A matematikai analízis elemei VI.

Átírás

1 A matematikai analízis elemei VI. (Sokaságok, Tenzormez k, Pszeudo-Riemann- és Lorentz-sokaságok, Lie-csoportok és Lie-algebrák, Lie-csoportok folytonos unitér ábrázolásai) Kristóf János

2 Tartalomjegyzék I. Sokaságok 3 1. Térképek, atlaszok és dierenciálható struktúrák Térképek Atlaszok és sokaságok Sokaság dimenziója Sokaság topológiája Morzmusok sokaságok között Sokaság érint tere egy pontban és az érint -operátorok Nyílt részsokaságok Sokaságok szorzata Sokaság érint tere Rétegez dések Lineáris konnexiók Példák sokaságokra Immerziók és részsokaságok Dierenciálható struktúra inverz képe Kvázirészsokaságok és részsokaságok Immerziók Szubmerziók és faktorsokaságok Szubimmerziók és lokálisan linearizálható morzmusok 47 II. Tenzormez k Tenzormez k értelmezése III. Pszeudo-Riemann- és Lorentz-sokaságok 55 1

3 2 TARTALOMJEGYZÉK

4 I. rész Sokaságok 3

5

6 5 BEVEZETÉS Ez nem lesz könny mulatság. Én szóltam :-)

7 6

8 1. fejezet Térképek, atlaszok és dierenciálható struktúrák Megállapodunk abban, hogy ebben a fejezetben S mindenütt ugyanazon test feletti normált terek nem üres halmazát jelöli, valamint az r és s szimbólumok 0-nál nagyobb természetes számokat, vagy a szimbólumot jelölik. Továbbá, a "normált tér" elnevezés a "normálható topologikus vektortér" szinonímájaként szerepel, tehát normált tér esetében a vektortéren nincs kijelölt norma, hanem csak egy linéris topológia, amely normából származtatható. Hasonlóan, a "Banach-tér" elnevezés a "teljes és normálható topologikus vektortér" szinonímájaként szerepel Térképek Deníció. A (ϕ, E) párt térképnek nevezzük, ha ϕ injektív függvény, E normált tér, és Im(ϕ) E nyílt halmaz. Ha (ϕ, E) térkép, akkor az E normált teret az (ϕ, E) térkép érkezési terének nevezzük. Ha (ϕ, E) térkép, akkor egyedül a ϕ függvény nem határozza meg az E normált teret. Ez triviális akkor, ha Dom(ϕ) =, vagy Im(ϕ) = E. Azonban a jelölések egyszer sítése céljából megállapodunk abban, hogy a továbbiakban minden térképet egyetlen szimbólummal, a benne szerepl függvény jelével jelölünk, és ha ϕ térkép, akkor E ϕ jelöli a ϕ térkép érkezési terét Deníció. A ϕ térképet S-típusúnak nevezzük, ha E ϕ S. Az M halmaz térképeinek nevezzük azokat a ϕ térképeket, amelyekre Dom(ϕ) M. Ha M halmaz, akkor nem létezik az M halmaz összes térképeinek halmaza. De ha M mellett még a térképek típusát is korlátozzuk egy S normált tér halmazzal, akkor 7

9 vagyis ϕ P M [ S Š, tehát elegend a részhalmaz-axiómasémára hivatkozni TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK már beszélhetünk az M halmaz S-típusú térképeinek halmazáról. Err l szól a következ állítás Állítás. Ha M halmaz, akkor az ϕ térkép, és Dom(ϕ) M, és E ϕ S [ kijelentés kollektivizáló ϕ-ben. Bizonyítás. Ha ϕ térkép, és Dom(ϕ) M, és E ϕ [ S, akkor E ϕ S miatt ϕ Dom(ϕ) Im(ϕ) M E ϕ M S, Deníció. Ha M halmaz, akkor a Ch(M, S) := { ϕ ( ϕ térkép ) (Dom(ϕ) M) (E ϕ S) } jelölést alkalmazzuk, tehát Ch(M, S) az összes M feletti S-típusú térképek halmaza. Ha ϕ és ψ térképek, akkor Dom(ψ ϕ ) = ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ) E ϕ, Dom(ϕ ψ ) = ψ Dom(ϕ) Dom(ψ) E ψ, és világos, hogy ψ ϕ = (ϕ ψ ), valamint ϕ ψ = (ψ ϕ ) Deníció. Azt mondjuk, hogy a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek, ha a ψ ϕ : E ϕ E ψ és a ϕ ψ : E ψ E ϕ függvények C r -osztályúak. Legyen S normált terek halmaza, M halmaz, és r N vagy r =. Jelölje r azt a relációt Ch S (M) felett, amelyre (ϕ, E), (ψ, F ) (M, S) esetén (ϕ, E) r (ψ, F ) pontosan akkor teljesül, ha a (ϕ, E) és (ψ, F ) K-térképek C r -konzisztensek Atlaszok és sokaságok Deníció. Legyen M halmaz. Az A Ch(M, S) halmazt C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasznak nevezzük, ha [ M = Dom(ϕ), ϕ A

10 1.2. ATLASZOK ÉS SOKASÁGOK 9 és minden ϕ A és ψ A esetén a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek. A tartalmazás tekintetében maximális C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlaszokat úgy nevezzük, hogy C r -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúrák. Az (M, D) párt C r -osztályú, S-típusú sokaságnak nevezzük, ha D C r -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra. A szokásos jelölési konvenciónak megfelel en, minden sokaságot egyetlen szimbólummal, az alaphalmaz jelével jelöljük, és ha M dierenciálható sokaság, akkor Ch(M) jelöli a kijelölt M feletti dierenciálható struktúrát, és minden a M esetén Ch a (M) := { ϕ Ch(M) a Dom(ϕ) } Deníció. Ha E normált tér, akkor a C r -osztályú, {E}-típusú sokaságokat C r - osztályú, tiszta E-típusú sokaságoknak nevezzük. Az alkalmazásokban leggyakrabban C -osztályú, tiszta K n -típusú sokaságok fordulnak el. Ezeket szokták egyszer en dierenciálható sokaságoknak nevezni Állítás. Ha M halmaz, és A C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, akkor a ÓA := { ψ Ch(M, S) ( ϕ A ) : ψ és ϕ C r -konzisztens térképek } Ó halmaz a tartalmazás tekintetében legnagyobb olyan C r -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra, amelyre Ó A A. Ó Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy A Ch(M, S) olyan halmaz, [ hogy A [ A, hiszen az atlaszok deníciója szerint minden A -hoz tartozó térkép C r -konzisztens minden A -hoz tartozó térképpel. Ebb l azonnal következik, hogy M = Dom(ϕ) Dom(ψ) ψ Ò A M, ezért M = [ ϕ A ψ Ò A Dom(ψ). Tehát annak bizonyításához, hogy Ó A Cr -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, elegend azt igazolni, hogy bármely két Ó A -hoz tartozó térkép C r -konzisztens. Legyenek ψ 1 Ó A és ψ2 Ó A rögzítettek, és vegyünk egy a1 ψ 1 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ) pontot. Meg fogjuk mutatni, hogy létezik a 1 -nek olyan U 1 nyílt környezete E ψ1 -ben, amelyre U 1 ψ 1 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ), és a ψ 2 ψ1 függvény C r -osztályú az U 1 halmazon. Ebb l a magasabb rend folytonos dierenciálhatóság lokalitása S alapján következni fog, hogy a ψ 2 ψ1 : E ψ1 E ψ2 függvény is C r -osztályú. Legyen a Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ) az a pont, amelyre ψ 1 (a) = a 1, és M = Ó Dom(ϕ) ϕ A alapján rögzítsünk egy olyan ϕ A térképet, amelyre a Dom(ϕ). Ekkor A deníciója

