Matematika példatár 3 Deriváltak, differenciálszámítás függvények és Csabina, Zoltánné
Matematika példatár 3: Deriváltak, differenciálszámítás függvények és deriváltak alkalmazása a Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés, Ágnes Phd Ez a modul a TÁMOP - 412-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért projekt keretében készült A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta v 10 Publication date 2010 Szerzői jog 2010 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ez a modul a differenciálszámítást foglalja össze Kivonat Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges
Tartalom 3 MATDeriváltak, deriváltak alkalmazása a 1 1 31 Bevezetés 1 2 32 Differenciálszámítás 1 21 321 A differenciálhányados fogalma 1 22 322 Differenciálási szabályok 3 23 323 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat, normális 8 24 324 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör 11 25 325 L Hospital-szabály 15 26 326 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás 18 27 327 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás 22 3 33 Megoldások 28 iii
3 fejezet - MATDeriváltak, 1 31 Bevezetés A feladatgyűjtemény a matematikai analízis tantárgy gyakorlatainak tananyagát öleli fel a NyME Geoinformatikai Kar mérnöki szakán A feladatgyűjtemény külön fejezetekben tárgyalja az egyes anyagrészeket Minden fejezet elején megtalálhatók a legfontosabb definíciók és tételek bizonyítás nélkül, amelyek ismerete elengedhetetlen a feladatok megoldásához Minden fejezetben találhatók részletesen kidolgozott példák, amelyek az egész tananyagot felölelik, és segítik annak megértését Minden fejezet végén feladatok találhatók, amelyeket további gyakorlás és az önálló munkára való szoktatás céljából készültek A feladatok részben saját összeállításúak, továbbá más forrásból átvettek, illetve átdolgozottak A fejezetek tananyagai egymásra épülnek, ezért érdemes a feldolgozott sorrendben haladni a tanulásban A feladatgyűjtemény célja hallgatóink munkájának, tanulásának könnyítése, matematika tanulásának elmélyítése A fokozatosság elvén alapuló feladatok pedig fejlesztik a matematikai gondolkodásukat, valamint a szaktárgyak és alapozó tárgyak elsajátításához szükséges ismeretek elmélyítését, a feladatmegoldó készséget, jártasságot A hallgatók, olyan alapokra tesznek szert, amelyek felhasználásával képessé válnak a gyakorlatban felmerülő problémák modelljeinek felállítására, és azok megoldására A feladatok megoldásával szakmájához szükséges konvertibilis és tovább építhető matematikai ismeret birtokába jut 2 32 Differenciálszámítás 21 321 A differenciálhányados fogalma Definíció: Legyen x 0 az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az x 0 pontban, ha a véges határértéke A (x) differencia-hányados-függvénynek az x 0 pontban létezik számot az f függvény x 0 ponthoz tartozó differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük Ha a fenti határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x 0 pontban nem differenciálható Az f függvény x 0 helyen vett differenciálhányadosa, az f függvénygörbe A(x 0,f(x 0)) pontbeli érintőjének az iránytangense 1
1 példa: Vizsgáljuk meg, hogy az f(x) = 4x 2 függvény differenciálható-e a 2 pontban! Megoldás: Először az f(x) függvény 2 pontjához tartozó differenciahányados-függvényét írjuk fel: Ennek a függvénynek a 2 pontban vesszük a határértékét: x R\{2} A 2 pontban van véges határérték, tehát az f függvény differenciálható ebben a pontban 2 példa: Határozzuk meg az f(x) = x 2 + 3x függvény differenciálhányadosát x=1 helyen a differenciahányados határértékeként! Megoldás: Tehát f (1) = 5 3 példa: Definíció alapján vezessük le az f(x) = x 3 függvény derivált függvényét, x R! Megoldás: Legyen x 0 R tetszés szerinti Vizsgáljuk a differenciahányados-függvény határértékét az x 0 helyen: Az x 0 pontot tetszőlegesen választottuk, ezért az f függvény bármely x R pontban differenciálható, és f (x) = 3x 2 4 példa: Differenciálható-e az alábbi függvény az x 0 = 2 pontban? Megoldás: Megvizsgáljuk a függvény jobb és bal oldali differenciálhatóságát az x 0 = 2 pontban: 2
