Második epochfüzet Mtemtik 9. évfolym Tuljdonos:...
Trtlomjegyzék Amit z epoch végére tudni kell... Hlmzok...3 Intervllumok...6 Tájékozódás koordinát-rendszerben...9 Függvények...3 Függvények tuljdonsági...6 Alpfüggvények... Lineáris függvény... A másodfokú függvény...4 Az bszolútérték függvény...5 A négyzetgyökfüggvény...6 Lineáris törtfüggvények...7 *** Az egészrész-, törtrész- és z előjel-függvény...8 Függvény-trnszformációk...3 Egyenletek, egyenlőtlenségek grfikus megoldás...43 Sttisztik...45 A sttisztik lpji...45 Adtok gyűjtése, rendszerezése...46 Adtok szemléltetése digrmok...48 Sttisztiki muttók középértékek...53 Feldtgyűjtemény...58 Hlmzok...58 Intervllumok...60 Tájékozódás koordinát-rendszerben...6 Függvények...64 Függvény-trnszformációk...68 Egyenletek, egyenlőtlenségek grfikus megoldás...7 Gykorló feldtok...74 Sttisztik...76 Gykorló feldtok z epochzáróhoz...80
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET Amit z epoch végére tudni kell Foglmk: Átlg, módusz, medián, gykoriság és reltív gykoriság. Kördigrm, oszlopdigrm, osztályközös gykoriság. Intervllum, számegyenes, koordinát rendszer. Hozzárendelés, függvény, kölcsönösen egyértelmű függvény. Értelmezési trtomány, értékkészlet, zérushely, tengelymetszet, szélsőérték, függvény menete, helyettesítési érték, lineáris függvény, másodfokú függvény, bszolút érték függvény, függvény, lpfüggvény, függvénytrnszformáció Összefüggések: Hlmzok elemeinek egymáshoz rendelése, hozzárendelések egyértelműsége, ábrázolás. Alpfüggvények: lineáris, bszolút érték, másodfokú, és függvények hozzárendelési szbály, ábrázolás koordinát-rendszerben. Függvény képe. Eljárások: Összefüggések leolvsás grfikonokról, illetve dtok ábrázolás kör- és oszlopdigrmon. Osztályközös gykorisági táblázt és digrm készítése. Hozzárendelések ábrázolás koordinát-rendszerben, összetrtozó értékpárok leolvsás, számítás, függvények vizsgált (ÉT, ÉK, mimum, minimum, tengelymetszet, zérushely, menet, nevezetes pontok), lpfüggvények trnszformációi. Egyenletek, egyenlőtlenségek grfikus megoldás. Az epoch értékelése: Az epoch végső százlékos eredményébe 70%-ot számít z epochzáró dolgozt 5% - 5%-ot résztesztek 0%-ot z óri munk és házi feldtok A százlékos eredmény átváltás érdemjegyre: 0% - 39% nullás (0) 40% - 54% elégséges () 55% - 69% közepes (3) 70% - 84% jó (4) 85% - 00% jeles (5)
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Hlmzok. Kifejezéseket, foglmkt gyűjtöttünk össze. Mindegyik mellé írd od mindzt, mi eszedbe jut ról!. Hlmz b. Venn-digrmm c. Részhlmz d. Két hlmz metszete e. Két hlmz uniój f. Két hlmz különbsége g. Számhlmzok h. Természetes szám i. Rcionális szám j. Vlós szám. Adott két hlmz: A := { 30 - nál nem kisebb természetes számok} B := 0 - nál nem kisebb és 50 - nél kisebb természetes számok Sorold fel zokt z elemeket, melyek. 3-ml oszthtók és elmei mindkét hlmznk; { } b. 5-tel oszthtók és elemei A B -nek; c. 4-gyel oszthtók és nem elemei A B d. 0-zel oszthtók és elemei A \ B -nek; -nek; e. sem 3-ml, sem 5-tel nem oszthtók, és elemei B \ A-nk; f. 3-ml vgy 7-tel oszthtók, és elemei z A B -nek. 3. Legyen K := { kétjegyű számok} és := { négyzetszámok} Igz-e, hogy. K hlmznk 90 eleme vn; b. K \ L L hlmz. hlmznk 5 eleme vn; c. nincs olyn eleme K-nk, mi oszthtó lenne 3-ml, 5-tel és 7-tel; d. vn olyn eleme K-nk, mely oszthtó 3-ml, 6-tl és 0-zel; e. K L üres hlmz; f. K L hlmznk végtelen sok eleme vn. A válszidt indokold! 3
FÜGGVÉNYEK 4. Legyen A : = {egyjegyű prímszámok}. Igz-e, hogy. z A hlmz elemeinek szám megegyezik 7 osztóink számávl; MÁSODIK EPOCHAFÜZET b. z A hlmznk 4 egyelemű részhlmz vn; c. vn olyn részhlmz z A-nk, melynek 4 eleme vn; d. z A hlmznk ht négyelemű részhlmz vn; e. z A hlmznk 5 részhlmz vn? A válszidt indokold! 5. Olvsd el, és hol hibát tlálsz, jvítsd ki! A hlmz hsonló értelmű csoport, z együttes, közösség szvkkl. Tehát: hlmzt lkotnk egy felsorolás vgy vlmely egyértelműen meghtározhtó közös tuljdonság lpján összetrtozó dolgok. Pl.: Mgyrország városi, vgy z összes könyved, vgy z,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számok, vgy fekete hjúk. Hlmzt kétféleképpen dhtunk meg: felsoroljuk z elemeit (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); leírjuk zt közös tuljdonságot, melynek lpján z elemek hlmzt lkotnk (pl.: Mgyrország városi). Hlmzok jelölése A hlmzok elnevezésére z ábécé ngybetűit hsználjuk. Az elemek összetrtozását kpcsos zárójel jelöli. Pl.: A := { Mgyrország városi} B := {,,3, 4,5,6,7,8,9} C := { 0 - nél kisebb pozitív egyész számok} Hlmzok ábrázolás A hlmzokt áltlábn Venn-digrmml ábrázoljuk. C 3 4 5 6 7 8 9 4
MÁSODIK EPOCHAFÜZET Hlmzok elemei A hlmzhoz trtozó dolgok hlmz elemei. FÜGGVÉNYEK Amikor z elemek felsorolásávl htározzuk meg hlmzt, könnyű eldönteni vlmely dologról, hogy eleme-e hlmznk, zz hozzátrtozik-e z dott hlmzhoz, vgy sem. H vlmilyen jellemző tuljdonság segítségével djuk meg hlmzt, előfordulht, hogy egy dologról nem tudjuk egyértelműen eldönteni, hogy hlmzhoz trtozik-e vgy sem. Ilyen tuljdonság lehet például szőke, mgs stb. Ezért olyn tuljdonságot, ismertetőjegyet kell válsztni, mely lpján egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy egy dott dolog rendelkezik-e ezzel tuljdonsággl, vgy sem. Azt, hogy vlmely elem hlmzhoz trtozik, -vel jelöljük. Pl.: C, de 3 C ; (3 nem eleme C-nek). Két hlmz egyenlősége Két hlmzt egyenlőnek mondunk, h z elemei megegyeznek. Pl.: C := 60 osztói és D :=, b, c, d E = F, h A D. B =, h B { } és C := {,,3, 4,5,6,0,,5, 0,30,60} A, h A { } és D := {,, b, b, b, c, d}, vgy Részhlmz Egy hlmz részhlmz egy másik hlmznk, h hlmz minden eleme másik hlmznk is eleme. Jelölése pl.: N Q, { } A, és Műveletek hlmzokkl I. Hlmzok közös része + N Z ; de Q + Z ( olvsd: nem része). Két vgy több hlmz közös elemeinek hlmzát z dott hlmzok metszetének vgy közös részének nevezzük. Jelölése:. Pl.: := { Mgyrország városi} F := { A világ fõvárosi} ; A F = { Budpest}. A ; II. Hlmzok egyesítése, uniój Két vgy több hlmz összes elemeinek hlmz lkotj z dott hlmzok egyesítését vgy unióját. Jelölése:. Pl.: h X := {,,3,4,5 } és Y = { 4,5,6}, kkor Y := {,,3, 4,5,6} III. Hlmzok különbsége X. Az A és B hlmz különbségét z A-nk zon elemei lkotják, melyek nem elemei B-nek. Jelölése: \ Pl.: A := { 3 - ml oszthtó számok} ; F := { 4 - gyel oszthtó számok} ; A \ F = { 3,6,9,,5,8,,4, 7 stb. }. 5
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET Intervllumok A vlós számokt és z egyenes pontjit megfeleltethetjük egymásnk, h z egyenesen kijelölünk egy kezdőpontot, egy egységet és egy hldási irányt. Az így megjelölt egyenest vlós számegyenesnek mondjuk. H vlós számok egy olyn részéről krunk beszélni, melyek számegyenes egy bizonyos drbján helyezkednek el, intervllumról beszélünk. A számegyenes egy-egy részét eddig is meg tudtuk dni egyenlőtlenségek segítségével, most egy más jelöléssel és elnevezéssel ismerkedünk meg. H zokról vlós számokról krunk beszélni, melyek ngyobbk, mint 8, de kisebbek, mint 0, zt eddig így jelöltük: 8 < < 0, hol vlós szám, vgy hlmzjelölést 8 < < 0 R. hsználv: { } Ezek számok számegyenesen így helyezkednek el: Új jelölésünkkel ez 8 0 nyílt intervllum: ] 0 [ végei nem trtoznk bele. 8 9 0 8;, és zért mondjuk nyíltnk, mert H z intervllum jelölést hsználv 8 0 egyenlőtlenségnek megfelelő számokt krjuk leírni, kkor z ilyen lesz: [ 8; 0 ] és 8 0 zárt intervllumról beszélünk. Azért zárt, mert végei is beletrtoznk, mit szögletes zárójellel jelölünk. Ezt számegyenesen így jelölnénk: Beszélhetünk félig zárt (vgy félig nyílt) intervllumról is. Az lábbi példák ezt muttják: 8 < 0 ;0 8; 0. megfelelője [ 8 [ vgy [ ) 8 9 0 8 9 0 A számegyenes egy-egy félegyenesét is meg lehet dni intervllumml, (végtelen) jel segítségével: H z 8 számokt krjuk jelölni, nnk [ 8 ; [ intervllum felel meg. A ± intervllum- végeket mindig nyíltnk tekintjük. Így z < 8 egyenlőtlenségnek ;8 ;8. megfelelő intervllum nyílt, és így jelöljük: ] ] vgy ( ] 6
