1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-0 Lie-csoportok 1. Folytonos csoportok Kontinuum számosságú csoport elemek jellemzése valós paraméterekkel (koordinátákkal): g(α 1,..., α n )= g( α) G α U R n U paraméter-tartomány topológiája csoport topológiája (két csoportelem közeli ha paraméter-vektoraik közeliek) g : U G leképezés folytonos. Csoport dimenziója = elemek megkülönböztetéséhez szükséges paraméterek minimális száma ('n-paraméteres csoport' ).
1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-1 Példa: eltolások csoportja háromparaméteres, míg az összes mozgásé (euklidészi izometriák = eltolások + forgatások + tükrözések) hatparaméteres. µ: U U U folytonos leképezés, µ ( α, β ) az α és β paraméter-vektorú csoportelemek szorzatának paraméter-vektora g( α)g( β) = g(µ ( α, β ) ) α paraméter-vektorú csoportelem inverzének paraméter-vektora ι( α), g( α) 1 = g(ι( α)) megfelel ι: U U folytonos leképezéssel. Egységelem paraméter-vektora (konvenció): 0=(0,..., 0).
1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-2 Csoportaxiómák µ ( α, µ ( β, γ )) = µ ( µ ( α, β ), γ ) asszociativitás µ ( α, 0 ) = µ ( 0, α ) = α egységelem µ ( α, ι ( α )) = µ ( ι ( α ), α ) = 0 inverzelem Lie-csoport: kompatibilis algebrai és dierenciálható struktúra. µ : U U U és ι : U U leképezések konvergens Taylor-sorba fejthet k az origó (egységelem paraméter-vektora) egy kis környezetében. Gleason-Montgomery-Zippin tétele: kétszeres folytonos dierenciálhatóság + csoportaxiómák konvergens Taylor-sor! Dieomorzmus: inverzével együtt dierenciálható leképezés. Lokális izomorzmus: egységelem elég kis környezetében értelmezett m - velettartó dieomorzmus.
1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-3 (U 1, µ 1, ι 1 ) és (U 2, µ 2, ι 2 ) közötti lokális izomorzmus olyan φ: W 1 W 2 (inverzével együtt) dierenciálható leképezés 0 W 1 U 1 és 0 W 2 U 2 euklideszi részhalmazok között, amelyre ( ( µ 2 φ α ) (, φ β )) ( ( )) = φ µ1 α, β Lokális szerkezet ugyanaz, különbség a globális topológiai tulajdonságokban: kompaktság: U paraméter-tartomány zárt és korlátos (minden nyílt lefedéséb l kiválasztható véges lefedés); összefügg ség: U bármely két pontja összeköthet U-n belül haladó folytonos görbével; egyszeres összefügg ség: minden U belsejében futó zárt görbe folytonosan összehúzható egy pontra (csak összefügg G-re).
1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-4 Példák: 1. valós számok (R, +) additív csoportja egyparaméteres (minden számot önmaga paraméterez, U = R) µ(α, β)=α+β és ι(α)= α egyszeresen összefügg és nem-kompakt; 2. komplex fázisok U(1)={z C z =1} multiplikatív csoportja egyparaméteres (g : α exp(ıα) exponenciális paraméterezés) µ(α, β)=α+β és ι(α)= α (lokálisan izomorf (R, +)-szal) kompakt és nem egyszeresen összefügg ; 3. 3d forgáscsoport háromparaméteres (pl. Euler-szögek) origótól mért távolság invariáns forgatás leírható 3x3-as ortogonális mátrix segítségével (azonosítható SO(3) mátrixcsoporttal) kompakt és összefügg, de nem egyszeresen összefügg ;
1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-5 4. SU(2)= { U Mat 2 (C) det U =1, U U =1 } izospin-csoport dim SU(2) = 3 (képzetes kvaterniók és/vagy Pauli-mátrixok) egyszeresen összefügg és kompakt; 5. E(3) euklidészi csoport = R 3 izometriáinak csoportja hatparaméteres: 3 transzláció + 3 forgatás összefügg és nem-kompakt; 6. O(n)={A GL(n) AA t =1} ortogonális csoport dim O(n)= n(n 1) 2 nem összefügg (tükrözések), de kompakt; 7. P Poincaré-csoport = Minkowski-térid szimmetriacsoportja 10 paraméteres: 3 térbeli + 1 id beli eltolás + 6 négydimenziós forgatás (3 térbeli forgatás és 3 Lorentz-boost) transzláció részcsoport és Lorent-csoport féldirekt szorzata nem összefügg és nem kompakt.
