O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei külöbözőek és közülük potosa kettő prímszám Háy ilye égyjegyű természetes szám va? Megoldás: A -es számredszerbe a tíz darab számjegy között égy prímszám va, ezek a ; ; 5; 7 Ezekből két külöböző számjegy 6 -féleképpe választható ki Ha a két em prím számjegy közül az egyik a, akkor a másik em prím számjegy 5-féle lehet Mivel em állhat az ezresek helyé, ezért a égy külöböző számjegyek 8-féle sorredje lehetséges Ebből az következik, hogy a feltételekek megfelelő olya égyjegyű szám, amelyek jegyei között egy darab számjegy va, potosa 6 58 5 állítható elő Ha a két külöböző, em prím számjegy egyike sem, akkor a em prím számjegyek közül 5 két külöbözőt -féleképpe választhatuk ki A égy külöböző számjegyek -féle sorredjét állíthatjuk elő Ebből azt kapjuk, hogy a feladat feltételeiek megfelelő olya égyjegyű szám, amelyek jegyei között a számjegy em szerepel, potosa 6 darab va Tehát az olya -es számredszerbeli, külöböző számjegyekből álló égyjegyű számból, amelyek potosa két jegye prímszám, 5 98 darab va Összese: pot pot pot pot pot pot pot pot pot pot
Matematika I kategória Oldja meg a valós számpárok halmazá az egyeletredszert! Megoldás: A két egyelet megfelelő oldalait összeadva azt kapjuk, hogy y, 7 y () Ebből ekvivales átalakítással 5 y y pot () y y következik pot Látható, hogy () bal oldala két teljes égyzet összege, mégpedig () y A () összefüggés bal oldalá szereplő zárójeles kifejezések em egatívak, összegük akkor és csak akkor zérus, ha midkét kifejezés értéke zérus pot pot Ebből és y következik Az egyeletredszer egyetle megoldása tehát az ; y valós számpár Átalakításaik ekvivalesek voltak, ezért a kapott számpár az eredeti egyeletredszer midkét egyeletét kielégíti pot pot pot Összese: pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória Megoldás: Az első egyeletből kifejezhetjük az -et, ezzel () y pot Az () midkét oldalát égyzetre emelve y y pot Ezt a második egyeletbe helyettesítve és redezve: () y y y pot A () bal oldala szorzattá alakítható () y y y Mivel y y y y y y y y szereplő második zárójeles kifejezés is szorzattá alakítható Eszerit:, ezért a () bal oldalá pot () y y y A () egyelet bal oldalá y y y, ezért y y em lehetséges Ebből az következik, hogy () csak úgy teljesülhet, ha y Az y eredméyükből y adódik, ez pedig () alapjá azt jeleti, hogy Az egyeletredszer egyetle megoldása tehát az ; y valós számpár Átalakításaik ekvivalesek voltak, ezért az ; y számpár az eredeti egyeletredszer midkét egyeletét kielégíti Összese: pot pot pot pot pot pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória A BC átfogójú ABC derékszögű háromszög AB befogójáak A potból iduló félegyeesé megjelöljük azt a B potot, amelyre AB AB Azt tapasztaljuk, hogy az ABC és AB C háromszögek hasolók Bizoyítsa be, hogy az Megoldás: jelöléseik az ábrá láthatók AB C háromszögbe CB belső szögfelező! Legye ábra AC b és AB c Ekkor a feltételekek megfelelőe AB c AB C derékszögű háromszögek hasolók, hegyesszögeik párokét Mivel az ABC és egyelők Ezért az ábra jelöléseiek megfelelőe vagy A összefüggés azoba em állhat fe, mert az ABC szög a BB C háromszög külső szöge, ezért BCB, vagyis Ebből az következik, hogy csak, valamit ACB állhat fe Az ABC és AB C derékszögű háromszögek hasolósága azt is jeleti, hogy a megfelelő oldalak hosszáak aráya a két háromszögbe egyelő, azaz jelöléseikkel b c () c b Az () összefüggésből azt kapjuk, hogy b c, ahoa AC AB, ie AB AC () b c b Így () alapjá az ABC háromszögbe tg, ie pedig a hegyesszögre c 6 adódik, és ezzel Eszerit ACB és ACB 6, ez éppe azt jeleti, hogy az AB C háromszögbe CB belső szögfelező, és éppe ezt akartuk bizoyítai Összese: pot pot pot pot pot pot pot pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória p p Legyeek a egyelet valós gyökei és p p Határozza meg a p valós paraméter midazo értékeit, amelyekre feáll, hogy! p Megoldás: p Mivel p, ezért p, így a feladatbeli egyelet másodfokú, továbbá a bal oldalo szereplő törtek evezői miatt teljesül, hogy p és p Az egyeletek vaak valós gyökei, tehát az egyelet diszkrimiása em egatív valós szám: p () p p p pot Az () bal oldalá egyszerűsítés, a törtek közös evezőre hozása és a műveletek elvégzése utá azt kapjuk, hogy () 6 p p p p pot Mivel p, ezért a () egyelőtleség kétféle módo állhat fe: () 6p p és p, vagy () 6p p és p pot A 6p p egyeletek ics valós megoldása, mert az egyelet diszkrimiása egatív, tehát az p 6 p p Az p 6 p p f másodfokú függvéyek icse zérushelye f függvéy képe lefelé yíló parabola, ezért 6p p em lehetséges, vagyis a () egyelőtleségek em teljesülhetek egyetle p valós számra sem Ebből az is következik, hogy 6p p mide p valós számra igaz, tehát () alapjá a () egyelőtleség potosa akkor teljesül, ha (5) p pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória A másodfokú egyelet Viéte-formulái alapjá p és p p p p p pot Mivel a feladat feltétele szerit, p ezért, p p p p p p p ahoa egyszerűsítés, a műveletek elvégzése és redezés utá azt kapjuk, hogy, (6) 5p 7 p 6 pot A (6) másodfokú egyelet megoldásai p és 5 p pot A p megoldás em felel meg az (5) feltételek, ezért csak p lehetséges 5 pot p p A p értéket a egyeletbe helyettesítve a műveletek 5 p p elvégzése utá a 7 7 másodfokú egyeletet kapjuk, amelyek gyökei 6 85 6 85 és 7 7 Számolással elleőrizhető, hogy ezekre p mellett valóba teljesül, hogy 5 p Összese: pot pot pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória 5 Az a sorozatra teljesül, hogy a, és mide a a a Háy olya tagja va a sorozatak, amelyik agyobb -ál? Megoldás: Ha a, akkor az a a képzési szabály alapjá a is teljesül mide a eseté Mivel a, ezért a, ebből a, és ehhez hasolóa mide pozitív egész számra igaz, hogy a, vagyis a sorozat mide tagja pozitív szám a Vehetjük tehát az a képzési szabály két oldaláak a reciprokát: a () a a () alapjá felírhatuk egy darab egyeletből álló egyeletredszert: ; a a () a a a a ; pot pot pot Az egyeletek megfelelő oldalait összeadva kapjuk, hogy a a () pot Mivel a feltétel szerit a, ezért () alapjá, és ezzel a () a, ahol pozitív egész szám pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória A feladat kérdésére akkor adjuk meg a választ, ha megoldjuk az egyelőtleséget a * pot A () eredméy alapjá, ebből redezés utá következik * pot Eszerit a sorozatak potosa 5 olya tagja va, amelyek agyobbak -ál * pot Összese: pot Megjegyzés: az a alapjá a, és így a a, ahoa a műveletek elvégzésével azt kapjuk, hogy a a Ez azt jeleti, hogy mide pozitív egész számra a a, vagyis a a, tehát a sorozat szigorúa mooto csökkeő Számolással elleőrizhető, hogy a 5 és a 5 99 A sorozat szigorúa mooto csökkeő tulajdoságából tehát az következik, hogy a sorozatak valóba 5 olya tagja va, amelyek agyobbak -ál Ha a verseyző a feladat megoldását a sorozat szigorúa mooto csökkeő tulajdoságáak bizoyítására építve a feti módo fejezi be, a *-gal jelzett potokat megkapja OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória 6 A égyzet alakú ABCD asztallapra két egybevágó szabályos háromszöget terítük le az ábra szerit (a szabályos háromszögek oldalaiak hossza egyelő a égyzet oldalaiak hosszával) Határozza meg a kétszer lefedett rész területéek és a em fedett rész területéek aráyát! Megoldás: jelöléseik a ábrá láthatók ábra Az ADF és CDF szabályos háromszögek mide szöge 6 -os, oldalaik hosszát, és ezzel az ABCD égyzet oldalaiak hosszát is a -val jelöltük Az ADG háromszögbe GAD 6 és GDA, hisze GDA CDA CDE 9 6 Eszerit az ADG háromszög harmadik szöge derékszög, azaz AGD 9 A CDH háromszögbe hasolóképpe láthatjuk be, hogy HCD 6, HDC és CHD 9 Az is látható, hogy az ADG és CDH háromszögek egybevágó, a átfogójú derékszögű háromszögek, ezért T -gyel jelölt területük egyelő pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória Ismert, hogy azokba a a átfogójú derékszögű háromszögekbe, amelyekbe a hegyesszögek agysága és 6, a -os és 6-os szögekkel szembe levő befogók hossza redre a és a Ebből az következik, hogy: () AG CH a és GD HD a pot Abból, hogy AGD 9 és CHD 9, az is adódik, hogy EGK 9 és FHK 9 Mivel DEC 6 és AFD 6, ezért GEK 6, illetve HFK 6, ezzel pedig GKE és HKF Ugyaakkor GE DE GD és HF DF HD, ezért az EKG és FKH -os és 6-os hegyesszögekkel redelkező derékszögű háromszögekbe () HF a a GE és HK a a GK Az EKG és FKH háromszögekbe a megfelelő szögek egyelők, és () szerit két-két megfelelő oldaluk is egyelő, ezért a két háromszög egybevágó, tehát a T -vel jelölt területük egyelő Jelölje továbbá a kétszer fedett területet T, ez a DGKH égyszög területe, illetve jelölje a szabályos háromszögek által em fedett területet T Feladatuk a T T aráy meghatározása pot pot A ábrá az ADF és CDF szabályos háromszögekbe a GD illetve HD súlyvoalak felezik a megfelelő háromszögek területét, ezért () T T T, valamit () T TABCD T T T pot Mivel AG a és GD a, ezért T a, továbbá mivel GE a a és GK a a, ezért T a Ebből () alapjá a műveletek elvégzésével és egyszerűsítéssel kapjuk, hogy (5) a T pot OKTV 5/6 forduló
Matematika I kategória Felhaszáljuk, hogy T ABCD a, ezzel () szerit a T a a a, ahoa a műveletek elvégzése utá: (6) 5a Az (5) és (6) összefüggések szerit T T a (7) T 5a A (7) jobb oldalá szereplő tört számlálóját és evezőjét T a em változik, ezzel T 5 a -mal szorozva a tört értéke, az egyszerűsítéseket elvégezve pedig azt T kapjuk, hogy T 5 Eszerit a feladatba szereplő kétszer lefedett és a em fedett területek aráya T T 5 Összese: pot pot pot pot OKTV 5/6 forduló