Verhóczki László. Riemann-geometria. el adásjegyzet. ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék

Verhóczki László Riemann-geometria el adásjegyzet ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék

A jegyzetben használt jelölések a sokaságokkal kapcsolatosan u i : R m R a természetes i-edik koordináta-függvény az R m téren. M, N, B dierenciálható sokaságok. F(M) az M sokaságon vett sima függvények gy r je. v(f) a sokaságon vett f függvénynek a v érint vektor szerinti iránymenti deriváltja. T p M az M sokaság érint tere a p pontban. (U, ξ) egy térkép a sokaságon az U térképtartománnyal és a ξ térképezéssel. x i = u i ξ : U R a ξ térképezés i-edik koordináta-függvénye. X i = x i a ξ térképezéshez tartozó i-edik alapvektormez az U térképtartományon. X(M) az M sokaságon vett vektormez k tere. Y (f) az f F(M) függvénynek az Y X(M) vektormez szerinti deriváltja. [Y, Z] az Y, Z vektormez k Lie-zárójele. T M az M sokaság érint nyalábja. µ : M N dierenciálható leképezés. T µ : T M T N a µ sima leképezés érint leképezése (más szóval derivált leképezése). I az R számegyenes egy nyílt intervalluma. u : I I identikus leképezés, azaz a természetes térképezés az I R intervallumon, mint sokaságon. d ( d du (t) az u térképezés alapvektora a t I helyen du (t) T d ) ti, du (t)(f) = f (t). σ : I M sima görbe az M sokaságon. ( d ) ( ) σ(t) = T σ du (t) σ görbe érint vektora a t I helyen σ(t)(f) = (f σ) (t).

1) Lineáris konnexiók vektornyalábokon A brált nyaláb 1.1. Deníció. Legyenek E, B, F dierenciálható sokaságok és π : E B egy sima leképezés. Az (E, π, B, F ) négyest egy brált nyalábnak mondjuk, ha teljesül az alábbi feltétel: Tetsz leges p B pontnak van olyan U nyílt környezete B-ben és az Ebeli π 1 (U) nyílt halmazon van olyan ϕ : π 1 (U) F sima leképezés, hogy a π ϕ : π 1 (U) U F leképezés, ahol fennáll π ϕ(w) = (π(w), ϕ(w)) tetsz leges w π 1 (U) esetén, egy dieomorzmus. Az E sokaságot totáltérnek, a B sokaságot bázistérnek, az F sokaságot brumtípusnak nevezzük. A π sima leképezést (amely egy szubmerzió) a brált nyaláb projekciójának hívjuk. Megjegyzés. Magát az E totálteret is szokás brált nyalábnak nevezni. A denícióban szerepl π ϕ leképezést a nyaláb egy lokális trivializálásának mondjuk. Emellett az (π 1 (U), π ϕ) párra szokás használni a nyalábtérkép elnevezést is. Világos, hogy tetsz leges p B esetén a π 1 (p) részsokaság dieomorf a brumtípust adó F sokasággal, hiszen a ϕ π 1 (p) : π 1 (p) F lesz kített leképezés egy dieomorznus. Emiatt a π 1 (p) = F p részsokaságot a nyaláb p B ponthoz tartozó brumának mondjuk. Megjegyzés. Tekintsük a π ϕ : π 1 (U) U F dieomorzmus ψ : U F π 1 (U) inverz-leképezését. Ezt is szokás a nyaláb lokális trivializálásának nevezni. Célszer még megjegyezni, hogy tetsz leges (p, f) U F esetén fennáll π ψ(p, f) = p. 1.2. Deníció. Legyen adott egy (E, π, B, F ) brált nyaláb. Vegyünk olyan B-beli U α nyílt halmazokat, melyekhez megadhatóak (π 1 (U α ), π ϕ α ) nyalábtérképek. Amennyiben fennáll az α A U α = B összefüggés, akkor ezen nyalábtérképekr l azt mondjuk, hogy együttesen egy nyalábatlaszt alkotnak. 1.3. Deníció. Az (E, π, B, F ) brált nyaláb szelésén egy olyan Z : B E sima leképezést értünk, amelyre fennáll π Z = id B. A vektornyaláb fogalma 1.4. Deníció. Legyen adott egy (E, π, B, F ) brált nyaláb. Ezt vektornyalábnak mondjuk, ha az F brumtípus egy valós vektortér és a nyaláb brumai is valós vektorterek, továbbá teljesül az alábbi feltétel: A bázistér tetsz leges pontjának van olyan U nyílt környezete B-ben és a π 1 (U) nyílt halmazon van olyan (π 1 (U), π ϕ) nyalábtérkép, hogy bármely p U esetén a ϕ sima leképezésnek az F p = π 1 (p) brumra vett lesz kítése egy lineáris izomorzmust ad az F p és F vektorterek között. Megjegyzés. A vektornyalábra vonatkozó kézenfekv példa az úgynevezett triviális nyaláb. Legyen adott egy B sokaság és egy F vektortér. Vegyük az E = B F szorzatsokaságot, melynek a {p} F részsokaságain természetes módon adódik egy vektortér-struktúra. Ekkor a π : B F B természetes projekcióval az (E, π, B, F ) vektornyalábot kapjuk. 1

1.5. Deníció. Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb. Ezt trivializálhatónak (illetve parallelizálhatónak) mondjuk, ha meg lehet adni a nyalábnak olyan Z 1,..., Z r : B E szeléseit, hogy bármely p B pont esetén a Z 1 (p),..., Z r (p) vektorok egy bázisát képezik az F p vektortérnek. Megjegyzés. Tegyük fel, hogy az (E, π, B, F ) vektornyaláb trivializálható (vagy más szóval parallelizálható). Jelölje r az F brumtípus dimenzióját. (Eszerint az F vektortér izomorf az R r térrel.) Vegyük a fenti deníciónak megfelel Z 1,..., Z r : B E szeléseket és az F vektortér egy e 1,..., e r bázisát. Tekintsük most azt a ϕ : E F leképezést, melyet az alábbiak szerint értelmezünk. Tetsz leges w E vektorhoz vegyük azon b α (α = 1,..., r) számokat, melyekkel fennáll a w = r α=1 bα Z α (π(w)) egyenl ség. A totáltér w elemének a ϕ szerinti képe legyen ϕ(w) = r α=1 bα e α. Világos, hogy ekkor a π ϕ : E B F leképezés egy teljes térképezést ad a nyalábon. A sokaság érint nyalábja, mint vektornyaláb Korábbi tanulmányokból már ismeretes, hogy dierenciálható sokaságot kaphatunk az alábbi Állításban leírt konstrukció alkalmazásával. 1.1. Állítás. Legyen adva egy M halmaz és olyan { (U α, ξ α ) α A } párok rendszere, ahol bármely α A mellett U α M és ξ α : U α R m egy injektív leképezés, továbbá igazak a következ k: (1) α A U α = M. (2) Tetsz leges α, β A esetén a ξ α (U α U β ) halmaz nyílt R m -ben, és a ξ β ξα 1 : ξ α (U α U β ) R m R m leképezés C -osztályú, amennyiben U α U β. (3) Az A indexhalmaz megszámlálható. (4) Bármely p, q M elemekhez vagy létezik olyan α A, hogy p, q U α, vagy pedig vannak olyan α, β indexek, hogy fennáll p U α, q U β és U α U β =. Ekkor az M egyértelm en tehet dierenciálható sokasággá oly módon, hogy az adott (U α, ξ α ) párok mindegyike a dierenciálható struktúrát meghatározó teljes atlasznak egy térképe. Bizonyítás. Tetsz leges α A indexnél a ξ α : U α R m injektív leképezésnek egy homeomorzmust kell adnia az M-beli U α nyílt halmaz és az R m -beli ξ α (U α ) nyílt halmaz között. Ez a feltétel már egyértelm en meghatározza az M-beli topológiát, amelynél egy V halmaz nyílt M-ben pontosan akkor, ha ξ α (U α V ) nyílt R m -ben bármely α A mellett. A feltételek következtében M egy lokálisan euklideszi tér ezzel a topológiával, konkrétan az M egy m-dimenziós topologikus sokaság. Az (U α, ξ α ) párok az M topologikus sokaság térképei, és a (2) feltétel miatt a térképek C -kompatibilisek. Ily módon egyértelm en meghatároznak egy dierenciálható struktúrát. A (3) feltétel miatt az M topologikus tér megszámlálható bázisú, és a (4) feltétel következtében egy Hausdor-tér. Legyen adott egy M sima sokaság, amelynek dimenziója m. Tekintsük a sokaság pontjaiban értelmezett diszjunkt érint terek T M = p M T p M unióját. Legyen π : T M M az a leképezés, amelyre bármely p M pont és v T p M érint vektor esetén fennáll π(v) = p. 2

