GYENGE GRAVITÁCIÓSHULLÁMOK LEÍRÁSA AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLETBEN Írta: Rácz István MTA Wigner FK Budapest 2014
ii
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 2. A linearizált Einstein-elmélet 11 2.1. A téridő mint fizikai és matematikai entitás.................. 11 2.2. A linearizált elmélet.............................. 13 2.3. A linearizált Einstein-egyenletek........................ 14 2.4. A Maxwell-elmélet............................... 15 2.5. A diffeomorfizmusinvariancia speciális esete.................. 16 2.6. A Newtoni határeset.............................. 20 2.7. A forrás leírása................................. 20 2.8. A próbatestek leírása.............................. 22 3. Gyenge gravitációs hullámok 25 3.1. Az inhomogén egyenlet............................. 25 3.2. A forrásmentes eset............................... 28 3.2.1. A sugárzási mérték.......................... 28 3.3. A geometriai szabadsági fokok......................... 30 3.4. Sugárzási mérték az általános esetben................... 32 3.4.1. Az energia-impulzus tenzor felbontása................ 33 3.4.2. σ ij nem lokális............................. 34 3.4.3. A linearizált Einstein-egyenletek sugárzási mértékben........ 35 4. A mérhető (mértékinvariáns) mennyiségek 37 4.1. A megfigyelésről................................. 41 4.1.1. A detektor válasza valódi források figyelembevételével........ 43 Irodalomjegyzék 47 iii
iv
1. fejezet Bevezetés Ha végigtekintünk az eddigi fizikai elméleteken, látható, hogy az általános relativitáselmélet vagy ahogy szintén hivatkozhatunk rá, az Einstein-féle gravitáció elmélet a klasszikus fizika utolsó nagy átfogó elmélete. Kétségkívül klasszikus abban az értelemben, hogy a kvantum fizika eszköztárára semmilyen formában nem épít. A klasszikus jelző ugyanakkor furcsán is hat, hiszen ez az elmélet alapjaiban rázta meg a korábbi térről és időről kialakított elképzeléseinket. A teret és az időt már a speciális relativitáselmélet egymásba ötvözte, és egy merőben új fogalommal, a téridővel helyettesítette. Az általános relativitáselmélet ennél lényegesen tovább megy, hiszen ebben az elméletben még Shakespeare 1 híres, színház az egész világ kijelentése is teljesen új megvilágításba kerül, mivel itt maga a színpad is szereplővé, azaz dinamikai entitássá válik. Az általános relativitáselmélet nem csupán az anyag történetének egy egyszer és mindenkorra rögzített geometriai háttéren történő leírására vállalkozik, hanem egy, a modern fizika elvárásaival is összeegyeztethető, kísérletek által nagyon meggyőzően alátámasztott modelljét kínálja az anyag és geometria kölcsönös meghatározottságának. Jelen jegyzetünk éppen ezen impresszív elmélet linearizált változatának a bemutatására törekszik. Bár az elmélet közel száz évvel ezelőtt megszületett és Einstein alapgondolatai és a konstrukció lényegileg nem változhatott mi a modern differenciálgeometria eszköztárát felhasználva törekszünk a matematikai alapok ismertetésére. Nyilvánvaló az is, hogy egy olyan fizikai elmélet, amely azt állítja magáról, hogy a téridőt is mint dinamikai egységet kezeli általános érdeklődésre tarthat számot. Szerencsére ennél sokkal több is igaz. Az elmélet a csillagászati megfigyelések magyarázatának keresése során nagyon 1 Hivatkozhatnánk a szofisták egyik legnagyobb alakjára, Epiktétoszra ( Kr.u.50) is, aki Shakespeare híres mondásával teljesen összecsengőn fogalmazott [10]. 5
6 sokszor érdekes és új megvilágítást biztosító értelmezéssel szolgált és szolgál napjainkban is. El kell azonban azt is ismernünk, hogy az elmélet közel százéves története során többször is a mellőzöttség állapotába került. Ennek egyik oka, hogy az elmélet valóban precíz matematikai megfogalmazása a fizikus körökben szokatlan differenciálgeometriai ismeretek alkalmazásán alapul. Ezzel párhuzamosan az sem elhanyagolható, hogy a huszadik század első kétharmada kétségkívül a kvantummechanika és a kvantumtérelmélet virágkora, mely a legjelentősebb kutató műhelyeket az adott időszakban teljesen lekötötte. Mindezekhez járul még egy nagyon egyszerű érv. A természetben ismert négy alapvető kölcsönhatás közül ezek a részecskék erős és gyenge kölcsönhatását leíró erők, valamint az elektromágneses és a gravitációs erők kétségkívül a gravitációs kölcsönhatás a leggyengébb. Ezt az állítást érzékletesen támasztja alá az, ha két elektron esetében összehasonlítjuk a fellépő gravitációs és az erősségi sorrendben éppen csak előtte álló elektromágneses kölcsönhatáshoz tartozó Coulomb-erők nagyságát, mely során a meglepő F gr = G m2 r 2 F el k e2 r 2 10 41 (1.0.1) érték adódik. Ennek fényében különösen meglepő lehet, éppen ezért érdemes is azt kiemelni, hogy az univerzum nagy léptékű struktúrájának kialakításában mégis ez a meglepően gyenge kölcsönhatás játssza a főszerepet. Ennek a egyik oka, hogy a két magerő nagyon rövid ( 10 13 ) hatótávolságú. Emellett, bár az elektromos kölcsönhatás a gravitációshoz hasonlóan végtelen hatótávolságú, elegendően nagy léptékben nézve az univerzum elektromosan semleges, azaz az azonos és ellentétes előjelű töltések között fellépő taszító és vonzó erők lényegében mindenhol közömbösítik egymást. A gravitáció esetében ezzel szemben nem léteznek ilyen ellentétes hatású töltések, így kozmológiai léptékben mérve egyedülálló univerzális és minden más kölcsönhatásnál számottevőbb erőhatást eredményezhet. A gravitáció azonban viszonylag rövid hatótávolságon is dominánssá válhat, mint például amikor a neutronok degenerációs nyomását produkáló legerősebb magerőket leküzdve lokális hatásként az elegendően nagy tömegű neutroncsillagok feketelyukká válását idézheti elő. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy nemcsak az a fontos, hogy a gravitáció bizonyos helyzetekben a legjelentősebb kölcsönhatássá válik. az is fontos jellemzője, hogy minden részecskére, annak további anyagi jellemzőitől függetlenül, egyformán fejti ki hatását. Feltehetőleg Galileitől származik az a felismerés, hogy a gravitáció a testek tömegétől függetlenül, egyformán fejti ki hatását. Ezt a felismerést azzal kiegészítve, hogy az anyagi
