. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik htványr kell emelni, hogy -öt kpjunk. A -nek. htvány, z (B) 9 (C) 9 (D) 9 (E). Vgyis: Tehát jó válsz (D). Megoldás II.: 9. így megoldás Legyen, így ritmus definíciój szerint egy eponenciális egyenletet kpunk. Tehát jó válsz (D). 9. Mely vlós értékekre értelmezhető z melyekre f függvény? Azon értékekre, (A) (B), 0 (C),, (D),, (E) Ezek egyike sem BME 0. május 9. ()
Két olyn műveletet trtlmz kifejezés, melynek értelmezési trtomány nem vlós számok hlmz. Egyrészt ritmus után csk pozitív szám állht, másrészt tört nevezője nem lehet null. Tehát egyrészt pozitív. Másrészt:. Ez minden -re teljesül, hisz tört számlálój is és nevezője is biztosn 0 0 Tehát jó válsz (D).. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! lg lg lg A ritmus értelmezése mitt megoldást z 0 lphlmzon keressük. ELTE 0. október (mtemtik BSc) Felhsználv ritmus definícióját és zonosságit átlkíthtjuk z egyenletet: lg lg lg lg lg lg lg0 lg lg 0 A ritmus függvény szigorún monotonitás mitt:, 0 8.
, Az nincs z egyenlet értelmezési trtományábn, emitt z egyetlen megoldás z =. Ellenőrzés: B.: lg lg 0 lg 0,0 J.: lg 0, 699 0,0 Tehát megoldás helyes. b. Fejezze ki z prmétert z egyenlőségből! ( b ) (A) b (C) b (B) lg b b (D) (E) lg b lg BME 0. szeptember. (6A) b Innen ritmus definíciójánk segítségével fejezhetjük ki -t. Tehát jó válsz (D). b b
II. Ismételjünk!. A ritmus foglm, zonossági https://users.itk.ppke.hu/itk_dekni/files/mtemtik/pdfs/0.pdf.oldl. Logritmikus egyenletek https://users.itk.ppke.hu/itk_dekni/files/mtemtik/pdfs/09.pdf.oldl III. Gykorló feldtok. Számíts ki z lábbi ritmusok pontos értékét! ) 6 b) c) 8 d) 8 f) ( 0, ) e) 6. Htározz meg értékét z lábbi kifejezésekben! ) b). Htározz meg ritmusok lpját! c) 8 d) 8 ) 6 b) 8 c). Adj meg következő kifejezések pontos értékét! d) 8 b) c) d) 6 8 ) 9. A ritmus zonosságink felhsználásávl dj meg következő kifejezések pontos értékét! ) lg lgsin 0 lg cos60 lg b) 9 c) d) 6 9 8 6 e) lg 9 7
6. A következő állítások közül mely(ek) igz(k) minden lehetséges,b,c,k prméterérték esetén? (, b, c 0,, b, k 0 ). b k b k. b b. b c bc (A) Csk z. (B) Csk. (C) Csk. (D) Több is igz. (E) Egyik sem igz. BME 0. szeptember. (7A) 7. Mely vlós értékekre értelmezhető z melyekre f lg függvény? Azon értékekre, (A) (B) 0 (C) 0 vgy (D) vgy (E) Ezek egyike sem BME mintfeldtsor 8. Htározz meg vlós számoknk zt legbővebb részhlmzát, melyen kifejezések értelmezhetőek! ) lg b) 9. Fejezze ki lg y z egyenlőségből z y változót, h és y, z 0! ELTE 0. szeptember (tnárszkok) (A) z y lg lg (B) lg z lg y (C) y 0 lg z lg (D) lg lg z y 0 (E) y 0 z lg BME 06. február 9. (6A) 0. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! lg lg lg 6. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán!