Vegyük egy (U, ξ) térképét az M sokaságnak. A ξ térképezés koordinát-függvényeire az x i = u i ξ jelölést alkalmazzuk. Vezessük be a T U = p U T p M jelölést. Eszerint T U egy részhalmaza T M-nek. A ξ-hez rendeljük hozzá azt a ξ : T U R 2m injektív leképezést, amelyre bármely w T U esetében fennáll ξ(w) = (x 1 π(w),..., x m π(w), dx 1 (w),..., dx m (w)). Közvetlen számolással ellen rizhet, hogy amennyiben az M-nek egy másik (V, η) térképét vesszük és U V, akkor a ξ(t U T V ) = ξ(u V ) R m halmaz nyílt R 2m -ben, továbbá a η ξ 1 : ξ(t U T V ) R 2m leképezés C -osztályú. 1.6. Deníció. Legyen { (U α, ξ α ) α A } az M térképeib l álló olyan atlasz, ahol az A indexhalmaz megszámlálható. Az ebb l nyert { (T U α, ξ α ) α A } párok rendszere egyértelm en meghatároz egy topológiát és egy dierenciálható struktúrát az M érint vektorainak T M halmazán. Ezt a T M dierenciálható sokaságot az M sokaság érint nyalábjának mondjuk. A T M érint nyalábbal kapcsolatosan megmutatjuk, hogy a (T M, π, M, R m ) négyes egy vektornyalábot ad. Legyen (U, ξ) egy térképe az M sokaságnak. Tekintsük most azt a ϕ : T U R m leképezést, amelyre teljesül ϕ(w) = (dx 1 (w),..., dx m (w)) tetsz leges w T Ura. Ha veszünk egy p U pontot és ϕnek a T p Mre való lesz kítését, akkor nyilván fennáll ϕ ( m ai (p) ) = (a 1,..., a m ) bármely a i valós számokra. Ily módon a ϕ leképezésnek x i a brumokra (azaz a pontbeli érint terekre) vett lesz kítései lineáris izomorzmusok. Megjegyzés. A továbbiakban, amikor a T M érint nyalábról szólunk, azon egy vektornyalábot értünk. A T M érint nyalábon a fentiek során értelmezett (T U, ξ) térképeket fogjuk használni, melyeket az M sokaság (U, ξ) térképei alapján értelmeztünk. Mint ismeretes, ha a ξ térképezés koordinát-függvényei x i = u i ξ (i = 1,..., m), akkor az érint nyalábon vett ξ térképezés x l = u l ξ (l = 1,..., 2m) koordináta-függvényeire fennáll x i = x i π, x m+i = dx i (i = 1,..., m). Megjegyzés. Világos, hogy ha az M sokaságon veszünk egy Z X(M) vektormez t, akkor az egy szelését adja a T M érint nyalábnak. Megjegyzés. Könny belátni, hogy ha az M sokaság nem irányítható, akkor a T M érint nyaláb nem lehet trivializálható. Megjegyzés. Tekintsük az S 2 szférát, mint az R 3 tér egy részsokaságát. Mint ismeretes, az S 2 irányítható, de ezen a szférán nem adható meg olyan sima érint leges vektormez, amely sehol sem t nik el. Ennek következtében az S 2 szféra T S 2 érint nyalábja sem trivializálható. 3

További fogalmak vektornyalábokra Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb. Vegyük a nyaláb Y, Z : B E szeléseit és egy f F(B) függvényt. Mivel a nyaláb brumai vektorterek ezért értelmezni lehet az Y + Z és fy szeléseket, melyekre fennáll (Y + Z)(p) = Y (p) + Z(p) és (fy )(p) = f(p) tetsz leges p B pontra. Világos, hogy a vektornyaláb szelései egy modulust alkotnak a bázistéren vett sima függvények F(B) gy r je felett, továbbá egy vektorteret az R számtest felett. A továbbiakban a vektornyaláb szeléseinek terét (illetve modulusát) C(E) fogja jelölni. Megjegyzés. Az F(B) gy r feletti C(E) modulusnak pontosan akkor van bázisa, ha az E vektornyaláb trivializálható. 1.7. Deníció. Legyen U a B bázistér egy nyílt részhalmaza. A vektornyalábnak az U nyílt részhalmazon vett lokális szelésén egy olyan Z : U E sima leképezést értünk, amelyre teljesül π Z = id U. 1.8. Deníció. Legyen U egy nyílt részhalmaz a B bázistérben. Ekkor E U = { w E π(w) U } = π 1 (U) egy nyílt részhalmaza Enek. Vegyük a lesz kítéssel nyert π E U : E U U sima leképezést, továbbá az F p (p U) részsokaságokon az eredeti vektortér-struktúrát. Világos, hogy ekkor az (E U, π E U, U, F ) négyes egy vektornyalábot képez. Ezt a továbbiakban az E nyaláb U B nyílt halmaz feletti résznyalábjának mondjuk. 1.9. Deníció. Legyenek adva az (E, π, B, F ) és (Ê, ˆπ, ˆB, ˆF ) vektornyalábok. Egy χ : E Ê sima leképezést vektornyaláb-homomorzmusnak mondunk, ha teljesülnek az alábbi feltételek: (1) A bázisterek között van egy olyan µ : B ˆB sima leképezés, hogy fennáll ˆπ χ = µ π. (2) Tetsz leges p B esetén χnek az F p brumra vett lesz kítése egy lineáris leképezést ad az F p vektortérb l az ˆF µ(p) vektortérbe. Megjegyzés. Vektornyaláb-izomorzmus esetében a fenti denícióban szerepl feltételeken túl a χ leképezést l még azt is megköveteljük, hogy dieomorzmus legyen. Világos, hogy egy vektornyaláb pontosan akkor parallelizálható, ha izomorf egy triviális nyalábbal. Megjegyzés. A M és N sima sokaságok között legyen adott egy µ : M N sima leképezés. Ekkor a T µ : T M T N érint leképezés egy vektornyaláb-homomorzmust ad a T M és T N érint nyalábok között. A vektornyaláb kitüntetett térképezései Legyen adott az (E, π, B, F ) vektornyaláb. A továbbiakban a B bázistér dimenzióját jelölje m, az F brumtípus dimenzióját pedig r. Tekintsük a nyaláb egy olyan (π 1 (U), π ϕ) nyalábtérképét, ahol a B bázistérbeli U nyílt halmaz a B sokaság egy (U, ξ) térképének a tartománya. Vegyük észre, hogy megfelel lesz kítéssel ez elérhet. A szokásoknak megfelel en a ξ térképezés koordinátafüggvényei legyenek x i = u i ξ (i = 1,..., m). Rögzítsünk az F vektortérben egy e 1,..., e r bázist. Az F brumtípuson vett lineáris formák F terében a duális bázis legyen ε 1,..., ε r. 4