7 minőség sem játszik szerepet, Eötvös Loránd, a róla elnevezett ingával a 19. század végére nagyon nagy pontossággal kísérletileg is ellenőrizte. Ha lenne eltérés a különböző anyagok vonzásában, akkor annak 5 10 9 értéknél kisebbnek kellene lennie. Ezek a mérések adták Einstein-nek az egyik legfontosabb igazodási pontot alapvető szerepet játszottak abban, hogy Einstein az új gravitációelmélet megalkotása során nem nem egyszerűen a Newton-féle elmélet relativizált változatát kereste, hanem annál egy sokkal impozánsabb geometrizált elméletet dolgozott ki. Einstein elméletében a gravitációs kölcsönhatást a téridő geometriájának nem triviális görbült jellegével helyettesítette, ahol a görbültség mértékét az anyag eloszlása és mozgásállapota határozza meg. Ez az az elmélet, amelyben elegáns formában ölt testet Bólyai, Riemann, Poincaré és Mach azon a 19. században megfogalmazott vélekedése, melyet a tudomány történet Mach-elven ismer, hogy a fizikai valóságot valamely nem Euklideszi geometria írja le és a lokálisan tapasztalható jelenségek lényegében mindig az univerzum egésze által meghatározottak. Az elmélet első kísérleti bizonyítéka az Eddington által 1919-ben vezetett csillagászati megfigyelések tapasztalata, miszerint a fénysugarak az elmélet által megjósolt mértékben hajlanak el erős gravitációs térben. Ennek a megfigyelésnek két fontos következménye volt. Az első az, hogy megerősítette az elmélet alapfeltevését, hogy a téridő geometriája nem sík (és nem is konformisan sík). A másik következmény a téridőt alkotó események lehetséges oksági relációit érinti. Mivel Einstein relativitáselmélete alapján semmiféle fizikai hatás nem terjedhet a vákuumbeli fény sebességénél gyorsabban, az, hogy a gravitáció Einstein-féle elméletében a fényjelek pályája megváltozhat a gravitáció hatására, azt jelenti, hogy a görbült téridőben az oksági relációk is közvetve az anyag eloszlása és mozgása által meghatározottak. A gravitációnak éppen ez a tulajdonsága vezet az egyik legmeglepőbb probléma köréhez, a feketelyukak létezéséhez. Elképzelhető ugyanis az anyag olyan nagy mértékű koncentrációja, mely az adott térrészből még a fényjelek kijutását is képes megakadályozni. Ha nem juthat onnan ki fény, akkor fekete. Érdemes észben tartani, hogy ez a tulajdonság még nem zárja ki, hogy a környezetében lévő anyagot felszippantó feketelyuk, az adott időszakban, csillagászati megfigyelők számára ne jelenjen meg úgy, mint az égbolt éppen legfényesebben tündöklő objektuma. Visszatérve a tudománytörténeti tényekhez érdemes azt is megemlíteni, hogy 60-as évek során jelentősen megnőtt a fizikusok érdeklődése az általános relativitáselmélet iránt. Nem egyszerű véletlennek köszönhető ez az odafordulás sem. Az 1950-es évek végétől kez-
8 dődően egy sor olyan csillagászati megfigyelés történt a kvazárok, kicsiny méretű röntgenforrások, pulzárok észlelése, melyek magyarázata elképzelhetetlennek látszott (ma is az) a gravitációs összeomlási folyamatok során felszabaduló irdatlan mennyiségű energia forrásának megértése nélkül. Ezen megfigyelések megmagyarázásához az erős gravitációs terek leírására alkalmas elméletre volt szükség ilyen az általános relativitáselmélet is, amely egyszerre képes leírni a gravitációs összeomlási folyamatot, az annak során keltett energiát valamint annak téridőbeni transzportját, illetve a folyamat során kialakuló feketelyuk tulajdonságait. A lokalizált csillagszerű objektumok leírása mellett minden valamit önmagára adó gravitációelmélet törekszik az univerzum tulajdonságainak is magyarázatát adni. Einstein az univerzum látszólagos időben állandó jellegéből kiindulva egy sztatikus univerzum modellt tartott adekvátnak. Lényegében ez vezette el a róla elnevezett Einstein-féle sztatikus kozmológiai modell kidolgozásához, melynek során vezette be a kozmológiai állandót, melyet idősebb korában egyik legnagyobb tudományos tévedésének tekintett. Érdemes felidézni, hogy még 1912-ben is a csillagászati megfigyelések éppen csak elvétve jelezték azt, hogy vannak olyan galaxisok, amelyek igen nagy 200km/s sebességgel távolodni látszanak. Hubble csak 1929-ben tette közzé híres dolgozatát [13], amelyben egy hatmillió fényév sugarú gömbön belül végzett szisztematikus mérésekre alapozva állította azt, hogy az galaxisok a tőlünk mért távolsággal arányos, igen nagy sebességgel távolodnak. Mindeközben 1922-ben az Einstein-elméletet vizsgálva a Kazany-i Egyetemen, teljes tudományos elszigeteltségben Alexander Friedmann [5] talált olyan kozmológiai modellt, amelyben természetes módon jelenik meg a táguló világegyetem és a távolsággal arányos távolodási sebesség koncepciója. Ezt azonban akkor a megfigyelések hiánya folytán egyszerűen elfelejtették, majd már a megfigyelések ösztönző hatásának köszönhetően Lemaître, Robertson és Walker újra felfedezték azt [17, 30, 31, 32, 38]. 1948-ban Gamow és munkatársai már a táguló univerzumot kezdetben kitöltő sugárzás maradványainak keresésére tesznek javaslatot. Ennek megtalálása, a mikrohullámú háttérsugárzás Penzias és Wilson [23, 24] általi véletlen felfedezése szintén jelentősen hozzájárult a relativitáselméleti kutatások megerősödésének. Jelen rövid jegyzetünk napjaink legfontosabb gravitációelmélethez kapcsolódó kísérletének elméleti vonatkozásait, azaz a gravitációs hullámok gyenge hullámok esetén érvényes leírását adjuk meg. Először a linearizált elmélet alapjait mutatjuk be. Ez lehetőséget ad arra, hogy a Newton-elméletet, mint az Einstein-elmélet olyan határeseteként értelmez-
9 hessük, amikor a gravitációs hatások gyengék, továbbá a mozgások lassúak. Ezt követi a gyenge gravitációs hullámok, a sugárzási szabadsági fokok, valamint a gravitációshullámdetektorok mértékinvariáns mennyiségeken keresztül kifejezett mérési elvének bemutatása. Végül arra is rámutatunk, hogy a források szisztematikus figyelembevétele a szokásos hullámjelenségek mellett egy olyan izotrop geometriai változást is eredményez, ami további érdekes fizikai jelenségek vizsgálatát teszi szükségessé.
