Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a, b), (a, b], [a, b), (, a), stb. Ajánlott irodalmak: 1. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I., TYPOTEX Kiadó, Budapest, 2006. (Erre a könyvre így fogunk hivatkozni: Thomas ) 2. Sydsæter Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó, 1998. (Erre a könyvre így fogunk hivatkozni: S H ) 2015. szeptember
1. Százalékszámítási feladatok F1. Egy árucikk kezdetben 2000 Ft-ba került, majd 5%-kal megemelték az árát. Mindezek után 5%-kal csökkentették az árát. Mi lett a végső ár? F2. Egy termék először a Ft-ba került, majd p%-kal megemelték az árát. Ezután az (új) árat p%-kal csökkentették. Mi lett a termék végső ára? F3. 10000 Ft indulótőkével valaki betétszámlát nyitott évi 12%-os kamatra. Menynyi lesz a számla egyenlege t év múlva? F4. Egy erdő faállománya 3500 m 3. A mindenkori állomány évenként 3%-kal gyarapszik, és kétévenként a meglevő állomány 2%-át kivágják. Mennyi fa lesz az erdőben 20 év múlva? F5. Tíz év alatt minden év elején 4000 forintot teszünk a takarékba. Tíz év leteltével 4000 forintot veszünk ki évenként. Mennyi pénzünk lesz a huszadik év végén, ha végig 10%-os a kamat? 2. Egyenletek és egyenlőtlenségek F6. Az abszolút érték fogalma és tulajdonságai. Emlékeztetünk arra, hogy az x R valós szám abszolút értékét így értelmezzük: x, ha x 0 x := x, ha x < 0. Bizonyítsa be és jegyezze meg a következő állításokat: (a) xy = x y (x, y R); (b) ha a 0, akkor x a a x a; (c) ha a 0, akkor x a x a vagy x a; (d) x + y x + y (x, y R) (háromszög-egyenlőtlenség); (e) x y x y (x, y R). A középiskolában tanultak alapján először átismételjük az abszolút értékes-, a másodfokú-, a törteket és négyzetgyököt tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszereit. 2
F7. Egyenletek megoldása. Oldja meg R-en a következő egyenleteket és a megoldáshalmazokat szemléltesse a számegyenesen is: (a) x 2 16 = 12, (b) x + 3 + x 5 = 20, (c) 3x + 2 = 3, (d) x + 1 2 = x 2 + 1, x 1 (e) x + 2 = 4x + 13, (f) x + 2 = 4 x, (g) x 4 = x + 5 9, (h) x 4 = 9 x + 5. F8. Egyenlőtlenségek megoldása. Oldja meg R-en a következő egyenlőtlenségeket és a megoldáshalmazokat szemléltesse a számegyenesen is: (a) x 2 + 2 3x + 4 3, (b) 1 2x < x 1 x + 1, (c) 2x + 2x 6 8, (d) 8x 2 10x + 2 2, (e) 3x2 + 7x 4 x 2 + 2x 3 2, x (f) > x x + 1 x + 1. F9. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának ismétlésére javasolt további feladatok: (a) Thomas 15. oldal 3 47. feladatok, (b) S H 24. oldal 4., 5., 6. és 8. feladatok. F10. Egyenlőtlenségek igazolása. Bizonyítsa be a következő egyenlőtlenségeket: (a) ab a + b (a, b 0), 2 (b) 1 a + 2 (a R \ 0}), a (c) a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc (a, b, c R). Mikor van egyenlőség a fenti egyenlőtlenségekben? 3. Halmazok F11. Legyen A := 2, 3, 4}, B := 2, 5, 6}, C := 5, 6, 2} és D := 6}. (a) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyek igazak: 4 C, 5 C, A B, D C, B = C és A = B. (b) Határozza meg az A B, A B, A \ B, B \ A, (A B) \ (A B) halmazokat. 3