Tekintsük most azt a ξ : π 1 (U) R m+r leképezést, ahol tetsz leges w π 1 (U) esetén fennáll ξ(w) = (x 1 π(w),..., x m π(w), ε 1 ϕ(w),..., ε r ϕ(w)) (1.1) Világos, hogy a (π 1 (U), ξ) pár egy térképe a E totáltérnek. A ξ térképezés koordinátafüggvényeire az x i = x i π (i = 1,..., m), z α = ε α ϕ (α = 1,..., r) jelölést fogjuk alkalmazni. Eszerint teljesül u i ξ = x i és u m+α ξ = z α. Vegyük a π ϕ : E U U F dieomorzmus ψ : U F E U inverz-leképezését. Egy α {1,..., r} indexnél legyen Z α : U E az a leképezés, amelyre tetsz leges p U pontban fennáll Z α (p) = ψ(p, e α ). Az U tartományon ily módon értelmezett Z 1,..., Z r lokális szelésekre nyilván igaz az, hogy egy tetsz leges p U pontban vett értékeik egy bázisát adják az F p vektortérnek. Megjegyzés. Célszer megjegyezni, hogy az E totáltéren vett (π 1 (U), ξ) térképet a vektornyaláb (π 1 (U), π ϕ) nyalábtérképe és a B bázistér (U, ξ) térképe, továbbá az F brumtípus egy e 1,..., e r bázisa alapján értelmeztük. A továbbiakban rendre ilyen speciális (π 1 (U), ξ) térképeket fogunk alkalmazni a különböz leképezések lokális koordinátakifejezéseinek a leírására. Az indukált vektornyaláb Legyen adott az (E, π, B, F ) vektornyaláb és egy N sokaságon vett µ : N B sima leképezés. Tekintsük a µ E = {(q, w) N E µ(q) = π(w) } halmazt, amely egy részhalmaza az N E szorzatsokaságnak. Ezen adódik a ϱ : µ E N természetes projekció, amelyre igaz ϱ(q, w) = q bármely (q, w) µ E esetén. Világos, hogy ezzel a projekcióval fennáll ϱ 1 (q) = {q} F µ(q), ahol q N. Ezen a halmazon pedig nyilván adódik egy természetes vektortér-struktúra. Belátható, hogy µ E egy részsokasága az N E szorzatsokaságnak. Jelölje n az N sokaság dimenzióját. Legyen ω : N E B B az a sima leképezés, amelyre fennáll ω(q, w) = (µ(q), π(w)). Vegyük B B-ben a B = { (p, p) p B } részsokaságot, amellyel fennáll µ E = ω 1 ( B). Könnyen igazolható, hogy ω egy transzverzálisan reguláris leképezés a B részsokasághoz. Emiatt a µ E = ω 1 ( B) halmaz egy olyan részsokaság N E-ben, amelynek kodimenziója ugyancsak m. Ebb l pedig már adódik, hogy µ E egy zárt, (n + r)-dimenziós részsokaság N E-ben. Legyen V egy olyan nyílt halmaza az N sokaságnak, amelyhez létezik olyan (π 1 (U), π ϕ) nyalábtérkép, hogy µ(v ) U. Tekintsük a ϱ 1 (V ) halmazon azt a ˆϕ : ϱ 1 (V ) F leképezést, amelyre teljesül ˆϕ(q, w) = ϕ(w) bármely (q, w) ϱ 1 (V ) esetén. Igazolható, hogy ekkor a ϱ ˆϕ : ϱ 1 (V ) V F leképezés egy lokális trivializást ad a µ E sokaságon. A fent leírtak alapján a (µ E, ϱ, N, F ) négyes egy vektornyalábot ad. 1.10. Deníció. A (µ E, ϱ, N, F ) vektornyalábot a µ : N B sima leképezés által indukált vektornyalábnak nevezzük. 5

A leképezés menti szelések (leképezés menti vektormez k) Legyen adott az (E, π, B, F ) vektornyaláb. Vegyünk egy N sokaságot és egy µ : N B sima leképezést a nyaláb B bázisterébe. 1.11. Deníció. Az (E, π, B, F ) vektornyalábnak a µ leképezés mentén vett szelésén egy olyan Y : N E dierenciálható leképezést értünk, amelyre teljesül π Y = µ. Megjegyzés. Mivel a fenti denícióban szerepl Y : N E függvény értékei vektorok, Y -ra szokás alkalmazni a µ leképezés menti vektormez elnevezést is. Megjegyzés. Világos, hogy a µ leképezés mentén vett szelések egy modulust képeznek az N sokaságon vett sima függvények F(N) gy r je felett. A továbbiakban erre a modulusra a C µ (E) jelölést alkalmazzuk. Megjegyzés. Könny belátni, hogy egy természetes megfeleltetést lehet létesíteni a µ leképezés mentén vett szelések és a (µ E, ϱ, N, F ) indukált nyaláb szelései között. Amennyiben Y egy szelés (más szóval vektormez ) µ mentén, akkor ennek megfelel azon Ŷ : N µ E szelés, amelyre fennáll Ŷ (q) = (p, Y (q)) tetsz leges q N pontban. Megjegyzés. A továbbiakban az indukált nyaláb szeléseinek C(µ E) terét azonosítjuk a µ leképezés mentén vett szelések C µ (E) terével. A lineáris konnexió értelmezése Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb. Emlékezzünk rá, hogy a vektornyaláb szeléseinek terét C(E) jelöli. A továbbiakban a szelés elnevezés mellett a nyalábhoz tartozó vektormez elnevezést is alkalmazzuk. A B bázistéren vett sima vektormez k terére az X(B) jelölést használjuk, azonban célszer itt megjegyezni, hogy fennáll X(B) = C(T B). 1.12. Deníció. A vektornyalábon vett lineáris konnexión egy olyan : X(B) C(E) C(E) leképezést értünk, amelyre tetsz leges X, ˆX X(B) vektormez k, Z, Ẑ C(E) szelések és f F(B) függvény esetén fennállnak az alábbi összefüggések: (1) (X + ˆX, Z) = (X, Z) + ( ˆX, Z), (2) (fx, Z) = f (X, Z), (3) (X, Z + Ẑ) = (X, Z) + (X, Ẑ), (4) (X, fz) = f (X, Z) + (Xf) Z. A (X, Z) vektormez t a Z szelés X szerinti kovariáns deriváltjának mondjuk. A továbbiakban a (X, Z) helyett inkább a X Z jelölést fogjuk alkalmazni a kovariáns deriváltra. Ez ugyanis egyértelm bben fejezi ki, hogy a Z szelésnek az X irányában vett kovariáns deriváltjáról van szó. Megjegyzés. Könnyen lehet példát mutatni a kovariáns deriválásra. Tegyük fel, hogy az E vektornyaláb trivializálható. Eszerint léteznek olyan Z 1,..., Z r : B E szelések, hogy tetsz leges p B pontban a Z 1 (p),..., Z r (p) vektorok egy bázisát adják az F p brumnak, mint vektortérnek. Rögzítsük ezen Z 1,..., Z r C(E) szeléseket. Tetsz leges X X(B) és Y C(E) esetén vegyük azon egyértelm en meghatározott η α F(B) (α = 1,..., r) függvényeket, melyekkel fennáll Y = r α=1 ηα Z α. Könny igazolni, hogy a (X, Y ) = r α=1 (Xηα ) Z α összefüggéssel leírt : X(B) C(E) C(E) leképezés egy kovariáns deriválást ad a vektornyalábon. 6

Ezen lineáris konnexió esetében tehát bármely X X(B) vektormez vel fennáll X Z α = 0 (α = 1,..., r). Emiatt a Z α szeléseket párhuzamosaknak mondjuk. Megjegyzés. Az egységosztás módszerét alkalmazva igazolható, hogy bármely vektornyalábon meg lehet adni egy lineáris konnexiót. A továbbiakban feltesszük, hogy a (E, π, B, F ) vektornyalábon adva van egy lineáris konnexió. A dudorfüggvény alkalmazásával igazolni lehet az alábbi kijelentést. 1.2. Állítás. Legyenek adva a bázistéren olyan X, ˆX X(B) vektormez k és a nyaláb olyan Z, Ẑ C(E) szelései, hogy valamely U B nyílt halmazon fennáll X U = ˆX U, illetve Z U = Ẑ U. Ekkor tetsz leges egy p U pontban fennáll ( XZ)(p) = ( ˆXẐ)(p). Mivel a : X(B) C(E) leképezés az els változójában F(B)-lineáris, könnyen igazolható az alábbi kijelentés is. 1.3. Állítás. Legyenek adva a bázistéren az az X, ˆX X(B) vektormez k és egy Z C(E) szelés. Amennyiben egy p B pontban fennáll X(p) = ˆX(p), akkor ( X Z)(p) = ( X Z)(p) teljesül. A fenti állítás alapján már értelmezni lehet egy szelésnek (a vektornyaláb egy vektormez jének) a kovariáns deriváltját a bázistér egy érint vektorára vonatkozóan. 1.13. Deníció. Legyen adott egy Y C(E) sima szelése a vektornyalábnak és egy v T p B (p B) érint vektor. Vegyünk egy olyan X X(B) vektormez t, amelyre fennáll X(p) = v. Az Y mez nek a v vektor szerinti kovariáns deriváltján a v Y = ( X Y ) (p) vektort értjük. A lineáris konnexió Christoelféle szimbólumai egy adott térképezésekre nézve Az 1.2. Állítás alapján, ha vesszük a B bázistér egy U nyílt részhalmazát, akkor a természetes módon meghatároz egy lineáris konnexiót az (E U, π E U, U, F ) nyílt résznyalábon. Emiatt tetsz leges X X(U) és Z C(E U ) vektormez k esetén deniálni tudjuk a X Z C(E U ) szelést. Tekintsük a vektornyalábnak egy olyan (π 1 (U), π ϕ) nyalábtérképét, ahol az U térképtartománya a B egy ξ térképezésének. Az (U, ξ) térkép bázisvektormez ire alkalmazzuk az X i = x (i = 1,..., m) i jelölést. Vegyük a brumtípust adó F vektortér egy e 1,..., e r bázisát. Tekintsük a vektornyaláb azon Z α (α = 1,..., r) lokákis szeléseit az U tartomány felett, melyekre fennáll ϕ Z α (p) = e α tetsz leges p B esetén. Fejezzük ki a Xi Z α C(E U ) vektormez t a Xi Z α = r β=1 Γ β i α Z β alakban a megfelel Γ β i α F(U) függvényekkel. 1.14. Deníció. A Γ β i α : U R (i = 1,..., m, α, β = 1,..., r) dierenciálható függvényeket a vektornyalábon vett lineáris konnexió X i X(U) és Z α C(E U ) lokális bázismez kre vonatkozó Christoel-féle szimbólumainak nevezzük. A Christoel-féle szimbólumok ismeretében (lokálisan) le tudjuk írni a lineáris konnexiót. Tekintsük a térképezés U tartományán vett Y = m ηi X i, Z = r α=1 ζα Z α sima 7