11 10 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK alapján a ϕ és ψ 2 térképek C r -konzisztensek, így ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ 2 ) nyílt halmaz E ϕ -ben. Továbbá, (ψ 1 ϕ ) ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ 2 ) nyílt részhalmaza E ψ1 -nek, és ez nyilvánvalóan egyenl a ψ 1 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ) Dom(ϕ) halmazzal, amelynek eleme a ψ 1 (a) pont. Tehát U 1 := ψ 1 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ) Dom(ϕ) olyan nyílt környezete a 1 -nek E ψ1 -ben, amelyre U 1 ψ 1 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ). Továbbá, a ψ 2 ψ1 függvény nyilvánvalóan egyenl (ψ 2 ϕ ) (ϕ ψ1 )-gyel az U 1 halmazon, és a ψ 2 ϕ és ϕ ψ1 függvények C r -osztályúak, így ψ 2 ψ1 is C r -osztályú az U 1 halmazon. Ez azt jelenti, hogy a ψ 2 ψ1 : E ψ1 E ψ2 függvény C r -osztályú. Teljesen hasonló megfontolásokkal kapjuk, hogy ha a 2 ψ 2 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ), és a Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ) az a pont, amelyre ψ 2 (a) = a 2, valamint ϕ A olyan térkép, hogy a Dom(ϕ), akkor U 2 := ψ 2 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ) Dom(ϕ) olyan nyílt környezete a 2 -nek E ψ2 -ben, amelyre U 2 ψ 2 Dom(ψ 1 ) Dom(ψ 2 ), és a ψ 1 ψ2 függvény egyenl (ψ 1 ϕ ) (ϕ ψ2 )-gyel az U 2 halmazon. Ebb l a magasabb rend folytonos dierenciálhatóság lokalitása alapján következik, hogy a ψ 1 ψ2 : E ψ2 E ψ1 függvény is C r -osztályú. Ezzel igazoltuk, hogy a ψ 1 és ψ 2 térképek C r -konzisztensek, következésképpen Ó A olyan C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, amelyre A Ó A. Ha B olyan C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, amelyre A B, akkor minden ψ B és ϕ A esetén a ψ és ϕ térképek C r -konzisztensek, tehát Ó A deníciója alapján ψ Ó A. Ezért B Ó A, vagyis Ó A a tartalmazás tekintetében legnagyobb olyan Cr - osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, amelyre A Ó A. Ó A Cr -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható Ebb l azonnal következik, hogy struktúra, hiszen ha C olyan C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, hogy Ó A C, akkor A C, így az el z bekezdés alapján C Ó A is teljesül, vagyis C = Ó A Következmény. Legyen M halmaz, és A Ch(M, S). Az A halmaz pontosan akkor C r -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra, ha teljesülnek rá a következ k. (i) Fennáll az M = [ ϕ A Dom(ϕ) egyenl ség. (ii) Minden ϕ A és ψ A esetén a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek. (iii) Minden ψ Ch(M, S) esetén, ha minden ϕ A térképre ϕ és ψ C r -konzisztensek, akkor ψ A. Bizonyítás. Az (i) és (ii) kijelentés együtt azt jelenti, hogy A C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz. Ez a (iii) kijelentéssel együtt éppen azt jelenti, hogy A = Ó A, tehát A C r -osztályú, M feletti, S-típusú dierenciálható struktúra.

12 1.3. Sokaság dimenziója 1.3. SOKASÁG DIMENZIÓJA 11 Emlékeztetünk arra, hogy ha E vektortér, akkor dim(e) jelöli az E algebrai dimenzióját Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, akkor egyértelm en létezik olyan dim M : M {dim(e) E S} függvény, amelyre teljesül az, hogy minden a M és ϕ Ch(M) esetén, ha a Dom(ϕ), akkor dim M (a) = dim(e ϕ ). Bizonyítás. Elegend azt igazolni, hogy ha a M, és ϕ, ψ Ch a (M), akkor dim(e ϕ ) = dim(e ψ ). Ez viszont nyilvánvaló, mert a ϕ és ψ térképek C r -konzistensek, így a ψ ϕ : E ϕ E ψ függvény C r -dieomorzmus Dom(ψ ϕ ) és Im(ψ ϕ ) között, továbbá ϕ(a) Dom(ψ ϕ ), így a (D(ψ ϕ ))(ϕ(a)) : E ϕ E ψ folytonos lineáris operátor lineáris homeomorzmus, tehát az E ϕ és E ψ vektorterek algebrailag is izomorfak, vagyis az algebrai dimenzióik egyenl ek Deníció. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, akkor az el z állításban értelmezett dim M : M {dim(e) E S} függvényt az M sokaság dimenzió-függvényének nevezzük, és a M esetén a dim M (a) kardinális számot az M sokaság dimenziójának nevezzük az a pontban. Azt mondjuk, hogy az M C r -osztályú, S-típusú sokaság lokálisan végesdimenziós, ha minden a M esetén a dim M (a) kardinális szám véges Sokaság topológiája Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság. Ha ϕ Ch(M) és Ω E ϕ nyílt halmaz, akkor a ϕ : ϕ Ω E ϕ lesz kített függvény eleme Ch(M)-nek. ϕ Ω Bizonyítás. Természetesen a ϕ ϕ Ω függvény injektív és Im ϕ ϕ Ω halmaz E ϕ -ben, hiszen Im(ϕ) is és Ω is nyílt E ϕ -ben. Ezért a ϕ ϕ Ω bizonyításához elég azt igazolni, hogy minden ψ Ch(M) esetén a ϕ ϕ Ω C r -konzisztensek. Ez viszont nyilvánvaló, mert ψ ϕ ϕ Ω = ψ ϕ Š Ω ϕ(dom(ϕ) Dom(ψ)), = Ω Im(ϕ) nyílt Ch(M) kijelentés és ψ térképek

13 12 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK és Ω ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ) nyílt részhalmaza E ϕ -nek, valamint ϕ ϕ Ω ψ = ϕ ψ Š (ψ ϕ ) Ω Im(ϕ), és (ψ ϕ ) Ω Im(ϕ) nyílt részhalmaza E ψ -nek, így a ϕ ϕ Ω és ψ térképek Cr - konzisztenciája azért teljesül, mert normált terek között ható C r -osztályú függvény lesz kítése a deníciós tartományának nyílt részhalmazára szintén C r -osztályú Következmény. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és ϕ Ch(M) és ψ Ch(M), akkor ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ) Ch(M) és ψ Dom(ϕ) Dom(ψ) Ch(M). Bizonyítás. Az Ω := ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ) halmaz nyílt E ϕ -ben, és ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ) =, így az el z állítás alapján ϕ ϕ ϕ Ω Dom(ϕ) Dom(ψ) Ch(M). Az Ω := ψ Dom(ϕ) Dom(ψ) halmaz nyílt E ψ -ben, és ψ Dom(ϕ) Dom(ψ) = ψ, így ψ Ω az el z állítás alapján ψ Dom(ϕ) Dom(ψ) Ch(M) Tétel. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, akkor létezik egyetlen olyan topológia az M halmaz felett, amelynek topologikus bázisa a {Dom(ϕ) ϕ Ch(M)} halmaz. Bizonyítás. Elegend azt igazolni, hogy a B := {Dom(ϕ) ϕ Ch(M)} halmaz olyan befedése M-nek, amely zárt a véges metszetképzésre. Mivel Ch(M) atlasz M felett, így {Dom(ϕ) ϕ Ch(M)} befedése M-nek. Ha ϕ, ψ Ch(M), akkor az el z állítás szerint ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ) Ch(M), tehát Dom(ϕ) Dom(ψ) B Deníció. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, akkor M sokaság-topológiájának nevezzük azt az M feletti topológiát, amelynek {Dom(ϕ) ϕ Ch(M)} topologikus bázisa. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság. A deníció szerint minden ϕ Ch(M) térképre =[ Dom(ϕ) nyílt halmaz a sokaság-topológia szerint, és ha Ω M nyílt halmaz a sokaság-topológia szerint, akkor létezik olyan Ch(M)-ben haladó (ϕ i ) rendszer, hogy Ω Dom(ϕ i ) Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, akkor a dim M dimenzió-függvény lokálisan állandó. Bizonyítás. Ha a M, akkor létezik olyan ϕ Ch(M), hogy a Dom(ϕ), így a dimenzió-függvény értelmezése alapján minden x Dom(ϕ) esetén dim M (x) = dim M (a), és Dom(ϕ) nyílt környezete a-nak a sokaság-topológia szerint.

14 1.4. SOKASÁG TOPOLÓGIÁJA Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és ϕ Ch(M), akkor ϕ homeomorzmus a sokaság-topológia Dom(ϕ)-re vett lesz kítése és az E ϕ normált tér topológiájának Im(ϕ)-re vett lesz kítése szerint. Bizonyítás. Jelölje T az M feletti sokaság-toplógiát, és T Eϕ az E ϕ normált tér topológiáját. [ Legyen Ω T, és vegyünk olyan Ch(M)-ben haladó (ϕ i ) rendszert, amelyre Ω = Dom(ϕ i ). Ekkor ϕ Ω = ϕ Ω Dom(ϕ) = ϕ [ =[ (Dom(ϕ i ) Dom(ϕ) ϕ Dom(ϕ i ) Dom(ϕ), és minden i I esetén ϕ Dom(ϕ i ) Dom(ϕ) T Eϕ, tehát ϕ Ω T Eϕ. Ez azt jelenti, hogy ϕ nyílt leképezés a szóbanforgó altértopológiák szerint, tehát ϕ folytonos a T Eϕ Im(ϕ) és T Dom(ϕ) topológiák szerint. Ha Ω T Eϕ, akkor ϕ Ch(M), tehát ϕ Ω T, ezért ϕ folytonos a T Dom(ϕ) ϕ Ω és T Eϕ Im(ϕ) topológiák szerint Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság és Ω M. A következ állítások ekvivalensek. (i) Ω nyílt a sokaság-topológia szerint. (ii) Minden ϕ Ch(M) térképre a ϕ Ω Dom(ϕ) : Ω Dom(ϕ) E ϕ lesz kített függvény eleme Ch(M)-nek. (iii) Létezik olyan A Ch(M) atlasz, hogy minden ϕ A térképre a ϕ Ω Dom(ϕ) : Ω Dom(ϕ) E ϕ lesz kített függvény eleme Ch(M)-nek. (iv) Létezik olyan A Ch(M) atlasz, hogy minden ϕ A térképre az Ω Dom(ϕ) halmaz nyílt a sokaság-topológia szerint. (v) Minden ϕ Ch(M) térképre az Ω Dom(ϕ) halmaz nyílt a sokaság-topológia szerint. Bizonyítás. (iii) (iv) Nyilvánvaló, mert minden térkép deníciós tartománya nyílt a sokaság-topológia szerint. (iv) (v) (v) (i) Tétel. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság. Ekkor az M topologikus tér lokálisan ívszer en összefügg, és ha S minden eleme Banach-tér, akkor M Baire-tér. Bizonyítás. (I) Legyen a M és V környezete a-nak a sokaság-topológia szerint. Létezik olyan Ω M halmaz, amely nyílt a sokaság-topológia szerint, és amelyre a Ω V. A

