MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 0 évfolym modul Algeri zonosságok és másodfokú egyenletek Készítette: Dros Noémi Ágnes

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok Különöző típusú másodfokú egyenletek megoldás Gykorlti, mindennpi életeli prolémák megoldás egyenletekkel 0 ór 0 osztály Tág környezeten: Fizik, Kémi Vlóságos prolémák mtemtiki megoldás Szűke környezeten: Függvények Egyenletek grfikus megoldás Prméteres egyenletek (emelt szint) Viète formulák (emelt szint) Ajánlott megelőző tevékenységek: Nevezetes zonosságok ismerete, teljes négyzetté kiegészítés Elsőfokú, egyismeretlenes egyenlet megoldás Négyzetgyök foglm, zonossági Ajánlott követő tevékenységek: Másodfokúr visszvezethető prolémák Négyzetgyökös egyenletek Másodfokú függvények jellemzése

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ A képességfejlesztés fókuszi Számolás, számlálás, számítás: Alpműveletek iztonságos elvégezése (zseszámológéppel is) Becslés, mérés, vlószínűségi szemlélet: Szöveges feldtok megoldás előtt várhtó eredmények ecslése és kpott eredmény visszkonvertálás z eredeti szövege Szöveges feldtok, metkogníció: Hétköznpi szöveg lefordítás mtemtik nyelvére Rendszerezés, komintív gondolkodás: A szükséges dtok kikeresése, fölösleges dtok mellőzése, lényegkiemelő képesség fejlesztése A korái mtemtiki ismeretek eépítése, lehetséges lklmzások megkeresése, tnult új ismeret eillesztése, rendszerező szemlélet lkítás Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számoktól z áltlános eset megfoglmzásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése) Azonosságok lklmzás konkrét eseteken (deduktív gondolkodás fejlesztése) Ajánlás A modul sok feldtot trtlmz, ez lehetőséget iztosít rr, hogy heti óránál ngyo órszámn történő tnításkor is lehessen hsználni Jvsoljuk mintpéldák feldolgozását is Vgy otthoni munkként, például következő órán lehet előle felelni tálánál, vgy z órán, de kkor gyerekek előtt legyen zárv könyv, ilyenkor hllott szövegől lényeg kiemelését, szövegértést lehet gykorolni A moduln tlálhtó feldtok segítséget nyújtnk differenciálásr A jelölt feldtok felzárkózttásr, hiányosságok pótlásár; jelölt feldtok tnnyg iztos elsjátításár, egykorlásár, míg feldtok inká versenyre vló felkészítésre, tehetséggondozásr szolgálnk, emelt szintű érettségre készülőknek jánlott Az órán sokszor érdemes csoportokn dolgozni A csoportok kilkításkor négyfős csoportot jánljuk Ennek szervezése lehet hldási tempó szerint vegyes (heterogén csoportok), vgy zonos szinten lévő (homogén csoportok), vgy véletlenszerű A tnnyg eépített játékok z ór hngultánk jvítás és z érdeklődés fenntrtás mellett z nyg egykorlását szolgálják

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ A frontális munkform jelen eseten nem tnulók psszív mgtrtásár építő tnári mgyráztot szolgálj, hnem z osztály összes tgjánk ktív részvételére épülő eszélgetés tnulásszervezési keretét dj meg Érettségi követelmények: Középszint: Tudj lklmzni feldtokn következő kifejezések kifejtését, illetve szorzttá lkítását: ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ; Tudjon lgeri kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehjtni, lgeri kifejezéseket egyszerű lkr hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzttá lkítás kiemeléssel, nevezetes zonosságok lklmzás) Ismerje z lphlmz és megoldáshlmz foglmát Alklmzz különöző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grfikus megoldás, ekvivlens átlkítások, következményegyenletre vezető átlkítások, új ismeretlen evezetése st Ismerje z egyismeretlenes másodfokú egyenlet áltlános lkját Tudj meghtározni diszkrimináns foglmát Ismerje és lklmzz megoldóképletet Hsználj teljes négyzetté lkítás módszerét Alklmzz feldtokn gyöktényezős lkot Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feldtokt megoldni Másodfokú egyenletrendszerek megoldás Emelt szint: Tudj lklmzni feldtokn z n n m m, illetve z kifejezés szorzttá lkítását Igzolj másodfokú egyenlet megoldóképletét Igzolj és lklmzz gyökök és együtthtók közötti összefüggéseket Értelmezési trtomány, illetve értékkészlet-vizsgálttl, vlmint szorzttá lkítássl megoldhtó feldtok, összetett feldtok megoldás

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 Tnnyg eosztás: I Algeri zonosságok Algeri zonosságok (ismétlés) Hrmdfokú nevezetes zonosságok II Másodfokú egyenlet Bevezető feldtok Megoldóképlet 5 A gyöktényezős lk 6 Gykorlás 7 Szöveges feldtok 8 Gykorlás 9 Gykorlás 0 Összefogllás Értékelés A modul végén, mellékelt záró dolgozt lpján, vlmint kise tnulási egységek végén szóeli és esetleges íráseli számonkérés

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ 6 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I Algeri zonosságok Algeri zonosságok (ismétlés) Keresd csoportod! A tnulók mindegyike kp egy kártyát, zonos csoport kerülnek zok, kiknek kártyáján zonos kifejezés szerepel Ezen z órán ők dolgoznk együtt Csoport munk A csoport mindegyik tgj más-más feldtot kp, melyet önállón old meg A feldtokt tnár osztj ki tnulók képességei szerint differenciálv Az önálló feldt megoldás után csoport megismerkedik minden feldttl A feldt megoldását z ismerteti tálánál, kinek csoport jelét és feldtszámát kihúzz tnár Füllentős Minden csoport megfoglmz témávl kpcsoltn igz és hmis állítást Az egyik csoport felolvss állításit, töi csoport megállpodik n, hogy melyik állítás hmis A csoport egyik tgj z ujjávl muttj hmis válsz számát Rendszerezés, komintív gondolkodás Kártykészlet Rendszerezés, komintív gondolkodás,, és feldtokól válogtv Rendszerezés, komintív gondolkodás Házi feldt kijelölése A, és feldtokól válogtv pár feldt

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 Hrmdfokú nevezetes zonosságok Házi feldtok ellenőrzése Hrmdfokú nevezetes zonosságok A két zonosság megeszélése, gykorló feldtok megoldás Memóri játék A tnulókt fős csoportokr ontjuk Minden csoportnk dunk 8 dr kártyát Lefordítják őket és kirknk előle egy 7-es tégllpot Az első tnuló felfordít két kártyát, h zonos kifejezések szerepelnek rjt, kkor z övé mind két kárty, és még egyszer ő fordít, h nem, kkor visszfordítj kártyákt és jön következő Addig próálkoznk, míg z összes kárty el nem fogy Az nyer, kihez legtö kárty került Induktív, deduktív következtetés 7 feldt Induktív, deduktív következtetés Kártykészlet Házi feldt kijelölése 0 feldt II Másodfokú egyenlet Bevezető feldtok Házi feldtok ellenőrzése Feldtküldés A tnulókt fős csoportokr ontjuk Minden csoport összeállít három feldtot z előző ór nygávl kpcsoltn És tová dj egy másik csoportnk Minden csoport közösen megoldj kpott feldtokt, megoldást visszküldi feldónk, kik kijvítják és értékelik másik csoport munkáját Közösen megeszéljük hiányos másodfokú egyenletek megoldási módszereit Induktív, deduktív következtetés 0,,, és mintpéldák 5 feldt Az osztályt három ngy csoportr ontjuk és felosztjuk közöttük feldtokt Végül együtt megfejtjük feldványt 5 Házi feldt kijelölése 6 és 8 feldt

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ 8 Megoldóképlet Házi feldtok ellenőrzése Bevezető feldt Levezetjük másodfokú egyenlet megoldóképletét egy konkrét Induktív, deduktív következtetés példán keresztül, illetve párhuzmosn vele áltlánosn is Megeszéljük diszkrimináns foglmát és zt, hogy ez hogyn efolyásolj gyökök számát A tnulókt csoportr ontjuk Kiosztjuk feldtokt, 9 feldt csoportok között z első két feldtot kpj z egyik csoport második kettőt másik, és így tová H minden csoport elkészült feldtávl, kkor közösen megeszéljük z egyenletek megoldását és megfejtjük rejtvényt 5 Házi feldt kijelölése feldt 5 A gyöktényezős lk Házi feldtok ellenőrzése Gyöktényezős lk foglmánk megeszélése konkrét példán Induktív, deduktív következtetés 9 mintpéld keresztül Néhány gykorló feldt megoldás, gyöktényezős lkr A,, 5 és 6 feldtokól Tridominó játék A tnulókt fős csoportokr ontjuk Minden csoportnk djunk 9 dr háromszög lkú kártyát Feldtuk felfelé fordítv kirkni tridominókt válogtv Kártykészlet

