TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 4 Az eektromágneses ukció Eektromágneses ukció néven azokat a jeenségeket szokás összefogani, ameyekben egy vezető hurokban mágneses erőtér jeenétében a szokásos teepek nékü eektromos áram jön étre Az áram oka az, hogy iyenkor a vezető hurokban eektromotoros erő, és így eektromos erőtér keetkezik A étrejött eektromotoros erőt ukát eektromotoros erőnek (gyakran ukát feszütségnek), a kiaakut eektromos erőteret ukát eektromos erőtérnek, a vezetőkben iyenkor megjeenő eektromos áramot pedig ukát áramnak nevezik A jeenségeket, étrejöttük körüményeinek megfeeően, két csoportra szokták osztani: ha az eektromotoros erő nyugvó vezetőben, vátozó mágneses erőtér hatására jön étre, akkor nyugami ukcióró-, ha pedig áandó mágneses erőtérben mozgó vezetőben keetkezik, akkor mozgási ukcióró beszéünk Eőre bocsátjuk, hogy az eektromágneses ukció emített két fajtájában csupán az a közös, hogy mkét esetben eektromos erőtér jön étre A jeenség értemezése és a étrejött eektromos erőtér jeege a két esetben aapvetően küönbözik egymástó A nyugami ukciót pédáu az eddigi ismereteink aapján nem tudjuk megmagyarázni, ez egy aapvetően új jeenség A mozgási ukció ezze szemben könnyen értemezhető a mozgó tötésre mágneses erőtérben feépő erőhatás segítségéve Eőször a nyugami ukcióva fogakozunk, vagyis azza az esette, amikor a mágneses erőtér vátozik, de a vezetők nyugaomban vannak vagy egyátaán nincsenek is jeen vezetők Ezután tárgyajuk a mozgási ukciót, vagyis azt az esetet, amikor áandó mágneses erőtérben vezetők mozognak yugami ukció, a Faraday enz-törvény Számos tapasztaat mutatja, hogy egy rögzített vezető hurokban vagy tekercsben áram jön étre, ha a vezető hurok környezetében vátozik a mágneses erőtér Ez egyszerű kíséretekke demonstráható KÍSÉET_: Sok menetet tartamazó tekercshez érzékeny árammérőt kapcsounk, majd a tekercs közepén évő hengeres üregbe egy másik tekercset tounk be, ameyet egy kapcsoón keresztü áramforráshoz kapcsounk Ezze a tekerccse mágneses erőteret tudunk étrehozni a küső tekercs besejében Ha a beső tekercsben bekapcsojuk az áramot, akkor a küső tekercshez kapcsot árammérő rövid ideig áramot mutat, vagyis a mágneses erőtér bekapcsoásáva a küső tekercsben ukát áramot hoztunk étre Ha a beső tekercsben az áram áandósu, akkor az ukát áram megszűnik Ha most a beső tekercsben az áramot kikapcsojuk, akkor a küső tekercsben ismét ukát áramökés jön étre, amey eentétes irányú, mint a bekapcsoáskor észet ukát áram Megfigyehetjük, hogy az ukát áram anná nagyobb, miné nagyobb a kapcsoáskor étrejött áramvátozás (és a mágneses erőtér vee együtt járó vátozása) Ha a beső tekercs áramát foyamatosan vátoztatjuk, akkor azt tapasztajuk, hogy az ukát áram anná nagyobb, miné gyorsabb az áram (ietve a mágneses erőtér) vátozása
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 4 KÍSÉET_: Sok menetet tartamazó tekercshez érzékeny árammérőt kapcsounk, majd a tekercs közepén évő hengeres üregbe betojuk egy erős mágnes egyik póusát Az árammérő a mozgás ideje aatt áramot mutat, vagyis a mágnes mozgatásáva ukát áramot hoztunk étre Ha a mágnesnek ugyanezt a póusát kihúzzuk a tekercsbő, akkor eenkező irányú áram ukáódik Megfigyehető, hogy az ukát áram nagysága a mágnes mozgatásának sebességéve nő Ezek a kíséretek azt mutatják, hogy ha egy vezető hurokban megvátozik a mágneses erőtér, akkor abban ukát áram jön étre függetenü attó, hogy a mágneses tér vátozását áandó mágnes mozgatásáva vagy egy eektromágnes áramának vátoztatásáva értük e A kíséretekbő az is átszik, hogy ukát áramot csak a mágneses erőtér vátozása idején