Tehát az f függvény az x 0 = 2 pontban nem differenciálható A függvénynek az x 0 = 2 pontban töréspontja van FELADATOK: 1 ábra 1) Határozzuk meg az f(x) = x 2 + x függvény differenciálhányadosát x=2 helyen a differenciahányados határértékeként! 2) Tekintsük az f(x)= x 2-5 függvény görbéjének az A(3,4) pontját Mivel egyenlő az A pontban húzott érintő iránytangense? 3) Közvetlenül a definíció alapján vezessük le az függvény derivált függvényét! 4) Differenciálható-e az alábbi függvény a [0;5] intervallumon? 5) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 0 helyen? 6) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 1 helyen? 7) Legyen f(x)= Differenciálható-e az f függvény az x=0 helyen? 8) Számítsuk ki az függvény differenciálhányadosának értékét az helyen (ha létezik) 9) Az függvény differenciálható-e az x=-3 az x=0 és az x=1 helyen? 22 322 Differenciálási szabályok 3
1, 1 3 4 5 Az összetett függvény deriválási szabályát szokás lánc-szabálynak is nevezni Elemi függvények deriváltjai: Logaritmikus deriválás:, ez egy olyan függvény, amelynek az alapja és a kitevője is függvény Vegyük mindkét oldal logaritmusát, majd deriváljuk mindkét oldalt 4
5 példa: Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait! A függvények értelmezési tartományának és deriváltjaik értelmezési tartományának vizsgálatát önállóan végezze el! 1 1 f(x) = (lnx 2 ) tg x 1 A fenti hozzárendelési törvénnyel adott függvény háromszorosan összetett, h(x) = 2x g(h(x)) = sin(h(x))= sin2x f (g(h(x))) = Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva: z (x) = (e sin2x ) = e sin2x (cos2x) 2 Ez a részletezés a feladatok során általában nem szükséges, hiszen a konkrét függvény alapján látható a függvény összetétele, s így a szabály közvetlenül alkalmazható 1 1 5
1 7 Logaritmikus deriválás: 8) Logaritmikus deriválás: 9) Implicit függvény deriválása: 10) Implicit függvény deriválása: 6
Feladatok: Deriváljuk a következő függvényeket! Néhány példában gondolja meg, mely valós x-re értelmezhetők illetve differenciálhatók a függvények! 1 11) 2 13) 3 15) 4 17) 5 19) 6 21) 7 23) 8 25) 9 27) 10 29) 11 31) 12 33) 7
13 35) 14 37) 23 323 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat, normális Az érintő egyenlete: A P 0 (x 0; f(x 0)) ponton átmenő m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete: y= m(x x 0) + f(x 0), a P 0-ban az f függvényhez húzott érintő egyenlete: m = tgα = f (x 0) y= f (x 0)(x x 0) + f(x 0) A görbe normálisa merőleges az érintési pontban az érintőre A normális egyenlete: y= (x x 0) + f(x 0), m = tg = Az f (x 0) 0, mert különben a képlet nem alkalmazható 2 ábra Definíció: A P pontban két egymást metsző síkgörbe hajlásszöge a két görbéhez a metszéspontban húzott érintők által bezárt derékszögnél nem nagyobb szög 3 ábra 8
, 0 ω ha f (x 0)g (x 0) 1 Abban az esetben, ha f (x 0)g (x 0) = 1, akkor ω = 6példa: Határozzuk meg az f(x) = e x + 2 függvény görbéjének érintőjét és normálisát az x 0 = 0 abszcisszájú pontjában Megoldás: Az érintési pont: E (0;3) A derivált függvény:, amiből az érintő iránytangense: f (x 0) = e 0 = 1 A normális iránytangense: = 1 Az érintő egyenlete: y = 1(x 0) + 3 vagyis y = x + 3 A normális egyenlete: y = 1(x 0) + 3 vagyis y = x + 3 4 ábra 7példa: Határozzuk meg az xy = 1 és az y = x 2 görbék hajlásszögét Megoldás: Először meg kell adnunk a két síkgörbe metszéspontját A metszéspont M(1;1) 9
5 ábra és g(x) = x 2, deriváltjaik: és g (x) = 2x f (x 0) = f (1) = 1 és g (x 0) = g (1) = 2, ebből α = 71 34 8példa: Határozzuk meg grafikusan az fokos szögben metszik egymást és y = ln x + 1 görbék metszéspontját, majd számítsuk ki, hány Megoldás: A két síkgörbe metszéspontja: M(1;1) 6 ábra és, f (x 0) = f (1) = 1 és g (x 0) = g (1) = 1 Ekkor f (x 0)g (x 0) = 1 1 = 1, tehát ω = 90 Feladatok: 38)Keressük meg az függvény görbéjének érintőjét és normálisát az 10