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 5 Házi feldt kijelölése A,, 5 és 6 feldtokól válogtv pár feldt 6 Gykorlás Házi feldtok ellenőrzése Beszéljük meg közösen, mire kell ngyon figyelnünk zárójelek felontáskor, mjd oldjunk meg néhány gykorló feldtot, diákok ktív közreműködésével Melyik kkukktojás? A tnulókt fős csoportokr ontjuk Minden csoportnk 0 dr kártyát dunk Feldtuk összepárosítni z zonos kifejezéseket H elkészültek csoportok, kkor megeszéljük, hogy mely Rendszerezés, komintív gondolkodás 0 és feldt Kártykészlet kártyák mrdtk ki, és miért Házi feldt kijelölése és 5 feldt

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ 0 7 Szöveges feldtok Házi feldtok ellenőrzése Szkértői Mozik A tnulókt fős csoportokr ontjuk Minden csoport osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákt, differenciálv tnulók képességei szerint Szétválnk csoportok z A, B, C, D jelek szerint, ők dolgoznk most együtt H elkészültek csoportok, mindenki visszmegy sját csoportjá, és töieknek elmondj feldtink megoldását A csoporton elül összekeverik z A, B, C, D jelű kártyákt, mindenki húz egyet A feldt megoldását z ismerteti tálánál, kinek csoport számát és etűjelét kihúzz tnár Szöveges feldtok, metkogníció 7, 8, 9 és 0 feldt Házi feldt kijelölése feldt 8 Gykorlás Házi feldtok ellenőrzése A tnulókt fős csoportokr ontjuk Minden csoport külön dolgozik feldton A leggyorsn elkészülő cspt ismerteti megoldást Szöveges feldtok, metkogníció,, 5 és 6 feldt Házi feldt kijelölése 7 feldt

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 Gykorlás Házi feldtok ellenőrzése Szkértői Mozik A tnulókt fős csoportokr ontjuk Minden csoport osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákt, differenciálv tnulók képességei szerint Szétválnk csoportok z A, B, C, D jelek szerint, ők dolgoznk most együtt H elkészültek csoportok, mindenki visszmegy sját csoportjá, és töieknek elmondj feldtink megoldását A csoporton elül összekeverik z A, B, C, D jelű kártyákt, mindenki húz egyet A feldt megoldását z ismerteti tálánál, kinek csoport számát és etűjelét kihúzz tnár Szöveges feldtok, metkogníció 9, 50, 5 és 5 feldt Házi feldt kijelölése 5 feldt 0 Összefogllás Házi feldtok ellenőrzése Legyél TE is milliomos! Négyfős csoportokt lkítunk ki z osztályn A csoporton elül mindenki egyedül dolgozik feldtokon H vlki elkd megoldásn, három segítséget hsználht fel: A közönség segítségét, felezőt és telefonos segítséget H elkészültek csoportok, megeszéljük és kiértékeljük megoldásokt Rendszerezés, komintív gondolkodás 5 Kártykészlet

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ I Nevezetes zonosságok (Ismétlés) Módszertni megjegyzés: Keresd csoportod! Mindenkinek dunk egy kártyát z láikól Ez lehet véletlenszerű: például tnulók mguk húznk egy-egy kártyát tnári sztlról vgy tudtos: figyelünk rr, hogy kinek melyik kártyát djuk Az zonos kifejezést jelentő kártyák tuljdonosi lkotnk egy csoportot Ezen z órán ők dolgoznk együtt H meglkultk csoportok, kkor írják fel z eddig tnult három nevezetes zonosságot kártykészlet ( 5) ( 5 )( 5) 0 5 ( 5) ( 5)( 5) 0 5 ( ) ( )( ) 6 9 ( )( ) 9 ( 5)( 5) 5

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ( ) ( )( ) 6 9 ( ) ( )( ) 8 6 ( ) ( ) ( )( )

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld Bontsuk prímtényezőire következő számokt: 599, 8099 ( 60 )( 60 ) 6 59 599 600 60 ( 90 )( 90 ) 9 89 7 89 8099 800 90 Módszertni megjegyzés: H nem vesszük észre, hogy lklmzhtó z ( )( ) zonosság, kkor is megoldhtó feldt prímtényezős felontás segítségével, csk ez utói eseten ez hosszdlms számolást igényel Mintpéld Egyszerűsítsük következő törteket: ) ; ) ) 006 6 ; c) 000 ( )( ) 6 6 7 ( )( ) 6 6 ( 006 6)( 006 6) 7998 000 998 999 00 006 6 ) 0 ; 000 000 c) Vegyük észre, hogy feldtn szereplő számok 000-rel szoros kpcsoltn vnnk, ezért legyen 000, ekkor 7998 000 998 999 00 ( ) ( )( ) ; ( ) Mintpéld Két szám szorzt 9, összege 0 Mennyi két szám négyzetösszege? Legyen két szám és, ekkor 9 0 Tudjuk, hogy ( ) eől: ( ) 0 9 00 8 8 Módszertni megjegyzés: Érdemes vissztérni erre feldtr másodfokú egyenletek megoldás után

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 5 Teljes négyzetté kiegészítés Mintpéld Egészítsük ki teljes négyzetté következő kifejezéseket! ) 8 0 ; ) ; c) 0 5 ; ) 8 0 ( ) 6 0 ( ) ) ( 6 7) ( ) c) 0 5 ( 5,5) ( ) vgy 0 5 ( 5) 5 ( ) [ 9 7] ( ) ; [,5 6,5,5] (,5), 5 [,5 6,5] 5 (,5), 5 ; Szélsőérték-feldtok Mintpéld 5 Álltink Tmás tégllp lkú területet kr elkeríteni 00 m kerítésdrótj vn, és zt szeretné, hogy szeretett álltink lehető legngyo területet kerítse el Mekkoránk válssz tégllp oldlit? Jelöljük tégllp oldlit -vl és -vel ( ) 00 00, K ( 00 ) 00 T Teljes négyzetté kiegészítés: 00 ( 50) ( 50) [ 50 ] ( 50) 500 A kifejezésnek mimum vn z 50 helyen (A mimum érték 500) Ekkor: 00 50 Tmás kkor keríti el legngyo területet álltink, h mindkét oldl 50 m Megjegyzés: A tégllp területe dott kerület esetén kkor legngyo, h oldli egyenlők, vgyis h négyzet

6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feldtok Módszertni megjegyzés: A tnulók fős csoportokn dolgoznk tová Kiosztjuk feldtokt, differenciálv tnulók képességei szerint (lp, közép és emelt szinten) A csoport mindegyik tgj más-más feldtot kp H készen vnnk, csoporton elül megeszélik feldtok megoldásit A feldt megoldását z ismerteti tálánál, kinek csoport jelét és feldtszámát kihúzz tnár Végezd el következő műveleteket! ) ( ) ; ) ( y ) ; c) ( z 5)( z 5) ; d) ( ) ; e) ( c) ; f) ( c )( 6c ) 6 ; g) ( y) ; h) ( 7y 5z) ; i) ( z 6)( z 6) ; j) ( 8 ) 7 ; k) ( 0 9c ) 5 5 ; l) ( 7c 5 )( 7c 5 ) y ; n) m) ( ) ; 7 5 5 y z ; o) 5 5z ) ; ) y 6y 9 ; c) z 5 ; 5 z 7 7 d) 9 6 ; e) 6 c 8c ; f) 6 c ; g) 9 y y ; h) 9y z 70yz 5 ; i) 6 z 6 ; j) m) 6 6 6 ; k) y 6y ; n) 00 c 9 8 7 80 c 8 ; l) 9 y y z z 5 5 9 6 0 8 c 5 ; 5z 9 7 6 0 ; o) 6 Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket! ) 0 5; ) 6 ; c) c 9 ; d) d d ; e) e 6 e ; f), f ; g) y y 9 ; h) 9 70 5 y y ; i) ; j) m) 6 7 6 ; k) 5 9 9 5 ; n) 69c 6 6c ; l) 5 8 6 5c d 0 cd ; o) 6 ; 6 ; p) ; q) 6 6 5 6 6 0,5 9 ; r) 6 8 8