vektormez ket, ahol η i, ζ α F(U). A kovariáns deriválás tulajdonságait felhasználva a Y Z = r β=1 ( Y (ζ β ) + α=1 r ) Γ β i α ηi ζ α Z β (1.2) összefüggést kapjuk, ahol Y (ζ β ) = m ηi (ζ β ). x i A Z C(E U ) lokális szelésnek egy p U pontban vett v = m ai X i (p) (a i R) érint vektor szerinti kovariáns deriváltjára az (1.2) egyenl ségb l a v Z = r β=1 ( v(ζ β ) + kifejezés adódik, amelyben a i = dx i (v). r α=1 ) Γ β i α (p) ai ζ α (p) Z β (p) (1.3) Az (1.3) összefüggés alapján már könnyen igazolható az alábbi kijelentés. Eszerint a v Z kovariáns derivált csak attól függ, hogy a Z szelés miként változik egy a bázistérben vett olyan görbe mentén, amelynek érint vektora éppen v. 1.4. Állítás. Legyen adott egy σ : I B sima görbe és olyan Z, Ẑ C(E) vektormez k, melyekre fennáll Z σ = Ẑ σ. Ekkor tetsz leges t I helyen teljesül a σ(t)z = σ(t) Ẑ összefüggés. A konnexió leképezés Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb és azon egy lineáris konnexió. Vegyük az E totális tér T E érint nyalábját. A továbbiakban jelölje ϱ : T E E a T E érint nyaláb természetes projekcióját E-re. Mint ismeretes, a (T E, ϱ, E, R m+r ) négyes is egy vektornyalábot képez. Az alábbiak során megmutatjuk, hogy a kovariáns deriválás kifejezhet egy vektornyaláb homomorzmus segítségével. 1.5. Állítás. Egyértelm en létezik egy olyan K : T E E vektornyaláb homomorzmus, amellyel tetsz leges Z szelés és v T B érint vektor esetén fennáll v Z = K T Z(v). Bizonyítás. Vegyük a korábban bevezetett (U, ξ) bázistérbeli térképet és a (π 1 (U), π ϕ) nyalábtérképet, továbbá az F brumtípus egy e 1,..., e r bázisát. Ezekb l az (1.1) összefüggés alapján nyerjük a (π 1 (U), ξ) térképezést a totális téren, melynek koordináta-függvényei x i = x i π (i = 1,..., m) és z α = ε α ϕ (α = 1,..., r). Fejezzük ki a v T p B érint vektort a v = m ai (p) alakban, a Z vektormez nek az U-ra vett lesz kítését x i pedig a Z U = r α=1 ζα Z α formában a ζ α F(U) függvényekkel. Ekkor a totáltéren vett speciális térképezés miatt fennáll z α Z = ζ α. Legyen a Z C(E) szelés p pontbeli értéke w, vagyis legyen w = Z(p). Ekkor azt kapjuk, hogy a T Z(v) T w E vektorra igaz T Z(v)( x i ) = v( x i Z) = v(x i π Z) = v(x i ) = a i, illetve T Z(v)(z α ) = v(z α Z) = v(ζ α ). Ily módon a bázistétel alapján fennáll a T Z(v) = a i x i (w) + r v(ζ α ) (w) (1.4) zα α=1 8

egyenl ség. A totáltér egy w pontbeli T w E érint terében vegyünk egy u vektort, amely el állítható a bázisvektorokból az u = a i x i (w) + r α=1 c α z α (w) alakban valamely a i, c α R együtthatókkal. Tekintsük ezen a vektortéren azt a K w = K T w E : T w E F π(w) lineáris leképezést, amelyre tetsz leges u vektor esetében fennáll r ( K w (u) = c β + β=1 r Γ β i α (p) ai z α (w) ) Z β (p). (1.5) α=1 Vegyük észre, hogy az (1.3), (1.4) és (1.5) összefüggések szerint csakis ezekkel a K w (w E) leképezésekkel teljesül a v Z = K T Z(v) egyenl ség bármely v T B és Z C(E) esetén. A fentiekb l egyúttal az is következik, hogy a K w leképezés nem függ a térképezések megválasztásától. Világos, hogy a K w (w E) leképezésekkel a teljes T E érint nyalábon nyerünk egy K : T E E vektornyaláb homomorzmust. 1.15. Deníció. Az el bbiek során értelmezett K : T E E vektornyaláb homomorzmust a kovariáns deriváláshoz rendelt konnexió leképezésnek nevezzük. Megjegyzés. A K konnexió leképezésnek az E, B bázisterek közötti π : E B leképezés felel meg, azaz teljesül π K = π ϱ. A nyaláb érint terének vertikális és horizontális alterei A továbbiakban feltesszük, hogy az (E, π, B, F ) vektornyalábon adva van egy lineáris konnexió. 1.16. Deníció. A vektornyaláb w E pontbeli vertikális alterén a T w E érint tér V w E = { u T w E T π(u) = 0 } alterét értjük. Alkalmazzuk az el z ekben is használt speciális térképezést. Könnyen adódik, hogy fennállnak a T π( (w)) = (π(w)), T π( (w)) = 0 x i x i z α egyenl ségek. Eszerint a V w E vertikális altér megegyezik a (w) (α = 1,..., r) vektorok által generált altérrel. Amennyiben a brumok érint tereit, mint az E totáltér zα érint tereinek az altereit tekintjük, akkor nyilván teljesül a V w E = T w F π(w) egyenl ség. 1.17. Deníció. A lineáris konnexióval ellátott vektornyaláb w E pontbeli horizontális alterén a T w E érint tér H w E = { u T w E K w (u) = 0 } alterét értjük. 1.6. Állítás. Tetsz leges w E pontban a T w E érint tér a V w E és H w E alterek direkt összege. Bizonyítás. A továbbiakban is alkalmazzuk a speciális (π 1 (U), ξ) nyalábtérképet. Az (1.5) kifejezés 9

alapján egy w π 1 (U) pontbeli u = m ai (w) + r x i α=1 cα (w) vektor a T z α w E érint térben akkor eleme a H w E horizontális altérnek, ha az (a 1,..., a m, c 1,... c r ) koordinátái kielégítik a c β + ( r ) Γ β i α (π(w)) zα (w) a i = 0 (β = 1,..., r) α=1 lineáris egyenletrendszert. Emiatt a H w E horizontális altér m-dimenziós. Ismeretes, hogy az u vektor akkor vertikális, ha a i = 0 (i = 1,..., m) teljesül. Ebb l viszont már következik, hogy az m-dimenziós H w E horizontális altérnek és az r-dimenziós V w E vertikális altérnek csupán a nullvektor a közös eleme. A leképezés menti vektormez k kovariáns deriváltja Legyen adott egy (E, π, B, F ) vektornyaláb és azon egy egy lineáris konnexió. Az el z ekben leírtaknak megfelel en a kovariáns deriválás meghatároz egy K : T E E konnexió leképezést. Tekintsünk egy µ : N B sima leképezést és az általa indukált µ E vektornyalábot. Mint ismeretes, az indukált nyaláb szeléseinek C(µ E) terét azonosítani lehet a µ leképezés menti szelések (vagy más szóval a leképezés menti vektormez k) C µ (E) terével. Vegyünk egy Y : N E szelést (más szóval vektormez t) a µ leképezés mentén. Eszerint az Y sima leképezésre fennáll π Y = µ. Legyen v T q N egy érint vektor egy q N pontban. A K konnexió leképezés alapján értelmezni lehet az Y C µ (E) mez v irányú kovariáns deriváltját. 1.18. Deníció. Az Y C µ (E) vektormez nek a v T q N vektor szerinti kovariáns deriváltján az F µ(q) brum µ vy = K T Y (v) vektorát értjük. Megjegyzés. Az Y C µ (E) mez v szerinti kovariáns deriváltjára µ vy mellett a µ (v, Y ) jelölést is alkalmazni fogjuk. Vegyük az (E, π, B, F ) vektornyaláb egy olyan kitüntetett (π 1 (U), ξ) térképét, ahol µ(q) U. Ekkor a V = µ 1 (U) halmaz nyílt N-ben. Ha vesszük az Y mez nek a V = µ 1 (U) nyílt halmazra való lesz kítését, akkor az valamely η α F(V ) függvényekkel kifejezhet az Y V = r α=1 ηα (Z α µ) alakban. Vezessük be az Y (q) = w jelölést. A jól ismert bázistétel szerint a T w E érint tér T Y (v) vektora el áll a T Y (v) = T Y (v)( x i ) x (w) + i r T Y (v)(z α ) z (w) α alakban. Mivel igaz x i Y = x i µ és z α Y = η α, az alábbi kifejezést kapjuk T Y (v) = Az (1.5) összefüggés alapján a µ vy = r ( v(η β ) + β=1 α=1 T µ(v)(x i ) x (w) + i r v(η α ) z (w). α α=1 µ vy = K T Y (v) kovariáns deriváltra fennáll α=1 r Γ β i α (µ(q)) dxi (T µ(v)) η α (q) ) Z β (µ(q)). (1.6) 10