10
2. fejezet A linearizált Einstein-elmélet Ahogyan azt azt a bevezető részben említettük a gravitáció napjainkban elfogadott legpontosabb elmélete az Einstein-féle általános relativitáselmélet. Az Einstein-elmélet a gravitáció egy olyan geometrizált elmélete, melyben a gravitációs hatások a téridő geometriájának görbültségén keresztül jeleníthetők meg. Ebben az elméletben nincs a korábbi elméletekre jellemző egyszer és mindenkorra adott fix színpad tér és idő, amelyen a rajta értelmezett mezők történetét írjuk le. Ehelyett a világmindenségben található anyag elhelyezkedése és mozgása határozza meg a téridő geometriáját, ugyanakkor a kozmoszt felépítő anyag fejlődése is csak ezen az időben és térben is változó geometria fejlődésével együtt írható le. 2.1. A téridő mint fizikai és matematikai entitás A speciális és általános relativitáselmélet megértésében a legfőbb nehézséget a térről és időről korábban kialakított elképzelések megszokásokon alapuló helytelen alkalmazása okozza. Éppen ezért fontos annak megfogalmazása, hogy mit is értünk a teret és időt sajátos módon egymásba ötvöző téridőn. 2.1.1. Definíció. A fizikus megfogalmazás: Az Einstein-elméletben a téridőről feltesszük, hogy megjeleníti a vizsgálatra kiválasztott fizikai rendszer teljes történetét, azaz tartalmazza az ahhoz kapcsolódó összes lehetséges múlt-, jelen- és jövőbeli eseményt. A klasszikus fizikában esemény például két próbatest ütközése, vagy ahogy Dede Miklós volt kiváló tanárunk fogalmazott...az amikor egy csillag pontszerű képe éppen 11
12 2. FEJEZET. A LINEARIZÁLT EINSTEIN-ELMÉLET áthalad a távcső vonalkeresztjén. Ennek megfelelően hallgatólagosan mindig feltételezzük, hogy egy klasszikus esemény belső struktúra nélküli, mind térben, mind pedig időben pontszerű, mely a geometriai pont fogalmának kialakulásához hasonló absztrakció eredményeként jött létre. A fentiek értelmében egy-egy téridő mindig tartalmazza a vizsgált fizikai elrendezéshez tartozó összes lehetséges múlt-, jelen- és jövőbeli eseményt. Ugyanakkor minden az események összességét megjelenítő téridősokaság tetszőleges pontjából indítható a téridőben mindenütt kauzális érintővektorral rendelkező görbe. Ezek a görbék az elvileg lehetséges megfigyelők világvonalai. Mivel egy megfigyelő által megfigyelhető események összessége a megfigyelő történetét ábrázoló világvonal kauzális múltjával esik egybe, az általunk alkalmazott megközelítésben az elvileg megfigyelhető és a lehetséges események halmaza bármely téridőmodellen belül egybeesik. Ha az elmélet eredeti kereteit átlépve valaki a kvantumos viselkedésről is számot kívánna adni, akkor első körben azt kellene megmondania, hogy milyen értelemben használja a kvantáltság fogalmát. Mivel jelenleg olyan elmélet nincs, amelyet kvantumgravitációnak tekinthetnénk 1, egyedül a kvantumosan viselkedő részecskék kapcsán vizsgálható következetesen az a kérdés is, hogyan változna meg a fentebb említett idealizáció folytán kialakult klasszikus eseményfogalom. Amint arra Wigner már 1957-ben rámutatott [40], a kvantummechanika korlátokat szab a klasszikus eseményfogalmunkon alapuló téridőkoncepciónak is. Konkrétabban, Wigner úgy érvelt, hogy két tömeges elemi részecske ütközése bár sokkal adekvátabb azok egymáson történő szóródásáról beszélni szükségszerűen nem pontszerű, hiszen ezen kvantumos esemény azzal a kiterjedt téridőtartománnyal kapcsolható össze, amelyben a résztvevő részecskék megtalálási valószínűségének szorzata lényegesen nagyobb nullánál. Mindezen fizikus motiváció után érdemes azt is rögzíteni, hogy matematikai értelemben mit értünk téridőn. 2.1.2. Definíció. A matematikus megfogalmazás: Téridőn egy olyan (M,g ab ) párt értünk, ahol M összefüggő, négydimenziós, Hausdorff, parakompakt, irányítható C differenciálható sokaság, g ab pedig egy Lorentz-szignatúrájú metrika M-en. A téridőről feltesszük, hogy időirányítható, és egy időirányítást ki is választottunk rajta. 1 Még abban sincs egyetértés, hogy melyik matematikai szinten kellene végrehajtani a kvantálást. A metrikát, a kauzális, vagy vele ekvivalens kauzális szerkezetet esetleg kellene kvantált módon kezelni, vagy sokkal mélyebbről építkezve magát a klasszikus eseményteret is spinhálózatokon értelmezett kvantumelmélet effektív alacsony energiás határeseteként kellene értelmeznünk.
2.2. A LINEARIZÁLT ELMÉLET 13 Természetesen az imént megfogalmazott definícióban szereplő fogalmak meglehetősen technikaiak, a topológia és a differenciálgeometria fogalomtárához tartoznak. Egy későbbiekben megjelenő könyvünk első felének nagy része éppen ezeknek és a kapcsolódó fogalmak pontos magyarázatát, illetve használatuk adekvátságát igyekszik majd megadni, illetve alátámasztani. 2.2. A linearizált elmélet Az Einstein-féle gravitációelméletben nincs gravitációs mező, azaz a gravitációs jelenségek teljes egészében a téridő geometriájának helytől és időtől való függése, pontosabban fogalmazva téridő függése révén válnak magyarázhatóvá. Ennek az elméletnek most egy olyan határesetét fogjuk tekinteni, amelyben a gravitáció gyenge. Ez az általános relativitáselméletben pontosan azt jelenti, hogy a téridő geometriája csak kis mértékben tér el a sík Minkowski-téridő geometriájától. Megmutatjuk, hogy ez a határeset mind a Newton-elmélet alapjainak reprodukálását, mind pedig a gyenge gravitációs hullámok leírását lehetővé teszi. 2 2.2.1. Feltétel. A téridő g ab metrikája csak kicsit, a (1) g ab = η ab +h ab (2.2.1) egyenletnek megfelelően, csak a h ab eltéréstenzorral tér el a Minkowski-téridő η ab metrikájától. Az eltérés kicsinységre vonatkozó feltételünk azzal egyenértékű, hogy a téridőben létezik olyan Minkowski-féle globális koordinátarendszer úgy, hogy az η ab és a h ab eltéréstenzor erre vonatkozó η αβ és h αβ komponenseire az η αβ = diag( 1,1,1,1), valamint a h αβ, γ h αβ, γ δ h αβ 1 relációk teljesülnek. A linearizált egyenleteket úgy nyerjük, hogy az Einstein-egyenletbe a metrika helyére a (2.2.1) kombinációt helyettesítjük, majd a kapott egyenletekből a h ab -ban magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk, azaz csak a lineáris tagokat tartjuk meg. Legyen a az η ab metrikához tartozó kovariáns deriváló operátor. Annak érdekében, hogy a h ab eltérésnek ne legyenek rejtett előfordulásai a soron következő formulákban minden index lehúzást és felemelést az η ab és η ab metrikák segítségével végzünk el. Egyetlen kivételként érdemes észben tartani, hogy a (1) g ab metrikát nem az η ae η bf(1) g ef kontrakcióként, hanem az alábbi feladat megoldásaként kapott közelítést alkalmazzuk. 2 A továbbiakban speciális, n = 4-dimenziós téridőket vizsgálunk.