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 7 ) ( 5) ; ) ( 6) ; c) ( c 7)( c 7) ; d) ( d ) ; e) ( e 6) ; f) (, f )(, f ) ; g) ( 7y) ; h) ( 7y 5) ; i) ( )( ) ; k) ( ) j) ( ) m) 6 5 7 5 p) ( ) ; c ; l) ( 5 )( 5 ) ; ; n) ( 5cd ) ; o) ( )( ) ; ; q) ( 0,5 ) ; r) ( 9 )( 9 ) Alkítsd teljes négyzetet trtlmzó kifejezéssé következőket: ) 6 8 ; ) 8 5 ; c) 5 ; d) 7 ; e) 8 5 ; f) 8 ; g) 7 h) 5 6 ) ( ) ; ) ( ) ; c) (,5) 9, 5 ; d) (,5 ), 75 ; e) ( ) 7 ; f) ( ) 66 ; g) (,75), 875 ; h) 5 9 6 6 Úgy vágj két részre egy 7 cm hosszú szkszt, hogy z egyes részek, mint oldlk fölé emelt négyzetek területének összege lehető legkise legyen! Legyen két rész és 7 ( 7 ) 58 ( 7 59) [( 6) 96 59] ( 6) 59 Ez z összeg úgy lehet legkise, h 6 7 7 6 6 A négyzetek területének összege kkor legkise, h két rész egyenlő egymássl 5 Azok közül derékszögű háromszögek közül, melyeknél efogók összege 5 cm, melyiknek z átfogój legkise? Jelöljük efogókt -vl és -vel, z átfogót c-vel

8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 c 5 ( 5 ) 0 5 Teljes négyzetté lkítás: 0 5 ( 7,5), 5 Minimum vn z 7, 5 helyen ( minimum érték,5), így 5 7,5 7, 5 c,5 c 0,6 cm Ezek közül derékszögű háromszögek közül z egyenlőszárú átfogój legkise 6 Egy kereszteződés felé két egymásr merőleges úton egyenletes seességgel hld két utó Egyszerre indultk, z egyik 60 km/h seességgel 0 km távolságól, másik 90 km/h seességgel 5 km távolságól Mennyi idő múlv lesznek egymáshoz legközele? Mekkor ekkor távolságuk? Legyen keresett idő t (ór) A Pitgorsz-tételt lklmzv távolságuk négyzete: ( 0 60t) ( 5 90t) 700t 900 600t 600t 700t 95 700 t 05 800t 800t t 700 t A függvénynek t -nél lesz minimum, zz két utós pont fél ór múlv lesz legközele egymáshoz, ekkor távolságuk 0, zz éppen kereszteződéen tlálkoznk Ez egyéként helyesen megrjzolt áráól zonnl kiderül! Jó péld rr, hogy elő érdemes gondolkozni, csk után számolni

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 9 Módszertni megjegyzés: Amennyien vn rá idő, jöhet Füllentős játék Minden csoport megfoglmz témávl kpcsoltn igz hmis állítást Az egyik csoport felolvss állításit, vgy h szükséges, felírj tálár, töi csoport megállpodik n, hogy melyik állítás hmis A csoport egyik tgj z ujjávl muttj hmis válsz számát Közösen megeszéljük, melyik volt tényleg hmis állítás Házi feldt jvslt: Az, és feldtokól kimrdó részfeldtok

0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ II Hrmdfokú nevezetes zonosságok Két szám összegének hrmdik htvány Módszertni megjegyzés: Mindenképpen jánlott elkészíteni, vgy tnulókkl elkészíttetni z lái, oldlú, összerkhtó színes kockát Elkészítendő eszköz: () oldlú színes kock Felhsználjuk htványozás zonosságit: ( ) ( )( ) ( )( ) és zt ( ) -re lklmzzuk Két szám összegének köét kiszámíthtjuk, h z első tg köéhez hozzádjuk z első tg négyzetének és második tg háromszorosánk szorztát, vlmint második tg négyzetének és z első tg háromszorosánk szorztát, végül második tg köét Mintpéld 6 Végezzük el következő műveletet: ( 5) ( 5) 5 5 5 5 75 5

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK Két szám különségének hrmdik htvány Felhsználjuk htványozás zonosságit: ( ) ( )( ) ( )( ) és zt ( ) -re lklmzzuk Két szám különségének köét kiszámíthtjuk, h z első tg köéhez hozzádjuk második tg négyzetének és z első tg háromszorosánk szorztát, mjd vonjuk ki z első tg négyzetének és második tg háromszorosánk szorztát, vlmint második tg köét Mintpéld 7 Végezzük el következő műveletet: ( y 6) ( 6) y y 6 y6 6 y 8y 08y 6 y ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Mintpéld 8 Számoljuk ki, nevezetes zonosságok felhsználásávl következő htványokt:, 69, 06 9,, 9 69 ( 0 ) 0 0 600 80 68 ; ( 70 ) 70 70 900 0 76 ; ( 00 6)( 00 6) 00 6 0000 6 996 06 9 ; 9 ( 0 ) 0 0 0 8000 00 60 96 ( 0 ) 0 0 0 8000 00 60 6859 ;

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld 9 Két szám szorzt 56, összege 5 Mennyi két szám köének z összege? Legyen két szám és, ekkor 56, 5 Tudjuk, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) 5 56 5 75 50 855 eől: Továi két nevezetes zonosság (kiegészítő nyg) ( )( ) ( )( ) ( )( ( )( ) ) Ezek z zonosságok zt is megmuttják, hogy két köszám különsége mindig oszthtó számok különségével, illetve két köszám összege számok összegével oszthtó Mintpéld 0 Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket: ) 7 ; ) 6 z 6 y ) ( )( ) 7 ( ) ( )( 9 ) ) ( )( ) zonosságot felhsználv: ; zonosságot felhsználv: ( ) ( yz ) ( yz )( 6 yz y ) 6 6 y z z

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK Feldtok Módszertni megjegyzés: A tnulók önállón oldjnk meg néhányt z lái feldtok közül 7 Végezd el következő műveleteket! ) ( ) ; ) ( ) ; c) ( c ) ; d) ( ) e) ( ) ; f) ( ) i) 5 ; j) ( 0, ) d ; ; g) ( ) ; h) ( ) c ; k) 7 5 6 ) ; ) 6 8 ; c) c 9c 7c 7 ; d) d d 8d 6 ; ; ; l) ( ) e) 8 6 ; f) 9 5 6 8 ; 6 9 6 g) 9 7 7 ; h) 8 8 96 6 ; d c 5 75 i) 5 ; j) 8 7 8 6 9 0,8, 0,06 ; k) 8c 7 9 6 7 5 0 5 6 c c ; 6 6 9 6 8 6 l) 9d c 08d c d c 6 Módszertni megjegyzés: Memórijáték Minden csoportnk dunk 8 dr kártyát Feldtuk először felfelé fordítv összepárosítni z zonoskt Mjd összekeverik kártyákt, mindegyiket lefordítják és kirknk előle egy 7-es tégllpot Az első tnuló felfordít két kártyát, h zonos kifejezések szerepelnek rjtuk, kkor z övé mind két kárty, és még egyszer ő fordít, h nem, kkor visszfordítj kártyákt és jön következő Addig próálkoznk, míg z összes kárty el nem fogy Az nyer, kihez legtö kárty került Felügyeljük játék menetét Ez játék zon túl, hogy gykorolttj z lgeri zonosságokt, emlékezetfejlesztő gykorlt is kártykészlet

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ ( ) ( ) ( ) 6 9 ( ) 9 6 ( ) 9 7 7 ( ) 9 ( ) 9 7 7 6 8 7 59 ( ) 8 6 ( ) 6 8 ( ) 6 8 ( ) 7 5 6 8

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 5 8 Mivel egyenlő két szomszédos egész szám négyzetének különsége? ( ) ( )( ) ( ) ( ), n n n n n n n n n n zz két szám összegével egyenlő Másképpen: ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n 9 Alkítsuk szorzttá z kifejezést! ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Módszertni megjegyzés: Házi feldtnk jvsoljuk 0 feldtot 0 Hozd egyszerű lkr következő kifejezéseket, változók lehetséges értékeinél! ) ( ) 6 ; ) ( ) y y y y y 8 7 7 ; c) 6 6 : ; d) ( ) ( ) ; e) ( ) ( ) 6 : 9 9 ; f) ; g) ( ) ( ) : ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 6 ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y y y y y y 7 8 8 7 7 ; c) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 6 6 6 6 : ;