. Oldj meg kijelentést! 0 egyenletet vlós számok hlmzán és tekintse következő A: Az egyenletnek egy megoldás vn. B: Az egyenletnek csk pozitív megoldás vn. C: Az egyenletnek vn prímszám megoldás. Az lábbik közül melyik állítás igz? (A) A és C (B) A vgy C (C) A vgy B (D) B és C (E) h B, kkor C BME 06. február 9. (6A). Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 7. Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok körében! lg lg lg ELTE 0. szeptember (tnárszk). Oldj meg következő egyenletrendszert vlós számpárok hlmzán! lg lg y y lg lg ELTE 0. szeptember (fizik BSc) 6. Egy változtthtó fényerejű lámp m fényérzetét P teljesítménye függvényében z m, P képlet dj, hol P0 0W. Milyen P értéknél lesz z m fényérzetérték P 0 kétszer kkor, mint P 00W teljesítményhez trtozó m fényérzet? (A) 00 W (B) 0 W (C) 00 W (D) Nincs ilyen P érték (E) Ezek egyike sem. BME 0. december. (B) 6
IV. Megoldások. Számíts ki z lábbi ritmusok pontos értékét! ) 6 b) c) 8 d) 8 f) ( 0, ) e) 6 ) 6, mivel 6 b), mivel és, tehát c) 8 0, mivel minden szám 0. htvány d), mivel e) 6 8, mivel f) 6 8, mivel. Htározz meg értékét z lábbi kifejezésekben! 8 8 6 8 8 6 6 ) b) c) 8 d) 8 A ritmus definíciój szerint: h b c, kkor ) ; c b. b) ; c) 8 ; 8 d) 8 ; 8 8. Htározz meg ritmusok lpját! ) 6 b) 8 c) d) 7
A ritmus értelmezési trtományánk megfelelően 0 és. ) 6 ; b) 8 ; 6, miből 8, miből 8 c) ;, vgyis, miből d) ;, vgyis. Adj meg következő kifejezések pontos értékét! miből ) 8 8 b) c) d) 6 9 A megoldás során felhsználunk két egyszerű összefüggést, melyek ritmus definíciójából következnek. b k b és b k b. Ezeken felül htványozás és ritmus zonosságit hsználjuk. Egyes részfeldtoknál többféle megoldási utt is muttunk. 8 ) 8 b) 6 6 6 vgy: c) 9 vgy: 9 9 9 d) 9 6 9 6 96 9 9 6 6 6 9 79 vgy: 6 9 6 9 9 6 9 9 79. A ritmus zonosságink felhsználásávl dj meg következő kifejezések pontos értékét! ) lg lgsin 0 lg cos60 lg b) 9 c) 6 8
d) 9 8 6 e) lg 9 7 lg lg sin 0 lg cos60 lg lg lg lg lg lg lg 0 9 9 ) b) c) d) 6 6 6 9 8 9 8 6 6 lg 7 9 lg 7 7 lg lg 0 e) 6. A következő állítások közül mely(ek) igz(k) minden lehetséges,b,c,k prméterérték esetén? (, b, c 0,, b, k 0 ). b k b k. b b. b c bc (A) Csk z. (B) Csk. (C) Csk. (D) Több is igz. (E) Egyik sem igz. BME 0. szeptember. (7A). k b b b k b Az. állítás igz. k k. b b hmis, pl.: 6 (Az zonosság helyesen:. b c bc Igz, ez egy ismert zonosság. Tehát z. és. állítás igz, vgyis (D) jó válsz. b b ) 9
7. Mely vlós értékekre értelmezhető z melyekre f lg függvény? Azon értékekre, (A) (B) 0 (C) 0 vgy (D) vgy (E) Ezek egyike sem BME mintfeldtsor A nevező mitt 0. A ritmus mitt kpjuk, hogy. eset: 0. Közös nevezőre hozv bloldlon zt 0. A tört értéke kkor pozitív, h számlálój és nevezője zonos előjelű. A számláló pozitív, h 0. Tehát. 0, h, vgyis, h vgy. A nevező mitt A számláló negtív, h 0. 0, vgyis A feldt megoldás tehát 0 vgy. A jó válsz (C).. A nevező mitt most 0. Tehát 8. Htározz meg vlós számoknk zt legbővebb részhlmzát, melyen kifejezések értelmezhetőek! ) lg b) A ritmus után csk pozitív szám állht. ) 0, tehát, mi kkor igz, h b) ELTE 0. szeptember (tnárszkok) 0. A másodfokú egyenlet megoldóképletét hsználv megkpjuk kifejezés zérushelyeit: és. A másodfokú kifejezés főegyütthtój pozitív, így kifejezés kkor pozitív, h < vgy >. 9. Fejezze ki lg y z egyenlőségből z y változót, h és y, z 0! (A) z y lg (B) lg y lg z lg (C) lg z lg y 0 (D) lg lg z y 0 (E) y 0 z lg BME 06. február 9. (6A) 0
lg y lg y lg y z lg z lg lg z lg y lg lg z lg y lg y 0 lg lg z z (Első lépésben ritmus definícióját hsználtuk, mjd z ismert zonosság hsználtávl jobb oldlon is áttértünk 0-es lpú ritmusr. Az egyenlet lkítás után z utolsó lépést ismét ritmus definíciój lpján végezhettük el.) Tehát jó válsz (D). 0. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! lg lg lg 6 A ritmus értelmezése mitt 0 és 6 0, tehát. Az egyenletet ritmus zonosságink segítségével úgy lkítjuk, hogy mindkét oldlon egyetlen kifejezés zonos lkú ritmusát lássuk. Ekkor ritmus monotonitás mitt elhgyhtjuk ritmust. lg lg lg 6 lg lg lg00 lg 6 lg lg 00 6 00 6, 8 8 80 0 8 6 70 8 8 8 és 0 A 0 nincs z egyenlet értelmezési trtományábn, így egy megoldásunk vn, 8.