14 2. FEJEZET. A LINEARIZÁLT EINSTEIN-ELMÉLET 2.2.1. Feladat. Mutassuk meg, hogy a (2.2.1) relációval meghatározott (1) g ab metrika inverzének linearizált alakját amelyre a (1) g (1) ab g bc δ c a egyenlet linearizált értelemben teljesül a (1) g ab = η ab h ab = η ab η ae η bf h ef (2.2.2) relációval adhatjuk meg. 2.3. A linearizált Einstein-egyenletek Az előző részben kiválasztott Minkowski-féle globális koordinátarendszer felett a h ab eltérését felhasználva a linearizált Christoffel-szimbólumokat a (1) Γ c ab = 1 2 ηce ( a h be + b h ae e h ab ), (2.3.3) a Riemann-tenzort a ( ) (1) (1) R abcd = η de b Γ e ac a (1)Γ e bc = 1 2 ( b c h ad + d a h bc b d h ac a c h bd ), (2.3.4) a Ricci-tenzort a (1) R ab = (1) R aeb e = 1 2 ( e b h e a + e a h e b h ab a b h), (2.3.5) valamint az Einstein-tenzort a (1) G ab = (1) R ab 1 2 η (1) ab R = 1 2 ( e b h e a + e a h e b h ab a b h η ab e f h e f +η ab h ) (2.3.6) kifejezésekkel adhatjuk meg, ahol a h és szimbólumok a h ab eltérés h = h e e = h ab η ab kontrakcióját és az η ab metrika = η ab a b hullámoperátorát jelöli. A hullámoperátor bármely Minkowski-féle koordinátarendszerben = t 2 + 2 x + 2 y + 2 z alakban adható meg. 2.3.1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az utolsó egyenletet felhasználva, valamint a h ab eltérés helyett a h ab = h ab 1 2 η abh (2.3.7)
2.4. A MAXWELL-ELMÉLET 15 kontrakció-megfordított, h = h, kifejezést használva a linearizált Einstein-egyenletek a (1) G ab = 1 2 h ab + e (b h a)e 1 2 η ab e f h ef = 8π (1) T ab (2.3.8) alakban írható fel. 2.4. A Maxwell-elmélet A Minkowski-téridőben ezt az (R 4,η ab ) párral jeleníthetjük meg értelmezett elektrodinamikában az elektromágneses mezőt az F ab Faraday-tenzor segítségével jelentjük meg, mely a α F αβ = 4πJ β (2.4.9) [α F βγ] = 0, (2.4.10) egyenleteknek tesz eleget, ahol J a az elektromos töltésekhez tartozó négyes áramsűrűségvektort jelöli. Mivel azf ab Faraday-tenzor valójában egy2-forma amelyre (2.4.10) teljesül, a Poincarélemma segítségével megmutatható, hogy létezik olyan A a vektorpotenciál úgy, hogy F ab = a A b b A a. (2.4.11) Ekkor az (2.4.9) egyenletet a a ( a A b b A a ) = a a A b b ( a A a ) = 4πJ b (2.4.12) alakban írhatjuk fel, ahol a második lépésben a parciális deriváltak sorrendjének felcserélhetőségét használtuk ki, továbbá a a = 2 t + 2 x + 2 y + 2 z = 2 t + 2, (2.4.13) ahol 2 a jól ismert Laplace-Beltrami operátort jelöli. Ismert, hogy a vektorpotenciál nem egyértelmű, hiszen tetszőleges (elegendően reguláris) χ-függvény választása esetén a A a = A a + a χ (2.4.14)
16 2. FEJEZET. A LINEARIZÁLT EINSTEIN-ELMÉLET kifejezéssel adott vektorpotenciál is ugyanazt a Faraday-tenzort adja, azaz F ab = F ab. Ezt a szabadságot kihasználva tudunk olyan vektorpotenciált, más néven mértéket választani, amelyre (2.4.12) helyett a nála sokkal barátságosabbnak tűnő a a A b = 4πJ b (2.4.15) egyenlet teljesül. Ennek belátásához tegyük fel hogy az A a vektorpotenciál tetszőleges es válasszuk meg most a χ-függvényt úgy, hogy az tegyen eleget a a a χ = a A a (2.4.16) egyenletnek. Vezessük be ezek után (2.4.14) felhasználásával azt az A a vektorpotenciált, melyet A a, valamint a χ-függvény határoz meg. Mivel a A a = a A a + a a χ = 0 (2.4.17) az így nyert vektorpotenciál esetén a Maxwell-egyenletet (a vesszők elhagyása után) valóban az (2.4.18) alakban írhatjuk fel. Érdemes még megemlíteni, hogy az így nyert új A a vektorpotenciál sem egyértelmű, hiszen tetszőleges olyan újabb χ-függvény választása esetén, amelyre a a χ = 0 (2.4.18) teljesül, megőrzi a Lorentz-mértékűséget, azaz egy ilyen mértéktranszformáció végrehajtása után is érvényben marad a a A a = 0 reláció az újonnan nyert vektorpotenciálra. 2.5. A diffeomorfizmusinvariancia speciális esete Vegyük észre, hogy amennyiben azt tudnánk garantálni, hogy a e hae (2.5.19) kifejezés nullává váljon, akkor mivel a a kovariáns operátorok tetszőleges típusú tenzormezők esetén kommutálnak a (2.3.8) egyenletet a h ab = 16π (1) T ab. (2.5.20)
2.5. A DIFFEOMORFIZMUSINVARIANCIA SPECIÁLIS ESETE 17 alakban írhatnánk fel. Természetesen semmi ok arra, hogy az e hae kifejezés értéke általában mindenütt nulla legyen, ugyanakkor ahogy azt lentebb meg is mutatjuk az általános relativitáselmélet diffeomorfizmusinvarianciáját kihasználva mindig találhatunk olyan, az eredeti h ab eltéréstenzorral mértékekvivalens h ab ábrázolást, amelyre a e h ae kifejezés már eltűnik. Emlékezzünk arra, hogy az (M,g ab ) és az (M,g ab ) téridők mérték-ekvivalensek, ha található hozzájuk olyan φ : M M az M sokaságot az M sokaságra képező diffeomorfizmus, amely a g ab metrikát a g ab metrikára képezi, azaz g ab = φ g ab. A linearizált elméletben feltesszük, hogy léteznek Minkowski-féle globális koordinátarendszerek. A ezek közötti átmenetet biztosító legegyszerűbb φ : M M diffeomorfizmusokat a x α x α = x α ξ α (2.5.21) típusú koordináta-transzformációval adhatjuk meg, aholξ α egy olyan infinitezimális vektormező azr 4 -el diffeomorfm alapsokaságon, amelynek komponenseire bármely Minkowskiféle koordinátarendszerben a a ξ b tenzor komponensei kicsik, azaz α ξ β 1. Érdemes megjegyezni, hogy a Lorentz-transzformációk nem jöhetnek számításba, mert azoknál bizonyos komponensek mindig túl nagyokká válnak. Egy általános koordinátatranszformáció során a g ab metrika g αβ komponensei a g αβ = 3 µ,ν=0 x µ x α x ν x β g µν (2.5.22) relációnak megfelelő szabály szerint transzformálódnak. A speciális (2.5.21) koordinátatranszformáció esetében a Jacobi-mátrixot a x µ x α = δµ α + α ξ µ (2.5.23) alakban írhatjuk fel. Így a (2.5.22) és (2.5.23) egyenleteknek megfelelően, a h ab eltéréstenzorban és a a ξ b kifejezésekben magasabb rendű járulékok elhanyagolásával, azt kapjuk, hogy a g ab = η ab +h ab + a ξ b + b ξ a = η ab +h ab +L ξ η ab (2.5.24) relációval meghatározott metrika linearizált értelemben mértékekvivalens az eredeti g ab = η ab + h ab metrikával. Tehát azt mondjuk, hogy a h ab és h ab a sík Minkowski-téridő lineáris perturbációi biztosan mértékekvivalensek, ha az alapsokaságon található olyan ξ a
18 2. FEJEZET. A LINEARIZÁLT EINSTEIN-ELMÉLET infinitezimális vektormező úgy, hogy a h ab = h ab + a ξ b + b ξ a = h ab +L ξ η ab (2.5.25) reláció teljesedjen. Így a ξ α vektormező alkalmas megválasztásával konkrétabban, a α ξ β deriváltak infinitezimalitását biztosítva a Minkowski-típusú x α koordinátákból a (2.5.21) koordinátatranszformáció segítségével kapott x α koordináták ugyancsak Minkowski-típusúak. Az eredeti célunkhoz visszatérve induljunk ki most egy teljesen általános h ab lineáris perturbációiból és határozzuk meg a ξ a = e h ae (2.5.26) lineáris hullámegyenletnek eleget tevő ξ a vektormezőt. 2.5.1. Feladat. Mutassuk meg, hogy a (2.5.26) egyenlet megoldása által meghatározott (2.5.21) koordinátatranszformáció és a h ab h ab = h ab+ a ξ b + b ξ a mértéktranszformáció eredményeként előálló h ab kifejezés eleget tesz a e h ae = 0 (2.5.27) alakban felírt Lorentz-feltételnek. 3 Mindezekből az következik, hogy a vesszőzött eltéréstenzorra a vesszők elhagyása után a linearizált Einstein-egyenlet valóban a h ab = 16π (1) T ab. (2.5.28) alakban írható fel. A vákuumesetben, azaz amikor (1) T ab 0 a (2.5.28) linearizált Einsteinegyenlet pontosan a zérus nyugalmi tömegű 2-es spinű részecskék a sík Minkowski-téridőben felírt fejlődési egyenleteivel esik egybe. Így az Einstein-elmélet a lineáris határesetben (és csak ekkor!) valóban a zérus nyugalmi tömegű 2-es spinű gravitonok elméletévé redukálódik. Érdemes azt is észben tartani, hogy a (2.5.26) és (2.5.19) egyenletek alapján további olyan (2.5.21) alakú speciális mértéktranszformáció végrehajtására van módunk ame- 3 A feltétel elektrodinamikai megfelelőjét elsőként a dán származású Ludwig Lorenz alkalmazta, ugyanakkor mindenki azt gondolta, hogy az is a sokkal ismertebb Hendrik Lorentz-től származik. Ez a történeti hiba öröklődően megmaradt, így ma már mindenki Lorentz-mértékfeltételről beszél.