6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ; e) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 9 6 : 9 9 ; f) ( )( ) ( )( ) ( ) ; g) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) : Hány olyn ( ) y ; egész számpár vn és melyek ezek, melyekre igz, hogy 0 0 7 9 6 y y y? 0 0 7 9 6 y y y 0 0 y y y ( ) ( ) 0 0 7 8 y ( ) ( ) y Két egész szám köének összege csk úgy lehet, h z egyik másik pedig 0 Vgy 0, y, zz y Vgy 0, y, zz, y Két ilyen számpár vn, ( ) ; és ( ) ; A Pscl-háromszög (kiegészítő nyg) Vizsgáljuk meg áltlánosn kéttgú összegek nemnegtív kitevőjű htványit Írjuk egymás lá z ( ) összeg nulldik, első, második, hrmdik, negyedik és ötödik htványát Az ( ) összeg négyzetének és köének felírását már megfoglmztuk, mgs htványok hsonlón képezhetőek: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5, st

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 7 ( ) 5 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 5 0 0 5 5 Pscl frnci mtemtikus vette észre, hogy z együtthtókt egymás lá írv, olyn háromszöget kpunk, melyen háromszög külső szári mentén csup egyes áll, elül pedig ármely szám megkphtó közvetlen felette álló két szám összegeként: Pscl-háromszög 6 5 0 0 5 Feldtok A Pscl-háromszög felhsználásávl írd fel z ( ) 6 összeg lkját, és kpott összefüggést lklmzd z ( ) 6 esetén 6 6 5 5 6 ( ) 6 5 0 5 6 6 6 5 5 6 ( ) 6 5 0 5 6 6 6 5 ( ) 60 60 0 9 6

8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Számítsd ki Pscl-háromszögen z egyes sorokn lévő számok z összegét Mit tpsztlsz? 0 8 6 6 5 0 0 5 Az összeg mindig htvány 5 Mutsd meg, hogy következő számok összetett számok! ) 7999; ) 700; c) 99997; d) 000 Felhsználjuk, hogy, ) 7999 8000 0 0 7999 9 7999 ; ) 700 7000 0 0 700 700; c) 99997 000000 7 00 00 99997 97 99997 ; d) 000 000000 00 7 00 7 000 07 000

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 9 III A másodfokú egyenletet evezető feldtok Módszertni megjegyzés: Minden csoport állítson össze három feldtot z előző ór nygávl kpcsoltn Például ( )? Ezután dj tová egy másik csoportnk Felügyeljük feldt írását, hogy ne djnk egymásnk túl nehéz feldtokt, csk olynokt, miket ők is meg tudnk oldni Megnézzük z elkészült megoldásokt, hogy vne enne hi, de ne szóljunk érte rögtön, hnem figyeljük meg, hogy jvító csoport megtlálj-e hiát Minden csoport közösen megoldj kpott feldtokt, megoldást visszküldi feldónk, kik kijvítják és értékelik másik csoport munkáját Mintpéld Oldjuk meg z 6 egyenletet z egész számok hlmzán! Alphlmz: Z 6 0 Alkítsuk szorzttá l oldlt, felhsználv, hogy ( )( ) ( 8 )( 8) 0 : Innen két megoldás dódik:, 8 M { 8; 8} 8 Mintpéld Oldjuk meg z 8 0 egyenletet rcionális számok hlmzán! Alphlmz: Q 6 0 6 Az egyenletnek nincs megoldás, mert 0 { } M

0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld Oldjuk meg z ( ) 0 egyenletet! Alphlmz: R (Amennyien nem teszünk megszorítást z lphlmzr vontkozón, megoldásokt mindig R-en keressük) Próáljuk z egyenletet z előzőhöz hsonló lkr hozni: ( ) 8 0 Alkítsuk szorzttá l oldlt, felhsználv, hogy ( )( ) Megjegyzés: A Tnulók könyvéen hiás megoldás jelent meg! A jó megoldás: ( 9)( 9) 0 Eől következő két megoldás dódik:, 6 M { ; 6} Mintpéld Oldd meg egyenletet! Alkítsuk teljes négyzetet trtlmzó kifejezéssé z egyenletet, ezért rendezzük át: 0 ; ( 6 6) 0 ; [( ) 9 6] 0 Visszvezettük z egyenletet z előző típusr, innen hsonló feldt megoldás: ( ) 5 0 Alkítsuk szorzttá l oldlt, felhsználv, hogy ( )( ) ( 5)( 5) 0 : Eől következő két megoldás dódik:, M { 8; } 8 Mindegyik megoldott egyenletnél helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy jól számoltunk Feldtok Módszertni megjegyzés: A mintpéldákon keresztül megeszéljük, hogy hogyn oldunk meg egyszerű másodfokú egyenleteket Mjd z osztályt három ngy csoportr ontjuk, például pdsoronként, és felosztjuk közöttük következő feldtokt Végül együtt megfejtjük rejtvényt

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 5 Oldd meg z lái egyenleteket, mjd dd össze z egyenletek gyökeit Az így kpott összegeket párosítsd össze tálázteli etűkkel! H etűket egymás mellé írod feldtok sorrendjéen, kkor kiolvshtod megoldást ) 6 0 ; ) ( 5) 6 d) ( ) 0 ; c) 5 0 ; ; e) 8 0 ; f) 5 0 ; ; h),8 9, 6 ; i) 0,5, 5 ; g) ( 5) 9 0 j) 5 0 ; k) 0 5 0 ; l), 0 ; m) 9 6 M L A H I S Z G 0 5 0,5 6 0 ) 0, ; ), 0 ; c), 5 0 ; d), 6 ; 5 7 e), ; f), 0 ; 5 g), 0 ; h) 0,,5, 5 ; i), 0 ; j) 5 5 0, ; k) 0 ; l),, 0, 0 ; 5 m) 6 I G A Z S A G H A L M A Z 0 6 Oldd meg z lái egyenleteket! ) 0 ; ) ( ) 9 0 ; c) 69 0 ; d) 8 6 0 ; e) ; f) 5 6 ) 0 ; ) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) 5, 0

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 Hány olyn vlós szám vn, és melyek zok, melyeknek hrmdát és z ötödét összeszorozv szám tizenötszörösét kpjuk? 5 5 0, 5 5 Két ilyen vlós szám vn, 0 és 5 8 Két szomszédos pozitív egész számot összeszorozv, szorzt 69-cel lesz ngyo, mint kiseik szám Melyik ez két szám? Legyen két szám n és n, ekkor ( n ) n 69 n n n n 69 n 69 n, n Ez utói nem lehet megoldás feltétel mitt, ezért n, n Tehát két szám és

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK IV A másodfokú egyenlet megoldóképlete A Kr e 000-ől vló Mezopotámián tlált leletek zt muttják, hogy már ismerték z első és másodfokú egyenletek megoldását, sőt oldottk meg hrmdfokú egyenletet is Módszertni megjegyzés: Egy áltluk megoldott kkori időől szármzó feldt: Két négyzet területének összege 000 Az egyik négyzet oldl másik oldlánk kéthrmdánál tízzel kise Mekkorák négyzetek oldli? Jelöljük négyzetek oldlit -vl és -vel Ekkor: 000; 0 0 000 9 0 00 000 0 900 9 9000 0 800 0 Célunk z ilyen típusú másodfokú egyenletek áltlános megoldás Az ór végén vissztérhetünk z egyenlet megoldásár és megmutthtjuk, hogy z egyenlet pozitív megoldás 0, így két négyzet oldlink hossz 0 és 0 Áltlános lkn megdott másodfokú egyenletet is át tudunk lkítni z előző módszerrel, így megkereshetjük megoldások áltlános lkját Induljunk ki 5 0 egyenletől Emeljünk ki -t: 5 0 Alkítsuk zárójelen elüli kifejezést teljes négyzetté: 69 5 0 6 Induljunk ki z c 0 ( 0) egyenletől c Emeljünk ki -t: 0 Alkítsuk zárójelen elüli kifejezést teljes négyzetté: c 0