1. FOLYTONOS CSOPORTOK 0-6 G 0 részcsoport: egységelemb l kiinduló, G-beli folytonos görbék végpontjai (egységelem komponense). Összefügg csoportra G=G 0. G/G 0 mellékosztályok G összefügg komponensei Minden összefügg G-re létezik Ĝ univerzális fed csoport, amely egyszeresen összefügg, lokálisan izomorf G-vel, és G = Ĝ/Z ahol Z a Ĝ véges centrális részcsoportja. Például U(1) univerzális fed csoportja (R, +), míg SO(3)-é SU(2).
2. LIE-ALGEBRA 0-7 2. Lie-algebra Egyparaméteres (lokális) részcsoport: 0 egy kicsiny környezetében dierenciálható ς : R U leképezés, amelyre µ ( ς(t 1 ), ς(t 2 ) ) =ς(t 1 +t 2 ). Ciklikus részcsoportokkal analóg szerep Lie-csoportok elméletében. Kanonikus paraméterezés: minden ς :t (α 1 t,..., α n t) lineáris leképezés lokális egyparaméteres részcsoport (α 1,..., α n ) U esetén. Minden Lie-csoportnak létezik kanonikus paraméterezése. Kanonikus paraméterezés esetén ι ( α ) = α és µ ( α, β ) i = α i + β i + n j,k=1 c jk i α j β k + magasabb rend tagok c jk i valós együtthatók a Lie-csoport struktúraállandói.
2. LIE-ALGEBRA 0-8 Lie tételei struktúraállandók meghatározzák magasabb rend tagokat! Lokálisan izomorf csoportok struktúraállandói megegyeznek (megfelel en választott paraméterezések esetén). Tulajdonságok: ( m c jm i c jk i + c kj i = 0 ) antiszimmetria m + c km i c lj m + c lm i c jk m = 0 Jacobi-azonosság c kl Lie tételei antiszimmetriát és Jacobi-azonosságot kielégít tetsz leges valós c jk i együtthatók egy Lie-csoport struktúraállandói (megfelel kanonikus paraméterezésben). Különböz (kanonikus) paraméterezésekben számított struktúraállandók között lineáris összefüggés csoportszerkezet linearizálása.
2. LIE-ALGEBRA 0-9 Lie-algebra: L lineáris tér egy [a, b]-vel jelölt kétváltozós m velettel (kommutátor), amely mindkét változójában lineáris, azaz [λa+µb, c] = λ[a, c] + µ[b, c] és [a, λb+µc] = λ[a, b] + µ[a, c] minden a, b, c L és λ, µ skalárok esetén, antiszimmetrikus [a, b] + [b, a] = 0 és teljesül a [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0 Jacobi-azonosság Kommutátor lineáris elegend ismerni báziselemek kommutátorait. Liemorzmus: kommutátor rz φ:l 1 L 2 lineáris leképezés φ ( [a, b] ) =[φ(a), φ(b)]
2. LIE-ALGEBRA 0-10 Példák: 1. R 3 a vektoriális szorzattal a ( b c) = ( a c) b ( a b) c 2. n n-es mátrixok [A, B] = AB BA kommutátorral; 3. A: V V lineáris operátorok gl(v ) összessége a szokásos [A, B] = AB BA kommutátorral (általános lineáris Liealgebra); 4. sl(v )={A gl(v ) Tr(A)=0}; 5. meggyelhet mennyiségek a Poisson-zárójellel (klasszikus mechanika kanonikus formalizmusa); 6. impulzusmomentum komponensei (kvantummechanika).