F12. Legyen A := 1, 2, 10}, B := x R x > 1} és C := x R x 2 1}. Bizonyítsa be, hogy A C, A C, B C, B C, A B és B A. F13. Írja fel az A := 1, 2, 3} halmaz hatványhalmazát. F14. Halmazok egyenlőségének igazolása. Tetszőleges A, B és C halmazokra igazolja a következő egyenlőségeket: (a) (A B) C = (A C) (B C), (b) (A B) C = (A C) (B C). F15. Igazolja a következő állításokat: Minden A, B és C halmazra (a) A B = A C B C; (b) A B = A B = A = B. (c) A \ B C A B C. F16. Állapítsa meg, hogy tetszőleges A, B és C halmazokra az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis. (Azaz vagy bizonyítsa be, hogy az állítás minden A, B, C halmazra teljesül, vagy adjon meg olyan A, B, C-t, amelyekre nem igaz az állítás.) (a) A \ B = B \ A, (b) A B A B = B, (c) A B A B = A, (d) A B = A C B = C, (e) A B = A C B = C, (f) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C. F17. Igaz-e az, hogy ha az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, akkor az A hatványhalmaza is részhalmaza a B hatványhalmazának? 4. Matematikai állítások: szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltételek F18. Írja fel logikai jelekkel az alábbi állításokat, majd döntse el, hogy azok igazak-e: (a) Bármely x valós szám esetén az x > 0 feltétel elégséges ahhoz, hogy x 2 > 0 legyen. (b) Bármely x valós szám esetén az x > 0 feltétel szükséges ahhoz, hogy x 2 > 0 legyen. (c) Egy négyszög oldalainak egyenlősége szükséges ahhoz, hogy az illető négyszög négyzet legyen. (d) Egy négyszög oldalainak egyenlősége elégséges ahhoz, hogy az illető négyszög négyzet legyen. (e) Legyen x és y valós szám. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az xy szorzat nulla legyen az, hogy vagy x vagy y nulla. 4
F19. (a) Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy valós szám négyzete pozitív legyen? (b) Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy két valós szám négyzete egyenlő legyen? (c) Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy két valós szám köbe egyenlő legyen? F20. Tekintsük a 2x + 5 13 állítást, ahol x valós szám. (a) Az állítás teljesülésének az x 0 feltétel szükséges, elégséges vagy szükséges és elégséges feltétele? (b) Válaszolja meg ugyanezt a kérdést x 0 helyett x 50-nel. (c) Válaszolja meg ugyanezt a kérdést x 0 helyett x 4-gyel. F21. Tekintse az alábbi hat implikációt. Mindegyik esetben döntse el, hogy (i) igaz-e az implikáció és (ii) igaz-e a megfordított implikáció (x, y és z valós számok). (a) x = 2 és y = 5 = x + y = 7, (b) (x 1)(x 2)(x 3) = 0 = x = 1, (c) x 2 + y 2 = 0 = x = 0 vagy y = 0, (d) x = 0 és y = 0 = x 2 + y 2 = 0, (e) xy = xz = y = z, (f) x > y 2 = x > 0. F22. Írja az üres téglalapba a (akkor és csak akkor), = (ha, akkor) és a = (csak akkor, ha) szimbólumok valamelyikét ha ez lehetséges úgy, hogy igaz állítást kapjunk. (Ahova ekvivalencia írható, oda csak azt írja.) (a) x = 4 x = 2; (b) x 2 > 0 x > 0; (c) x 2 < 9 x < 3; (d) x(x 2 + 1) = 0 x = 0; (e) x(x + 3) < 0 x > 3. 5
5. Bizonyítási módszerek: az indirekt bizonyítás, a teljes indukció. Állítások tagadásának a megfogalmazása F23. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg a következő kijelentések tagadását. Egy adott épületet tekintve: ablak nyitva van ; ablak, ami nyitva van ; emelet, hogy ablak nyitva van ; emeleten ablak nyitva van. Egy adott egyetemet tekintve: szak évfolyamán leány hallgató ; szak, amelyiknek évfolyama, amelyben hallgató leány. F24. Egy adott épületre vonatkozóan tekintsük a minden ajtón van kilincs kijelentést. Írja ezt fel jelek és kvantorok segítségével, majd pozitív állítás formájában fogalmazza meg a tagadását. F25. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg a következő kijelentések tagadását, és döntse el, hogy az állítások és tagadásuk közül melyek igazak. (a) y R, hogy x R esetén x < y 2 ; (b) y R, hogy x R esetén x < y 2 ; (c) x R és y R, hogy x 2 + y 2 = 1. (d) x R és y R esetén x 2 = 3y. F26. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg a következő kijelentéseket: (a) Az A halmaz nem egyenlő a B halmazzal. (b) Az A halmaz nem részhalmaza a B halmaznak. Az indirekt bizonyítási módszer F27. Igazolja direkt és indirekt módon azt, hogy ahol x R. x 2 + 5x 4 > 0 x > 0, F28. Bizonyítsa be direkt és indirekt úton: Ha az A, B és C halmazokra A B C teljesül, akkor (A \ B) (B \ C) =. 6
F29. Bizonyítsa be, hogy nem igaz a következő állítás: Minden A és B halmazra A \ B = B \ A. Van-e olyan A és B halmaz, amelyre A \ B = = B \ A? Mi ennek a szükséges és elégséges feltétele? A teljes indukció T1. A teljes indukció elve. Tegyük fel, hogy minden n természetes számra adott egy A(n) állítás, és azt tudjuk, hogy (i) A(1) igaz, (ii) ha A(n) igaz, akkor A(n + 1) is igaz. Ekkor az A(n) állítás minden n természetes számra igaz. Megjegyzés. Teljes indukcióval tehát minden n természetes számra fennálló állításokat bizonyíthatunk. A fenti tétel azt mondja ki, hogy ha minden n N számra adott egy A(n) állítás (például egy egyenlőtlenség), akkor annak bizonyításához, hogy A(1), A(2), A(3),..., A(n),... mindegyike igaz, elég belátni a következő két dolgot: (i) az A(1) állítás igaz, (ii) ha valamilyen n természetes számra az A(n) állítás igaz (ezt szoktuk indukciós feltételnek nevezni), akkor az A(n + 1) állítás is igaz. Megjegyzés. Ha a teljes indukció elvében az 1 számot egy másik m-mel jelölt természetes számmal helyettesítjük, akkor az elv alkalmas annak bizonyítására, hogy a szóban forgó állítások m-től kezdve minden természetes számra igazak. F30. Teljes indukcióval igazolja, hogy minden n N esetén n(n + 1) (a) 1 + 2 + + n = ; 2 (b) 1 2 + 2 2 + + n 2 n(n + 1)(2n + 1) = ; 6 ( ) 2 n(n + 1) (c) 1 3 + 2 3 + + n 3 = ; 2 (d) n 1 k(k + 1) = n n + 1 ; (e) (f) (g) k=1 n k=0 n k=1 n k=1 k(3k + 1) = n(n + 1) 2 ; 2k 1 < 2k 1 n; k 1 2n + 1 ; (h) Thomas a 303. oldal feladatai. 7
6. Egyenesek, körök és parabolák (Koordinátageometriai ismeretek összefoglalása) F31. Egyenesekkel kapcsolatos alapfeladatokat illetően l. Thomas 23. oldal 33., 35., 36. és 70. oldal 23. feladatait. F32. Szemléltesse a síkon azon (x, y) pontok halmazát, amelyekre a következők teljesülnek: (a) x + y = 1; (b) x + y 1; (c) x + y 1; (d) x y 5 és x + y 2; (e) x 2, y 4 és x + y 8; (f) 4x + 3y 24, 5x + 2y 20, 6x + y 12, x 0 és y 0; (g) x y 1, x + y 3 és x + 2y 1. (h) Írjon fel olyan egyenlőtlenségrendszert, amelynek megoldáshalmaza az A(0, 0), B(0, 5) és C(1, 3) csúcspontú háromszög belseje. F33. Körökkel kapcsolatos alapfeladatokat illetően l. Thomas 24. oldal 41 52. feladatait. F34. Ábrázolja a síkon az alábbi egyenlőtlenségrendszer megoldáshalmazát: (a) x 2 + y 2 4x + 2y > 4 és x > 2; (b) x 2 + y 2 + 6y < 0 és y > 3; (c) Thomas 24. oldal 61 66. feladatok. F35. Írjon fel egy olyan egyenlőtlenségrendszert, amelyet az origó középpontú, 2 sugarú körön kívül fekvő pontok közül pontosan azok elégítenek ki, amelyek az (1, 3) középpontú, az origón áthaladó kör belsejében helyezkednek el. F36. Thomas 24. oldal 69 71. feladatok. F37. Ábrázolja az alábbi egyenletekkel megadott parabolákat: (a) y = 3x 2 + 2x + 5; (b) y = x 2 2x 3; (c) Thomas 24. oldal 54 60. feladatok. 8