tapasztaunk, és az ukát áram anná nagyobb, miné gyorsabban vátozik a mágneses erőtér Az evégzett kíséretek aapján sejthető, hogy egy nyugvó vezető hurokban étrejött ukát áram a mágneses ukcióvektor nagyságának vátozásáva és a vátozás sebességéve van összefüggésben Ezt további nagyszámú tapasztaat is megerősíti, és pontosítja: az ukát áram ( ) nagysága arányos az ukcióvektor vátozási sebességéve, azaz d ~ A Faraday enz-törvény Ahhoz, hogy egy áramkörben tartósan áram foyjon, ott eektromotoros erőnek ke jeen enni Ebbő az következik, hogy az áramkörben esődegesen egy ukát eektromotoros erő jön étre, és ez hozza étre az ukát áramot, ami függ a vezető hurok eenáásátó is Emiatt cészerűbb az ukát eektromotoros erőre vonatkozó összefüggést keresni Mive az áram és a feszütség adott áramkörben egymássa arányos, a tapasztaatok aapján írhatjuk, hogy d ε ~ A tapasztaat szerint az ukát eektromotoros erő arányos a rögzített vezető hurok A feüetének nagyságáva is d Ad ε ~ A = =, vagyis arányos a hurok feüetére vonatkozó Φ ukciófuxus vátozási sebességéve észetesebb kíséreti vizsgáatokbó az is kiderüt, hogy az S rendszerben a fenti összefüggésben az arányossági tényező éppen, tehát azt írhatjuk, hogy ε = = Ahhoz, hogy az abszoútérték-jeeket ehagyhassuk, meg ke vizsgánunk a ba- és jobbodaon áó mennyiségek eőjeeit Az egyszerűség kedvéért itt fetéteezzük,
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 3 4 hogy a vezető hurok síkbei görbe, és az ukcióvektor vátozása (d) a hurok egész feüetén ugyanoyan A kíséretek tanúsága szerint az a) ábrán átható áramhurokban az ukcióvektor berajzot d vátozása esetén az óramutató járásáva egyirányú ukát áram ( ) jön étre Ez azt jeenti, hogy a hurokban ugyaniyen irányú ukát eektromos erőtérnek (E ) ke kiaakuni, hiszen a tapasztat irányban ez mozgatja a pozitív tötéseket Az eektromotoros erő eőjeének meghatározásához be ke vezetni egy körüjárási irányt (az a) ábrán az áramiránnya eenkező irányt váasztottunk), majd az vezetőhurok mentén ki ke számítani az E dr a) b) mennyiségek összegét A jobbodaon áó fuxusvátozás kiszámításhoz rögzíteni ke az feüet-egységvektor irányát (az a) ábrán fefeé mutat), és ki ke számítani a u dau mennyiséget Ha a körüjárást és a feüet-egységvektort az a) ábrán átható módon váasztjuk, akkore dr <, és dau >, ezért az ukát eektromotoros erőt megadó összefüggés baodaán negatív-, a jobbodaán pedig pozitív szám á Ezért az egyenet akkor heyes, ha az ε = aakban írjuk fe Ha a körüjárási irány és a feüetvektor közü az egyiket eenkező irányban vesszük fe, akkor a heyes összefüggés ε = esz Ez azt jeenti, hogy az összefüggés csak akkor esz egyértemű, ha az egyébként tetszőegesen váasztható körüjárás- és feüetnormávektor irányát meghatározott módon rendejük egymáshoz Az efogadott ejárás az, hogy a két irányt a b) ábrán átható jobbkéz-szabáy szerint váasztjuk meg Az a) ábrán a két irányt éppen így jeötük ki, vagyis a megáapodást követve az ukát eektromotoros erőt megadó összefüggés eőjeheyesen az aábbi módon írható fe: d ε = = da A (Megjegyezzük, hogy ugyanerre az eredményre jutunk akkor is, ha a d vektort eenkező irányúnak téteezzük fe, mert ekkor m az E, m a d eenkező irányú esz) Ha az eektromotoros erőt is részetesen feírjuk, akkor az összefüggés az aábbi aakot öti: d Edr = = da A Ez a Faraday-fée ukciótörvény Az a) ábra aapján könnyen megáapítható, hogy a étrejött ukát áram a vezetőhurok besejében oyan mágneses teret hoz étre, amey eentétes a d vátozássa, vagyis az ukát áramot okozó vátozást csökkenteni igyekszik Ezt a A u d dr E u dr A törvényt M Faraday ango fizikus ismerte fe