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Hozzunk közös nevezőre: 0 6 0 69 Hozzunk közös nevezőre: 0 c Alkítsuk szorzttá szögletes zárójelen elüli kifejezést! Alkítsuk szorzttá szögletes zárójelen elüli kifejezést! H 0 < c, kkor nem tudjuk szorzttá lkítni, mert z -hez egy pozitív számot dunk hozzá, tehát z összeg nem 0 H 0 c, kkor c törtet felírjuk négyzet lkn: c c c (Precízen Végig ezzel számolv, végül ugynezeket gyököket kpnánk végeredményül) 0 9 Most már szorzttá lkíthtjuk szögletes zárójelen elüli kifejezést, felhsználv z ( )( ) nevezetes zonosságot: 0 7 7 0 c Most már szorzttá lkíthtjuk szögletes zárójelen elüli kifejezést, felhsználv z ( )( ) nevezetes zonosságot: 0 c c Egy szorzt kkor és csk kkor null, h vlmelyik tényezője null, ezért két eset lehetséges: 0 7 vgy 0 7 Egy szorzt kkor és csk kkor null, h vlmelyik tényezője null Mivel kikötöttük, hogy 0, ezért két eset lehetséges: 0 c vgy 0 c

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 5 Eől: Eől 5, c, c A gyököket rövide lkn, összevonv szoktuk felírni: Az c 0 ( 0) másodfokú egyenlet megoldóképlete:, ± c Mintpéld 5 Oldjuk meg 9 0 0 másodfokú egyenletet! A megoldóképlete z, 9, c 0 értékeket ehelyettesítve: 9 ± 9 0 9 ±,, 5 M { ; 5} Mintpéld 6 Oldjuk meg 0 másodfokú egyenletet! Az egyenletet rendezzük úgy, hogy z egyik oldlon 0 álljon: 0 0 és z ismeretlen kitevője szerint írjuk csökkenő sorrende tgokt: 0 0 Az ilyen lk írt másodfokú egyenletet 0-r redukált rendezett polinom lknk nevezzük A megoldóképlete z,, c 0 értékeket ehelyettesítve: ( 0) ± ± 9 5,, M 5 ; A másodfokú egyenlet megoldás szempontjáól ngyon fontos négyzetgyök ltti c kifejezés előjele, ezért ennek kifejezésnek önálló nevet is dunk: másodfokú egyenlet diszkriminánsánk nevezzük, és D-vel jelöljük A diszkrimináns szó jelentése: meghtározó, döntő Az c 0 ( 0) másodfokú egyenlet diszkrimináns: D c

6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld 7 Az egyenletek megoldás nélkül állpítsuk meg, hogy hány vlós megoldás vn következő egyenleteknek! ) 5 8 0 ; ) 8 0 ; c) 5 7 0 ) D 5 8 7 < 0, z egyenletnek nincs vlós gyöke ) D 8 0, z egyenletnek egy vlós gyöke vn c) D 9 5 ( ) 69 > 0 Az c 0 ( 0) másodfokú egyenletnek, z egyenletnek két különöző vlós gyöke vn két különöző vlós gyöke vn, h D c > 0, és ekkor, ± c, két egyeeső vlós gyöke vn, h D c 0, ekkor nincs vlós gyöke, h D c < 0, Mintpéld 8 Az 0egyenleten htározzuk meg z együtthtó értékét úgy, hogy z egyenletnek ) ne legyen megoldás vlós számok köréen; ) egy vlós gyöke legyen; c) két különöző vlós gyöke legyen! H 0, kkor z egyenlet elsőfokú: 0 H 0, kkor ) D c 6 8 < 0 < ; ) D 6 8 0 vgy 0 ; c) D 6 8 > 0 < és 0 Ennek egy gyöke vn:

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 7 Módszertni megjegyzés: Visszutlás: A Mintpéld feldtát megoldhtjuk megoldóképlettel is: Legyen két szám és 0, ekkor ( ) 9 0 9 0 7, 0 0, 0 7 A két szám 7 és, négyzetösszegük: 7 8 Feldtok Módszertni megjegyzés: A tnulókt csoportr osztjuk Kiosztjuk feldtokt csoportok között Az első két feldtot kpj z egyik csoport, második kettőt másik, és így tová H minden csoport elkészült feldtávl, kkor közösen megeszéljük z egyenletek megoldását és megfejtjük rejtvényt 9 Oldd meg z lái egyenleteket, mjd feldtonként gyököket növekvő sorrende írd e lenti tálázt! H növekvő sorrende teszed z összes gyököt, kiolvshtod megoldást! ) 7 0 0 ; ) 0 ; c) 0 0 ; d) 7 0 ; e) 7 5 ; f) 0 7 ; g) 5 ; h) 5 G S Ü O L Á S L E T Y Á E Z N M G S Ü O L Á S L E T Y Á E Z N M 5 7 6 7 5 5 5 Ü G Y E S E N S Z Á M O L T Á L! 0 Rendezd ngyság szerinti növekvő sorrende z egyenletek vlós gyökeit! 7 0 ; 6 0

8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 0,,75 6 0,5, A gyökök növekvő sorrenden:,75,,,, 5 Módszertni megjegyzés: A feldtot házi feldtnk jvsoljuk Az egyenletek megoldás nélkül állpítsd meg, hogy hány vlós megoldás vn következő egyenleteknek! ) 7 5 ; ) 5 6 7 ; c) 5 0 ; d) 8 0 ; e) 5 6 0 ; f) 9 0 ; g) 6 5 ; h) ) 6 ( 7) 9 > 0 7 5 ; i) D egyenletnek két vlós gyöke vn ) D 6 0 z egyenletnek egy vlós gyöke vn c) 6 ( ) 6 > 0 D egyenletnek két vlós gyöke vn d) D 576 8 0 z egyenletnek egy vlós gyöke vn e) D 5 6 > 0 z egyenletnek két vlós gyöke vn f) D 8 87 < 0 z egyenletnek nincs vlós gyöke g) ( ) 55 > 0 D egyenletnek két vlós gyöke vn h) D 0 z egyenletnek egy vlós gyöke vn i) 8 5 ( 7) > 0 D egyenletnek két vlós gyöke vn 7 9 Az 8 0 egyenleten, állpítsd meg együtthtó értékét úgy, hogy z egyenletnek ) ne legyen megoldás vlós számok köréen; ) egy vlós gyöke legyen; c) két különöző vlós gyöke legyen! ) D c < 0 < ; ) D 0 ; c) D > 0 >

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 9 V Gyöktényezős lk Mintpéld 9 Oldjuk meg z ( )( ) 0 egyenletet! H elvégeznénk műveleteket, kkor z 0 másodfokú egyenlet dódn, melyre lklmzv megoldóképletet, két gyök:, Ez megoldás zonn rögtön kiolvshtó z eredeti egyenletől is, hiszen egy szorzt kkor és csk kkor null, h vlmelyik tényezője null, zz h 0 vgy h 0 Az ilyen lkot z egyenlet gyöktényezős lkjánk nevezzük, mert közvetlenül leolvshtók előle gyökök Nézzük meg áltlánosn is: A c 0 ( 0) egyenlet l oldlát már egyszer szorzttá lkítottuk: c c 0 Felhsználv z c, következő lk írhtó: ( )( ) 0 nevezzük c jelöléseket, z egyenlet Ezt z egyenlet gyöktényezős lkjánk Az c 0 ( 0) másodfokú egyenlet gyöktényezős lkj: ( )( ) 0 Mintpéld 0 Alkítsuk szorzttá kifejezést! Htározzuk meg 0 másodfokú egyenlet gyökeit: Írjuk fel másodfokú egyenlet gyöktényezős lkját: ( ) 0, Célszerű lehet -vel vló szorzást elvégezni: ( )( ) 0 Tehát: ( )( )

0 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld Írjunk fel olyn másodfokú egyenletet, melynek gyökei és A gyöktényezős lk helyettesítsük e z ( )( ) ( ) 0, gyököket: tetszőleges nullától különöző vlós szám, de célszerű úgy megválsztni, hogy kifejezés ne trtlmzzon törtet, például legyen ( ) ( )( ) 8 0 Tehát például 8 0 egyenletnek gyökei, és Mintpéld 7 6 Egyszerűsítsük törtet! 6 Alkítsuk szorzttá tört számlálóját és nevezőjét! A 7 6 0 egyenlet gyökei: ( ) ( )( ) A 6 0 egyenlet gyökei: 6 ( )( ),,, így számláló szorzt lkj:, így nevező szorzt lkj: Minthogy nevező nem lehet null, így z értelmezési trtomány: R \ ; Visszírv z eredeti kifejezése: 6 7 6 ( )( ) ( )( )