7. Polinomok szorzattá alakítása, polinomosztás F38. Alakítsa szorzattá a következő kifejezéseket: (a) x 2 + 7x + 10; (b) x 2 + 6x 8; (c) 2x 2 + 7x 3; (d) x 4 + x 2 + 1. F39. Végezze el a következő műveleteket (határozza meg a hányadost és a maradékot): (a) (x 2 x 20) : (x 5), (b) (x 3 1) : (x 1), (c) (2x 4 x 2 5x + 6) : (x 2 3x), (d) (x 3 3x 2 x 1) : (3x 2 2x + 1), (e) (x 4 + x 3 + x 2 + x) : (x 2 + x), (f) (3x 8 + x 2 + 1) : (x 3 2x + 1). F40. Igazolja a következő állításokat: (a) Ha egy egész együtthatós polinomnak az x 0 egész szám gyöke, akkor x 0 a polinom állandó tagjának osztója. (b) Az egész együtthatós p(x) := a 0 + a 1 x + + a n x n (x R, a n 0, n 1) polinomnak csak olyan u/v (v 0 és u, v relatív primek) racionális szám lehet gyöke, amelyre teljesül az, hogy u az a 0 -nak, v pedig az a n -nek osztója. F41. Keresse meg az alábbi polinomok egész gyökeit: (a) x 2 + x 2 (x R), (c) x 3 x 2 25x + 25 (x R), (b) x 3 x 2 4x + 4 (x R), (d) x 5 4x 3 3 (x R). F42. Határozza meg a következő polinomok valamennyi valós gyökét: (a) x 3 2x + 1; (b) x 3 + x 2 14x 24; (c) x 3 + 9x 26; (d) x 4 6x 3 + 10x 2 2x 3; (e) x 4 2x 3 + 4x 2 + 2x 5; (f) x 3 1. F43. Határozza meg a b valós számot úgy, hogy a x 5 bx 2 bx + 1 polinomnak ( 1) legalább kétszeres gyöke legyen! 9
8. Valós-valós függvények (Nevezetes függvények, ábrázolás, műveletek) Valós-valós függvények ábrázolása függvénytranszformációval F44. Vázolja az alábbi függvények grafikonját: (a) 2x 2 5x + 3 (x R); (b) 2x + 3 (x R \ 1}); x 1 (c) x + 1 7 (x R); (d) x 2 5x + 6 (x R); 3x 1 (e) + 1 (x [ 1 4 3, + )); (f) sin ( ) x π 4 + 1 (x R); (g) 3 sin x + cos x (x R); (h) sin 1 (x R \ 0}); x (i) 2 3 x 3 5 (x R); (j) ( 1) x+1 (x R). 3 Vizsgálja meg, hogy az elemi tulajdonságok közül melyekkel rendelkeznek a fenti függvények. F45. Vázolja az alábbi függvények grafikonját: (a) log 3 (x 2) (x > 2), (b) log 3 x 2 (x R \ 2}), (c) log 1 (x 2) (x > 2), (d) log 1 x 2 (x R \ 2}). 3 3 F46. Thomas 32. oldal 15 20. feladatok. F47. Thomas 49. oldal 29 48. feladatok. F48. Thomas 50. oldal 61 68. feladatok. F49. Thomas 58. oldal 13 26. feladatok. F50. Thomas 71. oldal 59 68. feladatok. Algebrai műveletek valós-valós függvények között F51. Thomas 43. oldal 1. PÉLDA. F52. Thomas 48. oldal 1 4. feladatok. 10
Valós-valós függvények kompozíciója (összetett függvénye) Definíció. Legyen f és g olyan valós-valós függvény, hogy x D g elem, amelyre g(x) D f. Ebben az esetben az f (külső) és a g (belső) függvény összetett függvényét (vagy más szóval f és g kompozícióját) az f g (olv. szimbólummal jelöljük, és így értelmezzük: f kör g) f g : x D g g(x) D f } R, x f(g(x)). F53. Thomas 45. oldal 3. PÉLDA. F54. Írja fel az f g és a g f kompozíciót a következő függvények esetében: (a) f(x) := 1 x (x (, 1]), g(u) := u 2 (u R); (b) f(x) := 1 x 2 (x R), g(u) := u (u R + 0 ); (c) f(x) := x (x R), g(u) := u 2 (u R); (d) f(x) := sin x (x R), g(u) := 1 u (u > 0); (e) f(x) := x 2 (x R), g(u) := 2 u (u R); (f) f(x) := sin x (x R), g(u) := u (u 0). F55. Thomas 49. oldal 12 14. feladatok. F56. Thomas 71. oldal 55 58. feladatok. Valós-valós függvények inverze Definíció. Az f valós-valós függvény invertálható (vagy injektív), ha az f értékkészletének minden eleme az értelmezési tartományának pontosan egy eleméhez van hozzárendelve, azaz y R f -hez egyetlen olyan x D f amelyre y = f(x). Ebben az esetben az R f D f, x y, amelyre f(y) = x függvényt az f inverz függvényének nevezzük és az f 1 szimbólummal jelöljük. F57. Jegyezze meg a következőket: Ha az f függvény invertálható, akkor (a) az f függvény és az f 1 inverze esetében az értelmezési tartomány és az értékkészlet helyet cserél: D f 1 = R f és R f 1 = D f, 11
(b) f 1( f(x) ) = x (x D f ) és f ( f 1 (y) ) = y (y D f 1). (c) Ha az f : (a, b) R függvény szigorúan monoton növekedő (vagy csökkenő), akkor invertálható (van inverze). (d) Az f és f 1 függvény grafikonjai egymásnak az y = x egyenletű egyenesre vonatkozó tükörképei. F58. Bizonyítsa be, hogy az alábbi függvények nem invertálhatóak: (a) R x x 2, (b) [ 3, 3] x 9 x 2, (c) R x sin(5x + 1), (d) R x x 2 7x + 12. F59. Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben az alábbi függvényeket és az inverzüket. Írja fel mindegyik esetben az f 1 inverzfüggvényt is: (a) f(x) := x 2 + 1 (x 0); (b) f(x) := x 2 (x 0); (c) f(x) := x 3 1 (x R); (d) f(x) := x 2 2x+1 (x 1); (e) f(x) := (x + 1) 2 (x 1); (f) f(x) := x 2/3 (x 0). F60. Mutassa meg, hogy az alábbi függvények invertálhatók, és állítsa elő az inverzüket: (a) R x 2x 3; (b) R x 5 x + 1; (c) R x 3 1 x 3 ; (d) R \ 3/2} x x 2 2x + 3 ; (e) R x (1 x 3 ) 1/5 + 2; (f) R x 3 x + 2; 7x 5, ha 1 x < 1 3 (g) f(x) := 2, ha 1 x 2; 1 + x x, ha x < 1 (h) R x x 2, ha 1 x 4 3x + 4, ha 4 < x. F61. Igazolja, hogy az alábbi függvényeknek van inverzük és adja meg az inverz függvényeket: (a) R x x 3 + 6x 2 + 12x; (b) R x x 3 3x 2 + 3x + 4. 12
9. Valós-valós függvények határértéke Megjegyzés. Kiemeljük az alábbi megjegyzendő!!! nevezetes határértékeket: 1 o sin x x 0 x = 1. 2 o Később majd megmutatjuk, hogy az f(x) := (1+1/x) x (x > 0) függvénynek (+ )-ben van határértéke. Igazolható, hogy ez a határérték irracionális, sőt transzcendens szám. Ez utóbbi azt jelenti, hogy nincs olyan egész együtthatós polinom, aminek ez a szám gyöke lenne. (A 2 szám például irracionális, de nem transzcendens szám, mert 2 gyöke az x 2 2 = 0 egyenletnek.) A szóban forgó határértéket az e szimbólummal szokás jelölni (ezt tekintjük az e szám definíciójának): e := x + ( 1 + 1 x) x. Az e számot ami a metematika egyik legfontosabb állandója Euler vezette be az 1748-ban megjelent Introductio in Analysin Infinitorum című munkájában. Az e tehát egy végtelen, nem szakaszos tizedes tört alakban írható fel. Az első néhány számjegeye: e = 2.71828.... Az e alapú exponenciális függvényt (azaz az R x e x függvényt) természetes alapú exponenciális függvénynek, az e alapú logaritmusfüggvényt (azaz a log e függvényt) természetes alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük. Ezt a log vagy az ln szimbólumokkal szokás jelölni. (Ábrázolja a függvényeket!) F62. Mit jelent az, hogy (a) f(x) = 7; x 2 (c) f(x) = 1; x 0 (e) x 1 f(x) = ; (g) (i) (b) f(x) = ; x 2 (d) f(x) = 1; + x 0 (f) x 1 + f = +. f(x) = 1; (h) f(x) = 1. x + x f(x) = + ; (j) f(x) =. x + x + (k) f(x) = + ; (l) f(x) =. x x Mindegyik esetben adjon meg explicit képlettel olyan függvényt, amelyikre teljesül a szóban forgó reláció. 13