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 4 4 szabáyt eőször enz ismerte fe, ezért enz-törvénynek nevezik, és a fenti ukciótörvényre is gyakran a Faraday enz-törvény enevezést hasznáják A ukciótörvénybő megáapítható, hogy a vezető hurokban étrejött eektromos erőtér nem konzervatív, erővonaai önmagukban záródnak Ez az eektromos erőtér mozgatja körbe a tötéseket a vezető hurokban Femerü a kérdés, hogy mi történik, ha a vátozó mágneses erőtérben nincs vezető hurok, ameyben az ukát áram étrejönne A tapasztaat azt mutatja, hogy eektromos erőtér ekkor is étrejön, és ez a mágneses tér vátozása áta étrehozott ukát eektromos tér a sztatikus tértő etérő tuajdonságokka rendekezik Erővonaai zárt hurkokat akotnak, ameyek a mágneses ukcióvektor megvátozását, a d vektort veszik körü A keetkező tér irányát az ábra mutatja (bakéz-szabáy) Az ukát eektromos erőtér jeegébő következik, hogy nem ehet konzervatív, tehát az eektrosztatikában feírt E dr = törvény vátozó erőterek esetén nem érvényes, heyette a Faraday enz-törvényt ke hasznáni Ez a törvény azonban határesetként tartamazza az eektrosztatika aaptörvényét is, hiszen áandó terek esetén a fuxusvátozás és ezze az egyenet jobbodaa nua Ebbő következik, hogy a mig érvényes aaptörvény a d E dr = da A Faraday enz-törvény, amey az eektrosztatika aaptörvényének vátozó terek esetén is érvényes átaánosítása Örvényáramok A enz-törvényt számos tapasztaat igazoja Ezze a törvénnye magyarázható p vátozó mágneses erőtérbe heyezett, kiterje vezetőkben az ún örvényáramok kiaakuása miatt feépő számos jeenség Az örvényáramok a vezetőben zárt hurkok mentén kiaakuó áramok, ameyek azért épnek fe, mert az ukát eektromos erőtér erővonaai zárt hurkok, és a vezetőben évő mozgásképes tötések ezek mentén mozognak KÍSÉETEK: engethetően fefüggesztett aumínium karikához, a feüetére merőegesen erős mágnest közeítve, a karika a mágnes mozgásirányában kiendü (csökkenti a mágnes hozzá viszonyított sebességét), és a mágnes ide-oda mozgatásáva jeentős ampitúdójú engésbe hozható Ha ugyanezt a kíséretet oyan aumínium karikáva végezzük e, amey nem foytonos, hanem egy heyen meg van szakítva, a jeenség nem ép fe Aumínium emezbő készüt ingát erős mágneses térben kiendítve, a engés igen gyorsan ecsiapodik Ha a kíséretet oyan emez-ingáva végezzük e, ameyet fésűszerűen bevagdostunk, akkor a csiapodás átványosan csökken d E HFE enz német származású orosz fizikus vot
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 5 4 Egy tekercs meghosszabbított, függőeges heyzetű vasmagjára a vasmagon csúszni képes aumínium karikát teszünk, és a tekercset egy kapcsoón keresztü vátakozó feszütségű áramforráshoz kapcsojuk Ha az áramot bekapcsojuk, akkor a karika erepü a vasmagró (Thomson-ágyú) Ha ugyanezt a kíséretet megszakított aumínium karikáva végezzük e, a jeenség nem ép fe A tekercs áramerősségének szabáyozásáva eérhető, hogy a foytonos karika egy bizonyos magasságban ebegjen Egy idő múva a karika femeegszik Függőeges réz csőben könnyen mozgó, nem mágneses fémhengert ejtünk e, és megfigyejük az esési időt Ha ugyanebben a csőben egy henger aakú mágnest ejtünk e, akkor az esési idő átványosan megnő Ezek a jeenségek az örvényáramok kiaakuásáva magyarázhatók A engő aumínium karika azért mozdu e a közeedő mágnes irányában, mert a közeedő mágnes inhomogén erőtere miatt vátozik a karikára vonatkozó ukciófuxus A étrejött ukát feszütség a karikában örvényáramot hoz étre, amey anná nagyobb, miné gyorsabban közeedik a mágnes a karikához A enztörvény értemében az ukát áram oyan hatást ket, ami csökkenteni igyekszik az ukát áramot Ez úgy következik be, hogy a karika emozdu a mozgó mágnes eő, így