15 14 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK sokaság-topológia deníciója szerint létezik olyan ϕ Ch(M), hogy a Dom(ϕ) Ω. Legyen r > 0 olyan valós szám, hogy a B r (ϕ(a)) nyílt gömb az E ϕ normált térben részhalmaza Im(ϕ)-nek. Ilyen létezik, mert Im(ϕ) nyílt környezete ϕ(a)-nak az E ϕ normált térben. A ϕ függvény homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) nyílt topologikus alterek között, és a B r (ϕ(a)) gömb ívszer en összefügg nyílt környezete ϕ(a)-nak az Im(ϕ) topologikus altérben. Ezért a ϕ B r (ϕ(a)) halmaz ívszer en összefügg nyílt környezete a-nak a Dom(ϕ) topologikus altérben, tehát a sokaság-topológia szerint is, hiszen Dom(ϕ) nyílt környezete a-nak M-ben. Ugyanakkor világos, hogy ϕ B r (ϕ(a)) V. Tehát M minden pontjának minden környezete tartalmazza a pontnak ívszer en összefügg környezetét, vagyis az M topologikus tér lokálisan ívszer en összefügg. (II) Tegyük fel, hogy S minden eleme Banach-tér, és legyen a M. Létezik olyan ϕ Ch(M), hogy a Dom(ϕ). Legyen r > 0 olyan valós szám, hogy a B r (ϕ(a)) Im(ϕ). Ez a zárt gömb az E ϕ Banach-tér altértopológiájával ellátva Baire-tér, mert teljesen metrizálható, így elég a Baire-féle kategóriatételt alkalmazni. Mivel a ϕ függvény homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) nyílt topologikus alterek között, így ϕ B r (ϕ(a)) olyan környezete a-nak a Dom(ϕ) topologikus altérben, amely ebben az altérben Bairetér. Mivel Dom(ϕ) nyílt M-ben a sokaság-topológia szerint, így ϕ B r (ϕ(a)) Baire-tér a sokaság-topológia lesz kítése szerint is (??), és ez a halmaz környezete a-nak a sokaságtopológia szerint is. Tehát az M topologikus tér minden pontjának van olyan környezete, amely a sokaság-topológia lesz kítése szerint Baire-tér, ezért M is Baire-tér (??) Következmény. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és Ω M sokaságtopológia szerint nyílt halmaz, akkor az Ω halmaz pontosan összefügg a sokaság-topológia szerint, ha ívszer en összefügg. Bizonyítás. Az állítás nyilvánvalóan következik M lokális ívszer összefügg ségéb l és a?? tételb l Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, akkor az M topologikus tér M 1 - tér. Bizonyítás Morzmusok sokaságok között Deníció. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és N C s -osztályú, T-típusú sokaság. Az f : M N függvényt C k -osztályú morzmusnak nevezzük M és N között, ha k min(r, s), és minden ϕ Ch(M) és ψ Ch(N) esetén a ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvény C k -osztályú. Az M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és az N C s -osztályú, T- típusú sokaság között ható C k -osztályú morzmusok halmazát C k (M; N) jelöli.

16 1.5. MORFIZMUSOK SOKASÁGOK KÖZÖTT Állítás. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és N C s -osztályú, T-típusú sokaság, akkor minden M N C k -osztályú morzmus folytonos az M és N feletti sokaság-topológiák szerint. Bizonyítás. Legyen az f : M N függvény C k -osztályú morzmus M és N között. Ha ϕ Ch(M) és ψ Ch(N), akkor a ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvény C k -osztályú, tehát k 1 miatt a deníciós tartománya nyílt halmaz az E ϕ normált térben. Ugyanakkor, ϕ Ch(M) és ψ Ch(N) esetén nyilvánvalóan Dom(ψ f ϕ ) = {z Im(ϕ) f(ϕ (z)) Dom(ψ)} = ϕ f Dom(ψ), tehát a ϕ f Dom(ψ) halmaz nyílt az Im(ϕ) topologikus altérben, és mivel a ϕ függvény homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) nyílt topologikus alterek között, így Dom(ϕ) f Dom(ψ) nyílt a Dom(ϕ) nyílt topologikus altérben, tehát M-ben is a sokaság-topológia szerint. Tehát ψ Ch(N) esetén [ f Dom(ψ) = ϕ Ch(M) (Dom(ϕ) f Dom(ψ) ) is nyílt halmaz M-ben a sokaság-topológia szerint. A {Dom(ψ) ψ Ch(N)} halmaz nyílt bázisa az N feletti sokaság-topológiának, ezért ebb l következik, hogy minden Ω N nyílt halmazra f Ω nyílt M-ben Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és N C s -osztályú, T-típusú sokaság. Az f : M N függvény pontosan akkor C k -osztályú morzmus M és N között, ha k min(r, s), és létezik olyan A Ch(M) C r -osztályú, M feletti, S-típusú atlasz, és létezik olyan B Ch(N) C s -osztályú, N feletti, T-típusú atlasz, hogy minden ϕ A és minden ψ B esetén a ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvény C k -osztályú. Bizonyítás. A feltétel a deníció alapján nyilvánvalóan szükséges. Az elégségesség bizonyításához tegyük fel, hogy k min(r, s), és A Ch(M) és B Ch(N) olyan atlaszok, amelyekre minden ϕ A és minden ψ B esetén a ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvény C k -osztályú. Legyenek ϕ Ch(M) és ψ Ch(N) tetsz leges térképek. Azt kell igazolni, hogy a ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvény C k -osztályú. Legyen z Dom(ψ f ϕ ) rögzített pont, és vegyünk olyan ϕ A és ψ B térképeket, amelyekre ϕ (z) Dom(ϕ ) és f(ϕ (z)) Dom(ψ ). A hipotézis szerint a ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvény C k - osztályú. Ugyanakkor a ϕ és ϕ térképek C r -konzisztensek, valamint a ψ és ψ térképek C s -konzisztensek, következésképpen a ϕ ϕ : E ϕ E ϕ függvény C r -osztályú, és a ψ ψ : E ψ E ψ függvény C s -osztályúak. Ebb l k min(r, s) alapján következik, hogy a ψ ψ Š ψ f ϕ Š ϕ ϕ Š : Eϕ E ψ

17 16 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK függvény C k -osztályú. Ez a függvény nyilvánvalóan egyenl a ψ f ϕ függvénnyel az U := ϕ Dom(ϕ ) f Dom(ψ) Dom(ψ ) halmazon, és az U halmaz z-nek nyílt környezete E ϕ -ben, mert Dom(ϕ ) f Dom(ψ) Dom(ψ ) nyílt környezete ϕ (z)-nek az M sokaság-topológiája szerint, és ϕ homeomorzmus a Dom(ϕ) és Im(ϕ) topologikus alterek között. Ezért a C k -osztályú függvényekre vonatkozó lokalitási tétel szerint a ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvény C k -osztályú Sokaság érint tere egy pontban és az érint operátorok Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság és a M. Értelmezzük a T a (M) := { (ϕ, z) (ϕ Ch(M)) (a Dom(ϕ)) (z E ϕ ) } halmazt, és vezessük be azt a a relációt a T a (M) halmaz felett, amelyre (ϕ, z), (ϕ, z ) T a (M) esetén (ϕ, z) a (ϕ, z def ) (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))z = z. a) A a reláció ekvivalencia T a (M) felett, és ha ϕ Ch a (M), akkor a leképezés bijekció. b) Ha ϕ, ϕ Ch a (M), akkor Θ ϕ,a : E ϕ T a (M)/ a ; z Class((ϕ, z)) a (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a)) = Θ ϕ,a Θ ϕ,a. c) Létezik egyetlen olyan vektortér-struktúra a T a (M)/ a faktorhalmaz felett, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ Ch a (M) esetén az a)-ban értelmezett Θ ϕ,a : E ϕ T a (M)/ a függvény lineáris operátor. d) Létezik egyetlen olyan lineáris topológia a c) pontban értelmezett T a (M)/ a vektortér felett, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ Ch a (M) térképre, az a)-ban értelmezett Θ ϕ,a : E ϕ T a (M)/ a függvény homeomorzmus. Bizonyítás. a) Ha (ϕ, z) T a (M), akkor (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a)) = id Eϕ, ezért a a reláció reexív a T a (M) halmazon. Legyenek (ϕ, z), (ϕ, z ) T a (M) olyanok, hogy (ϕ, z) a (ϕ, z ). Ekkor a deníció szerint (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))z = z, tehát ((D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))) z = z, továbbá világos, hogy ((D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))) = (D(ϕ ϕ ))(ϕ (a)),