F63. Szemléltesse az alábbi függvények grafikonját. Határértékekkel fejezze ki a függvény x 0 pont körüli viselkedését: (a) hatványfüggvények, x 0 = +, illetve x 0 = ; (b) a természetes alapú exponenciális függvény, x 0 = +, illetve x 0 = ; (c) a természetes alapú logaritmusfüggvény, x 0 = 0 +, illetve x 0 = + ; (d) a tangensfüggvény, x 0 = π 2. Útmutatás. (a) Minden n = 1, 2,... számra x + xn = + ; x xn = +,, ha n páros ha n páratlan. (b) (c) d x + ex = + és x ex = 0. x + ln x = + és ln x =. x 0 + tg x = és x ( tg x = +. π + 2 ) x ( π 2 ) F64. Thomas 111. oldal 2. feladat. F65. Thomas 100. oldal 57. feladat. F66. A definíció alapján igazolja, hogy (a) x 2 x = 2; (c) x (b) x 2 1 (x 2) 4 = + ; 3x 2 1 + x 2 = 3; (d) Thomas 99. oldal 34. feladat. F67. A határértékre vonatkozó tételek (valamint a szorzatra bontás vagy a gyöktelenítés cselek) felhasználásával számítsa ki az következő határértékeket: ( 1 (a) x 1 x 1 3 (c) x 5 (e) x 0 x 1 2 ) ( 1 ; (b) x 3 1 x 1 x 1 2 ) ; x 3 1 1 + x + x2 1 ; (d) ; x 5 x 0 x 1 + x 1 x 2 ; (f) x( x 2 + 1 x ) ; 1 + x 1 x + (g) Thomas 90. oldal 17 36. feladatok. 14
Útmutatás. (a) A műveletek és a határérték kapcsolatára vonatkozó tételeink most nem használhatók (egyik tagnak sincs határértéke; miért?) Ilyen esetekben az adott kifejezés alkalmas átalakításával igyekszünk olyan, az eredetivel egyenlő kifejezést kapni, amelyre az említett tételek már alkalmazhatók. (Általános módszer nincs, néhány típuspéldát ismerjenek meg.) Ebben az esetben az alkalmas átalakítás: 1 x 1 3 x 3 1 = (x3 1) 3(x 1) ( mivel x 3 (x 1)(x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1) ) = 1) = (x 1)(x2 + x + 1) 3(x 1) (x 1)(x 1)(x 2 + x + 1) Az utolsó kifejezés x 1 esetén nyilván 1+2 1-gyel egyenlő. = = x 2 + x 2 (x 1)(x 2 + x + 1) = (x 1)(x + 2) (x 1)(x 2 + x + 1) = x + 2 x 2 + x + 1. 1+1+1 = 1-hez tart, ezért a kérdezett határérték (d) Most 0 0 típusú kifejezésről van szó (a számláló és a nevező is 0-hoz tart, ha x 0). Az alkalmas átalakítás ebben és a hasonló jellegű esetben a gyöktelenítés: 1 + x + x2 1 1 + x + x2 1 1 + x + x2 + 1 = x x 1 + x + x2 + 1 = = x + x 2 x 1 + x + x 2 + 1 = 1 + x 1 + x + x2 + 1. Itt a számláló 1-hez, a nevező 2-höz tart, ha x 0, ezért az utolsó tört (következésképpen az eredeti kifejezés) határértéke x 0 esetén 1 2. (f) Ez is kritikus határérték (a műveleti tételeink nem használhatók, miért?). Az alkalmas átalakítás: x ( x2 + 1 x ) = x ( x2 + 1 x ) x2 + 1 + x x2 + 1 + x = = x x2 + 1 + x = 1 1 + ( 1 x ) 1, ha x +. 2 2 + 1 sin x F68. A x 0 x = 1 összefüggés felhasználásával számítsa ki az alábbi hárértékeket: (a) x 0 sin 7x sin 3x ; 1 cos x (b) ; x 0 x 2 tg x sin x sin x sin a (c) ; (d) x 0 x 3 x a x a (e) Thomas 112. oldal 29 32. feladatok. (a R); Útmutatás. (a) 0 0 típusú kifejezésről van szó (miért?). Az alkalmas átalakítás: sin 7x sin 7x = sin 3x 7x 3x sin 3x 7 3 = 7 sin 7x 3 7x 1 sin 3x 3x. 15