csökkentve a karika és a mágnes reatív sebességét A megszakított karikában nem tud kiaakuni örvényáram, ezért a jeenség nem jön étre Az aumínium emezbő készüt ingában a emez mozgása miatt jön étre ukát feszütség, ami a emezben örvényáramokat okoz Az örvényáramok oyanok, hogy az őket étrehozó hatást, vagyis a emez mozgását akadáyozzák, ezért csiapodik az inga engése A bevagdosott ingában az örvényáramok nem tudnak kiaakuni, ezért ekkor gyakoratiag nincs csiapodás A Thomson-ágyú működésének magyarázata szintén az, hogy a vátakozó áram áta étrehozott vátakozó mágneses erőtérben az aumínium gyűrűben örvényáram ép fe, és a enz-törvénynek megfeeően a gyűrű e akar menni az ukát áramot okozó vasmagró A mágnesnek rézcsőben történő ejtéséné a mágnes mozgása miatt a csőben örvényáramok jönnek étre, ameyek akadáyozzák az őket étrehozó hatást, vagyis a mágnes mozgását A nem mágneses anyag ejtésekor nincs ukát örvényáram, így fékezés sem ép fe Az örvényáramok áta okozott veszteségek kiküszöböése érdekében készítik a transzformátorok vasmagját egymástó eszigetet, összeragasztott emezekbő és nem tömör anyagbó Köcsönös ukció és önukció Ha egy áramma átjárt vezető hurok () meett egy másik vezető hurkot () heyezünk e, akkor az hurok árama áta ketett mágneses erőtér a hurok heyén is megjeenik Ezért, ha az hurokban vátozik az áram, akkor a hurok környezetében is vátozik a mágneses erőtér, és a hurokban eektromotoros erő (és áram) ukáódik A gondoatmenet fordítva is érvényes: a hurokban foyó áram vátozása az hurokban hoz étre ukát eektromotoros erőt (és áramot) Ezt a jeenséget köcsönös ukciónak nevezik, és ez teszi ehetővé, hogy időben vátozó eektromos jeeket egyik áramkörbő a másikba úgy vigyünk át, hogy a két áramkör között nincs vezetőve étrehozott kapcsoat Az iyen áramköröket csatot áramköröknek is nevezik A hurokban étrejött ukát eektromotoros erőt az
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 6 4 ε i = összefüggés adja meg, aho Φ a hurokra vonatkozó ukciófuxus Ha ezt az hurokban foyó áram hozza étre, akkor Φ = M, hiszen az áram áta ketett mágneses ukció- és így a étrehozott ukciófuxus is arányos az áramma Az M arányossági tényező az áramhurkok geometriai jeemzőitő (p aak, egymástó mért távoság) függ Ennek aapján a hurokban étrejött ukát eektromotoros erő d Φ ε M i = = Hasonó gondoatmenette kaphatjuk az áram vátozása miatt az hurokban étrejött ukát eektromotoros erőt: Φ = M d Φ ε M i = = Kimutatható, hogy a két együttható egyenő egymássa, ezért, ha bevezetjük az M = M = M jeöést, akkor a köcsönös ukció miatt a két hurokban feépő ukát eektromotoros erők az ε i = = M ε i = = M aakba írhatók Az M áandót a rendszer köcsönös ukciós együtthatójának nevezik Számítsuk ki a köcsönös ukciós együtthatót abban az egyszerű esetben, amikor a két áramkör két egymásba tekercset, azonos hosszúságú és azonos A keresztmetszetű, és menetszámú tekercs µ A tekercsben az tekercs árama áta ketett = mágneses ukció fuxusa µ µ A Φ = A = A = Ebbő következik, hogy a köcsönös ukciós együttható: µ A M = ndukát feszütség nem csak két köcsönható áramhurokban ép fe, hanem egyeten hurokban is, ha benne vátozik az áramerősség tt arró van szó, hogy a hurok benne van a saját mágneses erőterében, ezért, ha az vátozik, akkor benne eektromotoros erő ukáódik A jeenséget, amey igen fontos szerepet játszik a vátóáramú áramkörökben, önukciónak nevezik Mive az áramhurokban a mágneses ukciót itt a hurok saját árama hozza étre, a fuxust a Φ = összefüggés adja meg, aho a geometriai viszonyoktó függő áandó, amit önukciós együtthatónak (néha egyszerűen önukciónak ) neveznek Az áramkörben ukát eektromotoros erő eszerint