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 6. Jelöld egy-egy számegyenesen z lábbi intervllumokt:. [ ; 6] b. [ 3;8 [ c. ] 0, 3;, [ d. ( ;5) FÜGGVÉNYEK 7. Jelölje G koordinát-rendszer zon P ( ; y) pontjink hlmzát, melyekre [ ; ], y ] ; 4]. Jelöld hlmz elemeit koordinát-rendszerben! 8. Ábrázold számegyenesen vlós számok zon részhlmzát, mely megfelel z lábbi feltételnek! Add meg részhlmzokt intervllum jelöléssel is!. 8 b. 0, 5 c. 7 < d. < e. nem kisebb háromnál f. nem ngyobb -nél g. leglább és legfeljebb 6 h. leglább és legfeljebb 9. Add meg intervllum jelöléssel és egyenlőtlenséggel számegyenesen láthtó intervllumokt!. b. c. 7
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET d. e. A megoldáshlmzokt A, B, C, D, E-vel jelölve dd meg következő intervllumokt: A B A D B C A C B C A D A C D D E B E 0. Add meg következő intervllumok metszetét, és ábrázold számegyenesen!. ] 5 ; ] [ ; 6 [ b. ] 5 ; [ [ ; 6 [ c. ] 5 ; [ ] ; 6 [ d. ] 4 ; 3[ [ 0; 4 ] e. [ 5 ; 3 ] ] ; [ f. [ 0 ; 7 [ [ 5; 3 ] g. [ 5 ; 3 ] [ ; 6 [ ] 7; 4] h. [ ; 0 [ [ 5; ] ] 4; 7 ]. Add meg, hogy következő grfikonoknk megfelelő függvények milyen értékekre vesznek fel nemnegtív értéket!. Ábrázold számegyenesen következő egyenlőtlenségek megoldását, h z lphlmz vlós számok hlmz! Add meg megoldáshlmzokt intervllum jelöléssel is!. 3 5 b. 4 9 c. < d. 6 + 4 > 8 e. 3 + 6 f. 7 + 5 < 8
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK 3. Az előző feldtbn szereplő megoldáshlmzokt rendre A, B, C, D, E, F-fel jelölve dd meg intervllum jelöléssel következő hlmzokt, és ábrázold számegyenesen! A B B E C F A F B C E D A C D B F C Tájékozódás koordinát-rendszerben 4. Adott síkon két egymásr merőleges számegyenes és y, melyek z O pontbn metszik egymást (Descrtes-féle koordinát-rendszer). Jelöld be színessel zokt síkbeli pontokt, melyeknek megdott számegyenestől mért távolság. d = 3 b. d c. d > d. d P, 5 P P e. d = f. d 3 g. d > h. d Py, 5 Py Py Olvsd le z. és e. feldtbn kpott ponthlmzok metszéspontjánk koordinátáit: P ; ( ) Ancsi szerint metszéspont ( 3; ), Pli szerint pont jelzőszámi ( 3 ) igz? Jegyezd meg! P Py ;. Kinek vn A koordinát-rendszer síkjábn fekvő vlmennyi pontot ábrázolni lehet egy rendezett számpár segítségével. A rendezett számpár első tgj z y tengelytől, második tgj pedig z tengelytől mért előjeles távolságot jelenti. És megfordítv: h megdunk egy rendezett számpárt, kkor mindig tlálunk koordinát-rendszer síkjábn egy olyn pontot, melyet ez rendezett számpár jellemez. 9
FÜGGVÉNYEK 5. Ábrázold koordinát-rendszerben megdott pontokt!. A( 5;) b. B ( 4;3) c. C( 3;5) d. D ( 4; ) e. E ( 0;3) f. F ( 0; ) g. G( 4;0) h. H ( ;0 ) Tükrözd pontokt z tengelyre, és olvsd le kpott pontok koordinátáit! Mit tpsztlsz? MÁSODIK EPOCHAFÜZET Tedd meg ugynezt z y tengely, z origó és koordinát-rendszer szögfelezőire vontkozón! Foglmzd meg tpsztltidt! 6. Milyen lkztot htároznk meg zok P ( ; y) pontok, melyekre. 3 és y b. < 4 és < y 4 c. = 3 és y bármilyen érték d. y = és bármilyen érték e. és y bármilyen érték f. < 3 és y bármilyen érték h. ( ) 4 g. = 3 = i. ( )( + ) = 0 j. ( + 3 )( y 4) = 0 k. + y = 0 l. + y = 5 m. = y n. = y o. + y = 4 7. Ábrázold derékszögű koordinát-rendszerben következő ponthlmzokt!. A : = { } B : = { 3 y 3} Színessel jelöld z A B és z A B hlmzokhoz trtozó pontokt! 0
MÁSODIK EPOCHAFÜZET b. := { = 3} A, B := y = Olvsd le zoknk P pontoknk koordinátáit, melyekre P A B! FÜGGVÉNYEK 8. Ábrázold koordinát-rendszerben zokt ( y) P ; koordinátájú pontokt, melyekre: < és y 3 < 3 és 5 < y < 3 3 < < vgy y > és y bármely érték < < és y bármely érték bármely érték és y
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 9. Ábrázoltuk ponthlmzokt. Jellemezd hlmzok elemeinek koordinátáit! y y y y 0. Ábrázold koordinát-rendszerben zokt ( y) P ; pontokt, melyekre teljesül, hogy = y = y = y ( )( y + 3) = 0 ( 3) + ( y + ) = 0
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Függvények Adott két nem üres hlmz: A és B. H z A hlmz minden eleméhez B hlmz pontosn egy elemét rendeljük, ezt hozzárendelést függvénynek nevezzük. A függvényeket kis betűkkel szokás jelölni: f, g, h Az A hlmz neve tárgyhlmz, elemeit -szel jelöljük. A B hlmz elemeit jelöljük f ( ) -szel. (Szokás y-nl is jelölni.) A B hlmz neve képhlmz. A B f() y Az f ( ) -et z f függvény helyen felvett értékének vgy helyettesítési értékének nevezzük. f =, vgy = -nél Az f függvény -höz z -et rendeli. Ezt úgy jelöljük, hogy ( ) y =. Az értelmezési trtomány (szokásos jelölése: É.T. vgy D f ) tárgyhlmz zon elemeinek hlmz, melyekre hozzárendelési utsítás értelmezve vn. Függvények esetében ez mg z A hlmz. Az értékkészlet (szokásos jelölése: É.K. vgy R f ) képhlmz zon elemeinek hlmz, mely értékeket függvény felvesz. Ez lehet teljes képhlmz is. Elemei függvényértékek. Függvények megdáskor meg kell dni z értelmezési trtományt, vgyis z A hlmzt, és tárgyhlmzt, vgyis B hlmzt, vlmint hozzárendelési szbályt. Például: Az f függvény minden 0-nél kisebb pozitív egész számhoz hozzárendeli reciprokát. Ezt így jelöljük: f: { Z 0 < < 0 } R,.. Sorold fel fenti példábn szereplő f függvény értelmezési trtományánk elemeit!. Sorold fel fenti példábn szereplő f függvény értékkészletének elemeit! 3. Add meg következő értékeket! f ( 4) = f ( 5) = f ( 8) = 9 Mennyi z, h f ( ) =? = És h ( ) f =? = 4 3
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 4. A következő hozzárendeléseknél dd meg z lp- és képhlmzt! Vizsgáld meg, hogy hozzárendelés függvény-e! Válszodt indokold!. Minden emberhez hozzárendeljük telefonját. b. Minden emberhez hozzárendeljük táskáját. c. Minden számhoz hozzárendeljük reciprokánál kettővel ngyobb számot. d. Minden számhoz hozzárendeljük reciprokánál egyel kisebb számot. e. Minden egész számhoz hozzárendelem z bszolút értékének felénél kettővel kisebb számot. f. Minden számhoz hozzárendelem z ellentettjének reciprokát. g. Minden egész számhoz hozzárendelem z bszolút értékének kétszeresénél kettővel ngyobb számot. h. Minden számhoz hozzárendelem z bszolút értékének reciprokát. 5. Add meg következő függvényeket képlettel! ( f : A B, f ( ) ). Minden rcionális számhoz hozzárendeli szám felét. b. Minden 30-nál kisebb természetes számhoz hozzárendeli z egész számsorbn bl szomszédját. c. Minden egész számhoz hozzárendeli szomszédok különbségének z bszolút értékét. d. Minden egész számhoz hozzárendeli szomszédok szorztát. e. Minden természetes számhoz hozzárendeli gyökének kétszeresét. f. Minden pozitív egész számhoz hozzárendeli kétszeresénél 5-tel ngyobb számot. g. Minden egész számhoz hozzárendeli z bszolút értékénél egyel ngyobb számot. h. Minden számhoz hozzárendeli z ellentettjének reciprokát. i. Minden számhoz hozzárendeljük reciprokánál kettővel ngyobb számot. j. Minden számhoz hozzárendeljük nál kettővel ngyobb szám reciprokát. 6. Pnni szerint z 3 és z f ( ) = 3 kifejezések egyértelműen htározzák meg függvényt. Igz vn-e? (Válszodt indokold!) 7. Jvítsd ki, zz dd meg helyesen következő függvényeket!. d. b. e. 3 c. 4 + 3 f. 4