Az feltétel mellett ekvivlens átlkításokt végeztünk, kpott eredmény vlóbn megoldás z egyenletnek.. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! Az egyenletet kívülről tudjuk lebontni, megoldáshoz ritmus definícióját hsználv. 7 Mivel z egyenlet megoldás során ritmus definícióját hsználtuk, vlmit ekvivlens átlkításokt, kpott eredmény biztosn benne vn z értelmezési trtománybn és vlóbn megoldás. A kpott eredményt le is ellenőrizhetjük: 7. Oldj meg kijelentést. 0 egyenletet vlós számok hlmzán és tekintse következő A: Az egyenletnek egy megoldás vn. B: Az egyenletnek csk pozitív megoldás vn. C: Az egyenletnek vn prímszám megoldás. Az lábbik közül melyik állítás igz? (A) A és C (B) A vgy C (C) A vgy B (D) B és C (E) h B, kkor C BME 06. február 9. (6A) Az egyenlet kkor vn értelmezve, h 0. Láthtó, hogy egy másodfokú egyenlettel vn dolgunk. Hsználjuk megoldóképletet! 8, miből és, miből.
A fenti állítások közül tehát A és C hmis, B igz. Így feldtr jó válsz (C). Megjegyzés: Az és kpcsolttl összekötött állítás csk kkor igz, h mindkét állítás igz, vgy esetén elég, h z egyik igz. Az (E) válsz helyességéhez C állításnk is igznk kéne lennie.. Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 7 Az egyenletet úgy lkítjuk, hogy -t ki tudjunk emelni. 7 7 8 6 6 0 Az ismeretlen kitevőben vn, jobb oldl pedig nem írhtó fel egész kitevős htványként, ezért ritmus hsználtávl tudjuk befejezni z egyenlet megoldását. A ritmus definíciój szerint: 0 H ki szeretnénk számolni kpott végeredmény közelítő értékét, át kell térnünk 0-es lpú ritmusr: lg 0, 0 lg Mivel csk ekvivlens átlkításokt végeztünk, z eredmény vlóbn megoldás z egyenletnek. Az ellenőrzést elvégezhetjük pontosn ritmikus lkkl számolv, vgy közelítő értékkel, kkor csk közelítőleg fog megegyezni két oldl.. Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok körében! lg lg lg ELTE 0. szeptember (tnárszk) A ritmusok és négyzetgyök mitt meg kell vizsgálnunk z értelmezési trtományt. 0 ; 0, vgyis ; 0, miből. Összegezve z értelmezési trtomány: 0. Alkítsuk át z egyenlőtlenséget ritmus zonosságink hsználtávl.
lg lg lg lg lg A 0-es lpú ritmus függvény szigorún monoton nő, így elhgyhtjuk ritmusokt. Az értelmezési trtomány szerint mindkét oldl pozitív, így négyzetre emelhetjük z egyenlőtlenséget: 9 6 9 6 8 9 0 A másodfokú kifejezés zérushelyeit megoldóképletbe helyettesítve kpjuk. Mivel másodfokú tg együtthtój pozitív, kifejezés két zérushely között negtív, nekünk éppen ennek komplementere megfelelő., 8 6 6 8 0 és 9. Tehát 9 vgy. Ezt z eredményt összevetve z értelmezési trtománnyl megoldás:.. Oldj meg következő egyenletrendszert vlós számpárok hlmzán! lg lg y y lg lg ELTE 0. szeptember (fizik BSc) A ritmus értelmezési trtomány mitt és y is pozitív számok. A ritmus zonosságivl átlkítjuk z egyenletrendszert, mjd új ismeretleneket vezetünk be: : lg és b : lg y.
lg lg y lg lg y lg lg y lg lg y b b A második egyenletet -vel megszorozv és összedv két egyenletet kpjuk, hogy: Innen b dódik. b 0 8 b 0 Visszhelyettesítve lg, vgyis 0, illetve lg y, miből A kpott számpár benne vn z értelmezési trtománybn. Ellenőrzés: I. egyenlet: lg0 ; II. egyenlet: lg0 ; lg lg0 0 lg lg0 0, y. 0 6. Egy változtthtó fényerejű lámp m fényérzetét P teljesítménye függvényében z m, P képlet dj, hol P0 0W. Milyen P értéknél lesz z m fényérzetérték P 0 kétszer kkor, mint P 00W teljesítményhez trtozó m fényérzet? (A) 00 W (B) 0 W (C) 00 W (D) Nincs ilyen P érték (E) Ezek egyike sem. BME 0. december. (B) 00 A feldt szövege szerint m, és 0 m P, 0 m. Ebből dódik megoldndó egyenlet:
00 P,, 0 0 P 0 0 P 0 P 00 P A helyes válsz tehát (C). 6