18 1.6. SOKASÁG ÉRINTŽTERE EGY PONTBAN ÉS AZ ÉRINTŽ-OPERÁTOROK 17 ezért (ϕ, z ) a (ϕ, z), ami azt jelenti, hogy a a reláció szimmetrikus. Legyenek (ϕ, z), (ϕ, z ), (ϕ, z ) T a (M) olyanok, hogy (ϕ, z) a (ϕ, z ) és (ϕ, z ) a (ϕ, z ). Ekkor a deníció szerint (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))z = z és (D(ϕ ϕ ))(ϕ (a))z = z, tehát ((D(ϕ ϕ ))(ϕ (a)) (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a)))z = z. Ugyanakkor világos, hogy ((D(ϕ ϕ ))(ϕ (a)) (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))) = = (D((ϕ ϕ ) (ϕ ϕ )))(ϕ(a))) = (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a)), tehát (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))z = z, vagyis (ϕ, z) a (ϕ, z ), ami azt jelenti, hogy a a reláció tranzitív. Tehát a a reláció ekvivalencia T a (M) felett. Legyen T a (M) := T a (M)/ a, és rögzítsünk egy ϕ Ch a (M) térképet. A Θ ϕ,a : E ϕ T a (M) leképezés injektív, mert ha z, z E ϕ és Θ ϕ,a (z) = Θ ϕ,a (z ), akkor (ϕ, z) a (ϕ, z ), tehát z = (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))z = (D id Im(ϕ) )(ϕ(a))z = z. A Θ ϕ,a : E ϕ T a (M) leképezés szürjektivitásának bizonyításához legyen t T a (M) rögzített elem, és legyen (ϕ, z ) t. Ekkor z := (D(ϕ ϕ )(ϕ(a)) z olyan vektor E ϕ -ben, amelyre (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))z = z, tehát (ϕ, z) a (ϕ, z ), vagyis Θ ϕ,a (z) = Class((ϕ, z)) = Class((ϕ, z )) = t. Ezért a Θ ϕ,a : E ϕ T a (M) leképezés szürjektív. a a b) Ha z E ϕ, akkor a a ekvivalencia értelmezése alapján triviális, hogy (ϕ, z) a (ϕ, (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))z),,a ami azzal ekvivalens, hogy Θ ϕ,a (z) = Θ ϕ (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a))zš, tehát Θ ϕ,a = Θ ϕ,a (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a)), vagyis (D(ϕ ϕ ))(ϕ(a)) = Θ ϕ,a Θ ϕ,a. c) Ha ϕ Ch a (M), akkor legyen s Eϕ : E ϕ E ϕ E ϕ az E ϕ vektortér összedás-függvénye és m Eϕ :K E ϕ E ϕ az E ϕ vektortér skalárral vett szorzás-függvénye, továbbá vezessük be az s ϕ := Θ ϕ,a s (Θ E ϕ ϕ,a Θ ϕ,a) : T a (M) T a (M) T a (M), m ϕ := Θ ϕ,a m Eϕ (idk Θ ϕ,a) : K T a (M) T a (M) leképezéseket, ahol K az a test, amely felett E ϕ vektortér. Triviális az, hogy minden ϕ Ch a (M) esetén a (T a (M), s Eϕ, m Eϕ ) hármas vektortér a K test felett, és Θ ϕ,a lineáris

19 18 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK operátor, mert s ϕ (Θ ϕ,a Θ ϕ,a ) = Θ ϕ,a s Eϕ miatt Θ ϕ,a additív, és m ϕ (idk Θ ϕ,a ) = Θ ϕ,a m Eϕ miatt Θ ϕ,a homogén. Megmutatjuk, hogy ϕ, ψ Ch a (M) esetén s ϕ = s ψ és m ϕ = m ψ. Valóban, s ψ = Θ ψ,a s Eψ (Θ ψ,a Θ ψ,a ) = Θ ϕ,a ( ) = Θ ϕ,a se ((Θ ϕ ϕ,a Θ ψ,a ) (Θ (Θ ϕ,a Θ ψ,a ) s Eψ )Š (Θ ψ,a Θ ψ,a ) ( ) = ϕ,a Θ ψ,a (Θ ψ,a Θ ψ,a ) = = Θ ϕ,a s Eϕ (Θ ϕ,a Θ ϕ,a) = s ϕ, ahol a ( ) = egyenl ségnél azt használtuk ki, hogy b) szerint Θ ϕ,a Θ ψ,a = D(ϕ ψ )(ψ(a)), és itt a jobb oldalon álló leképezés additív az E ψ és E ϕ vektorterek között, azaz Továbbá, (Θ ϕ,a Θ ψ,a ) s Eψ = s E ϕ (Θ ϕ,a Θ ψ,a ) (Θ ϕ,a Θ ψ,a )Š. m ψ = Θ ψ,a m Eψ (idk Θ ψ,a ) = Θ ϕ,a ( ) = Θ ϕ,a meϕ (idk (Θ (Θ ϕ,a Θ ψ,a ) m Eψ (id K Θ ψ,a ) ( ) = ϕ,a Θ ψ,a ))Š (id K Θ ψ,a ) = Θ ϕ,a m Eϕ (idk Θ ϕ,a) = m ϕ, ahol a ( ) = egyenl ségnél azt használtuk ki, hogy b) szerint Θ ϕ,a Θ ψ,a = D(ϕ ψ )(ψ(a)), és itt a jobb oldalon álló leképezés homogén az E ψ és E ϕ )Š vektorterek között, azaz (Θ ϕ,a Θ ψ,a ) m Eψ = m E ϕ id K (Θ ϕ,a Θ ψ,a. Tehát jól értelmezettek azok az s : T a (M) T a (M) T a (M), m : K T a (M) T a (M) függvények, amelyekre teljesül az, hogy minden ϕ Ch a (M) esetén s = s ϕ és m = m ϕ. Világos, hogy ekkor a (T a (M), s, m) hármas vektortér K felett, és minden ϕ Ch(M) esetén, ha a Dom(ϕ), akkor a Θ ϕ,a : E ϕ T a (M) függvény lineáris operátor. d) Ha ϕ Ch a (M), akkor jelölje T ϕ az E ϕ normája által meghatározott lineáris topológia Θ ϕ,a által létesített képét, tehát T ϕ az a normálható lineáris topológia T a (M) felett, amelyre Ω T ϕ pontosan akkor teljesül, ha Ω T a (M) és Θ ϕ,a Ω (= Θ ϕ,a Ω ) nyílt halmaz az E ϕ normált térben. Megmutatjuk, hogy ha ϕ, ψ Ch a (M), akkor T ϕ = T ψ. Valóban, ha Ω T ϕ, akkor

20 1.6. SOKASÁG ÉRINTŽTERE EGY PONTBAN ÉS AZ ÉRINTŽ-OPERÁTOROK 19 Θ ϕ,a Ω nyílt részhalmaz az E ϕ normált térben, és b) szerint a Θ ψ,a Θ ϕ,a : E ϕ E ψ leképezés lineáris homemorzmus, így a Θ ψ,a ϕ,aš Θ Θ ϕ,a Ω = Θ ψ,a Ω halmaz nyílt az E ψ normált térben, vagyis Ω T ψ. Ez azt jelenti, hogy T ϕ T ψ. A ϕ és ψ térképeket egymással felcserélve az el z érvelésben kapjuk, hogy T ψ T ϕ is teljesül, tehát T ϕ = T ψ. Tehát jól értelmezett az a T a (M) feletti T topológia, amelyre minden ϕ Ch a (M) esetén T = T ϕ. Ez éppen az a normálható lineáris topológia T a (M) felett, amely szerint minden ϕ Ch a (M) esetén a Θ ϕ,a : E ϕ T a (M) leképezés homeomorzmus Deníció. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság és a M, akkor az el z tételben bevezetett T a (M)/ a faktorhalmazt a c) pontban bevezetett vektortér struktúrával, valamint a d) pontban bevezetett lineáris topológiával ellátva az M sokaság érint terének nevezzük az a pontban, és a T a (M) szimbólummal jelöljük, továbbá minden ϕ Ch a (M) esetén a Θ ϕ,a : E ϕ T a (M); z Class((ϕ, z)) a függvényt az E ϕ és T a (M) vektorterek közötti kanonikus leképezésnek nevezzük Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, N C s -osztályú, T-típusú sokaság, f : M N C k -osztályú morzmus M és N között, és a M. Ha ϕ, ϕ Ch a (M) és ψ, ψ Ch f(a) (N) tetsz leges térképek, akkor )Š Θ ψ,f(a) D(ψ f ϕ (ϕ(a)) Θ Bizonyítás. Triviális az, hogy )Š Θ ψ,f(a) D(ψ f ϕ )Š ϕ,a = Θ ψ,f(a) D(ψ f ϕ (ϕ (a)) Θ (ϕ (a)) Θ ϕ,a = = Θ ψ,f(a) Θ ψ,f(a) Θ ψ,f(a) )Š ϕ,aš D(ψ f ϕ )Š (ϕ (a)) Θ ϕ,a Θ Θ ϕ,a, D(ψ ψ )Š (ψ (f(a))), D(ϕ ϕ (ϕ(a)). Θ ψ,f(a) Θ ψ,f(a) )Š D(ψ f ϕ (ϕ (a)) Θ ϕ,a ϕ,aš = )Š )Š Θ )Š = D(ψ ψ (ψ (f(a))) D(ψ f ϕ (ϕ (a)) D(ϕ ϕ (ϕ(a)) = és tudjuk, hogy Ebb l következik, hogy Θ ψ,f(a) Θ ψ,f(a) = Θ ϕ,a Θ ϕ,a = ϕ,a. = D ψ ψ Š ψ f ϕ Š ϕ ϕ ŠŠŠ (ϕ(a)) = D ψ f ϕ ŠŠ (ϕ(a)), ahol kétszer alkalmaztuk a függvénykompozíció dierenciálási szabályát. Ezt behelyettesítve az els egyenl ség jobb oldalába, kapjuk a bizonyítandó egyenl séget.