Ha felhasználjuk a T µ(v) = m dxi (T µ(v)) (µ(q)) kifejezést, akkor a x i T µ(v) Z α = r m ) β=1( Γ β i α (µ(q)) dxi (T µ(v)) Z β (µ(q)) egyenl ség adódik. Emiatt az (1.6) egyenl ségb l már következik, hogy a µ vy = K T Y (v) kovariáns deriváltra teljesül r r µ vy = v(η β ) Z β (µ(q)) + η α (q) T µ(v) Z α. (1.7) β=1 α=1 Megjegyzés. A leképezés menti vektormez (más szóval szelés) kovariáns deriváltját a szakirodalomban szokás automatikusan az (1.7) egyenlettel deniálni. Az (1.7) összefüggés alapján már könnyen igazolható az alábbi kijelentés. 1.7. Állítás. Tetsz leges Y C µ (E) mez, f F(N) függvény és v T q N vektor esetén teljesül µ v(f Y ) = v(f) Y (q) + f(q) µ vy. Megjegyzés. A kés bbiek során majd ki fogjuk használni az alábbi kapcsolatot. Amennyiben a vektornyalábnak vesszük egy Z C(E) szelését, akkor a Z µ : N E leképezés egy vektormez t ad µ mentén. Az 1.18. Denícióból adódik, hogy ennek egy v T q N vektor irányában vett kovariáns deriváltjára igaz µ v(z µ) = T µ(v) Z, vagyis µ (v, Z µ) = (T µ(v), Z). A fenti megjegyzés egy általánosításának fogható fel a következ állítás. 1.8. Állítás. Legyen adott egy P dierenciálható sokaság és egy λ : P N sima leképezés. Tekintsünk egy Y C µ (E) szelést és az abból nyert Y λ : P E vektormez t a µ λ : P B leképezés mentén. Ekkor tetsz leges v T p P (p P ) vektorral fennáll µ λ v (Y λ) = µ T λ(v) Y, vagyis µ λ (v, Y λ) = µ (T λ(v), Y ). Bizonyítás. Akárcsak az el bbi megjegyzés, ez az állítás következik az 1.18. Denícióból és az érint leképezésre vonatkozó láncszabályból: µ λ v (Y λ) = K T (Y λ)(v) = K T Y (T λ(v)) = µ T λ(v) Y. Természetesen deniálni lehet a µ : N B leképezés menti vektomez k kovariáns deriváltját az N sokaságon vett vektormez kre vonatkozóan is. 1.19. Deníció. Tekintsünk az N sokaságon egy A X(N) vektormez t. Az Y C µ (E) vektormez A szerinti kovariáns deriváltján a µ A Y = K T Y A leképezés menti mez t értjük. Világos, hogy a µ A Y C µ(e) vektormez re tetsz leges q N pontban teljesül ( µ A Y )(q) = µ A(q) Y. Az (1.6) összefüggés alapján ki tudjuk fejezni a µ A Y mez V = µ 1 (U) nyílt halmazra vett lesz kítését a Z β µ (β = 1,..., r) lokális bázismez kkel: r µ A Y V = ( A(η β ) + β=1 r (Γ β i α µ) (dxi T µ A) η α ) ) (Z β µ). (1.8) α=1 11

Az eddig végzett vizsgálatok eredményei alapján már könnyen igazolni lehet az alábbi kijelentést a µ : N B sima leképezés menti vektormez k kovariáns deriváltjával kapcsolatban. 1.9. Állítás. Tekintsük a µ : X(N) C µ (E) C µ (E) leképezést, amelyet a µ (A, Y ) = K T Y A egyenlet ír le. Ekkor tetsz leges A, Â X(N), Z, Ẑ C(E) vektormez k és f F(N) függvény esetén teljesülnek az alábbi összefüggések: (1) µ (A + Â, Y ) = µ µ (A, Y ) + (Â, Y ), (2) µ (fa, Y ) = f µ (A, Y ), (3) µ (A, Y + Ŷ ) = µ (A, Y ) + µ (A, Ŷ ), (4) µ (A, fy ) = f µ (A, Y ) + (Af) Y. A görbe menti vektormez kovariáns deriváltja A továbbiakban is feltesszük, hogy a (E, π, B, F ) vektornyalábon adva van egy lineáris konnexió, melynek megfelel a K : T E E konnexió-leképezés. Legyen I egy nyílt intervallum R-ben. Vegyünk egy σ : I B sima görbét a bázistérben és egy Y C σ (E) vektormez t σ mentén. Eszerint az Y : I E sima leképezésre fennáll π Y = σ. 1.20. Deníció. A σ menti Y mez nek a d du (t) T ti vektor szerinti kovariáns deriváltján a F σ(t) brum σ d (t)y = K T Y ( d (t)) vektorát értjük. du du Megjegyzés. Ha veszünk egy Y : I E görbét a totáltérben, akkor ez egy vektormez a bázistérbeli σ = π Y görbe mentén. Tehát Y egyértelm en meghatározza a σ görbét, amely felett egy vektormez t képez. Emiatt a σ d (t)y kovariáns deriváltra az Y (t) du jelölést is alkalmazni fogjuk, továbbá a Y (t) vektort az Y mez t helyen vett kovariáns deriváltjának is mondjuk. Megjegyzés. Tekintsünk egy Z X(M) vektormez t az M sokaságon. Ekkor Z σ egy vektormez σ mentén. A láncszabály következtében a kovariáns deriváltra fennáll a (Z σ) (t) = σ(t) Z összefüggés. Megjegyzés. A szakirodalomban a görbe menti Y mez kovariáns deriváltjára a DY dt jelölést is szokták alkalmazni. Ebben a jegyzetben ezt nem használjuk. Ismét alkalmazzunk egy kitüntetett (π 1 (U), ξ) térképét az E totáltérnek. Tegyük fel, hogy az U B térképtartomány tartalmazza a σ görbe pályáját. Tekintsük az (U, ξ) térképhez tartozó σ i = x i σ (i = 1,..., m) valós függvényeket az I intervallumon. Evidens, hogy ezekkel fennáll σ i(t) = dx i ( σ(t)) = dx i T σ( d (t)), t I. Vegyük most azon du η α : I R (α = 1,..., r) függvényeket, melyekkel teljesül Y (t) = r α=1 η α(t) Z α σ(t). Ekkor az (1.6) összefüggés alapján az Y (t) kovariáns derivált kifejezhet a σ d du (t)y = r ( η β (t) + β=1 r Γ β i α (σ(t)) σ i(t) η α (t) ) Z β (σ(t)). (1.9) α=1 egyenlettel. 12

Az alábbiakban megadjuk a párhuzamos vektormez kézenfekv fogalmát. 1.21. Deníció. A σ : I B görbe mentén vett Y C σ (E) vektormez t párhuzamosnak mondjuk, ha fennáll Y (t) = 0 tetsz leges t I helyen. 1.10. Állítás. Legyen adott egy σ : I B sima görbe és egy rögzített σ(t 0 ) ponthoz tartozó F σ(t0 ) brumban egy w vektor. Ekkor egyértelm en létezik egy Y párhuzamos vektormez σ mentén, amelyre teljesül Y (t 0 ) = w. Bizonyítás. A fentiek során levezetett (1.9) összefüggés szerint az σ görbe mentén vett Y (t) = r α=1 η α(t) Z α σ(t) vektormez párhuzamos akkor és csak akkor, ha a komponensfüggvényei kielégítik az η β (t) + r α=1( m Γ β i α (σ(t)) σ i(t) ) η α (t) = 0 (β = 1,..., r) egyenleteket. Emiatt a dierenciálegyenlet-rendszerek elméletéb l már következik a kimondott állítás. Korábban már említettük, hogy ha veszünk egy Y : I E sima leképezést egy I valós intervallumon, akkor az egy vektormez t ad a bázistérben nyert σ = π Y görbe mentén. Az 1.20. Denícióból azonnal következik az alábbi kijelentés. 1.11. Állítás. Az Y : I E vektormez párhuzamos a σ = π Y görbe mentén akkor és csak akkor, ha a totáltérbeli Y görbe horizontális, azaz tetsz leges t I helyen az Y érint vektorára fennáll Ẏ (t) H Y (t) E. 13

