1 Operációkutatás példatár
2 1. Lineáris programozási feladatok felírása és megoldása 1.1. Feladat Egy gazdálkodónak azt kell eldöntenie, hogy mennyi kukoricát és búzát vessen. Ha egységnyi földterületen kukoricát termel, akkor az heti 4 óra munkát igényel, melynek eredményeképp 5 tonna kukorica terem. Egységnyi földterületen a gazda 3 tonna búzát tud termelni heti 2 óra munkával. A gazdálkodónak heti 40 óra munkaidő és 4 egység föld áll rendelkezésére. Egy tonna kukorica eladási ára 4 dollár, egy tonna búzáé pedig 3 dollár. Feltételezzük, hogy költségei nincsenek. a) Írjuk fel a gazdálkodó profitmaximalizálási problémáját kifejező LP feladatot! b) Oldjuk meg a feladatot grafikusan! 1.2. Feladat Oldjuk meg az alábbi feladatot grafikusan! 1.3. Feladat Oldjuk meg grafikusan az alábbi feladatot!
3 1.4. Feladat Oldjuk meg grafikusan az alábbi feladatot! 1.5. Feladat Oldjuk meg az előbbi feladatot úgy, hogy minimalizáljuk a célfüggvényt! 2. Lineáris programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel 2.1. Feladat
4 2.2. Feladat 2.3. Feladat 2.4. Feladat
5 3. Lineáris programozási feladatok megoldása kétfázisú szimplex módszerrel, duál feladatok felírása 3.1. Feladat 3.2. Feladat
6 3.3. Feladat Írjuk fel az alábbi feladat duálját! 4. Szállítási feladatok és hozzárendelési feladatok 4.1. Feladat Egy vállalat termékét 3 vevő vásárolja. Mindegyikük évente 30 darab termékre tart igényt. A vállalatnak két raktárában 40 és 30 darab termék van. Továbbiak gyártására nincs mód. Ha a vállalat nem tudja az egyes vevők által igényelt mennyiséget teljesen leszállítani, akkor az egyes vevőknél darabonként rendre 90, 80 és 110 egység veszteséget szenved el a vállalat. Az egyes raktárakból a vevőkhöz történő szállítás költségeit a következő táblázat mutatja. A vevő B vevő C vevő 1. Raktár 15 35 25 2. Raktár 10 50 40 a) Adjuk meg a szállítási feladat induló megoldását az északnyugat sarok módszerrel! b) Adjunk induló megoldást a minimális költség módszerével! c) Adjunk induló megoldást a Vogel módszerrel! d) Optimális-e az északnyugat módszerrel megadott induló megoldás? Ha nem, adjuk meg az optimális megoldást!
7 4.2. Feladat Egy vállalat 5 dolgozó között szeretne kiosztani 4 feladatot. Az egyes feladatok időigényét az alábbi táblázat mutatja. Melyik feladatot melyik dolgozó kapja, ha célunk a teljes munkaidő minimalizálása? 1. feladat 2. feladat 3. feladat 4. Feladat A dolgozó 22 18 30 18 B dolgozó 18-27 22 C dolgozó 26 20 28 28 D dolgozó 16 22-14 E dolgozó 21-25 28 4.3. Feladat Egy vállalat 5 dolgozó között szeretne kiosztani 4 feladatot. Az egyes feladatok elvégzése a vállalatnak az alábbi táblázatban szereplő profitot jelenti. Melyik feladatot melyik dolgozó végezze, ha célunk a profit maximalizálása? 1. feladat 2. feladat 3. feladat 4. Feladat A dolgozó 22 18 30 18 B dolgozó 18-27 22 C dolgozó 26 20 28 28 D dolgozó 16 22-14 E dolgozó 21-25 28
8 5. Minimális feszítőfa, legrövidebb út, maximális folyam 5.1. Feladat Egy város szeretné a legfontosabb csomópontokat kerékpárúttal összekötni. A legfontosabb csomópontok egymástól számított távolságát mutatja az alábbi ábra. Adjuk meg azt a legrövidebb úthálózatot, amely lehetővé teszi, hogy az összes csomópont elérhető legyen kerékpárúton! G 164 E 217 113 58 201 196 T 290 F 79 S
9 5.2. Feladat Adja meg a legrövidebb utat az alábbi gráfon! 1 2 12 2 5 8 5 4 10 3 6 4 5.3. Feladat a) Adja meg a maximális folyamat az alábbi gráfon! 6 1 3 3 2 F 1 3 NY 2 2 7 4 7 b) Adjon meg egy minimális vágást a gráfon!
10 6. Kritikus út, logikai feltételek modellezése 6.1. Feladat a) Adjuk meg a kritikus utat az alábbi gráfon! A2 1 2 C4 B6 4 3 D4 E2 F1 G2 5 6 H1 b) Adjuk meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! 6.2. Feladat Egy vállalat 4 városban állíthat elő egy bizonyos terméket, melyre 3 vevőcsoport tart igényt. Az egyes városokból a vevőkhöz történő szállítás költségét az alábbi táblázat mutatja. Az egyes gyárak legfeljebb 100 terméket tudnak gyártani. Az egyes gyárak fix költségei rendre: 400, 500, 300, 150. Az egyes vevők igénye: 80, 70, 40. Gyár/Vevő 1 2 3 N 20 40 50 L 48 15 26 C 26 35 18 A 24 50 35 a) Írjuk fel azt az LP feladatot, ami minimalizálja a vállalat költségét! b) Írja fel korlátozó feltételként, hogy ha N-ben épül gyár, akkor L-ben is kell!
11 c) Írjuk fel korlátozó feltételként, hogy legfeljebb két gyár épülhet! d) Írjuk fel korlátozó feltételként, hogy vagy az A-, vagy az L gyárnak meg kell épülnie, de mindkettő nem épülhet meg. 7. Egészértékű programozás, hátizsák feladat 7.1. Feladat 7.2. Feladat Egy vállalatnak 6 millió Ft áll rendelkezésre beruházás céljából. A 4 beruházási lehetőség költsége rendre: 3, 5, 2, 4 millió Ft, míg a hasznok rendre: 5, 8, 3, 7 millió Ft. Mely beruházásokat valósítsa meg a vállalat, ha a célja a haszon maximalizálása? 7.3. Feladat