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK MEGÁLLAPODÁS H hozzárendelési szbályt képlettel djuk meg, és mást nem mondunk, kkor függvény értelmezési trtomány z összes olyn vlós számokból álló hlmz, melyekre kijelölt műveletek elvégezhetők, vgyis z értelmezési trtomány ebben z értelemben lehető legbővebb hlmz, zz tárgyhlmz. 8. Jvítsd ki! 3 = = + 3 + + : + 3 É.T. Helyettesítési érték f ( ) R \ { } f ( 0) = 3 f ( ) = f ( 4) = g ( ) R\ { 0} g ( ) = 5 g ( ) = 0 f R\ {- 3;} f ( ) = 0 f ( ) = 4 h : 3 + R\ {- } ( ) 4 + k = R g : R + { 0} n : 5 R m : + R h ( 5 ) = 0 h ( 6 ) = ( 3) = 36 k k = g ( 9 ) = 3 g ( 4 ) = g ( 0 ) = 0 n ( ) = n ( 5 ) = 0 m ( ) = 0 m ( 4) = 9. A következő függvények közül válogsd ki zokt, melyeknek z értékkészletéhez hozzátrtozik! Adj is meg olyn értelmezés trtománybeli elemet, melyhez függvény -et rendeli!. 4 N b. > 0 c. + 3 ] 3;0 ] d. + 4 [ 3;7] e. + 3 R f. + 5 ] ; ] g. Tetszőleges tégllphoz területének mérőszámát rendeljük. h. A lbdrúgó-bjnokságon minden cspt egyszer játszik minden cspttl. A csptok számához mérkőzések számát rendeljük. 5
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET i. k. > + 0 + j. + 4 N + + Z\ {- } + l. 5 + N Függvények tuljdonsági 30. Két egyenlő mgsságú gyerty közül vékonybbik kétszer olyn gyorsn ég le, mint vstgbbik. A grfikon két gyerty együttes hosszát muttj z idő függvényében.. Mennyi ideig égett csk vstgbbik gyerty? b. Hány percig nem égett egyik gyerty sem vizsgált időszkbn? c. Mennyi idő ltt égett le vékonybbik gyerty? d. Eredetileg milyen mgsk voltk gyertyák? e. Mikor fogyott el mindkét gyerty? 3. Az sztl fölé méteres mgsságb egy lámpát függesztettek, ezen egy pók lóg. A grfikon pók sztltól vló távolságát ábrázolj z idő függvényében.. Összesen hány másodpercig mászott felfelé pók megfigyelés ideje ltt? b. Hány centiméterre távolodott el mimálisn pók lámpától? c. Melyik szkszon ment leggyorsbbn pók? d. Hány másodpercig volt pók közelebb lámpához, mint z sztlhoz? e. Mikor volt leglcsonybbn pók? 6
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 3. András és Bél 60 méteres távon versenyt futnk. A grfikon zt muttj, hogy z indulástól számított 9 másodperc során András verseny közben hány méterrel előzi meg Bélát.. Összesen hány másodpercig vezetett Bél verseny során? FÜGGVÉNYEK b. Ki nyerte versenyt? c. Mikor futott két fiú egyform sebességgel? d. Hány másodpercig futott Bél gyorsbbn, mint András? e. Mikor futott gyorsbbn András? 33. Egy kádb két cspból engedhető víz, és lefolyón ereszthető le. Az egyik csp vízhozm kétszerese másik cspénk. A kádbn lévő víz mennyiségét muttj grfikon z idő függvényében.. Hány liter vizet engedtünk összesen kádb? b. Mennyi víz folyik ki z egyik, mennyi másik cspból egy perc ltt? c. Mennyi ideig volt nyitv leglább z egyik csp? d. Mikor volt kádbn pontosn 80 liter víz? 34. A következő digrm népesség korcsoportok szerinti százlékos megoszlását muttj 996-bn. Olvsd le legkisebb és legngyobb értékeket! Htározd meg, hol/mikor (melyik korcsoportnál) veszik fel ezeket z értékeket! 7
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 35. A következő digrm Mgyrország megyéjének területi eloszlását muttj % bn. Olvsd le, melyik megyének legkisebb és melyiknek legngyobb területe, és dd meg területét is! 36. Olvsd le következő digrmokról legkisebb és legngyobb értékeket! Htározd meg, hol/mikor veszik fel ezeket z értékeket!. Az dott években mért legmgsbb hőmérsékletek ( C) lkulás 990 és 996 között. b. Egyik évben munknélküliek szám (ezer főben) legmgsbb iskoli végzettség szerint 8
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK 37. Egy turistcsoport elment kirándulni hegyekbe. Más útvonlon mentek, mint mit vissztérésre válsztottk. Útjuk következőképpen lkult:. Milyen mgsr másztk fel? Mikor voltk leglcsonybbn? b. Mennyi idő ltt mászták meg hegyet? c. Felfelé menet milyen mgsságbn értek ereszkedő szkszhoz? Mekkor volt ezen szkszon szintkülönbség? d. Visszfelé z emelkedő szksz előtt mekkor volt z út meredeksége, h közben, km-t hldtk előre? 38. Az f függvény grfikonját látod z lábbi ábrán.. Htározd meg függvény legngyobb értékét! Hol veszi fel ezt függvény? b. Adj meg olyn intervllumot, hol csökkennek függvény értékei! c. Add meg z értelmezési trtományt! d. Htározd meg függvény értékkészletét! e. Htározd meg következő függvényértékeket: f ( 4) = f ( ) = f ( 3) = f ( 5) = f. Olvsd le, hogy mely számokhoz trtozik z illetve - függvényérték! g. Hány olyn szám vn, mire függvény értéke 0? 9
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET A fontosbb függvénytuljdonságok Zérushely: Az értelmezési trtománybn z z érték, hol függvény helyettesítési értéke 0 ( f ( ) = 0). Ez szemléletesen zt jelenti, hogy függvény grfikonj ezen helyen metszi z tengelyt. Tengelymetszet: Az értékkészlet zon eleme, mit függvény 0-hoz rendel ( f ( 0) ) jelenti, hogy függvény hol metszi z y tengelyt.. Ez szemléletesen zt Monotonitás: Az f függvény egy intervllumon szigorún (monoton) növekvő, h z intervllumból válsztott bármely < hely esetén f ( ) < f ( ), és monoton növekvő, h f ( ) f ( ). Az f függvény egy intervllumon szigorún (monoton) csökkenő, h z intervllumból válsztott bármely < hely esetén f ( ) > f ( ), és monoton csökkenő, h f f. ( ) ( ) Mimum: A függvénynek z 0 helyen bszolút mimum vn, h függvény z f ( 0 )-nál ngyobb értéket sehol sem vesz fel. 0 -t mimumhelynek, f ( 0 )-t mimumértéknek nevezzük. A függvénynek z 0 helyen helyi mimum vn, h z 0 hely vlmely környezetében z f ( 0 )-nál függvény nem vesz fel ngyobb értékét, de környezeten kívül ennél ngyobb értéket is felvehet. Minimum: A függvénynek z 0 helyen bszolút minimum vn, h függvény z f ( 0 )-nál kisebb értéket sehol sem vesz fel. 0 -t minimumhelynek, f ( 0 )-t minimumértéknek nevezzük. A függvénynek z 0 helyen helyi minimum vn, h z 0 hely vlmely környezetében z f ( 0 )-nál függvény nem vesz fel kisebb értékét, de környezeten kívül ennél kisebb értéket is felvehet. A függvény tuljdonságink megállpításkor következő szempontokt vesszük figyelembe:. Értelmezési trtomány meghtározás. Értékkészlet meghtározás (csk egyszerűbb esetekben) 3. Zérushely(ek) megállpítás 4. Monotonitás 5. Szélsőérték(ek) és zok helyeinek meghtározás 0
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Alpfüggvények Lineáris függvény 39. Ábrázold betűjelednek megfelelő függvényeket soronként közös koordinát-rendszerben! A: ( ) = f g ( ) = + 3 h ( ) = 4 ( ) i = 3 3 B: f : + 4 ; g : + 4 ; h : 3 + 4 f : 3 ; g : 3 ; h : 3 3 C: f : ; g : ; h : 3 f : 3 ; g : 3; h : D: f : ; g : + 3 ; h : f : ; g : + 3 ; h : 40. Egészítsd ki hiányos szöveget! Azokt függvényeket, melyeknek grfikonj egyenes.. függvénynek nevezzük. A lineáris függvények hozzárendelési szbály mindig.. lkú. Az m függvény -ét jelöli, A meredekség megmuttj, hogy z tengely pozitív irányáb egy egységet hldv, m > 0 esetén mennyivel..., és m < 0 esetén mennyivel függvény értéke. A b értéke megmuttj, hogy grfikon hol metszi z tengelyt. H hozzárendelés f()=m lkú, vgyis b értéke null, kkor grfikon áthld. Az ilyen hozzárendelés esetén, h értékét vlhányszorosár változttjuk, kkor y értéke is ugynnnyi szorosár változik, vgyis rányosságról beszélhetünk.
