Ádám J. Gazsó M. Keyeres A. Virág G.: 000. Az Állami Földmérésél 969 és 999 között végzett geoidmeghatározási mukálatok. Geodézia és Kartográfia 5/:7-4. 3. Badekas, J.: 969. Ivestigatios related to the establishmet of a world geodetic system. Report 4, Departmet of Geodetic Sciece, Ohio State Uiversity, Columbus. 4. Bíró P.: 985. Felsõgeodézia. Taköyvkiadó, Budapest. 5. Borza T.: 996. A háromdimeziós geodézia hazai alaphálózata.. Kozmikus Geodéziai Szemiárium, Elõadáskötet, Budapest. 6. Bowrig, B.: 976. Trasformatio from spatial to geographical coordiates. Survey Review III:33-37. 7. Bursa, M.: 96. The theory for the determiatio of the o-parallelism of the mior axis of the referece ellipsoid ad the iertial polar axis of the Earth, ad the plaes of the iitial astroomic ad geodetic meridias from the observatio of artificial Earth satellites. Studia Geophysica et Geodetica 6:09-4. 8. Busics Gy.: 996. Közelítõ alkalmazások a GPS és az EOV-koordiáták között. Geodézia és Kartográfia 48/6:0-6. 9. Defese Mappig Agecy, 986. Departmet of Defese World Geodetic System 984 Its Defiitio ad Relatioships With Local Geodetic Systems. Techical Report 8350.. St. Louis, Missoury, USA. 0. Defese Mappig Agecy, 990. Datums, Ellipsoids, Grids ad Grid Referece Systems. DMA Techical Maual 8358.. Fairfax, Virgiia, USA. Keyeres A.: 999. A geoid magyarországi felületdarabjáak továbbfejlesztése. Kutatási jeletés, FÖMI, Pec.. Mezõgazdasági és Élelmezésügyi Miisztérium, Országos Földügyi és Térképészeti Hivatal, 975. Vetületi Szabályzat az Egységes Országos Vetületi Redszer alkalmazására. Szabályzat, Budapest. 3. Mihály Sz.: 995. A magyarországi geodéziai voatkozási és vetületi redszerek leíró katalógusa, 4. kiadás, FÖMI, Budapest. 4. Mihály Sz.: 996. Descriptio Directory of the Hugaria Geodetic Refereces. GIS 4:30-34. 5
5. Molodesky, M.S.: Eremeev, V.F., urkia, M.I., 960. Metody izucheyia vesego gravitatsioogo polya i figuri Zemli. Tr. CNIIGAiK 3 Moszkva. 6. Natioal Imagery ad Mappig Agecy, 00. GeoTras v Geodetic Coordiate Trasformatio Utility. St. Louis, Missoury, USA. 7. Natioal Imagery ad Mappig Agecy, Natioal Aeroautics ad Space Admiistratio GSFC, 997. WGS84 EGM96 (complete to degree ad order 360) st Editio. NIMA-NASA GSFC, St. Louis, Missoury, USA 8. Takács B.: 00a. EOV koordiáták beállítása GARMIN vevõkö. http://www.agt.bme.hu/ staff-h/bece/eov_gar.html 9. Takács B.: 00b. EOV koordiáták beállítása MAGELLAN vevõkö. http:// www.agt.bme.hu/staff-h/bece/eov_mag.html 0. Wolf, H.: 963 Geometric coectio ad re-orietatio of three-dimesioal triagulatio ets. Bulleti Géodésique 68:65-69. The Molodesky-Badekas (3-parameter) datum trasformatio betwee the WGS84 ad the Hugaria Datum 97 for practical use G. Timár G. Molár Sz. Pásztor Summary World Geodetic System 984 (WGS84) ad the Hugaria Datum 97 (HD7) of the GRS67 ellipsoid. 99 base poits of the precise levellig i uiform spatial distributio i Hugary was used to the parameter estimatio with the data set of WGS84 geocetric coordiates, EOV (Hugaria Grid) eastigs ad orthigs ad the geoid height for each poit. Sice EOV is iterpreted o HD7 datum, the coordiates was trasformed ito geographic latitudes ad logitudes. Ellipsoid heights o HD7 were estimated from geoid heights usig the EGM96 global geoid model. The 3 parameters of the datum shift were calculated usig the computed HD7 ad the give WGS84 geocetric coordiates. The parameters are the followig, with the kow semi major axis ad flatteig differece of WGS84 ad GRS67 ellipsoids: d = 56.9 m; d = -70.8 m; dz = -9.49 m; da = -3 m; df = -.304*0-7 (directio: from HD7 to WGS84). The three-dimesioal error of the trasformatio is uder meter i Hugary. The parameters of the trasformatio usig oly the base poit of the HD7 (Szõlõhegy) ad its kow exact geoid udulatio: d = 57.0 m; d = -69.97 m; dz = -9.9 m; da = -3 m; df = -.304*0-7 (directio: from HD7 to WGS84), its maximum horizotal error is below meter i Hugary. A 3-parameter Molodesky-Badekas datum trasformatio model is defied betwee the A felsõfokú földmérõ képzésrõl másképpe Gyees Róbert, NME Geoiformatikai Fõiskolai Kar, Geodézia Taszék Lapuk 00/6. számába olvashattuk a magyar felsõfokú földmérõ-térképész képzésrõl [3]. A taulmáyba a Budapesti Mûszaki és Gazdaságtudomáyi Egyeteme, az Eötvös Lórád Tudomáyegyeteme és a Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Fõiskolai Kará (NME GEO) folyó szakember-képzés került bemutatásra. A leírtak alapjá elismerést érdemel az itézméyekbe folyó oktatói-kutatói-evelõi muka, de mit az ebbe a mukába mideap résztvevõ, em szaladhatok el azo sorok fölött, amelyek a 3. fejezetbe, az NME GEO-ál leírtakál találhatók. Egedjék meg, hogy most szó szerit ebbõl idézzek: 6