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 7 4 ε i = = Mive a tekercs a vátakozó áramú áramkörökben igen fontos áramköri eem, számítsuk ki egy menetű, hosszúságú, A keresztmetszetű tekercs önukciós együtthatóját A tekercs saját árama áta étrehozott mágneses ukció nagysága: = µ Az egy menetre vonatkozó fuxus µ A Φ = A =, a tejes fuxus pedig µ A Φ = Φ = Ebbő következik, hogy az önukciós együttható µ A = Az önukciós együttható egegyszerűbben és eghatékonyabban a menetszám növeéséve és mint később átni fogjuk a tekercsben eheyezett vasmagga (a µ értékének növeéséve) növehető A transzformátor aapeve A csatot áramkörök akamazásának egyik közismert pédája a transzformátor, ameyben két tekercs köcsönös ukciója segítségéve a tekercsek mentszámának megfeeő megváasztásáva adott ampitúdójú vátakozó feszütségbő kisebb vagy nagyobb ampitúdójú feszütséget kaphatunk Egyszerűsített transzformátor-modeként hasznájuk azt az erendezést, ameyben a köcsönös ukciós együtthatót kiszámítottuk: a vizsgát két áramkörben (az ábrán és ) két egymásba tekercset, azonos hosszúságú és azonos A keresztmetszetű, és menetszámú (és ennek megfeeően küönböző és önukciójú) tekercs van Az ábrán átható (t) k szimbóumon a két huámos vona jeképezi a tekercseket, a két párhuzamos vona pedig azt A =A =A jezi, hogy a két tekercs vasmagra van tekercseve Tegyük fe, hogy az áramkörben egy vátozó ( t ) feszütségű áramforrás, a k áramkörben egy eenáású fogyasztó van A vezetékek és a tekercsek (ohmikus) eenáása ehanyagoható, ugyancsak ehanyagohatók az áramkörökben feépő kapacitások és a tekercseken kívüi uktivitások is Egy iyen veszteségmentes, ideáis transzformátor esetén az áramkörbe betápát - és a áramkörben étrejött feszütség-ampitúdók hányadosára fenná, hogy =
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 8 4 ***************** ****************** ******************* A fenti egyszerűsített transzformátor-mode esetén viszonyag egyszerűen kiszámítható a két köcsönható tekercsben étrejött feszütségek hányadosa Mive a két tekercs egymásra van tekercseve, az ukcióvektor, és így az egy menetre vonatkozó φ ukciófuxus mkét tekercsben azonos: φ = φ = φ Ezze a jeöésse az egyes tekercsekben az ukciófuxus Φ = φ és Φ = φ A két áramkörre feírva Kirchhoff törvényét, az aábbi egyeneteket kapjuk: = k = A fuxust a tekercsekben foyó áramok hozzák étre, vagyis µ µ φ = A + A Ezze az egyeneteink az aábbi aakot ötik: µ A µ A = µ A µ A k = dφ = dφ k = M = k M = A áramkörben a köcsönös ukcióbó és az önukcióbó származó feszütség nagysága: M = M = = M Figyeembe véve az áramkörre feírt egyenetet, azt kapjuk, hogy = + M = A - je azt mutatja, hogy a két feszütség eenkező fázisban van Ha a feszütségek nagyságát és -ve jeöjük, akkor a korábban feírt összefüggést kapjuk: = ***************** ****************** ******************* Tranziens jeenségek uktivitást tartamazó áramkörben Ha egy uktivitást tartamazó áramkörben az áram vaamiyen okbó megvátozik, akkor az uktivitás ezt a vátozást akadáyozni igyekszik (enz-törvény) Ennek a következménye az, hogy egy iyen áramkörben az áram bekapcsoása vagy kikapcsoása után az egyensúyi áram nem azonna á be, hanem csak egy hosszabb-rövidebb átmeneti időszak után Most iyen átmeneti idegen szóva tranziens jeenségeket vizsgáunk meg Az áram kikapcsoása Eső pédánkban egy uktivitást tartamazó áramkörben a teep ekapcsoásának hatását vizsgájuk Az ábrán átható áramkörben eredetieg (kapcsoó áása) a teep T áta étrehozott = áram foyt (az uktivitás eenáása ehanyagoható) Ezután a teepet a kapcsoó segítségéve eváasztjuk az áramkörrő, és egyidejűeg T (+) (-) K (t) csökken