Mivel sin 7x x 0 7x = sin 3x x 0 3x = 1, ezért a műveletek és a határérték kapcsolatára vonatkozó tételek alapján sin 7x x 0 sin 3x = 7 3. (d) 0 0 típusú kifejezésről van szó (miért?). Az alkalmas átalakítás előtt most egy új változót vezetünk be: Legyen x a =: t. Ekkor Így sin x sin a x a = ( cos a ) sin t t x = a + t és x a t 0. = sin(a + t) sin a t ( sin a ) 1 cos t t = ( cos a ) sin t t = sin a cos t + cos a sin t sin a t = ( cos a ) sin t t ( sin a ) sin t 2 t 2 = ( sin a ) 2 sin2 t 2 t sin t 2. Ebben az alakban már alkalmazhatjuk a műveletek és a határérték kapcsolatára vonatkozó állításainkat. Mivel sin t = t 0 t t 0 t 2 sin t 2 ezért az utolsó kifejezés határértéke cos a, tehát = 1 és t 0 sin t 2 = 0, = sin x sin a = cos a. x a x a F69. A kifejezések alkalmas átalakítása után a határértékre vonatkozó tételek felhasználásával számítsa ki az következő határértékeket: (a) (c) x + x 2x 2 + 1 x 2 2x + 1 ; (b) 3x 2 2x + 5 x + x 3 + 1000 ; x 5 + 3x 2 + 1 ; (d) x 2 10x + 1 x (e) Thomas 112. oldal 47 62. feladatok. Útmutatás. (a) x + (b) (c) 2x 2 + 1 3x 2 2x + 5 = x 2 1 2x + 1 x + x 3 + 1000 = x 2 x + 1 2 x 3 x + 1 + 1000 x 3 x + 3 x 5 x 3 x + 5 x ; 2 + 1 x 2 3 2 x + 5 x 2 = 2 3. = 0. x 5 + 3x 2 + 1 x x 2 10x + 1 = x 3 + 3 + 1 x 2 x 1 10 x + 1 =. x 2 16
10. Valós-valós függvények folytonossága (x R\0}) függvény a 0 pontban folytono- F70. Kiterjeszthető-e az f(x) = x sin 1 x san? Útmutatás. Az f függvény az x 0 = 0 pontban nincs értelmezve, de ebben a pontban f-nek van határértéke: x sin 1 x 0 x = 0, ui. x x sin 1 x x (x R \ 0}) és x = 0, ezért a közrefogási elvből következik, x 0 hogy a fenti határérték valóban 0. Következésképpen az F (x) := x sin 1 x, ha x R \ 0} 0, ha x = 0 függvény folytonos a 0 pontban; és ez f folytonos kiterjesztése. F71. Határozza meg az alábbi függvények szakadási helyeit és azok fajtáját: x 2 5x + 6, ha x R \ 2, 5} (a) f(x) := x 2 7x + 10 0, ha x = 2, x = 5; sin x, ha x R \ 0} (b) f(x) := x 1, ha x = 0; e 1/x, ha x R \ 0} (c) f(x) := 1, ha x = 0. Útmutatás. (a) Mivel x 2 7x + 10 = (x 2)(x 5), ezért 2 és 5 a nevező zérushelye. Racionális törtfüggvény az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos, ezért f az R \ 2, 5} halmaz minden pontjában folytonos. A további vizsgálatokhoz alakítsuk át a hozzárendelési utasítást: x 2 5x + 6 (x 2)(x 3) x 2 = 7x + 10 (x 2)(x 5) = x 3 x 5 = 1 + 2 x 5 Legyen x 0 = 2. A fentiek alapján x 3 f(x) = x 2 x 2 x 5 = 1 f(2) = 0, 3 ezért az x 0 = 2 pont az f függvénynek megszüntethető szakadási helye. Legyen most x 0 = 5. Ekkor (x R \ 2, 5}). x 5 x 5 f(x) = és f(x) = + (miért?), + 17
ami azt jelenti, hogy az x 0 = 5 pont az f függvénynek másodfajú szakadási helye. (b) f a 0-tól különböző pontokban folytonos (miért?). Az x 0 := 0 pontban megvizsgáljuk az egyoldali határértékeket: sin x f(x) = x 0 + x 0 + x = 1, f(x) = sin x x 0 x 0 x = 1. Ezek különbözők, ezért f nem folytonos a 0 pontban. Itt ugrása (vagy elsőfajú szakadási helye) van. (c) f a 0-tól különböző pontokban folytonos (miért?). Az x 0 := 0 pontban megvizsgáljuk az egyoldali határértékeket: f(x) = x 0 + x 0 e 1 1 x = + x 0 + e (a t := 1 1/x x f(x) = e 1 1 x = (a t := x 0 x 0 x A 0 pont tehát másodfajú szakadási hely. új változóval) = új változóval) = 1 t + e t = 0. t + et =. F72. Az α R paraméter mely értékei esetén lesz mindenütt folytonos a következő függvény: αx 2 + 4x 1, ha x 1 (a) f(x) := x + 3, ha 1 < x; x 2 α 2, ha x < 4 (b) f(x) := αx + 20, ha x 4; 1, ha x > 0 (c) f(x) := e x + α, ha x 0; (d) f(x) := 2x αx 1, ha x 1 3x 2 + 1, ha 1 < x. Útmutatás. (a) Az f függvény minden x 0 R \ 1} pontban folytonos. Az x 0 = 1 pontban létezik a jobb oldali- és a bal oldali határérték is, és x 1 f(x) = + +( x + 3) = 2, x 1 f(x) = + 4x 1) = α + 3, x 1 x 1 (αx2 ezért ebben az esetben a függvény akkor és csak akkor folytonos, ha ezek a határértékek megegyeznek, azaz pontosan akkor, ha α = 1. 18