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK Mintpéld Az 7 0 egyenlet egyik gyöke Htározzuk meg másik gyököt és diszkriminánst! Írjuk fel z egyenlet gyöktényezős lkját! Mivel gyöke z egyenletnek, ezért igzzá teszi z egyenletet: 9 0 Eől, így másodfokú egyenlet: 7 0,, és D Az egyenlet gyöktényezős lkj: ( )( ) 0, ennek gyökei Módszertni megjegyzés: Triminó játék Minden csoportnk djunk 9 dr háromszög lkú kártyát triminóól Feldtuk összepárosítni z egyenleteket és megoldásukt, kirkni ngy háromszöget triminó

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feldtok Házi feldt jvslt: A,, 5 és 6 feldtokól válogtv néhány feldt Oldd meg z egyenleteket! ) ( )( 5) 0 ) ( )( ) 0 c) 7 ( )( 8) 0 5 ), ; ), ; c) 8, Írj fel olyn másodfokú egyenletet, melynek gyökei ) és 5 ) és c),5 és d) és ) 8 5 0 ; ) 8 0 ; c) 6 5 6 0 ; d) ( ) 6 5 Alkítsd szorzttá következő polinomokt! ) 0 ) c) 5 7 d) 9 0 ) ( 5 )( ) ; ) ( )( ) ; c) ( 7)( 5 ) ; d) ( 5)( ) 6 Egyszerűsítsd következő törteket! ) ; 5 ) 6 5 5 0 c) ; ) ; ) 5 7 ( ) ; c) 5 ; 7 Az 0 0 egyenlet egyik gyöke 5 Htározd meg másik gyököt! Htározd meg diszkriminánst! Írd fel z egyenlet gyöktényezős lkját!

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK Mivel 5 gyöke z egyenletnek, ezért kielégíti z egyenletet: 5 5 0 0 Eől, így másodfokú egyenlet: 0 0, ennek gyökei, 5 A diszkrimináns: D 6 Az egyenlet gyöktényezős lkj: ( )( 5) 0

MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ VI Gykorlás Mintpéld Oldjuk meg ( ) ( 5)( ) egyenletet z egész számok hlmzán! Előállítjuk z egyenlet 0-r redukált lkját, és lklmzzuk megoldóképletet Beszorzás után: 9 7 9 0, A feldt lphlmzá csk z trtozik Feldtok 8 Oldd meg 6 ( ) ( ) ( ) egyenletet! 9 0, A feldt lphlmzá mindkét megoldás eletrtozik 9 Oldd meg ( 6) ( ) ( ) számok hlmzán! egyenletet z egész 9 0, A feldt lphlmzá csk z trtozik 7 0 Oldd meg ( )( ) 6 6 0, egyenletet negtív számok hlmzán! A feldt lphlmzá csk z trtozik Oldd meg ( )( ) 9 6 0, egyenletet pozitív számok hlmzán! 5 A feldt lphlmzá mindkét megoldás eletrtozik

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 5 Oldd meg ( 5 )( 7 ) ( 6)( ) egyenletet rcionális számok hlmzán! 5 6 6 0 0 0, A feldt lphlmzá mindkét megoldás eletrtozik 0 Oldd meg ( ) 8 9 8 egyenletet rcionális számok hlmzán! 9 6, A feldt lphlmzá mindkét megoldás eletrtozik egyenletet z egész számok hlmzán! Oldd meg ( ) ( ) 6 5 8 5 0, 5 A feldt lphlmzá csk z 5 trtozik 9 5 5 Oldd meg ( 7 ) ( 5 6) egyenletet természetes számok hlmzán! 9 9 5 60 6 5 9 0 9, A feldt lphlmzá csk z 9 trtozik 6 Oldd meg ( ) ( ) 9 egyenletet vlós számok hlmzán! 9 9 9 5 0, A feldt lphlmzá mindkét megoldás eletrtozik

6 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Módszertni megjegyzés: Melyik kkukktojás? Minden csoportnk 0 dr kártyát dunk Feldtuk összepárosítni z zonos kifejezéseket H elkészültek csoportok, kkor megeszéljük, hogy mely kártyák mrdtk ki, és miért kártykészlet 5 6 0 ( )( ) 0, ( ) 9 ( )( ) ( )( ) 0 5 0, ( )( ) 5 ( 5)( 5) ( )( ) 0 6 0, ( 5 ) ( 6) 6 ( 7 9)( ) 0 7 8 0, 9 7 ( ) ( )( 6) ( 5 )( 5) 0 5 0 0 5, 5 ( ) ( )

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 7 Szöveges feldtok Módszertni megjegyzés: Szöveges feldtok megoldáskor kiemelt fontosságú szöveg helyes értelmezése, fontos dtok kiválogtás Figyeljünk rá, hogy mindig egyértelmű legyen, mit jelölünk ismeretlennel A feldtok lgeri megoldás után szerepeljen szöveges válsz, végül sose feledjük z ellenőrzésnek z részét, mikor kpott eredményt feldt szövegének is megfeleltetjük Mintpéld 5 Egy üzleti tárgylás résztvevői kézfogássl köszöntötték egymást Összesen 6 kézfogás történt Mindenki mindenkivel pontosn egyszer fogott kezet Hányn voltk tlálkozón? Jelöljük n-nel jelenlévők számát Mindenki n emerrel fogott kezet Ezek szám n ( n ), de ekkor minden kézfogást pontosn kétszer számoltunk Ezért ( ) n n 6, innen: n n 7 0 Az egyenlet gyökei: n 7, n 6 Ez utói nem megoldás feldtnk, hiszen negtív számú résztvevő nem létezik A tlálkozón 7-en vettek részt Ellenőrzés: 7 emer vett részt tárgyláson, mindenki 6 emerrel fogott kezet Ez 7 6 7 kézfogást jelentene, de minden kézfogást kétszer számoltunk, így összesen 6 kézfogás történt Mintpéld 6 Két kock egy-egy élének összege cm A felszíneik összege 58 cm Mekkor ngyoik kock térfogt? (Emlékeztető: kock felszíne: 6 A, térfogt: V ) Jelöljük z egyik kock élhosszúságát -szel, ekkor másik él: 6 ( ) 6 58 Egyszerű lkn: ( ) 85 68 8 0 85

8 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Az egyenlet gyökei: 8, A ngyoik kock éle cm Térfogt V 67 cm Ellenőrzés: A két kock éleinek összege: 8 cm A kiseik kock felszíne: 6 8 9 cm, ngyoik kock felszíne: 6 7 cm A felszínek összege: 9 7 58 cm Mintpéld 7 Viktor 60 km-es utóút előtt áll H szokásos tempójávl vezetne, kkor lekésné km világjnoki döntő közvetítését H 0 -vl gyorsn menne, kkor perccel h hmr érne hz, és látná meccs kezdetét is Mennyivel megy Viktor, h elejétől nézni tudj döntőt? Viktor eredeti seességét jelöljük v-vel Mivel s v t 60 v t A perc z 0, ór ezért második eseten 60 ( 0)( t 0,) Az első egyenletől v 60 v ezt ehelyettesítve második: t 60 60 0 t t nem lehet megoldás Ezért t, v 80 ( t 0,) 0t 8t 6 0 t,, 6 Viktor, hogy láss meccset, átlgosn 00 km -vl megy h Ez utói km Ellenőrzés: Viktor szokásos tempójávl 80, ór ltt teszi meg z utt, h h km 00 seességgel megy, kkor ugynezt z utt,6 ór, zz ór és 6 perc ltt h teszi meg, így perccel hmr ér hz: látj meccs kezdetét Feldtok Módszertni megjegyzés: Minden csoport osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákt, differenciálv tnulók képességei szerint Szétválnk csoportok z A, B, C, D jelek szerint, z zonos etűsök dolgoznk most együtt H elkészültek csoportok, mindenki visszmegy