2. LIE-ALGEBRA 0-11 Csoport Lie-algebrája: (valós) n = dim G dimenziós Lie-algebra, amelyben megfelel en választott B={b 1,..., b n } bázis esetén [b i, b j ] = k c ij k b k ahol c ij k -k a csoport struktúraállandói (csoportszerkezet linearizálása); Lieizomora erejéig egyértelm. Alternatív deníciók: egységelem érint tere, invariáns vektormez k, stb. egyparaméteres alcsoportok Liealgebra egydimenziós alterei Lokálisan izomorf csoportok Liealgebrái izomorfak: például (R, +) és U(1) (egydimenziós Lie-algebra), vagy SU(2) és SO(3).
2. LIE-ALGEBRA 0-12 Transzformációcsoport: α U R n esetén g( α) : R m R m dierenciálható leképezés (általában: dierenciálható sokaság dieomorzmusa). T 1,..., T n innitezimális generátorok T i = m ( ) g( α)j j=1 α i α= 0 x j Els rend parciális dierenciál-operátorok. Innitezimális generátorok kommutátora szintén els rend! [T i, T j ] = T i T j T j T i = k c ij k T k c ij k együtthatók a transzformációcsoport struktúraállandói.
2. LIE-ALGEBRA 0-13 Példák 1. 3d transzlációcsoport: legyen g( α) az α R 3 vektorral való eltolás g( α) : R 3 R 3 x x + α Ekkor T i = j (x j +α j ) α i x j = x i azaz az innitezimális generátorok a koordináták szerinti parciális deriváltak. Mivel ezek sorrendje lényegtelen (Youngtétel), ezért a struktúraállandók mind zérusok: [T i, T j ] = 0
2. LIE-ALGEBRA 0-14 2. 2d forgáscsoport: α R-re g(α): ( ) x y ( ) cosα x sinα y sinα x+cosα y T = (cosα x sinα y) α (sinα x+cosα y) + x α y = y x + x y 3. 1d konform csoport: a, b R-re g(a, b):x ax+b Megjegyzés: g(1, 0) a csoport egységeleme! T a = (ax+b) a T b = (ax+b) b a=1,b=0 a=1,b=0 = x x = x [T a, T b ]=x ( ) ( x ) = x x x x x = T b
3. ÁBRÁZOLÁSOK 0-15 3. Ábrázolások gl(v ) általános lineáris Liealgebra: Lie-algebrája. GL(V ) általános lineáris csoport Lie-algebra ábrázolása: L-b l gl(v )-be képz Liemorzmus, azaz olyan φ:l gl(v ) lineáris leképezés, amelyre [φ(a), φ(b)] = φ(a) φ(b) φ(b) φ(a) Lie-algebra ábrázolásai univerzális fed csoport ábrázolásai Általában projektív ábrázolásai a csoportnak(azok valódiak közülük, amelyek magja tartalmazza a Z <Ĝ centrális részcsoportot). Ábrázolások vizsgálata lineáris algebrai eszközökkel.
4. HAAR-MÉRTÉK 0-16 4. Haar-mérték Csoportelemekre vett összegzés Haar-integrál. Integrálás: f f lineáris funkcionál komplex érték függvények terén. G Kompatibilitás csoportszerkezettel: transzláció-invariancia ˆ G f = ˆ G g f = ˆ f g G minden g G-re, ahol g f(h) = f(gh) és f g (h) = f(hg) az f : G C komplex érték függvény bal-, illetve jobb-eltoltja. Paraméter-tartományra vett Lebesgue-Stieltjesintegrál. Haar-mérték: karakterisztikus függvények integráljából. Kompakt csoportra mindig létezik normalizált Haar-mérték.