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET H hozzárendelés f()=b lkú, vgyis m értéke null, kkor függvény értéke állndó (konstns), nem is függ z -től. Ilyen esetben grfikon egy.. egyenes. 4. Előbb ábrázold, mjd írd fel lineáris függvények képletét! D feldt:. Átmegy z origón, és z tengely pozitív irányábn egységet hldv 4 egységgel nő.. Átmegy (0; ) ponton, és z tengely pozitív irányábn egységet hldv 4 egységgel nő. C feldt:. Átmegy z origón, és z tengely pozitív irányábn egységet hldv egységgel csökken.. Átmegy (0; ) ponton, és z tengely pozitív irányábn egységet hldv egységgel csökken. B feldt:. Átmegy z origón, és z tengely pozitív irányábn 3 egységet hldv 9 egységgel nő.. Átmegy (0; ) ponton, és z tengely pozitív irányábn 3 egységet hldv 9 egységgel nő. A feldt:. Átmegy z origón, és z tengely pozitív irányábn egységet hldv 0 egységgel csökken.. Átmegy (0; ) ponton, és z tengely pozitív irányábn egységet hldv 0 egységgel csökken. 4. Olvsd le z ábrán láthtó függvények hozzárendelési szbályát! 43. Ábrázold z lábbi feltételeknek eleget tevő egyeneseket, és írd fel grfikonokhoz trtozó lineáris függvények hozzárendelési szbályt is! f: Átmegy (-; 0) és (; 6) pontokon. g: Átmegy z origón és (3; -6) ponton. h: Átmegy z origón és z (4; ) ponton. i: Meredeksége és átmegy (0; -4) ponton. f g
MÁSODIK EPOCHAFÜZET 44. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket! f ( ) = g( ) = 4 ( ) 4 h = 3 3 Válszolj következő kérdésekre:. A g függvény meredeksége: m = b. A g függvény z y tengelyt. metszi c. Adj meg olyn függvényt, melynek grfikonj párhuzmos h függvénnyel! FÜGGVÉNYEK d. Legyen A(,?) és B(?,). Add meg pontok hiányzó koordinátáját, hogy ezek z f függvény grfikonjár essenek! e. Mely -ekre igz, hogy ( ) > 0 f? f. Mely -ekre igz, hogy ( ) g( ) f? 3
FÜGGVÉNYEK A másodfokú függvény MÁSODIK EPOCHAFÜZET 45. Ábrázold z másodfokú függvényt! H szükséges, készíts értéktábláztot! Rjzold be koordinát tengelyeket négyzetrácsr! Hogyn érdemes megrjzolni ezeket? Milyen szbályt fedezhetünk fel, mi lpján könnyen tudunk másodfokú függvényt ábrázolni? Jellemezd függvényt tnult szempontok szerint! É.T.: É.K.: Z.H.: MIN: NÖV: T.M.: MAX: CSÖKK: 4
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Az bszolútérték függvény 46. Ábrázold z bszolútérték függvényt! H szükséges, készíts értéktábláztot! Rjzold be koordinát tengelyeket négyzetrácsr! Hogyn érdemes megrjzolni ezeket? Milyen szbályt fedezhetünk fel, mi lpján könnyen tudunk bszolútérték függvényt ábrázolni? Jellemezd függvényt tnult szempontok szerint! É.T.: Z.H.: MIN: NÖV: É.K.: T.M.: MAX: CSÖKK: 5
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET A négyzetgyökfüggvény 47. Ábrázold z négyzetgyökfüggvényt! H szükséges, készíts értéktábláztot! Rjzold be koordinát tengelyeket négyzetrácsr! Hogyn érdemes megrjzolni ezeket? Milyen szbályt fedezhetünk fel, mi lpján könnyen tudunk gyökfüggvényt ábrázolni? Jellemezd függvényt tnult szempontok szerint! É.T.: É.K.: Z.H.: MIN: NÖV: T.M.: MAX: CSÖKK: 6
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Lineáris törtfüggvények 48. Ábrázold z lineáris törtfüggvényt! H szükséges, készíts értéktábláztot! Rjzold be koordinát tengelyeket négyzetrácsr! Hogyn érdemes megrjzolni ezeket, felvenni z egységeket? Milyen szbályt fedezhetünk fel, mi lpján könnyen tudunk lineáris törtfüggvényt ábrázolni? Jellemezd függvényt tnult szempontok szerint! É.T.: É.K.: Z.H.: MIN: NÖV: T.M.: MAX: CSÖKK: 7
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET *** Az egészrész-, törtrész- és z előjel-függvény Az szám egészrésze nál nem ngyobb egész számok közül legngyobb. Jelölés:. Például, 3 =, 3 = 3, 0 = 0, 34 = 3,. 49. Ábrázold z egészrész-függvényt! H szükséges, készíts értéktábláztot! Rjzold be koordinát tengelyeket négyzetrácsr! Hogyn érdemes megrjzolni ezeket, felvenni z egységeket? Milyen szbályt fedezhetünk fel, mi lpján könnyen tudunk egészrész-függvényt ábrázolni? Jellemezd függvényt tnult szempontok szerint! É.T.: É.K.: Z.H.: MIN: NÖV: T.M.: MAX: CSÖKK: 8
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Az szám törtrészét ügy kpjuk, hogy számból kivonjuk z egészrészét. Jelölés: { }. Például {, 3} = 0, 3, 3 = 0, 3 = 0,, 34 = 0, 66. törtrész-függvényt! H szükséges, készíts értéktábláztot! Rjzold be koordinát tengelyeket négyzetrácsr! Hogyn érdemes megrjzolni ezeket, felvenni z egységeket? 50. Ábrázold z { } Milyen szbályt fedezhetünk fel, mi lpján könnyen tudunk törtrész-függvényt ábrázolni? Jellemezd függvényt tnult szempontok szerint! É.T.: É.K.: Z.H.: MIN: NÖV: T.M.: MAX: CSÖKK: 9
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET Az előjelfüggvény definíciój: sgn( ), = 0,, h > 0, h = 0, h < 0. törtrész-függvényt! H szükséges, készíts értéktábláztot! Rjzold be koordinát tengelyeket négyzetrácsr! Hogyn érdemes megrjzolni ezeket, felvenni z egységeket? 5. Ábrázold z { } Milyen szbályt fedezhetünk fel, mi lpján könnyen tudunk előjel-függvényt ábrázolni? Jellemezd függvényt tnult szempontok szerint! É.T.: É.K.: Z.H.: MIN: NÖV: T.M.: MAX: CSÖKK: 30
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Függvény-trnszformációk D feldt 5. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: : b : + c : d : 3 Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z függvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 53. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: : b : + c : d : 3 Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z függvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 54. Add meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 55. Értéktáblázt segítségével ábrázold füzetbe következő függvényeket! f ( ) = + g ( ) = ( ) + 3
FÜGGVÉNYEK C feldt 56. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: : : ( + ) b c : ( ) d : ( 3) MÁSODIK EPOCHAFÜZET Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z függvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 57. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: : b : + c : d : 3 Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z függvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 58. Add meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 59. Értéktáblázt segítségével ábrázold füzetbe következő függvényeket! f g ( ) = + ( ) = ( ) 3
MÁSODIK EPOCHAFÜZET B feldt 60. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: FÜGGVÉNYEK : b : c : d : 3 3 Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z lpfüggvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 6. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: : b : c : d : 4 Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z lpfüggvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 6. Add meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 63. Értéktáblázt segítségével ábrázold füzetbe következő függvényeket! f g ( ) = + = + ( ) 33
FÜGGVÉNYEK A feldt 64. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: MÁSODIK EPOCHAFÜZET : b : c : d : Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z lpfüggvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 65. Ábrázold közös koordinát rendszerben következő függvényeket: ( ) : b : + c : d : Mit veszel észre, milyen geometrii trnszformációvl kpjuk meg z lpfüggvény grfikonjából többi grfikont? Jellemezd függvényeket z lábbi szempontok szerint: b c d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 66. Add meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 67. Értéktáblázt segítségével ábrázold füzetbe következő függvényeket! f ( ) = g ( ) = ( ) 34