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 9 4 zárjuk is a teep néküi áramkört (kapcsoó áása) Az időt az átkapcsoás pianatátó (t=) mérjük Az áramkör vizsgáatának kezdetén még az eredeti áram foyik, tehát ( ) =, viszont feszütségforrás már nincs az áramkörben, tehát T = (ezek a probéma megodásához szükséges ún kezdeti fetéteek) Azt várjuk, hogy az áram megszűnik, hiszen az áramkörben nincs már teep, de az uktivitás jeenéte miatt az áram csak fokozatosan csökken nuára Mive a tapasztaat szerint a Kirchhoff-törvények nem tú gyorsan vátozó áramok esetén, bármey időpianatban, vátozatan formában érvényesek, az áram időbei vátozását ezek segítségéve fogjuk meghatározni Az (csomóponti) törvény szerint egy t időpianatban az áramkör men pontján ugyanakkora és ugyanoyan irányú (t) áram foyik A (hurok-) törvény feírásához váasztani ke az áramhurokban egy körüjárási irányt (az ábrán az óramutató járásáva eentétes), fe ke téteezni egy pianatnyi áramirányt, és azt, hogy az adott t időpianatban az áram nő vagy csökken (mezek tetszőegesen váaszthatók, a váasztás a végeredményt nem befoyásoja) Az átaunk váasztott körüjárás és pianatnyi áramirány az ábrán átható, az áram vátozásáró azt téteezzük fe, hogy ebben a pianatban éppen csökken A törvény szerint a hurokban körbejárva a feszütségek eőjees összegére fenná, hogy + = Az eenááson eső feszütséget az = Ohm-törvénybő, az uktivitáson eső feszütséget az = önukciós törvénybő kaphatjuk meg, de meg ke vizsgáni a feszütségek eőjeét Az eenááson az áram irányában haadunk át, vagyis az áthaadásná a potenciá csökken, <, ezért = (itt az áram nagysága, tehát pozitív szám) Az önukciós feszütség csökkenő áram esetén az áram növekedését okozza, vagyis a csökkenő áramma azonos irányú áramot ít (az ábrán ) Az uktivitás tehát oyan teepként működik, ameynek poaritását az ábrán zárójeben fetüntettük Ha ezen a teepen a körüjárás irányában áthaadunk, akkor potenciánövekedést tapasztaunk, vagyis > Mive fetéteezésünk szerint az áram csökken, <, ezért csak akkor esz pozitív, ha az = aakban írjuk be A fenti kifejezéseket a huroktörvénybe beírva, a + = = összefüggést kapjuk Az egyenetet egyszerűsítve, és figyeembe véve, hogy az áramerősség időben vátozik, tehát = ( t ), a probéma megodásához fehasznáható egyenet az aábbi aakot öti ( t ) ( t ) + = Ebbő az egyenetbő ke kitaánunk az (t) függvény konkrét aakját
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 4 A probéma az, hogy az egyenetben a meghatározandó ( t ) függvény meett annak differenciáhányadosa is szerepe (ez egy ún differenciáegyenet) A differenciáegyenetek megodásának módszereit a matematika tárgyban részetesen tárgyaják, ennek az egyenetnek a megodása azonban nem igénye speciáis ismereteket Eső épésként rendezzük át az egyenetet az aábbi módon: = Ezze eértük, hogy a két vátozó mennyiség ( és t) közü az egyenet egyik odaán csak az, a másik odaán pedig csak a t szerepe (Ezt úgy szokták megfogamazni, hogy sikerüt a vátozókat szétváasztani, ezért az iyen típusú differenciáegyeneteket szétváasztható differenciáegyeneteknek nevezik) Ezek után a két odat a megfeeő vátozó szerint integrájuk az adott mennyiség határai között (az idő szerint és t, az áramerősség szerint az ennek megfeeő ( ) = és ( t ) = között): = t Az integráás evégzése után azt kapjuk, hogy n = t Az (t) függvényt innen a ogaritmus eimináása és rendezés után kapjuk: t ( t ) = e (t) Eszerint az áram vaóban nem azonna tűnik e a teep ekapcsoása után, hanem exponenciáisan csökken a nua érték feé (ábra) Az áram csökkenésének kezdeti meredekségét a = t= t kifejezés adja meg átható, hogy az áram