5. A FORGÁSCSOPORT 0-17 5. A forgáscsoport Rögzített ponton (origó) átmen tengelyek körüli forgatások csoportja. Descartes-koordináták lineárisan transzformálódnak, együttható-mátrix ortogonális és egységnyi determinánsú forgáscsoport azonosítható SO(3) csoporttal (n dimenzióban SO(n)). Tetsz leges forgatás el állítható három, egymásra mer leges tengely körüli forgatás szorzataként: O( α) = O x (α x ) O y (α y ) O z (α z ) ahol x O z (α): y z cosα x sinα y sinα x+cosα y z
5. A FORGÁSCSOPORT 0-18 innitezimális generátor L z = x y y x Hasonló megfontolásból L x = y z z y L y = z x x z Generátorok antihermitikus operátorok L 2( R 3) Hilbert-téren ˆ f, L i g = f(x, y, z)l i g(x, y, z) dxdydz = L i f, g Lie-algebra: L x, L y, L z generátorok lineáris kombinációi.
5. A FORGÁSCSOPORT 0-19 Kommutátorok ( [L x, L y ] = y z z )( z y x x ) ( z z x x )( y z z z ) y = y ( z z x x ) z ( z z y x x ) z ( y z x z z ) y + x ( y z z z ) 2 2 = y +yz yx y x z x z 2 z2 2 2 +zx y x y x zy 2 x z +z2 2 2 +xy x y z 2 x 2 xz y z y = y x x y = L z és hasonló módon [L x, L z ] =L y [L y, L z ] = L x
5. A FORGÁSCSOPORT 0-20 Tetsz leges n egységvektorral jellemzett tengely körüli forgatások generátora L n = n x L x + n y L y + n z L z Kommutátorok [L n, L m ] = L n m forgáscsoport Liealgebrája izomorf 3d vektorok Liealgebrájával (vektoriális szorzattal mint kommutátorral). Önadjungált J i = ıl i generátorok (komplexikált algebrában) kommutátorai (ɛ ijk a Levi-Civitatenzor) [J i, J j ] = ıɛ ijk J k Impulzusmomentum komponenseinek csererelációi (Noethertétel).
5. A FORGÁSCSOPORT 0-21 Casimiroperátor J 2 = Jx 2 + Jy 2 + Jz 2 (impulzusmomentum négyzete) nem eleme a Lie-algebrának, csak annak fed algebrájának (burkolóalgebrájának), és kommutál minden generátorral, [ J i,j 2] =0 irreducibilis ábrázolásban J 2 skalárral való szorzás J 2 = j(j + 1) valamely egész vagy fél-egész j értékre (impulzusmomentum-kvantumszám). Egységelemhez közeli U SU(2) mátrix alakja U = 1 + ıεa valamely A mátrixra (ε innitezimális valós paraméter). 1=det U =1+ıεTr(A) miatt Tr(A)=0.
5. A FORGÁSCSOPORT 0-22 Unitaritás miatt 1=UU =(1+ıεA)(1 ıεa )=1+ıε(A A ), így A = A, azaz A önadjungált (hermitikus) mátrix. 2x2-es spúrtalan, önadjungált mátrixok terének bázisa: Paulimátrixok. ( ) 0 1 σ 1 = 1 0 ( ) 0 ı σ 2 = ı 0 ( ) 1 0 σ 3 = 0 1 [ σi 2, σ ] j 2 = σ i 2 σ j 2 σ j 2 σ i 2 = ıɛ σ k ijk 2
5. A FORGÁSCSOPORT 0-23 Lie-algebrák izomorfak SU(2) és SO(3) lokálisan izomorfak. SU(2) egyszeresen összefügg, centruma Z = {1, 1} SU(2) a forgáscsoport univerzális fed csoportja SO(3) = SU(2)/Z Forgáscsoport projektív ábrázolásai SU(2) közönséges ábrázolásai. Irreducibilis SU(2) ábrázolásban 1 képe e 2πıj. tenzor vagy spinor ábrázolások attól függ en, hogy j értéke egész vagy fél-egész.