2.5. A DIFFEOMORFIZMUSINVARIANCIA SPECIÁLIS ESETE 19 lyek megtartják a (2.5.28) egyenlet alakját, feltéve, hogy a koordinátatranszformáció ξ a generátora eleget tesz a ξ a = 0 (2.5.29) homogén lineáris hullámegyenletnek.
20 2. FEJEZET. A LINEARIZÁLT EINSTEIN-ELMÉLET 2.6. A Newtoni határeset Bár az Einstein-elmélet a gravitáció napjainkban elfogadott legpontosabb elmélete nem szabad figyelmen kívül hagyni azt, hogy a Newton-féle gravitációelmélet nagyon jól használható olyan gravitációs jelenségek leírása során, amelyekben nem lépnek fel túlságosan erős gravitációs hatások és a gravitációs tér forrásainak mozgása lassú. 2.7. A forrás leírása Mindezen fizikai feltételeknek az imént ismertetett linearizált Einstein-elméletben az alábbi matematikai hipotézisek felelnek meg. Tekintsünk először is egy csillagszerű objektumot, mely a gravitáció forrásául szolgál. Mivel a linearizált elmélet keretein belül gondolkodunk, léteznie kell olyan (t, x, y, z) Minkowski-féle globális koordinátarendszernek úgy, hogy az η ab metrika és a h ab eltéréstenzor erre vonatkozó η αβ és h αβ komponenseire az η αβ = diag( 1,1,1,1), valamint a h αβ, γ h αβ, γ δ h αβ 1 relációk teljesülnek. Azt, hogy a forrás lassan mozog egyrészt azt jelenti, hogy a hozzá tartozó (1) T ab energiaimpulzus tenzorban megjelenő impulzusáramok, illetve belső feszültségek (nyomások) sokkal kisebbek, mint az energiaáram-sűrűség, azaz (1) T ab -re a (1) T tt (1) T tᾱ, valamint (1) T tt (1) Tᾱ β (2.7.1) relációk teljesednek, ahol most és a továbbiakban a felülvonásos görög indexek mindenütt az 1,2,3 értékeket veszik fel. 4 Ennek alapján csillagszerű objektumot valamely lassan változó elrendezésű rendszerét megjelenítő (1) T ab energia-impulzus tenzort közelíthetjük a (1) T ab ρt a t b (2.7.2) kifejezéssel, ahol t a = ( / t) a az adott vonatkoztatási rendszerben a csillag anyagával együttmozgó megfigyelők érintővektorát, ρ pedig az általuk mért energiasűrűséget jelöli. A források lassú mozgásának egy másik következményeként feltehetjük, hogy a kialakuló gravitációs tér időbeli változása lassú. Ez a linearizált elméletben azt jelenti, hogy a h ab eltéréstenzor időfüggésétől eltekinthetünk, és így a h ab = h ab 1 2 η abh kifejezés 4 Az energia-impulzus áramokat megjelenítő négyesvektort, melyet j a -val jelölünk a j a = T a bt b relációval értelmezhetünk. Így az (1) T tt (1) T tᾱ, valamint valamint (1) T t t (1) Tᾱ β alakban is felírhatóak. (1) T tt (1) Tᾱ β egyenlőtlenségek a j t jᾱ,
2.7. A FORRÁS LEÍRÁSA 21 időderiváltja is elhanyagolható. Mindezen feltétek teljesedése mellett a (2.5.28) egyenletből a h tt = 16πρ, (2.7.3) továbbá, amikor az α és β indexek legalább egyike nem időszerű a h αβ = 0, (2.7.4) egyenleteket kapjuk, ahol a Laplace-operátort jelöli, azaz az alkalmazott Minkowskiszerű koordinátáinkban a = x 2 + 2 y + 2 z alakban írható fel. A parciális differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy az utóbbi egyenlet a r peremfeltételnek megfelelő határesetben h αβ 0 relációk szerint viselkedő a h αβ megoldásai mind az időtől, mind pedig a térkoordinátáktól független állandó értéket vesznek fel. 2.7.1. Feladat. Mutassuk meg, hogy a h αβ =állandó kifejezések segítségével definiált x µ x µ = x µ + 1 2 h µ νx ν (2.7.5) koordináta-, vagy mértéktranszformáció ξ µ = 1 2 h µ νx ν generátora infinitezimális. Lássuk be, hogy a (2.7.5) koordinátatranszformáció alkalmazása révén a h µν komponensekkel mértékekvivalens ábrázolásban a h µν eltéréstenzor nem tisztán időszerű komponensei zérus értéket vesznek fel. Éppen ezért a h αβ komponenseket kivéve a tt-komponenst a továbbiakban zérus értékűnek tekintjük. Ezek után vezessük még be a h tt = 4φ (2.7.6) jelölést, ami segít annak felismerésében, hogy az általunk vizsgált határesetben a h ab = 4φt a t b tenzor egyetlen nem zérus komponensére vonatkozó (2.7.3) egyenlet éppen a Newton-elmélet alapegyenleteként is felfogható φ = 4πρ (2.7.7) Poisson-egyenletnek felel meg.
22 2. FEJEZET. A LINEARIZÁLT EINSTEIN-ELMÉLET 2.7.2. Feladat. Mutassuk meg, hogy a h ab = 4φt a t b tenzorhoz tartozó h ab eltéréstenzor diagonális és a h ab = h ab 1 2 η ab h = (4t a t b +2η ab ) φ (2.7.8) alakban írható fel, és így a h tt = 2φ egyenlőség is teljesül. 2.8. A próbatestek leírása Ahogy azt korábban említettük az általános relativitáselméletben a Mach-elvet megjelenítő tulajdonság folytán a próbatestek geodetikus pályán mozognak. Egy ilyen pályán mozgó test egyenletét valamely (t, x, y, z) Minkowski-féle globális koordinátarendszerben a d 2 x α dx β dx γ dτ 2 +Γα βγ dτ dτ = 0 (2.8.9) alakban írhatjuk fel, ahol az x µ = x µ (τ) függvény a próbatest geodetikus világvonalát ábrázolja, τ pedig a világvonal mentén mért sajátidő paraméter, mely amint azt a??alfejezetben megmutattuk egyben affin-paraméter is az x µ = x µ (τ) geodetikus mentén. A próbatest u α = dx α /dτ négyessebességvektorát, az SI mértékegységek, valamint a speciális relativitáselméletben bevezetett γ = 1/ 1 v 2 /c 2 boost-faktor segítségével az ismerősebb u α = (γc,γv) alakban is felírhatjuk. Ennek megfelelően, lassú mozgás határeset a γ 1 relációval jeleníthető meg, ami a geometrizált egységekre visszatérve, a c = 1 feltétel miatt azt adja, hogy u t 1, azaz a τ sajátidő paraméterre és az t koordinátaidőre a τ t reláció teljesül. Így a továbbiakban elegendő u α sebességvektor térszerű komponenseivel foglalkoznunk. 2.8.1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az (2.7.8) egyenlet által meghatározott h ab eltéréstenzorhoz erre a h tᾱ = hᾱ β = 0 relációk teljesülnek a (2.3.3) egyenletnek megfelelően tartozó linearizált Christoffel-szimbólumra a (1)Γᾱtt φ xᾱ (2.8.10) reláció teljesül, ahol a felülvonásos indexek mindenütt az 1,2,3 értékeket veheti fel. Mindezek következtében, valamint a (2.8.9) és (2.8.10) egyenletek következtében a
2.8. A PRÓBATESTEK LEÍRÁSA 23 próbatest egyenletét a vagy az ennél sokkal ismerősebb d 2 xᾱ dt 2 (1) Γᾱtt φ xᾱ, (2.8.11) ma mgrad(φ) = F grav (2.8.12) alakban írhatjuk fel, ahol a a próbatest (t, x, y, z) Minkowski-féle globális koordinátarendszerhez viszonyított aᾱ = d2 xᾱ(t) dt 2 gyorsulását jelöli. Mivel a (2.7.7) és a (2.8.12) egyenletek éppen a Newton-féle gravitációelmélet alapegyenletei azt mondhatjuk, hogy az általános relativitáselmélet lassú mozgás és gyenge gravitációs hatások határesetben a Newton-elméletté redukálódik, így annak természetes általánosításaként is tekinthetünk rá. Van azonban egy nagyon lényeges koncepcionális eltérés a két elmélet között. Míg a Newton-elmélet például a naprendszerbeli bolygók mozgását, úgy írja le mint ezeknek a próbatesteknek a Nap által keltett gravitációs térben, egy abszolút térben végzett gyorsuló mozgásaikat, addig az általános relativitáselmélet megközelítésének megfelelően a bolygók szabad próbatestként, geodetikus pályán mozognak a Nap tömege és energiája révén görbült téridőben. Mivel a téridő geometriája elegendően görbült, a bolygómozgásokhoz tartozó a geodetikus pályák térszerű értelemben korlátosak.