x 0 = 4,5 helyen MATDeriváltak, 39)Írjuk fel az parabola érintőjének az egyenletét az x tengellyel való metszéspontjaiban 40)A van 45 -os irányszögű érintője? egyenlettel adott függvény görbéjének milyen abszcisszájú pontjában 41)Mutassuk meg, hogy az függvény görbéjének a koordinátatengelyekkel alkotott metszéspontjaiba húzott érintői párhuzamosak egymással 42)Adott az áthalad az origón? x R függvény Milyen abszcisszájú pontban kell meghúzni azt az érintőt, amelyik 43)Adjuk meg az x+4y=3 egyenesre egyenlettel adott görbe azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az 44) Határozzuk meg a függvény azon pontjait, amelyekhez húzott érintő párhuzamos az y=x+4 egyenessel 45) Mekkora az görbe érintőjének meredeksége az origóban és a P(2,1) pontban? 46)Keressük meg az amelyhez húzott érintő párhuzamos az x tengellyel függvénnyel megadott görbének azon pontjait, 47) Határozzuk meg a és b paraméterek értékét úgy, hogy az f függvény minden valós x-re differenciálható legyen 48) Hány fokos szögben metszi az y=x+6 egyenes az parabola felső ágát? 49) Mekkora szög alatt metszi az y=-2x+5 egyenes az -et 50) Az a milyen értékénél metszi 45 -ban az x tengelyt? 51)Milyen messze van az x=(2ln2)y-4ln2 egyenes az görbétől? 52) Az egyenes milyen messze van az től 24 324 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör Definíció: Ha f differenciálható a H 1 halmazon (H 1 = D f ) és ennek f deriváltfüggvénye differenciálható a H 2 H 1 halmazon, akkor az f deriváltfüggvényét amelyet f -vel jelölünk nevezzük az f függvény második 11
deriváltjának (H 2 = D f ) Hasonló módon jutunk el az f függvény n-edik deriváltjának fogalmához, amit az f függvény n-edrendű deriváltjának is nevezzük Definíció: Ha az f függvény az x 0 pontban n-szer differenciálható, akkor képezhetjük a polinomot, amelyet az f függvény x 0-hoz tartozó n-edrendű Taylor polinomjának nevezünk Ha x 0 = 0, akkor a T n(x) függvényt az f n-edrendű Maclaurin-polinomjának nevezzük Definíció: Legyen az f függvény az értelmezési tartománya valamely x 0 pontjában akárhányszor differenciálható Ekkor az hatványsort az f függvény x 0-hoz tartozó Taylor-sorának nevezzük Definíció: Az y = f(x) függvény görbéjének simulóköre az x 0 pontban az a kör, amellyel a görbe legalább másodrendben érintkezik Ha az f(x) és g(x) függvények, valamint differenciálhányadosaik értéke az n-edikig bezárólag az x 0 helyen rendre megegyeznek, azaz f(x 0) = g(x 0), f (x 0) = g (x 0), f (n) (x 0) = g (n) (x 0), f (n+1) (x 0) g (n+1) (x 0), akkor azt mondjuk, hogy az f(x) és a g(x) görbék az x 0 helyen n-edrendben érintkeznek Definíció: Egy görbe görbülete az x 0 pontban az x 0 pontbeli simulókör sugarának a reciproka: A simulókör sugarát a következő képlettel is kiszámíthatjuk: 9példa: Határozzuk meg az f(x) = ln x (x R + ) függvény harmadik deriváltjának az x 0 = 1 helyen vett helyettesítési értékét Megoldás: A deriváltak:, f (1) = 2 10példa: Határozzuk meg az f(x) = sin x függvény 28-adik deriváltját Megoldás: f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (4) (x)= sin x, f (5) (x)= cos x Látható, hogy a deriváltak n = 4-es periódussal ismétlődnek: 12
Ezért f (28) (x) = sin x, x R 11 példa: Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x 0 = 1 ponthoz tartozó n-endrendű Taylor-polinomját, ahol 0 x 2 f(x) = ln x f(1) = ln 1 = 0 f (1) = 1 f (1) = 1 f (1) = 2 = 2! f 4 (1) = 6 = 3! Μ Μ f 5 = 24 = 4! f (n) (1) = ( 1) n+1 (n 1)! 12 példa: Határozzuk meg parabola x 0 = 2 helyhez tartozó simulókörének egyenletét (g(x)), és e helyen a parabola görbületét! Megoldás: 13
7 ábra = f(x) f(2) = 1 = g(2) = f (x) f (2) = 1 = g (2) = f (x) f (2) = = g (2) Felírjuk a keresett simulókör egyenletét implicit alakban, kétszer deriváljuk, majd behelyettesítjük a konkrét értékeket Az u, v és r-re így kapott egyenletrendszert megoldjuk: (2 + 2) 2 + ( 1 + 5) 2 = r 2, ahonnan r = 4 Ez azt jelenti, hogy a vizsgált egyenletű parabola a P(2;-1) pontjában olyan mértékben görbült, mint egy 4 5,6 egység sugarú kör vonala (A kör görbültsége minden pontjában azonos, a parabola görbültsége pontonként változik) A simulókör egyenlete: (x + 2) 2 + (y + 5) 2 = 32 A parabola görbülete az x 0 = 2 helyen: FELADATOK: 53) Határozzuk meg az f(x) = 4x 3 2x 2 + 5x + 6 függvény összes f (n) (x) deriváltját! 54) Határozzuk meg az függvény deriváltját, majd az függvény 15-dik deriváltját! 14