MÁSODIK EPOCHAFÜZET D feldt 68. Ábrázold következő függvényeket közös koordinát rendszerben! : b : c : ( ) ( ) 4 Jellemezd c függvényt z ismert szempontok szerint! c FÜGGVÉNYEK ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 69. Ábrázold z f : 3 függvényt! Melyik lpfüggvény trnszformálásávl állíthtó elő ennek függvénynek grfikonj? : Htározd meg trnszformációs lépéseket! Add meg geometrii trnszformációt is! b : f : trnszformáció: trnszformáció: Jellemezd z f függvényt! 70. Állpítsd meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 7. Rjzold be koordinát-tengelyeket, h dott függvény grfikonj és hozzárendelési szbály! ( ) 35
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET C feldt 7. Ábrázold következő függvényeket közös koordinát rendszerben! : b : + 3 c : + 3 Jellemezd c függvényt z ismert szempontok szerint! c ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 73. Ábrázold z : ( ) f függvényt! Melyik lpfüggvény trnszformálásávl állíthtó elő ennek függvénynek grfikonj? : Htározd meg trnszformációs lépéseket! Add meg geometrii trnszformációt is! b : f : trnszformáció: trnszformáció: Jellemezd z f függvényt! 74. Állpítsd meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 75. Rjzold be koordinát-tengelyeket, h dott függvény grfikonj és hozzárendelési szbály! ( ) 36
MÁSODIK EPOCHAFÜZET B feldt 76. Ábrázold következő függvényeket közös koordinát rendszerben! : b : + 3 c : + 3 d : + 3 4 FÜGGVÉNYEK Jellemezd d függvényt z ismert szempontok szerint! d ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 77. Ábrázold z : ( ) f függvényt! Melyik lpfüggvény trnszformálásávl állíthtó elő ennek függvénynek grfikonj? : Htározd meg trnszformációs lépéseket! Add meg geometrii trnszformációt is! b : c : d : f : trnszformáció: trnszformáció: trnszformáció: trnszformáció: Jellemezd z f függvényt! 78. Állpítsd meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 79. Rjzold be koordinát-tengelyeket, h dott függvény grfikonj és hozzárendelési szbály! ( ) + 37
FÜGGVÉNYEK A feldt 80. Ábrázold következő függvényeket közös koordinát rendszerben! : b : c : d : + 3 Jellemezd d függvényt z ismert szempontok szerint! d MÁSODIK EPOCHAFÜZET ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK 8. Ábrázold z f : 3 függvényt! Melyik lpfüggvény trnszformálásávl állíthtó elő ennek függvénynek grfikonj? : Htározd meg trnszformációs lépéseket! Add meg geometrii trnszformációt is! b : c : d : f : trnszformáció: trnszformáció: trnszformáció: trnszformáció: Jellemezd z f függvényt! 8. Állpítsd meg következő függvények hozzárendelési szbályát! 83. Rjzold be koordinát-tengelyeket, h dott függvény grfikonj és hozzárendelési szbály! + 38
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK 84. Ábrázold! g : h : i : j : f l : m : ( ) + ( ) ( + ) ( ) f ( ) f ( ) f f f Foglmzd meg! f függvény grfikonjánk ismeretében, melyik geometrii trnszformáció segítségével kpod meg következő függvények grfikonját? Az ( ). f ( ) +, h > 0 b. f ( ) +, h < 0 c. f ( + ), h > 0 d. f ( + ), h < 0 e. f ( ) f. f ( ) 39
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 85. Ábrázold betűjelednek megfelelő függvényeket! Mindegyiknél gondold végig, hogy mi z lpfüggvény, és milyen trnszformációs lépésekkel kpod meg nnk grfikonjából z ábrázolni kívánt függvény grfikonját! D : : + d : + 4 b ( ) c : 3 e : f : + C ( ) h : + g : B i : + : 3 j k : ( 3) + l : + A m : + n : + 4 o : 3 3+ 3 p : + Jellemezz leglább kettőt z ábrázolt függvények közül! 86. Ábrázold és jellemezd következő függvényeket! d : [ ;3] R ( ) + 4 c : ] 3;3] R + + [,0 [ R b : + : + ] 4;] R 87. Ábrázold és jellemezd következő függvényeket: D: + 3 h < 3 + h f : C: g : 3 h 3 3 h > ( ) + h < 0 B: h : A: i : h 0 + 3 h h > 40
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK 88. Add meg következő függvények hozzárendelési szbályát, és jellemezd függvényeket! d:... R c:... R b:... R :... R ÉT ÉK Zh Tm MIN MAX NÖV CSÖKK b c d 89. Ábrázold következő függvényeket, mjd írd fel hozzárendelési szbályt bszolút érték nélkül! f : 3 + g : + + f : h h g : h h 4
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 90. Ábrázold közös koordinátrendszerben betűjelednek megfelelő függvényeket! Mit tpsztlsz? D: : b : C: f : g : B: h : ( ) 4 : ( ) 4 i A: j : k : 9. Ábrázold közös koordinát-rendszerben betűjelednek megfelelő függvényeket: C: ( ) D: ( ) ( ) 3 B: A: + + + + + + Jellemezd z utolsónk ábrázolt függvényt! 9. ***Ábrázold következő függvényeket! f : g : ( + 3) 4 3 h : 3 i : + 4
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Egyenletek, egyenlőtlenségek grfikus megoldás 93. Ábrázold közös koordinát-rendszerben z f ( ) = 3 és g ( ) = ( ) függvényeket! Jelöld be pirossl zokt pontokt, hol két grfikon metszi egymást! Jelöld be kékkel z tengely zon pontjit, melyeknek első koordinátáj megegyezik pirossl jelölt pontok első koordinátájávl! Htározd meg z 3 = ( ) egyenlet megoldásit! 94. Oldd meg grfikusn következő egyenleteket! b. 4 + = 5. ( ) = 3 c. + + = + 5 d. + 3 = + 3 4 f. + = + 3 e. ( ) + 4 = 3 h. + 3 = 3 g. ( 4) + = i. + = 43
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 95. Ábrázold közös koordinát-rendszerben z f ( ) = + és g ( ) = + 4 függvényeket! 3 Jelöld be pirossl zokt pontokt g függvény grfikonján, hol grfikonj z f grfikonj felett hld! Jelöld be kékkel z tengely zon pontjit, melyeknek első koordinátáj megegyezik pirossl jelölt pontok első koordinátájávl! Htározd meg z + < + 4 egyenlőtlenség megoldáshlmzát! 3 96. Grfikusn oldd meg következő egyenlőtlenségeket!. 3 < 0 b. + 4 0 c. ( + ) 4 0 d. ( ) > 3 e. 4 + 5 f. + + + 5 4 h. 3 > + g. ( ) 0 i. + > j. ( ) + 4 > 3 k. + < + 3 l. ( 4) + 44
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Sttisztik A sttisztik lpji A mtemtiki sttisztik dtok gyűjtésével, rendszerezésével és elemzésével fogllkozik. A sttisztikus egy kíváncsi ember, ki bizonyos dolgokról vgy emberekről szeretne egyet s mást megtudni. A sttisztik dtoknk fontos szerepe vn mindennpi életben. Például, h egy cukrász fgylltkészítésre dj fejét, kkor felmérheti, hogy mely fgylltokr vn legngyobb igény környéken lkók körében. H szeretnénk egy mosógépet vásárolni, kkor érdemes tájékozódni várhtó élettrtmáról, átlgos energifogysztásáról stb. mielőtt döntünk. Az AKG-bn, mielőtt elindítjuk z lkotóköröket, felmérjük, hogy melyikre milyen igény muttkozik. A könyvkidók, mielőtt meghtároznák, hogy egy könyvből hány példánnyl rukkolnk ki picr, sttisztikákból tájékozódhtnk rról, hogy hsonló könyvekből korábbn mennyi fogyott. 97. Gyűjts olyn példákt, mikor te döntésedet is segítette, vgy segíthette voln néhány sttisztiki dt ismerete. Írj ide néhányt: 98. Nézz után, hogy mi z KSH! Mivel fogllkozik? Írd le, mit tláltál! 45
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET Adtok gyűjtése, rendszerezése H felmérést végzünk, vgy kísérletezünk, kkor z dtokt érdemes rendszerezni! Péld: Mrci kishúg, Lili, ngyon szeret Ki nevet végén? -t játszni. Ebben játékbn kkor lehet bábuvl játékmezőkre kilépni és játékot elkezdeni, h 6-ost dobsz. Lili zt kérte Mrcitól, hogy inkább 4-es dobásr lehessen kilépni, mert z sokkl többször sikerül neki. Mrci kísérlettel krt húgánk bebizonyítni, hogy nincs igz, mert bármelyik számr ugynkkor esélye vn. Egy dobókockávl 50-szer dobott, és következő értékeket kpt: 3,,, 6, 6, 5,,, 3, 5, 4,, 3, 5,,,,, 5, 5, 6,, 3, 6, 3, 4, 3, 4, 5,,, 3,, 3, 5, 3, 5, 6, 3, 4,, 4, 6, 4, 5, 3,,, 3, 3 Összesítette is z eredményeket: - es: 6 db -es: 0 db 3-s: 3 db 4-es: 5 db 5-ös: 8 db 6-os: 6 db Kishúg már másodikos volt, és szeretett számolgtni. Nézegette z összesítést, és kijelentette, hogy bátyj hibázott. Igz volt? Miért? 99. H Mrci rosszul számolt, kkor jvítsd ki z dtokt! Egyszerűbb dolg lett voln z összeszámolásnál, h készít egy tábláztot dobhtó értékekről, és minden dobás után egy strigulát húz megfelelő helyre. (A könnyebb számolás érdekében minden ötödik strigulávl z előző négyet áthúzzuk.) Így: -es -es 3-s 4-es 5-ös 6-os 00. Számold össze strigulákt, írd megfelelő sorb, és nézd meg, hogy jól válszoltál-e z előző kérdésre! Mrci brátj, Péter, is beszállt kísérletezésbe. Ngyon lelkes volt, ezért ő 00 kockdobást végzett. Az ő eredményeit látod következő tábláztbn. -es -es 3-s 4-es 5-ös 6-os 0. Végezd el z összesítést! 0. Hogyn lehetne összehsonlítni Peti és Mrci eredményeit? Melyiküknél volt gykoribb 6-os dobás? És 4-es? 46
