SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

Hasonló dokumentumok
Gyakorló feladatok II.

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

Analízis I. gyakorlat

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

NBI/B Nıi Keleti csoport bajnokság évi sorsolása

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

1. gyakorlat - Végtelen sorok

I. rész. Valós számok

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ ÉVI III. TÖRVÉNY A POLGÁRI PERRENDTARTÁSRÓL ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I.

Kalkulus II., második házi feladat

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

BÉLYEGZŐK NYILVÁNTARTÁSA

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

3.f. fond Református Szeretetszolgálat intézményeinek iratai

II. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK

Draft version. Use at your own risk!

V. Deriválható függvények

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

NB I/B nők kelet

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

A primitív függvény és a határozatlan integrál 7

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ ÉVI I. TÖRVÉNY A MUNKA TÖRVÉNYKÖNYVÉRŐL*.4 ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK.4 I. FEJEZET BEVEZETŐ RENDELKEZÉSEK.

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

Összefoglaló tájékoztatás visszavonása

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

Nevezetes sorozat-határértékek

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

ÍRÁSBELI SZAVAZÁS /ELJÁRÁSI SZABÁLYOK/ FŰTÉSI ENERGIAKÖLTSÉG-CSÖKKENTÉS 2013.

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

Matematika I. 9. előadás

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Az Európai Unió Hivatalos Lapja

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

elérhetősége: 1037 Budapest, Csillaghegyi út 25. postacím: 1300 Budapest, Pf.: 152., tel: , fax:

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ...7 GYAKRABBAN HASZNÁLT RÖVIDÍTÉSEK ÉVI XCIII. TÖRVÉNY AZ ILLETÉKEKR L...9

I. t. Kalicz : Rézkori lelet Paszab községben

Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

I/A.sz. kút műszaki adatai. Kateszteri szám: K-247 Kút melléfúrásos felújítása: Csövezett kút talpmélysége: 80 m.

Temetési helyek, illetőleg az újraváltás díjai. 10 évre 20 évre. 20 évre. 20 évre

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l n 6n + 8

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

(arcsin x) (arccos x) ( x

Az Veszprém Megyei Katasztrófavédelmi Igazgatóság irányítási rendje

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

Bevezető analízis II. példatár

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

dr. Gyulai László Illés Ivánné dr. Paróczai Péterné dr. Sándorné Új Éva PÉNZÜGYEK PÉLDATÁR a mérlegképes könyvelõk írásbeli vizsgáihoz

Függvényhatárérték-számítás

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015

Kézilabda évi NB I férfi felnőtt

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

a legjobb kezekben K&H Csoport

JOGSZABÁLY-ISMERTETİ TÖRVÉNYEK

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

Segédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához

Andai Attila: november 13.

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Meghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

KERÜLETI HELYI ADÓK (ÉPÍTMÉNYADÓ, TELEKADÓ, IDEGENFORGALMI ADÓ) MÉRTÉKE 2009., 2010., 2011., ÉVBEN

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

A termékenység területi különbségei

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Átírás:

SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )...... 6 4 8 5 5 5 5 4)...... 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I. Megoldások ) S, S 5 ) S, S 4 45 4 ) 5 5 S, S 8 8 8 4) 5 5 S, S 6 0 6 II. Határozza meg az alábbi umerikus sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét a parciális törtekre botás módszerével! )...... 4 45 )...... 4 47 )...... 4 4)...... 5 57 57 9 5 5) 6) 7) 5 5 6 6 8

II. Megoldások ) S, S ) S, S ) S, S 4 4) S, 4 S 5 5 60 5) S, S 4 4 4 6) S, S 5 5 5 7) S, S 4 4 III. Határozza meg az alábbi umerikus sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! ) ) ) 4) l 5) l III. Megoldások ) S, S ) S, S 8 8 ) S, S 4) S l, S l 5) S l, S l