55)Képezzük a megadott függvények második és harmadik derivált függvényét: a)f(x)= xarctg(x) b) i d)f(x)=tgx 56) Az függvény minden pozitív egész n értékre adjuk meg az f (n) (x) függvényt 57) Írjuk fel a polinomot (x+1) hatványai szerint! 58) Írjuk fel az f(x)=cosx, függvény pontjához tartozó negyedfokú Taylor- polinomját! 59) Írjuk fel az függvény pontjához tartozó harmadfokú Taylor- polinomját! 60) Írjuk fel az alábbi függvények harmadfokú MacLaurin- polinomját! a) b) c) f(x)=tgx 61) Határozzuk meg az f(x)=ln(1-x) MacLaurin-sorát! 62) Negyedrendű Taylor polinom felhasználásával adjuk meg ln1,5 közelítő értékét 63) Az függvénynek az y tengellyel való metszéspontjában írjuk fel a simulókörének egyenletét és görbületét 64) Mekkora az y=sinx görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörének egyenletét! 65) Mekkora az görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörének egyenletét! 66) Adjuk meg a következő függvények görbületét az pontban! a b) 67)Írjuk fel az függvény E(3,3) pontjában simulókörének egyenletét és görbületét! 25 325 L Hospital-szabály Vannak olyan határértékszámítási problémák, amelyek megoldása az eddig ismert módszerekkel nem lehetséges, vagy ha igen, akkor csak nagyon körülményesen Ilyenek például a és a típusú határértékek, 15
valamint az ezekre visszavezethetők Az ilyen jellegű határértékek meghatározására való határértékszámítási szabályokat L Hospital-szabályoknak szokás nevezni A véges helyen vett és típusú Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal: 1), vagy 2) f és g x 0 környezetében differenciálható (esetleg féloldali) 3) x 0 környezetében és 4) létezik a akkor a határérték is létezik, és 13 példa: Számítsuk ki a következő határértékeket! A tétel feltételeinek vizsgálatát az olvasóra bízzuk 1 2 3 Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal: 1) vagy 2) f és g függvény az (a; ) intervallumon differenciálható 3) g (x) 0 ezen az intervallumon és 4) létezik a akkor a határérték is létezik, és 14 példa: Számítsuk ki a következő határértékeket: 16
1 2 3 Megemlítjük még a, 0, 0, 1, 0 0 típusú határértékeket E határértékek kiszámítását a alakra vezetjük vissza, és ezekre alkalmazzuk a L Hospital szabályt vagy a 15 példa: ( ) típus Megoldás: Közös nevezőre hozva a helyettesítési érték lesz, alkalmazható a L Hospital szabály: mivel ez újból alakú, újra alkalmazzuk a L Hospital-szabályt:, tehát 16 példa: ( 0) típus Megoldás: A kifejezést törtté alakítjuk, így alkalmazható a L Hospital szabály: 17
FELADATOK: A következő határértékek kiszámításához használjuk a L Hospital-szabályt 1 69) 2 71) 3 73) 4 75) 5 77) 6 79) 7 81) 26 326 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás Tétel: Legyen az f függvény az [a;b] intervallumon folytonos és az (a;b) nyílt intervallumon differenciálható Az f függvény ezen az intervallumon akkor és csak akkor monoton növekedő ill fogyó, ha f (x) 0, illetve f (x) 0 teljesül minden x (a;b)-re Tétel: Ha az f függvény az x 0 hely valamely környezetében differenciálható, f (x 0) = 0, és az f deriváltfüggvény az x 0 pontban előjelet vált, akkor f-nek az x 0 pontban van lokális szélsőértéke a Ha f az x 0 pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor f-nek az x 0 pontban lokális minimuma van b Ha f az x 0 pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor f-nek az x 0 pontban lokális maximuma van Annak megállapítására, hogy egy függvénynek létezik-e szélsőértéke, és ha létezik milyen, néha célszerű magasabbrendű deriváltakat is felhasználni Tétel: Ha az f függvény az x 0 pontban kétszer differenciálható, továbbá f (x 0) = 0 és f (x 0) 0, 18
akkor a függvénynek az x 0 helyen lokális maximuma van Ha pedig f (x 0) = 0 és f (x 0) 0, akkor a függvénynek az x 0 pontban lokális minimuma van 17 példa: Határozzuk meg az f(x) = x 4 2x 2 + 2 függvény monotonitási szakaszait és lokális szélsőértékeit Megoldás: f (x) = 4x 3 4x = 4x(x 2 1) f (x) = 0, ha 4x 3 4x = 0, 4x(x 2 1) = 0, ha x = 1; 0; 1 Az f zérushelyei négy részintervallumra bontják az f értelmezési tartományát 8 ábra Táblázatunk már tartalmazza az f függvényre vonatkozó következtetéseinket is Ahol az első derivált pozitív ( 1 x 0 és x 1) ott a függvény szigorúan monoton növekedő, ahol a derivált negatív (x 1 és 0 x 1), ott a függvény szigorúan monoton csökkenő 9 ábra 18 példa: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit! Megoldás: Mivel a függvény minden x R differenciálható, ezért lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus:, f (x) = 0 ha x = 1, 1 A szélsőérték létezéséhez elengedő, ha az első derivált zérushelyein az f függvény értéke nem nulla Ez esetben: 19