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Egy-egy dobás előfordulásánk számát gykoriságnk nevezzük. Például Péter dobássoroztábn 6-os gykoriság 7. Ez z dt önmgábn nem jelent semmit. Azt is tudnunk kell, hogy összesen hány dobásból jött ki 7-szer 6-os szám. H gykoriságot elosztjuk z összes dobás számávl, kkor megkpjuk reltív gykoriságot. Péter dobássoroztábn 6-os reltív gykoriság: 7 :00 = 0, 7. Ez z érték megmuttj, hogy dobások 0,7 része (másképpen 7%-) volt 6-os. A tábláztok negyedik oszlopáb írd be z egyes dobások reltív gykoriságát. Vigyázz, z első esetben 50 kísérlet volt, tehát 50-nel kell osztni gykoriságot! 03. Felmérést kell készíteni vlmilyen tuljdonságról kupcbn! Mindenkit meg kell kérdezned! Írd ide, hogy z osztálybn milyen tuljdonságról készítettél felmérést! Milyen kérdést tettél fel? Milyen lehetőségek voltk válszr? Gondold végig, hogy milyen tábláztot kell készítened, hogy z dtokt összesíthesd! Rjzold ide tábláztot! 04. Számítsd ki z egyes válszok gykoriságát és reltív gykoriságát is! Hogyn lehetne szemléletesen ábrázolni kpott eredményt? 47
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET Adtok szemléltetése digrmok Az dtok szemléletes megjelenítésére sokféle digrmot hsználhtunk. A rjzos szemléltetés (grfikus ábrázolás) rr jó, hogy ránézésre eldönthessük z egyes dtfjtákhoz trtozó gykoriságok rányát. Leolvshtjuk például, hogy miből vn legtöbb, vgy legkevesebb. Az egyik leggykrbbn hsznált szemléltetési mód z oszlopdigrm. Péld: Egy gyermekkönyvtárbn z egyik np feljegyezték, hogy milyen műfjú könyveket kölcsönöztek ki könyvtárlátogtók. Az eredmény következő volt: Regény: 7, képregény: 4, mesekönyv: 8, tnkönyv: 8 és képeskönyv 0db. 05. Írd be tábláztb gykorisági dtokt, és számolj reltív gykoriságot! A gykorisági dtok oszlopdigrmon ábrázolv: Gondolkodj! Mi történne, h nem gykoriságot, hnem reltív gykoriságot ábrázolnánk? Készítsd el grfikont füzetedbe! Ne feledkezz meg felirtozásról! Ugynezeket z dtokt törött vonl digrmon (poligon) is ábrázolhtjuk: H z dtok százlékos eloszlását krjuk megmuttni, kkor kördigrmot vgy sávdigrmot érdemes hsználni. Egy iskoli osztálybn felmérést készítettek rról, hogy tnulóknk hány testvére vn. A felmérésből z ábrán láthtó kördigrmot kpták. A teljes kör 00%-ot jelenti. A körcikkek területe muttj z egyes dtok reltív gykoriságát (százlékbn). (A megfelelő területű körcikket úgy lehet berjzolni, hogy 360 -os középponti szöget megfelelő ngyságú részekre osztjuk. Például 0%-nk 36 -os szög felel meg.) 48
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK A kördigrm helyett sávdigrmot is hsználhtunk ugynezeknek z dtoknk megjelenítésére. 06. Melyik négyzetnek vn ugynkkor hányd beszínezve, mint körnek? 07. Egy npilp szerkesztője külön fájlokbn kpt meg rjzos és szöveges nygokt. Így következő négy grfikon címeit is. Tláld ki, hogy lenti címek közül melyik illik z egyes képekhez, és írd őket megfelelő helyre! Címek: Egy ország népessége korcsoportokr lebontv, ezen belül férfik és nők rány Egy város népességének lkulás z egymást követő évek során Vlutárfolym lkulás Az ipri termelés szerkezete fővárosbn 08. A világ hlásztábn vezető szerepet játszik Norvégi, Izlnd, Jpán és z Egyesült Állmok. Az lábbi tábláztbn zt látjuk, hogy ezek z országok milyen százlékbn vették ki részüket világ hlásztából 998-bn. Melyik kördigrm ábrázolj 49
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET helyesen z dtokt? Krikázd be megfelelőt! Írd z egyes országokt és százlékos dtokt megfelelő helyre! Jpán 6% Egyesült 4% Állmok Norvégi % Izlnd % 09. A grfikon 005. novemberben és 006. februárbn muttj 4 és 59 év közötti IWIW felhsználók rányát. Figyeld meg grfikont (milyen típusú?), és válszolj kérdésekre!. Mely korosztálybn IWIW-eztek legtöbben 005-ben illetve 006-bn? b. H tudjuk, hogy 005-ben kb. 00 000-en IWIW-eztek, kkor ezek között hányn voltk 6 évesek? c. Milyen szembetűnő változás olvshtó le 006-os és 007-es dtokból? 0. Nézd meg grfikont, és válszolj kérdésekre!. Melyik dó nézettsége növekedett 00 és 006 között b. Mit jelenthet z oszlopok fölötti tégllpb írt %-os érték? c. Mit jelent, h ez 00% felett vn? És h ltt? 50
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK. Egy 5 fős osztály mtemtiktnár dolgoztot írtott. A dolgozt jvítás után kiszámolt z egyes osztályztok százlékos előfordulását. Ezeket z értékeket muttj z oszlopdigrm. Döntsd el, hogy melyik igz, illetve melyik hmis z állítások közül! ÁLLÍTÁS Az osztály tnulóink több mint felel hárms vgy négyes osztályztot kpott. Minden ötödik tnuló elégtelenre írt meg dolgoztát. Páros számú tnuló kpott hármst dolgoztár. Ugynnnyi tnuló kpott hármst, mint kettest és ötöst együttvéve. I/H. Egy felmérés eredménye szerint z Rh+ vérű emberek között négy vércsoport előfordulási rány következő: Az Észki Egyetemnek 850 olyn hllgtój vn, kinek vére Rh+ fktort trtlmz. A fenti dtok lpján állpítsd meg, hogy közülük várhtón hány diák vére lesz AB vércsoportú! 3. A Föld négy legbővizűbb folyój brzílii Amzons, z rgentin Prná, z friki Kongó és kíni Jngce. Az ábrán folyók áltl másodperc ltt szállított vízmennyiségeket láthtod. A négy folyó közül z Amzons szállítj legngyobb víztömeget, Jngce legkevesebbet. A Prná másodpercenkénti vízhozm ezer köbméterrel hldj meg Kongó vízhozmát. Írd z oszlopok lá hozzájuk trtozó folyó nevét! Olvsd le z oszlopdigrmról, hogy mennyi vizet szállít Kongó folyó másodpercenként! 5
FÜGGVÉNYEK 4. Az lábbi grfikon egy város népességének lkulását ábrázolj.. Mekkor volt város népessége 960-bn? b. Melyik időszkbn növekedett leggyorsbbn város népessége? MÁSODIK EPOCHAFÜZET A 870 és 880 között B 880 és 890 között C 900 és 90 között D 930 és 950 között 5. Kováts úr lkóhelyétől város túlsó felére, 0 km távolságr jár dolgozni minden reggel. Az utzáshoz három közlekedési eszköz: utóbusz, személyutó és motorkerékpár közül válsztht. A grfikon munkhelyre jutás időtrtmát muttj reggeli csúcsforglom idején z egyes közlekedési eszközökkel. Melyik járművel ér be leghmrbb munkhelyére Kováts úr? 6. A grfikon növények átlgos mgsságát ábrázolj nnk függvényében, hogy npont hány órán keresztül éri őket npfény. A grfikont figyelembe véve, z lábbi állítások közül melyik igz? Krikázd be z igz állítások betűjelét! A A növények átlgos mgsság ngyobb npi ór npfény mellett, mint npi 4 ór npfény mellett. B A növények átlgos mgsság egyenesen rányos z őket npont érő npfény mennyiségével. C A npi 6 órán át npon lévő növények átlgosn mgsbbk, mint npi 4 órán át npon lévők. D Azok növények, melyek npont több órát vnnk npon, mgsbbr nőnek. 5