csökkenése anná meredekebb, miné kisebb az uktivitás, ami érthető, hiszen az áram megszűnésének eassuását éppen az uktivitás okozza Kevésbé nyivánvaó, hogy adott uktivitás esetén az áram csökkenése anná gyorsabb, miné nagyobb a körben az eenáás Ezért, ha az áramkört a teep ekapcsoása után nem zárjuk, hanem megszakítjuk, akkor a körben igen nagy eenáás jeenik meg, és az áram csökkenésének meredeksége nagyon nagy esz Tudjuk, hogy az önukció jeensége miatt megjeenő ukát eektromotoros erő nagysága éppen az áramvátozás sebességéve arányos: ε ~ Ez az oka annak, hogy egy áramkör megszakításakor igen nagy gyakran az áramkörben jeenévő eredeti feszütségné sokka nagyobb ukát feszütség keetkezik, ami a kapcsoó egymástó etávoodó fém részei között szikrát hozhat étre (száraz evegőben mm-es szikra étrehozásához durván V feszütség szükséges) (/) >(/) (/)
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 4 Az áram bekapcsoása Második pédaként az áram bekapcsoását vizsgájuk, ugyancsak egy uktivitást tartamazó áramkörben (-) (+) Az ábrán a megszakított áramkörbe (kapcsoó (t) áása) bekapcsojuk a teepet (kapcsoó áása) Az növekszik időt a bekapcsoás pianatátó mérjük, ekkor a körben áram még nem foyik, tehát ( ) =, a teep viszont már az áramkörben van Most Kirchhoff törvénye az + + T = K T aakban írható fe A kikapcsoásná követett gondoatmenetet megisméteve, a megodandó egyenet + T = Az egyenetet -e eosztjuk, majd átrendezzük annak érdekében, hogy a vátozókat szétváasszuk: = t T Ezután az egyenet két odaát integrájuk: = T t t Az integráás után azt kapjuk, hogy T n = t T A ogaritmust eimináva, majd az egyenetet rendezve, megkapjuk az áramerősség időfüggését: t = T ( t ) e A bekapcsoásná tehát az uktivitás akadáyozza az áram növekedését, ami miatt az áram nem tudja azonna fevenni az eenáásnak és a teepnek megfeeő T értéket (ábra), azt csak (t) T / (/) fokozatosan éri e Az emekedés anná assúbb, miné kisebb az hányados, vagyis adott (/) >(/) eenáás meett miné nagyobb az uktivitás Ez érthető, hiszen a assú emekedés oka éppen az t uktivitás jeenéte Az uktivitás hatása néhány egyszerű kísérette is szemétethető
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 4 KÍSÉET: Két párhuzamosan kapcsot, azonos izzóámpát egy teepre kapcsounk, majd az egyik izzóva egy nagy uktivitású () tekercset-, a másikka egy kis uktivitású eenáást () kapcsounk sorba A feszütséget és az eenáást úgy áítjuk be, hogy mkét izzó viágítson Ezután a teephez vezető vezetéket megszakítjuk, ekkor az izzók kiaszanak Ha most a teepet ismét bekapcsojuk, akkor azt észejük, hogy a tekercset tartamazó ágban az izzó jó megfigyehetően később gyuad fe, mint a másik ágban T K Ez a kíséret átványosan megmutatja, hogy az egyensúyi áram kiaakuása az uktivitás jeenéte miatt késik KÍSÉET: Ha az eőző kíséretné hasznát áramkörbe a teep heyett egy vátakozó feszütségű generátort kapcsounk, akkor az izzók periodikusan fegyuadnak és kiaszanak Jó megfigyehető azonban, hogy a két ágban a periodikus vátozás nem ugyanabban az ütemben történik: a két periodikus vátozás között fázisetoódás van Ez a kíséret is az uktivitásnak a vátozást késetető hatását mutatja: az uktivitást tartamazó ágban az áram vátozása késik a másik ág áramának vátozásához képest, ezért a küönböző uktivitású ágakban a vátozások időben etova, fázisküönbségge zajanak Ennek a ténynek nagy jeentősége van a vátóáramú áramkörökben A mágneses erőtér energiája Az eektromos erőtér tárgyaásáná áttuk, hogy a étrehozásakor végzett munka árán az erőtérhez rendehető energia jeenik meg Tudjuk, hogy a mágneses erőtér étrehozásához is munkavégzés (p eektromos áram