Lineáris egyenletrendszerek

Hasonló dokumentumok
2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Mátrixok 2017 Mátrixok

A Gauss elimináció M [ ]...

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

LINEÁRIS ALGEBRA.

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása

Lineáris egyenletrendszerek. GAUSS ELIMINÁCIÓ (kiküszöbölés)

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Lineáris algebra. (közgazdászoknak)

4. Hatványozás, gyökvonás

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

Környezetfüggetlen nyelvek

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

Lineáris egyenletrendszerek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

Környezetfüggetlen nyelvek

Algebrai struktúrák, mátrixok

Néhány szó a mátrixokról

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek

Matematika példatár 6.

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

Lineáris programozás 2 Algebrai megoldás

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 2.

1. A kétszer kettes determináns

MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

1. Geometria a komplex számsíkon

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Lineáris egyenletrendszerek. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Mátrixok és determinánsok

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:

Lineáris programozás

Absztrakt vektorterek

A Riemann-integrál intervallumon I.

4. előadás: A vetületek általános elmélete

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Formális nyelvek I/2.

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Minta feladatsor I. rész

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Gauss elimináció, LU felbontás

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Bevezetés az algebrába 1

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Házi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

f (ξ i ) (x i x i 1 )

Bevezetés az algebrába 1

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes. Források, ajánlott irodalom:

Átírás:

Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek fel z ismeretlenek? előre meg kel mondni, mely testen keressük megoldást. A továikn megoldást R-en keressük.. Speciális eset: HA - nm, és z egyenletek függetlenek egymástól (egyiket sem lehet töiől lgeri átlkításokkl levezetni-ezt nehéz látni,de következő feltétel iztosítj) - det(a) kkor.) inverz mátri.) Crmer szály segítségével megkphtjuk meg z egyetlen megoldást. Áltlános eset: Guss elimináció..) Egyenletrendszer megoldás inverz mátri segítségével A A A A E A A Bércesné Novák Ágnes

Bércesné Novák Ágnes Péld: +y +y y A + + det(a) - - dj(a) det(a) A y / A, lról szorozv y y - y

.) Tétel (Crmer-szály): H A T n n és Ddet(A), kkor z A egyenletrendszernek pontosn egy megoldás vn. A megoldásn j D j/d, hol D j determinánst úgy kpjuk,hogy D-en j-edik oszlop helyére jo oldli konstnsokt (zz vektor komponenseit) írjuk. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m Pl: n n n n n n nn n n nn Bércesné Novák Ágnes

NEM KELL TUDNI, de h vlkit érdekel, itt Bizonyítás: Tfh. i -t szeretnénk kiszámítni. A módszer lényege, hogy z összes egyenletől kiküszööljük egyszerre z ismeretleneket, kivéve i -t. + ++ i i + n n + ++ i i + n n n + m ++ ni i + nn n n /D ni /D i /D i hol D ik z A együtthtómátrin z ik elemhez trtozó előjeles ldetermináns. Összedv z összes egyenletet és kiemelve z ismeretleneket következő dódik: BALOLDAL: ( D i + D i + n D ni )+ / (. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + ( D i + D i + n D ni )+ / (. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + ( D i + D i + n D ni )+ / (. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + i ( i D i + i D i + n D ni )+ / (i. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) + n ( n D ni + n D i + nn D ni ) / (n. oszlop) * (i. oszlophoz trtozó ldeterminánsok) i det(a), kifejtési tétel, illetve ferde kifejtés mitt JOBBOLDAL: D i + D i + D i + i D ii ++ n D ni n n n n nn BALOLDALJOBBOLDAL i det(a) n n n n nn Bércesné Novák Ágnes

. Áltlános eset, n egyenlet, m ismeretlen Guss elimináció (kiküszöölés) n n-es független egyenletekől álló lineáris egyenletrendszerre: Elve: Alsó (vgy felső) háromszög mátrin elemek létrehozás (lépcsős lk) után z ismeretlenek fokoztos közelítéssel (szukcesszív pproimáció) kphtók: Az egyenletrendszeren megengedett műveletek:.λ R, λ vl szorozni z egyenletet.. Vlmely egyenlethez egy másik egyenlet számszorosát hozzádni.. Egyenleteket felcserélni.. Az olyn egyenletet, melyen minden együtthtó és jooldli konstns, elhgyni (ez független egyenletekől álló rendszer esetén nem fordul elő). -. ún. elemi ekvivlens átlkítások. Az egyenletekől csk z együtthtókt és jooldli konstnsokt írjuk sorrendhelyesen egy mátri, melynek sorir ugynezek műveletek lklmzhtók. Ezt mátriot kiővített mátrink nevezzük. Péld: -y+z +y+z- -+y-z Rövidített jelölés - kiővített mátri: Első sor -szeresét hozzádjuk második sorhoz, első sort hozzádjuk hrmdik sorhoz: A főátló ltti elemek nullák, létrejött z lsó háromszömátri. Eől már z ismeretlenek könnyen kphtók: z, z y+-z-, z-t ehelyettesítve, y + +, (y-t és z-t már ehelyettesítettük), - Bércesné Novák Ágnes