24 2. FEJEZET. A LINEARIZÁLT EINSTEIN-ELMÉLET
3. fejezet Gyenge gravitációs hullámok Ahhoz hasonlóan, ahogyan a Coulomb-féle elektrosztatika után természetes módon jelennek meg az elektromágneses hullámok az elektrodinamikában, a Newton-féle gravitációelmélet általánosításának számító Einstein-féle gravitációelméletben is újfajta, gravitációs hullámjelenségek lépnek fel. A gravitációs hullám, mint a téridő geometriájában keletkezett zavar fénysebességgel történő tovaterjedése képzelhető el. Ebben az alfejezetben az előző részben bevezetett linearizál közelítés felhasználásával a gyenge gravitációs hullámok néhány alapvető tulajdonságának ismertetését, illetve a megtalálásukra kialakított kísérleti berendezések közül az interferometrikus detektorok elvi működésének rövid bemutatását tűzzük ki célként. 3.1. Az inhomogén egyenlet Ahogyan azt korábban már megmutattuk a a hab = 0 Lorentz-féle mértékfeltételnek eleget tevő h ab kifejezés segítségével a linearizált Einstein-egyenletet a h ab = 16π (1) T ab. (3.1.1) alakban írhatjuk fel. Ennek az egyenletnek a segítségével határozhatjuk meg, az egyenlet jobb oldalán a (1) T ab energia-impulzus tenzormező által megjelenített anyag, mint forrás által keltett gravitációs hullámokat. A most következő rövid részben h ab tisztán térszerű részeinek vezetőrendű viselkedését tárgyaljuk. 25
26 3. FEJEZET. GYENGE GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK Először is érdemes felidézni, hogy a (3.1.1) egyenlet általános megoldása mindig az inhomogén egyenlet valamely partikuláris megoldásának, valamint a homogén egyenlet általános megoldásainak segítségével írható fel. Ebben az részben most csak az inhomogén egyenlet megoldásaival foglalkozunk melyet a (1) T ab energia-impulzus tenzor ismeretében, valamint a szokásos retardált Green-függvény segítségével a Tab (t x x h, x ) ab (t, x) = 4 d 3 x (3.1.2) x x integrál segítségével adhatunk meg, ahol x a (t, x, y, z) Minkowski-féle globális koordinátarendszer térszerű részéhez tartozó (x, y, z) komponensekkel rendelkező helyvektort jelöli. A kifejezések rövidítése érdekében a (1) T ab energia-impulzus tenzor linearizálásra utaló (1) -es indexét a továbbiakban elhagyjuk. Érdemes T ab (p h ) ab (p) = 4 J (p) x(p) x(p ) d3 S(p ) (3.1.3) alakban is felírni a (3.1.2) integrált, mert sokkal szemléletesebb. Itt J (p) S 2 R + a p 3 pont által megjelenített esemény múlt fénykúpját, x(p) x(p ) = ᾱ=1 (xᾱ(p) xᾱ(p )) 2 a p és (p ) események térszerű távolságát, továbbá d 3 S(p ) a J (p) fényszerű hiperfelületen értelmezett térfogati formát jelöli, ami, például gömbi koordinátákban a d 3 S(p ) = r 2 sin(θ )dr dθ dφ alakban írhatunk fel. A továbbiakban feltesszük: (1) egyrészt azt, hogy a forrást messziről figyeljük meg, azaz a forrás L karakterisztikus átmérője elhanyagolható a forrás megfigyelőtől mért r távolságától, (2) másrészt azt, hogy a forrás mozgása lassú, azaz azt az esetet tekintjük, amikor a forrás részeinek belső mozgásának v sebessége sokkal kisebb, mint a vákuumbeli fénysebesség. Az (1) feltétel azt biztosítja, hogy a nevezőben lévő x(p) x(p ) kifejezést helyettesíthetjük az r távolsággal és az ekkor használt közelítés hibája nem nagyobb, mint L/r. Hasonlóan, a (2) feltétel azt biztosítja, hogy a t x x /c retardált időt is helyettesíthessük az egyszerűbb t r/c kifejezéssel. Az utóbbi esetben alkalmazott közelítés hibája L/τ nagyságrendű, ahol τ a forrás karakterisztikus időskáláját jelzi, azaz a forrás belsejében lejátszódó folyamatok (2) feltétel értelmében elhanyagolhatónak tekintett sebességével arányos.
3.1. AZ INHOMOGÉN EGYENLET 27 Mindezen előkészítések után h ab -t a h ab (t, x) = 4 r T ab (t r, x )d 3 x (3.1.4) kifejezéssel adhatjuk meg. A h ab kifejezés tisztán térszerű részeinek vezetőrendű viselkedése ezek után a T ab energia-impulzus tenzormező a T ab = 0 divergenciamentességét kihasználva 1 az alábbiak szerint határozható meg. A t T tt + ε T εt = 0 (3.1.5) t T t ϕ + ε T ε ϕ = 0 (3.1.6) egyenletek alapján a (3.1.5) egyenletet t, míg a (3.1.6) egyenletet az x ϕ koordináta szerint deriválva azt kapjuk, hogy 2 t Ttt = ε ϕ T ε ϕ. (3.1.7) Az utolsó egyenlet mindkét oldalát az xᾱx β kifejezéssel megszorozva a 2 t [ ] T tt xᾱx β = [ ε ϕ T ε ϕ ]xᾱx β (3.1.8) egyenlethez jutunk. A Leibnitz-szabály, valamint a ε xᾱ = δ εᾱ reláció többszöri alkalmazásával a jobb oldalon álló kifejezést a [ [ ] [ ε ϕ T ε ϕ ]xᾱx β = ε ϕ T ε ϕ xᾱx β ] 2 ε Tᾱ ε x β +T ε βxᾱ 2Tᾱ β alakban írhatjuk fel. (3.1.9) Ezek után a (3.1.4), (3.1.7), (3.1.8) és (3.1.9) egyenletek alapján és kihasználva azt, hogy a tisztán térszerű részekre a Tᾱ β = Tᾱ β egyenlőség teljesül azt kapjuk, hogy a hᾱ β(p) = 4 Tᾱ β(p )d 3 x = (3.1.10) r = 4 { 1 [ r 2 ε ϕ T ε ϕ x ᾱ x ] ε [Tᾱ ε β x β +T ε βx ] ᾱ 1 [ β] } 2 2 t T tt x ᾱ x d 3 x = = 2 [ ] t 2 T tt x ᾱ x β d 3 x = 2 [ ] r r 2 t T tt x ᾱ x βd 3 x = 2 [ β] r 2 t ρx ᾱ x d 3 x 1 Ahogyan azt korábban megmutattuk, az energia-impulzus tenzor divergenciamentessége mindig biztosított, ha az anyagmezőkre vonatkozó mozgásegyenletek teljesednek.