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 9 sját csoportjá, és töieknek elmondj feldtánk megoldását A csoporton elül összekeverik z A, B, C, D jelű kártyákt, mindenki húz egyet A feldt megoldását z ismerteti tálánál, kinek csoport számát és etűjelét kihúzz tnár Az A jelűek feldt: 7 Egy négyzet egyik oldlát cm-rel megnöveljük, másik oldlát ugynennyivel csökkentjük Az így kpott tégllp területe 5 cm Mekkor volt négyzet oldl? Jelöljük -szel négyzet oldlát, ekkor tégllp oldli:, A tégllp területe: ( )( ) 5 9 ± 7, A negtív gyöknek itt nincs értelme, négyzet oldl 7 cm Ellenőrzés: A tégllp oldli 9 és 5 cm, így területe 5 cm A B jelűek feldt: 8 Egy derékszögű háromszögen z átfogó cm-rel hossz z egyik efogónál Kerülete 0 cm Mekkorák z oldli? K c 0 8 ( 8 ) ( ) 9 60 0 c 5, Ezért háromszög oldli: 8 8, 5, c 7 Az 8 0 nem háromszög Ellenőrzés: K 8 5 7 0 és 7 cm-es átfogó vlón cm-rel hossz 5 cm-es efogónál A C jelűek feldt: 9 Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9 H felcseréljük számjegyeket, és z így kpott számot z eredetivel megszorozzuk, kkor 9-et kpunk eredményül Melyik ez kétjegyű szám? Az egyik számjegy, másik 9 A kétjegyű szám: 0 9, fordított szám: ( 9 ) 0 ( )( 0 ) 9 0, 7

50 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Eől: 7, 9 9 A keresett kétjegyű szám 7 vgy 7 Ellenőrzés: 7 9, 7 7 9 A D jelűek feldt: 0 Egy jnokságon összesen 6 pontot osztottk ki résztvevő csptok között A győzelemért pontot, döntetlenért pontot, vereségért 0 pontot dtk szervezők Hányn vettek részt jnokságon, h mindenki mindenkivel kétszer játszott? Minden mérkőzésen pontot osztottk ki, ezért 06 meccs volt n résztvevő esetén: n ( n ) 06 n 8, n 7 Összesen 8 cspt vett részt jnokságon Módszertni megjegyzés: A feldtot házi feldtnk jvsoljuk Egy n-oldlú sokszögnek háromszor nnyi átlój vn, mint oldl Hány oldlú sokszög? Adhtunk feldthoz egy kis segítséget: n oldlú sokszög átlóink szám: ( n ) n Ezt felhsználv, z egyenlet: n Gykori hi, hogy z egyenlet másik oldlát szorozzák meg háromml Ilyenkor ( n ) n( n ) n felírhtjuk következő egyenlőtlenséget: > n Innen tlán jon látszik, hogy kkor kpunk egyenlőséget, h kise számot szorozzuk -ml n 9n 0 n 9; n 0, ez utói nem lehet megoldás Zoli születésnpjár egy 500 dros puzzle-t kp jándék Először szétválogtj széleket, és zokt rkj ki, mjd megszámolj, hogy ez összesen 66 dról áll, eleszámítv négy srkot is Hány soról és hány oszlopól áll Zoli puzzle-j? Legyenek puzzle oszlopi és sori és 500 ( ) 66 70 85 85

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 5 ( ) 500 0 85 500 60, 5 85 A puzzle sorink, illetve oszlopink szám 5, illetve 60 Két egymás után következő pozitív pártln szám szorzt 608 Melyik ez két szám? Jelöljük kiseik pártln számot -szel, ekkor másik ( ) 680 608 0 77, 79 Mivel pozitív számokról vn szó két pártln szám 77 és 79 Egy tégllp egyik oldl cm-rel hossz másiknál Átlój 7 cm Mekkor területe? Legyen tégllp egyik oldl, ekkor másik ( ) 7 0 0, 5 ez utói nem lehet megoldás 5 T 0 A tégllp oldli és 5 cm, területe 0 cm 5 Egy szám és egy másik háromszorosánk összege 6 Négyzeteik különsége 0 Melyik ez két szám? y 6 6 y y y 9 0 y A két szám 7 és ( 6 y), y 0 7 y y 7 0 6 Egy medence 0 méterrel hossz, mint milyen széles A mélysége,5 m Mekkorák méretei, h 750 m vízre vn szükség feltöltéséhez? Mennyi pénze kerül medence egyszeri feltöltése, h m víz ár,6 Ft? Legyen medence egyik oldl ( ),5 750 0 500 0 0, 50 V 0 A medence oldli 0 és 50 m hosszúk A feltöltés ár: 9 500 Ft

5 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Módszertni megjegyzés: Házi feldtnk 7 feldtot jvsoljuk 7 Egy tégllp kerülete 60 dm, területe Jelöljük tégllp oldlit -vl és -vel dm Mekkorák z oldli? Ekkor K ( ) 0 0, T ( 0 ) 0 0, 7 A tégllp oldli és 7 dm hosszúk 8 Milyen lpú számrendszeren írhtjuk 58-t 56-nk? Legyen számrendszer lpszám 0 58 6 5 5 5 0 7, 7, 7-es lpú számrendszeren z 56, 0-es lpú számrendszeren 58 Módszertni megjegyzés: Minden csoport osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákt, differenciálv tnulók képességei szerint Szétválnk csoportok z A, B, C, D jelek szerint, z zonos etűsök dolgoznk most együtt H elkészültek csoportok, mindenki visszmegy sját csoportjá, és töieknek elmondj feldtánk megoldását A csoporton elül összekeverik z A, B, C, D jelű kártyákt, mindenki húz egyet A feldt megoldását z ismerteti tálánál, kinek csoport számát és etűjelét kihúzz tnár Az A jelűek feldt: 9 Krácsonykor z osztály tgji úgy döntenek, hogy mindenki megjándékoz mindenkit egy jelképes jándékkl Hányn járnk z osztály, h összesen 756 kis jándék került átdásr? Jelöljük z osztálylétszámot -szel ( ) 756 756 0 8, 7 Az osztálylétszám 8

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 5 A B jelűek feldt: 50 Attil nőnpr egy csokor virággl lepi meg kedvesét Egy szál rózs 85 Ft-tl töe kerül, mint hányt vásárolt A díszítés 00 Ft volt A csokor ár 00 Ft Hány szál rózsáól áll meglepetés csokor? Jelöljük rózsák számát -szel: ( 85 ) 00 00 85 000 0 5, 00 5 szál rózsáól áll nőnpi csokor Az C jelűek feldt: 5 Három egymást követő természetes szám négyzetének összege 70 Melyek ezek számok? Jelöljük középső számot -szel: ( ) ( ) 70 70, honnn 78, és 576 természetes szám, ezért A három egymást követő szám,, 5 Az D jelűek feldt: 5 Gerti ngymmájánk 70 születésnpjár egy 9-s csládi fotót jándékoz Krtonppíról sját kezűleg készít hozzá keretet, melyet rjzivl díszít A keret területe 8 cm Mekkorák keret külső méretei? A fénykép területe: T 9 7 cm A keret területe: 8 cm Összesen: 65 cm Jelöljük -szel keret szélességét ( )( ) 65 8 0, 9 A keret külső méretei: és 5 cm Módszertni megjegyzés: Az 5 feldt házi feldtnk jvsolt 5 H Dávid egységnyi élű kis kockáiól lehető legngyo kockát rkj össze, kkor 00 kis kock kimrd, h eggyel tö kis kockát kr rkni minden él mentén, kkor 7 kis kock hiányzik Hány kis kockáj vn Dávidnk?