21 20 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK Deníció. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, N C s -osztályú, T-típusú sokaság, és f : M N C k -osztályú morzmus M és N között. Ekkor minden a M )Š esetén T a (f) := Θ ψ,f(a) D(ψ f ϕ (ϕ(a)) Θ ϕ,a, ahol ϕ Ch a (M) és ψ Ch f(a) (N) tetsz leges térképek; továbbá azt mondjuk, hogy a T a (f) : T a (M) T f(a) (N) folytonos lineáris operátor az f függvény érint -operátora (vagy derivált-operátora) az a pontban Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, N C s -osztályú, T-típusú sokaság, és L C t -osztályú, U-típusú sokaság. Ha f : M N C j -osztályú morzmus és g : N L C k -osztályú morzmus, akkor a g f : M L függvény C min(j,k) -osztályú morzmus, és minden a M esetén T a (g f) = T f(a) (g) T a (f). Bizonyítás. Legyenek ϕ Ch(M) és χ Ch(L) tetsz leges térképek. Azt kell igazolni, hogy a χ (g f) ϕ : E ϕ Eχ függvény C min(j,k) -osztályú. Legyen z Dom (χ (g f) ϕ ) rögzített, vagyis az a := ϕ (z) M pontra a Dom(ϕ) és (g f)(a)) Dom(χ) teljesül. Rögzítsünk olyan ψ Ch(N) térképet, amelyre f(a) Dom(ψ). A hipotézis szerint a χ g ψ : E ψ E χ és ψ f ϕ : E ϕ E ψ függvények mindketten C min(j,k) -osztályúak, ezért a (χ g ψ ) (ψ f ϕ ) : E ϕ E χ függvény is C min(j,k) -osztályú. Könnyen látható, hogy Dom χ (g f) ϕ Š = ϕ Dom(ϕ) f g Dom(χ), Dom χ g ψ Š ψ f ϕ ŠŠ = ϕ Dom(ϕ) f Dom(ψ) g Dom(χ), tehát a Dom χ g ψ Š ψ f ϕ ŠŠ Dom χ (g f) ϕ Š. Az f : M N és g : N L függvények folytonossága miatt ez azt jelenti, hogy Dom ((χ g ψ ) (ψ f ϕ )) olyan nyílt környezete z-nek E ϕ -ben, amelyen a χ (g f) ϕ és (χ g ψ ) (ψ f ϕ ) függvények egyenl ek. Ezért a folytonos dierenciálhatóság lokalitása miatt a χ (g f) ϕ függvény C min(j,k) -osztályú a z pontban. Legyen most a M rögzítve, és vegyünk olyan ϕ Ch(M), ψ Ch(N) és χ Ch(L) térképeket, amelyekre a Dom(ϕ), f(a) Dom(ψ) )Š és g(f(a)) Dom(χ). Ekkor az érint -operátorok deníciója szerint T a (f) = Θ ψ,f(a) D(ψ f ϕ (ϕ(a)) Θ ϕ,a,

22 1.7. NYÍLT RÉSZSOKASÁGOK 21 T f(a) (g) = Θ χ,g(f(a)) D(χ g ψ )(ψ(f(a))) Θ ψ,f(a), amib l következik, hogy T f(a) (g) T a )Š Š (f) = = Θ χ,g(f(a)) D( χ g ψ )(ψ(f(a))) D(ψ f )ŠŠ ϕ (ϕ(a)) Θ (1) = Θ χ,g(f(a)) D ( χ g ψ ) (ψ )Š f ϕ (ϕ(a)) Θ ψ,f(a) (2) = Θ χ,g(f(a)) D( χ (g f) ϕ (ϕ(a)) Θ ψ,f(a) = T a(g f), ψ,f(a) ahol az (1) = egyenl ségnél a ψ f ϕ : E ϕ E ψ és χ g ψ : E ψ E χ függvényekre alkalmaztuk a függvénykompozíció dierenciálásának tételét, és a (2) = egyenl ségnél felhasználtuk azt, hogy a (χ g ψ ) (ψ f ϕ ) és χ (g f) ϕ függvények egyenl ek )ŠŠ )Š a ϕ(a) pont valamely környezetén, így a dierenciálás lokalitásának elve alapján D ( χ g ψ ) (ψ f ϕ (ϕ(a)) = D( χ (g f) ϕ (ϕ(a)) Nyílt részsokaságok Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és U M nyílt halmaz a sokaság-topológia szerint. Ekkor az A := { ϕ Ch(M) Dom(ϕ) U } halmaz U feletti C r -osztályú, S-típusú dierenciálható struktúra. [ Bizonyítás. Az U halmaz a sokaság-topológia szerint nyílt, ezért van olyan (ϕ i ) rendszer Ch(M)-ben, hogy U = Dom(ϕ i ), és ekkor világos, hogy minden i I esetén ϕ i A. Továbbá, bármely két ϕ, ψ A térképre ϕ és ψ C r -konzisztensek, így A az U halmaz felett C r -osztályú, S-típusú atlasz. Ha ϕ olyan S-típusú térképe az U halmaznak, amely minden A -hoz tartozó térképpel C r -konzisztens, akkor ϕ minden Ch(M)-hez tartozó térképpel C r -konzisztens, mert ψ Ch(M) esetén?? miatt ψ := ψ Dom(ψ) Dom(ϕ) Ch(M), így ψ A, tehát a ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek, és nyilvánvalóan ψ ϕ = ψ ϕ, valamint ϕ ψ = ϕ ψ, így a ϕ és ψ térképek is C r -konzisztensek. Ebb l következik, hogy ha ϕ olyan S-típusú térképe az U halmaznak, amely minden A -hoz tartozó térképpel C r -konzisztens, akkor ϕ Ch(M) és Dom(ϕ) U, vagyis ϕ A. Ez azt jelenti, hogy A egyenl az A atlasz által generált U feletti, C r -osztályú, S-típusú dierenciálható struktúrával. (2) = (1) =

23 22 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK Deníció. Ha M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és U M nyílt halmaz a sokaság-topológia szerint, akkor az U halmazt a Ch(U) := {ϕ Ch(M) Dom(ϕ) U} C r -osztályú, S-típusú struktúrával ellátva az M sokaság nyílt részsokaságának nevezzük. Megjegyezzük, hogy ha U nyílt részsokasága az M C r -osztályú, S-típusú sokaságnak, akkor Ch(U) = { ϕ U Dom(ϕ) ϕ Ch(M) }, mert ϕ Ch(M) esetén?? alapján ϕ U Dom(ϕ) Ch(M), így ez a térkép eleme Ch(U)- nak Állítás. Ha U nyílt részsokasága az M C r -osztályú, S-típusú sokaságnak, akkor az in U,M : U M kanonikus injekció olyan C r -osztályú morzmus, amelyre teljesül : Ta (U) T a (M) érint -operátor lineáris homeomorzmus; továbbá minden a ψ Ch a (M) és ϕ Ch a (U) esetén T inu,mš = Θ M ψ,a Θ U ψ,aš, az, hogy minden a U esetén a T a inu,mš ahol Θ M ψ,a : E ψ T a (M) és Θ U ϕ,a : E ϕ T a (U) a kanonikus lineáris homeomorzmusok. Bizonyítás. Legyen a U és vegyünk tetsz leges ψ Ch a (M) és ϕ Ch a (U) térképeket, vagyis ϕ, ψ Ch(M), és a Dom(ϕ) Dom(ψ), valamint Dom(ϕ) U. Ekkor az érint -operátor a deníciója szerint T inu,mš )Š = Θ M ψ,a D(ψ inu,m )Š ϕ (ϕ(a)) Θ U (1) ϕ,aš = = Θ M ψ,a D(ψ ϕ (ϕ(a)) Θ U (2) ϕ,aš = (2) = Θ M ψ,a Θ U ϕ,aš, Θ M ψ,aš Θ M ϕ,a Θ U ϕ,aš = Θ M ϕ,a ahol az (1) = egyenl ségnél felhasználjuk a ψ in U,M ϕ = ψ ϕ triviális függvényegyenl séget, és a (2) = egyenl ségnél a?? a állításra hivatkozunk. Ezzel igazoltuk az állításban szerepl egyenl séget, és az is látszik, hogy T inu,mš lineáris homeomorzmus a Ta (U) és T a (M) érint terek között, mert Θ M ϕ,a : E ϕ T a (M) és Θ U ϕ,a : E ϕ T a (U) lineáris homeomorzmusok. Tehát ha U nyílt részsokasága az M C r -osztályú, S-típusú sokaságnak, akkor minden a U esetén a T a (U) és T a (M) érint terek kitüntetett módon azonosíthatók; így gyakran azt fogjuk írni, hogy T a (U) = T a (M).