(c) Az elemi függvények folytonosságára, valamint a folytonosság és a műveletek kapcsolatára vonatkozó tételünkből következik, hogy az f függvény a 0-tól különböző pontokban folytonos. Az x 0 = 0 pontban először az egyoldali határértékeket számítjuk ki. Világos, hogy Mivel ezért x 0 f(x) = ( 2x + α) = α. x 0 ( x + 1 ) = + és x 0 + x y + ey = +, 1 f(x) = x 0 + x 0 + e x+ 1 x A függvény a 0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha a bal- és a jobb oldali határértékek megegyeznek, azaz pontosan akkor, ha α = 0. F73. Adjon példát olyan olyan, az egész R-en értelmezett függvényre, amelyik (a) sehol sem folytonos; (b) csak a 0 pontban folytonos. = 0. Útmutatás. (a) Az Gondolja meg a következőket: f : R R, f(x) := 1, ha x racionális 1, ha x irracionális; függvény sehol sem folytonos. (Ábrázolja a függvény grafikonját!) (b) Az f : R R, f(x) := x, ha x racionális x, ha x irracionális függvény csak az x 0 = 0 pontban folytonos. (Ábrázolja a függvény grafikonját!) F74. Legyen f és g valós-valós függvény. (a) Lehet-e az f +g, fg, f/g függvény folytonos az x 0 D f D g pontban, ha az f és a g függvénynek az x 0 pont szakadási helye? (b) Tegyük fel, hogy az f függvény folytonos, a g függvénynek pedig szakadása van az x 0 D f D g pontban. Lehet-e az f + g, fg, f/g függvény folytonos x 0 -ban? Útmutatás. (a) Legyen f(x) := 1, ha x Q 1, ha x Q = R \ Q 19
és g := f. Ezek a függvények az értelmezési tartományuk egyetlen pontjában sem folytonosak (mindegyik pont másodfajú szakadási hely), ugyanakkor az f + g, fg, f/g és f 2 függvény mindegyike mindenütt folytonos. (b) Ha az x 0 D f D g pontban f folytonos és g-nek szakadása van, akkor az f + g függvénynek is szakadása van az x 0 pontban. Az ellenkező esetben ui. az (f + g) f = g függvény is folytonos lenne x 0 -ban. Az fg lehet folytonos x 0 -ban. Legyen például f(x) := x (x R), 0, ha x R \ 0} g(x) := 1, ha x = 0 és x 0 := 0. F75. Bizonyítsa be, hogy minden páratlan fokszámú, valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Útmutatás. Legyen p(x) := α 2n+1 x 2n+1 + + α 0 (x R) egy páratlan fokszámú valós együtthatós polinom, és tegyük fel, hogy α 2n+1 > 0. Ekkor p(x) = és p(x) = +. (Miért?) x x + Ezért léteznek olyan x 1 < 0 < x 2 számok, amelyekre p(x 1 ) < 0 < p(x 2 ) teljesül. A p függvény folytonos az [x 1, x 2 ] intervallumon (is), ezért Bolzano tételéből következik, hogy van olyan ξ [x 1, x 2 ] R pont, amelyre p(ξ) = 0. F76. Igazolja, hogy az egyenleteknek van megoldása. e x = 2 x Útmutatás. Tekintsük az f(x) := e x 2 + x (x R) függvényt. f(0) = 1 és f(1) = e 1 > 0. Mivel f folytonos R-en, ezért folytonos a [0, 1] intervallumon is, így Bolzano tétele alapján van olyan ξ (0, 1) pont, amelyre f(ξ) = 0, azaz e ξ = 2 ξ teljesül. F77. Bizonyítsa be, hogy az x 3 + x 1 polinomnak pontosan egy valós gyöke van, és számítsa ki ezt a gyököt 10 1 pontossággal. 20