5 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Jelöljük n-nel nnk kockánk z élhosszát, mit először rkott ki Dávid n n 00 00 n 0 n n 8, ( n ) n n 6 n 9 7 n 7 A kiskockák szám: 8 00 6 5 Ádámnk 00 dros CD gyűjteménye vn A CD-k p %- külföldi, hzi CD-k p %- könnyűzene Mindössze egy klsszikus zenei CD-je vn, mgyr művészek elődásán p 00 p dr külföldi CD je vn A hzi CD k szám: 00 p 00 p 00 p Ahzi könnyűzenei CD k szám: ( ) 00 p p 00 p 00 90 d külföldi CD je vn és 0 hzi, eől 9 könnyűzenei ( p) 00 0 p 00 p 9900 p 90, 0 55 Egy cm oldlhosszúságú négyzetet részre vágunk két, egymást négyzet középpontján merőlegesen metsző egyenes mentén Az így kpott drokt össze lehet rkni úgy, hogy egy ngyo négyzet lkuljon ki, közepén egy kis négyzet lkú lyukkl Számítsd ki ngy négyzet oldlánk pontos hosszát, h első kis négyzet területének 50- szerese ngy négyzet területe Készítsd el ezt kivágást ppíról! T ere det 96 T kis i T ngy 96 50T kis T 50 96 9 96 ngy

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 55 (csk pozitív gyök jöhet számítás) T ngy 96 00 c c 0 y 5 Pitgorsz-tétel: y y ( 5 ) ( 5 ) 00 z z Pitgorsz-tétel: ( ) 8 0 z 96 8 z, 8 6 00 0 Így könnyen elkészíthető kivágás

56 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Összefogllás Módszertni megjegyzés: Legyél te is milliomos játék A játék menete: négy fős csoportokt lkítunk ki z osztályn A csoporton elül mindenki egyedül dolgozik feldtokon H vlki elkd megoldásn, következő segítséget hsználhtj fel: Közönség segítsége: A csoport tgji, együtt megoldják kérdéses feldtot Felező: A tnár rossz válszok közül elvesz kettőt Telefonos segítség: A tnár útmuttást d feldt megoldásán H elkészültek csoportok, megoldásikt átdják egy másik csptnk, kik ellenőrzik, hogy hány helyes válsz született A legjok z ór végén díjzhtók Például, minden jól megoldott feldt pont, h nem hsználják fel közönség segítséget plusz pont, felezőt plusz pont, telefonos segítséget plusz pont kártykészlet Legyél TE is milliomos! Az kifejezés felírhtó ilyen lkn is: A) ( )( ); B) ( )( ); C) ( )( ) Az ( ) kifejezés felírhtó ilyen lkn is: ; D) ( ) A) ; B) ; C) ; D) Az c 0 ( 0) másodfokú egyenlet diszkrimináns: A) c ; B) ± c ; C) ± c ; D) c A 6 7 5 0 másodfokú egyenlet megoldáshlmz: A) 5 ; ; B) 0 5 ; ; C) ; ; D) 0 ;

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 57 5 Az egyenlet megoldás nélkül állpítsd meg, hogy hány megoldás vn 8 0 egyenletnek A) 0; B) ; C) ; D) 6 A 5 kifejezés szorzt lkn: A) ( )( ) ; B) ( )( ) ; C) ( )( ) ; D) ( )( ) 5 7 A és gyökei következő egyenletnek: A) 5 0 ; B) 5 0 ; C) 0 0 ; D) 7,5 0 8 Mennyivel egyenlő z kifejezés értéke, h? A) 7; B) 9; C) ; D) 9 A 9 5 0 7 7, A) ; B) tört egyszerűsítve: 5 ; C) 5 ; D) 5 0 Egy másodfokú egyenlet egyik gyöke 5-tel ngyo, mint másik Szorztuk 6-szoros kiseik gyöknek Ez z egyenlet: A) 7 66 0 ; B) 7 66 0 ; C) 7 66 0; D) 7 66 0 A 0 egyenlet vlós gyökei reciprokánk összege: A) 6,5; B) ; C) 0,5; D) H 0 egyenlet gyökei, kkor ( ) értéke: A) 6; B) 6; C) 8; D) 8 B) A) D) C) 5 C) 6 A) 7 A) 8 B) 9 B) 0 C) A) A)

58 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Prméteres egyenletek (kiegészítő nyg) Célszerű áltlános megoldási módszert keresni, h sok egyenlet csk enne szereplő dtokt tekintve különöző, tehát formilg zonos Célunk olyn képleteket készíteni, melyeke ehelyettesítve z dtokt, meg lehet htározni izonyos ismeretleneket Ilyen képleteket ismerhetünk más tudományokól, például fizikáól vgy kémiáól Mintpéld 8 Htározzuk meg p vlós prméter értékét úgy, hogy ( p ) ( p ) p p 7 0 egyenletnek ( ) gyöke legyen Mivel ( ) gyöke z egyenletnek, ezért kielégíti másodfokú egyenletet: ( )( ) ( p )( ) p p 7 0 p, 9 p 6 p p p 7 0, A műveleteket elvégezve: p 7 p 0, Ennek gyökei: p, p, Két vlós prméter tesz eleget feldtnk: p, p Az ezekkel felírhtó egyenletek: 0, 5 5 0 Ellenőrzéssel meggyőződhetünk, hogy vlón mindkettőnek gyöke ( ) Mintpéld 9 Htározzuk meg p vlós prméter értékét úgy, hogy p p 0 prméteres egyenletnek két különöző vlós gyöke legyen! Két különöző vlós gyöke vn z egyenletnek, h diszkrimináns pozitív: D > 0 ( p ) 9 p 6 > 0 D 9 p p, p 6 p 0 p, p, 9 9 Az egyenletnek kkor létezik két különöző vlós gyöke, h p < vgy < p 9

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 59 Mintpéld 0 Oldjuk meg p p 0 prméteres egyenletet! Rendezzük z egyenletet együtthtói szerint: ( ) ( p ) 0 p Az egyenlet elsőfokú, h főegyütthtó 0, zz p 0 p Ekkor z egyenlet: 0 Az egyenlet másodfokú, h p 0, zz h p Az egyenletnek kkor vn vlós gyöke, h diszkrimináns nem negtív, zz h D 0 ( p ) ( p) p 6 p 6 8p p 8p ( ) D p A diszkrimináns egy kifejezés négyzete, ezért iztosn nemnegtív ± ( p ) p ± p p ± p ( p ) 6 p p p, Az szolútérték-jel elhgyhtó z előtte álló ± előjel mitt p, p p Tehát, h p, h p p, p p Feldtok 56 Oldd meg n p n 5 egyenletet, h n pozitív egész, p pozitív prím! Mennyi z n p szorzt mimum? Alkítsuk szorzttá z egyenlet l oldlát: n 5 ( n 5)( n 7) ( n 5)( n 7) p Mivel p prím, csk következő esetek lehetségesek: n 5 és n 7 p ellentmondás n

60 MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ n 5 p és n 7 n, p np n 5 p és n 7 p n, p 7 np 7 0 Az np szorzt mimum 0 57 A p vlós prméter mely értékeire lesz z 5 0 és p p 0 egyenleteknek közös gyöke? Az első egyenlet gyökei:, 5 H közös gyök z, kkor ez kielégíti második egyenletet is: p p 0 p p 0 p 0, p H közös gyök z 5, kkor ez kielégíti második egyenletet is: ( 5) p ( 5) ( 5) p 0 5p p 0 0 nincs megoldás A két egyenletnek kkor vn közös gyöke, h p 0 vgy p p p 58 Htározd meg p vlós prméter értékét úgy, hogy ( 8 ) 8 0 egyenletnek ) két különöző vlós gyöke legyen, ) egy vlós gyöke legyen! ) Két különöző vlós megoldás vn z egyenletnek, h z vlón másodfokú, zz főegyütthtó nem 0, vlmint diszkrimináns pozitív: p 0 és D > 0 ( 8p ) p ( p 8) 6 p 6 p 6 8p p p 6 6( p ) > 0 D p 6 p Tehát z egyenletnek kkor vn két vlós gyöke, h p 0 és p ) Az egyenletnek egy vlós gyöke vn, h elsőfokú, zz h főegyütthtó 0, vgy h z egyenlet másodfokú és diszkrimináns 0 H p 0 8 0 D p p H 6( ) 0 0 p

modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 6 Gyökök és együtthtók közti összefüggések (kiegészítő nyg) Vizsgáljuk meg másodfokú egyenlet gyökeit! H másodfokú egyenletnek léteznek vlós megoldási, kkor ezeket következő lk írhtjuk: c c és A két gyök összegére és szorztár következő összefüggések dódnk: c c, ( ) ( c) c c c c A Viète-formulák: c Frnçois Viète (50 60) frnci mtemtikus Fogllkozását tekintve jogász volt Az egyenletmegoldás áltlános módszereit kereste Ezért Dipohntosz áltl megkezdett úton z lgeri jelölésrendszert fejlesztette tová Igyekezett szimólumokkl dolgozni, z együtthtók helyett is etűket hsznált Ezek segítségével formulát tudott felírni másodfokú egyenletek megoldásár A hrmdfokú egyenletek megoldásávl is fogllkozott Igen jelentős eredménye végtelen soroztok felfedezése Egy ilyen sorozt segítségével htározt meg π értékét 0 tizedes pontosságig A másodfokú egyenletek gyökeinek és együtthtóink kpcsoltát megdó képletek, Viète-formulák is őrzik nevét (Az összefüggések áltlános formán zonn nem tőle szármznk, ezeket először szintén frnci Girrd pulikált 69-en)