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK Sttisztiki muttók középértékek Biztosn ismered Legyen ön is milliomos! játékot. Ebben játékbn minden kérdés esetén négy lehetséges válsz közül (A, B, C, D) kell helyeset kiválsztni versenyzőnek. Arr is lehetősége vn, hogy egyszer közönség segítségét kérje, h egy kérdésre nem tudj válszt. Ilyenkor közönségben ülők megnyomják z A, B, C, D gombok vlmelyikét, szerint, hogy melyik válszt tlálják helyesnek. A számítógép egy sttisztikát készít, és kiírj, hogy melyik betűre hányn tippeltek. Nézzük következő példát: Mennyi egy felnőtt férfi tüdejének légző felülete? A: 50 cm ; B: m ; C: 0m ; D: 50m. A közönség tippjei: A: 5db, B: 6db, C: 9db és D: 7db. Te melyik válszt jelölnéd meg helyesnek? Sttisztikus szemmel: Ebben z dthlmzbn négy lehetőség közül D fordult elő legtöbbször, vgyis ez volt leggykoribb. Az dthlmz legtöbbször előforduló elemét módusznk nevezzük. 7. Htározd meg csoportok áltl végzett kísérletek esetén (gyufás sktuly, fej vgy írás stb.) móduszokt! 8. Készíts felmérést z osztálybn diákok születési évéről! Mi ennek z dthlmznk módusz? Hogyn lehetne ezt hétköznpi nyelven megkérdezni? 9. Gyűjts olyn eseteket, mikor egy sttisztiki felmérést zért végeznek, hogy megtudják, hogy mi módusz! (Ilyen volt például Megsztár telefonos szvzás ki legtöbb szvztot gyűjtötte z továbbjutott következő fordulób.) 0. Vizsgáljuk meg z utóneveinkből álló dtsort! Ki tudná megmondni, hogy mi módusz ennek z dtsornk? Sokszor z dthlmz átlg is fontos lehet számunkr. Nekem például fontos, hogy ti mtek epochzáróitok átlg mgs legyen, mert z zt jelenti, hogy többség jól megértette és megtnult z nygot. Az előző iskoládbn év vége előtt biztos egy-egy tntárgyból z osztályztid átlgát, hogy felkészítsd z otthonikt bizonyítványr. Lássuk csk, mit is tettél ekkor! Szépen, egymás után összedtd jegyeidet, mjd z összeget elosztottd z osztályztok drbszámávl.. Rék mtekból tvly ezeket jegyeket szerezte: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 3, 5, 4, 5. Mennyi z átlg?. Pisti ngyon jó volt irodlomból. Az év során 8 ötöst és négyest szerzett. Próbálj egyszerűen átlgolni! (H szorzásjelet is hsználtd számológépen, kkor dicséretet érdemelsz.) 53
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 3. A tnárértékelésen Gizike tnárnő ezeket pontokt kpt szuhéli kezdő csoport 0 gyerekétől: értékelés 3 4 5 6 7 drb 0 0 0 3 4 A szuhéli hldó csoport ezeket dt: értékelés 3 4 5 6 7 drb 0 0 0 0 8 Számoljátok ki z átlgot mindkét csoportnál! Melyik csoportnk milyen lehet hngult? A tnárnőnek elég, h csoportátlgot tudj? Milyen más infót kéne ismernie (h nem láthtj külön z összes jegyet)? 4. Most készíts négy olyn tnárértékelési tábláztot, mikben mind 0 gyerek osztályozz Gizikét, és 5,5 z átlg! (Segítség: előbb zt számold ki, hogy hány pontot dtk összesen!) tedd sorrendbe őket szerint, hogy melyik legegységesebb és melyik legmegosztottbb! 5. Különböző dtsorokt átlgoltm. Melyik jó megoldás? Számolás nélkül mondd meg, viszont tudj indoklást hozzá!, Snyik jegyei: ; 3; 3; 4, 4, 5 A, 3,9 B, 4,3 C, 3,5 D, 3,9 b, Gusztáv öt epocheredménye: 70%, 6%, 80%, 4%, 65%. A, 5,% B, 63,8% C, 43,5% D, 7,7% c, Egy filmre dott pontszámok: 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9 A, 7,9 B, 7,85 C, 8,0 D, 8, d, Az év végi mtekjegyek z évfolymon: jegy 0 3 4 5 drb 0 6 0 8 A, 3,78 B, 3,6 C, 4,00 D, 4,88 Gykrn z érdekel minket, hogy növekvőleg rendezett dtsorbn mi középső elem, például ki áll tornsorbn középen. Ez z dtsor mediánj, vgyis középső eleme. H nincs középső eleme z dtsornk mert páros számú elem vn ekkor medián két középső elem átlg. 6. Rék tvlyi mtekjegyeit ismerjük: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 3, 5, 4, 5. Mennyi mediánj? 7. Pisti ngyon jó volt irodlomból. Az év során 8 ötöst és négyest szerzett. Add meg mediánt! 8. Írj fel egy 5-0 elemből álló dtsort következők szerint: - Olyn dtsor, minek módusz vn, de átlg nincs! - Olyn dtsor, minek vn átlg, de módusz nincs! - Olyn dtsor, melynek nincs mediánj! - Olyn dtsor, melynek vn mediánj, de nincs átlg! 54
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK 9. A következő digrm egy szrvsbik életkor és gncsánk tömege közötti összefüggést muttj.. Mennyi idős lehet z szrvs, melyik kb. 4kg-os gncsot visel? b. Mekkor lehet 6 és 8 év közötti szrvsok gncs? c. Mely életszkszbn növekszik legintenzívebben szrvsok gncs? d. Egy vdsprkbn 5 szrvs elhulljtott gncsát tlálták meg. Mekkor z átlgos tömegük, h szrvsbikák között volt egy éves, egy 8 éves és három hároméves? 30. Gábor részt vett egy hőlégbllonos kiránduláson. A felszállástól leszállásig 5 percenként leolvst tengerszint feletti mgsságot muttó műszerről mért dtot, és zokból következő grfikont készítette. Egészítsd ki szöveget grfikon lpján!. A repülés.. percig trtott. b. A leszállás.. helyen történt, mint felszállás. (mgsbb/lcsonybb) c. A fent töltött idő ltt.. lklomml voltk éppen 600 méter mgsságbn. d. 700 méternél mgsbbn percet töltöttek. e. Gábor fogdást kötött brátjávl, hogy leglább z utzási idő felében 500 méter feletti mgsságbn lesz. A fogdást... (megnyerte/elvesztette) 55
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET 3. Egy tvon vitorlázók biztonság érdekében m/s-os szélsebességtől sárg vihrjelzés, 7 m/s-os szélsebességtől piros vihrjelzés lép életbe. A következő grfikon tónál elhelyezett szélsebességmérő berendezésének dtit muttj. A grfikonok lpján döntsd el, hogy melyik állítás igz, melyik hmis!. Délután háromkor sárg jelzés volt életben. b. Peti sárg jelzés mitt csk délig tudott vitorlázni. c. Délután fél négykor erősebb volt szél, mint ötkor. d. A sárg jelzés np folymán leglább 5 órán keresztül érvényben volt. e. A np folymán szél erőssége egyenletesen növekedett. 3. A digrm egy évente megrendezésre kerülő ünnepi hngversenysoroztr megváltott jegyek számát szemlélteti négy évre vontkozón.. Készíts z dtokból gykorisági tábláztot! (A füzetbe dolgozz!) b. Számítsd ki, hogy átlgosn hány jegy kelt el évente! c. Mennyi volt z átlgos éves bevétel, h 006-bn 00Ft-b, 007-ben 300Ft-b, 008-bn 500Ft-b és 009-ben 000Ftb került egy jegy? d. Hány százlékkl nőtt z eldott jegyek szám 008-bn z előző évhez képest? e. Milyen ránybn változott bevétel 009-ben z előző évhez képest? 56
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK 33. Egy kosárlbd klubbn megmérték lányok mgsságát, és következő eredményeket kpták: 8; 68; 73; 78; 8; 69; 73; 75; 78; 78; 79; 8; 8; 84; 7; 7, 69; 70; 78; 75; 77.. Mi mgsságok módusz és mediánj? b. Sorold be z lábbi osztályokb kpott dtokt: mgsság 65-70 cm 70-75 cm 75-80 cm 80-85 cm drbszám c. Készíts oszlopdigrmot táblázt lpján! 34. A 30 fős kupc tvlyi mulsztott npjink számát látod tábláztbn. 5 7 0 9 0 5 7 4 8 3 9 5 0 0 4 5 4 7 9 8 5 9. Sorold z dtokt 5 szélességű osztályokb! b. Számítsd ki, hogy z egyes osztályokb hány százlék trtozik kupcnk! c. Ábrázold kördigrmon z dtokt! 35. A Mmmut gyorsétkezdéiben egy keddi npon felmérték z éttermekben ebédelők életkorát. életkor (év) -0-0 -30 3-40 4-50 5-60 6-70 fő 3 96 87 47 5. Meg tudod-e mondni, hogy hány veled egyidős fitl ebédelt ott? b. Ábrázold felmérés eredményét kördigrmon! (Százlékot és középponti szöget is számolj!) c. Számold ki megfigyelt időszkbn ott ebédelők átlgos életkorát! (Minden esetben z osztály középső értékével számolj!) 36. Egy 0 oldls dokumentumbn z egyes oldlkon levő szvk szám tlálhtó tábláztbn. 395 48 455 376 3 440 475 358 3 490 406 307 484 38 34 49 468 338 45 499. Számítsd ki szvk oldlnkénti átlgos mennyiségét! b. Sorold 50 szélességű osztályokb z dtokt, és készíts erről tábláztot és kördigrmot! c. Számíts átlgot z osztályb sorolt értékekkel is, mint z előző péld b) részében, és hsonlítsd össze z )-bn számolt értékkel! 57
FÜGGVÉNYEK MÁSODIK EPOCHAFÜZET Feldtgyűjtemény Hlmzok F F F3 A következő meghtározások közül melyek htároznk meg egyértelműen egy-egy hlmzt?. {kupcunk tnulói} b. {egy osztály tnulói} c. {kupcunk fiútnulói} d. {z AKG mgs tnulói} e. { természetes számok} f. { természetes számok hlmz} g. {egy egyenlet megoldási} h. {z 5 ( 3) + ( 3) = 3 egyenlet vlós megoldási} i. { prímszámok} j. { legngyobb prímszám} k. {vlmely három egész szám} l. {prímszámok, kupcunk tnulói} m. { legkisebb egész szám} n. { legkisebb természetes szám} Hány eleme vn ezeknek hlmzoknk? Sorold fel következő hlmzok elemeit!. {00-nál kisebb négyzetszámok} b. {Mgyrország megyeszékhelyei} c. {00-nál kisebb négyzetszámok szám} d. {Az Európi unió állmi 00-ben} e. {z olyn kétjegyű természetes számok, melyekben számjegyek összege 6} f. {43 pozitív osztói} Hány eleme vn ezeknek hlmzoknk? Adott két hlmz: A := {0-nál kisebb prímszámok} B := {30 pozitív osztói}. Sorold fel z A és B hlmz elemeit! b. Ábrázold két hlmzt Venn-digrmmon! c. Felsorolássl dd meg z lábbi hlmzok elemeit: A B = A B = A \ B = B \ A = d. Milyen tuljdonságú számok vnnk z A \ B hlmzbn? e. Milyen tuljdonságú számok vnnk B A hlmzbn? F4 A={; b; c; d; e}. Adj meg olyn B hlmzt, hogy A B = { ; c; d} legyen! b. Adj meg olyn C hlmzt, hogy C A legyen! c. Adj meg olyn D hlmzt, hogy A D = {; b; c; d; e; f; g; h; i} legyen! F5 Ábrázold Venn-digrmmon következő hlmzokt: N, Z, Z +, Q 58