Bércesné Novák Ágnes Guss elimináció lgoritmus : A k. lépésen kk segítségével nullázzuk z kk ltti elemeket, k:,,m (m z ismeretlenek szám). H kk null, kkor felcseréljük egy lklms, lk helyén nem null elemet trtlmzó sorr. Kérdés: Mi helyzet, h nem tlálunk lk helyén nemnull elemet? Guss-Jordn elimináció n n-es, független egyenletekől álló lineáris egyenletrendszerre: Az előzőhöz hsonló módszerrel főátló feletti elemek is kinullázhtók. Az utolsó sor - szörösét hozzádjuk második sorhoz, z utolsó sor kétszeresét hozzádjuk z első sorhoz, igy nullázzuk. oszlop felső elemeit: A második sort osztjuk -tel, hogy főátlón legyen, mjd második sor kéteszresét hozzádjuk z első sorhoz : Igy főátló fölött is csup null áll, z ismeretlenek értékei rögtön kiolvshtók: -, y, z

Guss-Jordn elimináció lgoritmus :. Guss elimináció. Mivel főátló ltti elemek nullák, z együtthtó mátri utolsó soránk csk z utolsó eleme nem null, így osztássl könnyen egyest hozhtunk létre. Ezután ezzel z egyessel nullázzuk felette levő számokt. A következő lépésen z előtte levő oszlop főátlóeli elemét redukáljuk -re, mjd ennek sgítségével nullázzuk felette levő elemeket, és így tová. Röviden: A k. lépésen n-k,n-k -t osztjuk önmgávl, így -t kpunk, és ennek segítségével nullázzuk z kk feletti elemeket, z utolsó soról indulv. K:,,m (m z ismeretlenek szám) Az így kpott lépcsős lkot, mikor főátló felett is nullák állnk, redukált lépcsős lknk nevezzük. A fenti leírás szerint létrhozott lépcsős lkn szerplő egyeseket, mlyek tehát különöző sorokn és oszlopokn, föátlón helyezkednek el, vezéregyeseknek nevezzük. Független rendszer esetén nincsenek csup nulláól álló sorok. De ún. tilos sorok előfordulhtnk, mennyien z egyenletrendszer ellentmondó egyneleteket trtlmzekkor nincsen megoldás. Tilos sor : z dott sorn z együtthtó mátri elemei mind nullák, de kiővített mátrin -nek megfelelő elem nem. Péld: tilos sor.:, mert +y+z!!!! Tétel: I. Az egyenletrendszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h nincs lépcsős lkn tilos sor. II. Egyértelmű megoldás, h nincs tilos sor, és vezéregyesek szám egyenlő z ismeretlenek számávl. Bércesné Novák Ágnes 7

Homogén lineáris egyenletrendszer A Triviális megoldás: Homogén lineáris egyenletrendszernek mindig vn ún. triviális megoldás: n. H det(a), hol A együtthtókól képezett mátri. kkor vn triviálistól különöző megoldás, mit Guss eliminációvl tlálhtunk meg. DE h det(a), kkor csk triviális megoldás vn. Tétel: H z egyenletrendszernek egyértelmű megoldás, kkor z ismeretlenek szám(n) < egyenletek szám (k). Biz.: egyértelmű n d vezéregyes, n ismeretlenek szám mivel ezek különöző sorokn vnnk, n<k, hiszen felesleges sor lehetséges, ez nem rontj el z egyenletrendszer egyértelmű megoldását. Tétel: H homogén lineáris egyenletrendszeren k<n, kkor létezik triviálistól különöző megoldás. Biz.: Indirekt: Tfh, hogy csk triviális megoldás létezikegyértelműn<k, de ez nem igz, mert k>n. Bércesné Novák Ágnes 8

Megjegyzések:. A megoldásokszám NEM függ z egyenletek számánk és z ismeretlenek számánk viszonyától.. Tö (végtelen elemszámú test esetén végtelen) megoldás esetéen nem tetszőleges z ismeretlenek válsztás. Azok z ismeretlenek válszthtók szdon, melyekkel, és csk zokkl tö ismeretlen kifejezhető. Ez lépcsős lkól könnyen következtethető: zok z ismeretlenek válszthtók szdon, melyeknek oszlopán nincsen vezéregyes. Péld: Mivel. és. oszlopn nincsen vezéregyes, ezért ezen helyeken álló ismeretlenek szdon válszthtók: + ++- - - + - - -+ + - Ennek z egyenletrendszernek tehát vlós számok köréen végtelen sok megoldás vn; h, és értékét rögzítjük, kkor minden olyn számötös, melyeket úgy kpunk, hogy rögzített, értékekkel kiszámítjuk velük kifejezett,, ismeretleneket, z egyenletrendszer egy megoldását kpjuk. TANULJUK MEG AZ ALÁBBI PROGRAMOK SEGTÍSÉGÉVEL! http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi A serch for lk írj e: Guss elimintion z új lpon klikkeljen Visul Guss linkre. Itt interktív gykorltokt tlál Guss eliminációr és sok más lineáris lgeri feldtr. Jó szórkozást! (merthogy jó munk is z :) Másik elemi sorműveleteket elvégző klkulátor: http://www.mth.ncsu.edu/m/tools/row_ops.html Bércesné Novák Ágnes 9