24 1.8. Sokaságok szorzata 1.8. SOKASÁGOK SZORZATA 23 Emlékeztetünk arra, hogy ha (f i ) olyan rendszer, hogy minden i I esetén f i függvény, akkor f i jelöli azt a függvényt, amelyre i Dom f :=Y Y Dom(f i ), és minden (x i ) Dom(f i ) esetén i f ((x i ) ) := (f i (x i )) Állítás. Legyen (M i ) olyan nem üres véges rendszer, hogy minden i I esetén M i C r i -osztályú, Si -típusú sokaság. Legyen r := min r i, és Ekkor a( ϕ i atlasz. Bizonyítás. Ha (ϕ i ) Y (ϕ i ) :=(Y S i E i Ch(M i )) Y i =Y ϕ normált szorzat- ay injekció, amelyre Im térnek, ezért a Y ϕ i függvény Ha (ϕ i ), (ψ i ) ). Y (E i ) S i Y halmaz C r -osztályú, :Y Y ϕ i M i E ϕi Ch(M i ), akkor a Ch(M i ), akkor Im(ϕ i ) nyílt részhalmaza ay M i halmaznak M i feletti, S i -típusú E ϕi S i -típusú térképe. függvény olyan i ψ i ϕ i = (ψ i ϕ i ), ϕ ψ i = (ϕ i ψ i ), így a bal oldalakon álló függvények C r -osztályúak, hiszen C r -osztályú függvények direkt szorzata C r -osztályú, Y ami azt jelenti, hogy a ϕ i és ψ i térképek Y C r -konzisztensek. Végül, ha (a i ) M i, akkor létezik olyan (ϕ i ) Ch(M i ) rendszer, hogy

25 24 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ YSTRUKTÚRÁK minden i I esetén a i Dom(ϕ Y i )) ), tehát (a i ) Y következésképpen a ( ϕ i (ϕ i ) Ch(M i halmaz C r -osztályú, S i -típusú atlasz. Dom(ϕ i ) = Dom ϕ i, M i feletti, Deníció. Legyen (M i ) olyan nem üres véges rendszer, hogy minden i I esetén M i C r i -osztályú, Si -típusú sokaság. Legyen r := min r i, és :=(Y Y S i E i (E i ) Y (ϕ i ) sokaság- rendszer szorzatának nevezzük. A továbbiakban azy ) )) S i. Ch(M i C -osztályú,y r ay Ekkor M i halmazt a( ϕ i típusú atlasz által generált dierenciálható struktúrával ellátva az (M i ) dierenciálható struktúrával látjuk el, teháty tekintjük. M i -t C r -osztályú, M i feletti, S i - M i szorzathalmazt mindig ezzel S i -típusú sokaságnak ay Vigyázzunk arra, hogy ha (M i ) olyan nem üres véges rendszer, hogy minden i I esetén M i C r i -osztályú, Si Y -típusú sokaság, akkor általában M i szorzatsokaság nem minden térképe ϕ i alakú, ahol (ϕ i ) Ch(M i ). Csak arról van szó, hogy az ilyen alakú térképek, amelyeket szorzattérképeknek is nevezünk, atlaszát alkotják a szorzatsokaság dierenciálható struktúrájának Állítás. Legyen (M i ) olyan nem üres véges rendszer, hogy minden i I esetén M i C r i -osztályú, Si -típusú sokaság, r := min r i, és legyen M :=Y Y M i. Ekkor minden i I esetén a pr i : M M i projekció C r -osztályú morzmus, továbbá minden a := (a i ) M i pontra a Y τ a : T a (M) T ai (M i ); t ((T a (pr i )) (t)) leképezés lineáris homeomorzmus. Y Bizonyítás. El ször megmutatjuk, hogy i I esetén a pr i : M M i projekció C r -osztályú morzmus. Ehhez legyen (ϕ i ) Ch(M i ) és ψ Ch(M i ). Ekkor a

26 1.8. SOKASÁGOK SZORZATA 25 ay ϕ := ϕ i jelölést alkalmazva, valamint pr i,ϕ-vel jelölve projekciót, könnyen látható, hogy ϕ i pr i = pr i,ϕ ϕ teljesül a Dom(ϕ) halmazon, következésképpen pr i ϕ = ϕ i pr i,ϕ Š ψ ϕ i E ϕi E ϕi kanonikus = teljesül az Im(ϕ) halmazon. Ebb l adódik, hogy ψ pr i ϕ pri,ϕ. A Y ψ és ϕ i térképek C r i -konzisztensek, így a ψ ϕ i : E ϕi E ψ függvény C r i - osztályú, tehát még inkább C r -osztályú. A pr i,ϕ leképezés folytonos lineáris operátor a E ϕi normált szorzattér és az E ϕi normált tér között, tehát ez is C r -osztályú. Ebb l következik, hogy az egyenl ség jobb oldalán C r -osztályú függvény áll, tehát a ψ pr i ϕ : E ϕ E ψ leképezés is C r -osztályú. Mivel a szorzattérképek a deníció szerint az M szorzatsokaság dierenciálható strktúrájának atlaszát alkotják, így a pr i : M M i kanonikus projekció C r -osztályú morzmus. Most i I és a = (a i ) M esetén kiszámítjuk a T a (pr i ) : T a (M) T pri (a) (M i ) érint operátort. Ehhez legyen (ϕ i ) Y Ch(M i ) olyan rendszer, hogy a ϕ := szorzattérképre a Dom(ϕ) teljesül, azaz minden i I esetén a i Dom(ϕ i ). Ekkor pr i (a) = a i Dom(ϕ i ), és ϕ i Ch(M i ), ezért az érint -operátor deníciója szerint T a (pr i ) = Θ ϕi,a i D ϕi pr i ϕ ŠŠ (ϕ(a)) Θ ϕ,a. :Y Láttuk, hogy pr i ϕ = ϕ i pr i,ϕ az Im(ϕ) halmazon, tehát ϕ i pr i ϕ = pr i,ϕ teljesül az Im(ϕ) halmazon. Mivel pr i,ϕ E ϕi E ϕi folytonos lineáris operátor, így ŠŠ D ϕi pr i ϕ (ϕ(a)) = pri,ϕ, ϕ i következésképpen Y T a (pr i ) = Θ ϕi,a pr i i,ϕ Θ ϕ,a. Ez minden i I és a = (a i ) M, valamint minden olyan (ϕ i ) Ch(M i ) Y rendszer esetén érvényes, amelyre a ϕ := ϕ i szorzattérképre a Dom(ϕ) teljesül. Most megmutatjuk, hogy ha a = (a i ) M és (ϕ i ) Ch(M i ) olyan rendszer, hogy a ϕ := ϕ i szorzattérképre a Dom(ϕ) iteljesül, akkor τ a = Θ ϕi,a Θ ϕ,a.

27 26 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK Y E ϕi Ehhez legyen t T a (M) tetsz leges, és z := (z i ) az a rendszer, amelyre Θ ϕ,a = (z) = t. Ekkor τ a (t) = ((T a (pr i )) (t)) Θϕi,a i pr i,ϕ Θϕ,aŠ i i (t) Š = Θϕi i,a pri,ϕ (z)šš = = (Θ ϕi,a i (z i )) = Θ ϕi,a ((z i ) ) = Θ ϕi,a Θ ϕ,a(t)š i, tehát τ a = Θ ϕi,a Θ ϕ,a. ay Ezután nyilvánvaló, hogy minden a = (a i ) M esetén a τ a leképezés lineáris homemorzmus a T a (M) normált tér és T ai (M i ) normált szorzattér, hiszen véve olyan (ϕ i ) teljesül, a Y Ch(M i ) rendszert, hogy a ϕ := :Y Y Θ ϕi,a i E :Y ϕi Θ ϕ,a leképezés lineáris homeomorzmus, valamint a E ϕi T a (M) T ai (M i ) leképezés is lineáris homeomorzmus, i Y ezért a τ a = Θ ϕi,a Θ ϕ,a : T a (M) T ai (M i ) leképezés is lineáris homeomorzmus. ϕ i szorzattérképre a Dom(ϕ) Tehát az el z állítás feltételei és jelölései mellett, a szorzatsokaság minden pontjában az érint teret az állításban értelmezett leképezéssel azonosítjuk a pont komponenseiben vett érint terek topologikus lineáris szorzatával Sokaság érint tere Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és [ T(S) := { E E E S }, T(M) := T x (M) ( := ({x} T x (M)) ), x M és minden ϕ Ch(M) esetén legyen x M bϕ : T(M) E ϕ E ϕ