f ( 1) = 3 0 f (1) = 3 0 Ez azt jelenti, hogy a függvénynek az x = 1 helyen lokális minimuma van, amelynek értéke f( 1) = 3, és az x = 1 helyen lokális maximuma van, amelynek értéke f(1) = 3 Tétel: Ha az f függvény az [a;b] intervallumon kétszer differenciálható, akkor ahhoz, hogy itt konvex (illetve konkáv) legyen, szükséges és elégséges, hogy f (x) 0 (illetve f (x) 0) legyen az egész [a;b] intervallumon Tétel: Ha f függvény az x 0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f (x 0) = 0, valamint az f függvény az x 0 helyen előjelet vált, akkor f-nek az x 0 helyen inflexiós pontja van Tétel: Ha f az x 0 helyen háromszor differenciálható, valamint f (x 0) = 0 és f (x 0) 0, akkor f-nek az x 0-ban inflexiós pontja van 19 példa: Határozzuk meg az függvény inflexiós pontjait! Megkeressük a második derivált zérushelyeit és megvizsgáljuk az f függvény előjelét: f (x) = x 2 2x 3 és f (x) = 2x 2 Az f (x) = 0 egyenlet megoldása: x = 1 A második derivált előjelváltásait foglaljuk táblázatba: 10 ábra Ahol f pozitív (x 1), ott konvex, ahol f negatív (x 1), ott konkáv az f függvény Az x = 1 helyen f előjelet váltva 0, ezért az inflexiós pont (f (x) = 2, így f (1) = 2 0, tehát az x = 1 pontban van inflexiós pont) A gyakorlati feladatok egy része az úgynevezett szélsőérték-feladat, amikor is csak a szélsőértékek meghatározása a cél Az ilyen feladatok kitűzésekor általában nem kapjuk meg a vizsgálandó függvényt, azt a feladatban megfogalmazott feltételek alapján kell előállítani 20 példa: Adott egy felül nyitott négyzet alapú hasáb, amelynek a térfogata 32 m 3 Hogyan kell megválasztani a hasáb adatait, hogy a felszín minimális legyen? Megoldás: 1 Ha az alapél a és a magasság m, akkor a felszín: A = a 2 + 4am 2 A következő lépésben egyváltozóssá tesszük a felszín függvényét a térfogat segítségével V = 32 m 3, V = a 2 m = 32, m =, 20
A = a 2 + 4a D f : a 0 1 A felszínnek ott lehet szélső értéke, ahol A (a) = 0 Az a szerint differenciálva:, ha a = 4 1 1 A minimális felszínű négyzet alapú hasáb adatai: ez pedig azt jelenti, hogy V-nek az a = 4 értékre minimuma van a = 4 és m = A minimális felszín: A min = 16 + 4 4 2 = 48 m 2 FELADATOK: 82) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket, szélsőérték szempontjából (helye, nagysága, minősége) Határozza meg azokat az intervallumokat is, amelyeken a függvény monoton! a b) 83) Határozza meg az függvény szélsőértékét! Határozza meg az pontba húzható érintő egyenletét! 84) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét Írja fel a függvénygörbékhez az pontban húzható érintők egyenletét! a b) 85) Vizsgáljuk meg a következő függvényeknél, hogy a függvény görbéje mely intervallumban konvex, illetve konkáv Határozza meg a függvény inflexiós pontját, és írja fel az inflexiós pontbeli érintő egyenletét! a b) i d) 86) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét/szélsőértékeit és inflexiós pontját/pontjait! a b) 21
87) A intervallumon hol konvex, ill konkáv a következő függvény? 88)Végezzünk teljes függvényvizsgálatot, és ábrázoljuk a függvényt! a b) 89) Húsz méter hosszú drótszövetünk van Hogyan válasszuk meg a téglalap alakú kert adatait, ha maximális területet akarunk körülhatárolni, és az egyik oldalon már van kerítés? 90) 60cm-es vashuzalból téglatestet alakítunk ki Hogyan kell megválasztani az éleit (alapja a, 2a oldalú téglalap), hogy a térfogat maximális legyen? 91) Az egyenes és a koordináta tengelyek által meghatározott háromszögbe téglalapot írunk úgy, hogy az egyik csúcs az adott egyenesen, 2-2 csúcsa pedig az x ill y tengelyen van Hogyan kell megválasztani a csúcsok koordinátáit, ha maximális területű téglalapot szeretnénk? 92) Egy felül nyitott henger alakú edény térfogata 500 Hogyan kell megválasztani a henger sugarát és magasságát, hogy a felszín minimális legyen? 