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK F6 F7 Htározd meg z lábbi hlmzokt megfelelő számhlmz jelöléssel vgy felsorolássl. +. N \ Z = b. Q + Z = c. Z \ N = d. N Z = Ábrázold következő hlmzokt Venn-digrmm segítségével:. A 0-zel, 5-tel és 0-szl oszthtó számok hlmzi b. A prímszámok, 3-ml és -vel oszthtó számok hlmzi c. A 6-tl, 8-cl és 4-gyel oszthtó számok hlmzi F8 Adott z A {, b, c} := hlmz. Add meg z A hlmz összes részhlmzát! F9 Legyen A := {7; 8; 9; 0; }. Gondoltm egy B hlmzr, elárulom, hogy B A és B =. Te megtippeled, mire gondoltm. Sorold fel lehetséges tippjeidet! Mennyi vlószínűsége, hogy egyből eltlálod, melyik hlmzr gondoltm? F0 Adott két hlmz: A := {húsznál kisebb, pozitív, háromml oszthtó számok hlmz} és B := {; 4; 9; 6}. Sorold fel z A B, A B és z A \ B elemeit! F Az A és B hlmzokról következőket tudjuk: A B ={; }, A B ={; ; 3; 4; 5; 6; 7},és A \ B ={5;7}. Add meg z A és B hlmz elemeit! F Ábrázold Venn-digrmmon következő hlmzokt: P := {prlelogrmmák}, T := {trpézok}, D := {deltoidok}, G := {tégllpok} Htározd meg z lábbi hlmzokt! T G = D G = D T = F3 Rjzold le zon pontok hlmzát, melyek z dott P ponttól. 3 cm-nél ngyobb és 5 cm-nél kisebb; b. 3 cm-nél nem kisebb és 5 cm-nél kisebb; c. 3 cm-nél ngyobb és 5 cm-nél nem ngyobb d. 3 cm-nél nem kisebb és 5 cm-nél nem ngyobb távolságr vnnk! Minden részfeldthoz külön ábrát készíts, és hsználj nyugodtn több színt és körzőt, vonlzót! F4 Rjzold le zon pontok hlmzát, melyek z dott P ponttól. 3 cm-nél kisebb vgy 4 cm-nél ngyobb; b. 3 cm-nél nem ngyobb vgy 4 cm-nél nem kisebb; c. 3 cm-nél ngyobb vgy 4 cm-nél kisebb; d. 3-cm-nél nem kisebb vgy 4 cm-nél nem kisebb távolságr vnnk! Minden részfeldthoz külön ábrát készíts, és hsználj nyugodtn több színt és körzőt, vonlzót! F5 Rjzold le zon pontok hlmzát, melyek z dott e egyenestől. 3 cm; b. 4 cm-nél kisebb; c. 5 cm-nél nem ngyobb távolságr vnnk. Minden részfeldthoz külön ábrát készíts, és hsználj nyugodtn több színt és körzőt, vonlzót! F6 Egy mtemtikversenyen z első feldtot z indulók 70%-, második feldtot z indulók 60%- oldott meg helyesen. E két feldtot 9-en oldották meg helyesen. Hányn indultk versenyen? 59
FÜGGVÉNYEK 60 MÁSODIK EPOCHAFÜZET F7 Egy osztály 8 tnulój közül 7-en rendelkeznek zonosítóvl Fcebook-r, és 5-en z IWIW-re. olyn tnuló jár ebbe z osztályb, kinek mindkét közösségi portálr vn zonosítój. Hány olyn tnulój vn ennek z osztálynk, kinek egyik portálr sincsen zonosítój? F8 Egy osztály tnulóink 5 része volt ötös mtemtikából, 30%- pedig történelemből. 4 tnuló mindkét tntárgyból ötöst kpott. Hányn nem kptk ötöst egyik tntárgyból sem, h z osztály létszám 30? 5 F9 Egy osztály tnulóink része közepesnél nem rosszbb tnuló, 40%- pedig 6 közepesnél nem jobb tnuló. Hány közepes tnuló vn z osztálybn, h z osztálylétszám 30? F0 8 számot írtunk fel táblár. Ezek közül 5 oszthtó 3-ml és 4 drb páros vn közöttük. Két olyn szám szerepel táblán, melyik 6-tl oszthtó. Hány olyn szám vn táblán, melyik pártln. és oszthtó 3-ml; b. és nem oszthtó 3-ml; c. vgy oszthtó háromml; d. vgy nem oszthtó 3-ml? F Egy bráti társság tgji három kirándulást szerveztek. Mindegyik kiránduláson társság 5 tgj vett részt. Az első kirándulás résztvevői közül heten voltk jelen másodikon és nyolcn hrmdikon. A második kirándulás 5 résztvevője ment el hrmdik kirándulásr. Négy olyn ember volt, ki háromszor kirándult. Hány fős ez társság? F Egy osztály létszám 30. Az osztálybn 3 nyelvet tnulnk? Angolt, németet és frnciát. Mindenki tnul leglább egy nyelvet. Angolul 6-n, németül 8-n, frnciául 4-en tnulnk. 6 tnuló pontosn nyelvet tnul. Hányn tnulják mindhárom nyelvet? Intervllumok F3 Ábrázold számegyenesen z lábbi intervllumokt! F4. [ 5;3 ] b. ] 0; 6 ] c. [ ;0 [ d. ] 4;3 ] e. ] 4; 5 [ f. ] 5, 5; ] g. ] 0, 5; 4 ] h. [ ;5 ) i. ( 4, 5; 4] j. ( 3, 5; 4 ) k. [ 40; 70 ] l. [ 000; 5000 [. Ábrázold számegyenesen z I = [ ;4 [ intervllumot! b. Ábrázold számegyenesen = { < 3 } intervllumot! c. Add meg intervllumként számegyenesen ábrázolt J intervllumot! d. Add meg hlmzként számegyenesen ábrázolt H intervllumot! F5 Adottk z lábbi intervllumok: K R hlmzként megdott I = ( 0; ] J = ] ; [ K = { R < } L = { R 0 }. Ábrázold ezen intervllumokt számegyenesen! Melyik zárt, nyitott, illetve félig nyitott vgy félig zárt? b. Vn-e közöttük olyn, mely vlmelyik másiknk részhlmz? H vn, írd fel trtlmzást! c. Add meg zt leghosszbb intervllumot, melyik K hlmz vlódi részhlmz! d. Add meg zt legrövidebb intervllumot, melyik K hlmz vlódi részhlmz! J H
MÁSODIK EPOCHAFÜZET F6 Figyeld meg következő intervllumokt! K FÜGGVÉNYEK J I L. Melyik nyitott, zárt, illetve félig nyitott, félig zárt? b. Írd fel intervllum jelölésekkel z I, J, K, L, I \ J, K \ I, J \ L,I J, J L, J L és K J hlmzokt! c. Vnnk-e diszjunktk z I, J, K, L intervllumok között? Adjuk meg őket! d. Legyen z lphlmz z U = [ ;7 ] intervllum. Htározd meg L és K hlmzokt! 4 7 F7 Ábrázold z I = ; 5 5 intervllumot számegyenesen! Add meg z I intervllumot hlmzként is! Adj meg 4 olyn rcionális számot, mely ebbe z intervllumb esik! F8 Ábrázold számegyenesen következő hlmzokt!. G = { R és < 3} b. H = { R és < 3} c. I = { R és 4} d. - J = { R és + 3 } e. A H hlmz leírásábn egy jelet megváltozttv djuk meg H -t, h z univerzum vlós számok hlmz! Megtehető-e ez többi hlmzr is? f. Add meg hlmzokt intervllum jelöléssel! F9 Adottk z I = [ 4;7 ], J = [ 6 ; [, K = ] 3;6 [ és ] ;5 ] L = intervllumok. Ábrázold számegyenesen és írd fel intervllum formábn következő hlmzokt:. L K; K I ; I \ J; J \ I; ( L I )\ K; ( K J )\ L. b. Legyen z lphlmz = ] ; [ U. Htározd meg z L, J, I J, I K, J K L hlmzokt intervllum formábn! F30. Oldd meg z + > 0 és 4 5, 0 egyenlőtlenségeket vlós számok 3 3 hlmzán! b. Ábrázold megoldáshlmzokt számegyenesen, és dd meg intervllum jelöléssel is! c. Jelölje I z első, J második egyenlőtlenség megoldáshlmzát. Htározd meg következő hlmzokt: I J ; I \ J; J \ I. d. Mivel egyenlő z I J hlmz? 6
FÜGGVÉNYEK Tájékozódás koordinát-rendszerben MÁSODIK EPOCHAFÜZET F3 Ábrázold z lábbi pontokt koordinát-rendszerben!. A( ; ) b. B( ; 4 ) c. C( 5; 5 ) d. D( 5; 0 ) e. E( 7; 3 ) f. F( 6; 0 ) g. G( 9; 3 ) h. P( 0; 0 ) i. Q( 9; ) j. R( 8; ) k. S( ; - ) l. T( 0; 3 ) m. U( ; ) n. V( 4; 6 ) o. K( 5; 4 ) p. L( 0; 6 ) F3 Ábrázold koordinát-rendszerben! A ( 3;), B ( ;3 ), C ( 4; ), D ( 4; ) ; E ( 0;5), ( 3;0) F! Tükrözd pontokt, és olvsd le kpott pontok koordinátáit ) z tengelyre; b) z y tengelyre; c) koordinát-rendszer szögfelezőire; d) z origór! Foglmzd meg tpsztltidt! F33 Színezd ki koordinát-rendszernek zt trtományát, melynek pontji megfelelnek z lábbi feltételeknek!. = - b. > 5 c. d. y = 3 e. y < 5 f. y 4 F34 Adott következő két ponthlmz: = { ( ; y),y és y } = { ( ; y),y és } A R, B R. Ábrázold következő ponthlmzokt koordinátrendszerben! m. A B n. A B o. A \ B F35 Jellemezd z lábbi trtományokt! Figyelj rr, hol kell vgy jeleket írni! 6
MÁSODIK EPOCHAFÜZET FÜGGVÉNYEK F36 A ceruz felemelése nélkül kösd össze koordinátrendszerben következő koordinátákkl megdott pontokt: ( ;-) (;) (;-) ( ;-) ( ;) (;) (0;4) ( ;) (; ) F37 A ceruz felemelése nélkül kösd össze koordinátrendszerben következő koordinátákkl megdott pontokt: ( 4;0) ( ;) (0;0) (; ) (4;0) ( ;) (0;0) (-; ) ( 4;0) 63