2) Kovariáns deriválás az érint nyalábon Ebben a fejezetben egy sokaság érint nyalábján vett kovariáns deriválást tanulmányozunk. Vegyünk egy m-dimenziós M sokaságot, annak T M érint nyalábját és a π : T M M természetes projekciót. Mint ismeretes, a (T M, π, M, R m ) négyes egy vektornyalábot ad. Legyen adva ezen a vektornyalábon egy lineáris konnexió, melyet egyúttal az M sokaságon vett kovariáns deriválásnak is szokás nevezni. Nyilván alkalmazhatjuk az el z fejezet eredményeit. Azonban a helyzet most speciális abban a tekintetben, hogy az érint nyaláb szeléseinek C(T M) tere azonos az M sokaságon (mint bázistéren) vett sima vektormez k X(M) terével. Ily módon a kovariáns deriválás két tetsz leges Y, Z X(M) vektormez höz rendel egy harmadik Y Z vektormez t az M sokaságon. Ezen fejezet célja annak igazolása, hogy a lineáris konnexió egyértelm en meghatároz egy vektormez t a T M érint nyalábon, melyet a spray-mez jének mondunk. Látni fogjuk, hogy a spray-mez szoros kapcsolatban áll az M -beli geodetikus görbékkel. spray-mez alapján lehet értelmezni az exponenciális leképezést, amely alapvet szerepet játszik a Riemann-sokaságok vizsgálatában. A lineáris konnexió adott térképezéshez tartozó Christoel-szimbólumai A továbbiakban a kovariáns deriválás koordinátakifejezéseit vesszük. Tekintsük M nek egy (U, ξ) térképét az x i = u i ξ (i = 1,..., m) koordináta-függvényekkel. A térképezés bázisvektormez ire ez esetben is alkalmazzuk az X i = (i = 1,..., m) jelölést. Fejezzük xi ki a Xi X j X(U) vektormez t a Xi X j = m k=1 Γ i k j X k alakban a Γi k j F(U) sima függvényekkel. 2.1. Deníció. A Γ k i j : U R (i, j, k = 1,..., m) dierenciálható függvényeket az érint nyalábon vett kovariáns deriválás (U, ξ) térképre vonatkozó Christoelféle szimbólumainak nevezzük. Az el z fejezetben leírtaknak megfelel en a Christoelféle szimbólumokkal (lokálisan) le tudjuk írni a kovariáns deriválást. Tekintsük a térképezés U tartományán vett Y = m ηi X i, Z = m ζi X i sima vektormez ket, ahol η i, ζ i F(U) (i = 1,..., m). A kovariáns deriválás tulajdonságait felhasználva a Y Z = k=1 ( Y (ζ k ) + ) Γi k j η i ζ j X k (2.1) összefüggést kapjuk. Célszer itt megjegyezni, hogy fennáll Y (ζ k ) = m ηi ζk. x i A Z X(U) vektormez nek egy p U pontban vett v = m ai X i (p) (a i R) érint vektor szerinti kovariáns deriváltjára a v Z = ( m v(ζ k ) + k=1 kifejezés adódik, amelyben a i = dx i (v). j=1 j=1 ) Γi k j(p) a i ζ j (p) X k (p) (2.2) A 14

A kovariáns deriváláshoz rendelt konnexió leképezés Tekintsük most a T M érint nyaláb T (T M) érint nyalábját. Ez esetben a T (T M) érint nyalábnak a T M sokaságra vett természetes projekcióját jelölje ϱ. A kovariáns deriválásnak az 1.5. Állítás szerint egyértelm en megfelel egy olyan K : T (T M) T M vektornyaláb homorzmus, amellyel tetsz leges v T M érint vektor és Z C(T M) = X(M) vektormez esetén fennáll v Z = K T Z(v). Célszer megemlíteni, hogy a K leképezésre és a ϱ : T (T M) T M természetes projekcióra teljesül π K = π ϱ. 2.2. Deníció. A K : T (T M) T M vektornyaláb homorzmust a kovariáns deriváláshoz tartozó konnexió leképezésnek nevezzük. A K leképezés leírásához a T M érint nyalábon vegyük azt a (T U, ξ) térképet, melyet az M sokaság (U, ξ) térképei alapján értelmeztünk az el z fejezetben. Mint ismeretes, ezen speciális (T U, ξ) térképezés x l = u l ξ (l = 1,..., 2m) koordináta-függvényeire fennáll x i = x i π, x m+i = dx i (i = 1,..., m). Tekintsünk egy w T M vektort, amelynél a π(w) = p pont eleme az U tartománynak. A K konnexió leképezésnek a K w = K T w (T M) lesz kítése, amely a T w (T M) érint térnek egy lineáris leképezése a T p M érint térbe, egyszer en felírható az (U, ξ) térképezéshez tartozó Christoel-szimbólumok alapján. Az (1.5) összefüggés szerint tetsz leges u = a i x (w) + m i c i (w) x m+i vektor esetében fennáll ( K w (u) = c k + k=1 Γi k j(π(w)) a i dx j (w) ) X k (π(w)). (2.3) j=1 Ahogyan az el z fejezetben is tettük tetsz leges w T M pontban a T w (T M) érint térnek értelmezni lehet a V w (T M) vertikális és H w (T M) horizontális altereit. 2.3. Deníció. Legyen α egy rögzített valós szám. A h α : T M T M leképezést, amelynél tetsz leges w T M vektorra fennáll h α (w) = α w, a T M vektornyalábon vett α arányú homotéciának (vagy más szóval nyújtásnak) mondjuk. A megfelel koordináta kifejezések alapján könnyen igazolható az alábbi kijelentés. 2.1. Állítás. A K konnexió leképezésre teljesül h α K = K T h α. A leképezés menti vektormez k kovariáns deriváltja Legyen adva egy N sokaság és azon egy µ : N M sima leképezés. Vegyük a µ által indukált µ (T M) vektornyalábot. Mint ismeretes, az indukált nyaláb szeléseinek C(µ (T M)) terét azonosítani lehet a µ leképezés menti vektormez k C µ (T M) terével. Vegyünk egy Y : N T M vektormez t a µ leképezés mentén. Ez azt jelenti, hogy az Y sima leképezésre fennáll π Y = µ. Legyen v T q N egy érint vektor egy q N pontban. Az el z fejezetben leírtaknak megfelel en értelmezzük az Y mez v szerinti 15

kovariáns deriváltját. 2.4. Deníció. Az Y C µ (T M) vektormez nek a v T q N vektor szerinti kovariáns deriváltján a T µ(q) M érint tér µ vy = K T Y (v) vektorát értjük. A továbbiakban is alkalmazzuk az M-beli (U, ξ) térképezést. Ekkor a V = µ 1 (U) halmaz nyílt N-ben. Vegyük az Y mez nek a V = µ 1 (U) nyílt halmazra való lesz kítését és azt fejezzük ki az Y V = r ηi (X i µ) alakban a megfelel η i F(V ) függvényekkel. Alkalmazva az Y (q) = w jelölést az (1.6) összefüggés alapján fennáll µ vy = ( v(η k ) + k=1 Γi k j(µ(q)) dx i (T µ(v)) η k (q) ) X k (µ(q)). (2.4) j=1 Az (1.7) egyenletnek pedig megfelel a µ vy = v(η i ) X i (µ(q)) + η j (q) T µ(v) X j. (2.5) j=1 összefüggés. Megjegyzés. A leképezés menti vektormez kovariáns deriváltját a szakirodalomban szokás automatikusan a (2.5) egyenlettel deniálni. Az 1.8. Állításnak megfelel en igaz a következ kijelentés. Legyen adott egy P dierenciálható sokaság és egy λ : P N sima leképezés. Tekintsünk egy Y C µ (T M) mez t és az abból nyert Y λ : P T M vektormez t a µ λ : P M leképezés mentén. Ekkor tetsz leges v T p P (p P ) vektorral fennáll µ λ v (Y λ) = µ T λ(v) Y, azaz µ λ (v, Y λ) = µ (T λ(v), Y ). A görbe menti vektormez k kovariáns deriváltja. A geodetikus görbék Vegyünk egy σ : I M sima görbét és egy Y C σ (T M) vektormez t a σ mentén. Az 1.20. Deníciónak megfelel en az Y mez nek a d du (t) T ti vektor szerinti kovariáns deriváltján a T σ(t) M érint tér σ d (t)y = K T Y ( d (t)) vektorát értjük. du A kovariáns du deriváltat σ d (t)y mellett Y (t) is jelölni fogja a továbbiakban. Az 1.21. Deníció alapján du pedig értelmezhet az Y mez párhuzamossága. Tegyük fel, hogy az (U, ξ) térképre fennáll σ(i) U. Vegyük σ-nak az (U, ξ) térképhez tartozó σ i = x i σ (i = 1,..., m) koordináta-függvényeit, továbbá azon η i : I R függvényeket, melyekkel teljesül Y (t) = m η i(t) X i σ(t). Világos, hogy a σ i függvényekre fennáll σ i(t) = dx i ( σ(t)) = dx i T σ( d (t)), t I. Ekkor az (1.9) összefüggés alapján az du Y (t) kovariáns derivált kifejezhet a (t)y = m ( η k (t) + du σ d k=1 Γi k j(σ(t)) σ i(t) η j (t) ) X k (σ(t)). (2.6) j=1 egyenlettel. 16