ketése) szükséges Kérdés, hogy ez a munka is megjeenik-e vaamiyen mágneses energia formájában Az uktivitást tartamazó áramkörökre vonatkozó tapasztaatok azt sugaják, hogy iyen energia étrejön, hiszen p a kikapcsoásná a tekercs mágneses erőtere fokozatosan szűnik meg, és az áramkörben a kikapcsoás után is fenntartja az áramot A tekercsben fehamozott energia meghatározásához hasznájuk fe a bekapcsoási jeenségné tárgyat áramkört (ábra), ameyre Kirchhoff törvénye szerint fenná az + = összefüggés Ebbő a idő aatt végzett munkát -ve vaó szorzássa kaphatjuk meg: + =, amibő átrendezésse az
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 3 4 = áramforrás Joue - hő munkája egyenetet kapjuk Ebben az egyenetben az egyes tagokat megvizsgáva megáapíthatjuk, hogy a baodaon az áramforrás áta idő aatt végzett munka á, a jobboda eső tagja pedig az eenááson hővé aakuó munkát (Joue-hő) adja meg átható, hogy a teep munkájának csak egy része aaku át termikus energiává, a maradékot a jobboda második tagja képvisei Kézenfekvőnek átszik, hogy ez a tag adja meg a tekercsben a mágneses erőtérnek a idő aatt bekövetkező vátozásáva összefüggő energiavátozást, amit a +??? de mágn mágneses erőtér energiájának tuajdonítunk: de mágn = = A idő aatt bekövetkező energiavátozásbó kiszámíthatjuk, hogy mekkora az E mágn mágneses energia akkor, ha a tekercsben áram foyik Ehhez az áramerősség vátozását -tó -ig eemi épésekben ke végrehajtani, és összegezni (integráni) ke az eközben bekövetkező eemi energiavátozásokat: mágn = E = Ekkora energia van jeen az áramma átjárt, önukciójú tekercsben Ahhoz, hogy az energia kifejezésére átaánosabb aakot kapjunk, próbájuk meg kiküszöböni az összefüggésbő konkrétan a tekercsre vonatkozó adatokat (, ), és heyettesítsük azokat a tekercsben kiaakut mágneses erőtér jeemzőive Hasznájuk fe az önukcióra kapott µ A = kifejezést ( a tekercs menetszáma, A a keresztmetszete, a hossza) és a tekercs mágneses erőterére vonatkozó µ = = µ összefüggést Ezeket a mágneses energia kifejezésébe beheyettesítve, egyszerűsítések után azt kapjuk, hogy Emágn = A = V, µ µ aho V = A a tekercs térfogata Ebbő a kifejezésbő átszik, hogy a tekercsben tárot energia arányos azza a térfogatta, aho mágneses erőtértér van jeen (az itt fetéteezett ideáis esetben csak a tekercs besejében van mágneses erőtér), egyébként pedig a tekercset kitötő adott anyag esetén csak az erőteret jeemző mágneses ukcióvektor nagyságátó függ Már ebbő a meggondoásbó is sejthető, hogy ez az energia a tekercsben étrejött mágneses erőtérre hozható kapcsoatba, de ez még viágosabbá váik, ha kiszámítjuk az energia térfogati sűrűségét: Emágn w mágn = = V µ
TÓTH A: Eektromágneses ukció/ 4 4 Ez azt jeenti, hogy a tekercs áta bezárt térfogat, vagyis a mágneses erőtér bármey pontján iyen energiasűrűség van jeen, és ez az energiasűrűség (a tekercset kitötő adott anyag esetén) csak az erőteret jeemző mágneses ukcióvektortó függ Egyeőre a tapasztaatokra hivatkozva csak fetéteezzük (később az eektrodinamikában ezt be is bizonyítják), hogy ez az összefüggés menfée mágneses erőtér esetén igaz: aho mágneses erőtér van, ott iyen energiasűrűség van jeen függetenü attó, hogy az erőteret mi (mágnes, eektromos áram) hozta étre A fenti összefüggés homogén, izotróp, ineáris anyag esetén a = µ H összefüggés segítségéve átírható a w mágn = H = H aakba is A vektori írásmód itt azért ehetséges, mert iyen anyagokban H, ezért H = H Kimutatható hogy ez a vektori formában feírt összefüggés átaánosan tehát nem csak a fenti megszorítások meett érvényes, vagyis a mágneses erőtér energiasűrűsége átaában a w mágn = H összefüggésse adható meg