IV. A kovergecia szükséges feltételére törtéő hivatkozással igazolja, hogy az alábbi sorok divergesek! 4 ) ) ) 4 IV. Megoldás: Nem teljesül a lim a 0 szükséges feltétel. V. Az összehasolító kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! 4 ) ) ) 4) 5 5 5 5 4 l l 5) 6) 7) 8) 9) 0) l 5 5 ) ) ) 4) 5) 5 V. Megoldások ) Koverges ) Koverges ) Koverges 4) Diverges 5) Diverges 6) Diverges 7) Koverges 8) Diverges 9) Koverges 0) Diverges ) Koverges ) Diverges ) Diverges 4) Diverges 5) Koverges VI. A gyök kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! a ) ) ) 6 5 4) 5) 6) 5 6 5 7) 8) 9) 0) ) ) l VI. Megoldások ) Koverges ha 0 < a < és diverges ha a ) Koverges ) Diverges 4) Koverges 5) Koverges 6) Koverges 7) Koverges 8) Koverges 9) Koverges 0) koverges ) Koverges ) Diverges

VII. A háyados kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! a! a e a 6... 5 4!! 58... 59... 4 l 58... 5... ) ), 0 )!! 5... 4) 5) 6) 4! 7) 8) 9)! 0) ) ) l! VII. Megoldások ) Koverges ) Koverges ha a < e és diverges ha a > e a = e eseté a kritérium em alkalmazható. ) Koverges 4) Diverges 5) Diverges 6) Diverges 7) Koverges 8) Koverges 9) Diverges 0) Koverges ) Koverges ) Koverges VIII. Az itegrál kritérium segítségével vizsgálja meg az alábbi sorok kovergeciáját! l ) ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) e e l l VIII. Megoldások ) Diverges ) Diverges ) Koverges 4) Koverges 5) Koverges 6) Koverges 7) Diverges 8) Koverges IX. Külöböző kovergecia kritériumok felhaszálásával vizsgálja meg az alábbi pozitív tagú sorok kovergeciáját.!! ) ) ) 4)!! 5) 6) 7) l 8) l 9) 0) ) ) ) 5... 4) 5) 48... 4

IX. Megoldások ) Diverges (háyados krit.) ) Koverges (háyados krit.) ) Koverges (háyados krit.) 4) Diverges (gyök krit) 5) Koverges (gyök krit.) 6) Koverges (gyök krit.) 7) Diverges (S felírása zárt alakba, és határérték számítás) 8) Koverges (S felírása zárt alakba, és határérték számítás) 9) Diverges (összehasolító krit.) 0) Koverges (összehasolító krit.) ) Koverges (összehasolító krit.) ) Koverges (összehasolító vagy itegrál krit.) ) Diverges (összehasolító krit.) 4) Koverges (összehasolító vagy itegrál krit.) 5) Koverges (háyados krit.) X. Igazolja, hogy az alábbi váltakozó előjelű sorok abszolút kovergesek! l! l ) ) ) XI. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok kovergeciáját! l cos ) ) ) 4) 4 XI. Megoldások ) Koverges ) Koverges ) Koverges 4) Koverges XII. Vizsgálja meg az alábbi váltakozó előjelű sorok kovergeciáját és abszolút kovergeciáját! l ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) l l l l XII. Megoldások ) Feltételese koverges ) Feltételese koverges ) Feltételese koverges 4) Feltételese koverges 5) Abszolút koverges 6) Abszolút koverges 7) Feltételese koverges 8) Feltételese koverges

XIII. Mutassa meg, hogy a következő váltakozó előjelű sorok esetébe em alkalmazható a Leibizféle kritérium, és vizsgálja meg a sorok kovergeciáját. )... ak, ak 4 4 k k )... 5 ak, a k k k )... a k, ak k 5 k 4)... ak, ak 7 5 9 4k 4k XIII. Megoldások ) Diverges ) Abszolút koverges ) Diverges 4) Feltételese koverges