Az alábbiakban megadjuk a geodetikus görbe fogalmát. 2.5. Deníció. A σ : I M sima görbét geodetikusnak mondjuk, ha a σ : I T M vektormez párhuzamos σ mentén, vagyis ha fennáll ( σ) (t) = 0 tetsz leges t I helyen. A (2.6) egyenletb l már következik, az alábbi kijelentés. 2.2. Állítás. Legyen adott egy σ : I M sima görbe, amelyre fennáll σ(i) U. A σ sima görbe pontosan akkor geodetikus, ha a σ k = x k σ (k = 1,..., m) koordináta függvények kielégítik a σ k(t) + Γi k j σ(t) σ i(t) σ j(t) = 0 (k = 1,..., m) (2.7) j=1 másodrend dierenciálegyenlet-rendszert. Egy γ : I M geodetikus görbét maximálisnak mondunk, ha nincs olyan σ : J M geodetikus, amelyre I J, I J és σ I = γ egyaránt teljesül. A dierenciálegyenletrendszerek elméletéb l következik az alábbi eredmény. 2.3. Állítás. Legyen adva az M sokaság egy tetsz leges v T p M (p M) érint vektora. Egyértelm en létezik egy olyan γ : I M maximális geodetikus, amelyre fennáll γ(0) = p és γ(0) = v. A lineáris konnexió spray-mez je Az alábbiak során megmutatjuk, hogy a K konnexió leképezés meghatároz egy vektormez t a T M érint nyalábon. 2.4. Állítás. A T M érint nyalábon egyértelm en létezik egy olyan S X(T M) vektormez, amelyre teljesül T π S = id T M és K S = 0. Bizonyítás. A T M érint nyaláb T U nyílt halmazán vegyünk egy S X(T U) vektormez t. Ezt valamely ζ l : T U R (l = 1,..., 2m) sima függvényekkel ki lehet fejezni az S = 2m x l alakban. Azt vizsgáljuk, hogy az S mikor felel meg az állításban szerepl két feltételnek. Mint ismeretes, tetsz leges w T U helyen fennáll T π ( x (w)) = (π(w)) i és xi T π ( ) = 0. Ily módon a T π(s(w)) = m x m+i (w) ζi (w) (π(w)) összefüggéshez jutunk. Mivel w = m xi dxi (w) (π(w)), T π(s(w)) = w pontosan akkor teljesül, ha x i igaz ζ i (w) = dx i (w) = x m+i (w). Ebb l már adódik, hogy az els feltétel következtében a ζ i F(T U) (i = 1,..., m) függvényekre fennáll ζ i = x m+i = dx i. Tekintsük most a konnexió-leképezésre vonatkozó K(S(w)) = m ( k=1 ζ m+k (w) + m m j=1 Γ i k j(π(w)) ζ i (w) dx j (w) ) X k (π(w)) α=1 ζl összefüggést. Ebb l az következik, hogy T π(z(w)) = w és K(S(w)) = 0 fennállása esetén teljesül (k = 1,..., m) ζ k (w) = x m+k (w), ζ m+k (w) = 17 Γi k j(π(w)) dx i (w) dx j (w). j=1

Mivel az S mez kifejezésében szerepl ζ l függvények a két feltétel alapján egyértelm en meghatározottak, így az S vektormez létezése is egyértelm. Megjegyzés. A fenti bizonyítás szerint az S spray-mez nek a T U-ra való lesz kítése felírható a (T U, ξ) térképezés bázisvektormez ivel az S T U = dx k x m ( m k k=1 k=1 j=1 ( Γ k i j π ) dx i dx j ) x m+k (2.8) egyenlettel. 2.6. Deníció. A T M érint nyalábon vett azon S X(T M) vektormez t, amelyre fennáll K S = 0 és T π S = id T M, a lineáris konnnexió spray-mez jének mondjuk. Legyen adva egy olyan σ : I M sima görbe, amelynek σ(i) pályája benne van egy (U, ξ) térkép U tartományában. Vegyük a σ : I T M görbét, amelyre nyilván fennáll π σ = σ. Könny belátni, hogy ennek az érint nyalábon vett σ görbének az érint vektorára fennáll σ(t) = σ i(t) x ( σ(t)) + m i σ i (t) ( σ(t)). x m+i A fenti összefüggés és (2.8) alapján már nem nehéz igazolni az alábbi állítást, amely a geodetikusok és a spray-mez kapcsolatáról szól. 2.5. Állítás. A spray-mez re vonatkozóan igazak az alábbi kijelentések. (1) Egy σ : I M sima görbe geodetikus akkor és csak akkor, ha σ : I T M egy integrálgörbéje az S spray-mez nek. (2) Amennyiben a ϕ : I T M sima leképezés egy integrálgörbéje az S spray-mez nek, akkor a σ = π ϕ görbe egy geodetikust ad M -ben és fennáll σ = ϕ. Korábban már értelmeztük a h α : T M T M homotéciát egy α R számmal, amely az α arányú nyújtást adja az érint nyalábon. 2.6. Állítás. A kovariáns deriválás S X(T M) spray-mez jére teljesül az S h α = α (T h α S) összefüggés. A vektormez höz rendelt maximális folyam A továbbhaladás érdekében teszünk egy kitér t az érint nyalábon vett kovariáns deriválás tanulmányozásában. Az R m euklideszi térben vegyünk egy U nyílt halmazt és azon egy olyan F : U R m vektorfüggvényt, amely C -osztályú. 2.7. Deníció. Egy σ : I U R m sima görbét az F vektorfüggvény integrálgörbéjének mondunk, ha tetsz leges t I helyen fennáll σ (t) = F σ(t). 18