93) Bontsuk fel a 22-t két pozitív részre úgy, hogy az egyik résznek a negyedik hatványa, és a másik rész hetedik hatványának szorzata maximális legyen! 94) Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú kúp sugarát, magasságát és térfogatát! 95) Adott egy oldalú négyzet alakú lemez, mely minden sarkából kivágunk egy-egy kis négyzetet, majd a maradék oldalrészeket felhajtva egy dobozt kapunk Mekkora legyen a levágott kis négyzetek oldala, hogy a doboz térfogata maximális legyen? Mekkorák a maximális térfogatú doboz élei, és mekkora a maximális térfogat? 96) Egy henger alakú üveg alján olyan félgömböt helyezünk el, amelynek sugara megegyezik a henger sugarával Az így kapott test térfogata üveg a legkevesebb felülettel rendelkezzen? Mekkora legyen a henger sugara és a magassága, hogy az 97) Egy termék árbevételi függvénye, ahol x az előállított termék darabszámát jelöli Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel? 27 327 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás Definíció: Legyen z = f(x,y) egy kétváltozós függvény, amely értelmezve van a P 0(x 0;y 0) pont valamely környezetében A határértéket az f(x,y) függvény x szerinti parciális differenciálhányadosának vagy parciális deriváltjának nevezzük a P 0(x 0;y 0) pontban Az x szerinti parciális derivált jelölése: 22
Az x indexszel azt emeljük ki, hogy a differenciálást az x változó szerint hajtjuk végre, állandó y mellett Hasonlóan definiálható az f függvény y szerinti parciális deriváltja Egy kétváltozós függvény mindkét parciális differenciálhányadosa egyváltozós függvény differenciálhányadosa Ebből következik, hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mindazon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megtanultunk A parciális differenciálhányadosok értelmezéséből nyilvánvaló azok geometriai jelentése: a z = f(x,y) felület és az y = y 0 sík metszésvonala (x 0;y 0;f(x 0,y 0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az x tengelyre vonatkozóan Hasonlóan: az a z = f(x, y) felület és az x = x 0 sík metszésvonala (x 0;y 0;f(x 0,y 0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az y tengelyre vonatkozóan Tegyük fel, hogy a z = f(x, y) függvény 11 ábra parciális differenciálhányadosai léteznek az xy sík bizonyos tartományában Ezen függvények parciális differenciálhányadosait (amennyiben azok léteznek) az f(x,y) függvény másodrendű parciális differenciálhányadosainak nevezzük: 23
Az és differenciálhányadosokat vegyes másodrendű differenciálhányadosoknak nevezzük Tétel: Ha a z = f(x,y) függvény második vegyes parciális differenciálhányadosai egy (x 0,y 0) pontban folytonosak, akkor e pontban egyenlők is egymással: Definíció: A z = f(x,y) függvény teljes differenciálja a P 0(x 0;y 0) pontban: A teljes differenciált a hibaszámításban használják Abszolút hiba: Relatív hiba:, vagy 34 példa: Határozzuk meg a következő függvények parciális deriváltjait! a) f(x,y)= 3x 2 y + xy 2 b) c) Megoldás: a) (y-t konstansnak vesszük), (x-et konstansnak vesszük) b) c) 24
35feladat: Számítsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait: a) b) Megoldás: a) b),, 36 feladat: Egy derékszögű háromszög befogóit, -nek mértük A fenti adatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója? Megoldás: a 0=5, b 0=12, 37 feladat: Egy háromszög alakú telek két oldala a mérési hibával és, a köztük lévő szög Számítsuk ki a háromszög területét és állapítsuk meg a hibakorlátokat! Megoldás: a 0=83,56, b 0=52,25,, 25
, relatív hiba:, abszolút hiba: Tehát a terület: FELADATOK: 98) Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait! 1 2) 3/ 4/ 1 6) 2 8) 3 10) 4 12) 5 14) 6 16) 7 18) 8 20) 26