. Függvéysorok, hatváysorok, Taylor-sorok XIV. A Weierstrass-kritérium segítségével bizoyítsa be, hogy a következő függvéysorok egyeletese kovergesek a megadott halmazo. ),, ), 0, ) cos,, e 4 4),, 5),, 6), 0, XV. Határozza meg a következő hatváysorok kovergecia sugarát! ) ) ) 4 5 0 l 4) 5)! 6)! 5! k! 7) 8) 9)!!!... k! 0) e e... e XV. Megoldások ) R = ) R = 4 ) R = e 4) R = 5) R = e 6) R = 7) R = 5 8) R = 4 9) R = 0) R = k k XVI. A következő hatváysorok esetébe határozza meg a kovergecia halmazt, vizsgálja meg a hogy a kovergecia itervallum végpotjaiba a hatváysorsor koverges-e illetve abszolút koverges-e! ) ) ) 5 4) 5) 6) XVI. Megoldások ) R =, KH = [0, ] A sor midkét végpotba abszolút koverges 7 ) R,, KH A sor midkét végpotba diverges. ) R =, KH = ], ] A sor a bal oldali végpotba diverges, a jobb oldaliba feltételese koverges

4) R =, KH = [, 4[ A sor a jobb oldali végpotba diverges, a bal oldaliba feltételese koverges 5) R, KH, 5 5 5 A sor a bal oldali végpotba feltételese koverges, a jobb oldali végpotba diverges. 6) R = e, KH = ] e, e[ A sor midkét végpotba diverges XVII. Nevezetes Taylor-sorok felhaszálásával határozza meg az alábbi függvéyek 0 pot körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor kovergecia sugarát! ) f ) f ) f e e 4) f e 5) f l 4 6) f 7) f arctg XVII. Megoldások!! ), R ), R!! 0 0 ), R 4), R!! 4!! 5... 5!! 46... 5) l 4, R 6), R 7), R jelölés : 4 XVIII. A parciális törtekre botás módszerét alkalmazva határozza meg az alábbi függvéyek 0 pot körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor kovergecia sugarát! ) 54 5 f ) f ) f 5 6 4) f 5) f 6) f 4 54 4 XVIII. Megoldások 7 ), R ), R 4 0 ), R 4), R 4 0 0 5 5), R 6), R 0 6 05 4

XIX. Határozza meg az alábbi itegrálfüggvéyek 0 pot körüli Taylor-sorát, és határozza meg a sor kovergecia sugarát! t ch arctgt ) t sh tdt ) dt ) dt t t 0 0 0 t t 4) dt 5) dt 6) l dt t 4 4 0 t 0 t XIX. Megoldások 4 ), R ), R!! 0!! 4!! ), R 4), R 4 0!! 5...!! 4 5), R jelölés :!!! 46... 6) 0l 5l l, R 0 XX. Határozza meg az alábbi lieáris differeciálegyeletekre voatkozó kezdeti érték problémák megoldását hatváysor alakjába, majd a sor összegzésével adja meg a megoldásfüggvéyt! ) y y 0, y 0 y y ) 0, 0 0 ) y y 0 y 0 0, y 0 y y y y y y y y y 4) 0, 0 0, 0 5) 5 4 0, 0, 0 0 XX. Megoldások 0 0!!! ) y e ) y arctg! ) y si 4) y arcsi 0 0 0! 5) y!

XXI. A hatváysorok deriválására és itegrálására voatkozó tétel segítségével illetve evezetes Taylor-sorokra törtéő visszavezetéssel összegezze az alábbi függvéysorokat! l l ) ) )!! 0 0 0 0 0 4) 5) 6) 7) 8) 9)! 0)! XXI. Megoldások ) S, 0 ) S, 0 ) S l, 4) S, 5) S, arctg 6) S, 7) S, 8) S, 9) S e, R 0) S e, R 4 XXII. Egy alkalmas Taylor-sorra törtéő visszavezetéssel határozza meg az alábbi umerikus sorok összegét! ) ) ) 4)!!! 0 0 5 5 5)... 6)... 4 5 46 7 4 46 XXII. Megoldások: ) S e ) S e ) S cos si 4) S 5) S 6) S XXIII. Egy alkalmas Taylor-sor felhaszálásával határozza meg a következő függvéyértékeket közelítőleg 0 4 potossággal! ) cos ) si0 ) 0 4) l, XXIII. Megoldások: ) 0,9998 ) 0,76 ) 5,0658 4) 0,8