A dierenciálegyenlet-rendszerek elméletéb l ismeretes az alábbi alapvet tétel. 2.7. Tétel. Legyen adott egy U nyílt összefügg tartomány R m ben, és azon egy C - osztályú F : U R m függvény. Tetsz leges a U pont esetén van olyan W U nyílt környezete a-nak és olyan J (0 J) nyílt intervallum, hogy megadható egy C -osztályú ψ : W J R m leképezés, amelyre igaz a következ : Bármely b W és t J esetén fennállnak a ψ(0, b) = b és 1 ψ(t, b) = F ψ(t, b) egyenl ségek. Megjegyzés. Tekintsük a fenti tételt. Rögzített b U és t J értékek mellett vezessük be a ψ b : J U R m és ψ t : W U R m leképezéseket, ahol ψ b (t) = ψ(t, b) és ψ t (b) = ψ(t, b). A ψ b sima görbe sebességvektorára fennáll ψ b(t) 1 = lim h 0 h (ψ 1 b(t + h) ψ b (t)) = lim h 0 h (ψ(t + h, b) ψ(t, b)) = 1ψ(t, b) = F ψ b (t). Eszerint ψ b (b W ) integrálgörbéje az F vektorfüggvénynek. Az integrálgörbék alkalmazásával igazolható, hogy amennyiben a t, τ J számokra igaz t + τ J, akkor fennáll ψ t+τ = ψ t ψ τ. A 2.7. Tételt a térképezések alkalmazásával átvihetjük a sima sokaságok esetére. Ehhez azonban be kell vezetnünk egy jelölést. Legyen J egy valós intervallum és N egy sokaság. A J N szorzatsokágban vegyük az ω q : J J N (q M) sima görbét, amelyre igaz ω q (t) = (t, q). Ezen görbe τ J helyen vett ω q (τ) érint vektorát jelölje (τ, q). t 2.8. Tétel. Legyen adott egy N dierenciálható sokaság és azon egy Y vektormez. Ekkor tetsz leges p N ponthoz van olyan W nyílt környzet és J (0 J) nyílt intervallum, hogy a J W szorzatsokaságon megadható egy olyan Φ : J W N sima leképezés, amelyre bármely q W és τ J esetén igazak a következ k: Φ(0, q) = q, T Φ( (τ, q)) = Y Φ(τ, q) t Megjegyzés. A 2.8. Tételben szerepl Φ : J W N sima leképezést az Y vektormez egy lokális folyamának mondjuk. Amennyiben egy q W ponthoz vesszük a ϕ q (t) = Φ(t, q) egyenlettel leírt ϕ q : J N görbét, akkor az egy integrálgörbéje az Y vektormez nek. Rögzített t J érték mellett tekintsük a Φ t : W N lokális dieomorzmust, amelyet a Φ t (q) = Φ(t, q) egyenlettel adunk meg. Ezt a Φ t leképezést a lokális folyam t pillanathoz tartozó stádiumának nevezzük. Alkalmazni fogjuk majd az alábbi tételt is, amely az el z ek alkalmazásával igazolható. Az Y X(N) vektormez egy integrálgörbéjét akkor mondjuk maximálisnak, ha az nem terjeszthet ki egy b vebb intervallumra. 2.9. Tétel. Legyen adott egy N sokaság és azon egy Y vektormez. Tetsz leges p N pont esetében legyen ϕ p : J p N az a maximális integrálgörbe az Y mez höz, amelyre fennáll ϕ p (0) = p. Ezen J p (p N) intervallumokkal vegyük a V = p N J p {p} halmazt az R N szorzatsokaságban, továbbá azt a Φ : V N leképezést, melyet a Φ(p, t) = ϕ p (t) összefüggéssel értelmezünk. Ekkor V egy nyílt részhalmaza az R N sokaságnak és a Φ : V N leképezés dierenciálható. 19

2.8. Deníció. A fenti tételben szerepl Φ : V R N N sima leképezést az Y vektormez maximális folyamának nevezzük. Megjegyzés. Egy Y X(N) vektormez t teljesnek mondunk, ha az összes maximális integrálgörbéje a teljes R számegyenesen van értelmezve. Igazolható, hogy amennyiben az N sokaság kompakt, akkor bármely Y X(N) vektormez teljes. Az exponenciális leképezés A továbbiakban ismét egy olyan M sokaságot tanulmányozunk, amelynek T M érint nyalábján adva van egy lineáris konnexió. A egyértelm en meghatároz egy K : T (T M) T M konnexió-leképezést és egy S X(T M) spray-mez t. Tetsz leges w T M esetén legyen ϕ w : J w T M az a maximális integrálgörbe az S vektormez höz, amelyre fennáll ϕ w (0) = w. Korábban már beláttuk, hogy a γ w = π ϕ w : J w T M görbe egy geodetikust ad M-ben, továbbá teljesül γ w = ϕ w. Az S X(T M) vektormez re vonatkozó 2.6. Állítás felhasználásával igazolható az alábbi kijelentés. 2.10. Állítás. Egy w T M érint vektorhoz vegyük az S spray-mez ϕ w : J w T M maximális integrálgörbéjét. Ekkor tetsz leges α R valós szám esetén az αw kezd pontú integrálgörbére teljesül ϕ αw (t) = α ϕ w (α t). Megjegyzés. A fenti 2.10. Állításból következik, hogy az α w (α w 0) vektorhoz tartozó maximális integrálgörbe intervallumára fennáll J α w = 1 α J w. A 2.9. Tételnek megfelel en tekintsük most az S X(T M) spray-mez Φ : V R T M T M maximális folyamát. Mint ismeretes, tetsz leges w T M esetében fennáll (R {w}) V = J w {w}, továbbá Φ(w, t) = ϕ w (t). Tekintsük most a T M érint nyaláb T M = { w T M 1 J w } részhalmazát. Erre nyilván fennáll V ({1} T M) = {1} T M. Belátható, hogy T M egy nyílt halmaz T M-ben és tartalmazza az M összes érint terének nullvektorát. 2.9. Deníció. A kovariáns deriváláshoz tartozó exponenciális leképezésen azt az Exp : T M M függvényt értjük, amelyet az Exp(w) = π Φ(1, w) összefüggés ír le tetsz leges w T M esetén. Vegyük azt a ι : T M V R T M injekciót, melyet a ι(w) = (1, w) összefüggés ír le. A T M-beli T M nyílt halmazon értelmezett exponenciális leképezés felírható az Exp = π Φ ι alakban. Ebb l a kifejezésb l azonnal adódik, hogy Exp egy sima leképezés. Válasszunk ki egy p M pontot. Vegyük a T p M-beli T p M = T p M T M nyílt halmazt. Világos, hogy amennyiben w T p M teljesül, akkor fennáll τ w T p M bármely τ [0, 1] számmal. 2.10. Deníció. Az M sokaság p pontjában vett Exp p exponenciális leképezésen az Exp leképezésnek a T p M halmazra történ lesz kítését értjük. Az exponenciális leképezés és a geodetikusok kapcsolatára világít rá a következ eredmény. 20

2.11. Állítás. Egy w T p M vektorhoz tekintsük azt a γ : [0, 1] M leképezést, amelyet a γ(t) = Exp p (tw), t [0, 1] összefüggés ír le. Ekkor γ egy geodetikus görbe és fennáll γ(0) = w. Jelölje 0 p a T p M érint tér nullvektorát. Vegyük a T p M és T 0p (T p M) vektorterek természetes azonosítását, melyet írjon le az I 0p : T p M T 0p (T M) lineáris izomorzmus. 2.12. Állítás. Az Exp p : T p M M leképezés 0 p pontbeli érint leképezésre fennáll T 0p Exp p I 0p = id TpM. A fenti állítás szerint a T Exp p érint leképezés az 0 p T p M pontban egy lineáris izomorzmus. Emiatt igaz a következ. 2.13. Állítás. Az 0 p nullvektornak van olyan U nyílt környezete a T p M érint térben, hogy az Exp p exponenciális leképezésnek az U -ra való lesz kítése egy dieomorzmust ad U és az M -beli Exp p (U) nyílt halmaz között. A kovariáns deriváláshoz rendelt torzió tenzor és görbületi tenzor A továbbiakban is feltesszük, hogy az M sokaság T M érint nyalábján adva van egy lineáris konnexió. Tekintsük azon T : X(M) X(M) X(M) leképezést, amelyet a T (X, Y ) = X Y Y X [X, Y ] kifejezés ír le tetsz leges X, Y X(M) vektormez kre. Könnyen ellen rizhet, hogy T egy F(M)-lineáris leképezést ad, azaz tetsz leges f F(M) függvénnyel és X, Y X(M) vektormez kkel fennáll T (f X, Y ) = f T (X, Y ) = T (X, f Y ). Innen már adódik, hogy T egy (1, 2) típusú tenzormez az M sokaságon. 2.11. Deníció. Az (1,2) típusú T tenzormez t a kovariáns deriválás torzió tenzorának nevezzük. Megjegyzés. Világos, hogy T a változóira nézve antiszimmetrikus, azaz T (X, Y ) + T (Y, X) = 0 teljesül. Amennyiben egy (U, ξ) térkép bázisvektormez it vesszük, akkor a torzió tenzorra a lokális kifejezést kapjuk. T (X i, X j ) = Xi X j Xj X i = m k=1( Γ k i j Γ k j i) Xk Megjegyzés. A kovariáns deriválást torziómentesnek mondjuk, ha a torzió tenzora elt nik. Emiatt torziómentes esetén a Christoel-szimbólumok a két alsó indexre nézve szimmetrikusak, azaz fennáll Γi k j Γj k i. Vegyük azt az R : X(M) X(M) X(M) X(M) leképezést, amelynél fennáll R(X, Y, Z) = X ( Y Z) Y ( X Z) [X,Y ] Z tetsz leges X, Y, Z X(M) mez kre. Közvetlen számolással ellen rizhet, hogy R egy (1,3) típusú tenzormez. 2.12. Deníció. Az (1,3) típusú R tenzormez t a lineáris konnexió görbületi tenzorának mondjuk. Megjegyzés. Világos, hogy az R görbületi tenzor az els két változójában antiszimmetrikus, vagyis igaz R(X, Y, Z) + R(Y, X, Z) = 0. 21