9 22) 99) Tekintse az kétváltozós függvényt Határozza meg az összeget a legegyszerűbb alakban! 100)Adott az kétváltozós függvény, ahol állandók Határozza meg a hányadost a legegyszerűbb alakban! 101) Bizonyítsuk be, hogy, ha 102) Igazoljuk, hogy a függvény eleget tesz az differenciálegyenletnek 103) Mekkora a értéke, ha az függvény megoldása a differenciálegyenletnek? 104) Megmérve egy henger m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=2,5m ± 0,01m; m=4,0m ± 0,2m Becsüljük meg a henger térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát! 105) Egy négyzet oldalának hosszát megmértük és területét abból számítottuk A számított terület :, a=35,1m Milyen pontossággal mértük meg a négyzet oldalát? 106) Megmérve egy egyenes körkúp m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=10,0cm ± 0,1cm; m=20cm ± 0,05cm Becsüljük meg az egyenes körkúp térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát! 107) Egy négyzet alapú egyenes hasáb magasságát méternek, alapélét méternek mérték Becsülje meg, hogy mekkora abszolút és relatív hibával számolható a térfogat! 108) Egy háromszög két szöge és, az egyik oldala pedig b=41,32m ± 0,01m Mekkora a háromszög a oldala? Határozzuk meg az a oldal abszolút és relatív hibáját! 109) Egy háromszög két oldala a=200m ± 2m és b=300m ± 5m, a köztük levő szög pedig Mekkora a háromszög harmadik, c oldala, és mekkora abszolút és relatív hibával számítható ki a háromszög ezen oldala? 110)Egy optikai lencse fókusztávolsága f=30cm ± 0,15cm, tárgytávolsága t=35cm ± 0,2cm Milyen határok között ingadozik a képlettel számított k értéke? 111) Egy golyó sugara r=2cm ± 0,001cm, tömege m=14g ± 0,02g Mekkora a sűrűség, és annak abszolút és relatív hibája? 112) Adott egy P pont polárkoordinátáival, P(t,α): t=215,64m ± 0,06m és Számítsuk ki a P pont Descartes-féle koordinátáit (P(x,y)), és ezek abszolút és relatív hibáit! 113) Milyen pontossággal számítjuk ki a gravitációs gyorsulás értékét, ha méréskor az időt 8% relatív hibával mértük, és s=2m-t Δs=0,5cm abszolút 27
hibával tudtuk mérni 3 33 Megoldások 1 Tehát f (2) = 5 2 3 Tehát x 3 4 Az x 0 = 4 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot, tehát az f függvény az x 0 = 4 pontban nem differenciálható, és így a [0;5] intervallumon sem Ugyanis egy f függvény akkor differenciálható egy [a; b] zárt intervallumon, ha minden belső pontban, továbbá a-ban jobbról és b-ben balról differenciálható 5 A 0 helyen nem differenciálható, mivel a különbségi hányados-függvény féloldali határértékei közül csak az egyik véges 6 A függvény differenciálható az x=1 helyen 28
12 ábra 7 Mivel ezért differenciálható az x=0 helyen, és 8 9 Az f függvény így is megadható: 13 ábra 29
Mivel és, ezért x=-3, x=1 helyeken nem differenciálható a függvény Míg x=0 helyen, ezért itt differenciálható 10, 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 30
24 25 26 27 28 29 30 31 32 1 34 35 36 31
37 38 az érintő egyenlete: y = (x 4,5) + 3 = x + 1,5 A normális egyenlete: y = 3(x 4,5) + 3 = 3x + 165 14 ábra 39 A metszéspontok :,, Az érintők egyenlete: -re illeszkedő y=-x+3; -re illeszkedő y=x-4 40, 41 Metszéspontok: A(4,0),B(0,2), tehát párhuzamos 42Origón áthaladó érintő: 43 Érintési pont: E(3,8), érintő egyenlete: y=4x-4 44 45 Az origóban m=1, a P(2,1)-ben pedig m=0 46, vagy, ha és 47 x 3 és x 3 nál a függvény differenciálható x=3, akkor differenciálható, ha az y=ax+b egyenes az függvénynek az x=3 ponthoz húzott érintője 32
, tehát E(3,9) illeszkedik az egyenesre b=-9 Az érintő egyenlete: y=6x-9 48 Metszéspont:,, A képlet nem használható, 15 ábra 49 50 a=e, y=lnx 51,,, E(2,1) 33
16 ábra 52 E(9,-24), d=2 17 ábra 53 f (x) = 12x 2 4x + 5 f (x) = 24x 4 f (x) = 24 f (4) = 0 és innen adódik, hogy f (n) (x) = 0 ha n 4 34
54 f (x) = 2 x ln2, f (x) = 2 x ln 2 2, f (15) (x)= 2 x ln 15 2, x R Az n-edik deriváltra vonatkozó képlet is könnyen megadható: f (n) (x) = 2 x ln n 2 55 a), b), c), d), 56 57Meg kell határoznunk az f függvény -hez tartozó Taylor-polinomját 58 59 60 a) b) c) 61 35
Eszerint n 1 esetén, A MacLaurin-sor pedig: 62 Az ln(1+x) függvény Taylor sorát használjuk fel ln1,5 = ln(1+0,5) Tehát x=05 értéket helyettesítünk az alábbi MacLaurin-polinomba vagyis 63 18 ábra C(-2,3),, 64, simulókör: 65,, 66 a),,, 36
b), 67, C(-7,8),, simulókör: 1 69 70 IIMegoldás: 71 72 73 37
74 75 76 77 78 alakkal állunk szemben Algebrai átalakítással alakra hozhatjuk, és alkalmazhatjuk a szabályt: 79 (Vegyük észre: nem használtuk a L Hospital szabályt!) 80 81, ezért legyen 82 a), 38
19 ábra b),,, a szélsőérték max 83,,, ha 20 ábra, A keresett érintő egyenlete : 84a), 39