28 3. FEJEZET. GYENGE GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK reláció teljesül, ahol a d 3 x térfogatelem előtt szögletes zárójelekben álló kifejezések mindegyikét a t = t r retardált időben kell kiértékelnünk. A második sorban megjelenő c teljes divergenciákat az integrálás Gauss-tétele alapján azzal az észrevétellel hagytuk el, hogy a forrás lokalizált, azaz tartójának és a p pont múlt fénykúpjának metszete mindig kompakt. A harmadik sor második lépésében az integrálási tartomány időfüggetlenségét kihasználva az idő szerinti deriválásokat felcserélhetjük az integrálás műveletével. Végül az utolsó lépésben azt használtuk ki, hogyt tt = T t t, továbbát t t a forrás( / t ) a egységvektorral mozgó megfigyelők által a t=állandó hiperfelületeken mért ρ energiasűrűségével egyezik meg. Mindezek alapján a h ab tisztán térszerű hᾱ β részének vezetőrendű viselkedésére azt kapjuk, hogy hᾱ β(p) = 2 [ β] r 2 t ρx ᾱ x t =t r c d 3 x, (3.1.11) azaz hᾱ β a forrás tömegeloszlásának második momentumának második időszerinti deriváltjának segítségével határozható meg. 3.2. A forrásmentes eset Ebben a részben azokkal a szabad gravitációs hullámokkal foglalkozunk, amelyek alapjában véve csak anyagmentes, azaz a T ab 0 egyenletnek eleget tevő téridőkben valósulhatnak meg. Amint azt korábban is hangsúlyoztuk a a hab = 0 Lorentz-féle mértékfeltételnek eleget tevő h ab kifejezés a (3.1.1) linearizált Einstein-egyenlet alakjának megtartása mellett további (2.5.21) alakú koordinátatranszformációnak vethető alá, feltéve, hogy az infinitezimális ξ a vektormező eleget tesz a ξ a = 0 (3.2.12) egyenletnek. Ezen mértéktranszformáció felhasználásával lényegében véve további négy feltételt róhatunk ki a h ab kifejezésre, vagy a vele ekvivalens h ab eltéréstenzor komponenseire. 3.2.1. A sugárzási mérték A tiszta sugárzásokat leíró speciális esetben, azaz amikor nincs anyag a téridőben, azaz T ab 0, a metrika h ab perturbációjára mind a h = h ef η ef kifejezés, mind pedig a h tᾱ (ᾱ =
3.2. A FORRÁSMENTES ESET 29 1, 2, 3) komponensek azonosan nullává tehetők. Ennek belátásához elegendő meggondolni, hogy amikor T ab 0 a h ab kifejezés a h ab = 0 (3.2.13) egyenletnek tesz eleget. Ismert, hogy az ehhez az egyenlethez tartozó kezdőértékprobléma jól meghatározott, azaz a kezdőértékproblémának létezik megoldása és az egyértelmű, továbbá a megoldás folytonosán és kauzálisan függ a kezdőadatoktól. Mivel a h ab komponensek fejlődése szétcsatolódik azt is tudjuk, hogy azok a komponensek, amelyekhez triviális, azaz zérus kezdőadatot tudunk választani, azokhoz csak az azonosan zérus megoldás tartozhat. Így ahhoz, hogy a h és h tᾱ (ᾱ = 1,2,3) mennyiségek mindenütt azonosan zérus értéket vegyenek fel csak azt kell biztosítani a kezdőfelületen, hogy a h és h tᾱ (ᾱ = 1,2,3) mennyiségeire vonatkozó kezdőadatok eltűnjenek. Mivel a h = 0 esetben a h = h reláció folytán az is igaz, hogy h ab = h ab, azaz elegendő a h és h tᾱ (ᾱ = 1, 2, 3) kifejezésekre vonatkozó kezdőadatok eltűnését biztosítanunk. Utóbbiak a h αβ h alphaβ = h αβ + α ξ β + β ξ α transzformációs szabály folytán a 0 = h = h 2 t ξ t +2 µ ξ µ (3.2.14) 0 = t h = t h 2 t t ξ t +2 µ ( t ξ µ ) = = t h 2 µ µ ξ t +2 µ ( t ξ µ ) (3.2.15) 0 = h tᾱ = h tᾱ + t ξᾱ + ᾱξ t (3.2.16) 0 = t h tᾱ = th tᾱ + t t ξᾱ + ᾱ t ξ t = = t h tᾱ + µ µ ξᾱ + ᾱ t ξ t, (3.2.17) formában adhatók meg, ahol a felülvonásos ᾱ és µ indexek a korábban bevezetett jelöléseink értelmében az 1, 2, 3 értékeket veszik fel, továbbá az indexek kettőzött előfordulása továbbra is mindenütt összegzésre utal. Ez valójában nyolc egyenlet, melyek a h, t h,h tᾱ, t h tᾱ kifejezések ismeretében egyértelműen megoldhatók a kezdőfelületen a (ξ t,ξ x,ξ y,ξ z ; t ξ t, t ξ x, t ξ y, t ξ z ) változókra. Ezeket a keresett mértéktranszformáció generátorának előállítása során a (3.2.12) egyenletben, mint a ξ a vektormező komponenseire vonatkozó kezdőadatokat alkalmazzuk. Mindezek alapján az így kapott kezdőfeltételeket használva meghatározzuk a (3.2.12) egyenlet megoldását, majd annak segítségével végrehajtjuk a (2.5.21) transzformációt, (a vesszők elhagyása után) az eredményül kapott h ab eltéréstenzor nemcsak a Lorentz-
30 3. FEJEZET. GYENGE GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK feltételnek, de a valamint a h = 0, (3.2.18) h tᾱ = 0 (ᾱ = 1,2,3) (3.2.19) feltételeknek is eleget tesz. Az már csak egy kellemes ráadás, hogy ekkor a h ab = h ab reláció ismételt használata folytán a (2.5.27) Lorentz-feltétel az α = t esetben a t h tt = 0 (3.2.20) alakot ölti. Így a most vizsgált tiszta sugárzás esetében, azaz amikor T ab 0 és csak akkor, a h tt komponensre vonatkozó linearizált Einstein-egyenletből 2 h tt = 0, (3.2.21) következik. Ennek az egyenletnek az egyetlen, mindenütt reguláris megoldása egy időtől és helytől egyaránt független állandó. Ennek értéke egy további, minden korábbi feltételünket tiszteletben tartó (2.7.5) típusú mértéktranszformáció segítségével zérussá tehető. 3.3. A geometriai szabadsági fokok Ugyanúgy mint az elektrodinamikában, a (3.1.1) linearizált Einstein-egyenletből kapott homogén egyenlet megoldásai mint síkhullám-megoldások szuperpozíciói adhatók meg. A vizsgált rendszerünk valódi szabadsági fokainak felderítéséhez érdemes a homogén hullámegyenlet elemi síkhullám megoldásait tekintenünk. Ennek megfelelően a sugárzási mértéket, továbbá az azzal kompatibilis h ab = h ab egyenlőséget használva tekintsük a [ ] 3 h ab = H ab exp i k a x a (3.3.22) a=0
3.3. A GEOMETRIAI SZABADSÁGI FOKOK 31 síkhullám megoldást, ahol H ab egy helytől és időtől független tenzor, azaz c H ab = 0. 2 Ezt a (3.1.1)-ből kapott homogén egyenletbe helyettesítve 3 k a k b η ab = 0 (3.3.23) a,b=0 következik, ami azt jelenti, hogy az η ab metrikára nézve a k a hullámszám-vektor fényszerű. Ezek után a sugárzási és Lorentz-féle mértékfeltételeket a vizsgált speciális esetben 3 h = 0 H αβ η αβ = 0, (3.3.24) α,β=0 h tα = 0 H tα = 0 (α = t,x,y,z), (3.3.25) 3 α h αβ = 0 k α H αβ = 0 (β = t,x,y,z) (3.3.26) α=0 alakban írhatjuk fel. Könnyen belátható, hogy ebből a kilenc algebrai feltételből csak nyolc független, hiszen a középső egyenletekből az utolsó egyenlet β = t választásnak megfelelő speciális esete automatikusan adódik. Így a szimmetrikus H ab tenzornak melynek általános esetben tíz független komponense van a fenti nyolc algebrai megszorítás következtében csak két algebrailag független komponense lehet. Az egyszerűség kedvéért, és az általánosság megszorítása nélkül, tekinthetünk olyan síkhullámot is, amely a z-koordinátatengely irányába mozog. Ekkor h αβ = H αβ exp[ iω(t z)], (3.3.27) ahol a k a fényszerű hullámszám-vektor komponensei (ω,0,0,ω), továbbá ω a hullám fázisváltozási gyorsaságát jelöli, amelyre a jól ismert ω k t = kx 2 +k2 y +k2 z egyenlőség teljesül. A (3.3.25) egyenletből, valamint a Lorentz-feltételből azonnal adódik, hogy α h α β = t h t β + ᾱhᾱ β = t h t β + ᾱhᾱ β = z h z β = 0. (3.3.28) Ez a reláció a h ab eltéréstenzor regularitására vonatkozó korábban már többször al- 2 A (3.3.22) egyenlet által meghatározott eltéréstenzor komplex és így csak a komplex konjugált kifejezés hozzáadásával nyert valós rész tekinthető fizikainak. Fontos azonban megjegyezni, hogy a (3.3.22) alakban alkalmazott H ab kifejezésre kapott összefüggések mindegyike teljesül H ab valós részére is, így a formulák egyszerűbb alakját elsődlegesnek tartva ebben a részben mindenütt a komplex H ab -vel dolgozunk.