28 az a függvény, amelyre Dom(bϕ) := és minden (x, t) Dom(bϕ) esetén 1.9. SOKASÁG ÉRINTŽTERE 27 [ T x (M) ( := ({x} T x (M)) ), x Dom(ϕ) x Dom(ϕ) bϕ(x, t) := (ϕ(x), Θ ϕ,x(t)). Ha r > 1, akkor a { bϕ ϕ Ch(M) } halmaz C r -osztályú, T(M) feletti, T(S)-típusú atlasz. Bizonyítás. El ször megmutatjuk, hogy ϕ Ch(M) esetén a bϕ függvény a T(M) halmaznak T(S)-típusú térképe. Ha (x, t), (x, t ) Dom(bϕ) és bϕ(x, t) = bϕ(x, t ), akkor ϕ(x) = ϕ(x ) és Θ ϕ,x(t) = Θ ϕ,x (t ), tehát ϕ injektivitása miatt x = x, ezért Θ ϕ,x(t) = Θ ϕ,x(t ), tehát Θ ϕ,x injektivitása folytán t = t, vagyis (x, t) = (x, t ). Ez azt jelenti, hogy a bϕ : T(M) E ϕ E ϕ függvény injektív. Az nyilvánvaló, hogy Im(bϕ) Im(ϕ) E ϕ. Itt valójában egyenl ség van, mert ha (z, v) Im(ϕ) E ϕ, akkor bϕ(ϕ (z), Θ ϕ,ϕ (z)(v)) = (z, v). Tehát = Im(bϕ) = Im(ϕ) E ϕ, és itt a jobb oldalon E ϕ E ϕ -nek nyílt részhalmaza áll, mert Im(ϕ) nyílt halmaz E ϕ -ben. Az is könnyen látható, hogy (z, v) Im(bϕ) esetén bϕ (z, v) ϕ (z), Θ ϕ,ϕ (z)(v)š. Tehát a bϕ függvény T(S)-típusú térképe T(M)-nek. Most megmutatjuk, hogy ϕ, ψ Ch(M) esetén Dom(Ò ψ bϕ ) = Dom(ψ ϕ ) E ϕ. Valóban Dom(Ò ψ bϕ ) = {(z, v) Im(bϕ) bϕ (z, Dom(Ò ψ)} = = {(z, v) Im(ϕ) E ϕ ϕ (z), Θ ϕ,ϕ (z)(v)š Ò Dom( ψ)} = = {(z, v) Im(ϕ) E ϕ ϕ (z) Dom(ψ)} = Dom(ψ ϕ ) E ϕ. A ϕ és ψ térképek C r -konziszenciája miatt a Dom(ψ ϕ ) halmaz nyílt E ϕ -ben, ezért Dom(Ò ψ bϕ ) nyílt részhalmaza az E ϕ E ϕ normált szorzattérnek. aò Most megmutatjuk, hogy ϕ, ψ Ch(M) esetén ψ bϕ : Dom(ψ ϕ ) E ϕ E ψ E ψ függvény C r -osztályú. Valóban, a bϕ függvény inverzének ismeretében írható, hogy minden (z, v) Dom(ψ ϕ ) E ϕ esetén Ò ψ bϕ (z, v) = Ò ψ ϕ (z), Θ ϕ,ϕ (z)(v)š = (ψ ϕ )(z)š, Θ ψ,ϕ (z) Θϕ,ϕ (z)(v)š = = (ψ ϕ )(z), Θ ψ,ϕ (z) Θ ϕ,ϕ (z) (v) = (ψ ϕ )(z), D(ψ ϕ )Š (z) Š (v) Š, ahol felhasználtuk a Θ ψ,ϕ (z) Θ ϕ,ϕ (z) = (D(ψ ϕ )) (z) egyenl séget (??). Ebb l látható, hogy a Ò ψ bϕ függvény els komponensfüggvénye ψ ϕ, amely a ϕ és ψ

29 28 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK Ò térképek C r -konziszenciája miatt C r -osztályú. Ugyanakkor a ψ bϕ )Š függvény Š els komponensfüggvénye a két következ függvény kompozíciója: α : Dom(ψ ϕ ) E ϕ L (E ϕ ; E ψ ) E ϕ ; (z, v) D(ψ ϕ (z), v, β : L (E ϕ ; E ψ ) E ϕ E ψ ; (u, v) u(v). Az α függvény els komponensfüggvénye egyenl az E ϕ E ϕ E ϕ els projekció-függvény Dom(ψ f ϕ ) E ϕ -re vett lesz kítésének, és a D(ψ ϕ ) deriváltfüggvénynek a kompozíciójával, amely a ϕ és ψ térképek C r -konzisztenciája miatt C r -osztályú. Tehát α els komponens-függvénye C r -osztályú. Az α függvény második komponensfüggvénye egyenl az E ϕ E ϕ E ϕ második projekció Dom(ψ ϕ ) E ϕ -re vett aò lesz kítésével, így ez analitikus függvény. Ezért az α függvény C r -osztályú. A β függvény folytonos bilineáris operátor, ezért analitikus. Ebb l következik, hogy β α, vagyis ψ bϕ függvény C r -osztályú. Ezzel igazoltuk, hogy minden ϕ, ψ Ch(M) esetén abϕ ésò [ ψ térképek C r -konzisztensek. Az világos, hogy Dom(bϕ) = T(M), ϕ Ch(M) mert (x, t) T(M) esetén van olyan ϕ Ch(M), hogy x Dom(ϕ), és ekkor (x, t) Dom(bϕ). Tehát, ha r > 1, akkor a {bϕ ϕ Ch(M)} halmaz C r -osztályú T(M) feletti atlasz, amely nyilvánvalóan {E ϕ E ϕ ϕ Ch(M)}-típusú, következésképpen T(S)-típusú is Deníció. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság. Ha r > 1, akkor a T(M) := T x (M) x M halmazt az el z állításban értelmezett {bϕ ϕ Ch(M)} C r -osztályú, T(M) feletti, T(S) := {E E E S}-típusú atlasz által generált dierenciálható struktúrával ellátva az M sokaság érint terének nevezzük. A továbbiakban a T(M) halmazt mindig ezzel dierenciálható struktúrával látjuk el, tehát T(M)-t C r -osztályú, T(S)-típusú sokaságnak tekintjük. Megállapodunk továbbá abban, hogy minden ϕ Ch(M) esetén bϕ jelöli azt a térképét a T(M) sokaságnak, amelyre Dom(bϕ) := T x (M) és minden (x, t) Dom(bϕ) esetén bϕ(x, t) := (ϕ(x), Θ ϕ,x(t)). x Dom(ϕ) Deníció. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, N C s -osztályú, T-típusú sokaság, és f : M N C k -osztályú morzmus M és N között. Ekkor a T(f) : T(M) T(N); (a, t) (f(a), T a (f)(t)) leképezést az f érint -függvényének nevezzük.

30 α : Dom(ψ f ϕ ) E ϕ L (E ϕ ; E ψ ) E ϕ ; (z, v) D ψ f ϕ ŠŠ (z), v Š, 1.9. SOKASÁG ÉRINTŽTERE Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, N C s -osztályú, T-típusú sokaság, és f : M N C k -osztályú morzmus M és N között. Ha k > 1, akkor a T(f) : T(M) T(N) érint -függvény C k -osztályú függvény az T(M) és T(N) C min(r,s) -osztályú sokaságok között. aò Bizonyítás. Elég azt igazolni, hogy ha ϕ, ψ Ch(M), akkor ψ T(f) bϕ : E ϕ E ϕ E ψ E ψ függvény C k -osztályú, ha az f függvény C k -osztályú morzmus M és N között. Nyilvánvaló, hogy DomÒ ψ T(f) bϕ = {(z, v) Im(bϕ) bϕ (z, v) T(f) Dom(Ò ψ) } = = {(z, v) Im(ϕ) E ϕ ϕ (z), Θ ϕ,ϕ (z)(v)š T(f) Dom(Ò ψ) } = = {(z, v) Im(ϕ) E ϕ f(ϕ (z)), T ϕ (z)(f) Θϕ,ϕ (z)(v)šš Ò Dom( ψ)} = = {(z, v) Im(ϕ) E ϕ f(ϕ (z)) Dom(ψ)} = Dom(ψ f ϕ ) E ϕ, és a Dom (ψ f ϕ ) halmaz nyílt E ϕ -ben, mert az f függvény C k -osztályú morzmus M és N között. Ezért DomÒ ψ T(f) bϕ nyílt részhalmaza az Eϕ E ϕ normált Ò Ò ψ T(f) bϕ (z, v) = ψ f(ϕ (z)), T ϕ (z)(f) Θϕ,ϕ (z)(v)šš = = ψ f(ϕ (z))š, Θψ,f(ϕ (z)) Tϕ (z)(f) (z)(v)ššš = Θϕ,ϕ = ψ f ϕ Š (z), Θψ,f(ϕ (z)) T ϕ (z)(f) Θ ϕ,ϕ (z)š Š = (v) = ψ f ϕ Š ŠŠ Š Š (z), D ψ f ϕ (z) (v). szorzattérnek. Világos továbbá, hogy (z, v) DomÒ ψ T(f) bϕ esetén Ò Ebb l látható, hogy a ψ T(f) bϕ függvény els komponensfüggvénye egyenl az E ϕ Ò E ϕ E ϕ els projekció Dom(ψ f ϕ ) E ϕ -re vett lesz kítésének, és a ψ f ϕ C k -osztályú függvénnyel vett kompozíciójával, tehát C k -osztályú. Ugyanakkor a ψ T(f) bϕ függvény második komponensfüggvénye a két következ függvény kompozíciója: β : L (E ϕ ; E ψ ) E ϕ E ψ ; (u, v) u(v). Az α függvény els komponensfüggvénye egyenl az E ϕ E ϕ E ϕ els projekció Dom(ψ f ϕ ) E ϕ -re vett lesz kítésének, és a C k -osztályú D (ψ f ϕ ) deriváltfüggvénynek a kompozíciójával, tehát C k -osztályú. Az α függvény második komponensfüggvénye egyenl az E ϕ E ϕ E ϕ második projekció Dom(ψ f ϕ ) E ϕ -re vett lesz kítésével, tehát analitikus. Ezért az α függvény C k -osztályú. A β függvény folytonos bilineáris operátor, ezért analitikus. Ebb l következik, hogy β α, vagyis a Òψ T(f) bϕ függvény C k -osztályú.