21 ábra,, az érintő egyenlete: b),,, 22 ábra Az érintő egyenlete: 85a),, 23 ábra, Az inflexiós érintő egyenlete: b), 40
24 ábra, az inflexiós érintő egyenlete: c),,, ha, vagyis, mivel 25 ábra, Az inflexiós érintő egyenlete: d) Az hely környezetében az előjelet vált, tehát itt a függvénynek inflexiós pontja van (Lásd az előző feladatot) Az inflexiós érintő egyenlet : 86a) Szélsőérték:,,, tehát van szélsőérték, és ez helyi maximum 41
Inflexiós pont:, nincs ilyen valós szám, a függvénynek nincs inflexiós pontja b) 26 ábra 27 ábra Inflexiós pontok: Figyeljük meg a táblázatokon a függvény páratlan tulajdonságát! 87 28 ábra 88a) D f : R \{ 1;1}, Zérushelye: ha x = 0 42
A függvény páratlan, mert x R Határértékei a végtelenben: és mivel páratlan: A szakadási helyekhez tartozó jobb és baloldali határértékek: x = 1 az y tengellyel párhuzamos aszimptota x = 1 az y tengellyel párhuzamos aszimptota Ferde (ált helyzetű) aszimptota egyenlete: y = ax + b tehát az egyenlet: y = x A függvény monotonitási szakaszai, szélsőértékei: f (x) = 0, (x 2 1) 2 = 1 + x 2 x 4 2x 2 + 1 = 1 + x 2 43
x 2 (x 2 3) = 0 ; ; f(0) = 0 29 ábra 30 ábra A függvény konvex, illetve konkáv szakaszai, inflexiós pont, itt a függvénynek maximuma van,, a függvénynek minimuma van 31 ábra vázlata: Az inflexiós pontban az érintő az x tengellyel párhuzamos A görbe 44
32 ábra A függvény értékkészlete: R b) R \{7}, zérushely:x=0, pólushely: x=7 Szélsőérték:,, ha x=-7 33 ábra, ha x=-14 f(x) konvex x-14, x -7 f(x) konkáv x-14 Inflexiós pont:x=-14-nél A függvény értékkészlete: 45
34 ábra 89 T(a,b)=a b milyen a,b-re maximális k=20=2a+b b=20-2a,, ha 0 a 10, tehát az a=5 lok maximum, b=10 90 maximumát keressük a feltétel mellett K=60=12a+4b, értelmezési tartománya 0 a 5 91, lok maximum, b=5 35 ábra T(x,y)=x y maximumát keressük, ha, A feltételből y=6-0,6x,, 0 x 10, tehát maximuma van, y=3 A(5;3), B(0;3), C(0;0), D(5;0) 46
92 minimumát keressük, ha térfogata, A feltételt kihasználva:,, 0R, tehát minimuma van, 93 maximumát keressük, ha 0 x 22,, 94, 36 ábra 0 x R, (R0 adott), Az értelmezési tartományon az első derivált csak akkor nulla, ha R 3x = 0, azaz x = 47
A térfogat az helyen maximális A sugár: A kúp magassága: A maximális térfogat: Tehát a kúp maximális térfogata a gömb térfogatának -ede 95 Jelöljük a levágott négyzet oldalát x-szel Ekkor a keletkezett doboz térfogata: Nyilván csak x=2 eleme az értelmezési tartománynak, ezért az x=2 helyen a térfogatfüggvénynek maximuma van A doboz oldalai 8,8 és 2 cm hosszúak, a térfogata pedig 128 96 Legyen m a henger magassága, r pedig a sugara Ezen két test együttes térfogata: minimális legyen, tehát a függvénynek minimuma van az r=3-ban, m=3 97 és vagyis 48
vagyis, ha, 37 ábra a maximális árbevétel 98 1), 2), 3), 4), 5),, 6), 7), 8), 9), 10), 49
11), 12), 13), 14), 15), 16), 17), 18), 19), 20), 99 50
100 102,, 103 104, 105,, Tehát a=35,1m ± 0,213m 106,, 107,, 108, 109 c=264,575m,, 110 51
A határ, ami között ingadozik: [195,45cm ; 224,55cm] 111,, 112,, 113,, Irodalomjegyzék Azaz a g relatív hibája 16,25% Csabina Z-né: Matematika, NymE Geoinformatikai Kar Jegyzetsokszorosító Részleg, Székesfehérvár, 2002 Banach, S: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975 Bay L, Juhász A, Szentelekiné Páles I: Matematikai analízis példatár, Bárczy B: Differenciálszámítás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970 Csernyák L: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992 Denkinger G: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980 Denkinger G Gyurkó L: Matematikai analízis, Feladatgyűjtemény, Kovács J, Takács G, Takács M: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986 Rejtő M, Pach Zs Pálné, Révész P: Matematika, Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1972 Szerényi Tibor: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 BPGyemidovics: Matematikai analízis, feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974 Varga O-, Merza J-, Sebestyén L: Matematika és példatár I/2, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966 Tóth A: Analízis feladatok, ARÉV Nyomda Kft, Székesfehérvár, 2002 52
Csikós Pajor G: Matematikai analízis, Műszaki Főiskola, Szabadka, 2000 53