XXIV. Az alábbi feladatokba alkalmazza a megfelelő Taylor-sort közelítő értékek meghatározására! ) Határozza meg közelítő értékét három tizedes potossággal az f arcsi függvéy 0 = 0 6 pot körüli Taylor-soráak felhaszálásával. ) Háy tagot kell figyelembe vei az f cos függvéy Taylor-sorából, hogy a cos8 függvéyértéket három tizedes potossággal kapjuk? ) Háy tagot kell figyelembe vei az f si függvéy Taylor-sorából, hogy a si5 függvéyértéket égy tizedes potossággal kapjuk? 4) Háy tagot kell figyelembe vei az f e epoeciális függvéy Taylor-sorából, hogy az e Euler-féle álladó értékét égy tizedes potossággal kapjuk? 5) Háy tagot kell figyelembe vei az f l függvéyértéket kettő illetve három tizedes potossággal kapjuk? függvéy Taylor-sorából, hogy az l 6) Számítsa ki 7 közelítő értékét két tizedes potossággal az f 8 függvéy 0-körüli Taylorsoráak felhaszálásával. 7) Mutassa meg Taylor-sorfejtés alkalmazásával a eek felhaszálásával adja meg a a közelítő formula helyességét, majd a közelítő értékét és számítso hibát! 8) Számítsa ki 4 9 közelítő értékét három tizedes potossággal! XXIV. Megoldások ) 5 0,5 6 4 5 ) Elég két tagot figyelembe vei 8 helyettesítésével 0 ) Elég két tagot figyelembe vei 5 helyettesítésével 4) Nyolc tagot kell figyelembe vei: 7 e! 5) Redre 99 db illetve 999 db tagot kell figyelembe vei az előírt potossághoz. 6),9 7) 4,8 a hiba: R 0,005 8),087

XXV. Az itegradus 0-körüli sorfejtésével számítsa ki az alábbi függvéyek f d határozott itegrálját 0 potossággal! sh ) f cos ) f ) f 4 XXV. Megoldások: ) 0,905 ),057 ) 0,97 0 XXVI. Számítsa ki a következő határozott itegrálok értékét 0 potossággal! 0 e arctg l arcsi ) d ) d ) d 4) d 0 5 0 XXVI. Megoldások: ),057 ) 0,488 ) 0,84 4) 0,507

. Fourier-sorok XXVII. Fejtse trigoometrikus Fourier-sorba az alábbi periodikus függvéyeket! A megadott itervallum mide esetbe a függvéy egy periódusa. a, 0 ) f ) f a, 0 A, 0 l, 0 ) f 4) f A /, l a 0, l itervallumo, 0 0 l l b, 0 5) f 6) f a, 0 a 7) f sg 8) f 9) f 0) f e ( a 0) ) f e ) f si a ( a Z) ) f si 4) f cos XXVII. Megoldások 4a si si ) f ) f 0 5 cos si ) f 5 4 A A 4 cos 4) f si 5) f l cos ba si 6) f b a a b 4 7) f si 8) f 4 cos 9) f si 0) f sh a a cos si a a e si a e 4 ) f cos ) f 4 si a cos 6 ) f cos 4) f si 4

XXVIII. Fejtse komple Fourier-sorba az alábbi periodikus függvéyeket! A megadott itervallum mide esetbe a függvéy egy periódusa. ), 0 f ) f e, 0 ) cos, 0, 0 f 4) f 0, 0, 5) L, 0 f L, 0 6) f ch( ) 0, 7), 0 T f 0, T 8) f si 0, XXVIII. Megoldások i i e sh i ) f ) f e i 0 0 i i L i i i e ) f e 4) f e i 4 i e sh 5) f e 6) c i 7) it i e f T e 0 i i i i i e e e e 8) c 0 ha c, c azaz f i i i