31 T(g) (T(f)(a, v)) = T(g) (f(a), T a (f)(v)) = g(f(a)), Tf(a) (g) (T a (f)(v))š = TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, N C s -osztályú, T-típusú sokaság, és L C t -osztályú, U-típusú sokaság. Ha f : M N C j -osztályú morzmus és g : N L C k -osztályú morzmus, akkor a T(f) : T(M) T(N), T(g) : T(N) T(L) és T(g f) : T(M) T(L) függvényekre fennáll a egyenl ség. T(g f) = T(g) T(f) Bizonyítás. Ha (a, v) T(M), akkor a deníciók és?? alkalmazásával kapjuk, hogy tehát T(g) T(f) = T(g f) Rétegez dések = ((g f)(a), T a (g f)(v)) = T(g f)(a, v), Deníció. A (P, B, π) hármast C r -osztályú rétegez désnek nevezzük, ha P és M C r -osztályú sokaságok, és π : P B szürjektív C r -osztályú morzmus, és teljesül rá a következ feltétel. (LT) Minden b B esetén létezik b-nek olyan U nyílt környezete, és létezik olyan F C r - osztályú sokaság, és létezik olyan σ : π U U F leképezés, hogy σ C r -osztályú izomorzmus a π U P nyílt részsokaság és az U F szorzatsokaság között, és pr 1 σ = π U, ahol pr 1 : U F U az els projekció. Ha a (P, B, π) hármas C r -osztályú rétegez dés, akkor a P sokaságot a rétegez dés terének, a B sokaságot a rétegez dés bázisának, és minden b B esetén a π {b} P halmazt a rétegez dés b feletti rétegének nevezzük Állítás. Legyen M C r -osztályú sokaság, és tekintsük a (T(M), M, π) hármast, ahol π : T(M) M a kanonikus leképezés. Ekkor r > 1 esetén a (T(M), M, π) hármas C r -osztályú rétegez dés. Bizonyítás. Legyen a M rögzítve, és vegyünk olyan ϕ Ch(M) térképet, amelyre a Dom(ϕ). Ekkor Dom(bϕ) = π Dom(ϕ), tehát U := Dom(ϕ) olyan nyílt környezete a-nak M-ben és σ := EϕŠ ϕ id bϕ : π U U E ϕ olyan C r -osztályú izomorzmus a π U T(M) nyílt részsokaság és az U E ϕ szorzatsokaság között (az E ϕ normált téren a kanonikus C r -osztályú dierenciálható struktúrát véve), hogy pr 1 σ = π U, ahol pr 1 : U E ϕ U az els projekció Deníció. Ha M C r -osztályú sokaság és r > 1, akkor az el z állításban értelmezett (T(M), M, π) C r -osztályú rétegez dést az M sokaság érint -rétegez désének nevezzük.

32 1.11. Lineáris konnexiók LINEÁRIS KONNEXIÓK Állítás. Legyen M C r -osztályú, S-típusú sokaság, és tekintsük a π : T(M) M; (x, t) x leképezést. Ha r > 1, akkor teljesülnek a következ k. a) A π függvény olyan szürjektív C r -osztályú morzmus a T(M) és M sokaságok között, amely nyílt leképezés a sokaság-topológiák szerint. b) Minden (a, t) T(M) esetén, ha ϕ Ch a (M), akkor T (a,t) (π) = Θ ϕ,a pr 1 Θ bϕ,(a,t)š, ahol pr 1 : E ϕ E ϕ E ϕ az els projekció. c) Minden (a, t) T(M) esetén a T (a,t) (π) érint -operátor olyan folytonos lineáris szürjekció a T (a,t) (T(M)) és T a (M) topologikus vektorterek között, amely nyílt leképezés és Ker(T (a,t) (π))-nek létezik topologikus algebrai komplementere. d) Minden (a, t) T(M) és ϕ Ch a (M) esetén Ker T(a,t) (π)š = Θ bϕ,(a,t) {0} E ϕ. Bizonyítás. a) Legyenek ϕ, ψ Ch(M) térképek. Ekkor Dom Š ψ π bϕ = ϕ Dom(ϕ) Dom(ψ) Eϕ nyílt részhalmaza az E ϕ E ϕ normált szorzattérnek, és ha a (z, v) pár eleme ennek a halmaznak, Š akkor ψ π bϕ (z, v) = (ψ π) ϕ (z), Θ ϕ,ϕ (z)(v)š = ψ ϕ (z)š = ψ ϕ Š (pr1 (z, v)), ahol pr 1 : E ϕ E ϕ E ϕ = az els projekció. Ez azt jelenti, hogy fennáll a ψ π bϕ ψ ϕ Š pr1 függvény-egyenl ség. A ϕ és ψ térképek C r -konzisztensek, ezért a ψ ϕ : E ϕ E ψ függvény C r -osztályú, és a pr 1 prokjekció folytonos lineáris operátor, így szintén C r - osztályú. Ezért ezek kompozíciója is C r -osztályú, ami azt jelenti, hogy a ψ π bϕ függvény C r -osztályú. Ebb l következik, hogy a π függvény C r -osztályú morzmus a T(M) és M sokaságok között. (Itt vigyázzunk arra, hogy π-nek csak ilyen rend simaságáról lehet beszélni, mert T(M) csak C r -osztályú sokaság.) Megmutatjuk, hogy a π : T(M) M függvény nyílt leképezés a sokaság-topológiák szerint. Ehhez legyen Ω T(M) olyan halmaz, amely nyílt a T(M) érint tér sokaságtopológiája szerint, és legyen (a, t) Ω rögzítve. Azt kell igazolni, hogy π Ω környezete

33 32 1. TÉRKÉPEK, ATLASZOK ÉS DIFFERENCIÁLHATÓ STRUKTÚRÁK a-nak az M sokaság-topológiája szerint. Ehhez rögzítsünk olyan ϕ Ch(M) térképet, amelyre a Dom(ϕ), tehát (a, t) Dom(bϕ). Mivel bϕ Ch(T(M)), így Dom(bϕ) nyílt T(M)-ben a sokaság-topológia szerint, tehát Ω Dom(bϕ) is nyílt részhalmaza T(M)-nek a sokaság-topológia szerint. Ugyanakkor bϕ homeomorzmus a Dom(bϕ) és Im(bϕ) topologikus alterek között, ezért bϕ Ω Dom(bϕ) nyílt részhalmaz az Im(bϕ) = Im(ϕ) E ϕ nyílt altérben, így bϕ Ω Dom(bϕ) nyílt az E ϕ E ϕ normált szorzattérben. Továbbá természetesen (ϕ(a), Θ bϕ,a (t)) = bϕ(a, t) bϕ Ω Dom(bϕ) E ϕ E ϕ. Ekkor a szorzattopológia deníciója szerint vehetünk olyan r > 0 valós számot, amelyre B r ϕ(a); ϕš Br Θ bϕ,a (t); ϕ bϕ Ω Dom(bϕ), ahol ϕ olyan norma, amely E ϕ lineáris topológiáját generálja, és z E ϕ esetén B r z; ϕš jelöli a z középpontú, r sugarú nyílt gömböt E ϕ -ben a ϕ norma szerint. b) Legyen (a, t) T(M) rögzítve, és vegyünk tetsz leges olyan ϕ Ch(M) térképet, amelyre (a, t) Dom(bϕ), vagyis a = Dom(ϕ). Ekkor π(a, t) = a Dom(ϕ) is teljesül, és az a) állítás bizonyítása szerint ϕ π bϕ ϕ ϕ Š pr1 = pr 1, Im(ϕ) E ϕ D ϕ π bϕ ŠŠ (bϕ(a, t)) = pr 1, ahol pr 1 : E ϕ E ϕ E ϕ az els projekció. Ebb l következik, hogy ŠŠ T (a,t) (π) = Θ ϕ,a D ϕ π bϕ (bϕ(a, t))š Θ bϕ,(a,t)š = Θϕ,a pr 1 tehát az érint -operátor deníciója szerint Θ bϕ,(a,t)š. c) A b) állítás szerint, ha (a, t) T(M) és ϕ Ch(M) olyan, hogy a Dom(ϕ), akkor T (a,t) (π) = Θ ϕ,a pr 1 Θ bϕ,(a,t)š, ahol pr 1 : E ϕ E ϕ E ϕ az els projekció. Mivel pedig a pr 1 folytonos operátor szürjektív és nyílt leképezés, valamint a magjának létezik topologikus algebrai komplemenetere, így a T (a,t) (π) érint -operátor is rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, mert a Θ ϕ,a : E ϕ T a (M) és Θ bϕ,(a,t)š : T(a,t) (T(M)) E ϕ E ϕ leképezések lineáris homeomorzmusok. d) A b) állítás szerint, ha (a, t) T(M) és ϕ Ch(M) olyan, hogy a Dom(ϕ), akkor T (a,t) (π) = Θ ϕ,a pr 1 Θ bϕ,(a,t)š, ahol pr 1 : E ϕ E ϕ E ϕ az els projekció. Ezért Ker T(a,t) (π)š = T(a,t) (π)š {0} = Θ bϕ,(a,t) pr 1 Θ ϕ,a {0} = hiszen Θ ϕ,a injektivitása miatt = Θbϕ,(a,t) pr 1 {0} = Θbϕ,(a,t) {0} E ϕ, Θ ϕ,a {0} = {0}, valamint pr 1 {0} = {0} E ϕ.