32 3. FEJEZET. GYENGE GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK kalmazott érvelésünknek megfelelően azt jelenti, hogy a H z β komponensek tetszőleges, β = 1,2,3-re szintén zérus értékűek. Emiatt csak a H xx, H xy, H yx és a H yy komponensek vehetnek fel nullától eltérő értéket. Ezekután h ab szimmetriája és a trace - mentessége folytán a két algebrailag független komponens, például a H + = H xx = H yy és a H = H xy = H yx kifejezésekkel adhatjuk meg. Ezek segítségével magát a H ab tenzort a H ab = H + [(e x ) a (e x ) b (e y ) a (e y ) b ]+H [(e x ) a (e y ) b +(e y ) a (e x ) b ], (3.3.29) alakban írhatjuk fel, ahol (e x ) a és (e y ) b az x és y koordinátatengelyek irányába mutató egységvektorokat jelölik. A jobb oldalon található két tag együtthatóját a tekintett gravitációs síkhullám két független, plusszos és keresztes polarizációs állapotának amplitúdóinak nevezzük. 3.4. Sugárzási mérték az általános esetben Ebben az alfejezetben annak bemutatására törekszünk, hogy valódi fizikai források esetén is be lehet vezetni sugárzási mértéket. Rámutatunk azonban arra is, hogy ezt megfelelő körültekintéssel kell megtennünk, hiszen az egyenletekben fellépő forrástagok még véges kiterjedésű testek által keltett hullámok esetében sem lokalizáltak. A sugárzási, vagy TT-mérték meghatározása érdekében induljunk ki a h αβ eltéréstenzor egy tetszőleges időszerű és térszerű h αβ = ( htt h ti felbontásából. Vezessük be az így kapott részekre a h it h ij ) (3.4.30) h tt = 2φ (3.4.31) h ti = β i + i γ (3.4.32) h ij = h TT ij + 1 3 Hδ ij + (i ε j) + ( i j 13 ) δ ij 2 λ, (3.4.33) jelöléseket, ahol H δ ij h ij, melyet a H = h+2φ reláció kapcsol a h = h α α trace-hez. A h αβ eltéréstenzor (3.4.30) - (3.4.33) felbontásában szereplő kifejezések attól válnak
3.4. SUGÁRZÁSI MÉRTÉK AZ ÁLTALÁNOS ESETBEN 33 egyértelműen meghatározottá, hogy rájuk egyrészt a i β i = 0, i ε i = 0, i h TT ij = 0, δ ij h TT ij = 0, (3.4.34) kényszeregyenleteket, másrészt az r határesetben a γ 0, ε i 0, λ 0, 2 λ 0 (3.4.35) határfeltételeket rójuk ki. Korábban már láttuk, hogy a h αβ eltéréstenzor komponensei nem mértékinvariánsak, így a φ,γ,λ,h,β i,ε i kifejezések sem lehetnek azok. 3.4.1. Feladat. Mutassuk meg, hogy a φ,γ,λ,h,β i,ε i kifejezésekből képzett Φ φ+ t γ 1 2 2 tλ (3.4.36) Θ 1 ( H 2 λ ) 3 (3.4.37) Ξ i β i 1 2 tε i, (3.4.38) kombinációk, valamint a 3 3-as h TT ij mátrix mértékinvariáns kifejezések, azaz ezek a kifejezések függetlenek attól, hogy a h αβ, vagy a vele mértékekvivalens h αβ = h αβ+ α ξ β + β ξ α eltéréstenzor komponenseiből kiindulva határozzuk meg őket. 3.4.1. Az energia-impulzus tenzor felbontása Mielőtt az imént bevezetett mennyiségekre vonatkozó téregyenleteket felírnánk tekintsük az energia-impulzus tenzornak a h αβ eltéréstenzorra alkalmazott felbontásához hasonló eljárással nyert ( Ttt T ti T αβ = felbontását, ahol a ρ, S i, S, P, σ ij, σ i mennyiségeket az T it T ij ), (3.4.39) T tt = ρ (3.4.40) T ti = S i + i S (3.4.41) T ij = Pδ ij +σ ij + (i σ j) + ( i j 13 ) δ ij 2 σ (3.4.42)
34 3. FEJEZET. GYENGE GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK összefüggések segítségével definiáljuk, míg ezek egyértelmű meghatározottsága érdekében megköveteljük, hogy a i S i = 0, i σ i = 0, i σ ij = 0, δ ij σ ij = 0 (3.4.43) kényszeregyenletek és az r határesetben a S 0, σ i 0, σ 0, 2 σ 0 (3.4.44) lecsengési feltételek teljesedjenek. Vegyük észre, hogy (3.4.46) utolsó két relációja értelmében a σ ij hármastenzor valójában egy TT-tenzor. 3.4.2. σ ij nem lokális Az általános esetben az Einstein- és az anyagi térváltozókra vonatkozó mozgásegyenleteket szimultán kell megoldanunk. A jelen esetben egyedül a geometriára vonatkozó Einsteinegyenletekkel fogunk foglalkozni, így a forrásokat alkotó anyag történetét meghatározó mozgásegyenleteket most nem vesszük figyelembe. Ennek megfelelően a továbbiakban feltesszük, hogy a forrásokat leíró anyagmezőkhöz tartozó T αβ energia-impulzus tenzor ismert. A T αβ energia-impulzus tenzor (3.4.39), valamint (3.4.40) - (3.4.42) által meghatározott felbontását felhasználva a α T αβ = 0 megmaradási törvényt a 2 S = ρ (3.4.45) 2 σ = 3 2 P + 3 2Ṡ (3.4.46) 2 σ i = 2Ṡi, (3.4.47) alakban írhatjuk fel, ahol ρ = T tt, S i = T ti i S és P = δ ij T ij. Így, amikor T αβ adott, ezek az egyenletek a S, σ és σ i mennyiségeket a rájuk vonatkozó határfeltételek együtt teljesen meghatározzák. a Mindezek, valamint (3.4.42) figyelembevételével σ ij is egyértelműen meghatározott, és σ ij = T ij Pδ ij (i σ j) ( i j 13 δ ij 2 ) σ (3.4.48) alakban írható fel.